Definisjon og egenskaper. Definisjon og egenskaper Kompleks logaritmisk funksjon og Riemann-overflate

Definisjon og egenskaper

Kompleks null har ingen logaritme fordi kompleks eksponent ikke tar null verdi. Ikke-null texvc kan være representert i demonstrasjonsform:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Hvor Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): k- vilkårlig heltall

Da Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathrm(Ln)\,z finnes ved formelen:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Her Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln\,r= \ln\,|z|- ekte logaritme. Det følger av dette:

Det er tydelig fra formelen at én og bare én av verdiene har en tenkt del i intervallet Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc . Denne verdien kalles hovedviktig kompleks naturlig logaritme. Den tilsvarende (allerede entydige) funksjonen kalles hovedgren logaritme og er betegnet Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln\,z. Noen ganger gjennom Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln\, z angi også verdien av logaritmen som ikke ligger på hovedgrenen. Hvis Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): z er et reelt tall, så faller hovedverdien til logaritmen sammen med den vanlige reelle logaritmen.

Fra formelen ovenfor følger det også at den reelle delen av logaritmen bestemmes som følger gjennom komponentene i argumentet:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \operatørnavn(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figuren viser at den reelle delen som funksjon av komponentene er sentralsymmetrisk og avhenger kun av avstanden til origo. Den oppnås ved å rotere grafen til den reelle logaritmen rundt den vertikale aksen. Når den nærmer seg null, har funksjonen en tendens til Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): -\infty.

Logaritmen til et negativt tall er funnet ved formelen:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\prikker)

Eksempler på komplekse logaritmeverdier

La oss presentere hovedverdien til logaritmen ( Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln) og dets generelle uttrykk ( Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathrm(Ln)) for noen argumenter:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Du bør være forsiktig når du konverterer komplekse logaritmer, ta i betraktning at de har flere verdier, og derfor innebærer ikke likheten mellom logaritmene til noen uttrykk likheten til disse uttrykkene. Eksempel feilaktig argumentasjon:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi- en åpenbar feil.

Merk at til venstre er hovedverdien til logaritmen, og til høyre er verdien fra den underliggende grenen ( Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): k=-1). Årsaken til feilen er uforsiktig bruk av eiendommen Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, som generelt sett innebærer i det komplekse tilfellet hele det uendelige settet med verdier av logaritmen, og ikke bare hovedverdien.

Kompleks logaritmisk funksjon og Riemann-overflate

På grunn av sin enkle sammenheng, er Riemann-overflaten til logaritmen et universelt dekke for det komplekse planet uten et punkt Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc .

Analytisk fortsettelse

Logaritmen til et komplekst tall kan også defineres som den analytiske fortsettelsen av den reelle logaritmen til hele det komplekse planet. La kurven Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc starter på én, går ikke gjennom null og krysser ikke den negative delen av den reelle aksen. Deretter hovedverdien til logaritmen ved endepunktet Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): w krokete Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \Gamma kan bestemmes av formelen:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Hvis Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \Gamma- en enkel kurve (uten selvkryss), så for tall som ligger på den, kan logaritmiske identiteter brukes uten frykt, for eksempel:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Hovedgrenen til den logaritmiske funksjonen er kontinuerlig og differensierbar på hele det komplekse planet, bortsett fra den negative delen av den reelle aksen, hvor den imaginære delen endres brått til Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): 2\pi. Men dette faktum er en konsekvens av den kunstige begrensningen av den imaginære delen av hovedverdien av intervallet Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): (-\pi, \pi]. Hvis vi vurderer alle grener av funksjonen, så oppstår kontinuitet på alle punkter bortsett fra null, hvor funksjonen ikke er definert. Hvis du løser kurven Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \Gamma krysser den negative delen av den reelle aksen, så overfører det første slike skjæringspunktet resultatet fra hovedverdigrenen til den tilstøtende grenen, og hvert påfølgende skjæringspunkt forårsaker et lignende skift langs grenene til den logaritmiske funksjonen (se figur).

Fra den analytiske fortsettelsesformelen følger det at på enhver gren av logaritmen:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

For enhver krets Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): S, som dekker punktet Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): 0 :

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integralet tas i positiv retning (mot klokken). Denne identiteten ligger til grunn for teorien om rester.

Man kan også definere den analytiske fortsettelsen av den komplekse logaritmen ved å bruke serier kjent for det virkelige tilfellet:

Fra formen til disse seriene følger det imidlertid at summen av serien er lik null, det vil si at serien bare forholder seg til hovedgrenen til flerverdifunksjonen til den komplekse logaritmen. Konvergensradiusen til begge seriene er 1.

Forbindelse med inverse trigonometriske og hyperbolske funksjoner

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \operatørnavn(Arcsin) z = -i \operatørnavn(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \operatørnavn(Arccos) z = -i \operatørnavn(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \operatørnavn(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \operatørnavn(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \operatørnavn(Arsh)z = \operatørnavn(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- invers hyperbolsk sinus Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \operatørnavn(Arch)z=\operatørnavn(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- invers hyperbolsk cosinus Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \operatørnavn(Arth)z=\frac(1)(2)\operatørnavn(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- invers hyperbolsk tangent Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatørnavn(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- invers hyperbolsk kotangens

Historisk skisse

De første forsøkene på å utvide logaritmer til komplekse tall ble gjort på begynnelsen av 1600- og 1700-tallet av Leibniz og Johann Bernoulli, men de klarte ikke å lage en helhetlig teori, først og fremst fordi selve begrepet logaritme ennå ikke var klart definert. Diskusjonen om dette spørsmålet fant sted først mellom Leibniz og Bernoulli, og på midten av 1700-tallet mellom D’Alembert og Euler. Bernoulli og D'Alembert mente at det burde bestemmes Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \log(-x) = \log(x), mens Leibniz beviste at logaritmen til et negativt tall er et imaginært tall. Den komplette teorien om logaritmer av negative og komplekse tall ble publisert av Euler i 1747-1751 og er i hovedsak ikke forskjellig fra den moderne. Selv om debatten fortsatte (D'Alembert forsvarte sitt synspunkt og argumenterte for det i detalj i en artikkel i hans Encyclopedia og i andre arbeider), fikk Eulers tilnærming universell anerkjennelse på slutten av 1700-tallet.

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Kompleks logaritme"

Litteratur

Teori om logaritmer

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funksjoner til en kompleks variabel. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G.M. Forløp for differensial- og integralregning. -red. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Historien om logaritmer

• Matematikk på 1700-tallet // / Redigert av A. P. Yushkevich, i tre bind. - M.: Vitenskap, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematikk på 1800-tallet. Geometri. Teori om analytiske funksjoner. - M.: Vitenskap, 1981. - T. II.

Notater

1. Logaritmisk funksjon. // . - M.: Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3.
2. , bind II, s. 520-522..
3. , Med. 623..
4. , Med. 92-94..
5. , Med. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvant bibliotek, utgave 21).
7. , bind II, s. 522-526..
8. , Med. 624..
9. , Med. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Matematikkens historie. I to bind. - M.: Forlag. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231..
11. , Med. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Science, 1987. - T. II. Geometri. - s. 159-161. - 416 s.

Et utdrag som karakteriserer den komplekse logaritmen

Fra den ville redselen som grep oss, suste vi som kuler over en bred dal, uten å tenke på at vi raskt kunne gå til en annen "etasje"... Vi hadde rett og slett ikke tid til å tenke på det - vi var for redde.
Skapningen fløy rett over oss og klikket høylytt med det gapende tannnebbet, og vi skyndte oss så fort vi kunne, sprutet skumle slimsprut til sidene og ba mentalt om at noe annet plutselig skulle interessere denne skumle "mirakelfuglen"... følte at hun var mye raskere og vi hadde rett og slett ingen sjanse til å bryte fra henne. Som heldigvis vokste det ikke et eneste tre i nærheten, det var ingen busker, eller til og med steiner man kunne gjemme seg bak, bare en illevarslende svart stein kunne sees i det fjerne.
- Der! – ropte Stella og pekte fingeren mot den samme steinen.
Men plutselig, uventet, rett foran oss, dukket det opp en skapning fra et sted, hvis syn bokstavelig talt frøs blodet vårt i blodårene våre ... Det virket som om "rett ut av løse luften" og var virkelig skremmende ... det enorme svarte kadaveret var fullstendig dekket av langt, grovt hår, noe som fikk ham til å se ut som en bjørn med bukmage, bare denne "bjørnen" var så høy som et tre-etasjers hus... Monsterets klumpete hode ble "kronet" med to enorme buede horn, og den uhyggelige munnen ble dekorert med et par utrolig lange hoggtenner, skarpe som kniver, bare ved å se på som beina våre med skrekk ga etter... Og så, utrolig overraskende for oss, hoppet monsteret lett opp og. .. plukket opp den flygende "møkka" på en av dens enorme hoggtenner... Vi frøs i sjokk.
- La oss løpe!!! – hylte Stella. – La oss løpe mens han er «opptatt»!
Og vi var klare til å skynde oss igjen uten å se oss tilbake, da det plutselig hørtes en tynn stemme bak ryggen vår:
- Jenter, vent!!! Ingen grunn til å stikke av!.. Dean reddet deg, han er ikke en fiende!
Vi snudde oss skarpt - en bitteliten, veldig vakker svartøyd jente sto bak oss... og strøk rolig over monsteret som hadde nærmet seg henne!.. Øynene våre ble store av overraskelse... Det var utrolig! Visst - det var en dag med overraskelser!.. Jenta, som så på oss, smilte imøtekommende, slett ikke redd for det lodne monsteret som sto ved siden av oss.
- Ikke vær redd for ham. Han er veldig snill. Vi så at Ovara jaget deg og bestemte oss for å hjelpe. Dean var flott, han kom i tide. Virkelig, min kjære?
"God" purret, som hørtes ut som et lett jordskjelv, og bøyde hodet og slikket jentas ansikt.
– Hvem er Owara, og hvorfor angrep hun oss? – spurte jeg.
"Hun angriper alle, hun er et rovdyr." Og veldig farlig,” svarte jenta rolig. – Kan jeg spørre hva du gjør her? Dere er ikke herfra, jenter?
– Nei, ikke herfra. Vi gikk bare. Men det samme spørsmålet til deg - hva gjør du her?
"Jeg skal se mamma..." ble den lille jenta trist. "Vi døde sammen, men av en eller annen grunn havnet hun her." Og nå bor jeg her, men jeg forteller henne ikke dette, for hun vil aldri være enig i det. Hun tror jeg bare kommer...
– Er det ikke bedre å bare komme? Det er så forferdelig her!.. – Stella trakk på skuldrene.
"Jeg kan ikke la henne være her alene, jeg ser på henne slik at ingenting skjer med henne." Og her er Dean med meg... Han hjelper meg.
Jeg kunne bare ikke tro det... Denne lille modige jenta forlot frivillig sitt vakre og snille "gulv" for å leve i denne kalde, forferdelige og fremmede verdenen og beskytte moren sin, som var veldig "skyldig" på en eller annen måte! Jeg tror ikke det ville vært mange mennesker så modige og uselviske (selv voksne!) som ville våget å påta seg en slik bragd... Og jeg tenkte umiddelbart - kanskje hun bare ikke skjønte hva hun skulle dømme seg til ?!
– Hvor lenge har du vært her, jente, hvis det ikke er en hemmelighet?
"Nylig..." svarte den svartøyde babyen trist, og trakk i en svart hårlokk med fingrene. – Jeg befant meg i en så vakker verden da jeg døde!.. Han var så snill og lys!.. Og så så jeg at moren min ikke var med meg og skyndte meg å lete etter henne. Det var så skummelt i begynnelsen! Av en eller annen grunn var hun ingen steder å finne... Og så falt jeg inn i denne forferdelige verden... Og så fant jeg henne. Jeg var så redd her... Så ensom... Mamma ba meg gå, hun skjelte meg til og med ut. Men jeg kan ikke forlate henne... Nå har jeg en venn, min gode Dean, og jeg kan allerede på en eller annen måte eksistere her.
Den "gode vennen" hennes knurret igjen, noe som ga Stella og meg enorme "nedre astrale" gåsehud... Etter å ha samlet meg, prøvde jeg å roe meg litt ned og begynte å se nærmere på dette pelskledde miraklet... Og han, med en gang kjente han at han ble lagt merke til, bare han forferdelig blottet munnen med hoggtenner... Jeg hoppet tilbake.
- Å, vær ikke redd, vær så snill! "Han smiler til deg," beroliget jenta.
Ja... Du lærer å løpe fort av et slikt smil... - tenkte jeg for meg selv.
– Hvordan gikk det til at du ble venn med ham? – spurte Stella.
– Da jeg først kom hit, var jeg veldig redd, spesielt når slike monstre som du angrep i dag. Og så en dag, da jeg nesten døde, reddet Dean meg fra en hel haug med skumle flygende "fugler". Jeg var også redd han først, men så skjønte jeg hvilket hjerte av gull han har... Han er mest beste venn! Jeg har aldri hatt noe lignende, selv da jeg bodde på jorden.
– Hvordan ble du så fort vant til det? Utseendet hans er ikke helt, la oss si, kjent ...
– Og her forsto jeg en veldig enkel sannhet, som jeg av en eller annen grunn ikke la merke til på jorden – utseende spiller ingen rolle om en person eller en skapning har snillt hjerte... Moren min var veldig vakker, men til tider var hun også veldig sint. Og så forsvant all skjønnheten hennes et sted... Og Dean, selv om han er skummel, er alltid veldig snill, og beskytter meg alltid, jeg føler hans godhet og er ikke redd for noe. Men du kan venne deg til utseendet...
– Vet du at du kommer til å være her veldig lenge, mye lenger enn folk lever på jorden? Vil du virkelig bli her?..
"Moren min er her, så jeg må hjelpe henne." Og når hun "drar" for å leve på jorden igjen, vil jeg også dra... Ditt det er mer godhet. I dette skummel verden og folk er veldig merkelige - som om de ikke lever i det hele tatt. Hvorfor er det slik? Vet du noe om dette?
– Hvem fortalte deg at moren din ville reise for å leve igjen? – Stella ble interessert.
- Dekan, selvfølgelig. Han vet mye, han har bodd her lenge. Han sa også at når vi (min mor og jeg) lever igjen, vil familiene våre være annerledes. Og så vil jeg ikke ha denne moren lenger... Det er derfor jeg vil være sammen med henne nå.
- Hvordan snakker du med ham, dekanen din? – spurte Stella. – Og hvorfor vil du ikke fortelle oss navnet ditt?
Men det er sant - vi visste fortsatt ikke navnet hennes! Og de visste ikke hvor hun kom fra heller...
– Jeg het Maria... Men spiller det noen rolle her?
– Vel, selvfølgelig! – Stella lo. – Hvordan kan jeg kommunisere med deg? Når du drar, vil de gi deg et nytt navn, men mens du er her, må du leve med det gamle. Snakket du med noen andre her, jenta Maria? – spurte Stella og hoppet fra emne til emne av vane.
"Ja, jeg snakket..." sa den lille jenta nølende. "Men de er så merkelige her." Og så ulykkelige... Hvorfor er de så ulykkelige?
– Er det du ser her som bidrar til lykke? – Jeg ble overrasket over spørsmålet hennes. – Til og med den lokale «virkeligheten» i seg selv dreper ethvert håp på forhånd!.. Hvordan kan du være lykkelig her?
- Vet ikke. Når jeg er sammen med moren min virker det for meg at jeg kunne vært glad her også... Sant nok, det er veldig skummelt her, og hun liker det virkelig ikke her... Da jeg sa at jeg sa ja til å bli med henne, hun ropte på meg og sa at jeg er hennes "hjerneløse ulykke"... Men jeg er ikke fornærmet... Jeg vet at hun bare er redd. Akkurat som meg...
– Kanskje hun bare ønsket å beskytte deg mot din "ekstrem" avgjørelse, og ville bare at du skulle gå tilbake til "gulvet" ditt? – spurte Stella forsiktig, for ikke å fornærme.
– Nei, selvfølgelig... Men takk for de gode ordene. Mamma kalte meg ofte ikke så gode navn, selv på jorden... Men jeg vet at dette ikke var av sinne. Hun var rett og slett misfornøyd med at jeg ble født, og fortalte meg ofte at jeg ødela livet hennes. Men det var vel ikke min feil? Jeg prøvde alltid å gjøre henne glad, men av en eller annen grunn lyktes jeg ikke så veldig... Og jeg har aldri hatt en pappa. – Maria var veldig trist, og stemmen hennes skalv, som om hun var i ferd med å gråte.
Stella og jeg så på hverandre, og jeg var nesten sikker på at lignende tanker besøkte henne... Jeg likte allerede virkelig ikke denne bortskjemte, egoistiske "moren", som i stedet for å bekymre seg for barnet sitt, ikke brydde seg om hans heroiske offer i det hele tatt forsto jeg, og i tillegg såret jeg henne smertelig.
"Men Dean sier at jeg er god, og at jeg gjør ham veldig glad!" – babla den lille jenta mer muntert. "Og han vil være venn med meg." Og andre jeg har møtt her er veldig kalde og likegyldige, og noen ganger til og med onde... Spesielt de som har monstre knyttet...
«Monstre – hva?...» forsto vi ikke.
– Vel, de har forferdelige monstre som sitter på ryggen og forteller dem hva de må gjøre. Og hvis de ikke lytter, spotter monstrene dem fryktelig... Jeg prøvde å snakke med dem, men disse monstrene vil ikke tillate meg.
Vi forsto absolutt ingenting av denne "forklaringen", men det faktum at noen astrale vesener torturerte mennesker kunne ikke forbli "utforsket" av oss, så vi spurte henne umiddelbart hvordan vi kunne se dette fantastiske fenomenet.
– Å, ja overalt! Spesielt ved det "svarte fjellet". Der er han, bak trærne. Vil du at vi skal bli med deg også?
– Selvfølgelig blir vi bare så glade! – svarte den glade Stella umiddelbart.
For å være ærlig smilte jeg heller ikke av utsiktene til å date noen andre, "skummelt og uforståelig", spesielt alene. Men interessen vant frykten, og vi ville selvfølgelig ha gått, til tross for at vi var litt redde... Men når en slik forsvarer som Dean gikk med oss, ble det straks morsommere...
Og så, etter et kort øyeblikk, utfoldet det virkelige helvete seg foran øynene våre, vidåpne av forundring... Visjonen minnet om maleriene til Bosch (eller Bosc, avhengig av hvilket språk du oversetter det til), en "gal" kunstner som en gang sjokkerte hele verden med sin kunstverden... Han var selvfølgelig ikke gal, men var rett og slett en seer som av en eller annen grunn bare kunne se den nedre Astral. Men vi må gi ham æren - han fremstilte ham utmerket... Jeg så maleriene hans i en bok som var i pappas bibliotek, og jeg husket fortsatt den skumle følelsen som de fleste av maleriene hans bar...
"For en redsel!..." hvisket den sjokkerte Stella.
Man kan vel si at vi allerede har sett mye her, på "gulvene"... Men selv vi klarte ikke å forestille oss dette i vårt mest forferdelige mareritt!.. Bak "den svarte steinen" åpnet noe helt utenkelig. .. Det så ut som en diger, flat «gryte» hugget inn i fjellet, i bunnen av denne boblet blodrød «lava»... Den varme luften «brøt» overalt med merkelige blinkende rødlige bobler, hvorfra skoldende damp brøt ut og falt i store dråper til bakken, eller til menneskene som falt under den i det øyeblikket... Hjerteskjærende skrik ble hørt, men ble straks stille, da de mest ekle skapninger satt på ryggen til de samme menneskene, som med en tilfredse blikk "kontrollerte" ofrene sine, og tok ikke den minste oppmerksomhet til deres lidelse... Under de nakne føttene til mennesker ble varme steiner røde, den karmosinrøde jorden, sprengende av varme, boblet og "smeltet"... Sprut av varme damp brast gjennom store sprekker og brennende føttene til mennesker hulkende av smerte, ble ført opp i høyden, fordampet med en lett røyk ... Og midt i "gropen" rant en knallrød, bred brennende elv, inn i hvilken, fra tid til annen, de samme avskyelige monstrene uventet kastet en eller annen plaget enhet, som, falt, forårsaket bare en kort skvett oransje gnister, og så, men, forvandlet et øyeblikk til en luftig hvit sky, forsvant den. .. for alltid... Det var ekte helvete, og Stella og jeg ønsket å "forsvinne" derfra så fort som mulig...
«Hva skal vi gjøre?» hvisket Stella i stille skrekk. – Vil du ned dit? Er det noe vi kan gjøre for å hjelpe dem? Se hvor mange det er!..
Vi sto på en svartbrun, varmetørket klippe, og observerte «mosen» av smerte, håpløshet og vold som strakte seg under, fylt med redsel og følte oss så barnslig maktesløse at til og med min militante Stella denne gangen kategorisk foldet sitt rufsete « vinger." "og var klar ved den første samtalen til å skynde seg til sin egen, så kjære og pålitelige, øvre "etasje"...

Ekte logaritme

Logaritme av en reelt talllogg en b gir mening med style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

De mest brukte typene logaritmer er:

Hvis vi betrakter det logaritmiske tallet som en variabel, får vi logaritmisk funksjon, For eksempel: . Denne funksjonen er definert på høyre side av talllinjen: x> 0, er kontinuerlig og differensierbar der (se fig. 1).

Egenskaper

Naturlige logaritmer

Når likheten er sann

(1)

Spesielt

Denne serien konvergerer raskere, og i tillegg kan venstre side av formelen nå uttrykke logaritmen til et hvilket som helst positivt tall.

Forholdet til desimallogaritmen: .

Desimallogaritmer

Ris. 2. Logaritmisk skala

Logaritmer til base 10 (symbol: lg en) før oppfinnelsen av kalkulatorer ble mye brukt til beregninger. Den ujevne skalaen til desimallogaritmer er vanligvis også markert på lysbilderegler. En lignende skala er mye brukt i ulike vitenskapsfelt, for eksempel:

• Kjemi - aktivitet av hydrogenioner ().
• Musikkteori - noteskala, i forhold til frekvensene til musikknoter.

Den logaritmiske skalaen er også mye brukt for å identifisere eksponenten i potensforhold og koeffisienten i eksponenten. I dette tilfellet har en graf konstruert på en logaritmisk skala langs en eller to akser form av en rett linje, som er lettere å studere.

Kompleks logaritme

Flerverdi funksjon

Riemann overflate

En kompleks logaritmisk funksjon er et eksempel på en Riemann-overflate; dens imaginære del (fig. 3) består av et uendelig antall grener, vridd som en spiral. Denne overflaten er ganske enkelt koblet sammen; dens eneste null (av første orden) oppnås ved z= 1, entallspunkter: z= 0 og (grenpunkter i uendelig rekkefølge).

Riemann-overflaten til logaritmen er det universelle dekket for det komplekse planet uten punktet 0.

Historisk skisse

Ekte logaritme

Behovet for komplekse beregninger vokste raskt på 1500-tallet, og mye av vanskeligheten innebar multiplikasjon og divisjon. flersifrede tall. På slutten av århundret kom flere matematikere, nesten samtidig, opp med ideen: å erstatte arbeidskrevende multiplikasjon med enkel addisjon, ved å bruke spesielle tabeller for å sammenligne de geometriske og aritmetiske progresjonene, med den geometriske som den opprinnelige. Da blir divisjon automatisk erstattet av den umåtelig enklere og mer pålitelige subtraksjonen. Han var den første som publiserte denne ideen i sin bok " Arithmetica integra"Michael Stiefel, som imidlertid ikke gjorde en seriøs innsats for å implementere ideen sin.

På 1620-tallet oppfant Edmund Wingate og William Oughtred den første lysbilderegelen, før lommekalkulatorene kom – et uunnværlig ingeniørverktøy.

En nær moderne forståelse av logaritmisering - som den omvendte operasjonen av å heve til en makt - dukket først opp hos Wallis og Johann Bernoulli, og ble til slutt legitimert av Euler på 1700-tallet. I boken "Introduction to the Analysis of Infinite" () ga Euler moderne definisjoner av både eksponentielle og logaritmiske funksjoner, utvidet dem til potensserier og bemerket spesielt rollen til den naturlige logaritmen.

Euler er også kreditert for å utvide den logaritmiske funksjonen til det komplekse domenet.

Kompleks logaritme

De første forsøkene på å utvide logaritmer til komplekse tall ble gjort på begynnelsen av 1600- og 1700-tallet av Leibniz og Johann Bernoulli, men de klarte ikke å lage en helhetlig teori, først og fremst fordi selve konseptet med en logaritme ennå ikke var klart definert. Diskusjonen om dette spørsmålet fant sted først mellom Leibniz og Bernoulli, og på midten av 1700-tallet mellom D'Alembert og Euler. Bernoulli og d'Alembert mente at det burde bestemmes log(-x) = log(x). Den komplette teorien om logaritmer av negative og komplekse tall ble publisert av Euler i 1747-1751 og er i hovedsak ikke forskjellig fra den moderne.

Selv om striden fortsatte (D'Alembert forsvarte sitt synspunkt og argumenterte for det i detalj i en artikkel i hans Encyclopedia og i andre arbeider), fikk Eulers synspunkt raskt universell anerkjennelse.

Logaritmiske tabeller

Logaritmiske tabeller

Fra egenskapene til logaritmen følger det at i stedet for arbeidskrevende multiplikasjon av flersifrede tall, er det nok å finne (fra tabeller) og legge til logaritmene deres, og deretter, ved å bruke de samme tabellene, utføre potensering, det vil si finne verdien av resultatet fra logaritmen. Å gjøre divisjon skiller seg bare ved at logaritmer trekkes fra. Laplace sa at oppfinnelsen av logaritmer "forlenget livet til astronomer" ved å øke hastigheten på beregningsprosessen.

Når du flytter desimaltegnet i et tall til n sifre, endres verdien av desimallogaritmen til dette tallet til n. For eksempel, log8314.63 = log8.31463 + 3. Det følger at det er nok å kompilere en tabell med desimallogaritmer for tall i området fra 1 til 10.

De første tabellene med logaritmer ble publisert av John Napier (), og de inneholdt bare logaritmer trigonometriske funksjoner, og med feil. Uavhengig av ham publiserte Joost Bürgi, en venn av Kepler (), sine tabeller. I 1617 publiserte Oxford-matematikkprofessor Henry Briggs tabeller som allerede inkluderte desimallogaritmer av tallene selv, fra 1 til 1000, med 8 (senere 14) sifre. Men det var også feil i tabellene til Briggs. Den første feilfrie utgaven basert på Vega-tabellene () dukket opp først i 1857 i Berlin (Bremiwer-tabeller).

I Russland ble de første tabellene med logaritmer publisert i 1703 med deltakelse av L. F. Magnitsky. Flere samlinger av logaritmetabeller ble publisert i USSR.

• Bradis V. M. Firesifrede matematiske tabeller. 44. utgave, M., 1973.

Naturlige logaritmer

For den deriverte av den naturlige logaritmen er en enkel formel gyldig:

Av denne grunn brukes naturlige logaritmer hovedsakelig i matematisk forskning. De dukker ofte opp når man løser differensialligninger ligninger, studie av statistiske avhengigheter (for eksempel distribusjoner av enkle tall) osv.

Når likheten er sann

Denne serien konvergerer raskere, og i tillegg kan venstre side av formelen nå uttrykke logaritmen til et hvilket som helst positivt tall.

Forholdet til desimallogaritmen: .

Desimallogaritmer

Ris. 2. Logaritmisk skala

Logaritmer til base 10 (symbol: lg en) før oppfinnelsen kalkulatorer mye brukt til databehandling. Ujevn skala Desimallogaritmer er vanligvis plottet på lysbilderegler. En lignende skala er mye brukt i ulike vitenskapsfelt, for eksempel:

Fysikk- lydintensitet ( desibel).

Astronomi- skala stjernelysstyrke.

Kjemi- aktivitet hydrogen ioner (pH).

Seismologi - Richter skala.

Musikkteori- noteskala, i forhold til frekvensene til notelyder.

Historie - logaritmisk tidsskala.

Den logaritmiske skalaen er også mye brukt for å identifisere eksponenten i potensforhold og koeffisienten i eksponenten. I dette tilfellet har en graf konstruert på en logaritmisk skala langs en eller to akser form av en rett linje, som er lettere å studere.

Logaritmisk funksjon

En logaritmisk funksjon er en funksjon av formen f(x) = logg en x, definert ved

Utforsker den logaritmiske funksjonen

Omfang:

Omfang:

Grafen til enhver logaritmisk funksjon går gjennom punktet (1;0)

Den deriverte av den logaritmiske funksjonen er lik:

Bevis [vise]

I. La oss bevise det

La oss skrive ned identiteten e ln x = x og skille dens venstre og høyre side

Det skjønner vi , hvorav det følger at

II. La oss bevise det

Funksjonen er strengt økende kl en> 1 og strengt minkende ved 0 a

Rett x= 0 er igjen vertikal asymptote, fordi kl en> 1 og ved 0 a

Kompleks logaritme

Flerverdi funksjon

Til komplekse tall Logaritmen er definert på samme måte som en reell. La oss starte med den naturlige logaritmen, som vi betegner og definerer som settet av alle komplekse tall z slik at e z = w. Den komplekse logaritmen eksisterer for enhver , og dens reelle del bestemmes unikt, mens den imaginære delen har et uendelig antall verdier. Av denne grunn kalles det en funksjon med flere verdier. Hvis du forestiller deg w i demonstrasjonsform:

så blir logaritmen funnet av formelen:

Her er den virkelige logaritmen, r = | w | , k- vilkårlig heltall. Verdien oppnådd når k= 0, kalt hovedviktig kompleks naturlig logaritme; det er vanlig å ta verdien av argumentet i intervallet (− π,π]. Den tilsvarende (allerede enkeltverdi) funksjonen kalles hovedgren logaritme og er betegnet med . Noen ganger betegner de også en logaritmeverdi som ikke er på hovedgrenen.

Fra formelen følger det:

Den reelle delen av logaritmen bestemmes av formelen:

Logaritmen til et negativt tall er funnet ved formelen:

Eksempler (hovedverdien til logaritmen er gitt):

Komplekse logaritmer med en annen base behandles på samme måte. Imidlertid bør man være forsiktig når man konverterer komplekse logaritmer, og ta i betraktning at de har flere verdier, og derfor innebærer ikke likheten mellom logaritmene til noen uttrykk likheten til disse uttrykkene. Eksempel på mangelfull resonnement:

jegπ = ln(− 1) = ln((− jeg) 2) = 2ln(− jeg) = 2(− jegπ / 2) = − jegπ er en åpenbar absurditet.

Merk at til venstre er hovedverdien til logaritmen, og til høyre er verdien fra den underliggende grenen ( k= − 1). Årsaken til feilen er uforsiktig bruk av egenskapen, som generelt sett innebærer i det komplekse tilfellet hele det uendelige settet med logaritmeverdier, og ikke bare hovedverdien.

Riemann overflate

Kompleks logaritmisk funksjon - eksempel Riemann overflate; dens imaginære del (fig. 3) består av et uendelig antall grener, vridd som en spiral. Denne overflaten bare koblet til; dens eneste null (av første orden) oppnås ved z= 1, entallspunkter: z= 0 og (grenpunkter i uendelig rekkefølge).

Riemann-overflaten til en logaritme er universalbelegg for det komplekse planet uten punkt 0.

Historisk skisse

Ekte logaritme

Behovet for komplekse beregninger i XVI århundre vokste raskt, og mye av vanskeligheten var forbundet med å multiplisere og dele flersifrede tall. På slutten av århundret kom flere matematikere, nesten samtidig, opp med en idé: å erstatte arbeidskrevende multiplikasjon med enkel addisjon, sammenligne ved hjelp av spesielle tabeller geometrisk Og aritmetikk progresjon, mens den geometriske vil være den opprinnelige. Da blir divisjon automatisk erstattet av den umåtelig enklere og mer pålitelige subtraksjonen. Han var den første som publiserte denne ideen i sin bok " Arithmetica integra» Michael Stiefel, som imidlertid ikke gjorde en seriøs innsats for å gjennomføre ideen sin.

I 1614 Skotsk amatørmatematiker John Napier publiserte et essay på latin med tittelen " Beskrivelse av den fantastiske tabellen over logaritmer" Det hadde den kort beskrivelse logaritmer og deres egenskaper, samt 8-sifrede tabeller med logaritmer bihuler, kosinus Og tangenter, i trinn på 1". Term logaritme, foreslått av Napier, har etablert seg i vitenskapen.

Konseptet med en funksjon eksisterte ennå ikke, og Napier definerte logaritmen kinematisk, sammenligner jevn og logaritmisk sakte film. I moderne notasjon kan Napiers modell representeres av differensialligningen: dx/x = -dy/M, hvor M er en skalafaktor introdusert for å sikre at verdien viser seg å være et heltall med det nødvendige antall sifre (desimalbrøker var ennå ikke mye brukt). Napier tok M = 10000000.

Strengt tatt tabellerte Napier feil funksjon, som nå kalles logaritmen. Hvis vi betegner funksjonen LogNap(x), er den relatert til den naturlige logaritmen som følger:

Åpenbart er LogNap(M) = 0, det vil si at logaritmen til "full sinus" er null - dette er hva Napier oppnådde med sin definisjon. LogNap(0) = ∞.

Hovedegenskapen til Napier-logaritmen: hvis mengdene dannes geometrisk progresjon, så danner logaritmene deres en progresjon aritmetikk. Imidlertid skilte logaritmereglene for neper-funksjonen seg fra reglene for den moderne logaritmen.

For eksempel LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Dessverre inneholdt alle verdiene i Napiers tabell en beregningsfeil etter det sjette sifferet. Dette hindret imidlertid ikke den nye beregningsmetoden i å få stor popularitet, og mange europeiske matematikere begynte å sette sammen logaritmiske tabeller, bl.a. Kepler.

I 1620-årene Edmund Wingate og William Oughtred oppfant den første skyveregel, før fremkomsten av lommekalkulatorer, et uunnværlig ingeniørverktøy.

Nær den moderne forståelsen av logaritme - som en invers operasjon eksponentiering- dukket først opp i Wallis Og Johann Bernoulli, og ble til slutt legalisert Euler V XVIII århundre. I boken "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) Euler ga moderne definisjoner som veiledende, og logaritmiske funksjoner, brakte deres ekspansjon til potensserier, og bemerket spesielt rollen til den naturlige logaritmen.

Euler er også kreditert for å utvide den logaritmiske funksjonen til det komplekse domenet.

Kompleks logaritme

De første forsøkene på å utvide logaritmer til komplekse tall ble gjort på begynnelsen av 1600- og 1700-tallet Leibniz Og Johann Bernoulli, men de klarte ikke å lage en fullstendig teori - først og fremst av den grunn at selve konseptet med en logaritme ennå ikke var klart definert. Diskusjonen om dette spørsmålet fant først sted mellom Leibniz og Bernoulli, og på midten av 1700-tallet - mellom kl. d'Alembert og Euler. Bernoulli og d'Alembert mente at det burde bestemmes log(-x) = log(x). Den komplette teorien om logaritmer av negative og komplekse tall ble publisert av Euler i 1747-1751 og er i hovedsak ikke forskjellig fra den moderne.

Selv om striden fortsatte (D'Alembert forsvarte sitt synspunkt og argumenterte for det i detalj i en artikkel i hans Encyclopedia og i andre arbeider), fikk Eulers synspunkt raskt universell anerkjennelse.

Logaritmiske tabeller

Logaritmiske tabeller

Fra egenskapene til logaritmen følger det at i stedet for arbeidskrevende multiplikasjon av flersifrede tall, er det nok å finne (fra tabeller) og legge til logaritmene deres, og deretter bruke de samme tabellene for å utføre potensering, det vil si finn verdien av resultatet ved logaritmen. Å gjøre divisjon skiller seg bare ved at logaritmer trekkes fra. Laplace sa at oppfinnelsen av logaritmer "forlenget livet til astronomer", og fremskyndet beregningsprosessen mange ganger.

Når du flytter desimaltegnet i et tall til n sifre, endres verdien av desimallogaritmen til dette tallet til n. For eksempel, log8314.63 = log8.31463 + 3. Det følger at det er nok å lage en tabell med desimallogaritmer for tall i området fra 1 til 10.

De første tabellene med logaritmer ble publisert av John Napier ( 1614 ), og de inneholdt bare logaritmer av trigonometriske funksjoner, og med feil. Uavhengig av ham publiserte Joost Bürgi, en venn, tabellene sine Kepler (1620 ). I 1617 Oxford matematikk professor Henry Briggs publiserte tabeller som allerede inkluderte desimallogaritmer for selve tallene, fra 1 til 1000, med 8 (senere 14) sifre. Men det var også feil i tabellene til Briggs. Første feilfrie utgave basert på Vega-tabellene ( 1783 ) dukket bare opp i 1857 i Berlin (Bremiwer-tabeller).

I Russland ble de første tabellene med logaritmer publisert i 1703 med deltakelsen L. F. Magnitsky. Flere samlinger av logaritmetabeller ble publisert i USSR.

Bradis V. M. Firesifrede matematiske tabeller. 44. utgave, M., 1973.

Bradis tabeller ( 1921 ) ble brukt i utdanningsinstitusjoner og i tekniske beregninger som ikke krever stor nøyaktighet. De inneholdt mantisse desimallogaritmer av tall og trigonometriske funksjoner, naturlige logaritmer og noen andre nyttige beregningsverktøy.

Litteratur

Uspensky Ya V. Essay om logaritmenes historie. Petrograd, 1923. −78 s.

Vygodsky M. Ya. Håndbok i elementær matematikk. - M.: AST, 2003. -

ISBN 5-17-009554-6 History of Mathematics, redigert av A. P. Jusjkevitsj

i tre bind, M.: Nauka. Bind 1 Fra antikken til begynnelsen av moderne tid. (1970) psykologi som en uavhengig vitenskap (2)

Abstrakt >> Psykologi Hovedmål med faget historie psykologi 1. Analyse fremvekst Og videre utvikling ... sensasjoner er proporsjonale logaritme stimulusintensitet: for... å utføre en handling, betinget fremvekst

• Historie behovet for å løse et problem; -mål...

  psykologi som en uavhengig vitenskap (2)

  psykologi (10) Ble opphavet til psykofysikken. Bord logaritmer viste seg å være anvendelig på mentale fenomener... som røttene til instinktene går til historie arter, uten dem, i live... ødelagte», tilsvarende ethvert smertefullt fenomen. Emergence

• Historie nye retninger innen psykologi, sosiologi...

  psykologi som en uavhengig vitenskap (1)

  Jukseark >> Psykologi Hovedmål med faget Aktiviteter: Hovedmål med faget psykologi 1. Analyse psykologi 1. Dialyse ... sensasjoner er proporsjonale og videreutvikling av vitenskapelig kunnskap... er at intensiteten av sensasjonen er proporsjonal

• Historie stimulusintensitet: for å...

  psykologi som en uavhengig vitenskap (1)

  sosialpsykologi (2) ... sensasjoner er proporsjonale intensiteten til den nåværende stimulansen (... XX århundre for første gang i Hovedmål med faget psykologer prøvde å eksperimentelt undersøke... å identifisere årsaker og spesifikke tilstander psykologi 1. Analyse nevroser, separasjon i en spesiell...

De grunnleggende egenskapene til logaritmen, logaritmegrafen, definisjonsdomene, sett med verdier, grunnleggende formler, økende og minkende er gitt. Å finne den deriverte av en logaritme vurderes. I tillegg til integral, potensserieutvidelse og representasjon ved bruk av komplekse tall.

Innhold

Domene, sett med verdier, økende, avtagende

Logaritmen er en monoton funksjon, så den har ingen ekstreme. Hovedegenskapene til logaritmen er presentert i tabellen.

Definisjonsdomene	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rekkevidde av verdier	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	monotont øker	monotont avtar
Null, y = 0	x = 1	x = 1
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	Ingen	Ingen
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Private verdier

Logaritmen til base 10 kalles desimal logaritme og er betegnet som følger:

Logaritme til base e ringte naturlig logaritme:

Grunnleggende formler for logaritmer

Egenskaper til logaritmen som oppstår fra definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Logaritme er den matematiske operasjonen ved å ta en logaritme. Når du tar logaritmer, konverteres produkter av faktorer til summen av ledd.
Potensering er den matematiske operasjonen invers til logaritme. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet blir summen av termer forvandlet til produkter av faktorer.

Bevis på grunnleggende formler for logaritmer

Formler relatert til logaritmer følger av formler for eksponentielle funksjoner og fra definisjonen av en invers funksjon.

Tenk på egenskapen til eksponentialfunksjonen
.
Da
.
La oss bruke egenskapen til eksponentialfunksjonen
:
.

La oss bevise basiserstatningsformelen.
;
.
Forutsatt at c = b, har vi:

Invers funksjon

Inversen av logaritmen til base a er eksponentiell funksjon med eksponent a.

Hvis, da

Hvis, da

Derivert av logaritme

Derivert av logaritmen til modulen x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

For å finne den deriverte av en logaritme må den reduseres til grunntallet e.
;
.

Integral

Integralet til logaritmen beregnes ved å integrere med deler: .
Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall

Tenk på den komplekse tallfunksjonen z:
.
La oss uttrykke et komplekst tall z via modul r og argumentasjon φ :
.
Deretter, ved å bruke egenskapene til logaritmen, har vi:
.
Eller

Imidlertid argumentet φ ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
da blir det samme nummer for forskjellige n.

Derfor er logaritmen, som en funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Power serie utvidelse

Når utvidelsen finner sted:

Brukt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Se også:

Materiale fra Wikipedia - det frie leksikonet

Definisjon og egenskaper

Kompleks null har ingen logaritme fordi kompleks eksponent ikke tar nullverdi. Ikke-null $z$ kan representeres i demonstrasjonsform:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Hvor $k$- vilkårlig heltall

Da $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ finnes ved formelen:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash venstre(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Her $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- ekte logaritme. Det følger av dette:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash prikker)$

Eksempler på komplekse logaritmeverdier

La oss presentere hovedverdien til logaritmen ( $\backslash ln$) og dets generelle uttrykk ( $\backslash mathrm(Ln)$) for noen argumenter:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Du bør være forsiktig når du konverterer komplekse logaritmer, ta i betraktning at de har flere verdier, og derfor innebærer ikke likheten mellom logaritmene til noen uttrykk likheten til disse uttrykkene. Eksempel feilaktig argumentasjon:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- en åpenbar feil.

Merk at til venstre er hovedverdien til logaritmen, og til høyre er verdien fra den underliggende grenen ( $k=-1$). Årsaken til feilen er uforsiktig bruk av eiendommen $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, som generelt sett innebærer i det komplekse tilfellet hele det uendelige settet med verdier av logaritmen, og ikke bare hovedverdien.

Kompleks logaritmisk funksjon og Riemann-overflate

På grunn av sin enkle sammenheng, er Riemann-overflaten til logaritmen et universelt dekke for det komplekse planet uten et punkt $0$.

Analytisk fortsettelse

Logaritmen til et komplekst tall kan også defineres som den analytiske fortsettelsen av den reelle logaritmen til hele det komplekse planet. La kurven $\backslash Gamma$ starter på én, går ikke gjennom null og krysser ikke den negative delen av den reelle aksen. Deretter hovedverdien til logaritmen ved endepunktet $w$ krokete $\backslash Gamma$ kan bestemmes av formelen:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Hvis $\backslash Gamma$- en enkel kurve (uten selvkryss), så for tall som ligger på den, kan logaritmiske identiteter brukes uten frykt, for eksempel:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Hovedgrenen til den logaritmiske funksjonen er kontinuerlig og differensierbar på hele det komplekse planet, bortsett fra den negative delen av den reelle aksen, hvor den imaginære delen endres brått til $2\backslash pi$. Men dette faktum er en konsekvens av den kunstige begrensningen av den imaginære delen av hovedverdien av intervallet $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Hvis vi vurderer alle grener av funksjonen, så oppstår kontinuitet på alle punkter bortsett fra null, hvor funksjonen ikke er definert. Hvis du løser kurven $\backslash Gamma$ krysser den negative delen av den reelle aksen, så overfører det første slike skjæringspunktet resultatet fra hovedverdigrenen til den tilstøtende grenen, og hvert påfølgende skjæringspunkt forårsaker et lignende skift langs grenene til den logaritmiske funksjonen (se figur).

Fra den analytiske fortsettelsesformelen følger det at på enhver gren av logaritmen:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash over\; z)$

For enhver krets $S$, som dekker punktet $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integralet tas i positiv retning (mot klokken). Denne identiteten ligger til grunn for teorien om rester.

Man kan også definere den analytiske fortsettelsen av den komplekse logaritmen ved å bruke serier kjent for det virkelige tilfellet:

{{{2}}}

(rad 1)

{{{2}}}

(rad 2)

Fra formen til disse seriene følger det imidlertid at summen av serien er lik null, det vil si at serien bare forholder seg til hovedgrenen til flerverdifunksjonen til den komplekse logaritmen. Konvergensradiusen til begge seriene er 1.

Forbindelse med inverse trigonometriske og hyperbolske funksjoner

$\backslash operatørnavn(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatørnavn(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatørnavn(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatørnavn(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatørnavn(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatørnavn(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatørnavn(Arsh)z\; =\; \backslash operatørnavn(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- invers hyperbolsk sinus $\backslash operatørnavn(Arch)z=\backslash operatørnavn(Ln)\; \backslash venstre(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- invers hyperbolsk cosinus $\backslash operatørnavn(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatørnavn(Ln)\backslash venstre(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash høyre)$- invers hyperbolsk tangent $\backslash operatørnavn(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatørnavn(Ln)\backslash venstre(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash høyre)$- invers hyperbolsk kotangens

Historisk skisse

De første forsøkene på å utvide logaritmer til komplekse tall ble gjort på begynnelsen av 1600- og 1700-tallet av Leibniz og Johann Bernoulli, men de klarte ikke å lage en helhetlig teori, først og fremst fordi selve begrepet logaritme ennå ikke var klart definert. Diskusjonen om dette spørsmålet fant sted først mellom Leibniz og Bernoulli, og på midten av 1700-tallet mellom D’Alembert og Euler. Bernoulli og D'Alembert mente at det burde bestemmes $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, mens Leibniz beviste at logaritmen til et negativt tall er et imaginært tall. Den komplette teorien om logaritmer av negative og komplekse tall ble publisert av Euler i 1747-1751 og er i hovedsak ikke forskjellig fra den moderne. Selv om debatten fortsatte (D'Alembert forsvarte sitt synspunkt og argumenterte for det i detalj i en artikkel i hans Encyclopedia og i andre arbeider), fikk Eulers tilnærming universell anerkjennelse på slutten av 1700-tallet.

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Kompleks logaritme"

Litteratur

Teori om logaritmer

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funksjoner til en kompleks variabel. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G.M. Forløp for differensial- og integralregning. -red. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Historien om logaritmer

• Matematikk på 1700-tallet // / Redigert av A. P. Yushkevich, i tre bind. - M.: Vitenskap, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematikk på 1800-tallet. Geometri. Teori om analytiske funksjoner. - M.: Vitenskap, 1981. - T. II.

Notater

1. Logaritmisk funksjon. // . - M.: Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3.
2. , bind II, s. 520-522..
3. , Med. 623..
4. , Med. 92-94..
5. , Med. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvant bibliotek, utgave 21).
7. , bind II, s. 522-526..
8. , Med. 624..
9. , Med. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Matematikkens historie. I to bind. - M.: Forlag. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231..
11. , Med. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Science, 1987. - T. II. Geometri. - s. 159-161. - 416 s.

Et utdrag som karakteriserer den komplekse logaritmen

Det var tydelig at denne sterke, merkelige mannen var under den uimotståelige innflytelsen som denne mørke, grasiøse, kjærlige jenta hadde på ham.
Rostov la merke til noe nytt mellom Dolokhov og Sonya; men han definerte ikke for seg selv hva slags nytt forhold dette var. "De er alle forelsket i noen der," tenkte han på Sonya og Natasha. Men han var ikke så komfortabel med Sonya og Dolokhov som før, og han begynte å være hjemme sjeldnere.
Siden høsten 1806 begynte alt igjen å snakke om krigen med Napoleon enda mer inderlig enn i fjor. Ikke bare ble rekrutter utnevnt, men også 9 flere krigere av tusen. Overalt forbannet de Bonaparte med anathema, og i Moskva ble det bare snakket om den kommende krigen. For Rostov-familien lå hele interessen for disse forberedelsene til krig bare i det faktum at Nikolushka aldri ville gå med på å bli i Moskva og bare ventet på slutten av Denisovs permisjon for å bli med ham til regimentet etter ferien. Den kommende avgangen hindret ham ikke bare i å ha det gøy, men oppmuntret ham også til det. Han tilbrakte mesteparten av tiden sin utenfor huset, på middager, kvelder og baller.

XI
Tredje juledag spiste Nikolai middag hjemme, som i det siste skjedde sjelden med ham. Det var offisielt en avskjedsmiddag, siden han og Denisov dro til regimentet etter helligtrekonger. Rundt tjue mennesker spiste lunsj, inkludert Dolokhov og Denisov.
Aldri i Rostov-huset gjorde kjærlighetens luft, kjærlighetens atmosfære, seg med en slik kraft som på disse feriedagene. "Fang øyeblikk av lykke, tving deg selv til å elske, forelsk deg selv! Bare denne ene tingen er ekte i verden - resten er tull. Og det er alt vi gjør her, sa atmosfæren. Nikolai, som alltid, etter å ha torturert to par hester og ikke hatt tid til å besøke alle stedene han trengte å være og hvor han ble kalt, kom hjem rett før lunsj. Så snart han kom inn, la han merke til og kjente spenningen i den kjærlige atmosfæren i huset, men han la også merke til en merkelig forvirring som hersket mellom noen av medlemmene i samfunnet. Sonya, Dolokhov, den gamle grevinnen og en liten Natasha var spesielt begeistret. Nikolai skjønte at noe kom til å skje før middagen mellom Sonya og Dolokhov, og med sin karakteristiske hjertefølsomhet var han veldig forsiktig og forsiktig under middagen i forholdet til dem begge. Samme kveld på den tredje dagen i ferien skulle det være et av disse ballene på Yogel (danselæreren), som han ga på ferier for alle elevene sine.
- Nikolenka, vil du gå til Yogel? Vennligst gå," sa Natasha til ham, "han spurte deg spesielt, og Vasily Dmitrich (det var Denisov) skal dra."
"Hvor enn jeg går på ordre fra Mr. Athena!" sa Denisov, som spøkefullt plasserte seg i Rostov-huset ved foten av ridderen Natasja, "pas de chale [dans med et sjal] er klar til å danse."
– Hvis jeg har tid! "Jeg lovet Arkharovs at det er deres kveld," sa Nikolai.
"Og du?..." han snudde seg mot Dolokhov. Og akkurat nå jeg spurte dette, la jeg merke til at dette ikke burde vært spurt.
«Ja, kanskje...» svarte Dolokhov kaldt og sint, og så på Sonya og rynket pannen, med nøyaktig samme blikk som han så på Pierre på klubbmiddagen, så han igjen på Nikolai.
"Det er noe," tenkte Nikolai, og denne antagelsen ble ytterligere bekreftet av det faktum at Dolokhov dro umiddelbart etter middagen. Han ringte Natasha og spurte hva det var?
"Jeg så etter deg," sa Natasha og løp ut til ham. "Jeg sa til deg, du ville fortsatt ikke tro," sa hun triumferende, "han fridde til Sonya."
Uansett hvor lite Nikolai gjorde med Sonya i løpet av denne tiden, så det ut til at noe gikk av i ham da han hørte dette. Dolokhov var en grei og på noen måter en strålende kamp for den medgiftsfrie foreldreløse Sonya. Fra den gamle grevinnens og verdens synspunkt var det umulig å nekte ham. Og derfor var Nikolais første følelse da han hørte dette sinne mot Sonya. Han forberedte seg på å si: "Og flott, selvfølgelig, vi må glemme barndommens løfter og akseptere tilbudet"; men han hadde ikke tid til å si det enda...
– Du kan tenke deg! Hun nektet, nektet fullstendig! – Natasha snakket. "Hun sa at hun elsker noen andre," la hun til etter en kort stillhet.
"Ja, min Sonya kunne ikke ha gjort noe annet!" tenkte Nikolai.
"Uansett hvor mye min mor spurte henne, nektet hun, og jeg vet at hun ikke vil endre det hun sa ...
– Og mamma spurte henne! – sa Nikolai bebreidende.
"Ja," sa Natasha. - Du vet, Nikolenka, ikke vær sint; men jeg vet at du ikke vil gifte deg med henne. Jeg vet, Gud vet hvorfor, jeg vet sikkert, du vil ikke gifte deg.
«Vel, det vet du ikke,» sa Nikolai; – men jeg må snakke med henne. For en skjønnhet denne Sonya er! – la han til og smilte.
– Dette er så deilig! Jeg sender den til deg. - Og Natasha, som kysset broren sin, løp unna.
Et minutt senere kom Sonya inn, redd, forvirret og skyldig. Nikolai gikk bort til henne og kysset hånden hennes. Dette var første gang på dette besøket at de snakket ansikt til ansikt og om kjærligheten deres.
«Sophie,» sa han først sjenert, og så mer og mer frimodig, «hvis du ikke bare vil nekte en strålende, lønnsom kamp; men han er en fantastisk, edel mann ... han er min venn ...
Sonya avbrøt ham.
"Jeg har allerede nektet," sa hun raskt.
- Hvis du nekter for meg, så er jeg redd det på meg...
Sonya avbrøt ham igjen. Hun så på ham med bedende, redde øyne.
"Nicolas, ikke fortell meg det," sa hun.
– Nei, det må jeg. Kanskje dette er tilstrekkelig [arroganse] fra min side, men det er bedre å si. Hvis du nekter for meg, så må jeg fortelle deg hele sannheten. Jeg elsker deg, tror jeg, mer enn noen andre...
"Det er nok for meg," sa Sonya og rødmet.
– Nei, men jeg har forelsket meg tusen ganger og vil fortsette å bli forelsket, selv om jeg ikke har en slik følelse av vennskap, tillit, kjærlighet til noen som til deg. Da er jeg ung. Maman vil ikke ha dette. Vel, det er bare det at jeg ikke lover noe. Og jeg ber deg tenke på Dolokhovs forslag," sa han, og hadde problemer med å uttale vennens etternavn.
- Ikke fortell meg det. Jeg vil ikke ha noe. Jeg elsker deg som en bror, og vil alltid elske deg, og jeg trenger ikke noe mer.
"Du er en engel, jeg er deg ikke verdig, men jeg er bare redd for å lure deg." – Nikolai kysset hånden hennes igjen.

Yogel hadde de morsomste ballene i Moskva. Dette var hva mødrene sa, mens de så på ungdommene deres [jentene] som utførte sine nylærte skritt; dette ble sagt av ungdommene og ungdommene selv, [jenter og gutter] som danset til de falt; disse voksne jentene og unge mennene som kom til disse ballene med ideen om å nedlate seg til dem og finne den beste moroa i dem. Samme år fant to ekteskap sted på disse ballene. De to vakre prinsessene av Gorchakovs fant friere og giftet seg, og enda mer så lanserte de disse ballene til ære. Det som var spesielt med disse ballene var at det ikke fantes noen vert og vertinne: der var den godmodige Yogel, som flyvende fjær, stokkende rundt etter kunstens regler, som tok imot billetter til undervisning fra alle gjestene sine; Det var at bare de som ville danse og ha det gøy, som 13 og 14 år gamle jenter som tok på seg lange kjoler for første gang, vil gå på disse ballene. Alle, med sjeldne unntak, var eller virket pene: de smilte alle så entusiastisk og øynene lyste så mye. Noen ganger danset til og med de beste studentene pas de chale, hvorav den beste var Natasha, preget av sin ynde; men på dette siste ballet ble det bare danset ecosaises, anglaises og mazurkaen, som nettopp kom på mote. Salen ble tatt med av Yogel til Bezukhovs hus, og ballet var en stor suksess, som alle sa. Det var mange pene jenter, og Rostov-damene var blant de beste. De var begge spesielt glade og blide. Den kvelden snurret Sonya, stolt av Dolokhovs forslag, hennes avslag og forklaring med Nikolai, fortsatt hjemme, og lot ikke jenta fullføre flettene sine, og nå glødet hun gjennom og gjennom med heftig glede.
Natasha, ikke mindre stolt over at hun hadde på seg en lang kjole for første gang på et ekte ball, var enda lykkeligere. Begge hadde på seg hvite musselinkjoler med rosa bånd.
Natasha ble forelsket fra det øyeblikket hun entret ballen. Hun var ikke forelsket i noen spesielle, men hun var forelsket i alle. Den hun så på i det øyeblikket hun så på, var den hun var forelsket i.
- Å, så bra! – sa hun hele tiden og løp bort til Sonya.
Nikolai og Denisov gikk gjennom salene og så kjærlig og nedlatende på danserne.
"Så søt hun vil bli," sa Denisov.
- WHO?
"Athena Natasha," svarte Denisov.
«Og hvordan hun danser, for en g»asjon!» etter en kort stillhet, sa han igjen.
– Hvem snakker du om?
"Om søsteren din," ropte Denisov sint.
Rostov gliste.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez," sa lille Jogel og nærmet seg Nikolai. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Min kjære grev, du er en av mine beste elever. Du må danse. Se hvor mye pene jenter!] – Han kom med den samme forespørselen til Denisov, også hans tidligere student.
«Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Nei, min kjære, jeg skal sitte ved veggen,» sa Denisov. "Husker du ikke hvor dårlig jeg brukte leksjonene dine?"
- Å nei! – sa Jogel fort og trøstet ham. – Du var bare uoppmerksom, men du hadde evner, ja, du hadde evner.
Den nylig introduserte mazurkaen ble spilt; Nikolai kunne ikke nekte Yogel og inviterte Sonya. Denisov satte seg ved siden av de gamle damene og støttet albuene på sabelen, stampet takten, fortalte noe muntert og fikk de gamle damene til å le mens de så på de dansende ungdommene. Yogel, i det første paret, danset med Natasha, hans stolthet og beste elev. Yogel var forsiktig, ømt og beveget føttene i skoene, og var den første som fløy over gangen sammen med Natasha, som var sjenert, men flittig utførte skritt. Denisov tok ikke blikket fra henne og banket på takten med sabelen, med et uttrykk som tydelig sa at han selv ikke danset bare fordi han ikke ville, og ikke fordi han ikke kunne. I midten av figuren kalte han Rostov, som gikk forbi, til seg.
"Det er ikke det samme i det hele tatt," sa han. - Er dette en polsk mazurka. Og hun danser utmerket - Når hun visste at Denisov til og med var kjent i Polen for sin dyktighet i å danse den polske mazurkaen, løp Nikolai opp til Natasha.
- Gå og velg Denisov. Her danser han! Mirakel! - sa han.
Da det var Natasjas tur igjen, reiste hun seg og fingert raskt med skoene sine med buer, fryktsomt, løp alene over gangen til hjørnet der Denisov satt. Hun så at alle så på henne og ventet. Nikolai så at Denisov og Natasha kranglet, smilte, og at Denisov nektet, men smilte gledelig. Han løp opp.
"Vær så snill, Vasily Dmitrich," sa Natasha, "la oss gå, vær så snill."
"Ja, det er det, g'athena," sa Denisov.
"Vel, det er nok, Vasya," sa Nikolai.
"Det er som om de prøver å overtale katten Vaska," sa Denisov spøkefullt.
"Jeg skal synge for deg hele kvelden," sa Natasha.
– Trollkvinnen vil gjøre hva som helst mot meg! – sa Denisov og løsnet sabelen. Han kom ut bak stolene, tok fast damen i hånden, løftet hodet og satte foten ned, mens han ventet på takt. Bare på hesteryggen og i mazurkaen var Denisovs korte vekst ikke synlig, og han så ut til å være den samme unge mannen som han følte seg for å være. Etter å ha ventet på takten, så han triumferende og lekent på damen fra siden, banket plutselig på en av føttene hans og spratt som en ball elastisk fra gulvet og fløy med i en sirkel og dro med seg damen. Han fløy lydløst halvveis over gangen på ett ben, og det så ut til at han ikke så stolene som stod foran seg og skyndte seg rett mot dem; men plutselig, mens han klikket med sporene og spredte bena, stoppet han på hælene, ble stående et sekund, med brølet av sporer, banket føttene på ett sted, snudde seg raskt og klikket med høyre fot med venstre fot, igjen fløy i en sirkel. Natasha gjettet hva han hadde til hensikt å gjøre, og uten å vite hvordan, fulgte hun etter ham - overga seg til ham. Nå sirklet han rundt henne, nå til høyre, nå på venstre hånd, nå falt han på kne, han sirklet henne rundt seg, og igjen spratt han opp og begynte så raskt, som om han hadde tenkt å løpe over alle rommene uten å puste; så plutselig stoppet han igjen og igjen laget et nytt og uventet kne. Da han raskt snurret damen foran plassen hennes, knipset sporen sin og bøyde seg for henne, bøyde ikke Natasha seg engang for ham. Hun stirret forvirret på ham og smilte som om hun ikke kjente ham igjen. - Hva er dette? - sa hun.
Til tross for at Yogel ikke anerkjente denne mazurkaen som ekte, var alle fornøyde med Denisovs dyktighet, de begynte stadig å velge ham, og de gamle, smilende, begynte å snakke om Polen og de gode gamle dagene. Denisov, skylt fra mazurkaen og tørket seg med et lommetørkle, satte seg ved siden av Natasha og forlot ikke siden hennes gjennom hele ballen.