I differensialregning løses problemet: under den gitte funksjonen ƒ(x) finn dens deriverte(eller differensial). Integralregningen løser det inverse problemet: å finne funksjonen F (x), kjenne dens deriverte F "(x) \u003d ƒ (x) (eller differensial). Den ønskede funksjonen F (x) kalles antideriverten til funksjonen ƒ (x).
Funksjonen F(x) kalles primitiv funksjon ƒ(x) på intervallet (a; b), hvis for noen x є (a; b) likheten
F " (x)=ƒ(x) (eller dF(x)=ƒ(x)dx).
For eksempel, antiderivertefunksjonen y \u003d x 2, x є R, er en funksjon, siden
Tydeligvis vil antiderivater også være en hvilken som helst funksjon
hvor C er en konstant, fordi
Teorem 29. 1. Hvis funksjonen F(x) er antideriverten til funksjonen ƒ(x) på (a;b), så er mengden av alle antideriverte for ƒ(x) gitt av formelen F(x)+ C, hvor C er et konstant tall.
▲ Funksjonen F(x)+C er antideriverten av ƒ(x).
Faktisk, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).
La F(x) være en annen, forskjellig fra F(x), antideriverte funksjon ƒ(x), dvs. Ф "(x)=ƒ(x). Så for enhver x є (a; b) har vi
Og dette betyr (se konsekvens 25.1) det
hvor C er et konstant tall. Derfor, Ф(х)=F(x)+С.▼
Settet med alle primitive funksjoner F(x)+C for ƒ(x) kalles ubestemt integral av funksjonen ƒ(x) og er angitt med symbolet ∫ ƒ(x) dx.
Så per definisjon 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Her kalles ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integrasjonsvariabel, ∫ -ubestemt integrert tegn.
Operasjonen med å finne et ubestemt integral av en funksjon kalles integrering av denne funksjonen.
Det geometrisk ubestemte integralet er en familie av "parallelle" kurver y \u003d F (x) + C (hver numerisk verdi av C tilsvarer en viss kurve i familien) (se fig. 166). Grafen til hvert antiderivat (kurve) kalles integrert kurve.
Har hver funksjon en ubestemt integral?
Det er et teorem som sier at "hver funksjon kontinuerlig på (a;b) har en antiderivert på dette intervallet", og følgelig et ubestemt integral.
Vi legger merke til en rekke egenskaper til det ubestemte integralet som følger av definisjonen.
1. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integraden, og den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).
Faktisk, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx
(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).
Takket være denne egenskapen bekreftes integreringens korrekthet ved differensiering. For eksempel likestilling
∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C
sant, siden (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.
2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:
∫dF(x)=F(x)+C.
Egentlig,
3. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:
α ≠ 0 er en konstant.
Egentlig,
(sett C 1 / a \u003d C.)
4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall kontinuerlige funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til funksjonenes ledd:
La F"(x)=ƒ(x) og G"(x)=g(x). Deretter
hvor C 1 ± C 2 \u003d C.
5. (Invarians av integrasjonsformelen).
Hvis 
, hvor u=φ(x) er en vilkårlig funksjon som har en kontinuerlig derivert.
▲ La x være en uavhengig variabel, ƒ(x) en kontinuerlig funksjon og F(x) dens antideriverte. Deretter
La oss nå sette u=φ(x), hvor φ(x) er en kontinuerlig differensierbar funksjon. Tenk på en kompleks funksjon F(u)=F(φ(x)). På grunn av invariansen av formen til funksjonens første differensial (se s. 160), har vi
Herfra▼
Dermed forblir formelen for det ubestemte integralet gyldig uavhengig av om integrasjonsvariabelen er en uavhengig variabel eller en funksjon av den som har en kontinuerlig derivert.
Så fra formelen 
ved å erstatte x med u (u=φ(x)) får vi 
Spesielt,
Eksempel 29.1. Finn integralet 
hvor C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.
Eksempel 29.2. Finn integrert løsning:
- 29.3. Tabell over grunnleggende ubestemte integraler
Ved å utnytte det faktum at integrasjon er inversen til differensiering, kan man få en tabell med grunnleggende integraler ved å invertere de tilsvarende formlene til differensialregningen (tabell over differensialer) og bruke egenskapene til det ubestemte integralet.
For eksempel, fordi
d(sin u)=cos u . du,
Utledningen av en rekke tabellformler vil bli gitt når man vurderer hovedmetodene for integrasjon.
Integralene i tabellen nedenfor kalles tabellintegraler. De bør være kjent utenat. I integralregning er det ingen enkle og universelle regler for å finne antiderivater fra elementære funksjoner, som i differensialregning. Metoder for å finne antiderivater (dvs. integrere en funksjon) reduseres til å indikere metoder som bringer en gitt (ønsket) integral til en tabell. Derfor er det nødvendig å kjenne tabellintegraler og kunne gjenkjenne dem.
Merk at i tabellen over grunnleggende integraler kan integrasjonsvariabelen og betegne både en uavhengig variabel og en funksjon av en uavhengig variabel (i henhold til invariansegenskapen til integrasjonsformelen).
Gyldigheten av formlene nedenfor kan verifiseres ved å ta differensialen på høyre side, som vil være lik integranden på venstre side av formelen.
La oss for eksempel bevise gyldigheten av formel 2. Funksjonen 1/u er definert og kontinuerlig for alle verdier som ikke er null.
Hvis u > 0, så ln|u|=lnu, da 
Derfor
Hvis du<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Midler
Så formel 2 er riktig. På samme måte, la oss sjekke formel 15:
Tabell over grunnleggende integraler
Venner! Vi inviterer deg til å diskutere. Hvis du har en mening, skriv til oss i kommentarfeltet.
I denne artikkelen viser vi hovedegenskapene til et bestemt integral. De fleste av disse egenskapene er bevist på grunnlag av Riemanns og Darbouxs begreper om en bestemt integral.
Beregningen av det bestemte integralet utføres veldig ofte ved å bruke de fem første egenskapene, så vi vil referere til dem når det er nødvendig. De resterende egenskapene til det bestemte integralet brukes hovedsakelig til å evaluere ulike uttrykk.
Før du går videre til grunnleggende egenskaper til et bestemt integral, vi er enige om at a ikke overstiger b .
For funksjonen y = f(x) , definert for x = a , er likheten sann.
Det vil si at verdien av det bestemte integralet med de samme integrasjonsgrensene er null. Denne egenskapen er en konsekvens av definisjonen av Riemann-integralet, siden i dette tilfellet er hver integral sum for enhver partisjon av intervallet og ethvert valg av punkter lik null, siden derfor grensen for integralsummene er null.
For en funksjon som kan integreres på et segment, har vi 
.
Med andre ord, når de øvre og nedre grensene for integrasjon reverseres, reverseres verdien av det bestemte integralet. Denne egenskapen til et bestemt integral følger også av konseptet med Riemann-integralet, bare nummereringen av partisjonen til et segment skal starte fra punktet x = b.
for funksjonene y = f(x) og y = g(x) som er integrerbare på et intervall.
Bevis.
Vi skriver integralsummen av funksjonen 
for en gitt partisjon av segmentet og et gitt valg av punkter: 
hvor og er integral summene av funksjonene y = f(x) og y = g(x) for henholdsvis en gitt partisjon av segmentet.
Passerer til grensen kl 
vi oppnår at, ved definisjonen av Riemann-integralet, tilsvarer påstanden om at egenskapen blir bevist.
Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til et bestemt integral. Det vil si at for en funksjon som er integrerbar på et segment y = f(x) og et vilkårlig tall k, er likheten 
.
Beviset for denne egenskapen til et bestemt integral er helt lik den forrige: 
La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet X , og 
og så 
.
Denne egenskapen er gyldig for både og for eller .
Beviset kan utføres basert på de tidligere egenskapene til det bestemte integralet.
Hvis en funksjon er integrerbar på et segment, er den også integrerbar på et hvilket som helst internt segment.
Beviset er basert på egenskapen til Darboux-summer: hvis nye poeng legges til den eksisterende partisjonen av segmentet, vil ikke den nedre Darboux-summen reduseres, og den øvre vil ikke øke.
Hvis funksjonen y = f(x) er integrerbar på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, 
.
Denne egenskapen er bevist gjennom definisjonen av Riemann-integralet: enhver integral sum for ethvert valg av splittepunkter for segmentet og punkter ved vil være ikke-negative (ikke positive).
Konsekvens.
For funksjonene y = f(x) og y = g(x) som kan integreres på et intervall, gjelder følgende ulikheter: 
Denne uttalelsen betyr at integrering av ulikheter er tillatt. Vi vil bruke denne konsekvensen for å bevise følgende egenskaper.
La funksjonen y = f(x) være integrerbar på segmentet , deretter ulikheten 
.
Bevis.
Det er åpenbart det 
. I den forrige egenskapen fant vi ut at ulikheten kan integreres begrep for begrep, derfor er det sant 
. Denne doble ulikheten kan skrives som .
La funksjonene y = f(x) og y = g(x) være integrerbare på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, så 
, Hvor 
Og .
Beviset utføres på lignende måte. Siden m og M er de minste og største verdiene av funksjonen y = f(x) på segmentet 
. Å multiplisere den doble ulikheten med den ikke-negative funksjonen y = g(x) fører oss til følgende doble ulikhet. Ved å integrere det i segmentet kommer vi frem til påstanden som skal bevises.
Konsekvens.
Hvis vi tar g(x) = 1 , så tar ulikheten formen 
.
Den første formelen for gjennomsnittet.
La funksjonen y = f(x) være integrerbar på segmentet , og , så er det et tall slik at 
.
Konsekvens.
Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på segmentet , så er det et tall slik at 
.
Den første formelen for gjennomsnittsverdien i en generalisert form.
La funksjonene y = f(x) og y = g(x) være integrerbare på intervallet , og , og g(x) > 0 for en hvilken som helst verdi av argumentet . Så er det et tall slikt 
.
Den andre formelen for gjennomsnittet.
Hvis funksjonen y = f(x) på et segment er integrerbar og y = g(x) er monoton, så eksisterer det et tall slik at likheten 
.
Antiderivativ funksjon og ubestemt integral
Fakta 1. Integrasjon er det motsatte av differensiering, nemlig gjenoppretting av en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Funksjonen gjenopprettet på denne måten F(x) er kalt primitiv for funksjon f(x).
Definisjon 1. Funksjon F(x f(x) på et eller annet intervall X, hvis for alle verdier x fra dette intervallet likheten F "(x)=f(x), det vil si denne funksjonen f(x) er derivatet av antiderivatfunksjonen F(x). .
For eksempel funksjonen F(x) = synd x er antiderivatet for funksjonen f(x) = cos x på hele talllinjen, siden for enhver verdi av x (synd x)" = (cos x) .
Definisjon 2. Ubestemt integral av en funksjon f(x) er samlingen av alle antiderivatene. Dette bruker notasjonen
∫
f(x)dx
,hvor er skiltet ∫ kalles integrertegnet, funksjonen f(x) er en integrand, og f(x)dx er integranden.
Således, hvis F(x) er noe antiderivat for f(x), Det
∫
f(x)dx = F(x) +C
Hvor C - vilkårlig konstant (konstant).
For å forstå betydningen av settet med antiderivater av en funksjon som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. La det være en dør (en tradisjonell tredør). Dens funksjon er "å være en dør". Hva er døren laget av? Fra et tre. Dette betyr at settet med antiderivater av integranden "å være en dør", det vil si dens ubestemte integral, er funksjonen "å være et tre + C", der C er en konstant, som i denne sammenheng kan betegne, for for eksempel et treslag. Akkurat som en dør er laget av tre med noen verktøy, er den deriverte av en funksjon "laget" av den antiderivative funksjonen med formel som vi lærte ved å studere den deriverte .
Da er funksjonstabellen til vanlige gjenstander og deres tilsvarende primitiver ("å være en dør" - "å være et tre", "å være en skje" - "å være et metall", etc.) lik tabellen til grunnleggende ubestemte integraler, som vil bli gitt nedenfor. Tabellen over ubestemte integraler viser vanlige funksjoner, og indikerer antiderivatene som disse funksjonene er "laget" fra. Som en del av oppgavene for å finne det ubestemte integralet gis det slike integrander som kan integreres direkte uten spesiell innsats, det vil si i henhold til tabellen over ubestemte integraler. I mer komplekse problemer må integranden først transformeres slik at tabellintegraler kan brukes.
Fakta 2. Å gjenopprette en funksjon som en antiderivert, må vi ta hensyn til en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke å skrive en liste over antiderivater med forskjellige konstanter fra 1 til uendelig, må du skrive ned et sett med antiderivater med en vilkårlig konstant C, slik: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkludert i uttrykket til antiderivatet, siden antiderivatet kan være en funksjon, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differensiering 4 eller 3 eller en annen konstant forsvinner.
Vi setter integreringsproblemet: for en gitt funksjon f(x) finne en slik funksjon F(x), hvis derivat er lik f(x).
Eksempel 1 Finn settet med antideriverte av en funksjon
Løsning. For denne funksjonen er antiderivatet funksjonen
Funksjon F(x) kalles antiderivat for funksjonen f(x) hvis den deriverte F(x) er lik f(x), eller, som er det samme, differensialen F(x) er lik f(x) dx, dvs.
(2)
Derfor er funksjonen antiderivativ for funksjonen. Det er imidlertid ikke det eneste antiderivatet for . De er også funksjoner
Hvor MED er en vilkårlig konstant. Dette kan verifiseres ved differensiering.
Således, hvis det er en antiderivert for en funksjon, så er det for den et uendelig sett med antiderivater som avviker med en konstant summand. Alle antiderivater for en funksjon er skrevet i skjemaet ovenfor. Dette følger av følgende teorem.
Teorem (formell faktaerklæring 2). Hvis F(x) er antiderivatet for funksjonen f(x) på et eller annet intervall X, deretter et hvilket som helst annet antiderivat for f(x) på samme intervall kan representeres som F(x) + C, Hvor MED er en vilkårlig konstant.
I det følgende eksemplet vender vi oss allerede til tabellen over integraler, som vil bli gitt i avsnitt 3, etter egenskapene til det ubestemte integralet. Vi gjør dette før vi gjør oss kjent med hele tabellen, slik at essensen av ovenstående er tydelig. Og etter tabellen og egenskapene vil vi bruke dem i sin helhet ved integrering.
Eksempel 2 Finn sett med antiderivater:
Løsning. Vi finner sett med antideriverte funksjoner som disse funksjonene er "laget av". Når du nevner formler fra tabellen over integraler, for nå, bare godta at det finnes slike formler, og vi vil studere tabellen over ubestemte integraler i sin helhet litt lenger.
1) Bruk av formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi
2) Ved å bruke formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har
3) Siden
deretter i henhold til formel (7) kl n= -1/4 funn
Under integrertegnet skriver de ikke selve funksjonen f, og dets produkt ved differensialen dx. Dette gjøres først og fremst for å indikere hvilken variabel det søkes etter antiderivatet. For eksempel,
,
;
her i begge tilfeller er integranden lik , men dens ubestemte integraler i de vurderte tilfellene viser seg å være forskjellige. I det første tilfellet betraktes denne funksjonen som en funksjon av en variabel x, og i den andre - som en funksjon av z .
Prosessen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere den funksjonen.
Den geometriske betydningen av det ubestemte integralet
La det kreves å finne en kurve y=F(x) og vi vet allerede at tangenten til hellingen til tangenten i hvert av punktene er en gitt funksjon f(x) abscisse av dette punktet.
I henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tangenten til hellingen til tangenten i et gitt punkt på kurven y=F(x) lik verdien av derivatet F"(x). Så vi må finne en slik funksjon F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Nødvendig funksjon i oppgaven F(x) er avledet fra f(x). Tilstanden til problemet tilfredsstilles ikke av en kurve, men av en familie av kurver. y=F(x)- en av disse kurvene, og enhver annen kurve kan oppnås fra den ved parallell translasjon langs aksen Oy.
La oss kalle grafen til antiderivertefunksjonen til f(x) integrert kurve. Hvis F"(x)=f(x), deretter grafen til funksjonen y=F(x) er en integralkurve.
Fakta 3. Det ubestemte integralet er geometrisk representert av familien av alle integralkurver som på bildet under. Avstanden til hver kurve fra origo bestemmes av en vilkårlig integrasjonskonstant (konstant). C.
Egenskaper til det ubestemte integralet
Fakta 4. Teorem 1. Den deriverte av et ubestemt integral er lik integranden, og dens differensial er lik integranden.
Fakta 5. Teorem 2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon f(x) er lik funksjonen f(x) opp til en konstant term , dvs.
(3)
Teoremer 1 og 2 viser at differensiering og integrasjon er gjensidig inverse operasjoner.
Fakta 6. Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av fortegnet til det ubestemte integralet , dvs.
Å løse integraler er en enkel oppgave, men bare for eliten. Denne artikkelen er for de som ønsker å lære å forstå integraler, men vet lite eller ingenting om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendig? Hvordan beregne det? Hva er bestemte og ubestemte integraler?
Hvis den eneste bruken av integralet du vet er å få noe nyttig fra vanskelig tilgjengelige steder med en krok i form av et integrert ikon, så velkommen! Lær hvordan du løser enkle og andre integraler og hvorfor du ikke klarer deg uten i matematikk.
Vi studerer konseptet « integrert »
Integrering var kjent i det gamle Egypt. Selvfølgelig ikke i moderne form, men likevel. Siden den gang har matematikere skrevet svært mange bøker om emnet. Spesielt utmerkede Newton Og Leibniz men essensen av ting har ikke endret seg.
Hvordan forstå integraler fra bunnen av? Aldri! For å forstå dette emnet, vil du fortsatt trenge en grunnleggende kunnskap om det grunnleggende om matematisk analyse. Informasjon om , som også er nødvendig for å forstå integraler, er allerede i bloggen vår.
Ubestemt integral
La oss ha en funksjon f(x) .
Den ubestemte integralen av funksjonen f(x) en slik funksjon kalles F(x) , hvis deriverte er lik funksjonen f(x) .
Med andre ord er en integral en omvendt derivat eller antiderivat. Forresten, om hvordan du leser i artikkelen vår.
En antiderivativ eksisterer for alle kontinuerlige funksjoner. Også et konstant tegn legges ofte til antiderivatet, siden derivatene av funksjoner som avviker med en konstant sammenfaller. Prosessen med å finne et integral kalles integrasjon.
Enkelt eksempel:
For ikke å hele tiden beregne antiderivatene til elementære funksjoner, er det praktisk å bringe dem inn i en tabell og bruke ferdige verdier.
Komplett tabell over integraler for studenter
Sikker integral
Når vi har å gjøre med begrepet et integral, har vi å gjøre med uendelig små mengder. Integralet vil hjelpe til med å beregne arealet av figuren, massen til en inhomogen kropp, banen reist under ujevn bevegelse og mye mer. Det bør huskes at integralet er summen av et uendelig stort antall uendelig små ledd.
Som et eksempel, se for deg en graf for en funksjon.
Hvordan finne arealet til en figur avgrenset av en graf for en funksjon? Ved hjelp av en integral! La oss bryte den krumlinjede trapesen, avgrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen, i uendelig små segmenter. Dermed vil figuren deles inn i tynne kolonner. Summen av arealene til kolonnene vil være arealet av trapesen. Men husk at en slik beregning vil gi et omtrentlig resultat. Men jo mindre og smalere segmentene er, jo mer nøyaktig blir beregningen. Hvis vi reduserer dem i en slik grad at lengden har en tendens til null, vil summen av arealene til segmentene tendere til området til figuren. Dette er det bestemte integralet, som er skrevet som følger:
Punktene a og b kalles integrasjonsgrensene.
« Integral »
Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på
Regler for beregning av integraler for dummies
Egenskaper til det ubestemte integralet
Hvordan løser man et ubestemt integral? Her vil vi vurdere egenskapene til det ubestemte integralet, som vil være nyttig for å løse eksempler.
- Den deriverte av integralet er lik integranden:
- Konstanten kan tas ut under integrertegnet:
- Integralet av summen er lik summen av integralene. Også sant for forskjellen:
Egenskaper til det definitive integralet
- Linearitet:
- Tegnet til integralet endres hvis grensene for integrasjon er reversert:
- På noen poeng en, b Og Med:
Vi har allerede funnet ut at det bestemte integralet er summens grense. Men hvordan få en bestemt verdi når man løser et eksempel? For dette er det Newton-Leibniz-formelen:
Eksempler på løsning av integraler
Nedenfor tar vi for oss den ubestemte integralen og eksempler med løsninger. Vi tilbyr deg å uavhengig forstå kompleksiteten i løsningen, og hvis noe ikke er klart, still spørsmål i kommentarene.
For å konsolidere materialet, se en video om hvordan integraler løses i praksis. Fortvil ikke hvis integralen ikke gis umiddelbart. Vend deg til en profesjonell studenttjeneste, og enhver trippel eller krumlinjet integrering over en lukket overflate vil være innenfor din makt.
La funksjonen y = f(x) er definert på intervallet [ en, b ], en < b. La oss utføre følgende operasjoner:
1) delt [ en, b] poeng en = x 0 < x 1 < ... < x Jeg- 1 < x Jeg < ... < x n = b på n delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) i hvert av delsegmentene [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n, velg et vilkårlig punkt og beregn verdien av funksjonen på dette punktet: f(z i ) ;
3) finne arbeider f(z i ) · Δ x Jeg , hvor er lengden på delsegmentet [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n;
4) komponere integrert sum funksjoner y = f(x) på segmentet [ en, b ]:
Fra et geometrisk synspunkt er denne summen σ summen av arealene av rektangler hvis baser er delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ], og høydene er f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) henholdsvis (fig. 1). Angi med λ lengden på det største delsegmentet:
5) finn grensen for integralsummen når λ → 0.
Definisjon. Hvis det er en endelig grense for integralsummen (1) og den ikke er avhengig av metoden for å dele segmentet [ en, b] i delsegmenter, og heller ikke fra valg av punkter z i i dem, så kalles denne grensen bestemt integral fra funksjon y = f(x) på segmentet [ en, b] og betegnet
Dermed,
I dette tilfellet, funksjonen f(x) er kalt integrerbar på [ en, b]. Tall en Og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, f(x) er integranden, f(x ) dx- integrand, x– integrasjonsvariabel; linjestykke [ en, b] kalles integrasjonsintervallet.
Teorem 1. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på segmentet [ en, b], så er den integrerbar på dette intervallet.
Det bestemte integralet med de samme grensene for integrasjon er lik null:
Hvis en > b, så setter vi per definisjon
2. Den geometriske betydningen av et bestemt integral
La på segmentet [ en, b] kontinuerlig ikke-negativ funksjon y = f(x ) . Krumlinjeformet trapes kalles en figur avgrenset ovenfra av grafen til en funksjon y = f(x), nedenfra - ved okseaksen, til venstre og høyre - med rette linjer x = a Og x = b(Fig. 2).
Sikker integral av ikke-negativ funksjon y = f(x) fra et geometrisk synspunkt er lik arealet til en krumlinjet trapes avgrenset ovenfra av grafen til funksjonen y = f(x), til venstre og til høyre - etter linjesegmenter x = a Og x = b, nedenfra - ved et segment av okseaksen.
3. Grunnleggende egenskaper til et bestemt integral
1. Verdien av det bestemte integralet avhenger ikke av notasjonen til integrasjonsvariabelen:
2. En konstant faktor kan tas ut av tegnet til et bestemt integral:
3. Det bestemte integralet av den algebraiske summen av to funksjoner er lik den algebraiske summen av de bestemte integralene til disse funksjonene:
4.hvis funksjon y = f(x) er integrerbar på [ en, b] Og en < b < c, Det
5. (middelverditeorem). Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på segmentet [ en, b], så på dette segmentet eksisterer det et punkt slik at
4. Newton–Leibniz formel
Teorem 2. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på segmentet [ en, b] Og F(x) er noen av dets antiderivater på dette segmentet, så er følgende formel sann:
som kalles Newton-Leibniz formel. Forskjell F(b) - F(en) er skrevet som følger:
hvor tegnet kalles det doble jokertegn.
Dermed kan formel (2) skrives som:
Eksempel 1 Beregn integral
Løsning. For integranden f(x ) = x 2 har et vilkårlig antiderivat formen
Siden et hvilket som helst antiderivat kan brukes i Newton-Leibniz-formelen, for å beregne integralet tar vi antiderivatet, som har den enkleste formen:
5. Endring av variabel i et bestemt integral
Teorem 3. La funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på segmentet [ en, b]. Hvis:
1) funksjon x = φ ( t) og dens deriverte φ "( t) er kontinuerlige for ;
2) et sett med funksjonsverdier x = φ ( t) for er segmentet [ en, b ];
3) φ ( en) = en, φ ( b) = b, deretter formelen
som kalles variabel endringsformel i bestemt integral.
I motsetning til den ubestemte integralen, i dette tilfellet ikke nødvendig for å gå tilbake til den opprinnelige integrasjonsvariabelen - det er nok bare å finne nye integrasjonsgrenser α og β (for dette er det nødvendig å løse for variabelen t ligninger φ ( t) = en og φ ( t) = b).
I stedet for substitusjon x = φ ( t) kan du bruke erstatningen t = g(x). I dette tilfellet finne nye grenser for integrasjon med hensyn til variabelen t forenkler: α = g(en) , β = g(b) .
Eksempel 2. Beregn integral
Løsning. La oss introdusere en ny variabel i henhold til formelen . Ved å kvadrere begge sider av ligningen får vi 1 + x= t 2 , hvor x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Vi finner nye grenser for integrering. For å gjøre dette, erstatter vi de gamle grensene i formelen x= 3 og x= 8. Vi får: , hvorfra t= 2 og a = 2; , hvor t= 3 og β = 3. Så,
Eksempel 3 Regne ut
Løsning. La u=ln x, Deretter , v = x. Etter formel (4)