›

Ligning av en rett linje i segmenter i rommet. Rett linje

Linjeligning av formen , hvor en Og b– noen andre reelle tall enn null kalles ligning av en rett linje i segmenter. Dette navnet er ikke tilfeldig, siden de absolutte verdiene av tall EN Og b lik lengdene på segmentene som den rette linjen skjærer av på koordinataksene Okse Og Oy henholdsvis (segmenter telles fra origo). Dermed gjør ligningen av en linje i segmenter det enkelt å konstruere denne linjen i en tegning. For å gjøre dette bør du markere punktene med koordinater og i et rektangulært koordinatsystem på planet, og bruke en linjal for å koble dem med en rett linje.

La oss for eksempel konstruere en rett linje gitt av en ligning i segmenter av formen . Merk punktene og koble dem sammen.

Du kan få detaljert informasjon om denne typen ligning for en linje på et plan i artikkelligningen for en linje i segmenter.

Toppen av siden

Slutt på arbeidet -

Dette emnet tilhører seksjonen:

Algebra og analytisk geometri. Konseptet med en matrise, operasjoner på matriser og deres egenskaper

Konseptet med en matrise er operasjoner på matriser og deres egenskaper.. en matrise er en rektangulær tabell som består av tall som ikke kan være.. og matriseaddisjon er en element-vis operasjon..

Hvis du trenger tilleggsmateriale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database med verk:

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

Alle emner i denne delen:

Definisjon av differensiabilitet
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering av en funksjon. En funksjon sies å være differensierbar på et tidspunkt hvis den har en endelig derivert på det punktet, og

Regel for differensiering
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Geometrisk betydning av derivat. Tangentligning
Helningsvinkelen til en rett linje y = kx+b er vinkelen målt fra posisjonen

Geometrisk betydning av den deriverte av en funksjon i et punkt
La oss vurdere sekanten AB til grafen til funksjonen y = f(x) slik at punktene A og B har henholdsvis koordinater

Løsning
Funksjonen er definert for alle reelle tall. Siden (-1; -3) er et tangenspunkt, altså

Nødvendige forhold for et ekstremum og tilstrekkelige forhold for et ekstremum
Definisjon av en økende funksjon. Funksjonen y = f(x) øker på intervallet X hvis for noen

Tilstrekkelige tegn på et ekstremum av en funksjon
For å finne maksima og minima for en funksjon, kan du bruke hvilket som helst av de tre tilstrekkelige tegnene på et ekstremum. Selv om den mest vanlige og praktiske er den første.


Grunnleggende egenskaper til et bestemt integral. Eiendom 1. Avledet av bestemt integral ved den øvre grensen er lik integranden som i stedet for en variabel er integrert

Newton-Leibniz formel (med bevis)
Newton-Leibniz formel. La funksjonen y = f(x) være kontinuerlig på et intervall og F(x) være en av antiderivertene til funksjonen på dette intervallet, så ligningen

Ligning av en rett linje på et plan.
Retningsvektoren er rett. Normal vektor

En rett linje på et plan er en av de enkleste geometriske figurene, kjent for deg fra barneskolen, og i dag vil vi lære å håndtere det ved hjelp av metodene for analytisk geometri. For å mestre materialet må du kunne bygge en rett linje; vite hvilken ligning som definerer en rett linje, spesielt en rett linje som går gjennom opprinnelsen til koordinater og rette linjer parallelt med koordinataksene. Denne informasjonen finner du i manualen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner, Jeg opprettet den for Mathan, men delen om den lineære funksjonen viste seg å være veldig vellykket og detaljert. Derfor, kjære tekanner, varm opp der først. I tillegg må du ha grunnleggende kunnskap om vektorer, ellers vil forståelsen av materialet være ufullstendig.

I denne leksjonen skal vi se på måter du kan lage en likning av en rett linje på et plan. Jeg anbefaler å ikke forsømme praktiske eksempler (selv om det virker veldig enkelt), siden jeg vil gi dem elementære og viktige fakta, tekniske teknikker som vil være nødvendige i fremtiden, inkludert i andre deler av høyere matematikk.

  • Hvordan skrive en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient?
  • Hvordan ?
  • Hvordan finne en retningsvektor ved å bruke den generelle ligningen for en rett linje?
  • Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

og vi begynner:

Ligning av en rett linje med helning

Den velkjente "skole"-formen av en rettlinjeligning kalles ligning av en rett linje med helning. For eksempel, hvis en rett linje er gitt av ligningen, er stigningstallet: . La oss vurdere den geometriske betydningen av denne koeffisienten og hvordan verdien påvirker plasseringen av linjen:

I et geometrikurs er det bevist at helningen til den rette linjen er lik tangens av vinkelen mellom positiv akseretningog denne linjen: , og vinkelen "skruer av" mot klokken.

For ikke å rote tegningen, tegnet jeg vinkler kun for to rette linjer. La oss vurdere den "røde" linjen og dens skråning. I henhold til ovenstående: (“alfa”-vinkelen er indikert med en grønn bue). For den «blå» rette linjen med vinkelkoeffisienten er likheten sann («beta»-vinkelen er indikert med en brun bue). Og hvis tangenten til vinkelen er kjent, er den om nødvendig lett å finne og selve hjørnet ved å bruke den inverse funksjonen - arctangens. Som de sier, en trigonometrisk tabell eller en mikrokalkulator i hendene. Dermed, vinkelkoeffisienten karakteriserer graden av helning av den rette linjen til abscisseaksen.

Følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis helningen er negativ: så går linjen, grovt sett, fra topp til bunn. Eksempler er de "blå" og "bringebær" rette linjene på tegningen.

2) Hvis helningen er positiv: så går linjen fra bunn til topp. Eksempler - "svarte" og "røde" rette linjer i tegningen.

3) Hvis helningen er null: , så tar ligningen formen , og den tilsvarende rette linjen er parallell med aksen. Et eksempel er den "gule" rette linjen.

4) For en familie av linjer parallelle med en akse (det er ikke noe eksempel på tegningen, bortsett fra selve aksen), vinkelkoeffisienten eksisterer ikke (tangens på 90 grader er ikke definert).

Jo større helningskoeffisienten er i absolutt verdi, desto brattere går grafen med rett linje..

Tenk for eksempel på to rette linjer. Her har derfor den rette linjen en brattere helning. La meg minne deg på at modulen lar deg ignorere skiltet, vi er kun interessert i absolutte verdier vinkelkoeffisienter.

På sin side er en rett linje brattere enn rette linjer .

Omvendt: jo mindre helningskoeffisienten er i absolutt verdi, jo flatere er den rette linjen.

For rette linjer ulikheten er sann, dermed er den rette linjen flatere. Barnas sklie, for ikke å gi deg selv blåmerker og støt.

Hvorfor er dette nødvendig?

Forleng plagene. Kjennskap til faktaene ovenfor lar deg umiddelbart se feilene dine, spesielt feil når du konstruerer grafer - hvis tegningen viser seg å være "åpenbart noe galt." Det er tilrådelig at du med en gang det var tydelig at for eksempel den rette linjen er veldig bratt og går fra bunn til topp, og den rette linjen er veldig flat, presset tett inntil aksen og går fra topp til bunn.

I geometriske problemer vises ofte flere rette linjer, så det er praktisk å utpeke dem på en eller annen måte.

Betegnelser: rette linjer er angitt med små latinske bokstaver: . Et populært alternativ er å utpeke dem ved å bruke samme bokstav med naturlige abonnementer. For eksempel kan de fem linjene vi nettopp har sett på, betegnes med .

Siden enhver rett linje er unikt bestemt av to punkter, kan den betegnes med disse punktene: etc. Betegnelsen innebærer klart at punktene tilhører linjen.

Det er på tide å varme opp litt:

Hvordan skrive en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient?

Hvis et punkt som tilhører en viss linje og vinkelkoeffisienten til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Eksempel 1

Skriv en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient hvis det er kjent at punktet tilhører denne rette linjen.

Løsning: La oss komponere ligningen til den rette linjen ved hjelp av formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Undersøkelse gjøres enkelt. Først ser vi på den resulterende ligningen og sørger for at helningen vår er på plass. For det andre må koordinatene til punktet tilfredsstille denne ligningen. La oss koble dem inn i ligningen:

Den korrekte likheten oppnås, som betyr at punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Konklusjon: Ligningen ble funnet riktig.

Et mer vanskelig eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 2

Skriv en ligning for en rett linje hvis det er kjent at dens helningsvinkel til den positive retningen av aksen er , og punktet tilhører denne rette linjen.

Hvis du har problemer, les det teoretiske materialet på nytt. Mer presist, mer praktisk, hopper jeg over mange bevis.

Den siste klokken har ringt, konfirmasjonsseremonien er avsluttet, og utenfor portene til vår hjemlige skole venter selve analytisk geometri på oss. Vitsene er over... Eller kanskje de bare har begynt =)

Vi vinker nostalgisk med pennen til det kjente og blir kjent med den generelle ligningen for en rett linje. For i analytisk geometri er dette akkurat det som brukes:

Den generelle ligningen for en rett linje har formen: , hvor er noen tall. Samtidig er koeffisientene samtidig er ikke lik null, siden ligningen mister sin betydning.

La oss kle oss i en dress og binde ligningen med helningskoeffisienten. Først, la oss flytte alle begrepene til venstre side:

Begrepet med "X" må settes på første plass:

I prinsippet har ligningen allerede formen , men i henhold til reglene for matematisk etikette må koeffisienten til første ledd (i dette tilfellet) være positiv. Skiftende tegn:

Husk denne tekniske funksjonen! Vi gjør den første koeffisienten (oftest) positiv!

I analytisk geometri vil ligningen til en rett linje nesten alltid være gitt i generell form. Vel, om nødvendig kan det enkelt reduseres til "skole" -formen med en vinkelkoeffisient (med unntak av rette linjer parallelt med ordinataksen).

La oss spørre oss selv hva nok vet å konstruere en rett linje? To poeng. Men mer om denne barndomshendelsen, holder nå regelen med piler. Hver rett linje har en veldig spesifikk helning, som er lett å "tilpasse seg" til. vektor.

En vektor som er parallell med en linje kalles retningsvektoren til den linjen. Det er åpenbart at enhver rett linje har et uendelig antall retningsvektorer, og alle vil være kollineære (samretningsbestemt eller ikke - det spiller ingen rolle).

Jeg vil betegne retningsvektoren som følger: .

Men én vektor er ikke nok til å konstruere en rett linje; vektoren er fri og ikke bundet til noe punkt på planet. Derfor er det i tillegg nødvendig å kjenne til et punkt som hører til linjen.

Hvordan skrive en likning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor?

Hvis et punkt som tilhører en linje og retningsvektoren til denne linjen er kjent , så kan ligningen til denne linjen kompileres ved hjelp av formelen:

Noen ganger kalles det kanonisk ligning av linjen .

Hva du skal gjøre når en av koordinatene er lik null, vil vi forstå i praktiske eksempler nedenfor. Vær forresten oppmerksom på - begge på en gang koordinater kan ikke være lik null, siden nullvektoren ikke spesifiserer en bestemt retning.

Eksempel 3

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor

Løsning: La oss komponere ligningen av en rett linje ved hjelp av formelen. I dette tilfellet:

Ved å bruke proporsjonsegenskapene blir vi kvitt brøker:

Og vi bringer ligningen til sin generelle form:

Svar:

Som regel er det ikke nødvendig å lage en tegning i slike eksempler, men for forståelsens skyld:

På tegningen ser vi utgangspunktet, den opprinnelige retningsvektoren (den kan plottes fra et hvilket som helst punkt på planet) og den konstruerte rette linjen. Forresten, i mange tilfeller er det mest praktisk å konstruere en rett linje ved å bruke en ligning med en vinkelkoeffisient. Det er lett å transformere ligningen vår til form og enkelt velge et annet punkt for å konstruere en rett linje.

Som nevnt i begynnelsen av avsnittet har en rett linje uendelig mange retningsvektorer, og alle er kollineære. For eksempel tegnet jeg tre slike vektorer: . Uansett hvilken retningsvektor vi velger, vil resultatet alltid være den samme rette linjeligningen.

La oss lage en likning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Å løse andelen:

Del begge sider med –2 og få den kjente ligningen:

Interesserte kan teste vektorer på samme måte eller en hvilken som helst annen kolineær vektor.

La oss nå løse det omvendte problemet:

Hvordan finne en retningsvektor ved å bruke den generelle ligningen for en rett linje?

Veldig enkelt:

Hvis en linje er gitt av en generell ligning, er vektoren retningsvektoren til denne linjen.

Eksempler på å finne retningsvektorer for rette linjer:

Utsagnet lar oss finne bare én retningsvektor av et uendelig antall, men vi trenger ikke mer. Selv om det i noen tilfeller er tilrådelig å redusere koordinatene til retningsvektorene:

Således spesifiserer ligningen en rett linje som er parallell med aksen, og koordinatene til den resulterende retningsvektoren er praktisk delt med –2, og oppnår nøyaktig basisvektoren som retningsvektoren. Logisk.

Tilsvarende spesifiserer ligningen en rett linje parallelt med aksen, og ved å dele koordinatene til vektoren med 5 får vi enhetsvektoren som retningsvektoren.

La oss nå gjøre det sjekke eksempel 3. Eksemplet gikk opp, så jeg minner deg om at vi i det kompilerte ligningen for en rett linje ved å bruke et punkt og en retningsvektor

for det første, ved å bruke ligningen til den rette linjen rekonstruerer vi retningsvektoren: – alt er bra, vi har mottatt den opprinnelige vektoren (i noen tilfeller kan resultatet være en kollineær vektor til den opprinnelige, og dette er vanligvis lett å legge merke til ved proporsjonaliteten til de tilsvarende koordinatene).

for det andre, må koordinatene til punktet tilfredsstille ligningen. Vi setter dem inn i ligningen:

Det ble oppnådd riktig likestilling, noe vi er veldig glade for.

Konklusjon: Oppgaven ble utført på riktig måte.

Eksempel 4

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen. Det er sterkt tilrådelig å sjekke ved å bruke algoritmen som nettopp ble diskutert. Prøv å alltid (hvis mulig) sjekke et utkast. Det er dumt å gjøre feil der de kan unngås 100 %.

I tilfelle at en av koordinatene til retningsvektoren er null, fortsett veldig enkelt:

Eksempel 5

Løsning: Formelen er ikke egnet siden nevneren på høyre side er null. Det er en utgang! Ved å bruke proporsjonsegenskapene omskriver vi formelen i skjemaet, og resten rullet langs et dypt spor:

Svar:

Undersøkelse:

1) Gjenopprett retningsvektoren til den rette linjen:
– den resulterende vektoren er kollineær med den opprinnelige retningsvektoren.

2) Sett inn koordinatene til punktet i ligningen:

Riktig likestilling oppnås

Konklusjon: oppgave fullført riktig

Spørsmålet oppstår, hvorfor bry seg med formelen hvis det er en universell versjon som vil fungere i alle fall? Det er to grunner. For det første er formelen i form av en brøk mye bedre husket. Og for det andre er ulempen med den universelle formelen at risikoen for å bli forvirret øker betydelig når du erstatter koordinater.

Eksempel 6

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

La oss gå tilbake til de allestedsnærværende to punktene:

Hvordan skrive en likning av en rett linje med to punkter?

Hvis to punkter er kjent, kan ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene kompileres ved hjelp av formelen:

Faktisk er dette en type formel, og her er hvorfor: hvis to punkter er kjent, vil vektoren være retningsvektoren til den gitte linjen. På timen Vektorer for dummies vi vurderte det enkleste problemet - hvordan finne koordinatene til en vektor fra to punkter. I følge dette problemet er koordinatene til retningsvektoren:

Merk : poengene kan "byttes" og formelen kan brukes. En slik løsning vil være likeverdig.

Eksempel 7

Skriv en likning av en rett linje med to punkter .

Løsning: Vi bruker formelen:

Kombiner nevnerne:

Og stokk dekk:

Nå er tiden inne for å bli kvitt brøktall. I dette tilfellet må du multiplisere begge sider med 6:

Åpne parentesene og kom i tankene om ligningen:

Svar:

Undersøkelse er åpenbart - koordinatene til de første punktene må tilfredsstille den resulterende ligningen:

1) Bytt ut koordinatene til punktet:

Ekte likestilling.

2) Bytt ut koordinatene til punktet:

Ekte likestilling.

Konklusjon: Linjens ligning er skrevet riktig.

Hvis minst en av punktene ikke tilfredsstiller ligningen, se etter en feil.

Det er verdt å merke seg at grafisk verifisering i dette tilfellet er vanskelig, siden konstruer en rett linje og se om punktene tilhører den , ikke så enkelt.

Jeg vil legge merke til et par flere tekniske aspekter ved løsningen. Kanskje i dette problemet er det mer lønnsomt å bruke speilformelen og på de samme punktene lag en ligning:

Færre brøker. Hvis du vil, kan du utføre løsningen til slutten, resultatet skal være den samme ligningen.

Det andre punktet er å se på det endelige svaret og finne ut om det kan forenkles ytterligere? For eksempel, hvis du får ligningen , så er det tilrådelig å redusere den med to: – ligningen vil definere den samme rette linjen. Dette er imidlertid allerede et samtaleemne om relative plasseringen av linjer.

Etter å ha fått svaret i eksempel 7, for sikkerhets skyld, sjekket jeg om ALLE koeffisientene til ligningen er delbare med 2, 3 eller 7. Selv om det oftest gjøres slike reduksjoner under løsningen.

Eksempel 8

Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktene .

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, som lar deg bedre forstå og øve på beregningsteknikker.

I likhet med forrige avsnitt: hvis i formelen en av nevnerne (koordinaten til retningsvektoren) blir null, så skriver vi den om i formen . Igjen, legg merke til hvor vanskelig og forvirret hun ser ut. Jeg ser ikke så mye poeng i å gi praktiske eksempler, siden vi faktisk allerede har løst dette problemet (se nr. 5, 6).

Direkte normalvektor (normalvektor)

Hva er normalt? Med enkle ord, normal er vinkelrett. Det vil si at normalvektoren til en linje er vinkelrett på en gitt linje. Det er klart at enhver rett linje har et uendelig antall av dem (så vel som retningsvektorer), og alle de normale vektorene til den rette linjen vil være kollineære (samdireksjonelle eller ikke, det spiller ingen rolle).

Å håndtere dem vil være enda enklere enn med guidevektorer:

Hvis en linje er gitt av en generell ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren normalvektoren til denne linjen.

Hvis koordinatene til retningsvektoren må "trekkes ut" forsiktig fra ligningen, kan koordinatene til normalvektoren ganske enkelt "fjernes".

Normalvektoren er alltid ortogonal på retningsvektoren til linjen. La oss verifisere ortogonaliteten til disse vektorene ved å bruke prikkprodukt:

Jeg vil gi eksempler med de samme ligningene som for retningsvektoren:

Er det mulig å konstruere en likning av en rett linje gitt ett punkt og en normalvektor? Jeg kjenner det i magen, det er mulig. Hvis normalvektoren er kjent, er retningen til selve den rette linjen klart definert - dette er en "stiv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

Hvis et bestemt punkt som tilhører en linje og normalvektoren til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Her løste alt seg uten brøker og andre overraskelser. Dette er vår normale vektor. Elsker han. Og respekt =)

Eksempel 9

Skriv en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til linjen.

Løsning: Vi bruker formelen:

Den generelle ligningen for den rette linjen er oppnådd, la oss sjekke:

1) "Fjern" koordinatene til normalvektoren fra ligningen: – ja, faktisk, den opprinnelige vektoren ble hentet fra tilstanden (eller en kollineær vektor bør oppnås).

2) La oss sjekke om punktet tilfredsstiller ligningen:

Ekte likestilling.

Etter at vi er overbevist om at ligningen er riktig komponert, vil vi fullføre den andre, lettere delen av oppgaven. Vi tar ut retningsvektoren til den rette linjen:

Svar:

På tegningen ser situasjonen slik ut:

For opplæringsformål, en lignende oppgave for å løse selvstendig:

Eksempel 10

Skriv en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til linjen.

Den siste delen av leksjonen vil bli viet til mindre vanlige, men også viktige typer ligninger av en linje på et plan

Ligning av en rett linje i segmenter.
Ligning av en linje i parametrisk form

Ligningen av en rett linje i segmenter har formen , hvor er konstanter som ikke er null. Noen typer ligninger kan ikke representeres i denne formen, for eksempel direkte proporsjonalitet (siden frileddet er lik null og det er ingen måte å få en på høyre side).

Dette er, billedlig talt, en "teknisk" type ligning. En vanlig oppgave er å representere den generelle ligningen til en linje som en ligning av en linje i segmenter. Hvordan er det praktisk? Ligningen av en linje i segmenter lar deg raskt finne skjæringspunktene til en linje med koordinatakser, noe som kan være svært viktig i noen problemer med høyere matematikk.

La oss finne skjæringspunktet mellom linjen og aksen. Vi tilbakestiller "y" til null, og ligningen har formen . Det ønskede punktet oppnås automatisk: .

Samme med aksen – punktet der den rette linjen skjærer ordinataksen.

Oppgave 1 #6713

Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen

\[\begin(cases) \sqrt((x+2)^2+y^2)+\sqrt(x^2+(y-a)^2)=\sqrt(4+a^2)\\ 5y= |6-a^2| \end(cases)\]

har en unik løsning.

(Oppgave fra abonnenter)

La oss vurdere den andre ligningen til systemet: den spesifiserer en familie av rette linjer \(y=0.2|6-a^2|\) parallelle med aksen \(Ox\) og som ligger i det øvre halvplanet (inkludert akse \(Ox\)) for en hvilken som helst verdiparameter \(a\) (siden modulen alltid er ikke-negativ).

La oss se på den første ligningen. La \(A(x;y)\) , \(B(-2;0)\) , \(C(0;a)\) være punkter. Deretter \(BA=\sqrt((x+2)^2+y^2)\) , \(AC=\sqrt(x^2+(y-a)^2)\) , \(BC=\sqrt( 4+a^2)\) .
Dermed ser den første ligningen til systemet slik ut: \(BA+AC=BC\) . Dette betyr at den spesifiserer lokuset til punktene \(A\) som ligger på segmentet \(BC\) .

For at dette systemet skal ha en unik løsning, må den rette linjen \(y=0.2|6-a^2|\) krysse segmentet \(BC\) i ett punkt.

1) La \(a<0\) , то есть точка \(C\) лежит на отрицательной части оси \(Oy\) . Единственный случай, когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет проходить через точку \(B\) , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда \(0,2|6-a^2|=0\) , следовательно, \(a=\pm \sqrt6\) . Так как \(a<0\) , то \(a=-\sqrt6\) .

2) La \(a=0\) . Da ligger segmentet \(BC\) på x-aksen, den rette linjen \(y=0.2|6-a^2|\) ligger i det øvre halvplanet, og de har ingen felles punkter.

3) La \(a>0\) . Da ligger \(C\) på den positive retningen til ordinaten.


Den rette linjen \(y=0.2|6-a^2|\) skjærer ordinataksen i punktet \(D\) . For at en rett linje skal skjære segmentet \(BC\), er det nødvendig at punktet \(C\) ikke er lavere enn punktet \(D\), det vil si \

La oss løse denne ulikheten. Fordi \(a>0\), så har vi: \[|6-a^2|\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad -5a\leqslant 6-a^2\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant a\leqslant 6.\]

Svar:

\(a\in\(-\sqrt6\)\kopp\)

Oppgave 2 #3978

Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen

Finn alle verdiene til parameteren \(a\) , for hver av disse systemet \[\begin(cases) y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0\\ \sqrt((x-a)^2+y^2)+\sqrt((x-a)^ 2+(y-3)^2)=3 \end(cases)\] har akkurat én løsning.

La oss transformere den første ligningen i systemet. Legg merke til at \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\) . Legg også merke til at \(a+2+a-1=2a+1\) , derfor, ifølge Vietas teorem, vil røttene til denne ligningen være \(y=a+2\) og \(y=a-1 \) . Dette betyr at grafen til den første ligningen vil være to rette linjer \(y=a+2\) og \(y=a-1\) parallelle med abscisseaksen.

La oss transformere den andre ligningen. Tenk på punktene \(A(a;0)\) , \(B(a;3)\) , \(C(x;y)\) . Deretter \(AB=\sqrt((a-a)^2+(0-3)^2)=3\), \(AC=\sqrt((x-a)^2+y^2)\) og \(CB=\sqrt((x-a)^2+(y-3)^2)\) . Derfor kan den andre ligningen til systemet omskrives som \(AC+CB=AB\) . Dette betyr at den spesifiserer settet med punkter \(C\) som ligger på segmentet \(AB\) . Merk at siden punktene \(A\) og \(B\) har samme abscisse, er segmentet \(AB\) vinkelrett på abscisseaksen.

Skjematisk ser grafene til begge ligningene slik ut:

For at systemet skal ha en unik løsning, må den grønne grafen krysse segmentet \(AB\) på ett punkt. Følgelig skjærer enten linjen \(y=a+2\) segmentet, men linjen \(y=a-1\) skjærer det ikke, eller omvendt: \[\venstre[\begin(samlet)\begin(justert) &\begin(cases) 0\leqslant a+2\leqslant 3\\ a-1<0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3\end(cases)\end(aligned)\end(samlet)\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-2;1)\cup(1;4]\]

Svar:

\([-2;1)\kopp(1;4]\)

Oppgave 3 #3979

Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen

Finn den minste verdien av parameteren \(a\) der ligningen \[\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)=13a\] har minst én rot.

1 vei.

La oss vurdere \(f(x)=\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)\).
Da vil ligningen ha formen \(f(x)=13a\) . Da må vi finne den minste verdien \(a\) der den rette linjen \(y=13a\) vil skjære grafen \(y=f(x)\) i minst ett punkt. La oss utforske \(f(x)\) . For å gjøre dette finner vi først dens deriverte: \[\begin(justert) &f"(x)=\dfrac(2(x+8)+2(x+2))(2\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2 ))+ \dfrac(2(x+14)+2(x+3))(2\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2))=\\ &=\dfrac( 2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x+14)^2+(x+3) ^2))\end(justert)\] La oss finne nullene til den deriverte: \[\begin(justert) &\dfrac(2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x) +14)^2+(x+3)^2))=0 \quad\venstrepil\\ &\sqrt(\dfrac((x+14)^2+(x+3)^2)((x+ 8) )^2+(x+2)^2))=-\dfrac(2x+17)(2x+10) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) \dfrac((x+14)^2 + (x+3)^2)((x+8)^2+(x+2)^2)=\venstre(\dfrac(2x+17)(2x+10)\høyre)^2 \qquad ( * )\\ \dfrac(2x+17)(2x+10)\leqslant 0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) 85x^2+598x+424=0\\ x\in \ venstre[-8,5; -5\right) \end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ & x=-\dfrac(106)(17) \end(aligned)\]

La oss bestemme tegnene til den deriverte:


Derfor ser den skjematiske grafen for funksjonen slik ut:


Følgelig er minimumsverdien til parameteren \(a\) når den rette linjen \(y=13a\) går gjennom ekstremumpunktet til funksjonen \(f(x)\) : \

Metode 2.

Legg merke til at i den første metoden var det mange beregninger og faktisk var vi heldige at når vi løste ligningen \((*)\) ble leddene med \(x^4\) og \(x^3\) avbrutt, og vi kom til kvadratisk ligning. Men hva om tallene ikke er valgt så godt og vi ikke ender opp med en "vakker" ligning som vi kan løse?
La oss se på den andre måten å løse slike ligninger på.

Tenk på tre punkter: \(A(x;x)\) , \(B(-8, -2)\) , \(C(-14, -3)\) . Da vil ligningen ha formen \ Hvis vi trenger å finne den minste verdien av parameteren \(a\) der ligningen har minst én løsning, må vi finne punktet \(A\) hvor summen av lengdene til segmentene \(AB\) og \ (AC\) vil være den minste.
Hvor er punktet \(A\) plassert? Dette punktet "løper" langs den rette linjen \(y=x\) . Grafisk ser det slik ut:


Her vil vi bruke den klassiske ideen om planimetri. La oss reflektere punktet \(B\) symmetrisk i forhold til linjen \(y=x\) (det vil si at vi tegner \(BB"\perp y=x\) , hvor \(BH=HB"\) :


Deretter \(AB+AC=AB"+AC\). Merk at i henhold til trekantregelen, hvis punktet \(A\) ikke ligger på segmentet \(B"C\), så \(AB"+ AC>B" C\) . Derfor vil den minste summen av lengder \(AB"+AC\) oppnås når \(A\in B"C\) .


Dermed forsto vi ideologisk hvor punktet \(A\) skulle være. Nå gjenstår det bare å finne koordinatene.

1) Finn koordinatene til punktet \(B"\) .
For å gjøre dette finner vi først ligningen til den rette linjen \(BB"\). Siden \(BB"\perp y=x\), så hvis ligningen til den rette linjen \(BB"\) har formen \(y=kx+b\) , deretter \(k\cdot 1=-1\) (produktet av vinkelkoeffisientene til to innbyrdes perpendikulære linjer er lik \(-1\)) Derfor, \(y= -x+b\) .
For å finne tallet \(b\), må du erstatte koordinatene til punktet \(B\) i ligningen til linjen: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\] Derfor har ligningen for den rette linjen formen \(y=-x-10\) .
La oss finne koordinatene til punktet \(H\) - dette er skjæringspunktet for linjene \(y=x\) og \(y=-x-10\) : \[\begin(cases) y=x\\ y=-x-10\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5,-5)\ ]\(H\) er midten av segmentet \(BB"\). Dette betyr at hvis koordinatene til punktet \(B"\) er lik \((x_0;y_0)\), så \[\begin(cases) -5=\dfrac(-8+x_0)2\\ -5=\dfrac(-2+y_0)2\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x_0 =-2\\ y_0=-8\end(cases)\] Dermed \(B"(-2;-8)\) .

2) Finn ligningen til linjen \(B"C\). Hvis ligningen til denne linjen er i generelt syn ser ut som \(y=mx+n\) , da \[\begin(cases) -8=-2m+n\\ -3=-14m+n\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) m=-\dfrac5(12)\\ n =-\dfrac(53)6\end(cases)\] Derfor, \(y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\) . Nå kan du finne koordinatene til punktet \(A\) - dette er skjæringspunktet for linjene \(y=x\) og \(B"C\): \[\begin(cases) y=x\\ y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac(106)( 17)\]

3) Nå kan du finne verdien av parameteren \(a\) . \

Hva er bra med denne metoden? For det første er det mer elegant. For det andre, i løpet av løsningen vi bare møtte lineære ligninger, som er mye lettere å løse.

Svar:

\(a=1\)

Oppgave 4 #3909

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Finn alle verdiene for parameteren \(a\) som systemet for \[\begin(cases) x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|\\ x+y=a\end(cases)\]

har mer enn to løsninger.

La oss tegne en graf av den første ligningen. For å gjøre dette, vurder sakene:

1) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Deretter vil ligningen ta formen \ Så i dette tilfellet får vi følgende graf:

2) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Deretter: \ Dette betyr at grafen for de to første tilfellene vil se slik ut:

3) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Deretter vil ligningen ha formen: \ Derfor vil det også bli lagt til:

4) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Da har vi: \ Grafen vil være den samme parabelen som i trinn 3, bare med aksene endret:

Grafen til \(x+y=a\) for hver faste \(a\) er linjen \(y=-x+a\), det vil si en linje parallelt med \(y=-x\) ( og også parallelt med en del av linjen \(y=1-x\) fra punkt 1).
For at systemet skal ha mer enn to løsninger, er det nødvendig at den rette linjen \(y=-x+a\) er i posisjoner fra (1) (ikke inkluderende) til (2) (inklusive):

Faktisk, når linjen er i posisjon (2), vil systemet ha et uendelig antall løsninger (nemlig en del av linjen \(y=1-x\) med \(x\in (-\infty;-1]\kopp\]

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Et uendelig antall rette linjer kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter kan en enkelt rett linje trekkes.

To divergerende linjer i et plan enten krysser hverandre i et enkelt punkt eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer relativ posisjon to rette linjer:

  • linjer krysser hverandre;
  • linjer er parallelle;
  • rette linjer krysser hverandre.

Rett linje— algebraisk kurve av første orden: en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en rett linje går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av hvilken som helst gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C

La oss erstatte koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket Vi får: 3 - 2 + C = 0, derfor

C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x - y - 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Deretter ligning av en linje,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt skråningen rett.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor av en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for en rett linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med -С:

eller hvor

Geometrisk betydning koeffisienter er at koeffisient a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med akse Åh, EN b- koordinat for skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje.

Hvis begge sider av ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tall som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ*C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til den rette linjen,

EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligningen for linjen er gitt 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive forskjellige typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helningen: (del med 5)

Ligning av en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkelen mellom rette linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallell når koeffisientene er proporsjonale

A 1 = λA, B 1 = λB. Hvis også С 1 = λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. Linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstand fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et poeng er gitt M(x 0, y 0), deretter avstanden til den rette linjen Axe + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og kl 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen til systemet er ligningen til linjen som går gjennom gitt poeng M 0 vinkelrett

gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Ligning av en linje i segmenter

La den generelle ligningen for en rett linje gis:

Ligningen av en rett linje i segmenter, hvor er segmentene som den rette linjen skjærer av på de tilsvarende koordinataksene.

Konstruer en rett linje gitt av den generelle ligningen:

Fra hvilken vi kan konstruere en ligning av denne linjen i segmenter:

Den relative plasseringen av linjer på et plan.

Uttalelse 1.

For rette linjer og gitt ved ligninger:

Tilfeldigheter er nødvendig og tilstrekkelig slik at:

Bevis: og sammenfaller, retningsvektorene deres og er kollineære, dvs.:

La oss ta punktet M 0 med denne rette linjen, så:

Ved å multiplisere den første ligningen med og legge til den andre med (2) får vi:

Så formlene (2), (3) og (4) er likeverdige. La (2) være tilfredsstilt, da er likningene til systemet (*) ekvivalente; de ​​tilsvarende rette linjene faller sammen.

Uttalelse 2.

Linjene og gitt av ligninger (*) er parallelle og faller ikke sammen hvis og bare hvis:

Bevis:

Selv om de ikke samsvarer:

Inkonsekvent, dvs. ifølge Kronecker-Capelli-teoremet:

Dette er bare mulig hvis:

Det vil si når vilkår (5) er oppfylt.

Når den første likheten (5) er oppfylt, - unnlatelse av å tilfredsstille den andre likheten resulterer i inkompatibilitet av systemet (*) linjene er parallelle og faller ikke sammen.

Merknad 1.

Polar koordinatsystem.

La oss fikse et punkt på flyet og kalle det en stolpe. Strålen som kommer fra polen vil bli kalt polaraksen.

La oss velge en skala for å måle lengdene på segmenter og bli enige om at rotasjonen rundt punktet mot klokken vil bli ansett som positiv. La oss vurdere et hvilket som helst punkt på et gitt plan, angi det med avstanden til polen og kalle det polarradius. Vinkelen som polaraksen skal roteres med slik at den faller sammen med vil bli betegnet med og kalt polarvinkelen.

Definisjon 3.

De polare koordinatene til et punkt er dets polare radius og polarvinkel:

Merknad 2. i stanga. Verdien for andre poeng enn et poeng bestemmes opp til et ledd.

Tenk på et kartesisk rektangulært koordinatsystem: polen sammenfaller med origo, og polaraksen sammenfaller med den positive halvaksen. Her. Deretter:

Hva er forholdet mellom rektangulære kartesiske og polare koordinatsystemer.

Bernoullis lemniscat-ligning. Skriv det til polare system koordinater

Normal ligning for en linje på et plan. La polaraksen falle sammen med, - aksen som går gjennom origo. La være:

La da:

Betingelse (**) for punkt:

Ligning av en rett linje i et polart koordinatsystem.

Her - lengden trukket fra origo til den rette linjen, - helningsvinkelen til normalen til aksen.

Ligning (7) kan skrives om:

Normal ligning for en linje på et plan.