Jedną z najczęściej używanych tablic trygonometrycznych Bradisa jest tablica sinusów. W tym artykule zrozumiemy pojęcie sinusa (grzechu), nauczymy się znajdować wartości sinusów dla różnych kątów (0, 30, 45, 60, 90) i zrozumiemy, dlaczego potrzebna jest tabela sinusów.
Tablica sinusów i jej zastosowanie
Na początek musimy przypomnieć, co oznacza pojęcie sinus kąta.
Sinus - jest to stosunek nogi znajdującej się naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej.
Dzieje się tak, jeśli trójkąt jest prostokątny.
Standardowy trójkąt prostokątny: boki a (BC) i b (AC) to nogi, bok c (AB) to przeciwprostokątna
Przykład: znajdź sinus kąta ⍺ i kąta β
grzech ⍺ = klimatyzacja lub stosunek boku BC do boku AB. Jeśli przyjmiemy kąt β, wówczas bok b lub AC zostaną uznane za przeciwne. Przeciwprostokątna w tym przypadku jest taka sama - AB. Następnie:
grzech β = b/s lub relacja AC AB.
W trójkącie prostokątnym zawsze 2 nogi i tylko jedna przeciwprostokątna
Jak wiadomo, istnieją wartości kątów całkowitych 360, ale często trzeba obliczyć wartości dla najpopularniejszych kątów, takich jak: sinus 0°, sinus 30°, sinus 45°, sinus 60°, sinus 90. °. Wartości te można znaleźć w tabelach Bradis.
Pomimo tego, że w 2021 roku obchodzi swoje stulecie, stół Bradis nie stracił na aktualności. W szczególności jest wykorzystywany przez architektów, projektantów i konstruktorów do wykonywania szybkich obliczeń pośrednich. Stoły Bradis są dopuszczone do użytku w szkołach zdanie jednolitego egzaminu państwowego w odróżnieniu od kalkulatorów.
Kalkulator online do obliczania sinusa kąta
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych
Notatka. W tej tabeli wartości funkcji trygonometrycznych do wskazania używa się znaku √ pierwiastek kwadratowy. Aby wskazać ułamek, użyj symbolu „/”.
Zobacz także przydatne materiały:
Dla wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Na przykład sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z wierszem „30 stopni”, na ich przecięciu odczytujemy wynik - połowę. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopnie, sinus 60 stopnie (ponownie na przecięciu kolumny sinu i linii 60 stopni znajdujemy wartość sin 60 = √3/2) itd. Wartości sinusów, cosinusów i stycznych innych „popularnych” kątów znajdują się w ten sam sposób.
Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach
Poniższa tabela z cosinusami, sinusami i tangensami jest również odpowiednia do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podana w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy kąt 60 stopni w pierwszej linii i odczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni równa się π/3 radianów.
Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu od stopniowej miary kąta. Zatem pi radianów wynosi 180 stopni.
Dowolną liczbę wyrażoną w pi (radianach) można łatwo przeliczyć na stopnie, zastępując pi (π) liczbą 180.
Przykłady:
1. Sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zero.
2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
zatem cosinus pi jest równy cosinusowi 180 stopni i jest równy minus jeden.
3. Styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zero.
Tabela wartości sinusów, cosinusów i tangensów dla kątów 0 - 360 stopni (wartości wspólne)
|
wartość kąta α (stopnie) |
wartość kąta α (przez pi) |
grzech (zatoka) |
sałata (cosinus) |
tg (tangens) |
ctg (cotangens) |
sek (sieczna) |
cosek (cosekans) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji zostanie wskazana kreska (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości stopnia miara kąta funkcja nie ma określonej wartości. Jeżeli nie ma myślnika, komórka jest pusta, co oznacza, że nie wprowadziliśmy jeszcze wymaganej wartości. Interesuje nas, z jakimi zapytaniami przychodzą do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane o wartościach cosinusów, sinusów i tangensów najczęstszych wartości kątów są w zupełności wystarczające do rozwiązania większości problemy.
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 stopni
(wartości liczbowe „wg tabel Bradisa”)
| wartość kąta α (stopnie) | wartość kąta α w radianach | grzech (sinus) | cos (cosinus) | tg (styczna) | ctg (cotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Znajdź kąt za pomocą sinusa
Mamy więc możliwość obliczenia sinusa dowolnego kąta od 0 do 90° e z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Gotowy stół nie jest potrzebny; w przypadku przybliżonych obliczeń zawsze możemy je sami skompilować, jeśli chcemy.
Ale aby rozwiązać problemy trygonometryczne, trzeba umieć zrobić coś odwrotnego - obliczyć kąty z danego sinusa. To również jest łatwe. Załóżmy, że musisz znaleźć kąt, którego sinus jest równy 0,38. Ponieważ ten sinus jest mniejszy niż 0,5, pożądany kąt jest mniejszy niż 30°. Ale jest ono większe niż 15°, ponieważ grzech 15°, jak wiemy, równa się 0,26. Aby znaleźć ten kąt, który mieści się w przedziale od 15 do 30°, postępujemy jak wyjaśniono wcześniej:
Zatem pożądany kąt wynosi około 22,5°. Inny przykład: znajdź kąt, którego sinus wynosi 0,62.
Pożądany kąt wynosi około 38,6°.
Na koniec trzeci przykład: znajdź kąt, którego sinus wynosi 0,91.
Ponieważ ten sinus mieści się w przedziale od 0,71 do 1, pożądany kąt mieści się w przedziale od 45° do 90°. Na: rys. 91 Słoneczny jest sinusem kąta L jeśli VA= 1. Wiedza słoneczny,łatwo znaleźć sinus kąta W:
Teraz znajdźmy kąt W, którego sinus wynosi 0,42; po tym łatwo będzie znaleźć kąt A równy 90° - W.
Ponieważ 0,42 mieści się w przedziale od 0,26 do 0,5, wówczas kąt W leży pomiędzy 15° a 30°. Definiuje się go następująco:
A zatem kąt A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Jesteśmy teraz w pełni wyposażeni do rozwiązywania problemów trygonometrycznych w przybliżeniu, ponieważ możemy znaleźć sinusy na podstawie kątów i kąty na podstawie sinusów z dokładnością wystarczającą do celów terenowych.
Ale czy sam sinus wystarczy do tego? Czy nie potrzebujemy pozostałych funkcji trygonometrycznych – cosinus, tangens itp.? Teraz pokażemy na wielu przykładach, że w przypadku naszej uproszczonej trygonometrii możemy całkowicie poradzić sobie z samym sinusem.
Jednym z obszarów matematyki, z którym uczniowie mają najwięcej problemów, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, kotangentów za pomocą wzorów, upraszczania wyrażeń i umiejętności posługiwania się liczbą pi w obliczenia. Ponadto przy dowodzeniu twierdzeń trzeba umieć posługiwać się trygonometrią, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.
Początki trygonometrii
Zapoznanie się z tą nauką należy rozpocząć od definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw trzeba zrozumieć, co ogólnie robi trygonometria.
Historycznie rzecz biorąc, głównym przedmiotem badań w tej gałęzi nauk matematycznych były trójkąty prostokątne. Obecność kąta 90 stopni umożliwia przeprowadzanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów danej figury za pomocą dwóch boków i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie dostrzegli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w konstrukcji budynków, nawigacji, astronomii, a nawet w sztuce.
Etap początkowy
Początkowo ludzie mówili o związku między kątami i bokami wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic zastosowania życie codzienne tej gałęzi matematyki.
Nauka trygonometrii w szkole rozpoczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym uczniowie wykorzystują zdobytą wiedzę z fizyki i rozwiązywania abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, które rozpoczynają się w szkole średniej.
Trygonometria sferyczna
Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, styczną, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie wynosi zawsze więcej niż 180 stopni. Ta sekcja nie jest nauczana w szkole, ale warto wiedzieć o jej istnieniu przynajmniej dlatego powierzchnia ziemi, a powierzchnia dowolnej innej planety jest wypukła, co oznacza, że wszelkie oznaczenia powierzchni będą widoczne przestrzeń trójwymiarowa„w kształcie łuku”.
Weź globus i nić. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej tak, aby była napięta. Uwaga - przybrał kształt łuku. Takimi formami zajmuje się geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Prawy trójkąt
Dowiedziawszy się trochę o sposobach korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich wzorów użyć.
Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć z nimi związanych prawy trójkąt. Po pierwsze, przeciwprostokątna to strona przeciwna do kąta 90 stopni. Jest najdłuższy. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów pozostałych dwóch boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwa pozostałe boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Ponadto musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Definicja
Wreszcie, mając dobre zrozumienie podstawy geometrycznej, można przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta to stosunek przeciwnej nogi (tj. strony przeciwnej do żądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Dlaczego? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa. Niezależnie od długości nogi, będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ich stosunek będzie zawsze mniejszy niż jeden. Jeśli więc w odpowiedzi na zadanie otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1, poszukaj błędu w obliczeniach lub rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Wreszcie tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Dzielenie sinusa przez cosinus da ten sam wynik. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, następnie dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. Otrzymujemy zatem taką samą zależność jak w definicji stycznej.
Cotangens jest odpowiednio stosunkiem boku sąsiadującego z narożnikiem do boku przeciwnego. Ten sam wynik otrzymamy, dzieląc jeden przez tangens.
Przyjrzeliśmy się zatem definicjom sinusa, cosinusa, tangensu i cotangensu i możemy przejść do wzorów.
Najprostsze formuły
W trygonometrii nie można obejść się bez wzorów - jak znaleźć bez nich sinus, cosinus, tangens, cotangens? Ale właśnie tego potrzeba przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwsza formuła, którą musisz znać, rozpoczynając naukę trygonometrii, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Wzór ten jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale pozwala zaoszczędzić czas, jeśli chcesz znać wielkość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu problemów szkolnych: suma jedności i kwadratu tangensa kąta jest równa jedności podzielonej przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyj się bliżej: jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone przez kwadrat cosinusa. Okazuje się, że wystarczy prosta operacja matematyczna wzór trygonometryczny zupełnie nie do poznania. Pamiętaj: znając sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady transformacji i kilka podstawowych wzorów, możesz w każdej chwili samodzielnie wyprowadzić wymagane więcej złożone formuły na kartce papieru.
Wzory na kąty podwójne i dodawanie argumentów
Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, dotyczą wartości sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Przedstawiono je na poniższym rysunku. Należy pamiętać, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone dwukrotnie, a w drugim dodawany jest iloczyn sinusa i cosinusa parami.
Istnieją również formuły powiązane z argumentami dotyczącymi podwójnego kąta. Wywodzą się one całkowicie z poprzednich - w ramach praktyki spróbuj je zdobyć samodzielnie, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zauważ, że wzory na podwójny kąt można zmienić, aby zmniejszyć potęgę sinusa, cosinusa i stycznej alfa.
Twierdzenia
Dwa główne twierdzenia podstawowej trygonometrii to twierdzenie o sinusie i twierdzenie o cosinusie. Za pomocą tych twierdzeń można łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.
Twierdzenie sinusoidalne stwierdza, że podzielenie długości każdego boku trójkąta przez przeciwny kąt daje tę samą liczbę. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom okręgu opisanego, czyli okręgu zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus sąsiedniego kąta - wynikowa wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Zatem twierdzenie Pitagorasa okazuje się szczególnym przypadkiem twierdzenia o cosinusie.
Nieostrożne błędy
Nawet wiedząc, czym są sinus, cosinus i tangens, łatwo jest popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, przyjrzyjmy się tym najpopularniejszym.
Po pierwsze, nie powinieneś zamieniać ułamków zwykłych na dziesiętne, dopóki nie otrzymasz wyniku końcowego - możesz pozostawić odpowiedź jako ułamek wspólny, chyba że w warunkach określono inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które w zamyśle autora należy usunąć. W takim przypadku będziesz tracić czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to szczególnie wartości takich jak pierwiastek z trzech lub pierwiastek z dwóch, ponieważ na każdym kroku spotyka się je z problemami. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.
Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus ma zastosowanie do dowolnego trójkąta, ale nie do twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotność iloczynu boków pomnożonego przez cosinus kąta między nimi, nie tylko otrzymasz całkowicie błędny wynik, ale także wykażesz całkowity brak zrozumienia tematu. To jest gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie, nie myl wartości kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, stycznych, kotangentów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus wynosi 30 stopni równy cosinusowi 60 i odwrotnie. Łatwo je pomylić, w wyniku czego nieuchronnie otrzymasz błędny wynik.
Aplikacja
Wielu studentów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej praktycznego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus i tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu lub wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni czy trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest stosowana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Podsumowując
Więc masz sinus, cosinus i tangens. Można je wykorzystać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.
Cały sens trygonometrii sprowadza się do tego, że korzystając ze znanych parametrów trójkąta, należy obliczyć niewiadome. W sumie istnieje sześć parametrów: długość trzech boków i wielkość trzech kątów. Jedyna różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Teraz wiesz, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens w oparciu o znane długości nóg lub przeciwprostokątnej. Ponieważ te terminy nie oznaczają nic więcej niż stosunek, a stosunek jest ułamkiem, główny cel Problemem trygonometrycznym staje się znalezienie pierwiastków zwykłego równania lub układu równań. I tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.