Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А , а проекцию а? на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией .

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С . Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с … Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а?, b?, с? …

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций – арабскими цифрами 1, 2… и 1?, 2?…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки .

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа? проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа х, а фронтальную плоскость – по прямой а?а х. Прямые аах и а?а х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха? является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а? будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа х и а?а х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а? некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а? некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а? к фронтальной плоскости пройдет через точку А , т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa х а? (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа? = аа х;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а? от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а?а х.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти – переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость – на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости – с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В – во второй, точка С – в третьей и точка D – в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция – ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е ) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная k? показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения . В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а? точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа? .

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа? ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а? до их пересечения, можно получить точку А . При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а?? ) называют профильной проекцией и обозначают а?? .

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а? и а?? точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).

На рисунке 16 три проекции а, а? и а?? точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

а и а? всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;

а? и а?? всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а?? – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

4. Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а?А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а?А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а?А = Оа х = а у а = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = а x а? = а y а?.

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = а z а?= Оа x = а y а,

z = а x a? = Oa z = а y а?.

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оа у = а х а

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оа у = а z а?.

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у ,

2) фронтальной – координатами x и z ,

3) профильной – координатами у и z .

Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а? х х ;

2) фронтальная и профильная проекции а? и а? должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;

3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а? и а? имеют общую координату у .

В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.

Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.

Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.

Вспомогательная прямая комплексного чертежа

На чертеже, представленном на рис. 4.7, а, проведены оси проекций, а изображения соединены между собой линиями связи. Горизонтальная и профильная проекции соединены линиями связи с помощью дуг с центром в точке О пересечения осей. Однако в практике применяют и другое выполнение комплексного чертежа.

На безосных чертежах изображения располагают также в проекционной связи. Однако третья проекция может быть помещена ближе или дальше. Например, профильная проекция может быть размещена правее (рис. 4.7, б, II ) или левее (рис. 4.7, б, I ). Это важно для экономии места и удобства нанесения размеров.

Рис. 4.7.

Если на чертеже, выполненном по безосной системе, требуется провести между видом сверху и видом слева линии связи, то применяют вспомогательную прямую комплексного чертежа. Для этого примерно на уровне вида сверху и немного правее его проводят прямую под утлом 45° к рамке чертежа (рис. 4.8, а ). Она называется вспомогательной прямой комплексного чертежа. Порядок построения чертежа с помощью этой прямой показан на рис. 4.8, б, в.

Если три вида уже построены (рис. 4.8, г), то положение вспомогательной прямой выбирать произвольно нельзя. Сначала нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения оси симметрии горизонтальной и профильной проекций и через полученную точку k провести под углом 45° отрезок прямой (рис. 4.8, д ). Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильные проекции любой грани, проецирующейся в виде прямой (рис. 4.8, д ).

Рис. 4.8.

Необходимость в проведении линий связи, а следовательно, и вспомогательной прямой возникает при построении недостающих проекций и при выполнении чертежей, на которых требуется определить проекции точек, чтобы уточнить проекции отдельных элементов детали.

Примеры использования вспомогательной прямой даны в следующем параграфе.

Проекции точки, лежащей на поверхности предмета

Для того чтобы при выполнении чертежей правильно строить проекции отдельных элементов детали, необходимо уметь находить на всех изображениях чертежа проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить горизонтальную проекцию детали, представленной на рис. 4.9, не пользуясь проекциями отдельных точек (А, В, C, D, E и др.). Умение находить все проекции точек, ребер, граней необходимо и для воссоздания в воображении формы предмета по его плоским изображениям на чертеже, а также для проверки правильности выполненного чертежа.

Рис. 4.9.

Рассмотрим способы нахождения второй и третьей проекций точки, заданной на поверхности предмета.

Если на чертеже предмета дана одна проекция точки, то прежде надо найти проекции поверхности, на которой расположена эта точка. Затем выбирают один из двух описанных ниже приемов решения задачи.

Первый способ

Этот способ применяется, когда хотя бы на одной из проекций данная поверхность изображается в виде линии.

На рис. 4.10, а изображен цилиндр, на фронтальной проекции которого задана проекция а" точки А, лежащей на видимой части его поверхности (заданные проекции отмечены двойными цветными окружностями). Чтобы найти горизонтальную проекцию точки А, рассуждают так: точка лежит на поверхности цилиндра, горизонтальная проекция которой – окружность. Значит, и проекция точки, лежащей на этой поверхности, будет лежать на окружности. Проводят линию связи и на пересечении ее с окружностью отмечают искомую точку а. Третью проекцию а"

Рис. 4.10.

Если же точка В, лежащая на верхнем основании цилиндра, задана своей горизонтальной проекцией b, то проводят линии связи до пересечения с отрезками прямых, изображающих фронтальную и профильную проекции верхнего основания цилиндра.

На рис. 4.10, б представлена деталь – упор. Чтобы построить проекции точки А, заданной своей горизонтальной проекцией а, находят две другие проекции верхней грани (на которой лежит точка А ) и, проведя линии связи до пересечения с отрезками прямых, изображающих эту грань, определяют искомые проекции – точки а" и а". Точка В лежит на левой боковой вертикальной грани, значит, и ее проекции будут лежать на проекциях этой грани. Поэтому из заданной точки b" проводят линии связи (как указано стрелками) до встречи их с отрезками прямых, изображающих эту грань. Фронтальную проекцию с" точки С, лежащей на наклонно расположенной (в пространстве) грани, находят на линии, изображающей эту грань, а профильную с" – на пересечении линии связи, так как профильная проекция этой грани не линия, а фигура. Построение проекций точки D показано стрелками.

Второй способ

Этот способ применяют, когда первым способом пользоваться нельзя. Тогда следует поступить так:

провести через заданную проекцию точки проекцию вспомогательной линии, расположенной на данной поверхности;
найти вторую проекцию этой линии;
на найденную проекцию линии перенести заданную проекцию точки (этим будет определена вторая проекция точки);
найти третью проекцию (если это требуется) на пересечении линий связи.

На рис. 4.10, в дана фронтальная проекция а" точки А, лежащей на видимой части поверхности конуса. Для нахождения горизонтальной проекции через точку а" проводят фронтальную проекцию вспомогательной прямой, проходящей через точку А и вершину конуса. Получают точку V – проекцию точки встречи проведенной прямой с основанием конуса. Имея фронтальные проекции точек, лежащих на прямой, можно найти их горизонтальные проекции. Горизонтальная проекция s вершины конуса известна. Точка b лежит на окружности основания. Через эти точки проводят отрезок прямой и переносят на него (как показано стрелкой) точку а", получая точку а. Третья проекция а" точки А находится на пересечении линии связи.

Эту же задачу можно решить иначе (рис. 4.10, г ).

В качестве вспомогательной линии, проходящей через точку А, берут не прямую, как в первом случае, а окружность. Эта окружность образуется, если в точке А пересечь конус плоскостью, параллельной основанию, как показано на наглядном изображении. Фронтальная проекция этой окружности изобразится отрезком прямой, так как плоскость окружности перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция окружности имеет диаметр, равный длине этого отрезка. Описав окружность указанного диаметра, проводят из точки а" линию связи до пересечения со вспомогательной окружностью, так как горизонтальная проекция а точки А лежит на вспомогательной линии, т.е. на построенной окружности. Третью проекцию aс" точки А находят на пересечении линий связи.

Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей на поверхности, например, пирамиды. Разница будет в том, что при ее пересечении горизонтальной плоскостью образуется не окружность, а фигура, подобная основанию.

Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

Рис.9 Рис.10

В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция а удалена от оси Х . Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков аа y и а y a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей (О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции (при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 45 0 из начала координат к оси Y (эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:

от горизонтальной плоскости H Z,

от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

от профильной плоскости W на величину координаты.X.

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию.

Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

Рис. 11 Рис. 12

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Образование отрезка прямой линии АА 1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а"и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа х а" в пространстве - прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и а" - называются проекциями точки А: а" - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия а" а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а" располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х А, у А и z A .

Например, координата z A точки А, равная отрезку а"а х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х А, равная отрезку аа у - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, х А =20 мм, у А =22мм и z A = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z A и вниз координату у А.Из концов отложенных отрезков - точек a z и а у (рис. 88, а) - проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х А. Полученные точки а" и а - фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а" и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z A ;

2) из точки а у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а у1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а у1 и т. д.

Цели:

Изучение правил построения проекций точек на поверхности предмета и чтения чертежей.
Развивать пространственное мышление, умение анализировать геометрическую форму предмета.
Воспитывать трудолюбие, умение сотрудничать при работе в группах, интерес к предмету.

ХОД УРОКА

I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ (НАСТРОЕНИЕ)

III ЭТАП. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА.

I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1) Учитель: Проверьте свое рабочее место, всё ли на месте? Все готовы к работе?

ВЗДОХНУЛИ ГЛУБОКО, НА ВЫДОХЕ ЗАДЕРЖАЛИ ДЫХАНИЕ, ВЫДОХНУЛИ.

Определите свое настроение на начало урока по схеме (такая схема лежит у каждого на столе)

Я ЖЕЛАЮ ВАМ УДАЧИ.

2) Учитель: Практическая работа по теме “ Проекции вершин, ребер, граней” показала, что есть ребята, которые допускают ошибки при проецировании. Путаются, какая из двух совпадающих точек на чертеже является видимой вершиной, а какая невидимой; когда ребро параллельно плоскости, а когда перпендикулярно. То же самое с гранями.

Чтобы исключить повторение ошибок, по консультирующей карточке выполните необходимые задания и исправьте ошибки в практической работе (от руки). И работая, помните:

“ОШИБАТЬСЯ МОЖЕТ КАЖДЫЙ, ОСТАВАТЬСЯ ПРИ СВОЕЙ ОШИБКЕ – ТОЛЬКО БЕЗУМНЫЙ”.

А тот, кто хорошо усвоил тему, поработают в группах с творческими заданиями (см. Приложение 1 ).

II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

1) Учитель: На производстве встречаются множество деталей, которые крепятся друг к другу определенным образом.
Например:
Крышка рабочего стола крепится к вертикальным стойкам. Обратите внимание на стол, за которым вы находитесь, как и чем крепятся между собой крышка и стойки?

Ответ: Болтом.

Учитель: А что для болта необходимо?

Ответ: Отверстие.

Учитель: Действительно. А чтобы отверстие выполнить, надо знать его расположение на изделие. Изготавливая стол, столяр не может каждый раз обращаться к заказчику. Значит, чем необходимо обеспечить столяра?

Ответ: Чертежом.

Учитель: Чертеж!? А что мы с вами называем чертежом?

Ответ: Чертежом называется изображение предмета прямоугольными проекциями в проекционной связи. По чертежу можно представить геометрическую форму и конструкцию изделия.

Учитель: Мы с вами выполнили прямоугольные проекции, а дальше? Сможем ли мы по одним проекциям определить расположение отверстий? Что нам необходимо еще знать? Чему научиться?

Ответ: Строить точки. Находить проекции этих точек на всех видах.

Учитель: Молодцы! Это и есть цель нашего урока, и тема: Построение проекций точек на поверхности предмета. Запишите тему урока в тетрадь.
Мы с вами знаем, что любая точка или отрезок на изображении предмета являются проекцией вершины, ребра, грани, т.е. каждый вид – это изображение не с одной стороны (гл. вид, вид сверху, вид слева), а всего предмета.
Для того, чтобы правильно находить проекции отдельных точек, лежащих на гранях, нужно прежде всего найти проекции этой грани, а затем при помощи линий связи отыскать проекции точек.

(Смотрим чертеж на доске, работаем в тетради, где выполнены дома 3 проекции такой же детали).

– Открыли тетрадь с выполненным чертежом (Объяснение построения точек на поверхности предмета с наводящими вопросами на доске, а учащиеся закрепляют в тетради.)

Учитель: Рассмотрим точку В . Какой плоскости параллельна грань с этой точкой?

Ответ: Грань параллельна фронтальной плоскости.

Учитель: Задаемся проекцией точки b’ на фронтальной проекции. Проводим вниз от точки b’ вертикальную линию связи до горизонтали проекции. Где будет находиться горизонтальная проекция точки В ?

Ответ: На пересечении с горизонтальной проекцией грани, которая спроецировалась в ребро. И находится внизу проекции (вида).

Учитель: Профильная проекция точки b’’ , где будет находиться? Как мы ее найдем?

Ответ: На пересечении горизонтальной линии связи из b’ с вертикальным ребром справа. Это ребро и есть проекция грани с точкой В.

К ДОСКЕ ВЫЗЫВАЮТСЯ ЖЕЛАЮЩИЕ ПОСТРОИТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ.

Учитель: Проекции точки А так же находятся с помощью линий связи. Какой плоскости параллельна грань с точкой А ?

Ответ: Грань параллельна профильной плоскости. Задаемся на профильной проекции точкой а’’ .

Учитель: На какой проекции грань спроецировалась в ребро?

Ответ: На фронтальной и горизонтальной. Проведем горизонтальную линию связи до пересечения с вертикальным ребром слева на фронтальной проекции, получим точку а’ .

Учитель: А как найти проекцию точки А на горизонтальной проекции? Ведь линии связи из проекции точек а’ и а’’ не пересекают проекцию грани (ребро) на горизонтальной проекции слева. Что нам может помочь?

Ответ: Можно воспользоваться постоянной прямой (она определяет место вида слева) из а’’ проводят вертикальную линию связи до пересечения с постоянной прямой. Из точки пересечения проводят горизонтальную линию связи, до пересечения с вертикальным ребром слева. (Это и есть грань с точкой А) и обозначает проекцию точкой а .

2) Учитель: У каждого на столе лежит карточка-задание, с прикреплённой калькой. Рассмотрите чертёж, теперь попробуйте самостоятельно, без перечерчивания проекций, найти на чертеже заданные проекции точек.

– Найдите в учебнике стр. 76 рис. 93. Проверьте себя. Кто выполнил правильно – оценка "5""; одна ошибка – ‘’4’’; две – ‘’3’’.

(Оценки выставляют сами учащиеся в листе самоконтроля).

– Собрать карточки для проверки.

3) Работа в группах: Время ограничено: 4мин. + 2 мин. проверки. (Две парты с учащимися объединяются, и внутри группы выбирается руководитель).

На каждую группу раздаются задания в 3-х уровнях. Учащиеся выбирают задания по уровням, (по своему желанию). Решают задачи на построение точек. Обсуждают построение под контролем руководителя. Затем на доске с помощью кодоскопа высвечивается правильный ответ. Все проверяют правильность выполнения проецирования точек. При помощи руководителя группы выставляют оценки на заданиях и в листах самоконтроля (см. Приложение 2 и Приложение 3 ).

ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ

“Поза фараона” – сесть на край стула, выпрямить спину, руки согнуть в локтях, ноги скрестить и поставить на носочки. Вздохнуть, напрячь все мышцы тела на задержке дыхания, выдохнуть. Сделать 2-3 раза. Глаза сильно зажать, до звездочек, открыть. Отметить свое настроение.

III ЭТАП. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. (Индивидуальные задания)

Предлагаются карточки-задания на выбор с разным уровнем. Учащиеся самостоятельно выбирают по своим силам вариант. Найти проекции точек на поверхности предмета. Работы сдаются и оцениваются к следующему уроку. (См. Приложение 4 , Приложение 5 , Приложение 6 ).

IV ЭТАП. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ

1) Задание на дом. (Инструктаж). Выполняется по уровням:

В – понимание, на "3". Упр.1 рис. 94а стр. 77 – по заданию в учебнике: достроить недостающие проекции точек на данных проекциях.

Б – применение, на "4". Упр.1 рис.94 а, б. достроить не достающие проекции и обозначить вершины на наглядном изображении в 94а и 94б.

А – анализ, на "5". (Повышенной сложности.) Упр. 4 рис.97 – построить не достающие проекции точек и обозначить их буквами. Наглядного изображения нет.

2) Рефлексивный анализ.

Определите настроение в конце урока, отметьте в листе самоконтроля любым знаком.
Что нового узнали сегодня на уроке?
Какая форма работы наиболее эффективна для вас: групповая, индивидуальная и вы хотели бы, чтобы она повторялась на следующем уроке?
Собрать листки самоконтроля.

3) “Ошибающийся учитель”

Учитель: Вы научились строить проекции вершин, ребер, граней и точки на поверхности предмета, соблюдая все правила построения. Но вот вам передали чертеж, где есть ошибки. Попробуйте теперь себя в роли учителя. Найдите сами ошибки, если найдете все 8–6 ошибок, то оценка соответственно “5”; 5–4 ошибки –“4”, 3 ошибки – “3”.

Ответы: