Zapisz podstawowe funkcje elementarne. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności

1) Dziedzina funkcji i zakres funkcji.

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentów X(zmienny X), dla której funkcja y = f(x) określony. Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych y, co funkcja akceptuje.

W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.

2) Zera funkcji.

Funkcja zero to wartość argumentu, przy której wartość funkcji jest równa zero.

3) Przedziały stałego znaku funkcji.

Przedziały znaku stałego funkcji to zbiory wartości argumentów, w których wartości funkcji są tylko dodatnie lub tylko ujemne.

4) Monotoniczność funkcji.

Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.

Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.

5) Funkcja parzysta (nieparzysta)..

Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = f(x). Harmonogram nawet funkcjonować

symetrycznie względem osi rzędnych. X Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego z dziedziny definicji równość jest prawdziwa f(-x) = - f(x

)..

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.

Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że ​​|f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to funkcja jest nieograniczona. 7) Okresowość funkcji Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że ​​dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji zachodzi: f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystko

funkcje trygonometryczne

są okresowe. (Wzory trygonometryczne).

19. Podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy. Zastosowanie funkcji w ekonomii.

Podstawowe funkcje elementarne. Ich właściwości i wykresy nazywa się funkcją postaci , gdzie x jest zmienną, a i b są liczbami rzeczywistymi.

Numer A zwane nachyleniem linii, jest ono równe tangensowi kąta nachylenia tej linii do dodatniego kierunku osi x. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Jest ona określona przez dwa punkty.

Własności funkcji liniowej

1. Dziedzina definicji - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D(y)=R

2. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: E(y)=R

3. Funkcja przyjmuje wartość zerową, gdy lub.

4. Funkcja rośnie (maleje) w całym obszarze definicji.

5. Funkcja liniowa jest ciągła w całym zakresie definicji, różniczkowalna i .

2. Funkcja kwadratowa.

Nazywa się funkcję postaci, w której x jest zmienną, a współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi kwadratowy

Wiedza podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy nie mniej ważne niż znajomość tabliczki mnożenia. Są jak fundament, wszystko na nich się opiera, wszystko jest z nich zbudowane i wszystko do nich sprowadza się.

W tym artykule wymienimy wszystkie główne funkcje elementarne, przedstawimy ich wykresy i podamy bez wniosków i dowodów własności podstawowych funkcji elementarnych zgodnie ze schematem:

• zachowanie funkcji na granicach dziedziny definicji, asymptoty pionowe (w razie potrzeby patrz artykuł Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji);
• parzyste i nieparzyste;
• przedziały wypukłości (wypukłość w górę) i wklęsłości (wypukłość w dół), punkty przegięcia (w razie potrzeby patrz artykuł wypukłość funkcji, kierunek wypukłości, punkty przegięcia, warunki wypukłości i przegięcia);
• asymptoty ukośne i poziome;
• punkty osobliwe funkcji;
• specjalne właściwości niektórych funkcji (na przykład najmniejszy dodatni okres funkcji trygonometrycznych).

Jeśli jesteś zainteresowany lub, możesz przejść do tych części teorii.

Podstawowe funkcje elementarne są to: funkcja stała (stała), n-ty pierwiastek, funkcja potęgi, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne.

Nawigacja strony.

Funkcja stała.

Na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych funkcję stałą definiuje się wzorem , gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą. Funkcja stała wiąże każdą wartość rzeczywistą zmiennej niezależnej x z tą samą wartością zmiennej zależnej y - wartością C. Funkcja stała nazywana jest także stałą.

Wykres funkcji stałej jest prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,C). Dla przykładu pokażmy wykresy funkcji stałych y=5, y=-2 i, które na poniższym rysunku odpowiadają odpowiednio liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Własności funkcji stałej.

• Dziedzina: cały zbiór liczb rzeczywistych.
• Funkcja stała jest parzysta.
• Zakres wartości: zbiór składający się z liczby pojedynczej C.
• Funkcja stała nie jest rosnąca ani malejąca (dlatego jest stała).
• Nie ma sensu mówić o wypukłości i wklęsłości stałej.
• Nie ma asymptot.
• Funkcja przechodzi przez punkt (0,C) płaszczyzny współrzędnych.

Pierwiastek n-tego stopnia.

Rozważmy podstawową funkcję elementarną, którą podaje wzór , gdzie n – liczba naturalna, większy niż jeden.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą.

Zacznijmy od n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystych wartości wykładnika pierwiastkowego n.

Jako przykład, oto zdjęcie z obrazami wykresów funkcji i , odpowiadają one liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji pierwiastkowych stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystego n.

N-ty pierwiastek, n ​​jest liczbą nieparzystą.

N-ta funkcja pierwiastkowa z nieparzystym wykładnikiem pierwiastkowym n jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oto na przykład wykresy funkcji i odpowiadają krzywym czarnym, czerwonym i niebieskim.

Dla innych nieparzystych wartości wykładnika pierwiastkowego wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla n nieparzystego.

Funkcja mocy.

Funkcję potęgi podaje się wzorem w postaci .

Rozważmy postać wykresów funkcji potęgowej i właściwości funkcji potęgowej w zależności od wartości wykładnika.

Zacznijmy od funkcji potęgowej z wykładnikiem całkowitym a. W tym przypadku rodzaj wykresów funkcji potęgowych i właściwości funkcji zależą od parzystości lub nieparzystości wykładnika, a także od jego znaku. Dlatego najpierw rozważymy funkcje potęgowe dla nieparzystych dodatnich wartości wykładnika a, następnie dla parzystych wykładników dodatnich, następnie dla nieparzystych wykładników ujemnych, a na koniec dla parzystych ujemnych a.

Własności funkcji potęgowych z wykładnikami ułamkowymi i niewymiernymi (oraz rodzaj wykresów takich funkcji potęgowych) zależą od wartości wykładnika a. Rozważymy je, po pierwsze, dla a od zera do jeden, po drugie, dla większej niż jeden, po trzecie, dla od minus jeden do zera, po czwarte, dla mniejszego niż minus jeden.

Na końcu tej sekcji, dla kompletności, opiszemy funkcję potęgową z wykładnikiem zerowym.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z nieparzystym dodatnim wykładnikiem, to znaczy z a = 1,3,5,....

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=1 mamy funkcja liniowa y=x.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z wykładnikiem parzystym dodatnim, to znaczy dla a = 2,4,6,....

Jako przykład podajemy wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona. Dla a=2 mamy funkcja kwadratowa, którego wykres jest parabola kwadratowa.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Spójrz na wykresy funkcji potęgi dla nieparzystych ujemnych wartości wykładnika, to znaczy dla a = -1, -3, -5,....

Na rysunku przedstawiono przykładowe wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=-1 mamy odwrotna proporcjonalność, którego wykres jest hiperbola.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Przejdźmy do funkcji potęgowej dla a=-2,-4,-6,….

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym, którego wartość jest większa od zera i mniejsza od jedności.

Uważać na! Jeżeli a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział. Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy rozważymy dziedziny definicji funkcji potęgowych za pomocą ułamka pozytywne wskaźniki stopni wiele. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Rozważmy funkcję potęgową z wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a i .

Przedstawmy wykresy funkcji potęgowych dla a=11/12 (linia czarna), a=5/7 (linia czerwona), (linia niebieska), a=2/5 (linia zielona).

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym większym niż jeden.

Rozważmy funkcję potęgową z niecałkowitym wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a i .

Przedstawiamy wykresy funkcji potęgowych podanych we wzorach (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie).

>

Dla pozostałych wartości wykładnika a wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności funkcji potęgowej w .

Funkcja potęgowa z wykładnikiem rzeczywistym większym od minus jeden i mniejszym od zera.

Uważać na! Jeżeli a jest ułamkiem ujemnym o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział . Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy dziedziny definicji funkcji potęgowych o ułamkowych wykładnikach ujemnych uznamy odpowiednio za zbiór. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Przejdźmy do funkcji zasilania, kgod.

Aby mieć dobre pojęcie o postaci wykresów funkcji potęgowych dla , podajemy przykłady wykresów funkcji (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone krzywe).

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem a, .

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem rzeczywistym mniejszym niż minus jeden.

Podajmy przykłady wykresów funkcji potęgowych dla , są one przedstawione odpowiednio przez czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie.

Właściwości funkcji potęgowej z niecałkowitym wykładnikiem ujemnym mniejszym niż minus jeden.

Gdy a = 0 i mamy funkcję - jest to prosta, z której wykluczony jest punkt (0;1) (zgodzono się nie przywiązywać żadnego znaczenia do wyrażenia 0 0).

Funkcja wykładnicza.

Jedną z głównych funkcji elementarnych jest funkcja wykładnicza.

Harmonogram funkcja wykładnicza, gdzie i przybiera różne formy w zależności od wartości podstawy a. Rozwiążmy to.

Rozważmy najpierw przypadek, gdy podstawa funkcji wykładniczej przyjmuje wartość od zera do jednego, czyli .

Jako przykład przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczej dla a = 1/2 – linia niebieska, a = 5/6 – linia czerwona. Wykresy funkcji wykładniczej mają podobny wygląd dla innych wartości podstawy z przedziału.

Własności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej niż jeden.

Przejdźmy do przypadku, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa od jedności, czyli .

Dla ilustracji przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczych – linia niebieska i – linia czerwona. Dla pozostałych wartości podstawy większych od jedności wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji wykładniczej o podstawie większej niż jeden.

Funkcja logarytmiczna.

Następną podstawową funkcją elementarną jest funkcja logarytmiczna, gdzie , . Funkcja logarytmiczna jest definiowana tylko dla dodatnich wartości argumentu, czyli dla .

Harmonogram funkcja logarytmiczna przybiera różne formy w zależności od wartości podstawy a.

Sekcja zawiera materiały referencyjne dotyczące głównych funkcji elementarnych i ich właściwości. Podano klasyfikację funkcji elementarnych. Poniżej znajdują się linki do podrozdziałów omawiających właściwości poszczególnych funkcji - wykresy, wzory, pochodne, funkcje pierwotne (całki), rozwinięcia szeregów, wyrażenia poprzez zmienne zespolone.

Treść

Strony referencyjne dotyczące podstawowych funkcji

Klasyfikacja funkcji elementarnych

Funkcja algebraiczna jest funkcją spełniającą równanie:
,
gdzie jest wielomianem zmiennej zależnej y i zmiennej niezależnej x.
,
Można to zapisać jako:

gdzie są wielomiany.

Funkcje algebraiczne dzielą się na wielomiany (całe funkcje wymierne), funkcje wymierne i funkcje niewymierne. Cała funkcja wymierna , co jest również tzw wielomian Lub, uzyskuje się ze zmiennej x i skończonej liczby liczb za pomocą arytmetycznych operacji dodawania (odejmowania) i mnożenia. Po otwarciu nawiasów wielomian sprowadza się do postaci kanonicznej:
.

Ułamkowa funkcja wymierna lub po prostu funkcja racjonalna, uzyskuje się ze zmiennej x i skończonej liczby liczb za pomocą arytmetycznych operacji dodawania (odejmowania), mnożenia i dzielenia. Funkcję wymierną można sprowadzić do postaci
,
gdzie i są wielomianami.

Funkcja irracjonalna jest funkcją algebraiczną, która nie jest wymierna. Z reguły przez funkcję irracjonalną rozumie się pierwiastki i ich kompozycje z funkcjami wymiernymi. Pierwiastek stopnia n definiuje się jako rozwiązanie równania
.
Wyznacza się go w następujący sposób:
.

Funkcje transcendentalne nazywane są funkcjami niealgebraicznymi. Są to funkcje wykładnicze, trygonometryczne, hiperboliczne i ich funkcje odwrotne.

Przegląd podstawowych funkcji elementarnych

Wszystkie funkcje elementarne można przedstawić w postaci skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia wykonywanych na wyrażeniu postaci:
z t.
Funkcje odwrotne można również wyrazić w postaci logarytmów. Podstawowe funkcje elementarne są wymienione poniżej.

Funkcja zasilania:
y(x) = x p,
gdzie p jest wykładnikiem. To zależy od podstawy stopnia x.
Odwrotnością funkcji potęgowej jest także funkcja potęgowa:
.
Dla całkowitej nieujemnej wartości wykładnika p jest to wielomian. Dla wartości całkowitej p - funkcja wymierna. O racjonalnym znaczeniu - funkcja irracjonalna.

Funkcje transcendentalne

Funkcja wykładnicza:
y(x) = ax,
gdzie a jest podstawą stopnia. To zależy od wykładnika x.
Funkcja odwrotna- logarytm o podstawie a:
x = zaloguj się.

Wykładnik e do potęgi x:
y(x) = mi x ,
Jest to funkcja wykładnicza, której pochodna jest równa samej funkcji:
.
Podstawą wykładnika jest liczba e:
≈ 2,718281828459045... .
Funkcja odwrotna - logarytm naturalny - logarytm o podstawie e:
x = ln y ≡ log e y.

Funkcje trygonometryczne:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Styczna: ;
Cotangens: ;
Tutaj i jest jednostką urojoną, i 2 = -1.

Odwrotne funkcje trygonometryczne:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Cosinus łukowy: x = arccos y, ;
Arcus tangens: x = Arktan Y, ;
Arcus tangens: x = arcctg y, .

Podstawowe funkcje elementarne, ich nieodłączne właściwości i odpowiadające im wykresy to jedna z podstaw wiedzy matematycznej, o znaczeniu podobnym do tabliczki mnożenia. Funkcje elementarne są podstawą, wsparciem w badaniu wszelkich zagadnień teoretycznych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Poniższy artykuł zawiera kluczowy materiał na temat podstawowych funkcji elementarnych. Wprowadzimy terminy, podamy im definicje; Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu typowi funkcji elementarnych i przeanalizujmy ich właściwości.

Wyróżnia się następujące typy podstawowych funkcji elementarnych:

Definicja 1

• funkcja stała (stała);
• n-ty pierwiastek;
• funkcja mocy;
• funkcja wykładnicza;
• funkcja logarytmiczna;
• funkcje trygonometryczne;
• braterskie funkcje trygonometryczne.

Funkcja stała jest określona wzorem: y = C (C jest pewną liczbą rzeczywistą) i ma również nazwę: stała. Funkcja ta określa zgodność dowolnej wartości rzeczywistej zmiennej niezależnej x z tą samą wartością zmiennej y - wartością C.

Wykresem stałej jest linia prosta równoległa do osi odciętych i przechodząca przez punkt o współrzędnych (0, C). Dla przejrzystości przedstawiamy wykresy funkcji stałych y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na rysunku zaznaczono odpowiednio kolorem czarnym, czerwonym i niebieskim).

Definicja 2

Tę elementarną funkcję definiuje wzór y = x n (n jest liczbą naturalną większą niż jeden).

Rozważmy dwie odmiany tej funkcji.

1. n-ty pierwiastek, n ​​– liczba parzysta

Dla przejrzystości wskazujemy rysunek przedstawiający wykresy takich funkcji: y = x, y = x 4 i y = x8. Funkcje te są oznaczone kolorami: odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Definicja 3

Właściwości n-tej funkcji pierwiastkowej, n jest liczbą parzystą

• dziedzina definicji – zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych [ 0 , + ∞) ;
• gdy x = 0, funkcja y = x n ma wartość równą zero;
• dany funkcja-funkcja widok ogólny(nie jest ani parzyste, ani nieparzyste);
• zakres: [ 0 , + ∞) ;
• funkcja ta y = x n z wykładnikami parzystymi rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja ma wypukłość z kierunkiem ku górze w całym obszarze definicji;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• wykres funkcji dla parzystego n przechodzi przez punkty (0; 0) i (1; 1).

1. n-ty pierwiastek, n ​​– liczba nieparzysta

Funkcja taka jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Dla jasności rozważmy wykresy funkcji y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na rysunku są one oznaczone kolorami: odpowiednio czarny, czerwony i niebieski to kolory krzywych.

Inne nieparzyste wartości pierwiastka wykładnika funkcji y = x n dadzą wykres podobnego typu.

Definicja 4

Właściwości n-tej funkcji pierwiastkowej, n jest liczbą nieparzystą

• dziedzina definicji – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
• ta funkcja jest nieparzysta;
• zakres wartości – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
• funkcja y = x n dla wykładników pierwiastkowych nieparzystych rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja ma wklęsłość na przedziale (- ∞ ; 0 ] i wypukłość na przedziale [ 0 , + ∞);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0; 0);
• nie ma asymptot;
• Wykres funkcji dla nieparzystego n przechodzi przez punkty (- 1 ; - 1), (0; 0) i (1; 1).

Funkcja mocy

Definicja 5

Funkcję potęgi definiuje wzór y = x a.

Wygląd wykresów i właściwości funkcji zależą od wartości wykładnika.

• gdy funkcja potęgowa ma wykładnik całkowity a, to rodzaj wykresu funkcji potęgowej i jej własności zależą od tego, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty, a także od tego, jaki znak ma wykładnik. Rozważmy wszystkie te szczególne przypadki bardziej szczegółowo poniżej;
• wykładnik może być ułamkowy lub niewymierny - w zależności od tego zmienia się również rodzaj wykresów i właściwości funkcji. Przeanalizujemy specjalne przypadki, ustawiając kilka warunków: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• funkcja potęgowa może mieć wykładnik zerowy; ten przypadek przeanalizujemy również bardziej szczegółowo poniżej.

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy a jest nieparzystą liczbą dodatnią, na przykład a = 1, 3, 5...

Dla przejrzystości wskazujemy wykresy takich funkcji potęgowych: y = x (kolor graficzny czarny), y = x 3 (niebieski kolor wykresu), y = x 5 (czerwony kolor wykresu), y = x 7 (kolor graficzny zielony). Gdy a = 1, otrzymujemy funkcję liniową y = x.

Definicja 6

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysty i dodatni

• funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcja ma wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wklęsłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞) (z wyłączeniem funkcji liniowej);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0 ; 0) (z wyłączeniem funkcji liniowej);
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy a jest liczbą parzystą dodatnią, na przykład a = 2, 4, 6...

Dla przejrzystości wskazujemy wykresy takich funkcji potęgowych: y = x 2 (kolor graficzny czarny), y = x 4 (niebieski kolor wykresu), y = x 8 (czerwony kolor wykresu). Gdy a = 2, otrzymujemy funkcję kwadratową, której wykresem jest parabola kwadratowa.

Definicja 7

Własności funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest parzysty dodatni:

• dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• malejące dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykładowe wykresy funkcji mocy y = x a, gdy a jest nieparzystą liczbą ujemną: y = x - 9 (kolor graficzny czarny); y = x - 5 (niebieski kolor wykresu); y = x - 3 (czerwony kolor wykresu); y = x - 1 (kolor graficzny zielony). Gdy a = - 1, otrzymujemy odwrotną proporcjonalność, której wykresem jest hiperbola.

Definicja 8

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysty i ujemny:

Gdy x = 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, gdyż lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ dla a = - 1, - 3, - 5, …. Zatem linia prosta x = 0 jest asymptotą pionową;

• zakres: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x);
• funkcja maleje dla x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ma wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0) i wklęsłość dla x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;

k = lim x → ∞ x za x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, gdy a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykładowe wykresy funkcji potęgowej y = x a, gdy a jest liczbą parzystą ujemną: y = x - 8 (kolor graficzny czarny); y = x - 4 (niebieski kolor wykresu); y = x - 2 (czerwony kolor wykresu).

Definicja 9

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nawet ujemny:

• dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Gdy x = 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, gdyż lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ dla a = - 2, - 4, - 6, …. Zatem linia prosta x = 0 jest asymptotą pionową;

• funkcja jest parzysta, ponieważ y(-x) = y(x);
• funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; 0) i maleje dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość w miejscu x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0, ponieważ:

k = lim x → ∞ x za x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 gdy a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samego początku zwróć uwagę na następujący aspekt: ​​w przypadku, gdy a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, niektórzy autorzy za dziedzinę definicji tej funkcji potęgowej przyjmują przedział - ∞; + ∞ , stwierdzając, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. W tej chwili autorzy wielu publikacje edukacyjne w algebrze i zasadach analizy NIE OKREŚLAJ funkcji potęgowych, gdzie wykładnikiem jest ułamek o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Dalej będziemy trzymać się dokładnie tego stanowiska: przyjmiemy zbiór [ 0 ; + ∞) . Zalecenie dla uczniów: poznaj zdanie nauczyciela na ten temat, aby uniknąć nieporozumień.

Przyjrzyjmy się więc funkcji mocy y = x a , gdy wykładnik jest liczbą wymierną lub niewymierną, pod warunkiem, że 0< a < 1 .

Zilustrujmy funkcje potęgowe wykresami y = x a gdy a = 11 12 (kolor graficzny czarny); a = 5 7 (czerwony kolor wykresu); a = 1 3 (niebieski kolor wykresu); a = 2 5 (zielony kolor wykresu).

Inne wartości wykładnika a (pod warunkiem 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicja 10

Własności funkcji potęgowej w stanie 0< a < 1:

• zakres: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja jest wypukła dla x ∈ (0 ; + ∞);
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy wykładnik jest niecałkowitą liczbą wymierną lub niewymierną, pod warunkiem, że a > 1.

Zilustrujmy wykresami funkcję potęgową y = x a w danych warunkach na przykładzie następujących funkcji: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (odpowiednio wykresy czarny, czerwony, niebieski i zielony).

Inne wartości wykładnika a, pod warunkiem a > 1, dadzą podobny wykres.

Definicja 11

Własności funkcji potęgowej dla a > 1:

• dziedzina definicji: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• zakres: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ (0 ; + ∞) (kiedy 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Uwaga! Gdy a jest ułamkiem ujemnym o nieparzystym mianowniku, w pracach niektórych autorów spotyka się pogląd, że dziedziną definicji w tym przypadku jest przedział - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) z zastrzeżeniem, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy materiały edukacyjne w algebrze i zasadach analizy funkcje potęgowe z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu NIE są OKREŚLONE. Dalej trzymamy się dokładnie tego poglądu: zbiór (0 ; + ∞) przyjmujemy jako dziedzinę definicji funkcji potęgowych z ułamkowymi wykładnikami ujemnymi. Zalecenie dla uczniów: Wyjaśnij na tym etapie wizję nauczyciela, aby uniknąć nieporozumień.

Kontynuujmy temat i przeanalizujmy funkcję mocy y = x a pod warunkiem: - 1< a < 0 .

Oto rysunek wykresów kolejne funkcje: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (odpowiednio czarny, czerwony, niebieski, zielony kolor linii).

Definicja 12

Właściwości funkcji mocy przy - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ gdy - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• zakres: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• nie ma punktów przegięcia;

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (odpowiednio czarny, czerwony, niebieski, zielony kolor krzywych).

Definicja 13

Własności funkcji potęgowej dla a< - 1:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kiedy a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja maleje dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0;
• punkt przejścia funkcji: (1; 1) .

Gdy a = 0 i x ≠ 0, otrzymujemy funkcję y = x 0 = 1, która definiuje prostą, z której wykluczony jest punkt (0; 1) (uzgodniono, że wyrażeniu 0 0 nie będzie nadawane żadne znaczenie ).

Funkcja wykładnicza ma postać y = a x, gdzie a > 0 i a ≠ 1, a wykres tej funkcji wygląda inaczej w zależności od wartości podstawy a. Rozważmy przypadki szczególne.

Najpierw przyjrzyjmy się sytuacji, gdy podstawa funkcji wykładniczej ma wartość od zera do jeden (0< a < 1) . Jasny przykład posłużą nam wykresy funkcji dla a = 1 2 (niebieski kolor krzywej) i a = 5 6 (czerwony kolor krzywej).

Wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd dla innych wartości podstawy pod warunkiem 0< a < 1 .

Definicja 14

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja wykładnicza o podstawie mniejszej niż jedność maleje w całym obszarze definicji;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – linia prosta y = 0 ze zmienną x zmierzającą do + ∞;

Rozważmy teraz przypadek, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa niż jeden (a > 1).

Zilustrujmy ten szczególny przypadek wykresem funkcji wykładniczych y = 3 2 x (niebieski kolor krzywej) i y = e x (czerwony kolor wykresu).

Inne wartości podstawy, większe jednostki, nadadzą podobny wygląd wykresowi funkcji wykładniczej.

Definicja 15

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

• dziedzina definicji – cały zbiór liczb rzeczywistych;
• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja wykładnicza, której podstawa jest większa niż jedność, rośnie wraz z x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość w miejscu x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0 ze zmienną x zmierzającą do - ∞;
• punkt przejścia funkcji: (0; 1) .

Funkcja logarytmiczna ma postać y = log a (x), gdzie a > 0, a ≠ 1.

Taka funkcja jest definiowana tylko dla dodatnich wartości argumentu: dla x ∈ 0; + ∞ .

Wykres funkcji logarytmicznej ma inny wygląd w zależności od wartości podstawy a.

Rozważmy najpierw sytuację, gdy 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Inne wartości podstawy, a nie większe jednostki, dadzą podobny typ wykresu.

Definicja 16

Właściwości funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ . Ponieważ x dąży do zera od prawej strony, wartości funkcji dążą do +∞;
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• logarytmiczny
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;

Przyjrzyjmy się teraz szczególnemu przypadkowi, gdy podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż jeden: a > 1 . Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji logarytmicznych y = log 3 2 x i y = ln x (odpowiednio niebieski i czerwony kolor wykresów).

Inne wartości podstawy większe od jedności dadzą podobny typ wykresu.

Definicja 17

Własności funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ . Ponieważ x dąży do zera od prawej strony, wartości funkcji dążą do - ∞ ;
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cały zbiór liczb rzeczywistych);
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja logarytmiczna rośnie dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja jest wypukła dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkt przejścia funkcji: (1; 0) .

Funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Przyjrzyjmy się właściwościom każdego z nich i odpowiadającej im grafice.

Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie funkcje trygonometryczne charakteryzują się właściwością okresowości, tj. gdy wartości funkcji powtarzają się dla różnych wartości argumentu, różniących się od siebie okresem f (x + T) = f (x) (T jest okresem). Tym samym do listy właściwości funkcji trygonometrycznych dodano pozycję „najmniejszy okres dodatni”. Dodatkowo wskażemy wartości argumentu, przy którym odpowiednia funkcja osiągnie zero.

1. Funkcja sinus: y = sin(x)

Wykres tej funkcji nazywamy falą sinusoidalną.

Definicja 18

Właściwości funkcji sinus:

• dziedzina definicji: cały zbiór liczb rzeczywistych x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcja zanika, gdy x = π · k, gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• funkcja rośnie dla x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i malejące dla x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• funkcja sinus ma lokalne maksima w punktach π 2 + 2 π · k; 1 i minima lokalne w punktach - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• funkcja sinus jest wklęsła, gdy x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i wypukłe, gdy x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja cosinus: y = cos(x)

Wykres tej funkcji nazywa się falą cosinus.

Definicja 19

Własności funkcji cosinus:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• najmniejszy okres dodatni: T = 2 π;
• zakres wartości: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ta funkcja jest parzysta, ponieważ y (- x) = y (x);
• funkcja rośnie dla x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i malejące dla x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• funkcja cosinus ma lokalne maksima w punktach 2 π · k ; 1, k ∈ Z i minima lokalne w punktach π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• funkcja cosinus jest wklęsła, gdy x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i wypukłe, gdy x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• nie ma asymptot.

1. Funkcja styczna: y = t g (x)

Nazywa się wykres tej funkcji tangens.

Definicja 20

Własności funkcji tangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• Zachowanie się funkcji stycznej na granicy dziedziny definicji lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Zatem proste x = π 2 + π · k k ∈ Z są asymptotami pionowymi;
• funkcja zanika, gdy x = π · k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja rośnie as - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• funkcja tangensa jest wklęsła dla x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i wypukłe dla x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• punkty przegięcia mają współrzędne π · k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funkcja cotangensowa: y = do t g (x)

Wykres tej funkcji nazywa się kotangentoidą. .

Definicja 21

Własności funkcji cotangens:

• dziedzina definicji: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);

Zachowanie funkcji cotangens na granicy dziedziny definicji lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Zatem linie proste x = π · k k ∈ Z są asymptotami pionowymi;

• najmniejszy okres dodatni: T = π;
• funkcja zanika, gdy x = π 2 + π · k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja maleje dla x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• funkcja cotangens jest wklęsła dla x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i wypukła dla x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• Nie ma asymptot ukośnych ani poziomych.

Odwrotne funkcje trygonometryczne to arcsinus, arcuscosinus, arcus tangens i arccotangens. Często ze względu na obecność przedrostka „arc” w nazwie odwrotne funkcje trygonometryczne nazywane są funkcjami łukowymi .

1. Funkcja arcus sinus: y = a r c sin (x)

Definicja 22

Własności funkcji arcsine:

• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja arcsine ma wklęsłość dla x ∈ 0; 1 i wypukłość dla x ∈ - 1 ; 0 ;
• punkty przegięcia mają współrzędne (0; 0), które są jednocześnie zerem funkcji;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja arc cosinus: y = za r do cos (x)

Definicja 23

Właściwości funkcji arc cosinus:

• dziedzina definicji: x ∈ - 1 ; 1 ;
• zakres: y ∈ 0 ; π;
• funkcja ta ma postać ogólną (ani parzystą, ani nieparzystą);
• funkcja jest malejąca w całym obszarze definicji;
• funkcja arc cosinus ma wklęsłość przy x ∈ - 1; 0 i wypukłość dla x ∈ 0; 1 ;
• punkty przegięcia mają współrzędne 0; π2;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja arcus tangens: y = a r do t g (x)

Definicja 24

Własności funkcji arcus tangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• zakres wartości: y ∈ - π 2 ; π2;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja arcustangens ma wklęsłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wypukłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0; 0), które są jednocześnie zerem funkcji;
• asymptoty poziome to linie proste y = - π 2 jako x → - ∞ i y = π 2 jako x → + ∞ (na rysunku asymptoty to linie zielone).

1. Funkcja arcus tangens: y = za r do do t sol (x)

Definicja 25

Własności funkcji arccotangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• zakres: y ∈ (0; π) ;
• funkcja ta ma postać ogólną;
• funkcja jest malejąca w całym obszarze definicji;
• funkcja cotangens łuku ma wklęsłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞) i wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• punkt przegięcia ma współrzędne 0; π2;
• asymptoty poziome to linie proste y = π w x → - ∞ (zielona linia na rysunku) i y = 0 w x → + ∞.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Podstawowe funkcje elementarne są: funkcja stała (stała), pierwiastek N-tego stopnia, funkcja potęgowa, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne.

Funkcja stała.

Stałą funkcję na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych podaje wzór , gdzie C– jakaś liczba rzeczywista. Funkcja stała przypisuje każdą rzeczywistą wartość zmiennej niezależnej X tę samą wartość zmiennej zależnej y- oznaczający Z. Funkcja stała nazywana jest także stałą.

Wykres funkcji stałej jest linią prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,C). Na przykład pokażmy wykresy funkcji stałych y=5,y=-2 i , które na poniższym rysunku odpowiadają odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim liniom.

Własności funkcji stałej.

Dziedzina: cały zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja stała jest parzysta.

Zakres wartości: zbiór składający się z liczby pojedynczej Z.

Funkcja stała nie jest rosnąca ani malejąca (dlatego jest stała).

Nie ma sensu mówić o wypukłości i wklęsłości stałej.

Nie ma asymptot.

Funkcja przechodzi przez punkt (0,C) płaszczyzna współrzędnych.

Pierwiastek n-tego stopnia.

Rozważmy podstawową funkcję elementarną, którą podaje wzór, gdzie N– liczba naturalna większa niż jeden.

N-ty pierwiastek, n ​​jest liczbą parzystą.

Zacznijmy od funkcji root N-ta potęga dla parzystych wartości wykładnika pierwiastkowego N.

Jako przykład, oto zdjęcie z obrazami wykresów funkcji i , odpowiadają one liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji pierwiastkowych stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Właściwości funkcji pierwiastkowejN -ta potęga parzystaN .

N-ty pierwiastek, n ​​jest liczbą nieparzystą.

Funkcja korzenia N-ta potęga z nieparzystym wykładnikiem pierwiastkowym N jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oto na przykład wykresy funkcji i odpowiadają krzywym czarnym, czerwonym i niebieskim.