Sinus, cosinus, tangent og cotangens - alt du trenger å vite på Unified State Examination in Mathematics (2020). Grunnleggende trigonometriske identiteter, deres formuleringer og avledning Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x

|BD|
- lengden på sirkelbuen med sentrum i punktet A.

α er vinkelen uttrykt i radianer. Tangent ( tan α ) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet rettvinklet trekant
, lik forholdet mellom lengden på motsatt side |BC| til lengden av det tilstøtende benet |AB| . Cotangens (

ctg α

) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AB| til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent

Hvor
.
;
;
.

n

- hel.

I vestlig litteratur er tangent betegnet som følger:
.
Graf for tangentfunksjonen, y = tan x
;
;
.

Cotangens

I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:

Følgende notasjoner godtas også:

Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x Egenskaper til tangent og cotangens Periodisitet Funksjoner y = tg x

og y =

ctg x

er periodiske med periode π.

Paritet til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent- og cotangensfunksjonene er odde.

	Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende Egenskaper til tangent og cotangens	Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende Funksjoner y =
Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen (
- hele).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y=		-
Omfang og kontinuitet	-
Rekkevidde av verdier	-	-
Økende 0
Synkende 0	Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende 0	-

Ekstremer

Null, y =

; ;
; ;
;

Avskjæringspunkter med ordinataksen, x =

Formler

Uttrykk som bruker sinus og cosinus

Formler for tangent og cotangens fra sum og differanse

De resterende formlene er enkle å få tak i, for eksempel

Produkt av tangenter

Formel for summen og differansen av tangenter

;
;

Denne tabellen presenterer verdiene til tangenter og cotangenser for visse verdier av argumentet.

; .

.
Uttrykk som bruker komplekse tall
.
Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

Derivater

Derivert av n-te orden med hensyn til variabelen x i funksjonen:

Utlede formler for tangent > > > ; for cotangens > > > Integraler Serieutvidelser For å få utvidelsen av tangenten i potenser av x, må du ta flere ledd av utvidelsen i en potensserie for funksjonene synd x

Og

fordi x
og dele disse polynomene med hverandre, . Dette gir følgende formler. kl.
;
;
kl.
Hvor

Bn

- Bernoulli-tall. De bestemmes enten fra gjentakelsesrelasjonen: Hvor .

Eller i henhold til Laplaces formel:

, Hvor til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent

Arccotangens, arcctg

, Hvor til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent

Brukt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Se også:

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, rettslige prosesser og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Denne artikkelen inneholder tabeller over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter. Først vil vi gi en tabell over de grunnleggende verdiene for trigonometriske funksjoner, det vil si en tabell over sinus, cosinus, tangenter og cotangens av vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Etter dette vil vi gi en tabell over sinus og cosinus, samt en tabell over tangenter og cotangenter av V. M. Bradis, og vise hvordan du bruker disse tabellene når du finner verdiene til trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Tabell over sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, ... grader

Referanser.

Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. generell utdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.
Bradis V. M. Firesifrede matematikktabeller: For generell utdanning. lærebok bedrifter. - 2. utg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Den opprinnelige kilden er lokalisert. Alfa står for reelt tall. Likhetstegnet i uttrykkene ovenfor indikerer at hvis du legger et tall eller uendelig til uendelig, vil ingenting endre seg, resultatet vil være den samme uendeligheten. Hvis vi tar det uendelige settet som eksempel naturlige tall, kan de vurderte eksemplene presenteres som følger:

For å tydelig bevise at de hadde rett, kom matematikere opp med mange forskjellige metoder. Personlig ser jeg på alle disse metodene som sjamaner som danser med tamburiner. I hovedsak koker de alle ned til at enten er noen av rommene ubebodde og nye gjester flytter inn, eller at noen av de besøkende blir kastet ut i korridoren for å gi plass til gjester (veldig menneskelig). Jeg presenterte mitt syn på slike beslutninger i form av en fantasihistorie om blondinen. Hva er resonnementet mitt basert på? Å flytte et uendelig antall besøkende tar uendelig mye tid. Etter at vi har forlatt det første rommet for en gjest, vil en av de besøkende alltid gå langs korridoren fra rommet sitt til det neste inntil tidenes ende. Selvfølgelig kan tidsfaktoren ignoreres dumt, men dette vil være i kategorien "ingen lov er skrevet for idioter." Alt avhenger av hva vi gjør: justere virkeligheten til matematiske teorier eller omvendt.

Hva er et "endeløst hotell"? Et uendelig hotell er et hotell som alltid har et hvilket som helst antall tomme senger, uavhengig av hvor mange rom som er opptatt. Hvis alle rommene i den endeløse "besøks"-korridoren er opptatt, er det en annen endeløs korridor med "gjesterom". Det vil være uendelig mange slike korridorer. Dessuten har det "uendelige hotellet" et uendelig antall etasjer i et uendelig antall bygninger på et uendelig antall planeter i et uendelig antall universer skapt av et uendelig antall guder. Matematikere er ikke i stand til å ta avstand fra banale hverdagsproblemer: det er alltid bare én Gud-Allah-Buddha, det er bare ett hotell, det er bare én korridor. Så matematikere prøver å sjonglere med serienumrene til hotellrom, og overbeviser oss om at det er mulig å «skubbe inn det umulige».

Jeg vil demonstrere logikken i resonnementet mitt for deg ved å bruke eksemplet med et uendelig sett med naturlige tall. Først må du svare på et veldig enkelt spørsmål: hvor mange sett med naturlige tall er det - ett eller mange? Det er ikke noe riktig svar på dette spørsmålet, siden vi fant opp tall selv ikke eksisterer i naturen. Ja, naturen er flink til å telle, men til dette bruker hun andre matematiske verktøy som ikke er kjent for oss. Jeg skal fortelle deg hva naturen tenker en annen gang. Siden vi fant opp tall, vil vi selv bestemme hvor mange sett med naturlige tall det er. La oss vurdere begge alternativene, som det sømmer seg for ekte forskere.

Alternativ én. "La oss gis" ett enkelt sett med naturlige tall, som ligger rolig på hylla. Vi tar dette settet fra hyllen. Det er det, det er ingen andre naturlige tall igjen på hyllen og ingen steder å ta dem. Vi kan ikke legge til en til dette settet, siden vi allerede har det. Hva om du virkelig vil? Ikke noe problem. Vi kan ta en fra settet vi allerede har tatt og returnere den til hyllen. Etter det kan vi ta en fra hyllen og legge den til det vi har igjen. Som et resultat vil vi igjen få et uendelig sett med naturlige tall. Du kan skrive ned alle manipulasjonene våre slik:

Jeg skrev ned handlingene i algebraisk notasjon og i settteorinotasjon, med en detaljert liste over elementene i settet. Subskriptet indikerer at vi har ett og eneste sett med naturlige tall. Det viser seg at settet med naturlige tall forblir uendret bare hvis ett trekkes fra det og den samme enheten legges til.

Alternativ to. Vi har mange forskjellige uendelige sett med naturlige tall på hyllen vår. Jeg understreker - ANNERLEDES, til tross for at de praktisk talt ikke kan skilles. La oss ta et av disse settene. Så tar vi ett fra et annet sett med naturlige tall og legger det til settet vi allerede har tatt. Vi kan til og med legge til to sett med naturlige tall. Dette er hva vi får:

Underskriftene "en" og "to" indikerer at disse elementene tilhørte forskjellige sett. Ja, hvis du legger til en til et uendelig sett, vil resultatet også være et uendelig sett, men det vil ikke være det samme som det opprinnelige settet. Hvis du legger til et nytt uendelig sett til ett uendelig sett, er resultatet et nytt uendelig sett som består av elementene i de to første settene.

Settet med naturlige tall brukes til å telle på samme måte som en linjal brukes til å måle. Tenk deg nå at du har lagt til én centimeter til linjalen. Dette vil være en annen linje, ikke lik den opprinnelige.

Du kan godta eller ikke akseptere resonnementet mitt - det er din egen sak. Men hvis du noen gang støter på matematiske problemer, tenk på om du følger veien til falske resonnementer som er tråkket av generasjoner av matematikere. Tross alt danner det å studere matematikk, først av alt, en stabil stereotypi av tenkning i oss, og først da øker våre mentale evner (eller omvendt fratar oss fritenking).

pozg.ru

Søndag 4. august 2019

Jeg holdt på å fullføre et etterskrift til en artikkel om og så denne fantastiske teksten på Wikipedia:

Vi leser: «... rik teoretisk grunnlag Matematikken i Babylon hadde ikke en helhetlig karakter og ble redusert til et sett med forskjellige teknikker, blottet for felles system og bevisgrunnlag."

Wow! Hvor smarte vi er og hvor godt vi kan se andres mangler. Er det vanskelig for oss å se moderne matematikk i samme sammenheng? Litt omskrivning av teksten ovenfor, fikk jeg personlig følgende:

Det rike teoretiske grunnlaget for moderne matematikk er ikke helhetlig og er redusert til et sett med forskjellige seksjoner, blottet for et felles system og bevisgrunnlag.

Jeg vil ikke gå langt for å bekrefte ordene mine - den har et språk og konvensjoner som er forskjellig fra språket og konvensjonene til mange andre grener av matematikk. De samme navnene i ulike grener av matematikken kan ha forskjellige betydninger. Jeg ønsker å vie en hel serie publikasjoner til de mest åpenbare feilene i moderne matematikk. Vi sees snart.

Lørdag 3. august 2019

Hvordan dele opp et sett i delmengder? For å gjøre dette må du angi en ny måleenhet som er til stede i noen av elementene i det valgte settet. La oss se på et eksempel.

Måtte vi ha masse EN bestående av fire personer. Dette settet er dannet på grunnlag av "folk." La oss betegne elementene i dette settet med bokstaven EN, vil abonnementet med et nummer indikere serienummeret til hver person i dette settet. La oss introdusere en ny måleenhet "kjønn" og angi den med bokstaven b. Siden seksuelle egenskaper er iboende i alle mennesker, multipliserer vi hvert element i settet EN basert på kjønn b. Legg merke til at vårt sett med "mennesker" nå har blitt et sett med "mennesker med kjønnskarakteristikker." Etter dette kan vi dele seksuelle egenskaper inn i mannlige bm og kvinners bw seksuelle egenskaper. Nå kan vi bruke et matematisk filter: vi velger en av disse seksuelle egenskapene, uansett hvilken - mann eller kvinne. Hvis en person har det, multipliserer vi det med en, hvis det ikke er et slikt tegn, multipliserer vi det med null. Og så bruker vi vanlig skolematematikk. Se hva som skjedde.

Etter multiplikasjon, reduksjon og omorganisering endte vi opp med to delmengder: delmengden av menn Bm og en undergruppe av kvinner Bw. Matematikere resonnerer omtrent på samme måte når de anvender settteori i praksis. Men de forteller oss ikke detaljene, men gir oss det ferdige resultatet - "mange mennesker består av en undergruppe av menn og en undergruppe av kvinner." Naturligvis kan du ha et spørsmål: hvor riktig har matematikken blitt brukt i transformasjonene som er skissert ovenfor? Jeg tør å forsikre deg om at i hovedsak alt ble gjort riktig, det er nok å kjenne til det matematiske grunnlaget for aritmetikk, boolsk algebra og andre grener av matematikken. Hva er det? En annen gang skal jeg fortelle deg om dette.

Når det gjelder supersett, kan du kombinere to sett til ett supersett ved å velge måleenheten som finnes i elementene i disse to settene.

Som du kan se, gjør måleenheter og vanlig matematikk mengdlære til en relikvie fra fortiden. Et tegn på at alt ikke er bra med mengdlære er at matematikere har kommet opp med sitt eget språk og notasjon for mengdlære. Matematikere handlet som sjamaner en gang gjorde. Bare sjamaner vet hvordan de "riktig" skal bruke sin "kunnskap". De lærer oss denne "kunnskapen".

Avslutningsvis vil jeg vise deg hvordan matematikere manipulerer .

mandag 7. januar 2019

I det femte århundre f.Kr. formulerte den antikke greske filosofen Zeno av Elea sine berømte aporier, den mest kjente av disse er "Akilles og skilpadden". Slik høres det ut:

La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden det tar Akilles å løpe denne distansen, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. Når Akilles løper hundre skritt, kryper skilpadden ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.

Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Alle betraktet Zenons aporia på en eller annen måte. Sjokket var så sterkt at " ...diskusjoner fortsetter til i dag, for å nå frem til en felles mening om essensen av paradokser vitenskapelig fellesskap så langt har det ikke vært mulig... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemstillingen; ingen av dem ble en allment akseptert løsning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget består av.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra kvantitet til . Denne overgangen innebærer bruk i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparatet for bruk av variable måleenheter enten ikke utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, på grunn av treghet i tenkningen, bruker konstante tidsenheter på den gjensidige verdien. Fra et fysisk synspunkt ser dette ut som at tiden går ned til den stopper helt i det øyeblikket Akilles innhenter skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger løpe unna skilpadden.

Hvis vi snur vår vanlige logikk, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, vil det være riktig å si "Akilles vil ta igjen skilpadden uendelig raskt."

Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige enheter. På Zenos språk ser det slik ut:

På den tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Akilles åtte hundre skritt foran skilpadden.

Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om uimotståelig lyshastighet er veldig lik Zenos aporia "Akilles og skilpadden". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i uendelig store tall, men i måleenheter.

En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:

En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.

I denne aporiaen logisk paradoks det kan overvinnes veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at i hvert øyeblikk er en flygende pil i ro på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng må bemerkes her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å finne ut om en bil beveger seg, trenger du to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men du kan ikke bestemme avstanden fra dem. For å bestemme avstanden til en bil, trenger du to bilder tatt fra forskjellige punkter i rommet på ett tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme bevegelsen (selvfølgelig trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg ). Det jeg vil trekke spesielt frem er at to punkter i tid og to punkter i rom er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir ulike muligheter for forskning.

onsdag 4. juli 2018

Jeg har allerede fortalt deg at ved hjelp av hvilke prøver sjamaner å sortere "" virkeligheten. Hvordan gjør de dette? Hvordan skjer egentlig dannelsen av et sett?

La oss se nærmere på definisjonen av et sett: "en samling av forskjellige elementer, tenkt som en enkelt helhet." Føl nå forskjellen mellom to setninger: "tenkbar som en helhet" og "tenkbar som en helhet." Den første setningen er sluttresultatet, settet. Den andre setningen er en foreløpig forberedelse for dannelsen av en mengde. På dette stadiet er virkeligheten delt inn i individuelle elementer ("helheten"), hvorfra en mengde vil dannes (den "enkelte helheten"). Samtidig overvåkes faktoren som gjør det mulig å kombinere "helheten" til en "enkel helhet", ellers vil ikke sjamanene lykkes. Tross alt vet sjamanene på forhånd hva slags sett de vil demonstrere for oss.

Jeg skal vise deg prosessen med et eksempel. Vi velger det "røde faststoffet i en kvise" - dette er vår "helhet". Samtidig ser vi at disse tingene er med bue, og det er uten bue. Etter det velger vi en del av "helheten" og danner et sett "med en bue". Slik får sjamaner maten sin ved å knytte settteorien til virkeligheten.

La oss nå gjøre et lite triks. La oss ta "fast med en kvise og en sløyfe" og kombinere disse "helhetene" i henhold til farge, og velge de røde elementene. Vi fikk mye "rødt". Nå er det siste spørsmålet: er de resulterende settene "med bue" og "røde" det samme settet eller to forskjellige sett? Bare sjamaner vet svaret. Mer presist, de selv vet ingenting, men som de sier, så blir det.

Dette enkle eksemplet viser at settteori er fullstendig ubrukelig når det kommer til virkeligheten. Hva er hemmeligheten? Vi dannet et sett med "rødt solid med en kvise og en sløyfe." Dannelsen fant sted i fire forskjellige måleenheter: farge (rød), styrke (fast), ruhet (kvisete), dekorasjon (med sløyfe). Bare et sett med måleenheter lar oss beskrive virkelige objekter tilstrekkelig på matematikkspråket. Slik ser det ut.

Bokstaven "a" med forskjellige indekser angir forskjellige måleenheter. Måleenhetene som "hele" skilles ut med på det foreløpige stadiet er markert i parentes. Måleenheten som settet dannes med er tatt ut av parentes. Den siste linjen viser det endelige resultatet - et element i settet. Som du kan se, hvis vi bruker måleenheter for å danne et sett, avhenger ikke resultatet av rekkefølgen av handlingene våre. Og dette er matematikk, og ikke sjamanenes dans med tamburiner. Sjamaner kan "intuitivt" komme til det samme resultatet, og hevder at det er "åpenbart", fordi måleenheter ikke er en del av deres "vitenskapelige" arsenal.

Ved å bruke måleenheter er det veldig enkelt å bryte en
I dag tilhører alt vi ikke tar til et sett (som matematikere forsikrer oss om). Forresten, så du i speilet i pannen en liste over de settene du tilhører? Og jeg har ikke sett en slik liste. Jeg vil si mer - ikke en eneste ting i virkeligheten har en tag med en liste over settene som denne tingen tilhører. Sett er alle oppfinnelser av sjamaner. Hvordan gjør de det? La oss se litt dypere inn i historien og se hvordan elementene i settet så ut før matematiker-sjamanene tok dem inn i settene sine.

For lenge siden, da ingen noen gang hadde hørt om matematikk, og bare trær og Saturn hadde ringer, streifet enorme flokker av ville elementer av sett rundt de fysiske feltene (tross alt, sjamaner hadde ennå ikke oppfunnet matematiske felt). De så omtrent slik ut.

Ja, ikke bli overrasket, fra et matematisk synspunkt ligner alle elementene i sett mest på kråkeboller- fra ett punkt, som nåler, stikker måleenheter ut i alle retninger. For de som minner om at enhver måleenhet kan representeres geometrisk som et segment med vilkårlig lengde, og et tall som et punkt. Geometrisk kan enhver mengde representeres som en haug med segmenter som stikker ut i forskjellige retninger fra ett punkt. Dette punktet er null. Jeg vil ikke tegne dette geometriske kunstverket (ingen inspirasjon), men du kan lett forestille deg det.

Hvilke måleenheter utgjør et element i et sett? Alle mulige ting som beskriver et gitt element fra forskjellige synsvinkler. Dette er eldgamle måleenheter som våre forfedre brukte og som alle lenge har glemt. Dette er de moderne måleenhetene vi bruker nå. Dette er også for oss ukjente måleenheter, som våre etterkommere vil finne på og som de vil bruke for å beskrive virkeligheten.

Vi har sortert ut geometrien - den foreslåtte modellen av elementene i settet har en tydelig geometrisk representasjon. Hva med fysikk? Måleenheter er den direkte forbindelsen mellom matematikk og fysikk. Hvis sjamaner ikke gjenkjenner måleenheter som et fullverdig element matematiske teorier– dette er deres problemer. Jeg personlig kan ikke forestille meg den virkelige vitenskapen om matematikk uten måleenheter. Det er derfor jeg helt i begynnelsen av historien om settteori snakket om at den var i steinalderen.

Men la oss gå videre til det mest interessante - algebraen av elementer i sett. Algebraisk sett er ethvert element i et sett et produkt (resultatet av multiplikasjon) av forskjellige mengder. Det ser slik ut.

Jeg brukte bevisst ikke konvensjonene i mengdlære, siden vi vurderer et element av et sett i dets naturlige miljø før fremveksten av settteori. Hvert bokstavpar i parentes angir en egen mengde, bestående av et tall angitt med bokstaven " til lengden av motsatt ben |BC| ." og måleenheten angitt med bokstaven " en". Indeksene ved siden av bokstavene indikerer at tallene og måleenhetene er forskjellige. Ett element i settet kan bestå av et uendelig antall mengder (hvor mye vi og våre etterkommere har nok fantasi). Hver parentes er geometrisk avbildet som et eget segment I eksemplet med kråkebollen er en brakett en nål.

Hvordan danner sjamaner sett fra forskjellige elementer? Faktisk etter måleenheter eller etter tall. Da de ikke forstår noe om matematikk, tar de forskjellige kråkeboller og undersøker dem nøye på leting etter den ene nålen, som de danner et sett langs. Hvis det er en slik nål, så hører dette elementet til settet; Sjamaner forteller oss fabler om tankeprosesser og helheten.

Som du kanskje har gjettet, kan det samme elementet tilhøre svært forskjellige sett. Deretter vil jeg vise deg hvordan sett, undergrupper og annet sjamanistisk tull blir dannet.

I denne artikkelen vil vi ta en omfattende titt. Grunnleggende trigonometriske identiteter representerer likheter som etablerer en forbindelse mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel, og lar en finne hvilken som helst av disse trigonometriske funksjonene gjennom en kjent annen.

La oss umiddelbart liste de viktigste trigonometriske identitetene som vi vil analysere i denne artikkelen. La oss skrive dem ned i en tabell, og nedenfor gir vi resultatet av disse formlene og gir de nødvendige forklaringene.

Sidenavigering.

Forholdet mellom sinus og cosinus i en vinkel

Noen ganger snakker de ikke om de viktigste trigonometriske identitetene som er oppført i tabellen ovenfor, men om en enkelt grunnleggende trigonometrisk identitet type . Forklaringen på dette faktum er ganske enkel: likhetene oppnås fra den trigonometriske hovedidentiteten etter å ha dividert begge delene med henholdsvis og og likhetene Serieutvidelser følger av definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Vi vil snakke om dette mer detaljert i de følgende avsnittene.

Det vil si at det er likestillingen som er av særlig interesse, som fikk navnet på den trigonometriske hovedidentiteten.

Før vi beviser den viktigste trigonometriske identiteten, gir vi dens formulering: summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er identisk lik en. La oss nå bevise det.

Den grunnleggende trigonometriske identiteten brukes veldig ofte når konvertere trigonometriske uttrykk. Den lar summen av kvadratene av sinus og cosinus til en vinkel erstattes med én. Ikke mindre ofte brukes den grunnleggende trigonometriske identiteten i omvendt rekkefølge: enhet erstattes av summen av kvadratene av sinus og cosinus for en hvilken som helst vinkel.

Tangent og cotangens gjennom sinus og cosinus

Identiteter som forbinder tangent og cotangens med sinus og cosinus av en synsvinkel og følger umiddelbart av definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Faktisk, per definisjon, er sinus ordinaten til y, cosinus er abscissen til x, tangens er forholdet mellom ordinaten og abscissen, det vil si, , og cotangensen er forholdet mellom abscissen og ordinaten, det vil si, .

Takket være en slik åpenbarhet av identiteter og Tangent og cotangens er ofte ikke definert gjennom forholdet abscisse og ordinat, men gjennom forholdet mellom sinus og cosinus. Så tangenten til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus til denne vinkelen, og cotangens er forholdet mellom cosinus og sinus.

Avslutningsvis i denne paragrafen skal det bemerkes at identitetene og finne sted for alle vinkler som elementene som er inkludert i dem trigonometriske funksjoner gi mening. Så formelen er gyldig for alle , annet enn (ellers vil nevneren ha null, og vi definerte ikke divisjon med null), og formelen - for alle , forskjellig fra , hvor z er hvilken som helst .

Forholdet mellom tangent og cotangens

En enda mer åpenbar trigonometrisk identitet enn de to foregående er identiteten som forbinder tangenten og cotangensen til en vinkel av formen . Det er klart at det gjelder for andre vinkler enn , ellers er enten tangenten eller cotangensen ikke definert.

Bevis på formelen veldig enkelt. Per definisjon og hvorfra . Beviset kunne vært utført litt annerledes. Siden , Det .

Så tangenten og cotangensen til samme vinkel som de gir mening er .