Ciekawa prezentacja na temat modelowania matematycznego. Prezentacja na temat „metoda modelowania matematycznego”

Obiekt (proces transportu)

Praktyczny

Schemat obliczeń

Model matematyczny

model matematyczny

Algorytm

Program

W pierwszym etapie modelowania matematycznego dokonuje się przejścia od obiektu modelującego do schematu projektowego. Diagram projektowy to znaczący i/lub koncepcyjny model obiektu. Na przykład: plan transportu ładunku, mapa trasy, tabela transportu itp.

W drugim etapie przeprowadza się wyszukiwanie i sformalizowany opis procesu (procesów) schematu projektowego za pomocą modelu matematycznego.

W trzecim etapie przeprowadzana jest jakościowa i ilościowa analiza modelu matematycznego obejmująca: 1) uproszczenie, 2) rozwiązanie sprzeczności, 3) korektę.

W czwartym etapie opracowywany jest efektywny algorytm modelowania matematycznego, według którego w etapie piątym tworzony jest program do realizacji modelowania matematycznego.

W szóstym etapie uzyskiwane są praktyczne rekomendacje przy wykorzystaniu programu. Praktyczne zalecenia jest wynikiem zastosowania modelu matematycznego w konkretnym celu podczas badania obiektu (procesu transportu).

Cele modelowania matematycznego: 1) tworzenie modeli procesów transportowych w celu dalszej konstrukcji optymalnych (czasowo i kosztowo) procesów transportowych; 2) analiza właściwości poszczególnych procesów transportowych w celu oszacowania czasu i kosztów.

Rodzaje modelowania matematycznego

	Parametryczny			Imitacja
				modelowanie
				modelowanie

Statyczny		Dynamiczny



			Stacjonarny		Niepewny

Parametryczny modelowanie to modelowanie bez ścisłego powiązania z przedmiotem i procesem. Komunikacja odbywa się wyłącznie poprzez parametry, np.: masa, długość, ciśnienie itp. Istnieją abstrakcje: punkt materialny, gaz doskonały itp.

Statyczne modele parametryczne nie zawierają parametru „czasu” i pozwalają uzyskać charakterystykę układu w równowadze. Dynamiczne modele parametryczne zawierają parametr czasu i pozwalają uzyskać charakter procesów przejściowych układu.

Modelowanie symulacyjne(Symulacja) – modelowanie matematyczne uwzględniające cechy geometryczne modelowanego obiektu (wielkość, kształt) oraz rozkład gęstości z powiązaniem warunków początkowych i brzegowych (warunków na granicach geometrii obiektu) z obiektami.

procesy

Program algorytmiczny

Modelowanie stacjonarne pozwala uzyskać charakterystykę obiektu w przedziale czasowym dążącym do zera, czyli „sfotografować” charakterystykę obiektu. Modelowanie niestacjonarne pozwala uzyskać charakterystykę obiektu w czasie.

Struktura modelu matematycznego

Parametry wejściowe	Równania,	Parametry wyjściowe
	Równania,
	zależności itp.

Właściwości modelu matematycznego:

1) Kompletność – stopień odzwierciedlenia znanych właściwości obiektu; 2) Dokładność – kolejność zbieżności cech rzeczywistych (eksperymentalnych) i znalezionych za pomocą modelu;

3) Adekwatność to zdolność modelu do opisywania parametrów wyjściowych z ustaloną dokładnością dla ustalonych parametrów wejściowych (obszar adekwatności).

4) Opłacalność to ocena kosztu zasobów obliczeniowych w celu uzyskania wyniku w porównaniu z podobnym modelem matematycznym;

5) Odporność – stabilność modelu matematycznego pod względem błędów w danych źródłowych (np. dane nie odpowiadają fizyce procesu);

6) Produktywność to wpływ dokładności danych wejściowych na dokładność danych wyjściowych modelu;

7) Przejrzystość i prostota modelu.

Modele matematyczne (według metody produkcji)

Teoretyczne empiryczne

Półempiryczne © Federalna państwowa budżetowa instytucja edukacyjna Wyższego kształcenia zawodowego UGATU; dział „Stosowana mechanika płynów” 16

Empiryczne modele matematyczne uzyskuje się poprzez przetwarzanie i analizę wyników danych eksperymentalnych. Identyfikacja to korekta istniejącego modelu matematycznego danymi empirycznymi.

Teoretyczne modele matematyczne uzyskuje się za pomocą metod teoretycznych - analizy, syntezy, indukcji, dedukcji itp.

Literatura z zakresu teorii modelowania matematycznego i modeli matematycznych:

1)Zarubin V.S. Modelowanie matematyczne w technologii: podręcznik. dla uniwersytetów / V. S. Zarubin. – wyd. 3. – M.: Wydawnictwo MSTU im. NE Baumana. 2010. – 495 s.

2) Cherepashkov A. A., Nosov N. V. Technologie komputerowe, modelowanie i systemy automatyczne w inżynierii mechanicznej: Podręcznik. dla studentów wyższy podręcznik zakłady. – Wołgograd: Wydawnictwo„Infolio”, 2009. – 640 s.

4. Mathcad jako narzędzie do programowania aplikacji

Mathcad to system algebry komputerowej z klasy systemów projektowania wspomaganego komputerowo, skupiający się na przygotowywaniu interaktywnych dokumentów z obliczeniami i wsparciem wizualnym, łatwy w użyciu i zastosowaniu.

Mathcad został wymyślony i pierwotnie napisany przez Allena Razdowa z MIT.

Deweloper: PTC. Pierwsze wydanie: 1986.

Rozwiązywanie równań różniczkowych i algebraicznych numerycznie

metody;
Budowa dwuwymiarowych i trójwymiarowych wykresów funkcji;

Stosowanie alfabetu greckiego;

Wykonywanie obliczeń w formie symbolicznej;

Obsługa natywnego języka programowania

© FSBEI HPE USATU; dział „Zastosowana mechanika płynów”

Funkcje numeryczne przeznaczone do obliczeń metodami numerycznymi matematyka stosowana pierwiastki równań, rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych, rozwiązywanie równania różniczkowe Metoda Runge-Kutty itp.

Funkcje znakowe przeznaczone są do obliczeń analitycznych, które swoją strukturą przypominają klasyczne przekształcenia matematyczne.

Zmienna systemowa TOL – Dopuszczalny błąd obliczeniowy (domyślnie 10-3).

Ustawienie zmiennych rankingowych ze stałym krokiem: x:=0, 0+0.01..10.

Jeśli zmienna jest tablicą, dostęp do elementu tablicy można uzyskać wprowadzając indeks za pomocą klawisza [.

Literatura 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelowanie matematyczne: Idee. Metody. Przykłady – M.: Nauka, Volkov E. A. Metody numeryczne. – M.: Nauka, Turchak L.I. Podstawy metod numerycznych. – M.: Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Matematyka obliczeniowa w przykładach i problemach. – M.: Nauka, 1972.

Trochę historii od manipulacji przedmiotami do manipulacji pojęciami o przedmiotach; zastąpienie badanego obiektu, procesu lub zjawiska prostszym i bardziej dostępnym dla badań odpowiednikiem; niemożność uwzględnienia całego zestawu czynników determinujących właściwości i zachowanie obiektu

Rola modeli Budynek jest brzydki, kruchy lub nie wpasowuje się w otaczający krajobraz Demonstracja układów krążenia w przyrodzie jest nieludzka Napięcia np. w skrzydłach mogą być zbyt wysokie Gromadzenie obwodów elektrycznych do pomiarów jest nieekonomiczne

Związek modelu z oryginałem Tworzenie modelu polega na zachowaniu pewnych właściwości oryginału, a te właściwości mogą być różne w różnych modelach. Budynek z tektury jest znacznie mniejszy od prawdziwego, ale pozwala ocenić jego wygląd wygląd; plakat sprawia, że układ krążenia staje się zrozumiały, choć nie ma nic wspólnego z narządami i tkankami; Model samolotu nie lata, ale naprężenia w jego korpusie odpowiadają warunkom lotu.

Po co używać modeli? 1. Model jest bardziej dostępny do badań niż obiekt rzeczywisty, 2. Badanie modelu jest łatwiejsze i tańsze niż obiektów rzeczywistych, 3. Niektórych obiektów nie można badać bezpośrednio: nie można jeszcze zbudować np. urządzenie do syntezy termojądrowej lub przeprowadzanie eksperymentów w głębinach gwiazd, 4. eksperymenty z przeszłością są niemożliwe, eksperymenty z ekonomii lub eksperymenty społeczne są niedopuszczalne

Cel modeli 1. Za pomocą modelu można zidentyfikować najważniejsze czynniki kształtujące właściwości obiektu. Ponieważ model odzwierciedla tylko niektóre cechy obiektu pierwotnego, zmieniając zbiór tych cech w obrębie modelu, można określić stopień wpływu określonych czynników na adekwatność zachowania modelu

Model jest potrzebny: 1. Aby zrozumieć, jak zbudowany jest konkretny obiekt: jaka jest jego struktura, właściwości, prawa rozwoju i interakcja ze światem zewnętrznym. 2. Aby nauczyć się zarządzać obiektem lub procesem i określić najlepsze metody zarządzania dla zadanych celów i kryteriów. 3. W celu przewidywania zachowania obiektu oraz oceny skutków różnych metod i form oddziaływania na obiekt (modele meteorologiczne, modele rozwoju biosfery).

Właściwość prawidłowego modelu Prawidłowo skonstruowany, dobry model ma niezwykłą cechę: jego badanie pozwala zdobyć nową wiedzę o przedmiocie - oryginale, mimo że do stworzenia modelu wykorzystano tylko niektóre podstawowe cechy oryginału

Modelowanie materiałów Model odtwarza podstawowe elementy geometryczne, fizyczne, dynamiczne i cechy funkcjonalne badanego obiektu, gdy porównuje się obiekt rzeczywisty z jego powiększoną lub pomniejszoną kopią, co pozwala na badanie warunki laboratoryjne z późniejszym przeniesieniem właściwości badanych procesów i zjawisk z modelu na obiekt w oparciu o teorię podobieństwa (planetarium, modele budynków i aparatury itp.). Proces badawczy w tym przypadku jest ściśle powiązany z wpływem materialnym na model, tzn. polega na pełnowymiarowym eksperymencie. Zatem modelowanie materiałów jest ze swej natury metodą eksperymentalną.

Rodzaje modelowania idealnego Intuicyjne - modelowanie obiektów, których nie da się sformalizować lub nie jest to potrzebne. Doświadczenie życiowe człowieka można uznać za jego intuicyjny model otaczającego go świata. Znak - modelowanie wykorzystujące transformacje znaków jako modele. różne typy: diagramy, wykresy, rysunki, wzory itp. i zawierające zbiór praw, dzięki którym można operować elementami modelu

Modelowanie matematyczne, badanie obiektu prowadzone jest w oparciu o model sformułowany w języku matematyki i badany przy użyciu określonych metod matematycznych. Modelowanie matematyczne to dziedzina nauki zajmująca się modelowaniem zjawisk przyrodniczych, technicznych, ekonomicznych i życie publiczne z wykorzystaniem aparatury matematycznej, a obecnie implementacja tych modeli przy pomocy komputera

Klasyfikacja mat. modele Przeznaczenie: opisowa symulacja optymalizacyjna Ze względu na charakter równań: liniowe nieliniowe Z uwzględnieniem zmian układu w czasie: dynamiczne statyczne Z własności dziedziny definicji argumentów: ciągłe dyskretne Ze względu na charakter procesu: deterministyczny stochastyczny

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Modele matematyczne

05.05.17 Modele matematyczne Głównym językiem modelowania informacji w nauce jest język matematyki. Modele zbudowane przy użyciu pojęć i wzorów matematycznych nazywane są modelami matematycznymi. Model matematyczny to model informacyjny, w którym parametry i zależności między nimi wyrażone są w formie matematycznej.

05.05.17 Na przykład dobrze znane równanie S=vt, gdzie S to odległość, v to prędkość t to czas, jest modelem ruch jednolity, wyrażone w formie matematycznej.

05.05.17 Biorąc pod uwagę układ fizyczny: ciało o masie m toczące się po pochyłej płaszczyźnie z przyspieszeniem a pod wpływem siły F, Newton otrzymał zależność F = ma. Jest to model matematyczny układu fizycznego.

05.05.17 Metoda modelowania umożliwia zastosowanie aparatu matematycznego do rozwiązywania problemów praktycznych. Pojęcia liczbowe, figura geometryczna równania są przykładami modeli matematycznych. W kierunku metody modelowania matematycznego w proces edukacyjny należy się do nich odwołać przy rozwiązywaniu każdego problemu o treści praktycznej. Aby rozwiązać taki problem za pomocą środków matematycznych, należy go najpierw przełożyć na język matematyki (zbudować model matematyczny). Modelowanie matematyczne

05.05.17 W modelowaniu matematycznym badanie obiektu odbywa się poprzez badanie modelu sformułowanego w języku matematyki. Przykład: musisz określić powierzchnię stołu. Zmierz długość i szerokość stołu, a następnie pomnóż otrzymane liczby. To właściwie oznacza, że rzeczywisty obiekt – powierzchnia stołu – zostaje zastąpiony abstrakcyjnym modelem matematycznym z prostokątem. Pole tego prostokąta uważa się za wymagane. Spośród wszystkich właściwości stołu zidentyfikowano trzy: kształt powierzchni (prostokąt) i długości dwóch boków. Nie ma znaczenia ani kolor stołu, ani materiał, z którego jest wykonany, ani sposób jego użytkowania. Zakładając, że powierzchnia tabeli jest prostokątem, łatwo jest wskazać dane początkowe i wynik. Są one powiązane zależnością S = ab.

05.05.17 Rozważmy przykład przeniesienia rozwiązania konkretnego problemu do modelu matematycznego. Musisz wyciągnąć skrzynię z biżuterią przez okno zatopionego statku. Podano pewne założenia dotyczące kształtu okien skrzyni i iluminatorów oraz wstępne dane do rozwiązania problemu. Założenia: Iluminator ma kształt koła. Skrzynia ma kształt prostokątnego równoległościanu. Dane wstępne: D - średnica iluminatora; x - długość klatki piersiowej; y - szerokość klatki piersiowej; z jest wysokością klatki piersiowej. Wynik końcowy: Wiadomość: Można lub nie można wyciągnąć.

05.05.17 Jeśli, to skrzynię można wyciągnąć, ale jeśli, to nie. Systematyczna analiza uwarunkowań problemowych ujawniła powiązania pomiędzy wielkością iluminatora a wymiarami skrzyni z uwzględnieniem jej kształtów. Informacje uzyskane w wyniku analizy przedstawiono we wzorach i zależnościach między nimi, w wyniku czego powstał model matematyczny. Matematycznym modelem rozwiązania tego problemu są następujące zależności pomiędzy danymi początkowymi a wynikiem:

05.05.17 Przykład 1: Oblicz ilość farby, którą należy pokryć podłogę w sali gimnastycznej. Aby rozwiązać problem, musisz znać powierzchnię podłogi. Aby wykonać to zadanie, zmierz długość i szerokość podłogi oraz oblicz jej powierzchnię. Rzeczywisty obiekt – podłogę sali – zajmuje prostokąt, którego pole jest iloczynem długości i szerokości. Kupując farbę, dowiedz się, jaką powierzchnię można pokryć zawartością jednej puszki i oblicz wymaganą liczbę puszek. Niech A będzie długością podłogi, B szerokością podłogi, S 1 powierzchnią, którą można przykryć zawartością jednej puszki, N liczbą puszek. Powierzchnię podłogi obliczamy ze wzoru S = A×B, a ilość puszek potrzebnych do pomalowania hali N = A×B / S 1.

05.05.17 Przykład 2: Pierwszą rurą basen napełnia się w ciągu 30 godzin, drugą rurą w ciągu 20 godzin. Ile godzin zajmie napełnienie basenu dwiema rurami? Rozwiązanie: Oznaczmy czas napełniania basenu odpowiednio pierwszą i drugą rurą A i B. Przyjmijmy całą objętość basenu jako 1 i oznaczmy wymagany czas przez t. Ponieważ basen jest napełniany pierwszą rurą w ciągu A godzin, wówczas 1/A jest częścią basenu napełnianą pierwszą rurą w ciągu 1 godziny; 1/B - część basenu wypełniona drugą rurą w ciągu 1 godziny. Zatem szybkość napełniania basenu pierwszą i drugą rurą będzie wynosić: 1/A+1/B. Można zapisać: (1/A+1/B) t =1. uzyskano model matematyczny opisujący proces napełniania basenu z dwóch rur. Wymagany czas można obliczyć ze wzoru:

05.05.17 Przykład 3: Punkty A i B znajdują się na autostradzie w odległości 20 km od siebie. Motocyklista opuścił punkt B w kierunku przeciwnym do A, jadąc z prędkością 50 km/h. Stwórzmy model matematyczny opisujący położenie motocyklisty względem punktu A po t godzinach. W t godzinach motocyklista przejedzie 50 t km i znajdzie się w odległości 50 t km + 20 km od A. Jeżeli literą s oznaczymy odległość (w kilometrach) motocyklisty od punktu A, to zależność tej odległości od czasu przejazdu można wyrazić wzorem: S=50t + 20, gdzie t>0.

05.05.17 Pierwsza liczba jest równa x, a druga jest o 2,5 większa od pierwszej. Wiadomo, że 1/5 pierwszej liczby równa się 1/4 drugiej. Utwórz modele matematyczne tych sytuacji: Misza ma x znaków, a Andriej półtora raza więcej. Jeśli Misza da Andriejowi 8 punktów, Andriej będzie miał dwa razy więcej punktów, niż Misza zostawił. W drugim warsztacie pracuje x osób, w pierwszym warsztacie 4 razy więcej niż w drugim, a w trzecim o 50 osób więcej niż w drugim. Łącznie w trzech warsztatach zakładu pracuje 470 osób. Sprawdźmy: Model matematyczny rozwiązania tego problemu to następujące zależności pomiędzy danymi początkowymi a wynikiem: Misha miał x marek; Andriej ma 1,5x. Misza dostał x-8, Andrey dostał 1,5x+8. Zgodnie z warunkami zadania 1,5x+8=2(x-8). Matematycznym modelem rozwiązania tego problemu są następujące zależności pomiędzy danymi początkowymi a wynikiem: x osób pracuje w drugim warsztacie, 4 osoby pracują w pierwszym warsztacie, a x+50 pracuje w trzecim warsztacie. x+4x+x+50=470. Matematycznym modelem rozwiązania tego problemu są następujące zależności pomiędzy danymi początkowymi a wynikiem: pierwsza liczba x; drugie x+2,5. Zgodnie z warunkami zadania x/5=(x+2,5)/4.

05.05.17 Tak zwykle stosuje się matematykę prawdziwe życie. Modele matematyczne mają charakter nie tylko algebraiczny (w postaci równości ze zmiennymi, jak w omówionych powyżej przykładach), ale także w innych postaciach: tabelarycznej, graficznej i innych. Z innymi typami modeli zapoznamy się w następnej lekcji.

05.05.17 Zadania domowe: § 9 (s. 54-58) nr, 2, 4 (s. 60) w zeszycie

05.05.17 Dziękuję za lekcję!

05.05.17 Źródła Informatyka i ICT: podręcznik dla 8. klasy http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (wykresy, diagramy) http://images.yandex.ru (zdjęcia)

Algorytm sporządzenie modelu matematycznego:

Napisz krótkie oświadczenie o warunkach problemu:

A) dowiedzieć się, ile wielkości dotyczy problem;

B) zidentyfikować powiązania pomiędzy tymi wielkościami.

2. Wykonaj rysunek problemu (w zadaniach związanych z ruchem lub w zadaniach o treści geometrycznej) lub tabelę.

3. Jako jedną z wielkości oznacz X (najlepiej mniejszą ilość).

4. Uwzględniając powiązania utwórz model matematyczny.

Zadanie 1. (nr 86 (1)).

Mieszkanie składa się z 3 pokoi o łącznej powierzchni 42 mkw. Pierwszy pokój jest 2 razy mniejszy od drugiego, a drugi ma 3 mkw. m więcej niż jedna trzecia. Jaka jest powierzchnia każdego pokoju w tym mieszkaniu?

Zadanie 2. (nr 86 (2)).

Sasha zapłaciła za książkę, długopis i notatnik 11 200 rubli. Długopis jest 3 razy droższy od notatnika i kosztuje 700 rubli. taniej niż książka. Ile kosztuje notebook?

Zadanie 3. (nr 86 (3)).

Motocyklista przejechał odległość pomiędzy dwoma miastami równą

980 km w 4 dni. Pierwszego dnia przejechał o 80 km mniej niż drugiego dnia, trzeciego dnia – połowę dystansu przebytego w dwa pierwsze dni, a czwartego – pozostałe 140 km. Jaką odległość przejechał motocyklista trzeciego dnia?

Zadanie 4. (nr 86 (4))

Obwód czworoboku wynosi 46 dm. Jego pierwszy bok jest 2 razy mniejszy od drugiego i 3 razy mniejszy od trzeciego, a czwarty bok jest o 4 cm większy od pierwszego. Jakie są długości boków tego czworokąta?

Zadanie 5. (nr 87)

Jedna z liczb jest o 17 mniejsza od drugiej, a ich suma wynosi 75. Znajdź większą z tych liczb.

Zadanie 6. (nr 99)

W trzech częściach koncertu wystąpiło 20 uczestników. W drugiej części wzięło udział 3 razy mniej uczestników niż w pierwszej, a w trzeciej o 5 uczestników więcej niż w drugiej. Ilu uczestników koncertu wystąpiło w poszczególnych sekcjach?

Mogę (lub nie):

Umiejętności

Zwrotnica

0 lub 1

Zidentyfikuj liczbę wielkości objętych problemem

Identyfikuj powiązania między wielkościami

Rozumiem, co to znaczy

B) „całkowity”

Potrafię stworzyć model matematyczny

Potrafię stworzyć nowy problem wykorzystując zadany model matematyczny

Praca domowa:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) Ułóż problem dla matematycznego modelu problemu

Podstawy modelowania matematycznego

S.V. Zwonariew
Podstawy matematyki
modelowanie
Wykład nr 2. Modele matematyczne i ich klasyfikacja
Jekaterynburg
2012

Cel wykładu

Zdefiniuj pojęcie modelu matematycznego.
Przestudiuj uogólniony model matematyczny.
Rozważ klasyfikację modeli matematycznych.
2 Model matematyczny.
Uogólniony model matematyczny.
.
Stopień zgodności modelu matematycznego z obiektem.
Klasyfikacja modeli matematycznych.
3

Model matematyczny

MODEL MATEMATYCZNY
4

Model matematyczny

Model matematyczny to zbiór równań
lub inne zależności matematyczne odzwierciedlające podstawowe
właściwości badanego obiektu lub zjawiska w ramach przyjętych
spekulacyjny
fizyczny
modele
I
osobliwości
jego
interakcje z otoczeniem.
Główne właściwości modeli matematycznych to:
adekwatność;
prostota.
Proces formułowania modelu matematycznego nazywa się
stwierdzenie problemu.
Model matematyczny jest analogiem matematycznym
projektowanego obiektu. Stopień adekwatności przedmiotu
zależy od sformułowania i poprawności rozwiązań problemu
projekt.
5

Modelowanie matematyczne

Model matematyczny obiektu technicznego –
zbiór równań i zależności matematycznych
pomiędzy nimi, co odpowiednio odzwierciedla właściwości
przedmiot badania, interesujący badacza
(inżynier).
Modelowanie matematyczne jest idealne
naukowe symboliczne modelowanie formalne, w którym
przedmiot jest opisany w języku matematyki, oraz
badania modelowe prowadzone są z wykorzystaniem tych lub
inne metody matematyczne.
Metody znajdowania ekstremum funkcji wielu
często występują zmienne z różnymi ograniczeniami
są nazywane
metody
matematyczny
programowanie.
6

Uogólniony model matematyczny

Elementy uogólnionego modelu matematycznego:
zbiór danych wejściowych (zmiennych) X,Y;
operator matematyczny L;
zbiór danych wyjściowych (zmiennych) G(X,Y).
7

Dane wejściowe

X to zbiór zmiennych zmiennych, które
tworzy przestrzeń o zmiennych parametrach Rx
(przestrzeń poszukiwań), która jest metryczna
wymiar
N,
równy
numer
zmienny
parametry.
Y – zbiór zmiennych niezależnych (stałych),
co tworzy przestrzeń metryczną danych wejściowych
dane Ry. W przypadku, gdy każdy element
przestrzeń Ry jest dana przez zakres możliwych
wartości,
wiele
niezależny
zmienne
wystawiany
Niektóre
ograniczony
podprzestrzeń przestrzeni Ry.
8

Zmienne niezależne Y

Określają środowisko pracy obiektu, tj.
zewnętrzny
warunki,
V
Który
będzie
praca
projektowany obiekt. Mogą one obejmować:
parametry techniczne obiektu, którym nie podlegają
zmiany w procesie projektowania;
fizyczny
zakłócenia środowiska,
obiekt projektu wchodzi w interakcję;
Z
Który
parametry taktyczne, które należy osiągnąć
obiekt projektowy.
9

Operator matematyczny i wynik

Operator matematyczny L – układ kompletny
operacje matematyczne opisujące numeryczne lub
logiczne relacje między zbiorami danych wejściowych i
dane wyjściowe (zmienne). On definiuje
operacje na danych wejściowych.
Zbiór danych wyjściowych (zmiennych) G(X,Y)
jest zbiorem funkcji kryterialnych,
włączając (jeśli to konieczne) funkcję celu.
Dane wyjściowe rozważanego uogólnionego modelu
tworzą przestrzeń metryczną kryterium
Wskaźniki RG.
10

Nieliniowość modeli matematycznych

Nieliniowość modeli matematycznych
- naruszenie zasady
superpozycje, tj. gdy dowolna liniowa kombinacja rozwiązań nie jest
jest rozwiązaniem problemu. Zatem wiedza na temat zachowania części
obiektu nie gwarantuje poznania zachowania całego obiektu.
Większość
prawdziwy
procesy
I
odpowiedni
ich
modele matematyczne nie są liniowe. Modele liniowe odpowiadają
bardzo szczególne przypadki i z reguły służą tylko pierwszemu
coraz bliżej rzeczywistości.
Przykład - modele populacji natychmiast stają się nieliniowe,
jeśli weźmiemy pod uwagę ograniczoną dostępność populacji
zasoby.
11

Stopień zgodności modeli matematycznych z obiektem

Trudności:
Model matematyczny nigdy nie jest identyczny
przedmiot i nie przekazuje wszystkich jego właściwości oraz
cechy.
Model matematyczny jest opisem przybliżonym
obiektu i jest zawsze przybliżone.
Dokładność dopasowania zależy od stopnia dopasowania,
adekwatność modelu i obiektu. Metody:
Stosowanie eksperymentu (praktyki) do porównywania modeli i
wybierając najodpowiedniejszy.
Unifikacja modeli matematycznych poprzez akumulację zbiorów
gotowe modele.
Przenoszenie gotowych modeli z jednego procesu do drugiego,
identyczne, podobne.
Stosowanie minimalna ilość przybliżenia i rachunkowość
niepokojące wpływy.
12

Klasyfikacja modeli matematycznych

KLASYFIKACJA
MODELE MATEMATYCZNE
13

Klasy modeli matematycznych

Modele matematyczne dzielą się na klasy
w zależności od:
złożoność modelowanego obiektu;
operator modelu;
parametry wejściowe i wyjściowe;
cele modelowania;
metoda badania modelu;
obiekty badawcze;
model należący do poziomu hierarchicznego
opisy obiektów;
charakter wyświetlanych nieruchomości;
procedura obliczeniowa;
za pomocą kontroli procesu.
14

Klasyfikacja według złożoności obiektu

W
prosty
modele
Na
modelowanie
Nie
brana jest pod uwagę wewnętrzna struktura obiektu, a nie
wyróżniać się
komponenty
jego
elementy
Lub
podprocesy.
System obiektowy jest odpowiednio bardziej złożonym systemem,
który jest zbiorem wzajemnie powiązanych
elementy, oddzielone od środowisko I
interakcji z nim jako całością.
15

Klasyfikacja według operatora modelu

Matematyczny
model
zwany
liniowy, jeśli operator to zapewnia
liniowy
uzależnienie
weekend
parametry
z
wartości
wejście
parametry.
Matematyczny
model
zwany
nieliniowy, jeśli operator to zapewnia
nieliniowy
uzależnienie
weekend
parametry
z
wartości
wejście
parametry.
Model matematyczny jest prosty, jeśli operator modelu jest prosty
algebraiczny
wyrażenie,
odblaskowy
funkcjonalny
zależność parametrów wyjściowych od parametrów wejściowych.
Model uwzględniający układy różniczkowe i całkowe
relacje nazywane są złożonymi.
Model nazywa się algorytmicznym, jeśli można go zbudować
jakiś symulator zachowania i właściwości obiektu za pomocą algorytmu.
16

Klasyfikacja według parametrów wejściowych i wyjściowych

Klasyfikacja ze względu na charakter modelowanego procesu

Deterministyczny,
Który
odpowiadać
procesy deterministyczne, które mają ściśle
jednoznaczne powiązanie wielkości fizycznych,
charakteryzujący stan systemu w dowolnym
moment
czas.
Deterministyczny
model
pozwala jednoznacznie obliczyć i przewidzieć
wartości wielkości wyjściowych na podstawie wartości wejściowych
parametry i działania kontrolne.
Niepewne, które wynikają z faktu, że
następuje zmiana definiowanych wielkości
losowo oraz wartości wielkości wyjściowych
są w probabilistycznej korespondencji z wejściem
wartości i nie są jednoznacznie określone.
18

Niepewne modele

Stochastyczny – wartości wszystkich lub poszczególnych parametrów
modele są zdefiniowane zmienne losowe, dany
gęstości prawdopodobieństwa.
Losowe – wartości wszystkich lub poszczególnych parametrów modelu
ustalane są przez zmienne losowe podane w drodze szacunków
gęstości prawdopodobieństwa uzyskane w wyniku przetwarzania
ograniczone eksperymentalne pobieranie próbek tych parametrów.
Interwał – wartości wszystkich lub poszczególnych parametrów
modele opisane są określonymi wartościami przedziałów
przedział utworzony przez minimum i maksimum
możliwe wartości parametrów.
Fuzzy – wartości wszystkich lub poszczególnych parametrów modelu
są opisane przez funkcje przynależności odpowiednich
rozmyty zestaw.
19

Klasyfikacja ze względu na wymiar przestrzeni

Jednowymiarowe.
Dwuwymiarowy.
Trójwymiarowy.
Podział ten dotyczy modeli m.in
parametry
Który
dołączony
współrzędne
przestrzeń.
20

Klasyfikacja ze względu na czas

Statyczny. Jeśli stan systemu nie jest

statyczny. Symulacja statyczna
służy do opisu stanu obiektu w
stały punkt w czasie.
Dynamiczny. Jeśli stan systemu
zmienia się w czasie, wówczas nazywane są modele
dynamiczny. Symulacja dynamiczna
służy do badania obiektu w czasie.
21

Klasyfikacja ze względu na rodzaj zastosowanych zestawów parametrów

Wysoka jakość.
Ilościowy.
Oddzielny.
Ciągły.
Mieszany.
22

Klasyfikacja według celów modelowania

Opisowy. Celem takich modeli jest ustanawianie praw
zmiany parametrów modelu. Przykład - model ruchu rakiety wg
wystrzelony z powierzchni Ziemi.
Optymalizacja. Podobne modele mają na celu określenie
parametry optymalne z punktu widzenia jakiegoś kryterium
modelowanego obiektu lub w poszukiwaniu trybu optymalnego
kontrolować jakiś proces. Przykładem takiego modelu może być
służyć jako symulacja procesu wystrzeliwania rakiety z powierzchni Ziemi
cel: podniesienie go na zadaną wysokość w jak najkrótszym czasie.
Kierowniczy. Takie modele są stosowane, aby były skuteczne
decyzje zarządcze w różnych obszarach docelowych
23
działalność człowieka.

Klasyfikacja według metody realizacji

Analityczny. Metody analityczne wygodniejsze dla
późniejszej analizy wyników, ale mają zastosowanie tylko do
stosunkowo proste modele. W przypadku matematycznym
problem dopuszcza rozwiązanie analityczne, wówczas jest rozważany
lepiej niż numerycznie
Algorytmiczne. Metody algorytmiczne sprowadzają się do
do niektórych
algorytm
realizowanie
obliczeniowy
24
eksperymentować z komputerem.

Klasyfikacja według przedmiotów badań

Obiekty z wysoki stopień informacja. jeśli jest w toku
modelowaniu znane są kompletne układy równań,
opisujący wszystkie aspekty symulowanego procesu i wszystko
wartości liczbowe parametrów tych równań.
Obiekty o zerowym poziomie informacji. Matematyczny
model takiego obiektu budowany jest w oparciu o statystyki
dane eksperymentalne.
Obiekty o znanych podstawowych wzorach.
Wartości stałych w równaniach matematycznych opisu
modele powstają na podstawie doświadczenia.
Obiekty, których zachowanie jest znane
charakter empiryczny. Używają metod
modelowanie fizyczne za pomocą matematyki
planowanie eksperymentu.
25

Klasyfikacja ze względu na przynależność modelu do hierarchicznego poziomu opisu obiektu

Poziom mikro
(typowy
procesy
Czy
transfer masy,
termofizyczne,
hydrodynamiczny).
Modelowanie
przeprowadzone
V
celów
synteza
proces technologiczny dla jednego lub kilku
jednostki.
Poziom makro. Symulacja procesów mających więcej
wysoki poziom agregacji; Modele służą do syntezy
obecne kierownictwo proces technologiczny dla jednego
jednostka lub kompleks technologiczny ogólnie.
Poziom meta. Zintegrowane modelowanie procesów
jednostki oraz łączące je połączenia materiałowe i energetyczne
strumienie. Modele takie służą do syntezy technologicznej
złożony jako pojedyncza całość, to znaczy do syntezy kontroli
rozwój.
26

Klasyfikacja ze względu na charakter wyświetlanych właściwości modelu

Funkcjonalny
modele.
Są używane
Dla
opisy
procesy fizyczne i informacyjne zachodzące podczas
funkcjonowania obiektu.
Strukturalny
modele.
Opisać
mieszanina
I
relacje
elementy systemu (proces, obiekt).
27

Klasyfikacja według kolejności obliczeń

Bezpośredni. Służy do określania kinetyki,
statyczne i dynamiczne wzorce procesów.
Odwracać
(inwersja).
Używany
Dla
określenie wartości parametrów wejściowych lub innych
określone właściwości przetworzonych substancji lub
produktów, a także w celu ustalenia akceptowalnych
odchylenia trybów przetwarzania (problemy optymalizacji
procesów i parametrów urządzeń).
Indukcyjny.
Stosować
Dla
wyjaśnienia
równania matematyczne kinetyki, statyki lub
dynamika procesu z wykorzystaniem nowych hipotez lub
teorie.
28

Klasyfikacja z wykorzystaniem sterowania procesami

Modele prognostyczne, czyli modele obliczeniowe bez kontroli.
Głównym celem tych modeli jest przewidywanie zachowania
układów w czasie i przestrzeni, znając stan początkowy
oraz informację o jej zachowaniu na granicy. Przykłady - modele
dystrybucja ciepła, pole elektryczne, chemiczny
kinetyka, hydrodynamika.
Modele optymalizacyjne.
– Modele stacjonarne. Używane na poziomie projektu
różny
techniczny
systemy
Przykłady
‒
problemy deterministyczne, wszystkie informacje wejściowe, w których
jest całkowicie ustalalne.
– Niestacjonarne
modele.
Używany
NA
poziom
projektowanie, a przede wszystkim optymalne
zarządzanie różnymi procesami – technologicznymi,
ekonomiczne itp. W tych problemach niektóre parametry są
charakter losowy lub zawierają element niepewności.
29 Hipoteza.
Model fenomenologiczny.
Przybliżenie.
Uproszczenie.
Model heurystyczny.
Analogia.
Eksperyment myślowy.
Demonstracja możliwości.
30

Hipoteza

Modele te stanowią próbę
opis zjawiska. Jeśli taki model zostanie zbudowany, to
oznacza to, że jest to chwilowo akceptowane jako prawda
i możesz skoncentrować się na innych problemach.
Nie może to jednak być przedmiotem badań, ale
tylko chwilowa przerwa: status modelu może być
tylko tymczasowe.
Przykłady:
Model układ słoneczny według Ptolemeusza.
Model Kopernika (ulepszony przez Keplera).
Model atomu Rutherforda.
Model Wielkiego Wybuchu.
i itp.
31

Model fenomenologiczny

Model ten zawiera mechanizm opisu zjawiska.
Mechanizm ten nie jest jednak wystarczająco przekonujący i nie może być
poparte dostępnymi danymi lub słabo spójne
istniejące teorie i zgromadzoną wiedzę na temat obiektu.
Dlatego modele fenomenologiczne mają status tymczasowych
decyzje. Rola modelu w badaniu może się zmieniać wraz z upływem czasu
z biegiem czasu może się zdarzyć, że pojawią się nowe dane i teorie
potwierdzą modele fenomenologiczne i zostaną do nich zmodernizowane
stan hipotezy. Podobnie nowa wiedza może być stopniowo zdobywana
wchodzą w konflikt z modelami-hipotezami pierwszego typu i innymi
można przenieść do drugiego.
Przykłady:
Model kaloryczny.
Kwarkowy model cząstek elementarnych.
i itp.
32

Przybliżenie

Ogólnie przyjęta technika w przypadkach, gdy jest to niemożliwe
nawet rozwiązywać równania za pomocą komputera,
opis badanego systemu - zastosowanie
przybliżenia. Równania zastąpiono równaniami liniowymi.
Typowym przykładem jest prawo Ohma.
33

Uproszczenie

W tym modelu części, które są
może mieć zauważalny i nie zawsze kontrolowany wpływ na
wynik.
Przykłady:
Zastosowanie modelu gaz idealny do niedoskonałego.
Równanie stanu Van der Waalsa.
Większość modeli fizyki ciała stałego,
płynów i fizyki jądrowej. Ścieżka od mikroopisu do
właściwości ciał (lub środowisk) składających się z dużej liczby
cząstki, bardzo długie. Wiele z nich trzeba wyrzucić
bliższe dane.
34

Model heurystyczny

Model heurystyczny zachowuje jedynie to, co jakościowe
pozory rzeczywistości i prognozuje wyłącznie „wg
rząd wielkości.”
Podaje proste wzory na współczynniki
lepkość, dyfuzja, przewodność cieplna, spójne
z rzeczywistością w rzędzie wielkości. Ale kiedy
zbudowanie nowej fizyki nie wychodzi od razu
model dający przynajmniej jakościowy opis obiektu.
Typowym przykładem jest przybliżenie średniej długości
droga swobodna w teorii kinetycznej.
35

Analogia

Ten
model
po raz pierwszy
powstał
Gdy
próbowano interakcji w układzie neutron-proton
wyjaśnić poprzez oddziaływanie atomu
wodór z protonem. Do czego doprowadziła ta analogia
wniosku, że musi nastąpić wymiana
siły oddziaływania pomiędzy neutronem i protonem,
spowodowane przeniesieniem elektronu pomiędzy dwoma
protony.
36

Eksperyment myślowy i demonstracja możliwości

Eksperyment myślowy to rozumowanie
co ostatecznie prowadzi do sprzeczności.
Demonstracja możliwości ma także charakter mentalny
eksperymenty
Z
wyimaginowany
podmioty
demonstrować
Co
przypuszczalny
zjawisko
zgodny z podstawowe zasady i wewnętrznie
spójny. Jeden z najbardziej znanych z nich
eksperymenty - geometria Łobaczewskiego.
37

Wnioski i wnioski

Rozważana jest koncepcja modelu matematycznego.
Zbadano uogólniony model matematyczny.
Zdefiniowano pojęcia: nieliniowość modeli matematycznych i stopień
zgodność pomiędzy modelem matematycznym a obiektem.
Przedstawiono klasyfikację modeli matematycznych.
38 Samarsky, A.A. Modelowanie matematyczne / A.A. Skrzydlak,
AP Michajłow. – M.: Nauka. Fizmatlit, 1997.
Tarasewicz, N.N. Modelowanie matematyczne i komputerowe.
Kurs wprowadzający / N.N. Tarasewicz. – M.: Redakcja URSS, 2001.
Wprowadzenie do modelowania matematycznego: podręcznik. Zasiłek / poniżej
edytowany przez P.V. Trusova. – M.: Księga Uniwersytecka, Logos, 2007. –
440 s.