›

Forelesning om emnet: "Trigonometrisk form av et komplekst tall." Trigonometriske og eksponentielle former for et komplekst tall Hvordan skrive et tall i trigonometrisk form på nettet

Operasjoner på komplekse tall skrevet i algebraisk form

Algebraisk form av et komplekst tall z =(en,b).kalles et algebraisk uttrykk for formen

z = en + bi.

Aritmetiske operasjoner på komplekse tall z 1 = a 1 + b 1 jeg Og z 2 = a 2 + b 2 jeg, skrevet i algebraisk form, utføres som følger.

1. Sum (forskjell) av komplekse tall

z 1 ± z 2 = (en 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

de. addisjon (subtraksjon) utføres i henhold til regelen for addering av polynomer med reduksjon av lignende ledd.

2. Produkt av komplekse tall

z 1 ∙z 2 = (en 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (en 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

de. multiplikasjon utføres i henhold til den vanlige regelen for å multiplisere polynomer, tar hensyn til det faktum at jeg 2 = 1.

3. Delingen av to komplekse tall utføres i henhold til følgende regel:

, (z 2 ≠ 0),

de. divisjon utføres ved å multiplisere utbyttet og divisor med det konjugerte tallet til divisor.

Eksponentiering av komplekse tall er definert som følger:

Det er lett å vise det

Eksempler.

1. Finn summen av komplekse tall z 1 = 2 – jeg Og z 2 = – 4 + 3jeg.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3jeg) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) jeg = –2+2jeg.

2. Finn produktet av komplekse tall z 1 = 2 – 3jeg Og z 2 = –4 + 5jeg.

= (2 – 3jeg) ∙ (–4 + 5jeg) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3jeg)+ 2∙5jeg– 3jeg∙ 5jeg = 7+22jeg.

3. Finn kvotienten z fra divisjon z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – jeg.

z = .

4. Løs ligningen: , x Og y Î R.

(2x+y) + (x+y)jeg = 2 + 3jeg.

På grunn av likheten mellom komplekse tall har vi:

hvor x =–1 , y= 4.

5. Regn ut: jeg 2 ,jeg 3 ,jeg 4 ,jeg 5 ,jeg 6 ,jeg -1 , jeg -2 .

6. Beregn om .

.

7. Regn ut et tall gjensidig av antall z=3-jeg.

Komplekse tall i trigonometrisk form

Kompleks fly kalt et fly med kartesiske koordinater ( x, y), hvis hvert punkt med koordinater ( a, b) er assosiert med et komplekst tall z = a + bi. I dette tilfellet kalles abscisseaksen ekte akse, og ordinataksen er innbilt. Deretter hvert komplekst tall a+bi geometrisk avbildet på et plan som et punkt A (a, b) eller vektor.

Derfor posisjonen til punktet EN(og derfor et komplekst tall z) kan spesifiseres av lengden på vektoren | | = r og vinkel j, dannet av vektoren | | med den positive retningen til den reelle aksen. Lengden på vektoren kalles modul til et komplekst tall og er betegnet med | z |=r, og vinkelen j ringte komplekst tallargument og er utpekt j = arg z.



Det er klart at | z| ³ 0 og | z | = 0 Û z = 0.

Fra fig. 2 er det klart at .

Argumentet til et komplekst tall bestemmes tvetydig, men med en nøyaktighet på 2 pk,kÎ Z.

Fra fig. 2 er det også klart at if z=a+bi Og j=arg z, At

cos j =, synd j =, tg j = .

Hvis zÎR Og z> 0, da arg z = 0 +2pk;

Hvis z ОR Og z< 0, da arg z = p + 2pk;

Hvis z = 0,arg z ikke definert.

Hovedverdien til argumentet bestemmes på intervallet 0 £ arg z£2 p,

eller -s£ arg z £ s.

Eksempler:

1. Finn modulen til komplekse tall z 1 = 4 – 3jeg Og z 2 = –2–2jeg.

2. Definer områder på det komplekse planet definert av betingelsene:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+jeg) | £3; 4) £6 | z – jeg| £7.

Løsninger og svar:

1) | z| = 5 Û Û - ligning av en sirkel med radius 5 og sentrum ved origo.

2) En sirkel med radius 6 med sentrum i origo.

3) Sirkel med radius 3 med sentrum i punktet z 0 = 2 + jeg.

4) En ring avgrenset av sirkler med radius 6 og 7 med et senter i et punkt z 0 = jeg.

3. Finn modulen og argumentet til tallene: 1) ; 2) .

1) ; EN = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2jeg; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Hint: Når du skal bestemme hovedargumentet, bruk det komplekse planet.

Slik: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Foredrag

Trigonometrisk form av et komplekst tall

Plan

1. Geometrisk representasjon av komplekse tall.

2. Trigonometrisk notasjon av komplekse tall.

3. Handlinger på komplekse tall i trigonometrisk form.

Geometrisk representasjon av komplekse tall.

a) Komplekse tall er representert av punkter på et plan i henhold til følgende regel: en + bi = M ( en ; b ) (Fig. 1).

Figur 1

b) Et komplekst tall kan representeres av en vektor som begynner ved punktetOM og enden ved et gitt punkt (fig. 2).

Figur 2

Eksempel 7. Konstruer punkter som representerer komplekse tall:1; - jeg ; - 1 + jeg ; 2 – 3 jeg (Fig. 3).

Figur 3

Trigonometrisk notasjon av komplekse tall.

Kompleks tallz = en + bi kan spesifiseres ved hjelp av radiusvektoren med koordinater( en ; b ) (Fig. 4).

Figur 4

Definisjon . Vektorlengde , som representerer et komplekst tallz , kalles modulen til dette tallet og er betegnet ellerr .

For et hvilket som helst komplekst tallz sin modulr = | z | bestemmes unikt av formelen .

Definisjon . Størrelsen på vinkelen mellom den positive retningen til den reelle aksen og vektoren , som representerer et komplekst tall, kalles argumentet til dette komplekse tallet og er betegnetEN rg z ellerφ .

Kompleks tallargumentz = 0 ikke definert. Kompleks tallargumentz≠ 0 – en mengde med flere verdier og bestemmes innenfor en term2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Hvorarg z – hovedverdien til argumentet i intervallet(-π; π] , altså-π < arg z ≤ π (noen ganger blir en verdi som tilhører intervallet tatt som hovedverdien til argumentet .

Denne formelen nårr =1 ofte kalt Moivres formel:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Eksempel 11: Regn ut(1 + jeg ) 100 .

La oss skrive et komplekst tall1 + jeg i trigonometrisk form.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +jeg synder )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + jeg synd ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Utvinning kvadratrot fra et komplekst tall.

Når du tar kvadratroten av et komplekst tallen + bi vi har to tilfeller:

Hvisb >o , Det ;

KOMPLEKSE NUMMER XI

§ 256. Trigonometrisk form for komplekse tall

La et komplekst tall a + bi tilsvarer vektor O.A.> med koordinater ( a, b ) (se fig. 332).

La oss betegne lengden på denne vektoren med r , og vinkelen den lager med aksen X , gjennom φ . Per definisjon av sinus og cosinus:

en / r =cos φ , b / r = synd φ .

Det er derfor EN = r cos φ , b = r synd φ . Men i dette tilfellet det komplekse tallet a + bi kan skrives som:

a + bi = r cos φ + ir synd φ = r (cos φ + jeg synd φ ).

Som du vet, er kvadratet av lengden til en hvilken som helst vektor lik summen av kvadratene til dens koordinater. Det er derfor r 2 = en 2 + b 2, hvorfra r = √a 2 + b 2

Så, et hvilket som helst komplekst tall a + bi kan representeres i skjemaet :

a + bi = r (cos φ + jeg synd φ ), (1)

hvor r = √a 2 + b 2 og vinkelen φ bestemmes ut fra tilstanden:

Denne formen for å skrive komplekse tall kalles trigonometrisk.

Tall r i formel (1) kalles modul, og vinkelen φ - argument, komplekst tall a + bi .

Hvis et komplekst tall a + bi er ikke lik null, så er modulen positiv; hvis a + bi = 0, da a = b = 0 og deretter r = 0.

Modulen til et komplekst tall er unikt bestemt.

Hvis et komplekst tall a + bi er ikke lik null, så bestemmes argumentet av formler (2) definitivt opp til en vinkel delelig med 2 π . Hvis a + bi = 0, da a = b = 0. I dette tilfellet r = 0. Fra formel (1) er det lett å forstå det som et argument φ i dette tilfellet kan du velge hvilken som helst vinkel: tross alt for hvilken som helst φ

0 (cos φ + jeg synd φ ) = 0.

Derfor er null-argumentet udefinert.

Modulus til et komplekst tall r noen ganger betegnet | z |, og argumentet er arg z . La oss se på noen få eksempler på å representere komplekse tall i trigonometrisk form.

Eksempel. 1. 1 + jeg .

La oss finne modulen r og argumentasjon φ dette nummeret.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Derfor synd φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, hvorfra φ = π / 4 + 2nπ .

Slik,

1 + jeg = √ 2 ,

Hvor n - et hvilket som helst heltall. Vanligvis, fra det uendelige settet med verdier til argumentet til et komplekst tall, velg den som er mellom 0 og 2 π . I dette tilfellet er denne verdien π / 4. Det er derfor

1 + jeg = √ 2 (cos π / 4 + jeg synd π / 4)

Eksempel 2. Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form √ 3 - jeg . Vi har:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, synd φ = - 1 / 2

Derfor opp til en vinkel delelig med 2 π , φ = 11 / 6 π ; derfor,

√ 3 - jeg = 2(cos 11/6 π + jeg synd 11/6 π ).

Eksempel 3 Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form jeg.

Kompleks tall jeg tilsvarer vektor O.A.> , som slutter ved punkt A på aksen på med ordinat 1 (fig. 333). Lengden på en slik vektor er 1, og vinkelen den lager med x-aksen er lik π / 2. Det er derfor

jeg =cos π / 2 + jeg synd π / 2 .

Eksempel 4. Skriv det komplekse tallet 3 på trigonometrisk form.

Det komplekse tallet 3 tilsvarer vektoren O.A. > X abscisse 3 (fig. 334).

Lengden på en slik vektor er 3, og vinkelen den lager med x-aksen er 0. Derfor

3 = 3 (cos 0 + jeg synd 0),

Eksempel 5. Skriv det komplekse tallet -5 på trigonometrisk form.

Det komplekse tallet -5 tilsvarer en vektor O.A.> slutter ved et aksepunkt X med abscisse -5 (fig. 335). Lengden på en slik vektor er 5, og vinkelen den danner med x-aksen er lik π . Det er derfor

5 = 5(cos π + jeg synd π ).

Øvelser

2047. Skriv disse komplekse tallene i trigonometrisk form, og definer modulene og argumentene deres:

1) 2 + 2√3 jeg , 4) 12jeg - 5; 7).3jeg ;

2) √3 + jeg ; 5) 25; 8) -2jeg ;

3) 6 - 6jeg ; 6) - 4; 9) 3jeg - 4.

2048. Indiker på planet et sett med punkter som representerer komplekse tall hvis moduli r og argumenter φ tilfredsstiller betingelsene:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kan tall samtidig være modulen til et komplekst tall? r Og - r ?

2050. Kan argumentet til et komplekst tall samtidig være vinkler? φ Og - φ ?

Presenter disse komplekse tallene i trigonometrisk form, og definer deres moduler og argumenter:

2051*. 1 + cos α + jeg synd α . 2054*. 2 (cos 20° - jeg sin 20°).

2052*. synd φ + jeg cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - jeg synd 15°).

For å bestemme posisjonen til et punkt på et plan kan du bruke polare koordinater [g, (r), Hvor G er avstanden til punktet fra origo, og (s- vinkelen som utgjør radien - vektoren til dette punktet med den positive retningen til aksen Åh. Positiv retning av vinkelendring (s Retningen som vurderes er mot klokken. Dra nytte av forbindelsen mellom kartesiske og polare koordinater: x = g cos avg,y = g sin (s,

vi får den trigonometriske formen for å skrive et komplekst tall

z - r(sin (p + i sin

Hvor G

Xi + y2, (p er argumentet til et komplekst tall, som er funnet fra

l X . y y

formler cos(p --, sin^9 ​​​​= - eller på grunn av det faktum at tg(p --, (p-arctg

Merk at når du velger verdier ons fra den siste ligningen er det nødvendig å ta hensyn til tegnene x og y.

Eksempel 47. Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form 2 = -1 + l/Z / .

Løsning. La oss finne modulen og argumentet til et komplekst tall:

= yj 1 + 3 = 2 . Hjørne ons finner vi ut fra relasjonene cos (s = -, sin(p = -. Da

vi får cos(p = -, suup

u/z g~

  • - -. Åpenbart er punktet z = -1 + V3-/ lokalisert
  • 2 Til 3

i andre kvartal: (s= 120°

Erstatter

2 k.. cos--h; synd

inn i formel (1) funnet 27Г L

Kommentar. Argumentet til et komplekst tall er ikke unikt definert, men innenfor et begrep som er et multiplum av 2p. Så gjennom sp^g betegne

argumentverdien innesluttet (s 0 %2 Da

A)^r = + 2kk.

Ved å bruke den berømte Euler-formelen e, vi får den eksponentielle formen for å skrive et komplekst tall.

Vi har r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operasjoner på komplekse tall

  • 1. Summen av to komplekse tall r, = X] + y x/ og g 2 - x 2 +y 2 / bestemmes etter formelen r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
  • 2. Operasjonen med å subtrahere komplekse tall er definert som den inverse operasjonen av addisjon. Kompleks tall g = g x - g 2, Hvis g 2 + g = g x,

er forskjellen av komplekse tall 2, og g 2. Så r = (x, - x 2) + (y, - på 2) /.

  • 3. Produkt av to komplekse tall g x= x, +y, -z og 22 = x 2+ U2' r bestemmes av formelen
  • *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(ХУ2 + Х 2У)-"-

Spesielt å-å= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Du kan få formler for å multiplisere komplekse tall i eksponentielle og trigonometriske former. Vi har:

  • 1^2 - G x e 1 = )G 2 e > = G] G 2 cOs((P + snitt 2) + isin
  • 4. Divisjon av komplekse tall er definert som den inverse operasjonen

multiplikasjon, dvs. tall G-- kalt kvotienten av divisjon r! på g 2,

Hvis g x -1 2 ? 2 . Da

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

  • - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (s-,)] >2 >2
  • 5. Å heve et komplekst tall til en positiv heltallspotens gjøres best hvis tallet er skrevet i eksponentielle eller trigonometriske former.

Faktisk, hvis g = ge 1 da

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formel g" =r n (cosn(p+er n(p) kalt Moivres formel.

6. Rotutvinning p- potensen av et komplekst tall er definert som den inverse operasjonen av å heve til en potens p, p- 1,2,3,... dvs. komplekst tall = y[g kalt en rot p- potens av et komplekst tall

g, hvis G = g x. Av denne definisjonen følger det at g - g", A g x= l/g. (r-psr x, EN sr^-sr/n, som følger av Moivres formel skrevet for tallet = r/*+ іьіпп(р).

Som nevnt ovenfor er argumentet for et komplekst tall ikke unikt definert, men opp til et begrep som er et multiplum av 2 og. Det er derfor = (p + 2pk, og argumentet til tallet r, avhengig av Til, la oss betegne (r k og bu

dem beregne ved hjelp av formelen (r k= - + . Det er tydelig at det er det n kom-

komplekse tall, n-te potens er lik tallet 2. Disse tallene har en

og samme modul lik y[g, og argumentene til disse tallene er hentet av Til = 0, 1, p - 1. Altså i trigonometrisk form rot i-te grader beregnes ved hjelp av formelen:

(p + 2kp . . ons + 2kp

, Til = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

og i eksponentiell form - i henhold til formelen l[g - y[ge s

Eksempel 48. Utfør operasjoner på komplekse tall i algebraisk form:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

  • (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
  • (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Eksempel 49. Hev tallet r = Uz - / til femte potens.

Løsning. Vi får den trigonometriske formen for å skrive tallet r.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (s =

  • (1 - 2/X2 + /)
  • (z-,)

O - 2.-X2 + o

  • 12+ 4/-9/
  • 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
  • (z-O " (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

  • (3-i) 'з+/
  • 9 + 1 z_±.
  • 5 2 1 "

Herfra O--, A r = 2

Vi får Moivre: jeg -2

/ ^ _ 7G,. ?G

  • -SS-- ІБІП -
  • --b / -

= -(l/w + g)= -2.

Eksempel 50: Finn alle verdier

Løsning, r = 2, a ons finner vi ut fra ligningen hulk(p = -,zt--.

Dette punktet 1 - /d/z ligger i fjerde kvartal, dvs. f =--. Da

  • 1 - 2
  • ( ( UG L

Vi finner rotverdiene fra uttrykket

V1 - /l/z = l/2

  • --+ 2А:/г ---ь 2 kk
  • 3 . . 3

S08--1- og 81P-

På Til - 0 har vi 2 0 = l/2

Du kan finne verdiene til roten av tallet 2 ved å representere tallet i displayet

-* TIL/ 3 + 2 cl

På Til= 1 vi har en annen rotverdi:

  • 7G. 7G_
  • ---ь27г ---ь2;г
  • 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

  • --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

telial form. Fordi r= 2, a ons= , så g = 2е 3 , а y[g = y/2e 2

2.3. Trigonometrisk form av komplekse tall

La vektoren spesifiseres på det komplekse planet med tallet .

La oss betegne med φ vinkelen mellom den positive halvaksen Ox og vektoren (vinkelen φ anses som positiv hvis den måles mot klokken, og negativ ellers).

La oss angi lengden på vektoren med r. Så . Vi angir også

Skrive et ikke-null komplekst tall z i skjemaet

kalles den trigonometriske formen til det komplekse tallet z. Tallet r kalles modulen til det komplekse tallet z, og tallet φ kalles argumentet til dette komplekse tallet og er betegnet med Arg z.

Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall - (Eulers formel) - eksponentiell form for å skrive et komplekst tall:

Det komplekse tallet z har uendelig mange argumenter: hvis φ0 er et hvilket som helst argument av tallet z, så kan alle de andre finnes ved å bruke formelen

For et komplekst tall er ikke argumentet og trigonometrisk form definert.

Dermed er argumentet for et komplekst tall som ikke er null, enhver løsning på ligningssystemet:

(3)

Verdien φ til argumentet til et komplekst tall z, som tilfredsstiller ulikhetene, kalles hovedverdien og er betegnet med arg z.

Argumentene Arg z og arg z er relatert til

, (4)

Formel (5) er en konsekvens av system (3), derfor tilfredsstiller alle argumenter av et komplekst tall likhet (5), men ikke alle løsninger φ av ligning (5) er argumenter for tallet z.

Hovedverdien til argumentet til et komplekst tall som ikke er null er funnet i henhold til formlene:

Formler for å multiplisere og dele komplekse tall i trigonometrisk form er som følger:

. (7)

Når du hever et komplekst tall til en naturlig potens, brukes Moivre-formelen:

Når du trekker ut roten til et komplekst tall, brukes formelen:

, (9)

hvor k=0, 1, 2, …, n-1.

Oppgave 54. Regn ut hvor .

La oss presentere løsningen på dette uttrykket i eksponentiell form for å skrive et komplekst tall: .

Hvis, da.

Deretter, . Derfor da Og , Hvor .

Svare: , kl.

Oppgave 55. Skriv komplekse tall på trigonometrisk form:

A) ; b) ; V); G); d) ; e) ; og).

Siden den trigonometriske formen til et komplekst tall er , da:

a) I et komplekst tall: .

,

Det er derfor

b) , Hvor ,

G) , Hvor ,

e) .

og) , A , Det.

Det er derfor

Svare: ; 4; ; ; ; ; .

Oppgave 56. Finn den trigonometriske formen til et komplekst tall

.

La .

Deretter, , .

Siden og , , deretter , og

Derfor, derfor

Svare: , Hvor .

Oppgave 57. Utfør følgende handlinger ved å bruke den trigonometriske formen til et komplekst tall: .

La oss forestille oss tallene og i trigonometrisk form.

1), hvor Da

Finn verdien av hovedargumentet:

La oss erstatte verdiene og inn i uttrykket, vi får

2) , hvor da

Da

3) La oss finne kvotienten

Forutsatt k=0, 1, 2, får vi tre forskjellige verdier av ønsket rot:

Hvis, da

hvis, da

hvis, da .

Svar: :

:

: .

Oppgave 58. La , , , være forskjellige komplekse tall og . Bevis det

a) nummer er et reelt positivt tall;

b) likheten gjelder:

a) La oss representere disse komplekse tallene i trigonometrisk form:

Fordi .

La oss anta det. Da


.

Det siste uttrykket er et positivt tall, siden sinustegnene inneholder tall fra intervallet.

siden nummeret ekte og positiv. Faktisk, hvis a og b er komplekse tall og er reelle og større enn null, så .

I tillegg,

derfor er den nødvendige likheten bevist.

Oppgave 59. Skriv tallet på algebraisk form .

La oss representere tallet i trigonometrisk form og deretter finne dets algebraiske form. Vi har . Til vi får systemet:

Dette innebærer likhet: .

Bruk av Moivres formel: ,

vi får

Den trigonometriske formen til det gitte tallet er funnet.

La oss nå skrive dette tallet i algebraisk form:

.

Svare: .

Oppgave 60. Finn summen , ,

La oss vurdere beløpet

Ved å bruke Moivres formel finner vi

Denne summen er summen av n ledd av en geometrisk progresjon med nevneren og det første medlemmet .

Ved å bruke formelen for summen av ledd for en slik progresjon, har vi

Å isolere den imaginære delen i det siste uttrykket, finner vi

Ved å isolere den reelle delen får vi også følgende formel: , , .

Oppgave 61. Finn summen:

EN) ; b) .

I følge Newtons formel for eksponentiering har vi

Ved å bruke Moivres formel finner vi:

Ved å likestille de virkelige og imaginære delene av de resulterende uttrykkene for , har vi:

Og .

Disse formlene kan skrives i kompakt form som følger:

,

, hvor er heltallsdelen av tallet a.

Oppgave 62. Finn alle , for hvilke .

Fordi , deretter ved hjelp av formelen

, For å trekke ut røttene, får vi ,

Derfor, , ,

, .

Punktene som tilsvarer tallene er plassert ved toppunktene til et kvadrat innskrevet i en sirkel med radius 2 med sentrum i punktet (0;0) (fig. 30).

Svare: , ,

, .

Oppgave 63. Løs ligningen , .

Etter betingelse ; derfor har ikke denne ligningen en rot, og derfor er den ekvivalent med ligningen.

For at tallet z skal være roten til en gitt ligning, må tallet være roten n. grad fra nummer 1.

Herfra konkluderer vi med at den opprinnelige ligningen har røtter bestemt fra likhetene

,

Slik,

,

dvs. ,

Svare: .

Oppgave 64. Løs likningen i settet med komplekse tall.

Siden tallet ikke er roten til denne ligningen, er denne ligningen ekvivalent med ligningen

Altså ligningen.

Alle røttene til denne ligningen er hentet fra formelen (se oppgave 62):

; ; ; ; .

Oppgave 65. Tegn på det komplekse planet et sett med punkter som tilfredsstiller ulikhetene: . (Andre måte å løse oppgave 45 på)

La .

Komplekse tall med identiske moduler tilsvarer punkter i planet som ligger på en sirkel sentrert ved origo, derfor ulikheten tilfredsstille alle punkter i en åpen ring avgrenset av sirkler med felles sentrum ved origo og radier og (fig. 31). La et punkt av det komplekse planet tilsvare tallet w0. Tall , har en modul flere ganger mindre enn modulen w0, og et argument større enn argumentet w0. Fra et geometrisk synspunkt kan punktet som tilsvarer w1 oppnås ved å bruke en homoteti med et senter ved origo og en koeffisient, samt en rotasjon i forhold til origo med en vinkel mot klokken. Som et resultat av å bruke disse to transformasjonene til punktene i ringen (fig. 31), vil sistnevnte forvandles til en ring avgrenset av sirkler med samme senter og radier 1 og 2 (fig. 32).

Omdannelse implementert ved hjelp av parallell overføring til en vektor. Ved å overføre ringen med senteret i punktet til den indikerte vektoren får vi en ring av samme størrelse med senteret i punktet (fig. 22).

Den foreslåtte metoden, som bruker ideen om geometriske transformasjoner av et fly, er sannsynligvis mindre praktisk å beskrive, men er veldig elegant og effektiv.

Oppgave 66. Finn if .

La , deretter og . Den første likestillingen vil ta formen . Fra betingelsen om likhet av to komplekse tall får vi , , hvorfra , . Dermed,.

La oss skrive tallet z i trigonometrisk form:

, Hvor , . I følge Moivres formel finner vi .

Svar: – 64.

Oppgave 67. For et komplekst tall, finn alle komplekse tall slik at , og .

La oss representere tallet i trigonometrisk form:

. Herfra,. For tallet vi får , kan være lik eller .

I det første tilfellet , i den andre

.

Svar: , .

Oppgave 68. Finn summen av slike tall som . Vennligst oppgi ett av disse tallene.

Merk at fra selve problemformuleringen kan det forstås at summen av røttene til ligningen kan finnes uten å beregne selve røttene. Faktisk, summen av røttene til ligningen er koeffisienten for , tatt med motsatt fortegn (generalisert Vietas teorem), dvs.

Elever, skoledokumentasjon, trekker konklusjoner om graden av mestring av dette konseptet. Oppsummer studiet av egenskapene til matematisk tenkning og prosessen med dannelsen av begrepet et komplekst tall. Beskrivelse av metoder. Diagnostisk: Trinn I. Samtalen ble gjennomført med en matematikklærer som underviser i algebra og geometri på 10. trinn. Samtalen fant sted etter at det hadde gått litt tid siden starten...

Resonance" (!)), som også inkluderer en vurdering av egen atferd. 4. Kritisk vurdering av ens forståelse av situasjonen (tvil). 5. Til slutt bruk av anbefalinger fra juridisk psykologi (hensyntatt av advokat) psykologiske aspekter utførte faglige handlinger - faglig og psykologisk beredskap). La oss nå vurdere psykologisk analyse juridiske fakta. ...



Matematikk for trigonometrisk substitusjon og testing av effektiviteten til den utviklede undervisningsmetodikken. Arbeidsfaser: 1. Utvikling av et valgfritt kurs om emnet: «Anvendelse av trigonometrisk substitusjon for å løse algebraiske problemer» med elever i klasser med dybdestudie matematikk. 2. Gjennomføring av det utviklede valgfaget. 3. Utføre en diagnostisk test...

Kognitive oppgaver er kun ment å utfylle eksisterende læremidler og må være i passende kombinasjon med alle tradisjonelle virkemidler og elementer pedagogisk prosess. Forskjellen mellom pedagogiske problemer i undervisningen i humaniora og eksakte, fra matematiske problemer, er bare at i historiske problemer er det ingen formler, strenge algoritmer osv., som kompliserer løsningen deres. ...