Animasjon
Beskrivelse
Når en elastisk kraft virker på en massiv kropp og returnerer den til en likevektsposisjon, svinger den rundt denne posisjonen.
En slik kropp kalles en fjærpendel. Vibrasjoner oppstår under påvirkning ytre kraft. Svingninger som fortsetter etter at den ytre kraften har sluttet å virke, kalles frie. Oscillasjoner forårsaket av virkningen av en ytre kraft kalles tvunget. I dette tilfellet kalles selve kraften å tvinge.
I det enkleste tilfellet er en fjærpendel en ting som beveger seg langs et horisontalt plan fast, festet med en fjær til veggen (fig. 1).
Fjærpendel
Ris. 1
Den rettlinjede bevegelsen til en kropp er beskrevet av avhengigheten av dens koordinater på tid:
x = x(t). (1)
Hvis alle kreftene som virker på den aktuelle kroppen er kjent, kan denne avhengigheten etableres ved hjelp av Newtons andre lov:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
hvor m er kroppsmasse.
Høyre side av ligning (2) er summen av projeksjonene på x-aksen av alle krefter som virker på kroppen.
I dette tilfellet hovedrolle spiller den elastiske kraften, som er konservativ og kan representeres som:
F (x) = - dU (x)/dx, (3)
hvor U = U (x) er den potensielle energien til den deformerte fjæren.
La x være forlengelsen av fjæren. Det er eksperimentelt fastslått at ved små verdier av den relative forlengelsen av fjæren, dvs. forutsatt at:
½ x ½<< l ,
der l er lengden på den udeformerte fjæren.
Følgende forhold er omtrent sant:
U (x) = k x 2 /2, (4)
hvor koeffisienten k kalles fjærstivheten.
Fra denne formelen følger følgende uttrykk for den elastiske kraften:
F (x) = - kx. (5)
Dette forholdet kalles Hookes lov.
I tillegg til den elastiske kraften, kan en friksjonskraft virke på et legeme som beveger seg langs et plan, noe som er tilfredsstillende beskrevet av den empiriske formelen:
F tr = - r dx /dt , (6)
hvor r er friksjonskoeffisienten.
Ved å ta hensyn til formlene (5) og (6), kan ligning (2) skrives som følger:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)
hvor F(t) er den ytre kraften.
Hvis bare Hooke-kraften (5) virker på kroppen, vil kroppens frie vibrasjoner være harmoniske. En slik kropp kalles en harmonisk fjærpendel.
Newtons andre lov i dette tilfellet fører til ligningen:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt(k/m) (9)
Oscillasjonsfrekvens.
Den generelle løsningen til ligning (8) har formen:
x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)
hvor amplituden A og startfasen a er bestemt av startbetingelsene.
Når den aktuelle kroppen bare påvirkes av den elastiske kraften (5), endres ikke dens totale mekaniske energi over tid:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = konst. (11)
Denne uttalelsen utgjør innholdet i loven om bevaring av energi til en harmonisk fjærpendel.
Anta at i tillegg til den elastiske kraften som returnerer den til likevektsposisjon, virker en friksjonskraft på et massivt legeme. I dette tilfellet vil de frie vibrasjonene til kroppen som er opphisset på et tidspunkt avta over tid og kroppen vil ha en tendens til en likevektsposisjon.
I dette tilfellet kan Newtons andre lov (7) skrives som følger:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
hvor m er kroppsmasse.
Den generelle løsningen til ligning (12) har formen:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Oscillasjonsfrekvens
b = r / 2 m (15)
Oscillasjonsdempningskoeffisienten, amplitude a og startfase a bestemmes av startforholdene. Funksjon (13) beskriver de såkalte dempede oscillasjonene.
Den totale mekaniske energien til fjærpendelen, dvs. summen av dens kinetiske og potensielle energier
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
endringer over tid i henhold til loven:
dE/dt = P, (17)
hvor P = - rv 2 - kraften til friksjonskraften, dvs. energi omdannet til varme per tidsenhet.
Timing egenskaper
Starttid (logg til -3 til -1);
Levetid (logg tc fra 1 til 15);
Nedbrytningstid (log td fra -3 til 3);
Tidspunkt for optimal utvikling (log tk fra -3 til -2).
En fjærpendel er et oscillerende system som består av et materialpunkt med massen m og en fjær. La oss vurdere en horisontal fjærpendel (fig. 1, a). Den består av en massiv kropp boret i midten og plassert på en horisontal stang som den kan gli uten friksjon (et ideelt oscillerende system). Stangen er festet mellom to vertikale støtter.
En vektløs fjær er festet til kroppen i den ene enden. Den andre enden er festet til en støtte, som i det enkleste tilfellet er i ro i forhold til treghetsreferanserammen der pendelen svinger. I begynnelsen er ikke fjæren deformert, og kroppen er i likevektsposisjon C. Hvis kroppen fjernes fra likevektsposisjonen ved å strekke eller komprimere fjæren, vil en elastisk kraft begynne å virke på den fra side av den deformerte fjæren, alltid rettet mot likevektsposisjonen.
La oss komprimere fjæren, flytte kroppen til posisjon A og slippe den. Under påvirkning av elastisk kraft vil den bevege seg raskere. I dette tilfellet, i posisjon A, virker den maksimale elastiske kraften på kroppen, siden her er den absolutte forlengelsen x m av fjæren størst. Derfor er akselerasjonen maksimal i denne posisjonen. Når kroppen beveger seg mot likevektsposisjonen, avtar den absolutte forlengelsen av fjæren, og følgelig avtar akselerasjonen gitt av den elastiske kraften. Men siden akselerasjonen under en gitt bevegelse er samrettet med hastigheten, øker hastigheten på pendelen og i likevektsposisjon vil den være maksimal.
Etter å ha nådd likevektsposisjonen C, vil kroppen ikke stoppe (selv om fjæren i denne posisjonen ikke er deformert og den elastiske kraften er null), men med hastighet vil den bevege seg videre ved treghet og strekke fjæren. Den elastiske kraften som oppstår er nå rettet mot kroppens bevegelse og bremser den. Ved punkt D vil kroppens hastighet være lik null, og akselerasjonen vil være maksimal, kroppen vil stoppe et øyeblikk, hvoretter den, under påvirkning av den elastiske kraften, vil begynne å bevege seg i motsatt retning , til likevektsposisjonen. Etter å ha passert den igjen med treghet, vil kroppen, som komprimerer fjæren og bremser bevegelsen, nå punkt A (siden det ikke er friksjon), dvs. vil fullføre en fullstendig sving. Etter dette vil kroppsbevegelsen gjentas i den beskrevne sekvensen. Så årsakene til de frie svingningene til en fjærpendel er virkningen av den elastiske kraften som oppstår når fjæren er deformert og kroppens treghet.
I følge Hookes lov er F x = -kx. I følge Newtons andre lov er F x = ma x. Derfor ma x = -kx. Herfra
Dynamisk bevegelsesligning til en fjærpendel.
Vi ser at akselerasjonen er direkte proporsjonal med blandingen og er rettet motsatt av den. Sammenligning av den resulterende ligningen med ligningen for harmoniske vibrasjoner 
, ser vi at fjærpendelen utfører harmoniske svingninger med en syklisk frekvens
Periode med oscillasjon av en fjærpendel.
Ved å bruke samme formel kan du beregne svingningsperioden til en vertikal fjærpendel (fig. 1. b). Faktisk, i likevektsposisjonen, på grunn av tyngdekraften, er fjæren allerede strukket med en viss mengde x 0, bestemt av forholdet mg = kx 0. Når pendelen er forskjøvet fra likevektsposisjonen O på x, vil projeksjonen av den elastiske kraften
Virkningen av de fleste mekanismer er basert på de enkleste lovene i fysikk og matematikk. Konseptet med en fjærpendel har blitt ganske utbredt. En slik mekanisme har blitt veldig utbredt, siden fjæren gir den nødvendige funksjonaliteten og kan være et element i automatiske enheter. La oss se nærmere på en slik enhet, dens driftsprinsipp og mange andre punkter mer detaljert.
Definisjoner av en fjærpendel
Som tidligere nevnt har fjærpendelen blitt svært utbredt. Blant funksjonene er følgende:
- Enheten er representert av en kombinasjon av en vekt og en fjær, hvis masse kanskje ikke tas i betraktning. Et bredt utvalg av gjenstander kan fungere som last. Samtidig kan det være påvirket av en ytre kraft. Et vanlig eksempel er opprettelsen av en sikkerhetsventil som er installert i et rørsystem. Lasten er festet til fjæren på en rekke måter. I dette tilfellet brukes utelukkende den klassiske skruversjonen, som er mest brukt. De grunnleggende egenskapene avhenger i stor grad av typen materiale som brukes i produksjonen, diameteren på spolen, riktig justering og mange andre punkter. Yttersvingene er ofte laget på en slik måte at de tåler stor belastning under drift.
- Før deformasjonen begynner, er det ingen total mekanisk energi. I dette tilfellet påvirkes ikke kroppen av elastisk kraft. Hver fjær har en startposisjon, som den opprettholder over en lang periode. På grunn av en viss stivhet er imidlertid kroppen festet i utgangsposisjonen. Det er viktig hvordan kraften påføres. Et eksempel er at den skal rettes langs fjærens akse, siden det ellers er mulighet for deformasjon og mange andre problemer. Hver fjær har sine egne spesifikke kompresjons- og forlengelsesgrenser. I dette tilfellet er maksimal kompresjon representert av fraværet av et gap mellom individuelle svinger under spenning, det er et øyeblikk når irreversibel deformasjon av produktet oppstår. Hvis ledningen forlenges for mye, oppstår en endring i de grunnleggende egenskapene, hvoretter produktet ikke går tilbake til sin opprinnelige posisjon.
- I det aktuelle tilfellet oppstår vibrasjoner på grunn av virkningen av elastisk kraft. Det er preget av et ganske stort antall funksjoner som må tas i betraktning. Effekten av elastisitet oppnås på grunn av et visst arrangement av svinger og typen materiale som brukes under produksjonen. I dette tilfellet kan den elastiske kraften virke i begge retninger. Oftest forekommer kompresjon, men strekking kan også utføres - alt avhenger av egenskapene til det aktuelle tilfellet.
- Bevegelseshastigheten til en kropp kan variere over et ganske bredt område, alt avhenger av påvirkningen. For eksempel kan en fjærpendel flytte en hengende last i et horisontalt og vertikalt plan. Effekten av den rettede kraften avhenger i stor grad av den vertikale eller horisontale installasjonen.
Generelt kan vi si at definisjonen av en fjærpendel er ganske generell. I dette tilfellet avhenger bevegelseshastigheten til objektet av forskjellige parametere, for eksempel størrelsen på den påførte kraften og andre momenter. Før de faktiske beregningene lages et diagram:
- Støtten som fjæren er festet til er angitt. Ofte er det tegnet en strek med bakskravering for å vise det.
- Fjæren er vist skjematisk. Det er ofte representert med en bølget linje. I en skjematisk visning spiller lengden og diametralindikatoren ingen rolle.
- Kroppen er også avbildet. Det trenger ikke samsvare med dimensjonene, men plasseringen av direkte feste er viktig.
Et diagram er nødvendig for å skjematisk vise alle kreftene som påvirker enheten. Bare i dette tilfellet kan vi ta hensyn til alt som påvirker bevegelseshastigheten, treghet og mange andre aspekter.
Fjærpendler brukes ikke bare i beregninger eller løsning av ulike problemer, men også i praksis. Imidlertid er ikke alle egenskapene til en slik mekanisme anvendelige.
Et eksempel er tilfellet når oscillerende bevegelser ikke er nødvendig:
- Oppretting av låseelementer.
- Fjærmekanismer knyttet til transport av ulike materialer og gjenstander.
Beregninger av fjærpendelen lar deg velge den mest passende kroppsvekten, samt type fjær. Det er preget av følgende funksjoner:
- Diameter på svinger. Det kan være veldig forskjellig. Diameteren avgjør i stor grad hvor mye materiale som kreves for produksjon. Diameteren på spolene bestemmer også hvor mye kraft som må påføres for å oppnå full kompresjon eller delvis forlengelse. Å øke størrelsen kan imidlertid skape betydelige vanskeligheter med installasjonen av produktet.
- Tråddiameter. En annen viktig parameter er den diametrale størrelsen på ledningen. Det kan variere over et bredt spekter, avhengig av styrke og grad av elastisitet.
- Produktlengde. Denne indikatoren bestemmer hvor mye kraft som kreves for fullstendig kompresjon, samt hvilken elastisitet produktet kan ha.
- Materialtypen som brukes bestemmer også de grunnleggende egenskapene. Oftest er fjæren laget ved hjelp av en spesiell legering som har de riktige egenskapene.
I matematiske utregninger er mange punkter ikke tatt med. Den elastiske kraften og mange andre indikatorer bestemmes ved beregning.
Typer fjærpendel
Det finnes flere forskjellige typer fjærpendel. Det er verdt å vurdere at klassifisering kan utføres i henhold til typen fjær som er installert. Blant funksjonene merker vi:
- Vertikale vibrasjoner har blitt ganske utbredt, siden belastningen i dette tilfellet ikke er utsatt for friksjon og andre påvirkninger. Når lasten er plassert vertikalt, øker graden av påvirkning av tyngdekraften betydelig. Dette utførelsesalternativet er vanlig når du utfører et bredt utvalg av beregninger. På grunn av tyngdekraften er det en mulighet for at kroppen ved startpunktet vil utføre et stort antall treghetsbevegelser. Dette forenkles også av kroppens elastisitet og treghet ved slutten av slaget.
- En horisontal fjærpendel brukes også. I dette tilfellet ligger belastningen på støtteflaten og friksjon oppstår også på bevegelsestidspunktet. Når den er plassert horisontalt, fungerer tyngdekraften noe annerledes. Kroppens horisontale stilling har blitt utbredt i ulike oppgaver.
Bevegelsen til en fjærpendel kan beregnes ved å bruke et tilstrekkelig stort antall forskjellige formler, som må ta hensyn til påvirkningen av alle krefter. I de fleste tilfeller er en klassisk fjær installert. Blant funksjonene merker vi følgende:
- Den klassiske kveilede trykkfjæren har blitt svært utbredt i dag. I dette tilfellet er det et mellomrom mellom svingene, som kalles en pitch. Trykkfjæren kan strekke seg, men ofte er den ikke installert for dette. Et særtrekk er at de siste svingene gjøres i form av et plan, noe som sikrer jevn kraftfordeling.
- En stretchversjon kan installeres. Den er designet for installasjon i tilfeller der den påførte kraften forårsaker en økning i lengden. For festing plasseres kroker.
Resultatet er en oscillasjon som kan vare i lang tid. Formelen ovenfor lar deg utføre en beregning som tar hensyn til alle punktene.
Formler for perioden og svingningsfrekvensen til en fjærpendel
Når du designer og beregner hovedindikatorene, er det også mye oppmerksomhet til frekvensen og perioden med svingninger. Cosinus er en periodisk funksjon som bruker en verdi som ikke endres etter en viss tidsperiode. Denne indikatoren kalles oscillasjonsperioden til en fjærpendel. Bokstaven T brukes for å betegne denne indikatoren konseptet som karakteriserer verdien invers til oscillasjonsperioden (v) brukes også ofte. I de fleste tilfeller brukes formelen T=1/v i beregninger.
Svingningsperioden beregnes ved hjelp av en noe komplisert formel. Det er som følger: T=2п√m/k. For å bestemme oscillasjonsfrekvensen brukes formelen: v=1/2п√k/m.
Den betraktede sykliske frekvensen for oscillasjon av en fjærpendel avhenger av følgende punkter:
- Massen til en last som er festet til en fjær. Denne indikatoren anses som den viktigste, siden den påvirker en rekke parametere. Treghetskraften, hastigheten og mange andre indikatorer avhenger av massen. I tillegg er massen av lasten en mengde hvis måling ikke utgjør noen problemer på grunn av tilstedeværelsen av spesielt måleutstyr.
- Elastisitetskoeffisient. For hver vår er denne indikatoren betydelig forskjellig. Elastisitetskoeffisienten er indikert for å bestemme hovedparametrene til fjæren. Denne parameteren avhenger av antall omdreininger, lengden på produktet, avstanden mellom svingene, deres diameter og mye mer. Det bestemmes på en rekke måter, ofte ved hjelp av spesialutstyr.
Ikke glem at når fjæren er sterkt strukket, slutter Hookes lov å gjelde. I dette tilfellet begynner perioden med våroscillasjon å avhenge av amplituden.
Den universelle tidsenheten, i de fleste tilfeller sekunder, brukes til å måle perioden. I de fleste tilfeller beregnes amplituden til oscillasjoner når du løser en rekke problemer. For å forenkle prosessen, er det konstruert et forenklet diagram som viser hovedkreftene.
Formler for amplituden og startfasen til en fjærpendel
Etter å ha bestemt deg for funksjonene til de involverte prosessene og kjennskap til oscillasjonsligningen til fjærpendelen, så vel som startverdiene, kan du beregne amplituden og startfasen til fjærpendelen. Verdien av f brukes til å bestemme startfasen, og amplituden er indikert med symbolet A.
For å bestemme amplituden kan formelen brukes: A = √x 2 +v 2 /w 2. Startfasen beregnes ved hjelp av formelen: tgf=-v/xw.
Ved å bruke disse formlene kan du bestemme hovedparametrene som brukes i beregningene.
Vibrasjonsenergi til en fjærpendel
Når man vurderer svingningen av en last på en fjær, må man ta hensyn til det faktum at pendelens bevegelse kan beskrives med to punkter, det vil si at den er rettlinjet. Dette øyeblikket avgjør oppfyllelsen av vilkårene knyttet til den aktuelle styrken. Vi kan si at den totale energien er potensiell.
Det er mulig å beregne oscillasjonsenergien til en fjærpendel ved å ta hensyn til alle funksjonene. Hovedpunktene er følgende:
- Svingninger kan finne sted i horisontal- og vertikalplanet.
- Null potensiell energi er valgt som likevektsposisjon. Det er på dette stedet opprinnelsen til koordinatene etableres. Som regel beholder fjæren i denne posisjonen sin form forutsatt at det ikke er noen deformerende kraft.
- I det aktuelle tilfellet tar ikke den beregnede energien til fjærpendelen hensyn til friksjonskraften. Når belastningen er vertikal, er friksjonskraften ubetydelig når belastningen er horisontal, kroppen er på overflaten og friksjon kan oppstå under bevegelse.
- For å beregne vibrasjonsenergien brukes følgende formel: E=-dF/dx.
Informasjonen ovenfor indikerer at loven om bevaring av energi er som følger: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=konst. Formelen som brukes sier følgende:
Det er mulig å bestemme oscillasjonsenergien til en fjærpendel når du løser en rekke problemer.
Frie svingninger av en fjærpendel
Når du vurderer hva som forårsaker de frie vibrasjonene til en fjærpendel, bør du være oppmerksom på virkningen av indre krefter. De begynner å dannes nesten umiddelbart etter at bevegelse er blitt overført til kroppen. Funksjoner av harmoniske oscillasjoner inkluderer følgende punkter:
- Det kan også oppstå andre typer krefter av påvirkende karakter, som tilfredsstiller alle lovens normer, kalt kvasi-elastiske.
- Hovedårsakene til lovens handling kan være indre krefter som dannes umiddelbart i øyeblikket av en endring i kroppens posisjon i rommet. I dette tilfellet har lasten en viss masse, kraften skapes ved å feste den ene enden til en stasjonær gjenstand med tilstrekkelig styrke, den andre til selve lasten. I fravær av friksjon kan kroppen utføre oscillerende bevegelser. I dette tilfellet kalles den faste lasten lineær.
Vi bør ikke glemme at det ganske enkelt er et stort antall forskjellige typer systemer der oscillerende bevegelse oppstår. Elastisk deformasjon forekommer også i dem, noe som blir årsaken til deres bruk for å utføre ethvert arbeid.