En av de mest brukte av alle Bradis trigonometriske tabeller er sinustabellen. I denne artikkelen vil vi forstå konseptet sinus (sin), lære å finne sinusverdier for forskjellige vinkler (0, 30, 45, 60, 90), og forstå hvorfor en sinustabell er nødvendig.
Tabell over sinus og dens anvendelse
Først må vi minne deg på hva konseptet med sinus av en vinkel betyr.
Sinus - dette er forholdet mellom benet motsatt denne vinkelen og hypotenusen.
Dette gjelder hvis trekanten er rettvinklet.
Standard rettvinklet trekant: sidene a (BC) og b (AC) er ben, side c (AB) er hypotenusen
Eksempel: finn sinusen til vinkelen ⍺ og vinkelen β
sin ⍺ = a/c eller forholdet mellom side BC og side AB. Hvis vi tar vinkelen β, vil side b eller AC anses som motsatt. Hypotenusen i dette tilfellet er den samme - AB. Da:
sin β = b/s eller AC-relasjon AB.
I en rettvinklet trekant alltid 2 ben og bare en hypotenuse
Som du vet, er det 360 heltallsvinkelverdier, men ofte må du beregne verdiene for de mest populære vinklene, for eksempel: sinus 0°, sinus 30°, sinus 45°, sinus 60°, sinus 90. °. Disse verdiene finner du i Bradis-tabellene.
Til tross for at det i 2021 feirer hundreårsjubileet, har ikke Bradis-bordet mistet sin relevans. Spesielt brukes den av arkitekter, designere og konstruktører for å utføre raske mellomberegninger. Bradis-bord er godkjent for bruk i skoler med bestått Unified State-eksamenen, i motsetning til kalkulatorer.
Online kalkulator for å beregne sinus til en vinkel
Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner
Note. Denne tabellen med trigonometriske funksjonsverdier bruker √-tegnet for å indikere kvadratrot. For å indikere en brøk, bruk symbolet "/".
Se også nyttige materialer:
Til bestemme verdien av en trigonometrisk funksjon, finn den i skjæringspunktet mellom linjen som indikerer den trigonometriske funksjonen. For eksempel, sinus 30 grader - vi ser etter kolonnen med overskriften sin (sinus) og finner skjæringspunktet mellom denne tabellkolonnen med raden "30 grader", i skjæringspunktet deres leser vi resultatet - halvparten. Tilsvarende finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (nok en gang, i skjæringspunktet mellom sin-kolonnen og 60-graderslinjen finner vi verdien sin 60 = √3/2), etc. Verdiene til sinus, cosinus og tangenter til andre "populære" vinkler finnes på samme måte.
Sinus pi, cosinus pi, tangent pi og andre vinkler i radianer
Tabellen nedenfor over cosinus, sinus og tangenter er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument er gitt i radianer. For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Takket være dette kan du konvertere verdien av populære vinkler fra grader til radianer. La oss for eksempel finne vinkelen på 60 grader i den første linjen og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π/3 radianer.
Tallet pi uttrykker entydig omkretsens avhengighet av vinkelens gradmål. Dermed er pi-radianer lik 180 grader.
Ethvert tall uttrykt i form av pi (radianer) kan enkelt konverteres til grader ved å erstatte pi (π) med 180.
Eksempler:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dermed er sinusen til pi den samme som sinusen til 180 grader og den er lik null.
2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dermed er cosinus til pi den samme som cosinus på 180 grader, og den er lik minus én.
3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
dermed er tangent pi det samme som tangent 180 grader, og det er lik null.
Tabell over sinus, cosinus, tangentverdier for vinkler 0 - 360 grader (vanlige verdier)
|
vinkel α verdi (grader) |
vinkel α verdi (via pi) |
synd (sinus) |
cos (kosinus) |
tg (tangens) |
ctg (cotangens) |
sek (sekant) |
cosec (cosecant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Hvis det i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner er angitt en strek i stedet for funksjonsverdien (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), så for en gitt verdi av gradmålet for vinkelen funksjonen har ikke en bestemt verdi. Hvis det ikke er noen bindestrek, er cellen tom, noe som betyr at vi ennå ikke har angitt den nødvendige verdien. Vi er interessert i hvilke spørsmål brukere kommer til oss for og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at gjeldende data om verdiene til cosinus, sinus og tangenter til de vanligste vinkelverdiene er ganske tilstrekkelig til å løse de fleste problemer.
Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "i henhold til Bradis-tabeller")
| vinkel α verdi (grader) | vinkel α-verdi i radianer | synd (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangens) | ctg (kotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Finn vinkel etter sinus
Så vi har muligheten til å beregne sinusen til en hvilken som helst vinkel fra 0 til 90° e med to desimaler. Det er ikke behov for et ferdig bord; for omtrentlige beregninger kan vi alltid kompilere det selv hvis vi ønsker det.
Men for å løse trigonometriske problemer, må du kunne gjøre det motsatte - beregne vinkler fra en gitt sinus. Dette er også enkelt. Anta at du må finne en vinkel hvis sinus er lik 0,38. Siden denne sinusen er mindre enn 0,5, er den ønskede vinkelen mindre enn 30°. Men det er større enn 15°, siden sin 15°, vi vet, er lik 0,26. For å finne denne vinkelen, som ligger mellom 15 og 30°, fortsetter vi som forklart tidligere:
Så den ønskede vinkelen er omtrent 22,5°. Et annet eksempel: finn en vinkel hvis sinus er 0,62.
Ønsket vinkel er omtrent 38,6°.
Til slutt, det tredje eksemplet: finn en vinkel hvis sinus er 0,91.
Siden denne sinusen ligger mellom 0,71 og 1, ligger ønsket vinkel mellom 45° og 90°. På: fig. 91 Sol er sinusen til vinkelen L if VA= 1. Å vite sol, lett å finne sinus til en vinkel I:
La oss nå finne vinkelen I, hvis sinus er 0,42; etter dette vil det være lett å finne vinkel A lik 90° - I.
Siden 0,42 ligger mellom 0,26 og 0,5, så er vinkelen I ligger mellom 15° og 30°, Det er definert som følger:
Og derfor er vinkel A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Vi er nå fullt utstyrt for å tilnærmet løse trigonometriske problemer, siden vi kan finne sinus fra vinkler og vinkler fra sinus med en nøyaktighet tilstrekkelig for feltformål.
Men er sinus alene nok til dette? Trenger vi ikke resten av de trigonometriske funksjonene - cosinus, tangent osv.? Nå skal vi vise med en rekke eksempler at for vår forenklede trigonometri kan vi klare oss helt med bare sinus.
Et av matematikkområdene elevene sliter mest med er trigonometri. Det er ikke overraskende: for å fritt kunne mestre dette kunnskapsområdet trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangens ved hjelp av formler, forenkle uttrykk og kunne bruke tallet pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.
Opprinnelsen til trigonometri
Å bli kjent med denne vitenskapen bør begynne med definisjonen av sinus, cosinus og tangens av en vinkel, men først må du forstå hva trigonometri gjør generelt.
Historisk sett var hovedobjektet for studiet i denne grenen av matematisk vitenskap rette trekanter. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre forskjellige operasjoner som lar en bestemme verdiene til alle parametere til den aktuelle figuren ved å bruke to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, astronomi og til og med i kunst.
Innledende fase
Opprinnelig snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende ved å bruke eksemplet med rette trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide bruksgrensene i hverdagen denne grenen av matematikk.
Studiet av trigonometri i skolen i dag begynner med rettvinklede trekanter, hvoretter elevene bruker den tilegnete kunnskapen i fysikk og løse abstrakte trigonometriske ligninger, som begynner på videregående.
Sfærisk trigonometri
Senere, da vitenskapen nådde neste utviklingsnivå, begynte formler med sinus, cosinus, tangens og cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, der forskjellige regler gjelder, og summen av vinklene i en trekant alltid er mer enn 180 grader. Denne delen er ikke studert på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens i det minste fordi jordens overflate, og overflaten til enhver annen planet er konveks, noe som betyr at enhver overflatemarkering vil være inne tredimensjonalt rom"bueformet".
Ta kloden og tråden. Fest tråden til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom på at den har fått form av en bue. Sfærisk geometri omhandler slike former, som brukes innen geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt.
Rettvinklet trekant
Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes.
Det første trinnet er å forstå begrepene knyttet til rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt 90 graders vinkel. Det er den lengste. Vi husker at ifølge Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.
For eksempel, hvis de to sidene er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil lengden på hypotenusen være 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om dette for rundt fire og et halvt tusen år siden.
De to gjenværende sidene, som danner en rett vinkel, kalles ben. I tillegg må vi huske at summen av vinklene i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er lik 180 grader.
Definisjon
Til slutt, med en solid forståelse av det geometriske grunnlaget, kan man vende seg til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte benet (dvs. siden motsatt ønsket vinkel) og hypotenusen. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen.
Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den lengste Uansett hvor lang benet er, vil den være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet deres alltid vil være mindre enn én. Derfor, hvis du i svaret på en oppgave får en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1, se etter en feil i beregningene eller resonnementet. Dette svaret er åpenbart feil.
Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Å dele sinus på cosinus vil gi samme resultat. Se: i henhold til formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, deler deretter med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme sammenheng som i definisjonen av tangent.
Cotangens er følgelig forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele en på tangenten.
Så vi har sett på definisjonene av hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, og vi kan gå videre til formler.
De enkleste formlene
I trigonometri kan du ikke klare deg uten formler - hvordan finne sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Men det er nettopp dette som kreves når man skal løse problemer.
Den første formelen du trenger å vite når du begynner å studere trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus i en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men den sparer tid hvis du trenger å vite størrelsen på vinkelen i stedet for siden.
Mange elever kan ikke huske den andre formelen, som også er veldig populær når de løser skoleoppgaver: summen av en og kvadratet av tangens til en vinkel er lik en delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør det trigonometrisk formel helt ugjenkjennelig. Husk: å vite hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, transformasjonsregler og flere grunnleggende formler, kan du når som helst uavhengig utlede de nødvendige mer komplekse formler på et stykke papir.
Formler for doble vinkler og addisjon av argumenter
Ytterligere to formler du må lære er relatert til verdiene av sinus og cosinus for summen og differansen av vinkler. De er presentert i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.
Det er også formler knyttet til dobbeltvinkelargumenter. De er fullstendig avledet fra de forrige - som en praksis, prøv å få dem selv ved å ta alfavinkelen lik betavinkelen.
Merk til slutt at dobbelvinkelformler kan omorganiseres for å redusere kraften til sinus, cosinus, tangent alfa.
Teoremer
De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangens, og derfor arealet av figuren, og størrelsen på hver side, etc.
Sinussetningen sier at å dele lengden på hver side av en trekant med den motsatte vinkelen resulterer i samme tall. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, det vil si sirkelen som inneholder alle punktene i en gitt trekant.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras setning, og projiserer den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekker du produktet deres multiplisert med den doble cosinusen til den tilstøtende vinkelen - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser Pythagorean-setningen seg å være et spesialtilfelle av cosinus-teoremet.
Uforsiktige feil
Selv om du vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre feil på grunn av fravær eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss ta en titt på de mest populære.
For det første bør du ikke konvertere brøker til desimaler før du får det endelige resultatet - du kan la svaret være som vanlig brøk, med mindre annet er angitt i vilkårene. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert stadium av problemet kan nye røtter dukke opp, som ifølge forfatterens idé bør reduseres. I dette tilfellet vil du kaste bort tiden din på unødvendige matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten av tre eller roten av to, fordi de finnes i problemer på hvert trinn. Det samme gjelder avrunding av «stygge» tall.
Merk videre at cosinussetningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras teoremet! Hvis du feilaktig glemmer å trekke fra to ganger produktet av sidene multiplisert med cosinus til vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men du vil også demonstrere en fullstendig mangel på forståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.
For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus er 30 grader lik cosinus 60, og omvendt. Det er lett å forvirre dem, som et resultat av at du uunngåelig vil få et feilaktig resultat.
Søknad
Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å studere trigonometri fordi de ikke forstår dens praktiske betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som gjør det mulig å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt eller sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på en overflate eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form overalt, fra musikk til medisin.
Som konklusjon
Så du er sinus, cosinus, tangens. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.
Hele poenget med trigonometri kommer ned til det faktum at ved å bruke de kjente parameterne til en trekant må du beregne de ukjente. Det er seks parametere totalt: lengden på tre sider og størrelsen på tre vinkler. Den eneste forskjellen på oppgavene er at det gis ulike inputdata.
Du vet nå hvordan du finner sinus, cosinus, tangens basert på de kjente lengdene på bena eller hypotenusen. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, hovedmål Det trigonometriske problemet blir å finne røttene til en vanlig ligning eller et system av ligninger. Og her vil vanlig skolematematikk hjelpe deg.