Działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej

Postać algebraiczna liczby zespolonej z =(A,B).nazywa się wyrażeniem algebraicznym postaci

z = A + bi.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych z 1 =a 1 +b 1 I I z 2 =a 2 +b 2 I, zapisane w formie algebraicznej, przeprowadza się w następujący sposób.

1. Suma (różnica) liczb zespolonych

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

te. dodawanie (odejmowanie) odbywa się zgodnie z zasadą dodawania wielomianów z redukcją wyrazów podobnych.

2. Iloczyn liczb zespolonych

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + za 2 ∙b 1)∙i,

te. mnożenie przeprowadza się zgodnie ze zwykłą zasadą mnożenia wielomianów, biorąc pod uwagę fakt, że I 2 = 1.

3. Podział dwóch liczb zespolonych przeprowadza się według następującej zasady:

, (z 2 ≠ 0),

te. dzielenie przeprowadza się poprzez pomnożenie dzielnej i dzielnika przez liczbę sprzężoną dzielnika.

Potęgowanie liczb zespolonych definiuje się w następujący sposób:

Łatwo to pokazać

Przykłady.

1. Znajdź sumę liczb zespolonych z 1 = 2 – I I z 2 = – 4 + 3I.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3I) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) I = –2+2I.

2. Znajdź iloczyn liczb zespolonych z 1 = 2 – 3I I z 2 = –4 + 5I.

= (2 – 3I) ∙ (–4 + 5I) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3I)+ 2∙5I– 3ja∙ 5ja = 7+22I.

3. Znajdź iloraz z z podziału z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – I.

z = .

4. Rozwiąż równanie: , X I y Î R.

(2x+y) + (x+y)ja = 2 + 3I.

Z równości liczb zespolonych mamy:

Gdzie x =–1 , y= 4.

5. Oblicz: I 2 ,I 3 ,I 4 ,I 5 ,I 6 ,I -1 , I -2 .

6. Oblicz, czy .

.

7. Oblicz liczbę odwrotność liczby z=3-I.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej

Złożona płaszczyzna nazywana płaszczyzną o współrzędnych kartezjańskich ( x, y), jeśli każdy punkt o współrzędnych ( a, b) jest powiązany z liczbą zespoloną z = a + bi. W tym przypadku wywoływana jest oś odciętych prawdziwa oś, a oś rzędnych to wyimaginowany. Następnie każda liczba zespolona a+bi geometrycznie przedstawiony na płaszczyźnie jako punkt A (a, b) lub wektor.

Dlatego położenie punktu A(a zatem liczba zespolona z) można określić za pomocą długości wektora | | = R i kąt J, utworzony przez wektor | | z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej. Nazywa się długość wektora moduł liczby zespolonej i jest oznaczony przez | z |=r i kąt J zwany argument liczbowy zespolony i jest wyznaczony j = argument z.

Jasne jest, że | z| ³ 0 i | z | = 0 Û z = 0.

Z ryc. 2 jest rzeczą oczywistą.

Argument liczby zespolonej jest określany niejednoznacznie, ale z dokładnością do 2 pk, kÎ Z.

Z ryc. 2 jasne jest również, że jeśli z=a+bi I j=arg z, To

sałata j =,grzech j =, tg j = .

Jeśli zÎR I z> 0, zatem argument z = 0 +2pk;

Jeśli z ОR I z< 0, zatem argument z = p + 2pk;

Jeśli z = 0,argument z nieokreślony.

Wartość główna argumentu jest wyznaczana w przedziale 0 £ arg z 2 funty P,

Lub -P£ arg z £ str.

Przykłady:

1. Znajdź moduł liczb zespolonych z 1 = 4 – 3I I z 2 = –2–2I.

2. Zdefiniuj obszary na płaszczyźnie zespolonej określone warunkami:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 funtów; 3) | z – (2+I) | 3 funty; 4) 6 funtów | z – I| 7 funtów.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1) | z| = 5 Û Û - równanie okręgu o promieniu 5 i środku w początku.

2) Okrąg o promieniu 6 ze środkiem w początku.

3) Okrąg o promieniu 3 ze środkiem w punkcie z 0 = 2 + I.

4) Pierścień ograniczony okręgami o promieniach 6 i 7 ze środkiem w punkcie z 0 = I.

3. Znajdź moduł i argument liczb: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, B = Þ ,

Þ jot 1 = .

2) z 2 = –2 – 2I; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Wskazówka: Przy ustalaniu głównego argumentu korzystaj z płaszczyzny zespolonej.

Zatem: z 1 = .

2) , R 2 = 1, jot 2 = , .

3) , R 3 = 1, jot 3 = , .

4) , R 4 = 1, jot 4 = , .

Wykład

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Plan

1. Geometryczna reprezentacja liczb zespolonych.

2. Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.

3. Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Geometryczna reprezentacja liczb zespolonych.

a) Liczby zespolone są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie zgodnie z następującą zasadą: A + bi = M ( A ; B ) (ryc. 1).

Obrazek 1

b) Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą wektora rozpoczynającego się w punkcieO i koniec w danym punkcie (ryc. 2).

Rysunek 2

Przykład 7. Konstruuj punkty reprezentujące liczby zespolone:1; - I ; - 1 + I ; 2 – 3 I (ryc. 3).

Rysunek 3

Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.

Liczba zespolonaz = A + bi można określić za pomocą wektora promienia ze współrzędnymi( A ; B ) (ryc. 4).

Rysunek 4

Definicja . Długość wektora , reprezentujący liczbę zespolonąz , nazywa się modułem tej liczby i oznacza LubR .

Dla dowolnej liczby zespolonejz jego modułR = | z | jest określona jednoznacznie przez wzór .

Definicja . Wielkość kąta między dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej a wektorem , reprezentujący liczbę zespoloną, nazywa się argumentem tej liczby zespolonej i oznaczaA rg z Lubφ .

Argument liczbowy zespolonyz = 0 nieokreślony. Argument liczbowy zespolonyz≠ 0 – wielkość wielowartościowa, określona w określonym terminie2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Argument z = argument z + 2πk , Gdzieargument z – główna wartość argumentu zawartego w przedziale(-π; π] , to jest-π < argument z ≤ π (czasami jako główną wartość argumentu przyjmuje się wartość należącą do przedziału .

Ta formuła, kiedyR =1 często nazywany wzorem Moivre’a:

(cos φ + i sin φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Przykład 11: Oblicz(1 + I ) 100 .

Napiszmy liczbę zespoloną1 + I w postaci trygonometrycznej.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , grzech φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (sałata + grzeszę )] 100 = ( ) 100 (sałata 100 + grzeszę ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Ekstrakcja pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej.

Podczas obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonejA + bi mamy dwa przypadki:

JeśliB >o , To ;

LICZBY ZŁOŻONE XI

§ 256. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Niech liczba zespolona a + bi odpowiada wektorowi O.A.> ze współrzędnymi ( a, b ) (patrz ryc. 332).

Oznaczmy długość tego wektora przez R i kąt, jaki tworzy z osią X , Poprzez φ . Z definicji sinusa i cosinusa:

A / R =co φ , B / R = grzech φ .

Dlatego A = R sałata φ , B = R grzech φ . Ale w tym przypadku liczba zespolona a + bi można zapisać jako:

a + bi = R sałata φ + ir grzech φ = R (sałata φ + I grzech φ ).

Jak wiadomo, kwadrat długości dowolnego wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych. Dlatego R 2 = A 2 + B 2, skąd R = √a 2 + B 2

Więc, dowolna liczba zespolona a + bi można przedstawić w postaci :

a + bi = R (sałata φ + I grzech φ ), (1)

gdzie r = √a 2 + B 2 i kąt φ wyznacza się z warunku:

Ta forma zapisywania liczb zespolonych nazywa się trygonometryczny.

Numer R we wzorze (1) nazywa się moduł i kąt φ - argument, Liczba zespolona a + bi .

Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, to jego moduł jest dodatni; Jeśli a + bi = 0, zatem a = b = 0 i wtedy R = 0.

Moduł dowolnej liczby zespolonej jest określony jednoznacznie.

Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, wówczas jego argument wyznaczają wzory (2) zdecydowanie z dokładnością do kąta podzielnego przez 2 π . Jeśli a + bi = 0, zatem a = b = 0. W tym przypadku R = 0. Ze wzoru (1) łatwo zrozumieć, że jest to argument φ w tym przypadku możesz wybrać dowolny kąt: w końcu dla dowolnego φ

0 (kos φ + I grzech φ ) = 0.

Dlatego argument zerowy jest niezdefiniowany.

Moduł liczby zespolonej R czasami oznaczane | z | i argument arg z . Przyjrzyjmy się kilku przykładom przedstawiania liczb zespolonych w formie trygonometrycznej.

Przykład. 1. 1 + I .

Znajdźmy moduł R i argumentacja φ ten numer.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Dlatego grzech φ = 1 / √ 2, sałata φ = 1 / √ 2, skąd φ = π / 4 + 2Nπ .

Zatem,

1 + I = √ 2 ,

Gdzie P - dowolna liczba całkowita. Zwykle z nieskończonego zbioru wartości argumentu liczby zespolonej wybiera się tę z zakresu od 0 do 2 π . W tym przypadku jest to wartość π / 4. Dlatego

1 + I = √ 2 (kos π / 4 + I grzech π / 4)

Przykład 2. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej √ 3 - I . Mamy:

R = √ 3+1 = 2, sałata φ = √ 3 / 2, grzech φ = - 1 / 2

Dlatego aż do kąta podzielnego przez 2 π , φ = 11 / 6 π ; stąd,

√ 3 - I = 2(cos 11 / 6 π + I grzech 11/6 π ).

Przykład 3 Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej I.

Liczba zespolona I odpowiada wektorowi O.A.> , kończący się w punkcie A osi Na o rzędnej 1 (ryc. 333). Długość takiego wektora wynosi 1, a kąt, jaki tworzy z osią x, jest równy π / 2. Dlatego

I =co π / 2 + I grzech π / 2 .

Przykład 4. Zapisz liczbę zespoloną 3 w formie trygonometrycznej.

Liczba zespolona 3 odpowiada wektorowi O.A. > X odcięta 3 (ryc. 334).

Długość takiego wektora wynosi 3, a kąt, jaki tworzy z osią x, wynosi 0. Zatem

3 = 3 (cos 0 + I grzech 0),

Przykład 5. Zapisz liczbę zespoloną -5 w formie trygonometrycznej.

Liczba zespolona -5 odpowiada wektorowi O.A.> kończący się w punkcie osi X z odciętą -5 (ryc. 335). Długość takiego wektora wynosi 5, a kąt, jaki tworzy z osią x, jest równy π . Dlatego

5 = 5 (kos π + I grzech π ).

Ćwiczenia

2047. Zapisz te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, określając ich moduły i argumenty:

1) 2 + 2√3 I , 4) 12I - 5; 7).3I ;

2) √3 + I ; 5) 25; 8) -2I ;

3) 6 - 6I ; 6) - 4; 9) 3I - 4.

2048. Wskaż na płaszczyźnie zbiór punktów reprezentujących liczby zespolone, których moduły r i argumenty φ spełniają warunki:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Czy liczby mogą być jednocześnie modułem liczby zespolonej? R I - R ?

2050. Czy argumentem liczby zespolonej mogą być jednocześnie kąty? φ I - φ ?

Przedstaw te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, definiując ich moduły i argumenty:

2051*. 1 + sałata α + I grzech α . 2054*. 2(cos 20° - I grzech 20°).

2052*. grzech φ + I sałata φ . 2055*. 3(- cos 15° - I grzech 15°).

Aby określić położenie punktu na płaszczyźnie, możesz użyć współrzędnych biegunowych [g, (r), Gdzie G jest odległością punktu od początku, oraz (R- kąt tworzący promień - wektor tego punktu z dodatnim kierunkiem osi Oh. Dodatni kierunek zmiany kąta (R Rozważany kierunek jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Korzystając z połączenia współrzędnych kartezjańskich i biegunowych: x = g cos avg,y = g grzech (str,

otrzymujemy trygonometryczną formę zapisu liczby zespolonej

z - r(grzech (p + ja grzech

Gdzie G

Xi + y2, (p jest argumentem liczby zespolonej, którą można znaleźć z

lX . tak, tak

formuły cos(p --, sin^9 ​​​​= - lub z tego powodu, że tg(p --, (p-arctg

Należy o tym pamiętać przy wyborze wartości Poślubić z ostatniego równania należy wziąć pod uwagę znaki x i y.

Przykład 47. Zapisz liczbę zespoloną w formie trygonometrycznej 2 = -1 + l/Z / .

Rozwiązanie. Znajdźmy moduł i argument liczby zespolonej:

= yj 1 + 3 = 2 . Narożnik Poślubić dowiadujemy się z relacji ponieważ (str = -, grzech(p = - . Następnie

dostajemy cos(p = -,up

u/z g~

• - -. Oczywiście punkt z = -1 + V3-/ jest zlokalizowany
• 2 Do 3

w drugim kwartale: (R= 120°

Zastępowanie

2 tys.. pałka; grzech

do wzoru (1) znaleziono 27° L

Komentarz. Argument liczby zespolonej nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale mieści się w wyrażeniu będącym wielokrotnością 14:00 Potem przez sp^g oznaczać

wartość argumentu zawarta w środku (str. 0 %2 Następnie

A)^r = + 2 tys.

Korzystając ze słynnego wzoru Eulera e, otrzymujemy wykładniczą formę zapisu liczby zespolonej.

Mamy r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operacje na liczbach zespolonych

• 1. Suma dwóch liczb zespolonych r, = X] + y x/ i g 2 - x 2 + y 2 / wyznacza się według wzoru r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)’ r
• 2. Operację odejmowania liczb zespolonych definiuje się jako odwrotną operację dodawania. Liczba zespolona g = g x - g 2, Jeśli sol 2 + sol = sol x,

jest różnicą liczb zespolonych 2 i g 2. Wtedy r = (x, - x 2) + (y, - Na 2) /.

• 3. Iloczyn dwóch liczb zespolonych g x= x, +y, -z i 2 2 = x 2+U2' r jest określone przez wzór
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

W szczególności, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Możesz uzyskać wzory na mnożenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej. Mamy:

• 1^ 2 - sol x mi 1 = )G 2 mi > = G]G 2 cOs((P + średnia 2) + isin
• 4. Dzielenie liczb zespolonych definiuje się jako operację odwrotną

mnożenie, tj. numer G-- nazywany ilorazem dzielenia r! na g 2,

Jeśli g x -1 2 ? 2 . Następnie

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y2 + X2Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 mi

ja (r g

• - 1U e „(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
• 5. Podnoszenie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej najlepiej wykonać, jeśli liczbę zapisano w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.

Rzeczywiście, jeśli g = ge 1 zatem

=(ge,) = sol p mi t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formuła g” =r n (cosn(p+is n(p) zwane formułą Moivre’a.

6. Ekstrakcja korzeni P- potęgę liczby zespolonej definiuje się jako odwrotną operację podniesienia do potęgi p, p- 1,2,3,...tj. liczba zespolona = y[g zwany korzeniem P- potęga liczby zespolonej

g, jeśli G = g x. Z tej definicji wynika, że g - g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/p, co wynika ze wzoru Moivre’a zapisanego dla liczby = r/*+ іьіпп(р).

Jak zauważono powyżej, argument liczby zespolonej nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale do wyrazu będącego wielokrotnością 2 I. Dlatego = (p + 2szt, oraz argument liczby r, w zależności od Do, oznaczmy (r k i buu

obliczę, korzystając ze wzoru (r k= - + . To jasne, że istnieje P com-

Liczby zespolone, P-ta potęga jest równa liczbie 2. Te liczby mają jeden

i ten sam moduł równy y[g, a argumenty tych liczb uzyskuje się przez Do = 0, 1, P - 1. Zatem w formie trygonometrycznej pierwiastek i-ty stopnie oblicza się według wzoru:

(p+2kp . . śro + 2kp

, Do = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

oraz w formie wykładniczej - zgodnie ze wzorem l[g - y[ge str

Przykład 48. Wykonuj operacje na liczbach zespolonych w formie algebraicznej:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zł/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Przykład 49. Podnieś liczbę r = Uz - / do piątej potęgi.

Rozwiązanie. Otrzymujemy trygonometryczną formę zapisu liczby r.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O " (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Stąd O--, A r = 2

Otrzymujemy Moivre’a: ja -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --B / -

= -(l/w + g)= -2.

Przykład 50: Znajdź wszystkie wartości

Rozwiązanie, r = 2, a Poślubić znajdziemy z równania szloch(p = -,zt--.

Ten punkt 1 - /d/z znajduje się w czwartej ćwiartce, tj. f =--. Następnie

• 1 - 2
• ( ( UG L

Wartości główne znajdujemy z wyrażenia

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- i 81P-

Na Do - 0 mamy 2 0 = l/2

Możesz znaleźć wartości pierwiastka liczby 2, przedstawiając liczbę na wyświetlaczu

-* DO/ 3 + 2 kl

Na Do= 1 mamy kolejną wartość pierwiastkową:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . H

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

współ? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

forma telialna. Ponieważ r= 2, za Poślubić= , wtedy g = 2e 3 , za y[g = r/2e 2

2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Niech wektor będzie określony na płaszczyźnie zespolonej przez liczbę .

Oznaczmy przez φ kąt pomiędzy dodatnią półosią Ox i wektorem (kąt φ uważa się za dodatni, jeśli jest mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a w przeciwnym razie za ujemny).

Oznaczmy długość wektora przez r. Następnie . Zaznaczamy także

Zapisanie niezerowej liczby zespolonej z w postaci

nazywa się formą trygonometryczną liczby zespolonej z. Liczba r nazywana jest modułem liczby zespolonej z, a liczba φ nazywana jest argumentem tej liczby zespolonej i oznaczana jest przez Arg z.

Trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej - (wzór Eulera) - wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej:

Liczba zespolona z ma nieskończenie wiele argumentów: jeśli φ0 jest dowolnym argumentem liczby z, to wszystkie pozostałe można znaleźć korzystając ze wzoru

W przypadku liczby zespolonej argument i forma trygonometryczna nie są zdefiniowane.

Zatem argumentem niezerowej liczby zespolonej jest dowolne rozwiązanie układu równań:

(3)

Wartość φ argumentu liczby zespolonej z, spełniającą nierówności, nazywa się wartością główną i oznacza się ją przez arg z.

Argumenty Arg z i arg z są powiązane przez

, (4)

Wzór (5) jest konsekwencją układu (3), zatem wszystkie argumenty liczby zespolonej spełniają równość (5), ale nie wszystkie rozwiązania φ równania (5) są argumentami liczby z.

Wartość główną argumentu niezerowej liczby zespolonej wyznacza się według wzorów:

Wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej są następujące:

. (7)

Podnosząc liczbę zespoloną do potęgi naturalnej, stosuje się wzór Moivre'a:

Podczas wyodrębniania pierwiastka liczby zespolonej stosuje się formułę:

, (9)

gdzie k=0, 1, 2, …, n-1.

Zadanie 54. Oblicz gdzie .

Przedstawmy rozwiązanie tego wyrażenia w postaci wykładniczej, zapisując liczbę zespoloną: .

Jeśli następnie.

Następnie , . Dlatego więc I , Gdzie .

Odpowiedź: , Na .

Zadanie 55. Zapisz liczby zespolone w formie trygonometrycznej:

A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; mi) ; I) .

Ponieważ postać trygonometryczna liczby zespolonej to , to:

a) W liczbie zespolonej: .

,

Dlatego

B) , Gdzie ,

G) , Gdzie ,

mi) .

I) , A , To .

Dlatego

Odpowiedź: ; 4; ; ; ; ; .

Zadanie 56. Znajdź postać trygonometryczną liczby zespolonej

.

Pozwalać , .

Następnie , , .

Od i , , następnie , i

Dlatego, dlatego

Odpowiedź: , Gdzie .

Zadanie 57. Korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej, wykonaj następujące czynności: .

Wyobraźmy sobie liczby i w postaci trygonometrycznej.

1) , gdzie Następnie

Znajdź wartość głównego argumentu:

Zastąpmy wartości i wyrażeniem, które otrzymamy

2) , gdzie wtedy

Następnie

3) Znajdźmy iloraz

Zakładając k=0, 1, 2, otrzymujemy trzy różne wartości pożądanego pierwiastka:

Jeśli następnie

Jeśli następnie

Jeśli następnie .

Odpowiedź: :

:

: .

Zadanie 58. Niech , , , będą różnymi liczbami zespolonymi i . Udowodnij to

numer jest liczbą rzeczywistą dodatnią;

b) równość zachodzi:

a) Przedstawmy te liczby zespolone w formie trygonometrycznej:

Ponieważ .

Udawajmy, że. Następnie

.

Ostatnie wyrażenie jest liczbą dodatnią, gdyż znaki sinusoidalne zawierają liczby z przedziału.

od numeru prawdziwy i pozytywny. Rzeczywiście, jeśli a i b są liczbami zespolonymi, rzeczywistymi i większymi od zera, to .

Oprócz,

zatem udowodniono wymaganą równość.

Zadanie 59. Zapisz liczbę w formie algebraicznej .

Przedstawmy liczbę w postaci trygonometrycznej, a następnie znajdźmy jej postać algebraiczną. Mamy . Dla otrzymujemy układ:

Oznacza to równość: .

Stosując wzór Moivre’a: ,

dostajemy

Znaleziono postać trygonometryczną podanej liczby.

Zapiszmy teraz tę liczbę w postaci algebraicznej:

.

Odpowiedź: .

Zadanie 60. Znajdź sumę , ,

Weźmy pod uwagę kwotę

Stosując wzór Moivre’a znajdujemy

Suma ta jest sumą n wyrazów postępu geometrycznego z mianownikiem i pierwszy członek .

Stosując wzór na sumę wyrazów takiego postępu, mamy

Znajdujemy część urojoną w ostatnim wyrażeniu

Wyodrębniając część rzeczywistą otrzymujemy także wzór: , , .

Zadanie 61. Znajdź sumę:

A) ; B) .

Zgodnie ze wzorem Newtona na potęgowanie mamy

Korzystając ze wzoru Moivre’a znajdujemy:

Porównując części rzeczywiste i urojone otrzymanych wyrażeń dla , mamy:

I .

Wzory te można zapisać w postaci zwartej w następujący sposób:

,

, gdzie jest częścią całkowitą liczby a.

Zadanie 62. Znajdź wszystkie , dla których .

Ponieważ , a następnie korzystając ze wzoru

, Aby wyodrębnić korzenie, otrzymujemy ,

Stąd, , ,

, .

Punkty odpowiadające liczbom znajdują się w wierzchołkach kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 2, którego środek znajduje się w punkcie (0;0) (ryc. 30).

Odpowiedź: , ,

, .

Zadanie 63. Rozwiąż równanie , .

Według warunku; dlatego to równanie nie ma pierwiastka i dlatego jest równoważne równaniu.

Aby liczba z była pierwiastkiem danego równania, liczba ta musi być pierwiastkiem n-ty stopień od numeru 1.

Stąd wnioskujemy, że pierwotne równanie ma pierwiastki określone na podstawie równości

,

Zatem,

,

tj. ,

Odpowiedź: .

Zadanie 64. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych.

Ponieważ liczba nie jest pierwiastkiem tego równania, to równanie to jest równoważne równaniu

Czyli równanie.

Wszystkie pierwiastki tego równania uzyskuje się ze wzoru (patrz zadanie 62):

; ; ; ; .

Zadanie 65. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających nierówności: . (Drugi sposób rozwiązania problemu 45)

Pozwalać .

Liczby zespolone posiadające identyczne moduły odpowiadają punktom płaszczyzny leżącym na okręgu, którego środek jest w początku układu współrzędnych, stąd nierówność spełniają wszystkie punkty otwartego pierścienia ograniczonego okręgami o wspólnym środku w początku i promieniu oraz (ryc. 31). Niech jakiś punkt płaszczyzny zespolonej odpowiada liczbie w0. Numer , ma moduł kilkakrotnie mniejszy od modułu w0 i argument większy od argumentu w0. Z geometrycznego punktu widzenia punkt odpowiadający w1 można otrzymać stosując jednorodność ze środkiem w początku układu współrzędnych i współczynnikiem, a także obrót względem początku o kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W wyniku zastosowania tych dwóch przekształceń do punktów pierścienia (rys. 31), ten ostatni przekształci się w pierścień ograniczony okręgami o tym samym środku i promieniach 1 i 2 (rys. 32).

Konwersja realizowane przy użyciu przeniesienia równoległego do wektora. Przenosząc pierścień ze środkiem w punkcie na wskazany wektor, otrzymujemy pierścień tej samej wielkości ze środkiem w punkcie (ryc. 22).

Zaproponowana metoda, wykorzystująca ideę przekształceń geometrycznych płaszczyzny, jest prawdopodobnie mniej wygodna do opisania, ale jest bardzo elegancka i efektywna.

Zadanie 66. Znajdź jeśli .

Niech , następnie i . Początkowa równość przybierze postać . Z warunku równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy , z czego , . Zatem, .

Zapiszmy liczbę z w formie trygonometrycznej:

, Gdzie , . Zgodnie ze wzorem Moivre’a znajdujemy .

Odpowiedź: – 64.

Zadanie 67. W przypadku liczby zespolonej znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że , i .

Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej:

. Stąd, . Dla liczby, którą otrzymujemy, może być równa lub .

W pierwszym przypadku , w sekundę

.

Odpowiedź: , .

Zadanie 68. Znajdź sumę takich liczb, że . Proszę wskazać jeden z tych numerów.

Należy zauważyć, że z samego sformułowania problemu można zrozumieć, że sumę pierwiastków równania można znaleźć bez obliczania samych pierwiastków. Rzeczywiście, suma pierwiastków równania jest współczynnikiem dla , wziętym z przeciwnym znakiem (uogólnione twierdzenie Viety), tj.

Uczniowie, korzystając z dokumentacji szkolnej, wyciągają wnioski na temat stopnia opanowania tego pojęcia. Podsumuj badanie cech myślenia matematycznego i procesu powstawania pojęcia liczby zespolonej. Opis metod. Diagnostyka: Etap I. Rozmowa została przeprowadzona z nauczycielką matematyki, która w 10 klasie uczy algebry i geometrii. Rozmowa odbyła się po pewnym czasie od jej początku...

Rezonans” (!)), na który składa się także ocena własnego zachowania. 4. Krytyczna ocena własnego zrozumienia sytuacji (wątpliwości). 5. Wreszcie skorzystanie z zaleceń psychologii prawnej (prawnik bierze pod uwagę aspekt psychologiczny aspekty wykonywanych czynności zawodowych – przygotowanie psychologiczne zawodowe.) Rozważmy teraz analiza psychologiczna fakty prawne. ...

Matematyka podstawienia trygonometrycznego i badanie efektywności opracowanej metodologii nauczania. Etapy pracy: 1. Opracowanie zajęć fakultatywnych na temat: „Zastosowanie podstawienia trygonometrycznego do rozwiązywania problemów algebraicznych” ze studentami na zajęciach z matematyki zaawansowanej. 2. Prowadzenie opracowanego przedmiotu fakultatywnego. 3. Przeprowadzenie badania diagnostycznego...

Zadania poznawcze mają na celu jedynie uzupełnienie istniejących pomocy dydaktycznych i muszą być w odpowiednim połączeniu ze wszystkimi tradycyjnymi środkami i elementami proces edukacyjny. Różnica między problemami pedagogicznymi w nauczaniu nauk humanistycznych a ścisłymi, od problemów matematycznych polega tylko na tym, że w problemach historycznych nie ma wzorów, ścisłych algorytmów itp., co komplikuje ich rozwiązanie. ...