Obliczając wielomiany algebraiczne, aby uprościć obliczenia, użyj skrócone wzory na mnożenie . W sumie istnieje siedem takich formuł. Trzeba je wszystkie znać na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast a i b we wzorach mogą występować liczby lub dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Różnica kwadratów dwóch liczb jest równa iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

za 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Kwadrat sumy

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotny iloczyn pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(A + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2

Pamiętaj, że dzięki temu skróconemu wzorowi na mnożenie jest to łatwe znajdź kwadraty dużych liczb bez użycia kalkulatora i długiego mnożenia. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2.

Rozłóżmy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy.2
112 = 100 + 1

Zapiszmy sumę liczb w nawiasach i postawmy kwadrat nad nawiasami.
112 2 = (100 + 12) 2

Skorzystajmy ze wzoru na kwadrat sumy:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratową obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + do 2

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 2 nie równe a 2 + b 2

Kwadratowa różnica

Kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotny iloczyn pierwszej i drugiej liczby plus kwadrat drugiej liczby.

(A - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

Warto także pamiętać o bardzo przydatnej transformacji:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Powyższy wzór można udowodnić, po prostu otwierając nawiasy:

(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + za 2 = (b - a) 2

Sześcian sumy

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszej liczby i drugiej plus potrójny iloczyn pierwszej przez kwadrat drugiej liczby plus sześcian drugiej liczby .

(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Tę „strasznie” wyglądającą formułę dość łatwo zapamiętać.

Dowiedz się, że 3 pojawia się na początku.

Dwa wielomiany pośrodku mają współczynniki równe 3.

Wpamiętaj, że każda liczba do potęgi zerowej wynosi 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje zmniejszenie stopnia a i zwiększenie stopnia b. Możesz to zweryfikować:
(a + b) 3 = za 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 za 0 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 3 nie równe a 3 + b 3

Kostka różnicowa

Sześcian różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszej liczby i drugiej plus trzykrotność iloczynu pierwszej liczby i kwadratu drugiej liczby minus sześcian drugiego.

(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Formułę tę zapamiętuje się podobnie jak poprzednią, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienność znaków „+” i „-”. Pierwszy wyraz 3 poprzedzony jest znakiem „+” (zgodnie z zasadami matematyki go nie piszemy). Oznacza to, że kolejny termin będzie poprzedzony „-”, następnie ponownie „+” itd.

(a - b) 3 = + 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma kostek ( Nie mylić z kostką sumy!)

Suma kostek jest równa iloczynowi sumy dwóch liczb i częściowego kwadratu różnicy.

za 3 + b 3 = (a + b)(za 2 - ab + b 2)

Suma kostek jest iloczynem dwóch nawiasów.

Pierwszy nawias jest sumą dwóch liczb.

Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy między liczbami. Niepełny kwadrat różnicy to wyrażenie:

ZA 2 - ab + b 2
Kwadrat ten jest niekompletny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwójnego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica kostek (Nie mylić z kostką różnicową!!!)

Różnica kostek jest równa iloczynowi różnicy dwóch liczb i częściowego kwadratu sumy.

za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)

Zachowaj ostrożność podczas zapisywania znaków.Należy pamiętać, że wszystkie podane powyżej wzory stosuje się również od prawej do lewej.

Łatwy sposób na zapamiętanie skróconych wzorów na mnożenie, czyli... trójkąta Pascala.

Masz problemy z zapamiętywaniem skróconych wzorów na mnożenie? Przyczynę można łatwo rozwiązać. Trzeba tylko pamiętać, jak przedstawiona jest tak prosta rzecz, jak trójkąt Pascala. Wtedy będziesz pamiętał te formuły zawsze i wszędzie, a raczej nie pamiętał, ale przywracał.

Co to jest trójkąt Pascala? Trójkąt ten składa się ze współczynników, które wchodzą w rozwinięcie dowolnego stopnia dwumianu postaci w wielomian.

Rozwińmy np.:

W tym wpisie łatwo zapamiętać, że sześcian pierwszej liczby jest na początku, a sześcian drugiej liczby na końcu. Ale to, co jest w środku, jest trudne do zapamiętania. I nawet fakt, że w każdym kolejnym wyrazie stopień jednego czynnika cały czas maleje, a drugiego wzrasta – nietrudno to zauważyć i zapamiętać; trudniejsza jest sytuacja z zapamiętaniem współczynników i znaków (czy jest to plus czy minus ?).

Więc najpierw szanse. Nie musisz ich zapamiętywać! Szybko rysujemy na marginesach zeszytu trójkąt Pascala i oto one – współczynniki, już przed nami. Zaczynamy rysować od trzech jednostek, jednej na górze, dwóch na dole, po prawej i lewej stronie - tak, to już trójkąt:

Pierwsza linia z jedynką oznacza zero. Potem przychodzi pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej. Aby uzyskać drugą linię, musisz ponownie przypisać jedynki do krawędzi, a na środku zapisz liczbę uzyskaną przez dodanie dwóch liczb nad nią:

Piszemy trzecią linię: ponownie wzdłuż krawędzi jednostki i ponownie, aby uzyskać kolejną liczbę w nowej linii, dodajemy liczby nad nią w poprzedniej:

Jak można się domyślić, w każdym wierszu otrzymujemy współczynniki z rozwinięcia dwumianu w wielomian:

Cóż, jeszcze łatwiej jest zapamiętać znaki: pierwszy jest taki sam jak w rozszerzonym dwumianie (rozszerzamy sumę - to znaczy plus, różnicę - to oznacza minus), a następnie znaki zmieniają się!

To taka przydatna rzecz - trójkąt Pascala. Użyj tego!

Wyrażenia matematyczne (wzory) skrócone mnożenie(kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica kostek) są niezwykle niezastąpione w wielu obszarach nauk ścisłych. Te 7 symbolicznych zapisów jest nieocenionych przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań, mnożeniu wielomianów, zmniejszaniu ułamków, rozwiązywaniu całek i wielu innych. Oznacza to, że bardzo przydatne będzie zrozumienie, w jaki sposób je uzyskuje się, dlaczego są potrzebne i, co najważniejsze, jak je zapamiętać, a następnie zastosować. Następnie zastosowanie skrócone wzory na mnożenie w praktyce najtrudniej będzie zobaczyć, co jest X i co masz. Oczywiście nie ma żadnych ograniczeń dla A I B nie, co oznacza, że może to być dowolne wyrażenie numeryczne lub alfabetyczne.

Oto one:

Pierwszy x 2 - o 2 = (x - y) (x+y).Aby obliczyć różnica kwadratów dwa wyrażenia, należy pomnożyć różnice między tymi wyrażeniami przez ich sumy.

Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y2. Aby znaleźć kwadrat sumy dwa wyrażenia, należy dodać do kwadratu pierwszego wyrażenia podwójny iloczyn pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Trzeci (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y2. Aby obliczyć kwadratowa różnica dwóch wyrażeń, od kwadratu pierwszego wyrażenia należy odjąć dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Czwarty (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + o 3. Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrażeń, należy dodać do sześcianu pierwszego wyrażenia potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - o 3. Aby obliczyć kostka różnicowa dwóch wyrażeń, należy od sześcianu pierwszego wyrażenia odjąć potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.

Szósty x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Aby obliczyć suma kostek dwa wyrażenia, należy pomnożyć sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy tych wyrażeń.

Siódmy x 3 - o 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Aby wykonać obliczenia różnice w kostkach dwa wyrażenia, należy pomnożyć różnicę pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

Nietrudno pamiętać, że wszystkie wzory służą do wykonywania obliczeń w przeciwnym kierunku (od prawej do lewej).

Istnienie tych wzorów było znane już około 4 tysiące lat temu. Były szeroko stosowane przez mieszkańców starożytnego Babilonu i Egiptu. Ale w tamtych czasach wyrażano je werbalnie lub geometrycznie i nie używano liter w obliczeniach.

Uporządkujmy to dowód sumy kwadratowej(a + b) 2 = za 2 +2ab +b 2.

Najpierw to wzór matematyczny udowodnione przez starożytnego greckiego naukowca Euklidesa, który pracował w Aleksandrii w III wieku p.n.e., do udowodnienia wzoru zastosował metodę geometryczną, ponieważ naukowcy starożytnej Hellady nie używali liter do oznaczania liczb. Wszędzie używano nie „a 2”, ale „kwadratu na odcinku a”, nie „ab”, ale „prostokąta zawartego pomiędzy odcinkami a i b”.

Algebra

Do przekształcania wyrażeń używane są skrócone wzory na mnożenie. Tożsamości służą do przedstawienia całego wyrażenia w postaci wielomianu i do rozłożenia wielomianów na czynniki.

1 Kwadrat sumy(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
2 Kwadratowa różnica(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
3 Różnica kwadratów za 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
4 Sześcian sumy(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
5 Kostka różnicowa(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
6 Suma kostek za 3 + b 3 = (a + b)(za 2 - ab + b 2)
7 Różnica kostek za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)

Wzory na kwadraty

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Wzory na kostki

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formuły dla czwartego stopnia

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
wynika z \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Skrócone wzory na mnożenie

1. Kwadrat sumy

2. Różnica kwadratowa

3. Suma i różnica kwadratów

4. Suma do potęgi trzeciej (sześcian sumy)

5. Różnica do trzeciej potęgi (kostka różnicowa)

6. Suma i różnica kostek

7. Skrócone wzory na mnożenie czwartej potęgi

8. Skrócone wzory na mnożenie potęgi piątej

9. Skrócone wzory na mnożenie potęgi szóstej

10. Skrócone wzory na mnożenie stopnia n, gdzie N- dowolna liczba naturalna

11. Skrócone wzory na mnożenie stopnia n, gdzie N- parzysta liczba dodatnia

12. Skrócone wzory na mnożenie stopnia n, gdzie N- nieparzysta liczba dodatnia

Wyrażenie ( A + B) 2 jest kwadrat sumy takty muzyczne A I B. Z definicji stopnia wyrażenie ( A + BA + B)(A + B). Zatem z kwadratu sumy możemy to wywnioskować

(A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + ok + ok + B 2 = A 2 + 2ok + B 2 ,

to znaczy kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotny iloczyn pierwszej liczby i drugiej liczby plus kwadrat drugiej liczby.

wzór na sumę kwadratową

(A + B) 2 = A 2 + 2ok + B 2

Wielomian A 2 + 2ok + B 2 nazywa się rozwinięciem sumy kwadratowej.

Ponieważ A I B oznaczają dowolne liczby lub wyrażenia, wówczas reguła daje nam możliwość, w skrócie, podniesienia do kwadratu dowolnego wyrażenia, które można uznać za sumę dwóch wyrazów.

Przykład. Wyrażenie kwadratowe 3 X 2 + 2xy.

Rozwiązanie: Aby nie dokonywać dodatkowych przekształceń, skorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Powinniśmy otrzymać sumę kwadratów pierwszej liczby, dwukrotność iloczynu pierwszej liczby oraz drugiej i kwadratu drugiej liczby:

(3X 2 + 2xy) 2 = (3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2

Teraz, korzystając z zasad mnożenia i potęgowania jednomianów, upraszczamy powstałe wyrażenie:

(3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9X 4 + 12X 3 y + 4X 2 y 2

Kwadratowa różnica

Wyrażenie ( A - B) 2 jest kwadratowa różnica takty muzyczne A I B. Wyrażenie ( A - B) 2 jest iloczynem dwóch wielomianów ( A - B)(A - B). Zatem z kwadratu różnicy możemy to wywnioskować

(A - B) 2 = (A - B)(A - B) = A 2 - ok - ok + B 2 = A 2 - 2ok + B 2 ,

to znaczy kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

Z reguły wynika, że suma wzór na różnicę kwadratową, bez przekształceń pośrednich, będzie wyglądać następująco:

(A - B) 2 = A 2 - 2ok + B 2

Wielomian A 2 - 2ok + B 2 nazywa się rozwinięciem różnicy kwadratowej.

Zasada ta dotyczy skróconej kwadratury wyrażeń, które można wyrazić jako różnicę dwóch liczb.

Przykład. Przedstaw kwadrat różnicy w postaci trójmianu:

(2A 2 - 5ok 2) 2

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratową znajdujemy:

(2A 2 - 5ok 2) 2 = (2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ok 2) + (5ok 2) 2

Przekształćmy teraz wyrażenie na wielomian standardowy:

(2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ok 2) + (5ok 2) 2 = 4A 4 - 20A 3 B 2 + 25A 2 B 4

Różnica kwadratów

Wyrażenie A 2 - B 2 jest różnica kwadratów takty muzyczne A I B. Wyrażenie A 2 - B 2 to skrótowy sposób pomnożenia sumy dwóch liczb przez ich różnicę:

(A + B)(A - B) = A 2 + ok - ok - B 2 = A 2 - B 2 ,

to znaczy iloczyn sumy dwóch liczb i ich różnicy jest równy różnicy kwadratów tych liczb.

Z reguły wynika, że suma wzór na różnicę kwadratową wygląda tak:

A 2 - B 2 = (A + B)(A - B)

Zasada ta dotyczy skróconego mnożenia wyrażeń, które można przedstawić: jedno jako sumę dwóch liczb, a drugie jako różnicę tych samych liczb.

Przykład. Zamień iloczyn na dwumian:

(5A 2 + 3)(5A 2 - 3)

Rozwiązanie:

(5A 2 + 3)(5A 2 - 3) = (5A 2) 2 - 3 2 = 25A 4 - 9

W przykładzie zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów od prawej do lewej, czyli otrzymaliśmy prawą stronę wzoru i przeliczyliśmy go na lewą stronę:

(A + B)(A - B) = A 2 - B 2

W praktyce wszystkie trzy omówione formuły stosuje się od lewej do prawej i od prawej do lewej, w zależności od sytuacji.

Na tej lekcji zapoznamy się ze wzorami na kwadrat sumy i kwadrat różnicy oraz wyprowadzimy je. Udowodnijmy wzór na kwadrat sumy geometrycznie. Ponadto wiele rozwiążemy różne przykłady za pomocą tych formuł.

Rozważmy wzór na kwadrat sumy:

Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat sumy:

Słownie wzór ten wyraża się w następujący sposób: kwadrat sumy jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

Wzór ten można łatwo przedstawić geometrycznie.

Rozważmy kwadrat o boku:

Powierzchnia kwadratu.

Z drugiej strony ten sam kwadrat można przedstawić inaczej, dzieląc bok na a i b (ryc. 1).

Ryż. 1. Kwadrat

Następnie obszar kwadratu można przedstawić jako sumę obszarów:

Ponieważ kwadraty były takie same, ich pola są równe, co oznacza:

Udowodniliśmy więc geometrycznie wzór na kwadrat sumy.

Spójrzmy na przykłady:

Komentarz: Przykład rozwiązano za pomocą wzoru na sumę kwadratową.

Wyprowadźmy wzór na kwadrat różnicy:

Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat różnicy:

Ustnie wzór ten wyraża się w następujący sposób: kwadrat różnicy jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

Spójrzmy na przykłady:

Wzory na sumę kwadratową i różnicę kwadratową można stosować zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. W przypadku użycia od lewej do prawej będą to skrócone wzory na mnożenie i będą używane podczas obliczania i konwertowania przykładów. A przy użyciu od prawej do lewej - formuły faktoryzacji.

Przyjrzyjmy się przykładom, w których trzeba rozłożyć dany wielomian na czynniki, korzystając ze wzorów na sumę kwadratową i różnicę kwadratową. Aby to zrobić, musisz bardzo uważnie przyjrzeć się wielomianowi i dokładnie określić, jak poprawnie go rozwinąć.

Komentarz: Aby rozłożyć wielomian na czynniki, należy określić, co reprezentuje dane wyrażenie. Widzimy więc kwadrat i kwadrat jedności. Teraz musimy znaleźć iloczyn podwójny - to jest . Zatem wszystkie niezbędne elementy są tam, wystarczy określić, czy jest to kwadrat sumy, czy różnica. Przed iloczynem podwójnym znajduje się znak plus, co oznacza, że mamy kwadrat sumy.