Nyttige trigonometriske formler. Alle trigonometriformler

På denne siden finner du alle de grunnleggende trigonometriske formlene som vil hjelpe deg med å løse mange øvelser, noe som forenkler selve uttrykket.

Trigonometriske formler er matematiske likheter for trigonometriske funksjoner som er tilfredsstilt for alle gyldige verdier av argumentet.

Formler spesifiserer relasjonene mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens, cotangens.

Sinusen til en vinkel er y-koordinaten til et punkt (ordinaten) på enhetssirkelen. Cosinus til en vinkel er x-koordinaten til et punkt (abscisse).

Tangent og cotangens er henholdsvis forholdet mellom sinus og cosinus og omvendt.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

Og to som brukes sjeldnere - sekant, cosecant. De representerer forholdet mellom 1 og cosinus og sinus.

`sek \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Fra definisjonene av trigonometriske funksjoner er det klart hvilke tegn de har i hver kvadrant. Tegnet til funksjonen avhenger bare av hvilken kvadrant argumentet er plassert i.

Når du endrer tegnet på argumentet fra "+" til "-", er det bare cosinusfunksjonen som ikke endrer verdien. Det heter selv. Grafen er symmetrisk om y-aksen.

De resterende funksjonene (sinus, tangens, cotangens) er oddetall. Når du endrer tegnet på argumentet fra "+" til "-", endres verdien deres også til negativ. Grafene deres er symmetriske om opprinnelsen.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter- dette er formler som etablerer en sammenheng mellom trigonometriske funksjoner i en vinkel (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) og som lar deg finne verdien av hver av disse funksjonene gjennom noen kjente andre .
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1'
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Formler for summen og differansen av vinkler til trigonometriske funksjoner

Formler for å legge til og trekke fra argumenter uttrykker trigonometriske funksjoner summen eller forskjellen av to vinkler gjennom de trigonometriske funksjonene til disse vinklene.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \\alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Dobbelvinkelformler

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Trippelvinkelformler

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Halvvinkelformler

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formler for halv-, dobbel- og trippelargumenter uttrykker funksjonene `sin, \cos, \tg, \ctg` av disse argumentene (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) gjennom disse funksjonsargumentet `\alpha`.

Deres konklusjon kan hentes fra forrige gruppe (addisjon og subtraksjon av argumenter). For eksempel kan du enkelt få doble vinkelidentiteter ved å erstatte `\beta` med `\alpha`.

Formler for gradreduksjon

Formler av kvadrater (terninger, etc.) av trigonometriske funksjoner lar deg flytte fra 2,3,... grader til trigonometriske funksjoner av første grad, men flere vinkler (`\alpha, \3\alpha, \... ` eller `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Formlene er transformasjoner av summen og forskjellen av trigonometriske funksjoner til forskjellige argumenter til et produkt.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Her skjer transformasjonen av addisjon og subtraksjon av funksjoner til ett argument til et produkt.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Følgende formler konverterer summen og differansen av én og en trigonometrisk funksjon til et produkt.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formler for å konvertere produkter av funksjoner

Formler for å konvertere produktet av trigonometriske funksjoner med argumentene `\alpha` og `\beta` til summen (forskjellen) av disse argumentene.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Universell trigonometrisk substitusjon

Disse formlene uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \i Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \i Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \i Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \i Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \i Z`

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler kan oppnås ved å bruke slike egenskaper til trigonometriske funksjoner som periodisitet, symmetri og egenskapen til å skifte med en gitt vinkel. De gjør det mulig å konvertere funksjoner med en vilkårlig vinkel til funksjoner hvis vinkel er mellom 0 og 90 grader.

For vinkel (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) eller (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
For vinkel (`\pi \pm \alpha`) eller (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
For vinkel (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) eller (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
For vinkel (`2\pi \pm \alpha`) eller (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Uttrykke noen trigonometriske funksjoner i form av andre

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometri betyr bokstavelig talt "måle trekanter." Det begynner å studeres på skolen, og fortsetter mer detaljert ved universitetene. Derfor trengs grunnleggende formler i trigonometri fra og med klasse 10, så vel som for bestått Unified State-eksamenen. De betegner sammenhenger mellom funksjoner, og siden det er mange av disse forbindelsene, er det mange formler i seg selv. Det er ikke lett å huske dem alle, og det er ikke nødvendig - om nødvendig kan de alle vises.

Trigonometriske formler brukes i integralregning, så vel som i trigonometriske forenklinger, beregninger og transformasjoner.

For å løse noen problemer vil en tabell med trigonometriske identiteter være nyttig, noe som vil gjøre det mye lettere å transformere funksjoner:

De enkleste trigonometriske identitetene

Kvotienten for å dele sinusen til en vinkel alfa med cosinus til samme vinkel er lik tangenten til denne vinkelen (formel 1). Se også beviset på riktigheten av transformasjonen av de enkleste trigonometriske identitetene.
Kvotienten for å dele cosinus til en vinkel alfa med sinus for samme vinkel er lik cotangensen til samme vinkel (formel 2)
Vinkel sekant lik en, delt på cosinus av samme vinkel (formel 3)
Summen av kvadratene av sinus og cosinus i samme vinkel er lik én (formel 4). se også beviset for summen av kvadratene av cosinus og sinus.
Summen av én og tangenten til en vinkel er lik forholdet mellom én og kvadratet av cosinus til denne vinkelen (formel 5)
Én pluss cotangensen til en vinkel er lik kvotienten av én delt på sinuskvadraten til denne vinkelen (formel 6)
Produktet av tangent og cotangens av samme vinkel er lik én (formel 7).

Konvertering av negative vinkler for trigonometriske funksjoner (partall og oddetall)

For å bli kvitt den negative verdien av gradmålet for en vinkel når du beregner sinus, cosinus eller tangens, kan du bruke følgende trigonometriske transformasjoner (identiteter) basert på prinsippene for partall eller oddetall trigonometriske funksjoner.

Som du kan se, kosinus og sekanten er jevn funksjon , sinus, tangens og cotangens er oddetallsfunksjoner.

Sinus negativ vinkel er lik den negative verdien av sinus av samme positive vinkel (minus sinus alfa).
Cosinus minus alfa vil gi samme verdi som cosinus til alfavinkelen.
Tangent minus alfa er lik minus tangens alfa.

Formler for å redusere doble vinkler (sinus, cosinus, tangens og cotangens av doble vinkler)

Hvis du trenger å dele en vinkel i to, eller omvendt, flytte fra en dobbel vinkel til en enkelt vinkel, kan du bruke følgende trigonometriske identiteter:

Dobbel vinkelkonvertering (sinus til en dobbel vinkel, cosinus til en dobbel vinkel og tangens til en dobbel vinkel) i singel forekommer i henhold til følgende regler:

Sinus med dobbel vinkel lik to ganger produktet av sinus og cosinus av en enkelt vinkel

Cosinus av dobbel vinkel lik forskjellen mellom kvadratet på cosinus til en enkelt vinkel og kvadratet på sinusen til denne vinkelen

Cosinus av dobbel vinkel lik to ganger kvadratet av cosinus til en enkelt vinkel minus en

Cosinus av dobbel vinkel lik en minus dobbel sinus kvadratisk enkeltvinkel

Tangent av dobbel vinkel er lik en brøk hvis teller er to ganger tangensen til en enkelt vinkel, og nevneren er lik en minus tangensen opphøyd i annen vinkel.

Kotangens av dobbel vinkel er lik en brøk hvis teller er kvadratet av cotangensen til en enkelt vinkel minus en, og nevneren er lik to ganger cotangensen til en enkelt vinkel

Formler for universell trigonometrisk substitusjon

Konverteringsformlene nedenfor kan være nyttige når du skal dele argumentet til en trigonometrisk funksjon (sin α, cos α, tan α) med to og redusere uttrykket til verdien av en halv vinkel. Fra verdien av α får vi α/2.

Disse formlene kalles formler for universell trigonometrisk substitusjon. Deres verdi ligger i det faktum at med deres hjelp reduseres et trigonometrisk uttrykk til å uttrykke tangenten til en halv vinkel, uavhengig av hvilke trigonometriske funksjoner (sin cos tan ctg) opprinnelig var i uttrykket. Etter dette er ligningen med tangenten til en halv vinkel mye lettere å løse.

Trigonometriske identiteter for halvvinkeltransformasjoner

Følgende er formlene for trigonometrisk konvertering av en halv vinkel til hele verdien.
Verdien av argumentet til den trigonometriske funksjonen α/2 reduseres til verdien av argumentet til den trigonometriske funksjonen α.

Trigonometriske formler for å legge til vinkler

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent og cotangens av summen av vinkler alfa og beta kan konverteres ved å bruke følgende regler for konvertering av trigonometriske funksjoner:

Tangent av summen av vinkler er lik en brøk hvis teller er summen av tangenten til den første og tangenten til den andre vinkelen, og nevneren er én minus produktet av tangenten til den første vinkelen og tangenten til den andre vinkelen.

Tangent av vinkelforskjell er lik en brøk hvis teller er lik forskjellen mellom tangenten til vinkelen som reduseres og tangenten til vinkelen som trekkes fra, og nevneren er én pluss produktet av tangentene til disse vinklene.

Kotangens av summen av vinkler er lik en brøk med teller lik produktet cotangensene til disse vinklene pluss én, og nevneren er lik forskjellen mellom cotangensen til den andre vinkelen og cotangensen til den første vinkelen.

Kotangens av vinkelforskjell er lik en brøk hvis teller er produktet av cotangensene til disse vinklene minus én, og nevneren er lik summen av cotangensene til disse vinklene.

Disse trigonometriske identitetene er praktiske å bruke når du for eksempel skal beregne tangensen på 105 grader (tg 105). Hvis du representerer det som tg (45 + 60), kan du bruke de gitte identiske transformasjonene av tangensen til vinkelsummen, og deretter erstatte tabellverdier tangent 45 og tangent 60 grader.

Formler for å konvertere summen eller differansen av trigonometriske funksjoner

Uttrykk som representerer en sum av formen sin α + sin β kan transformeres ved å bruke følgende formler:

Trippelvinkelformler - konvertering av sin3α cos3α tan3α til sinα cosα tanα

Noen ganger er det nødvendig å transformere trippelverdien til en vinkel slik at argumentet til den trigonometriske funksjonen blir vinkelen α i stedet for 3α.
I dette tilfellet kan du bruke formlene for trippelvinkeltransformasjon (identiteter):

Formler for å konvertere produkter av trigonometriske funksjoner

Hvis det er behov for å transformere produktet av sinus med forskjellige vinkler, cosinus av forskjellige vinkler, eller til og med produktet av sinus og cosinus, kan du bruke følgende trigonometriske identiteter:

I dette tilfellet vil produktet av sinus-, cosinus- eller tangensfunksjonene til forskjellige vinkler konverteres til en sum eller forskjell.

Formler for å redusere trigonometriske funksjoner

Du må bruke reduksjonstabellen som følger. I linjen velger vi funksjonen som interesserer oss. I kolonnen er det en vinkel. For eksempel, sinusen til vinkelen (α+90) i skjæringspunktet mellom den første raden og den første kolonnen, finner vi ut at sin (α+90) = cos α.

Du kan bestille detaljert løsning din oppgave!!!

En likhet som inneholder en ukjent under tegnet til en trigonometrisk funksjon (`sin x, cos x, tan x` eller `ctg x`) kalles en trigonometrisk ligning, og det er deres formler vi skal vurdere nærmere.

De enkleste ligningene kalles `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, hvor `x` er vinkelen som skal finnes, `a` er et hvilket som helst tall. La oss skrive ned rotformlene for hver av dem.

1. Ligning `sin x=a`.

For `|a|>1` har den ingen løsninger.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ligning `cos x=a`

For `|a|>1` - som for sinus, har den ingen løsninger blant reelle tall.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Spesielle tilfeller for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligning `tg x=a`

Har et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ligning `ctg x=a`

Har også et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formler for røttene til trigonometriske ligninger i tabellen

For sinus:
For kosinus:
For tangens og cotangens:
Formler for å løse ligninger som inneholder inverse trigonometriske funksjoner:

Metoder for å løse trigonometriske ligninger

Å løse enhver trigonometrisk ligning består av to trinn:

ved hjelp av å transformere den til den enkleste;
løs den enkleste ligningen oppnådd ved å bruke rotformlene og tabellene skrevet ovenfor.

La oss se på de viktigste løsningsmetodene ved å bruke eksempler.

Algebraisk metode.

Denne metoden innebærer å erstatte en variabel og erstatte den med en likhet.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gjør en erstatning: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, deretter `2y^2-3y+1=0`,

vi finner røttene: `y_1=1, y_2=1/2`, hvorfra to tilfeller følger:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Svar: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x+cos x=1`.

Løsning. La oss flytte alle leddene i likheten til venstre: `sin x+cos x-1=0`. Ved å bruke transformerer og faktoriserer vi venstre side:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svar: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksjon til en homogen ligning

Først må du redusere denne trigonometriske ligningen til en av to former:

`a sin x+b cos x=0` ( homogen ligning første grad) eller `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogen ligning av andre grad).

Deretter deler du begge delene med `cos x \ne 0` - for det første tilfellet, og med `cos^2 x \ne 0` - for det andre. Vi får ligninger for `tg x`: `a tg x+b=0` og `a tg^2 x + b tg x +c =0`, som må løses med kjente metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Løsning. La oss skrive høyre side som `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning av andre grad, vi deler venstre og høyre side med `cos^2 x \ne 0`, vi får:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. La oss introdusere erstatningen `tg x=t`, som resulterer i `t^2 + t - 2=0`. Røttene til denne ligningen er `t_1=-2` og `t_2=1`. Da:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Flytter til halv vinkel

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. La oss bruke dobbeltvinkelformlene, noe som resulterer i: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0'

Ved å bruke den algebraiske metoden beskrevet ovenfor får vi:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Innføring av hjelpevinkel

I den trigonometriske ligningen `a sin x + b cos x =c`, der a,b,c er koeffisienter og x er en variabel, del begge sider med `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeffisientene på venstre side har egenskapene til sinus og cosinus, nemlig summen av kvadratene deres er lik 1 og modulene deres er ikke større enn 1. La oss betegne dem som følger: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, deretter:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

La oss se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x+4 cos x=2`.

Løsning. Del begge sider av likheten med `sqrt (3^2+4^2)`, vi får:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

La oss betegne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Siden `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tar vi `\varphi=arcsin 4/5` som en hjelpevinkel. Så skriver vi vår likestilling i formen:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ved å bruke formelen for summen av vinkler for sinusen, skriver vi vår likhet i følgende form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksjonelle rasjonelle trigonometriske ligninger

Dette er likheter med brøker hvis tellere og nevnere inneholder trigonometriske funksjoner.

Eksempel. Løs ligningen. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Løsning. Multipliser og del høyre side av likheten med `(1+cos x)`. Som et resultat får vi:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Tatt i betraktning at nevneren ikke kan være lik null, får vi `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

La oss likestille telleren til brøken til null: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Deretter `sin x=0` eller `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Gitt at ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, er løsningene `x=2\pi n, n \in Z` og `x=\pi /2+2\pi n` , `n \i Z`.

Svare. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, og spesielt trigonometriske ligninger, brukes i nesten alle områder av geometri, fysikk og ingeniørfag. Studiet begynner i 10. klasse, det er alltid oppgaver for Unified State Exam, så prøv å huske alle formlene for trigonometriske ligninger - de vil definitivt være nyttige for deg!

Imidlertid trenger du ikke engang å huske dem, det viktigste er å forstå essensen og være i stand til å utlede den. Det er ikke så vanskelig som det ser ut til. Se selv ved å se videoen.

Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er spesifisert trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.

I denne artikkelen vil vi liste opp i rekkefølge alle de grunnleggende trigonometriske formlene, som er tilstrekkelige til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.

Sidenavigering.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.

Addisjonsformler

Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.

Formler for gradreduksjon

Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Hovedformål formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Universell trigonometrisk substitusjon

Vi fullfører vår gjennomgang av de grunnleggende formlene for trigonometri med formler som uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel. Denne erstatteren ble kalt universell trigonometrisk substitusjon. Dens bekvemmelighet ligger i det faktum at alle trigonometriske funksjoner uttrykkes i form av tangenten til en halv vinkel rasjonelt uten røtter.

Referanser.

Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. generell utdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig tillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.

Trigonometri, trigonometriske formler

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen grunnleggende trigonometriske identiteter.

Øverst på siden

Reduksjonsformler

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i formlene for artikkelreduksjon.

Øverst på siden

Addisjonsformler

For mer informasjon, se artikkelen Addisjonsformler.

Øverst på siden

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. hjørne.

Øverst på siden

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen om halvvinkelformler.

Øverst på siden

Formler for gradreduksjon

Øverst på siden

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

For utledning av formler, samt eksempler på deres anvendelse, se artikkelformlene for summen og differansen av sinus og cosinus.

Øverst på siden

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Øverst på siden

Universell trigonometrisk substitusjon

For mer fullstendig informasjon, se artikkelen universell trigonometrisk substitusjon.

Øverst på siden

Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole — 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. generell utdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Trigonometriske formler- Dette er de mest nødvendige formlene i trigonometri, nødvendige for å uttrykke trigonometriske funksjoner som utføres for enhver verdi av argumentet.

Addisjonsformler.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Dobbelvinkelformler.

cos 2α = cos²α -sin²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

synd 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Trippelvinkelformler.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

fordi 3α = 4cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Halvvinkelformler.

Reduksjonsformler.

Funksjon/vinkel i rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Funksjon/vinkel i °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Detaljert beskrivelse av reduksjonsformler.

Grunnleggende trigonometriske formler.

Grunnleggende trigonometrisk identitet:

sin 2 α+cos 2 α=1

Denne identiteten er resultatet av å bruke Pythagoras teorem på en trekant i den trigonometriske enhetens sirkel.

Forholdet mellom cosinus og tangens er:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 eller sek 2 α−tan 2 α=1.

Denne formelen er en konsekvens av den grunnleggende trigonometriske identiteten og oppnås fra den ved å dele venstre og høyre side med cos2α. Det antas at α≠π/2+πn,n∈Z.

Forholdet mellom sinus og cotangens:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 eller csc 2 α−cot 2 α=1.

Denne formelen følger også av den grunnleggende trigonometriske identiteten (oppnådd fra den ved å dele venstre og høyre side med sin2α. Her er det antatt at α≠πn,n∈Z.

Tangentdefinisjon:

tanα=sinα/cosα,

Hvor α≠π/2+πn,n∈Z.

Definisjon av cotangens:

cotα=cosα/sinα,

Hvor α≠πn,n∈Z.

Konsekvens fra definisjonene av tangent og cotangens:

tanα⋅ cotα=1,

Hvor α≠πn/2,n∈Z.

Definisjon av sekant:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definisjon av cosecant:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometriske ulikheter.

De enkleste trigonometriske ulikhetene:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Kvadrater av trigonometriske funksjoner.

Formler for terninger med trigonometriske funksjoner.

TrigonometriMatematikk. Trigonometri. Formler. Geometri. Teori

Vi har sett på de mest grunnleggende trigonometriske funksjonene (ikke la oss lure, i tillegg til sinus, cosinus, tangens og cotangens er det mange andre funksjoner, men mer om dem senere), men la oss nå se på noen grunnleggende egenskaper ved funksjonene som allerede er studert.

Trigonometriske funksjoner av numerisk argument

Uansett hvilket reelt tall t tas, kan det assosieres med et unikt definert tall sin(t).

Riktignok er samsvarsregelen ganske kompleks og består av følgende.

For å finne verdien av sin(t) fra tallet t, trenger du:

ordne tallsirkel på koordinatplan slik at sentrum av sirkelen faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, og startpunktet A til sirkelen faller på punktet (1; 0);
finn et punkt på sirkelen som tilsvarer tallet t;
finn ordinaten til dette punktet.
denne ordinaten er den ønskede sin(t).

Faktisk snakker vi om funksjonen s = sin(t), der t er et hvilket som helst reelt tall. Vi vet hvordan vi beregner noen verdier av denne funksjonen (for eksempel sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), etc.) , vi kjenner noen av egenskapene.

Sammenheng mellom trigonometriske funksjoner

Som du, håper jeg, kan gjette, er alle trigonometriske funksjoner sammenkoblet, og selv uten å vite betydningen av en, kan den bli funnet gjennom en annen.

For eksempel er den viktigste formelen i all trigonometri grunnleggende trigonometrisk identitet:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Som du kan se, når du kjenner verdien av sinusen, kan du finne verdien av cosinus, og også omvendt.

Trigonometri formler

Også veldig vanlige formler som forbinder sinus og cosinus med tangent og cotangens:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Fra de to siste formlene kan man utlede en annen trigometrisk identitet, denne gangen forbinder tangent og cotangens:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

La oss nå se hvordan disse formlene fungerer i praksis.

EKSEMPEL 1. Forenkle uttrykket: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Først av alt, la oss skrive tangenten og beholde kvadratet:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

La oss nå sette alt under en fellesnevner, og vi får:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Og til slutt, som vi ser, kan telleren reduseres til én av den trigonometriske hovedidentiteten, som et resultat får vi: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Med cotangensen utfører vi alle de samme handlingene, bare nevneren vil ikke lenger være en cosinus, men en sinus, og svaret vil være slik:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Etter å ha fullført denne oppgaven, utledet vi ytterligere to svært viktige formler som forbinder funksjonene våre, som vi også trenger å kjenne som baksiden av våre hender:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Du må kunne alle formlene presentert utenat, ellers er videre studier av trigonometri uten dem rett og slett umulig. I fremtiden vil det være flere formler, og det vil være mange av dem, og jeg forsikrer deg om at du definitivt vil huske dem alle i lang tid, eller kanskje du ikke vil huske dem, men ALLE bør vite disse seks tingene!

En komplett tabell over alle grunnleggende og sjeldne trigonometriske reduksjonsformler.

Her kan du finne trigonometriske formler i en praktisk form. Og trigonometriske reduksjonsformler finnes på en annen side.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

— matematiske uttrykk for trigonometriske funksjoner, utført for hver verdi av argumentet.

sin² α + cos² α = 1
tg α barneseng α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
barneseng α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Addisjonsformler

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Dobbelvinkelformler

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Trippelvinkelformler

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formler for gradreduksjon

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Overgang fra produkt til sum

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Vi har listet opp ganske mange trigonometriske formler, men hvis noe mangler, vennligst skriv.

Alt for å studere » Matematikk på skolen » Trigonometriske formler - jukseark

For å bokmerke en side, trykk Ctrl+D.

En gruppe med mye nyttig informasjon (abonner hvis du har en Unified State-eksamen eller Unified State-eksamen):

Hele databasen med sammendrag, kurs, avhandlinger og andre undervisningsmateriell leveres gratis. Ved å bruke nettstedets materiell bekrefter du at du har lest brukeravtalen og godtar alle punktene i sin helhet.

Transformasjonen av grupper av generelle løsninger av trigonometriske ligninger vurderes i detalj. Den tredje delen undersøker ikke-standard trigonometriske ligninger, hvis løsninger er basert på funksjonell tilnærming.

Alle formler (ligninger) for trigonometri: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Den fjerde delen diskuterer trigonometriske ulikheter. Metoder for å løse elementære problemer diskuteres i detalj. trigonometriske ulikheter, både på enhetssirkelen og...

... vinkel 1800-α= langs hypotenusen og spiss vinkel: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Så, in skolekurs I geometri introduseres konseptet med en trigonometrisk funksjon med geometriske midler på grunn av deres større tilgjengelighet. Det tradisjonelle metodiske skjemaet for å studere trigonometriske funksjoner er som følger: 1) først bestemmes trigonometriske funksjoner for en spiss vinkel på en rektangulær ...

… Lekser 19(3.6), 20(2.4) Sette et mål Oppdatere grunnleggende kunnskap Egenskaper for trigonometriske funksjoner Reduksjonsformler Nytt materiale Verdier av trigonometriske funksjoner Løse enkle trigonometriske ligninger Forsterkning Løse problemer Leksjonsmål: i dag skal vi beregne verdiene til trigonometriske funksjoner og løse ...

... den formulerte hypotesen som trengs for å løse følgende problemer: 1. Identifisere rollen til trigonometriske likninger og ulikheter i undervisning i matematikk; 2. Utvikle en metodikk for å utvikle evnen til å løse trigonometriske ligninger og ulikheter, rettet mot å utvikle trigonometriske konsepter; 3. Test eksperimentelt effektiviteten til den utviklede metoden. Å løse...

Trigonometriske formler

Vi presenterer for din oppmerksomhet ulike formler relatert til trigonometri.

(8) Kotangens av dobbel vinkel

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Sinus av en trippel vinkel sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Cosinus av trippel vinkel cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Cosinus av summen/differansen cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sinus av summen/forskjellen sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Tangent av sum/forskjell (14) Kotangens av sum/forskjell (15) Produkt av sinus sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Produkt av kosinus cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Produkt av sinus og cosinus sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Sum/forskjell av sinus sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Summen av kosinus cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Forskjell på kosinus cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Sum/forskjell av tangenter (22) Formel for å redusere graden av sinus sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Formel for å redusere graden av cosinus cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Sum/forskjell av sinus og cosinus (25) Sum/forskjell av sinus og cosinus med koeffisienter (26) Grunnleggende forhold mellom arcsine og arccosine arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Grunnleggende forhold mellom arctangens og arccotangens arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Generelle formler

- utskriftsvennlig versjon

Definisjoner Sinus av vinkel α (betegnelse synd(α)) er forholdet mellom benet motsatt og vinkel α til hypotenusen. Cosinus av vinkel α (betegnelse cos(α)) er forholdet mellom benet ved siden av vinkelen α og hypotenusen. Vinkeltangens α (betegnelse tan(α)) er forholdet mellom siden motsatt og vinkelen α til den tilstøtende siden. En ekvivalent definisjon er forholdet mellom sinus til en vinkel α og cosinus til samme vinkel - sin(α)/cos(α). Kotangens av vinkel α (betegnelse cottg(α)) er forholdet mellom benet ved siden av vinkelen α og den motsatte. En ekvivalent definisjon er forholdet mellom cosinus til en vinkel α og sinus av samme vinkel - cos(α)/sin(α). Andre trigonometriske funksjoner: sekant — sek(α) = 1/cos(α); cosecant - cosec(α) = 1/sin(α). Note Vi skriver ikke spesifikt tegnet * (multipliser) - der to funksjoner er skrevet på rad, uten mellomrom, er det underforstått. Clue For å utlede formler for cosinus, sinus, tangens eller cotangens av flere (4+) vinkler, er det nok å skrive dem i henhold til henholdsvis formlene. cosinus, sinus, tangens eller cotangens av summen, eller reduser til de foregående tilfellene, reduserer til formlene for trippel- og dobbelvinkler. Addisjon Derivattabell