Avledning av derivatformelen strømfunksjon(x i potensen av a). Derivater fra røttene til x vurderes. Formel for den deriverte av en potensfunksjon høyere orden. Eksempler på beregning av derivater.

Innhold

Se også: Potensfunksjon og røtter, formler og graf
Power-funksjonsgrafer

Grunnleggende formler

Den deriverte av x i potensen av a er lik a ganger x i potensen av en minus en:
(1) .

Den deriverte av den n-te roten av x til mte potens er:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av en potensfunksjon

Sak x > 0

Tenk på en potensfunksjon av variabelen x med eksponent a:
(3) .
Her er a et vilkårlig reelt tall. La oss først vurdere saken.

For å finne den deriverte av funksjon (3), bruker vi egenskapene til en potensfunksjon og transformerer den til følgende form:
.

Nå finner vi den deriverte ved å bruke:
;
.
Her .

Formel (1) er bevist.

Avledning av formelen for den deriverte av en rot av grad n av x til graden av m

Tenk nå på en funksjon som er roten til følgende form:
(4) .

For å finne den deriverte transformerer vi roten til en potensfunksjon:
.
Sammenligner vi med formel (3) ser vi det
.
Da
.

Ved å bruke formel (1) finner vi den deriverte:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendig å memorere formel (2). Det er mye mer praktisk å først transformere røttene til potensfunksjoner, og deretter finne deres deriverte ved å bruke formel (1) (se eksempler på slutten av siden).

Tilfelle x = 0

Hvis , er potensfunksjonen definert for verdien av variabelen x = 0 . 0 La oss finne den deriverte av funksjon (3) ved x =
.

. 0 :
.
For å gjøre dette bruker vi definisjonen av et derivat:

La oss erstatte x =
.
I dette tilfellet mener vi med avledet den høyre grensen for hvilken .
Så vi fant:
Så vi fant:
Av dette er det klart at for , .
(1) .
Kl , . 0 .

Dette resultatet er også hentet fra formel (1):< 0

Derfor er formel (1) også gyldig for x =
(3) .
Tilfelle x
,
Vurder funksjon (3) igjen:

For visse verdier av konstanten a er den også definert for negative verdier av variabelen x. 3 Nemlig la a være et rasjonelt tall. Da kan det representeres som en irreduserbar brøk: 1 hvor m og n er heltall som ikke har felles deler.
.
Hvis n er oddetall, er potensfunksjonen også definert for negative verdier av variabelen x.

For eksempel når n =
.
og m =
.
Vi finner den deriverte ved å plassere konstanten utenfor tegnet til den deriverte og bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

.
Her . Men
.
Siden da
.
Da
.
Det vil si at formel (1) også er gyldig for:
(1) .

Høyere ordens derivater

La oss nå finne høyere ordens deriverte av potensfunksjonen
(3) .
Vi har allerede funnet den første ordensderiverten:
.

Ved å ta konstanten a utenfor tegnet til den deriverte, finner vi andreordens deriverte:
.
På samme måte finner vi derivater av tredje og fjerde orden:
;

.

Av dette er det klart at avledet av vilkårlig n-te orden har følgende form:
.

Merk at hvis a er et naturlig tall, da er den n-te deriverte konstant:
.
Da er alle påfølgende derivater lik null:
,
kl.

Eksempler på beregning av derivater

Eksempel

Finn den deriverte av funksjonen:
.

La oss konvertere røtter til potenser:
;
.
Deretter har den opprinnelige funksjonen formen:
.

Finne deriverte av potenser:
;
.
Den deriverte av konstanten er null:
.

Vi presenterer en oppsummeringstabell for enkelhets skyld og klarhet når vi studerer emnet.

Konstanty = C Effektfunksjon y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponentiell funksjony = øks (a x) " = a x ln a Spesielt nåra = evi har y = e x (e x) " = e x
Logaritmisk funksjon (log a x) " = 1 x ln a Spesielt nåra = evi har y = log x (ln x) " = 1 x	Trigonometriske funksjoner (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Inverse trigonometriske funksjoner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hyperbolske funksjoner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

La oss analysere hvordan formlene til den spesifiserte tabellen ble oppnådd, eller med andre ord, vi vil bevise utledningen av derivatformler for hver type funksjon.

Derivert av en konstant

Bevis 1

For å utlede denne formelen tar vi utgangspunkt i definisjonen av den deriverte av en funksjon i et punkt. Vi bruker x 0 = x, hvor x tar verdien av et hvilket som helst reelt tall, eller med andre ord, x er et hvilket som helst tall fra domenet til funksjonen f (x) = C. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet som ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vær oppmerksom på at uttrykket 0 ∆ x faller under grensetegnet. Det er ikke usikkerheten "null delt på null", siden telleren ikke inneholder en uendelig liten verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.

Så den deriverte av konstantfunksjonen f (x) = C er lik null gjennom hele definisjonsdomenet.

Eksempel 1

Konstantfunksjonene er gitt:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Løsning

La oss beskrive de gitte forholdene. I den første funksjonen ser vi den deriverte av det naturlige tallet 3. I følgende eksempel må du ta den deriverte av EN, Hvor EN- et hvilket som helst reelt tall. Det tredje eksemplet gir oss den deriverte av det irrasjonelle tallet 4. 13 7 22, den fjerde er den deriverte av null (null er et heltall). Til slutt, i det femte tilfellet har vi den deriverte rasjonell brøk - 8 7 .

Svare: deriverte av gitte funksjoner er null for enhver reell x(over hele definisjonsområdet)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat av en potensfunksjon

La oss gå videre til potensfunksjonen og formelen for dens deriverte, som har formen: (x p) " = p x p - 1, hvor eksponenten s er et hvilket som helst reelt tall.

Bevis 2

La oss gi et bevis på formelen når eksponenten er naturlig tall: p = 1, 2, 3, …

Vi stoler igjen på definisjonen av et derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

For å forenkle uttrykket i telleren bruker vi Newtons binomiale formel:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Slik:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + 0 = p !

Dermed har vi bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon når eksponenten er et naturlig tall.

Bevis 3

For å gi bevis for saken når p- et hvilket som helst reelt tall enn null, bruker vi den logaritmiske deriverte (her bør vi forstå forskjellen fra den deriverte logaritmisk funksjon). For å få en mer fullstendig forståelse, er det tilrådelig å studere den deriverte av en logaritmisk funksjon og videre forstå den deriverte av en implisitt funksjon og den deriverte kompleks funksjon.

La oss vurdere to tilfeller: når x positivt og når x negativ.

Så x > 0. Deretter: x p > 0 . La oss logaritme likheten y = x p til basen e og bruke egenskapen til logaritmen:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

På dette stadiet har vi fått en implisitt spesifisert funksjon. La oss definere dens deriverte:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Nå vurderer vi saken når x – negativt tall.

Hvis indikatoren s er et partall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Så x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Hvis s er et oddetall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Den siste overgangen er mulig på grunn av at hvis s er et oddetall, da p - 1 enten et partall eller null (for p = 1), derfor for negativ x likheten (- x) p - 1 = x p - 1 er sann.

Så vi har bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon for enhver reell p.

Eksempel 2

Funksjoner gitt:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestem deres derivater.

Løsning

Vi transformerer noen av de gitte funksjonene til tabellform y = x p , basert på egenskapene til graden, og bruker deretter formelen:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - 1 = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - stokk 7 7 = - stokk 7 12 x - stokk 7 84

Derivert av en eksponentiell funksjon

Bevis 4

La oss utlede den deriverte formelen ved å bruke definisjonen som grunnlag:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Vi fikk usikkerhet. For å utvide den, la oss skrive en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I dette tilfellet er a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . For den siste overgangen ble formelen for overgang til en ny logaritmebase brukt.

La oss bytte inn i den opprinnelige grensen:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

La oss huske den andre bemerkelsesverdige grensen, og så får vi formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Eksempel 3

Eksponentialfunksjonene er gitt:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Det er nødvendig å finne deres derivater.

Løsning

Vi bruker formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen og egenskapene til logaritmen:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivert av en logaritmisk funksjon

Bevis 5

La oss gi et bevis på formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for enhver x i definisjonsdomenet og eventuelle tillatte verdier av basen a til logaritmen. Basert på definisjonen av derivat, får vi:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Fra den indikerte likhetskjeden er det klart at transformasjonene var basert på egenskapen til logaritmen. Likhetsgrensen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e er sann i samsvar med den andre bemerkelsesverdige grensen.

Eksempel 4

Logaritmiske funksjoner er gitt:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Det er nødvendig å beregne deres derivater.

Løsning

La oss bruke den avledede formelen:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Så den deriverte av den naturlige logaritmen er en dividert med x.

Derivater av trigonometriske funksjoner

Bevis 6

La oss bruke noen trigonometriske formler og den første bemerkelsesverdige grensen for å utlede formelen for den deriverte av en trigonometrisk funksjon.

I henhold til definisjonen av den deriverte av sinusfunksjonen får vi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formelen for forskjellen av sinus vil tillate oss å utføre følgende handlinger:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Til slutt bruker vi den første fantastiske grensen:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Så den deriverte av funksjonen synd x vilje fordi x.

Vi vil også bevise formelen for derivatet av cosinus:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

De. den deriverte av funksjonen cos x vil være – synd x.

Vi utleder formlene for derivatene av tangent og cotangens basert på reglene for differensiering:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivater av inverse trigonometriske funksjoner

Derivatseksjon inverse funksjoner gir omfattende informasjon om beviset for formlene for derivatene av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent, så vi vil ikke duplisere materialet her.

Derivater av hyperbolske funksjoner

Bevis 7

Vi kan utlede formlene for de deriverte av den hyperbolske sinus, cosinus, tangens og cotangens ved å bruke differensieringsregelen og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater.

De leserne som har et lavt nivå av forberedelse bør henvise til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger, som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon, forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen er logisk den tredje i rekken, og etter å ha mestret den vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Ja, det er nok», siden alle eksempler og løsninger er hentet fra ekte tester og blir ofte møtt i praksis.

La oss starte med repetisjon. I klassen Derivat av en kompleks funksjon Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. I løpet av å studere differensialregning og andre grener av matematisk analyse, må du differensiere veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest passende "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel:

I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er et slikt detaljert opptak som oftest ikke nødvendig, det antas at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss forestille oss at klokken 3 om morgenen ringte telefonen og en hyggelig stemme spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar: .

Det første eksemplet vil umiddelbart være ment for uavhengig løsning.

Eksempel 1

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt Derivat av en kompleks funksjon.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Høyre FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil, minner jeg deg om en nyttig teknikk: vi tar for eksempel den eksperimentelle verdien av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne verdien med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den mest eksterne funksjonen er kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon vil bli brukt i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produktet av tre faktorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først, la oss se om det er mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? Hvis vi for eksempel hadde to polynomer i produktet, kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med "y" betegner produktet av to funksjoner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og ta noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når en "forferdelig" logaritme foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå langt ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet fra en brøkkraft, og da også fra en brøk.

Det er derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke kjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotatbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva skal jeg gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Note : fordi en funksjon kan ta negative verdier, så generelt sett må du bruke moduler: , som vil forsvinne som følge av differensiering. Nåværende design er imidlertid også akseptabelt, hvor det som standard er tatt hensyn til kompleks betydninger. Men hvis i all strenghet, så i begge tilfeller bør det tas forbehold om det.

Nå må du "oppløse" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du være i stand til å håndtere den trygt.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved magi tryllestav vi har en derivat. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign av et eksempel av denne typen er på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi har ikke vurdert denne funksjonen ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Et klassisk eksempel som vil bli gitt til deg i enhver lærebok eller forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potens-eksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert i henhold til standardformelen .

Vi finner den deriverte for å gjøre dette, vi omslutter begge deler under streker:

Ytterligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene til eksempel nr. 11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver Power-eksponentialfunksjonen vil alltid være mer kompleks enn eksemplet diskutert i forelesningen.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og vi bruker selvfølgelig den kjente regelen :

Bevis og utledning av formlene for den deriverte av eksponentialen (e til x-potensen) og eksponentialfunksjonen (a til x-potensen). Eksempler på beregning av derivater av e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater av høyere orden.

Innhold

Se også: Eksponentiell funksjon - egenskaper, formler, graf
Eksponent, e til x potens - egenskaper, formler, graf

Grunnleggende formler

Den deriverte av en eksponent er lik eksponenten selv (den deriverte av e til x-potensen er lik e til x-potensen):
(1) (e x )′ = e x.

Den deriverte av en eksponentiell funksjon med en base a er lik funksjonen i seg selv multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2) .

En eksponentiell er en eksponentiell funksjon hvis grunntall er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig tall eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.

Avledning av eksponentiell derivatformel

Tenk på eksponentialen, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle.
(3) .

La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x.
Per definisjon er derivatet følgende grense: La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette trenger vi følgende fakta:
(4) ;
EN) Eksponentegenskap:
(5) ;
B) Egenskapen til logaritmen:
(6) .
I)
Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon: Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
(7) .

G)
;
.

Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
La oss bruke disse fakta til vår grense (3). Vi bruker eiendom (4):
.
La oss gjøre en erstatning.
.

Så ; .
.

På grunn av kontinuiteten til eksponentialen,
Derfor, når , .
.

Som et resultat får vi:
.
La oss gjøre en erstatning.
.

Så . Kl , . Og vi har:

La oss bruke logaritme-egenskapen (5):

.
(8)
Definert for alle.

La oss transformere formel (8). For å gjøre dette vil vi bruke egenskapene til eksponentialfunksjonen og logaritmen.
;
.
Så vi transformerte formel (8) til følgende form:
.

Høyere ordens deriverte av e i x-potensen

La oss nå finne derivater av høyere ordener. La oss først se på eksponenten:
(14) .
(1) .

Vi ser at den deriverte av funksjon (14) er lik funksjon (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
.

Høyere ordens deriverte av eksponentialfunksjonen

La oss nå vurdere eksponentiell funksjon med kraftbase a:
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(15) .

Ved å differensiere (15), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Vi ser at hver differensiering fører til multiplikasjon av den opprinnelige funksjonen med .
.

Derfor har den n-te ordens deriverte følgende form: