Wiedza główny funkcje elementarne, ich właściwości i wykresy nie mniej ważne niż znajomość tabliczki mnożenia. Są jak fundament, wszystko na nich się opiera, wszystko jest z nich zbudowane i wszystko do nich sprowadza się.

W tym artykule wymienimy wszystkie główne funkcje elementarne, przedstawimy ich wykresy i podamy bez wniosków i dowodów własności podstawowych funkcji elementarnych zgodnie ze schematem:

• zachowanie funkcji na granicach dziedziny definicji, asymptoty pionowe (w razie potrzeby patrz artykuł Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji);
• parzyste i nieparzyste;
• przedziały wypukłości (wypukłość w górę) i wklęsłości (wypukłość w dół), punkty przegięcia (w razie potrzeby patrz artykuł wypukłość funkcji, kierunek wypukłości, punkty przegięcia, warunki wypukłości i przegięcia);
• asymptoty ukośne i poziome;
• punkty osobliwe funkcji;
• specjalne właściwości niektórych funkcji (na przykład najmniejszy dodatni okres funkcji trygonometrycznych).

Jeśli jesteś zainteresowany lub, możesz przejść do tych części teorii.

Podstawowe funkcje elementarne są to: funkcja stała (stała), n-ty pierwiastek, funkcja potęgi, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne.

Nawigacja strony.

Funkcja stała.

Na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych funkcję stałą definiuje się wzorem , gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą. Funkcja stała wiąże każdą wartość rzeczywistą zmiennej niezależnej x z tą samą wartością zmiennej zależnej y - wartością C. Funkcja stała nazywana jest także stałą.

Wykres funkcji stałej jest prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,C). Dla przykładu pokażmy wykresy funkcji stałych y=5, y=-2 i, które na poniższym rysunku odpowiadają odpowiednio liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Własności funkcji stałej.

• Dziedzina: cały zbiór liczb rzeczywistych.
• Funkcja stała jest parzysta.
• Zakres wartości: zbiór składający się z liczby pojedynczej C.
• Funkcja stała nie jest rosnąca ani malejąca (dlatego jest stała).
• Nie ma sensu mówić o wypukłości i wklęsłości stałej.
• Nie ma asymptot.
• Funkcja przechodzi przez punkt (0,C) płaszczyzny współrzędnych.

Pierwiastek n-tego stopnia.

Rozważmy podstawową funkcję elementarną, którą podaje wzór , gdzie n – liczba naturalna, większy niż jeden.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą.

Zacznijmy od n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystych wartości wykładnika pierwiastkowego n.

Jako przykład, oto zdjęcie z obrazami wykresów funkcji i , odpowiadają one liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji pierwiastkowych stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystego n.

N-ty pierwiastek, n ​​jest liczbą nieparzystą.

N-ta funkcja pierwiastkowa z nieparzystym wykładnikiem pierwiastkowym n jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oto na przykład wykresy funkcji i odpowiadają krzywym czarnym, czerwonym i niebieskim.

Dla innych nieparzystych wartości wykładnika pierwiastkowego wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla n nieparzystego.

Funkcja mocy.

Funkcję potęgi podaje się wzorem w postaci .

Przyjrzyjmy się rodzajom wykresów funkcja mocy oraz właściwości funkcji potęgowej w zależności od wartości wykładnika.

Zacznijmy od funkcji potęgowej z wykładnikiem całkowitym a. W tym przypadku rodzaj wykresów funkcji potęgowych i właściwości funkcji zależą od parzystości lub nieparzystości wykładnika, a także od jego znaku. Dlatego najpierw rozważymy funkcje potęgowe dla nieparzystych dodatnich wartości wykładnika a, następnie dla parzystych wykładników dodatnich, następnie dla nieparzystych wykładników ujemnych, a na koniec dla parzystych ujemnych a.

Własności funkcji potęgowych z wykładnikami ułamkowymi i niewymiernymi (oraz rodzaj wykresów takich funkcji potęgowych) zależą od wartości wykładnika a. Rozważymy je, po pierwsze, dla a od zera do jeden, po drugie, dla większej niż jeden, po trzecie, dla od minus jeden do zera, po czwarte, dla mniejszego niż minus jeden.

Na końcu tej sekcji, dla kompletności, opiszemy funkcję potęgową z wykładnikiem zerowym.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z nieparzystym dodatnim wykładnikiem, to znaczy z a = 1,3,5,....

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=1 mamy funkcja liniowa y=x.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z wykładnikiem parzystym dodatnim, to znaczy dla a = 2,4,6,....

Jako przykład podajemy wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona. Dla a=2 mamy funkcja kwadratowa, którego wykres jest parabola kwadratowa.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Spójrz na wykresy funkcji potęgi dla nieparzystych ujemnych wartości wykładnika, to znaczy dla a = -1, -3, -5,....

Na rysunku przedstawiono przykładowe wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=-1 mamy odwrotna proporcjonalność, którego wykres jest hiperbola.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Przejdźmy do funkcji potęgowej dla a=-2,-4,-6,….

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym, którego wartość jest większa od zera i mniejsza od jedności.

Uważać na! Jeżeli a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział. Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy za zbiór będziemy uważać dziedziny definicji funkcji potęgowych o wykładnikach ułamkowych dodatnich. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Rozważmy funkcję potęgową z wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a i .

Przedstawmy wykresy funkcji potęgowych dla a=11/12 (linia czarna), a=5/7 (linia czerwona), (linia niebieska), a=2/5 (linia zielona).

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym większym niż jeden.

Rozważmy funkcję potęgową z niecałkowitym wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a i .

Przedstawiamy wykresy funkcji potęgowych podanych we wzorach (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie).

>

Dla pozostałych wartości wykładnika a wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności funkcji potęgowej w .

Funkcja potęgowa z wykładnikiem rzeczywistym większym od minus jeden i mniejszym od zera.

Uważać na! Jeżeli a jest ułamkiem ujemnym o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział . Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy dziedziny definicji funkcji potęgowych o ułamkowych wykładnikach ujemnych uznamy odpowiednio za zbiór. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Przejdźmy do funkcji zasilania, kgod.

Aby mieć dobre pojęcie o postaci wykresów funkcji potęgowych dla , podajemy przykłady wykresów funkcji (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone krzywe).

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem a, .

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem rzeczywistym mniejszym niż minus jeden.

Podajmy przykłady wykresów funkcji potęgowych dla , są one przedstawione odpowiednio przez czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie.

Właściwości funkcji potęgowej z niecałkowitym wykładnikiem ujemnym mniejszym niż minus jeden.

Gdy a = 0 i mamy funkcję - jest to prosta, z której wykluczony jest punkt (0;1) (zgodzono się nie przywiązywać żadnego znaczenia do wyrażenia 0 0).

Funkcja wykładnicza.

Jedną z głównych funkcji elementarnych jest funkcja wykładnicza.

Harmonogram funkcja wykładnicza, gdzie i przybiera różne formy w zależności od wartości podstawy a. Rozwiążmy to.

Rozważmy najpierw przypadek, gdy podstawa funkcji wykładniczej przyjmuje wartość od zera do jednego, czyli .

Jako przykład przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczej dla a = 1/2 – linia niebieska, a = 5/6 – linia czerwona. Wykresy funkcji wykładniczej mają podobny wygląd dla innych wartości podstawy z przedziału.

Własności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej niż jeden.

Przejdźmy do przypadku, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa od jedności, czyli .

Dla ilustracji przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczych – linia niebieska i – linia czerwona. Dla pozostałych wartości podstawy większych od jedności wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji wykładniczej o podstawie większej niż jeden.

Funkcja logarytmiczna.

Następną podstawową funkcją elementarną jest funkcja logarytmiczna, gdzie , . Funkcja logarytmiczna jest definiowana tylko dla dodatnich wartości argumentu, czyli dla .

Harmonogram funkcja logarytmiczna przybiera różne formy w zależności od wartości podstawy a.

Zacznijmy od przypadku, gdy .

Jako przykład przedstawiamy wykresy funkcji logarytmicznej dla a = 1/2 – linia niebieska, a = 5/6 – linia czerwona. Dla pozostałych wartości podstawy nieprzekraczających jedności wykresy funkcji logarytmicznej będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji logarytmicznej o podstawie mniejszej niż jeden.

Przejdźmy do przypadku, gdy podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż jeden ().

Przedstawmy wykresy funkcji logarytmicznych - linia niebieska, - linia czerwona. Dla pozostałych wartości podstawy większych od jedności wykresy funkcji logarytmicznej będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji logarytmicznej o podstawie większej niż jeden.

Funkcje trygonometryczne, ich własności i wykresy.

Wszystkie funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens i cotangens) należą do podstawowych funkcji elementarnych. Teraz przyjrzymy się ich wykresom i wyszczególnimy ich właściwości.

Funkcje trygonometryczne mają pojęcie częstotliwość(powtarzanie wartości funkcji dla różnych wartości argumentu różniących się od siebie kropką , gdzie T jest okresem), dlatego pozycja została dodana do listy właściwości funkcji trygonometrycznych „najmniejszy okres dodatni”. Ponadto dla każdej funkcji trygonometrycznej wskażemy wartości argumentu, przy którym odpowiednia funkcja staje się zerowa.

Zajmijmy się teraz wszystkimi funkcjami trygonometrycznymi w kolejności.

Funkcja sinus y = sin(x) .

Narysujmy wykres funkcji sinusoidalnej, nazywa się to „falą sinusoidalną”.

Własności funkcji sinus y = sinx.

Funkcja cosinus y = cos(x) .

Wykres funkcji cosinus (zwanej „cosinusem”) wygląda następująco:

Własności funkcji cosinus y = cosx.

Funkcja styczna y = tan(x) .

Wykres funkcji stycznej (nazywanej „styczną”) wygląda następująco:

Własności funkcji stycznej y = tanx.

Funkcja cotangens y = ctg(x) .

Narysujmy wykres funkcji cotangens (nazywa się to „kotangentoidą”):

Własności funkcji cotangens y = ctgx.

Odwrotne funkcje trygonometryczne, ich własności i wykresy.

Odwrotne funkcje trygonometryczne (sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arc cotangens) są podstawowymi funkcjami elementarnymi. Często ze względu na przedrostek „arc” odwrotne funkcje trygonometryczne nazywane są funkcjami łukowymi. Teraz przyjrzymy się ich wykresom i wyszczególnimy ich właściwości.

Funkcja arcsine y = arcsin(x) .

Wykreślmy funkcję arcsine:

Własności funkcji arccotangens y = arcctg(x) .

Referencje.

• Kołmogorow A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. instytucje oświatowe ogólnokształcące.
• Wygodski M.Ya. Podręcznik matematyki elementarnej .
• Nowosełow S.I. Algebra i funkcje elementarne.
• Tumanow S.I. Algebra elementarna. Podręcznik do samokształcenia.

Funkcje i ich wykresy to jeden z najbardziej fascynujących tematów matematyki w szkole. Szkoda tylko, że mija... lekcje i uczniów. W szkole średniej nigdy nie ma dla niej czasu. A te funkcje, których uczy się w siódmej klasie – funkcja liniowa i parabola – są zbyt proste i nieskomplikowane, aby pokazać całą gamę interesujących problemów.

Umiejętność konstruowania wykresów funkcji jest niezbędna do rozwiązywania problemów z parametrami na egzaminie Unified State Exam z matematyki. Jest to jeden z pierwszych tematów zajęć z analizy matematycznej na uniwersytecie. Jest to tak ważny temat, że w Unified State Examination Studio prowadzimy specjalne intensywne kursy z tego zakresu dla uczniów i nauczycieli szkół średnich, w Moskwie i online. I często uczestnicy mówią: „Szkoda, że ​​nie wiedzieliśmy o tym wcześniej”.

Ale to nie wszystko. Prawdziwa, „dorosła” matematyka zaczyna się od pojęcia funkcji. W końcu dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie, ułamki zwykłe i proporcje są nadal arytmetyczne. Przekształcanie wyrażeń to algebra. A matematyka to nauka nie tylko o liczbach, ale także o relacjach między wielkościami. Język funkcji i wykresów jest zrozumiały dla fizyków, biologów i ekonomistów. I jak powiedział Galileusz Galilei: „Księga natury napisana jest językiem matematyki”.

Dokładniej, Galileo Galilei powiedział tak: „Matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg napisał Wszechświat”.

Tematy do sprawdzenia:

1. Zbudujmy wykres funkcji

Znane zadanie! Znaleziono je w Opcje OGE w matematyce. Tam uważano je za trudne. Ale nie ma tu nic skomplikowanego.

Uprośćmy wzór funkcji:

Wykres funkcji jest linią prostą z przebitym punktem.

2. Narysujmy funkcję

Zaznaczmy całą część we wzorze funkcji:

Wykres funkcji to hiperbola przesunięta o 3 w prawo w x i 2 w górę w y i rozciągnięta 10 razy w porównaniu z wykresem funkcji

Izolowanie części całkowitej jest użyteczną techniką stosowaną przy rozwiązywaniu nierówności, konstruowaniu wykresów i szacowaniu wielkości całkowitych w problemach związanych z liczbami i ich właściwościami. Spotkasz się z tym również na pierwszym roku, kiedy będziesz musiał brać całki.

3. Narysujmy funkcję

Otrzymuje się go z wykresu funkcji rozciągając go 2 razy, odbijając w pionie i przesuwając w pionie o 1

4. Narysujmy funkcję

Najważniejsze jest prawidłowa sekwencja działań. Zapiszmy formułę funkcji w wygodniejszej formie:

Postępujemy w kolejności:

1) Przesuń wykres funkcji y=sinx w lewo;

2) ściśnij go 2 razy poziomo,

3) rozciągnij go 3 razy w pionie,

4) przesuń się o 1 w górę

Teraz zbudujemy kilka wykresów ułamkowe funkcje wymierne. Aby lepiej zrozumieć jak to robimy przeczytaj artykuł „Zachowanie się funkcji w nieskończoności. Asymptoty.”

5. Wykreślmy funkcję

Zakres funkcji:

Zera funkcji: i

Linia prosta x = 0 (oś Y) jest asymptotą pionową funkcji. Asymptota- prosta, do której wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale jej nie przecina ani nie łączy (patrz temat „Zachowanie się funkcji w nieskończoności. Asymptoty”)

Czy istnieją inne asymptoty naszej funkcji? Aby się tego dowiedzieć, spójrzmy, jak funkcja zachowuje się, gdy x zbliża się do nieskończoności.

Otwórzmy nawiasy we wzorze funkcji:

Jeśli x dąży do nieskończoności, to dąży do zera. Linia prosta jest ukośną asymptotą wykresu funkcji.

6. Wykreślmy funkcję

Jest to ułamkowa funkcja wymierna.

Dziedzina funkcji

Zera funkcji: punkty - 3, 2, 6.

Przedziały znaku stałego funkcji wyznaczamy metodą przedziałową.

Asymptoty pionowe:

Jeśli x dąży do nieskończoności, to y dąży do 1. Oznacza to, że jest to asymptota pozioma.

Oto szkic wykresu:

Kolejną interesującą techniką jest dodawanie wykresów.

7. Wykreślmy funkcję

Jeżeli x dąży do nieskończoności, to wykres funkcji będzie zbliżał się nieskończenie blisko asymptoty ukośnej

Jeśli x dąży do zera, to funkcja zachowuje się w następujący sposób:

Zbudowaliśmy więc wykres sumy funkcji. A teraz wykres artykułu!

8. Wykreślmy funkcję

Dziedziną tej funkcji są liczby dodatnie, ponieważ zdefiniowano tylko dla dodatniego x

Wartości funkcji są równe zeru w (gdy logarytm wynosi zero), a także w punktach, w których to znaczy w

Kiedy , wartość (cos x) jest równa jeden. Wartość funkcji w tych punktach będzie równa

9. Wykreślmy funkcję

Funkcja jest zdefiniowana jako Jest parzysta, ponieważ jest iloczynem dwóch funkcji nieparzystych, a wykres jest symetryczny względem osi rzędnych.

Zera funkcji znajdują się w punktach, w których się ona znajduje

Jeśli x dąży do nieskończoności, dąży do zera. Ale co się stanie, jeśli x dąży do zera? W końcu zarówno x, jak i sin x będą coraz mniejsze. Jak zachowa się prywatny?

Okazuje się, że jeśli x dąży do zera, to dąży do jedności. W matematyce stwierdzenie to nazywa się „pierwszą niezwykłą granicą”.

A co z pochodną? Tak, w końcu tam dotarliśmy. Pochodna pomaga dokładniej wykreślić funkcje. Znajdź punkty maksymalne i minimalne, a także wartości funkcji w tych punktach.

10. Wykreślmy funkcję

Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ

Funkcja jest dziwna. Jego wykres jest symetryczny względem początku.

Przy x=0 wartość funkcji wynosi zero. Gdy wartości funkcji są dodatnie, gdy są ujemne.

Jeśli x dąży do nieskończoności, to dąży do zera.

Znajdźmy pochodną funkcji
Zgodnie ze wzorem na pochodną ilorazową,

Jeśli lub

W pewnym momencie pochodna zmienia znak z „minus” na „plus” – minimalny punkt funkcji.

W pewnym momencie pochodna zmienia znak z „plus” na „minus” – punkt maksimum funkcji.

Znajdźmy wartości funkcji przy x=2 i przy x=-2.

Wygodnie jest konstruować wykresy funkcji przy użyciu określonego algorytmu lub schematu. Pamiętasz, uczyłeś się tego w szkole?

Ogólny schemat konstruowania wykresu funkcji:

1. Dziedzina funkcji

2. Zakres funkcji

3. Parzysty - nieparzysty (jeśli występuje)

4. Częstotliwość (jeśli występuje)

5. Zera funkcji (punkty, w których wykres przecina osie współrzędnych)

6. Przedziały znaku stałego funkcji (czyli przedziały, w których jest ona ściśle dodatnia lub ściśle ujemna).

7. Asymptoty (jeśli występują).

8. Zachowanie funkcji w nieskończoności

9. Pochodna funkcji

10. Przedziały narastania i zmniejszania. Maksymalne i minimalne punkty oraz wartości w tych punktach.

Dany materiał metodologiczny ma charakter wyłącznie informacyjny i dotyczy szerokiego zakresu tematów. W artykule dokonano przeglądu wykresów podstawowych funkcji elementarnych oraz omówiono je najważniejsze pytanie – jak poprawnie i SZYBKO zbudować wykres. W trakcie studiowania matematyki wyższej bez znajomości wykresów podstawowych funkcji elementarnych będzie to trudne, dlatego bardzo ważne jest, aby pamiętać, jak wyglądają wykresy paraboli, hiperboli, sinusa, cosinusa itp. i pamiętać o kilku znaczenia funkcji. Porozmawiamy również o niektórych właściwościach głównych funkcji.

Nie twierdzę o kompletności i naukowej dokładności materiałów; nacisk zostanie położony przede wszystkim na praktykę, czyli to, z czym spotykamy się dosłownie na każdym kroku, w każdym temacie wyższej matematyki. Wykresy dla manekinów? Można tak powiedzieć.

W związku z licznymi prośbami czytelników klikalny spis treści:

Ponadto znajduje się tam bardzo krótkie streszczenie tematu
– opanuj 16 typów wykresów, studiując SZEŚĆ stron!

Poważnie, sześć, nawet ja byłem zaskoczony. To podsumowanie zawiera ulepszoną grafikę i jest dostępne za symboliczną opłatą; można obejrzeć wersję demonstracyjną. Wygodnie jest wydrukować plik, aby wykresy były zawsze pod ręką. Dziękujemy za wsparcie projektu!

I zacznijmy od razu:

Jak poprawnie skonstruować osie współrzędnych?

W praktyce testy prawie zawsze studenci rozwiązują w osobnych zeszytach, wyłożonych w kwadrat. Dlaczego potrzebujesz oznaczeń w kratkę? Przecież pracę w zasadzie można wykonać na kartkach A4. A klatka jest niezbędna tylko do wysokiej jakości i dokładnego projektowania rysunków.

Każdy rysunek wykresu funkcji zaczyna się od osi współrzędnych.

Rysunki mogą być dwuwymiarowe lub trójwymiarowe.

Rozważmy najpierw przypadek dwuwymiarowy Kartezjański prostokątny układ współrzędnych:

1) Narysuj osie współrzędnych. Oś nazywa się oś x , a oś jest oś y . Zawsze staramy się je narysować schludne i nie krzywe. Strzałki nie powinny również przypominać brody Papy Carlo.

2) Oznacz osie wielkimi literami„X” i „Y”. Nie zapomnij o oznakowaniu osi.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi: narysuj zero i dwie jedynki. Podczas rysowania najwygodniejszą i najczęściej stosowaną skalą jest: 1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej stronie) - jeśli to możliwe, trzymaj się jej. Czasem jednak zdarza się, że rysunek nie mieści się na kartce zeszytu – wtedy zmniejszamy skalę: 1 jednostka = 1 komórka (rysunek po prawej). Rzadko się to zdarza, ale zdarza się, że trzeba jeszcze bardziej zmniejszyć (lub zwiększyć) skalę rysunku

NIE MA POTRZEBY „karabinu maszynowego”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Dla płaszczyzna współrzędnych nie jest pomnikiem Kartezjusza, a uczeń nie jest gołębicą. Kładziemy zero I dwie jednostki wzdłuż osi. Czasami zamiast jednostek, wygodnie jest „zaznaczyć” inne wartości, na przykład „dwa” na osi odciętych i „trzy” na osi rzędnych - a ten układ (0, 2 i 3) również jednoznacznie zdefiniuje siatkę współrzędnych.

Lepiej oszacować szacunkowe wymiary rysunku PRZED jego wykonaniem. Jeśli więc np. zadanie wymaga narysowania trójkąta o wierzchołkach , , , to jest całkowicie jasne, że popularna skala 1 jednostka = 2 komórki nie sprawdzi się. Dlaczego? Spójrzmy na punkt - tutaj będziesz musiał zmierzyć piętnaście centymetrów w dół i oczywiście rysunek nie zmieści się (lub ledwo zmieści się) na kartce zeszytu. Dlatego od razu wybieramy mniejszą skalę: 1 jednostka = 1 komórka.

Nawiasem mówiąc, o centymetrach i komórkach notebooka. Czy to prawda, że ​​30 komórek notesu zawiera 15 centymetrów? Dla zabawy zmierz w zeszycie 15 centymetrów za pomocą linijki. W ZSRR mogło to być prawdą... Warto zauważyć, że jeśli zmierzysz te same centymetry w poziomie i w pionie, wyniki (w komórkach) będą inne! Ściśle mówiąc, nowoczesne notatniki nie są w kratkę, ale prostokątne. Może się to wydawać bzdurą, ale narysowanie np. koła za pomocą kompasu w takich sytuacjach jest bardzo niewygodne. Szczerze mówiąc, w takich momentach zaczyna się myśleć o słuszności towarzysza Stalina, którego zesłano do obozów za prace hakerskie na produkcji, nie mówiąc już o krajowym przemyśle samochodowym, spadających samolotach czy eksplodujących elektrowniach.

Skoro mowa o jakości, czyli krótka rekomendacja dotycząca artykułów piśmiennych. Dziś większość notebooków w sprzedaży to, delikatnie mówiąc, kompletna bzdura. Z tego powodu, że zamoczą się, i to nie tylko od długopisów żelowych, ale także od długopisów! Oszczędzają pieniądze na papierze. Do rejestracji testy Polecam używać zeszytów z Zakładu Celulozowo-Papierniczego w Archangielsku (18 arkuszy, siatka) lub „Pyaterochka”, chociaż jest droższy. Warto wybrać długopis żelowy, nawet najtańszy chiński wkład żelowy jest o wiele lepszy od długopisu, który rozmazuje lub podrze papier. Jedyny „konkurencyjny” długopis, jaki pamiętam, to Erich Krause. Pisze wyraźnie, pięknie i konsekwentnie – czy to z pełnym rdzeniem, czy z prawie pustym.

Dodatkowo: W artykule omówiono wizję prostokątnego układu współrzędnych oczami geometrii analitycznej Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów, szczegółowe informacje na temat ćwiartek współrzędnych znajdziesz w drugim akapicie lekcji Nierówności liniowe.

Obudowa 3D

Tutaj jest prawie tak samo.

1) Narysuj osie współrzędnych. Standard: zastosowanie osi – skierowana w górę, oś – skierowana w prawo, oś – skierowana w dół w lewo rygorystycznie pod kątem 45 stopni.

2) Oznacz osie.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi. Skala wzdłuż osi jest dwukrotnie mniejsza niż skala wzdłuż pozostałych osi. Zwróć też uwagę, że na prawym rysunku zastosowałem niestandardowe „wycięcie” wzdłuż osi (o takiej możliwości wspomniano już powyżej). Z mojego punktu widzenia jest to dokładniejsze, szybsze i bardziej estetyczne - nie trzeba szukać środka komórki pod mikroskopem i „rzeźbić” jednostki blisko początku współrzędnych.

Podczas tworzenia rysunku 3D ponownie nadaj priorytet skali
1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej).

Po co te wszystkie zasady? Zasady są po to, żeby je łamać. To właśnie teraz zrobię. Faktem jest, że kolejne rysunki artykułu będą wykonane przeze mnie w Excelu, a osie współrzędnych będą wyglądać niepoprawnie z punktu widzenia prawidłowego projektu. Mógłbym narysować wszystkie wykresy ręcznie, ale tak naprawdę jest to przerażające, ponieważ Excel nie chce rysować ich znacznie dokładniej.

Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych

Funkcja liniowa jest dana równaniem. Wykres funkcji liniowych to bezpośredni. Aby zbudować linię prostą wystarczy znać dwa punkty.

Przykład 1

Zbuduj wykres funkcji. Znajdźmy dwa punkty. Korzystne jest wybranie zera jako jednego z punktów.

Jeśli, to

Weźmy inny punkt, na przykład 1.

Jeśli, to

Podczas wykonywania zadań współrzędne punktów są zwykle podsumowywane w tabeli:

A same wartości są obliczane ustnie lub na szkicu, kalkulatorze.

Znaleziono dwa punkty, zróbmy rysunek:

Przygotowując rysunek zawsze podpisujemy grafikę.

Przydałoby się przypomnieć szczególne przypadki funkcji liniowej:

Zwróć uwagę, jak umieściłem podpisy, podpisy nie powinny dopuszczać rozbieżności podczas studiowania rysunku. W tym przypadku wyjątkowo niepożądane było umieszczenie podpisu obok punktu przecięcia linii lub w prawym dolnym rogu pomiędzy wykresami.

1) Liniową funkcję formy () nazywa się bezpośrednią proporcjonalnością. Na przykład, . Wykres bezpośredniej proporcjonalności zawsze przechodzi przez początek. W ten sposób upraszcza się konstruowanie linii prostej – wystarczy znaleźć tylko jeden punkt.

2) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji tworzony jest od razu, bez znajdowania punktów. Oznacza to, że zapis należy rozumieć w następujący sposób: „y jest zawsze równe –4, dla dowolnej wartości x”.

3) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest również natychmiast wykreślany. Zapis należy rozumieć w następujący sposób: „x jest zawsze, dla dowolnej wartości y, równe 1”.

Niektórzy zapytają, dlaczego pamiętasz 6 klasę?! Tak to jest, może i tak jest, ale przez lata praktyki spotkałem kilkunastu uczniów, którzy byli zaskoczeni zadaniem zbudowania wykresu typu lub.

Konstruowanie linii prostej jest najczęstszą czynnością podczas tworzenia rysunków.

Linię prostą omawiamy szczegółowo w trakcie geometrii analitycznej, a zainteresowanych odsyłam do artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie.

Wykres funkcji kwadratowej, sześciennej, wykres wielomianu

Parabola. Wykres funkcji kwadratowej () oznacza parabolę. Rozważmy słynne wydarzenie:

Przypomnijmy niektóre właściwości funkcji.

A więc rozwiązanie naszego równania: – w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli. Dlaczego tak jest, można dowiedzieć się z artykułu teoretycznego o pochodnej i lekcji o ekstremach funkcji. W międzyczasie obliczmy odpowiednią wartość „Y”:

Zatem wierzchołek znajduje się w punkcie

Teraz znajdujemy inne punkty, bezczelnie wykorzystując symetrię paraboli. Warto zaznaczyć, że funkcja – nie jest równa, ale mimo to nikt nie anulował symetrii paraboli.

Myślę, że w jakiej kolejności znaleźć pozostałe punkty, będzie jasne od stołu finałowego:

Ten algorytm konstrukcji można w przenośni nazwać „wahadłem” lub zasadą „tam i z powrotem” u Anfisy Czechowej.

Zróbmy rysunek:

Z zbadanych wykresów przychodzi na myśl kolejna przydatna funkcja:

Dla funkcji kwadratowej () prawdą jest, co następuje:

Jeśli , to ramiona paraboli są skierowane w górę.

Jeśli , to ramiona paraboli są skierowane w dół.

Dogłębną wiedzę na temat krzywej można uzyskać na lekcji Hiperbola i parabola.

Parabola sześcienna jest dana funkcją. Oto rysunek znany ze szkoły:

Wymieńmy główne właściwości funkcji

Wykres funkcji

Reprezentuje jedną z gałęzi paraboli. Zróbmy rysunek:

Główne właściwości funkcji:

W tym przypadku oś jest asymptota pionowa dla wykresu hiperboli w .

Byłoby rażącym błędem, gdybyśmy podczas rysowania nieuważnie pozwolili na przecięcie wykresu z asymptotą.

Również jednostronne granice mówią nam, że hiperbola nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu.

Przeanalizujmy funkcję w nieskończoności: , czyli jeśli zaczniemy przesuwać się wzdłuż osi w lewo (lub w prawo) do nieskończoności, to „gry” będą miały uporządkowany krok nieskończenie blisko zbliżają się do zera i odpowiednio do gałęzi hiperboli nieskończenie blisko zbliżyć się do osi.

A więc jest oś asymptota pozioma dla wykresu funkcji, jeśli „x” dąży do plus lub minus nieskończoności.

Funkcja jest dziwne, a zatem hiperbola jest symetryczna względem początku. Fakt ten wynika z rysunku, dodatkowo można go łatwo zweryfikować analitycznie: .

Wykres funkcji postaci () przedstawia dwie gałęzie hiperboli.

Jeśli , to hiperbola znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce współrzędnych(patrz zdjęcie powyżej).

Jeśli , to hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce współrzędnych.

Wskazany wzór rezydencji hiperboli jest łatwy do analizy z punktu widzenia przekształceń geometrycznych wykresów.

Przykład 3

Skonstruuj prawą gałąź hiperboli

Stosujemy metodę konstrukcji punktowej i korzystne jest dobranie wartości tak, aby były podzielne przez całość:

Zróbmy rysunek:

Skonstruowanie lewej gałęzi hiperboli nie będzie trudne; pomoże tu osobliwość funkcji. Z grubsza mówiąc, w tabeli konstrukcji punktowej dodajemy w myślach minus do każdej liczby, umieszczamy odpowiednie punkty i rysujemy drugą gałąź.

Szczegółowe informacje geometryczne na temat rozpatrywanej linii można znaleźć w artykule Hiperbola i parabola.

Wykres funkcji wykładniczej

W tej sekcji od razu rozważę funkcję wykładniczą, ponieważ w problemach wyższej matematyki w 95% przypadków pojawia się funkcja wykładnicza.

Przypomnę, że jest to liczba niewymierna: , będzie to wymagane przy konstruowaniu wykresu, który tak naprawdę zbuduję bez ceremonii. Trzy punkty prawdopodobnie wystarczą:

Zostawmy na razie wykres funkcji w spokoju, więcej o tym później.

Główne właściwości funkcji:

Wykresy funkcji itp. wyglądają zasadniczo tak samo.

Muszę powiedzieć, że ten drugi przypadek w praktyce występuje rzadziej, ale jednak występuje, dlatego uznałem za konieczne uwzględnienie go w tym artykule.

Wykres funkcji logarytmicznej

Rozważmy funkcję z logarytmem naturalnym.
Zróbmy rysunek punkt po punkcie:

Jeśli zapomniałeś, czym jest logarytm, zajrzyj do podręczników szkolnych.

Główne właściwości funkcji:

Dziedzina definicji:

Zakres wartości: .

Funkcja nie jest ograniczona z góry: choć powoli, gałąź logarytmu zmierza do nieskończoności.
Zbadajmy zachowanie funkcji w pobliżu zera po prawej stronie: . A więc jest oś asymptota pionowa dla wykresu funkcji, gdy „x” dąży do zera od prawej strony.

Konieczne jest poznanie i zapamiętanie typowej wartości logarytmu: .

W zasadzie wykres logarytmu o podstawie wygląda tak samo: , , (logarytm dziesiętny o podstawie 10) itd. Co więcej, im większa podstawa, tym bardziej płaski będzie wykres.

Nie będziemy się nad tym rozwodzić; nie pamiętam kiedy ostatni raz budowałem wykres na takiej podstawie. Logarytm wydaje się być bardzo rzadkim gościem w problemach wyższej matematyki.

Na koniec tego akapitu powiem jeszcze jeden fakt: Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna- jedno i drugie jest wzajemne funkcje odwrotne . Jeśli przyjrzysz się uważnie wykresowi logarytmu, zobaczysz, że jest to ten sam wykładnik, tylko jest nieco inaczej położony.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Gdzie w szkole zaczynają się męki trygonometryczne? Prawidłowy. Od sinusa

Narysujmy funkcję

Ta linia nazywa się sinusoida.

Przypomnę, że „pi” jest liczbą niewymierną: , a w trygonometrii sprawia, że ​​oczy olśniewają.

Główne właściwości funkcji:

Ta funkcja jest okresowy z okresem. Co to znaczy? Spójrzmy na segment. Po lewej i prawej stronie powtarza się w nieskończoność dokładnie ten sam fragment wykresu.

Dziedzina definicji: , czyli dla każdej wartości „x” istnieje wartość sinus.

Zakres wartości: . Funkcja jest ograniczony: , czyli wszyscy „gracze” siedzą ściśle w segmencie .
To się nie zdarza: a ściślej dzieje się, ale te równania nie mają rozwiązania.

Podstawowe funkcje elementarne, ich nieodłączne właściwości i odpowiadające im wykresy to jedna z podstaw wiedzy matematycznej, o znaczeniu podobnym do tabliczki mnożenia. Funkcje elementarne są podstawą, wsparciem w badaniu wszelkich zagadnień teoretycznych.

Poniższy artykuł zawiera kluczowy materiał na temat podstawowych funkcji elementarnych. Wprowadzimy terminy, podamy im definicje; Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu typowi funkcji elementarnych i przeanalizujmy ich właściwości.

Wyróżnia się następujące typy podstawowych funkcji elementarnych:

Definicja 1

• funkcja stała (stała);
• n-ty pierwiastek;
• funkcja mocy;
• funkcja wykładnicza;
• funkcja logarytmiczna;
• funkcje trygonometryczne;
• braterskie funkcje trygonometryczne.

Funkcja stała jest określona wzorem: y = C (C jest pewną liczbą rzeczywistą) i ma również nazwę: stała. Funkcja ta określa zgodność dowolnej wartości rzeczywistej zmiennej niezależnej x z tą samą wartością zmiennej y - wartością C.

Wykresem stałej jest linia prosta równoległa do osi odciętych i przechodząca przez punkt o współrzędnych (0, C). Dla przejrzystości przedstawiamy wykresy funkcji stałych y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na rysunku zaznaczono odpowiednio kolorem czarnym, czerwonym i niebieskim).

Definicja 2

Tę elementarną funkcję definiuje wzór y = x n (n jest liczbą naturalną większą niż jeden).

Rozważmy dwie odmiany tej funkcji.

1. n-ty pierwiastek, n ​​– liczba parzysta

Dla przejrzystości wskazujemy rysunek przedstawiający wykresy takich funkcji: y = x, y = x 4 i y = x8. Funkcje te są oznaczone kolorami: odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Definicja 3

Właściwości n-tej funkcji pierwiastkowej, n jest liczbą parzystą

• dziedzina definicji – zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych [ 0 , + ∞) ;
• gdy x = 0, funkcja y = x n ma wartość równą zero;
• dany funkcja-funkcja widok ogólny(nie jest ani parzyste, ani nieparzyste);
• zakres: [ 0 , + ∞) ;
• funkcja ta y = x n z wykładnikami parzystymi rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja ma wypukłość z kierunkiem ku górze w całym obszarze definicji;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• wykres funkcji dla parzystego n przechodzi przez punkty (0; 0) i (1; 1).

1. n-ty pierwiastek, n ​​– liczba nieparzysta

Funkcja taka jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Dla jasności rozważmy wykresy funkcji y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na rysunku są one oznaczone kolorami: odpowiednio czarny, czerwony i niebieski to kolory krzywych.

Inne nieparzyste wartości pierwiastka wykładnika funkcji y = x n dadzą wykres podobnego typu.

Definicja 4

Właściwości n-tej funkcji pierwiastkowej, n jest liczbą nieparzystą

• dziedzina definicji – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
• ta funkcja jest nieparzysta;
• zakres wartości – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
• funkcja y = x n dla wykładników pierwiastkowych nieparzystych rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja ma wklęsłość na przedziale (- ∞ ; 0 ] i wypukłość na przedziale [ 0 , + ∞);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0; 0);
• nie ma asymptot;
• Wykres funkcji dla nieparzystego n przechodzi przez punkty (- 1 ; - 1), (0; 0) i (1; 1).

Funkcja mocy

Definicja 5

Funkcję potęgi definiuje wzór y = x a.

Wygląd wykresów i właściwości funkcji zależą od wartości wykładnika.

• gdy funkcja potęgowa ma wykładnik całkowity a, to rodzaj wykresu funkcji potęgowej i jej własności zależą od tego, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty, a także od tego, jaki znak ma wykładnik. Rozważmy wszystkie te szczególne przypadki bardziej szczegółowo poniżej;
• wykładnik może być ułamkowy lub niewymierny - w zależności od tego zmienia się również rodzaj wykresów i właściwości funkcji. Przeanalizujemy specjalne przypadki, ustawiając kilka warunków: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• funkcja potęgowa może mieć wykładnik zerowy; ten przypadek przeanalizujemy również bardziej szczegółowo poniżej.

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy a jest nieparzystą liczbą dodatnią, na przykład a = 1, 3, 5...

Dla przejrzystości wskazujemy wykresy takich funkcji potęgowych: y = x (kolor graficzny czarny), y = x 3 (niebieski kolor wykresu), y = x 5 (czerwony kolor wykresu), y = x 7 (kolor graficzny zielony). Gdy a = 1, otrzymujemy funkcję liniową y = x.

Definicja 6

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysty i dodatni

• funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcja ma wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wklęsłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞) (z wyłączeniem funkcji liniowej);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0 ; 0) (z wyłączeniem funkcji liniowej);
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy a jest liczbą parzystą dodatnią, na przykład a = 2, 4, 6...

Dla przejrzystości wskazujemy wykresy takich funkcji potęgowych: y = x 2 (kolor graficzny czarny), y = x 4 (niebieski kolor wykresu), y = x 8 (czerwony kolor wykresu). Gdy a = 2, otrzymujemy funkcję kwadratową, której wykresem jest parabola kwadratowa.

Definicja 7

Własności funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest parzysty dodatni:

• dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• malejące dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykładowe wykresy funkcji mocy y = x a, gdy a jest nieparzystą liczbą ujemną: y = x - 9 (kolor graficzny czarny); y = x - 5 (niebieski kolor wykresu); y = x - 3 (czerwony kolor wykresu); y = x - 1 (kolor graficzny zielony). Gdy a = - 1, otrzymujemy odwrotną proporcjonalność, której wykresem jest hiperbola.

Definicja 8

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysty i ujemny:

Gdy x = 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, gdyż lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ dla a = - 1, - 3, - 5, …. Zatem linia prosta x = 0 jest asymptotą pionową;

• zakres: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x);
• funkcja maleje dla x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ma wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0) i wklęsłość dla x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;

k = lim x → ∞ x za x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, gdy a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykładowe wykresy funkcji potęgowej y = x a, gdy a jest liczbą parzystą ujemną: y = x - 8 (kolor graficzny czarny); y = x - 4 (niebieski kolor wykresu); y = x - 2 (czerwony kolor wykresu).

Definicja 9

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nawet ujemny:

• dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Gdy x = 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, gdyż lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ dla a = - 2, - 4, - 6, …. Zatem linia prosta x = 0 jest asymptotą pionową;

• funkcja jest parzysta, ponieważ y(-x) = y(x);
• funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; 0) i maleje dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość w miejscu x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0, ponieważ:

k = lim x → ∞ x za x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 gdy a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• punkty przejścia funkcji: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samego początku zwróć uwagę na następujący aspekt: ​​w przypadku, gdy a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, niektórzy autorzy za dziedzinę definicji tej funkcji potęgowej przyjmują przedział - ∞; + ∞ , stwierdzając, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. W tej chwili autorzy wielu publikacje edukacyjne w algebrze i zasadach analizy NIE OKREŚLAJ funkcji potęgowych, gdzie wykładnikiem jest ułamek o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Dalej będziemy trzymać się dokładnie tego stanowiska: przyjmiemy zbiór [ 0 ; + ∞) . Zalecenie dla uczniów: poznaj zdanie nauczyciela na ten temat, aby uniknąć nieporozumień.

Przyjrzyjmy się więc funkcji mocy y = x a , gdy wykładnik jest liczbą wymierną lub niewymierną, pod warunkiem, że 0< a < 1 .

Zilustrujmy funkcje potęgowe wykresami y = x a gdy a = 11 12 (kolor graficzny czarny); a = 5 7 (czerwony kolor wykresu); a = 1 3 (niebieski kolor wykresu); a = 2 5 (zielony kolor wykresu).

Inne wartości wykładnika a (pod warunkiem 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicja 10

Własności funkcji potęgowej w stanie 0< a < 1:

• zakres: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja jest wypukła dla x ∈ (0 ; + ∞);
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a, gdy wykładnik jest niecałkowitą liczbą wymierną lub niewymierną, pod warunkiem, że a > 1.

Zilustrujmy wykresami funkcję potęgową y = x a w danych warunkach na przykładzie następujących funkcji: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (odpowiednio wykresy czarny, czerwony, niebieski i zielony).

Inne wartości wykładnika a, pod warunkiem a > 1, dadzą podobny wykres.

Definicja 11

Własności funkcji potęgowej dla a > 1:

• dziedzina definicji: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• zakres: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ (0 ; + ∞) (kiedy 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkty przejścia funkcji: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Uwaga! Gdy a jest ułamkiem ujemnym o nieparzystym mianowniku, w pracach niektórych autorów spotyka się pogląd, że dziedziną definicji w tym przypadku jest przedział - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) z zastrzeżeniem, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy materiały edukacyjne w algebrze i zasadach analizy funkcje potęgowe z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu NIE są OKREŚLONE. Dalej trzymamy się dokładnie tego poglądu: zbiór (0 ; + ∞) przyjmujemy jako dziedzinę definicji funkcji potęgowych z ułamkowymi wykładnikami ujemnymi. Zalecenie dla uczniów: Wyjaśnij na tym etapie wizję nauczyciela, aby uniknąć nieporozumień.

Kontynuujmy temat i przeanalizujmy funkcję mocy y = x a pod warunkiem: - 1< a < 0 .

Oto rysunek wykresów kolejne funkcje: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (odpowiednio czarny, czerwony, niebieski, zielony kolor linii).

Definicja 12

Właściwości funkcji mocy przy - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ gdy - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• zakres: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• nie ma punktów przegięcia;

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (odpowiednio czarny, czerwony, niebieski, zielony kolor krzywych).

Definicja 13

Własności funkcji potęgowej dla a< - 1:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kiedy a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja maleje dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0;
• punkt przejścia funkcji: (1; 1) .

Gdy a = 0 i x ≠ 0, otrzymujemy funkcję y = x 0 = 1, która definiuje prostą, z której wykluczony jest punkt (0; 1) (uzgodniono, że wyrażeniu 0 0 nie będzie nadawane żadne znaczenie ).

Funkcja wykładnicza ma postać y = a x, gdzie a > 0 i a ≠ 1, a wykres tej funkcji wygląda inaczej w zależności od wartości podstawy a. Rozważmy przypadki szczególne.

Najpierw przyjrzyjmy się sytuacji, gdy podstawa funkcji wykładniczej ma wartość od zera do jeden (0< a < 1) . Jasny przykład posłużą nam wykresy funkcji dla a = 1 2 (niebieski kolor krzywej) i a = 5 6 (czerwony kolor krzywej).

Wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd dla innych wartości podstawy pod warunkiem 0< a < 1 .

Definicja 14

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja wykładnicza o podstawie mniejszej niż jedność maleje w całym obszarze definicji;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – linia prosta y = 0 ze zmienną x zmierzającą do + ∞;

Rozważmy teraz przypadek, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa niż jeden (a > 1).

Zilustrujmy ten szczególny przypadek wykresem funkcji wykładniczych y = 3 2 x (niebieski kolor krzywej) i y = e x (czerwony kolor wykresu).

Inne wartości podstawy, większe jednostki, nadadzą podobny wygląd wykresowi funkcji wykładniczej.

Definicja 15

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

• dziedzina definicji – cały zbiór liczb rzeczywistych;
• zakres: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja wykładnicza, której podstawa jest większa niż jedność, rośnie wraz z x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcja ma wklęsłość w miejscu x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• asymptota pozioma – prosta y = 0 ze zmienną x zmierzającą do - ∞;
• punkt przejścia funkcji: (0; 1) .

Funkcja logarytmiczna ma postać y = log a (x), gdzie a > 0, a ≠ 1.

Taka funkcja jest definiowana tylko dla dodatnich wartości argumentu: dla x ∈ 0; + ∞ .

Wykres funkcji logarytmicznej ma inny wygląd w zależności od wartości podstawy a.

Rozważmy najpierw sytuację, gdy 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Inne wartości podstawy, a nie większe jednostki, dadzą podobny typ wykresu.

Definicja 16

Właściwości funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ . Ponieważ x dąży do zera od prawej strony, wartości funkcji dążą do +∞;
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• logarytmiczny
• funkcja ma wklęsłość dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;

Przyjrzyjmy się teraz szczególnemu przypadkowi, gdy podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż jeden: a > 1 . Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji logarytmicznych y = log 3 2 x i y = ln x (odpowiednio niebieski i czerwony kolor wykresów).

Inne wartości podstawy większe od jedności dadzą podobny typ wykresu.

Definicja 17

Własności funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

• dziedzina definicji: x ∈ 0 ; + ∞ . Ponieważ x dąży do zera od prawej strony, wartości funkcji dążą do - ∞ ;
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cały zbiór liczb rzeczywistych);
• funkcja ta jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
• funkcja logarytmiczna rośnie dla x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcja jest wypukła dla x ∈ 0; + ∞ ;
• nie ma punktów przegięcia;
• nie ma asymptot;
• punkt przejścia funkcji: (1; 0) .

Funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Przyjrzyjmy się właściwościom każdego z nich i odpowiadającej im grafice.

Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie funkcje trygonometryczne charakteryzują się właściwością okresowości, tj. gdy wartości funkcji powtarzają się dla różnych wartości argumentu, różniących się od siebie okresem f (x + T) = f (x) (T jest okresem). Tym samym do listy właściwości funkcji trygonometrycznych dodano pozycję „najmniejszy okres dodatni”. Dodatkowo wskażemy wartości argumentu, przy którym odpowiednia funkcja osiągnie zero.

1. Funkcja sinus: y = sin(x)

Wykres tej funkcji nazywamy falą sinusoidalną.

Definicja 18

Właściwości funkcji sinus:

• dziedzina definicji: cały zbiór liczb rzeczywistych x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcja zanika, gdy x = π · k, gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• funkcja rośnie dla x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i malejące dla x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• funkcja sinus ma lokalne maksima w punktach π 2 + 2 π · k; 1 i minima lokalne w punktach - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• funkcja sinus jest wklęsła, gdy x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i wypukłe, gdy x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja cosinus: y = cos(x)

Wykres tej funkcji nazywa się falą cosinus.

Definicja 19

Własności funkcji cosinus:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• najmniejszy okres dodatni: T = 2 π;
• zakres wartości: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ta funkcja jest parzysta, ponieważ y (- x) = y (x);
• funkcja rośnie dla x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i malejące dla x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• funkcja cosinus ma lokalne maksima w punktach 2 π · k ; 1, k ∈ Z i minima lokalne w punktach π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• funkcja cosinus jest wklęsła, gdy x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i wypukłe, gdy x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• nie ma asymptot.

1. Funkcja styczna: y = t g (x)

Nazywa się wykres tej funkcji tangens.

Definicja 20

Własności funkcji tangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• Zachowanie się funkcji stycznej na granicy dziedziny definicji lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Zatem proste x = π 2 + π · k k ∈ Z są asymptotami pionowymi;
• funkcja zanika, gdy x = π · k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja rośnie as - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• funkcja tangensa jest wklęsła dla x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i wypukłe dla x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• punkty przegięcia mają współrzędne π · k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funkcja cotangensowa: y = do t g (x)

Wykres tej funkcji nazywa się kotangentoidą. .

Definicja 21

Własności funkcji cotangens:

• dziedzina definicji: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);

Zachowanie funkcji cotangens na granicy dziedziny definicji lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Zatem linie proste x = π · k k ∈ Z są asymptotami pionowymi;

• najmniejszy okres dodatni: T = π;
• funkcja zanika, gdy x = π 2 + π · k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
• zakres wartości: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja maleje dla x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• funkcja cotangens jest wklęsła dla x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i wypukła dla x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• Nie ma asymptot ukośnych ani poziomych.

Odwrotne funkcje trygonometryczne to arcsinus, arcuscosinus, arcus tangens i arccotangens. Często ze względu na obecność przedrostka „arc” w nazwie odwrotne funkcje trygonometryczne nazywane są funkcjami łukowymi .

1. Funkcja arcus sinus: y = a r c sin (x)

Definicja 22

Własności funkcji arcsine:

• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja arcsine ma wklęsłość dla x ∈ 0; 1 i wypukłość dla x ∈ - 1 ; 0 ;
• punkty przegięcia mają współrzędne (0; 0), które są jednocześnie zerem funkcji;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja arc cosinus: y = za r do cos (x)

Definicja 23

Właściwości funkcji arc cosinus:

• dziedzina definicji: x ∈ - 1 ; 1 ;
• zakres: y ∈ 0 ; π;
• funkcja ta ma postać ogólną (ani parzystą, ani nieparzystą);
• funkcja jest malejąca w całym obszarze definicji;
• funkcja arc cosinus ma wklęsłość przy x ∈ - 1; 0 i wypukłość dla x ∈ 0; 1 ;
• punkty przegięcia mają współrzędne 0; π2;
• nie ma asymptot.

1. Funkcja arcus tangens: y = a r do t g (x)

Definicja 24

Własności funkcji arcus tangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• zakres wartości: y ∈ - π 2 ; π2;
• ta funkcja jest nieparzysta, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
• funkcja rośnie w całym obszarze definicji;
• funkcja arcustangens ma wklęsłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wypukłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞);
• punkt przegięcia ma współrzędne (0; 0), które są jednocześnie zerem funkcji;
• asymptoty poziome to linie proste y = - π 2 jako x → - ∞ i y = π 2 jako x → + ∞ (na rysunku asymptoty to linie zielone).

1. Funkcja arcus tangens: y = za r do do t sol (x)

Definicja 25

Własności funkcji arccotangens:

• dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• zakres: y ∈ (0; π) ;
• funkcja ta ma postać ogólną;
• funkcja jest malejąca w całym obszarze definicji;
• funkcja cotangens łuku ma wklęsłość dla x ∈ [ 0 ; + ∞) i wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• punkt przegięcia ma współrzędne 0; π2;
• asymptoty poziome to linie proste y = π w x → - ∞ (zielona linia na rysunku) i y = 0 w x → + ∞.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter