W rachunku różniczkowym problem został rozwiązany: pod tą funkcją ƒ(x) znajdź jej pochodną(lub różnicowy). Rachunek całkowy rozwiązuje problem odwrotny: znajdź funkcję F(x), znając jej pochodną F "(x)=ƒ(x) (lub różniczkę). Szukana funkcja F(x) nazywa się funkcja pierwotnaƒ(x) .
Wywołuje się funkcję F(x). funkcja pierwotna funkcja ƒ(x) na przedziale (a; b), jeśli dla dowolnego x є (a; b) równość
F " (x)=ƒ(x) (lub dF(x)=ƒ(x)dx).
Na przykład, funkcja pierwotna funkcji y = x 2, x є R, jest funkcją, ponieważ
Oczywiście dowolne funkcje będą również funkcjami pierwotnymi
gdzie C jest stałą, ponieważ
Twierdzenie 29. 1. Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji ƒ(x) na (a;b), to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla ƒ(x) wyraża się wzorem F(x)+ C, gdzie C jest liczbą stałą.
▲ Funkcja F(x)+C jest funkcją pierwotną ƒ(x).
Rzeczywiście, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).
Niech Ф(х) będzie inną funkcją pierwotną funkcji ƒ(x), różną od F(x), tj. Ф "(x)=ƒ(х). Wtedy dla dowolnego x є (а; b) mamy
A to oznacza (patrz Wniosek 25.1), że
gdzie C jest liczbą stałą. Zatem Ф(x)=F(x)+С.▼
Nazywa się zbiór wszystkich funkcji pierwotnych F(x)+С dla ƒ(x). Całka nieoznaczona z funkcji ƒ(x) i jest oznaczony symbolem ∫ ƒ(x) dx.
Zatem z definicji 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Tutaj nazywa się ƒ(x). funkcja całkowa, ƒ(x)dx — całka, X - zmienna integracyjna, ∫ -znak całki nieoznaczonej.
Operację znajdowania całki nieoznaczonej funkcji nazywamy całkowaniem tej funkcji.
Geometrycznie całka nieoznaczona jest rodziną „równoległych” krzywych y=F(x)+C (każda wartość liczbowa C odpowiada określonej krzywej rodziny) (patrz rys. 166). Nazywa się wykres każdej funkcji pierwotnej (krzywej). krzywa całkowa.
Czy każda funkcja ma całkę nieoznaczoną?
Istnieje twierdzenie, że „każda funkcja ciągła na (a;b) ma funkcję pierwotną na tym przedziale”, a co za tym idzie, całkę nieoznaczoną.
Zwróćmy uwagę na szereg własności całki nieoznaczonej, które wynikają z jej definicji.
1. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce, a pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:
D(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).
Rzeczywiście, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx
(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).
Dzięki tej właściwości poprawność całkowania sprawdzana jest poprzez różniczkowanie. Na przykład równość
∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С
prawda, ponieważ (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.
2. Całka nieoznaczona różniczki pewnej funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej:
∫dF(x)= F(x)+C.
Naprawdę,
3. Ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:
α ≠ 0 jest stałą.
Naprawdę,
(wstaw C 1 / a = C.)
4. Całka nieoznaczona sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji ciągłych jest równa sumie algebraicznej całek sum funkcji:
Niech F”(x)=ƒ(x) i G”(x)=g(x). Następnie
gdzie C1 ±C2 =C.
5. (Niezmienniczość wzoru całkowego).
Jeśli 
, gdzie u=φ(x) jest dowolną funkcją z ciągłą pochodną.
▲ Niech x będzie zmienną niezależną, ƒ(x) funkcją ciągłą, a F(x) jej funkcją pierwotną. Następnie
Ustalmy teraz u=φ(x), gdzie φ(x) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły. Rozważmy funkcję zespoloną F(u)=F(φ(x)). Ze względu na niezmienność postaci pierwszej różniczki funkcji (patrz s. 160) mamy
Stąd▼
Zatem wzór na całkę nieoznaczoną pozostaje ważny niezależnie od tego, czy zmienna całkowania jest zmienną niezależną, czy też jakąkolwiek jej funkcją, która ma ciągłą pochodną.
A więc ze wzoru 
zastępując x przez u (u=φ(x)) otrzymujemy 
Zwłaszcza,
Przykład 29.1. Znajdź całkę 
gdzie C=C1+C2+C3+C4.
Przykład 29.2. Znajdź rozwiązanie całkowe:
- 29.3. Tabela podstawowych całek nieoznaczonych
Wykorzystując fakt, że całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, można otrzymać tablicę całek podstawowych poprzez odwrócenie odpowiednich wzorów rachunku różniczkowego (tablicę różniczkową) i wykorzystanie własności całki nieoznaczonej.
Na przykład, ponieważ
d(sin u)=cos u. du
Wyprowadzenie szeregu wzorów z tabeli zostanie podane przy rozważaniu podstawowych metod całkowania.
Całki w poniższej tabeli nazywane są tabelarycznymi. Należy je znać na pamięć. W rachunku całkowym nie ma prostych i uniwersalnych zasad znajdowania funkcji pierwotnych funkcje elementarne, jak w rachunku różniczkowym. Metody znajdowania funkcji pierwotnych (tj. całkowania funkcji) sprowadzają się do wskazywania technik, które sprowadzają daną (poszukiwaną) całkę do całki tabelarycznej. Dlatego konieczna jest znajomość całek tabelarycznych i umiejętność ich rozpoznawania.
Należy zauważyć, że w tabeli całek podstawowych zmienna całkująca może oznaczać zarówno zmienną niezależną, jak i funkcję zmiennej niezależnej (zgodnie z właściwością niezmienności wzoru całkującego).
Ważność poniższych wzorów można sprawdzić, biorąc różniczkę po prawej stronie, która będzie równa całce po lewej stronie wzoru.
Udowodnijmy na przykład zasadność wzoru 2. Funkcja 1/u jest zdefiniowana i ciągła dla wszystkich wartości równych i innych niż zero.
Jeśli u > 0, to ln|u|=lnu 
Dlatego
Jeśli ty<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Oznacza
Zatem formuła 2 jest poprawna. Podobnie sprawdźmy formułę 15:
Tabela całek głównych
Przyjaciele! Zapraszamy do dyskusji. Jeśli masz własne zdanie, napisz do nas w komentarzach.
W tym artykule wymienimy główne właściwości całki oznaczonej. Większość tych własności dowodzi się w oparciu o pojęcia całki oznaczonej Riemanna i Darboux.
Obliczanie całki oznaczonej bardzo często odbywa się przy użyciu pierwszych pięciu właściwości, dlatego w razie potrzeby będziemy się do nich odnosić. Pozostałe właściwości całki oznaczonej służą głównie do oceny różnych wyrażeń.
Zanim przejdziesz dalej podstawowe własności całki oznaczonej, umówmy się, że a nie przekracza b.
Dla funkcji y = f(x) określonej w x = a równość jest prawdziwa.
Oznacza to, że wartość całki oznaczonej przy tych samych granicach całkowania jest równa zero. Ta właściwość jest konsekwencją definicji całki Riemanna, ponieważ w tym przypadku każda suma całkowa dla dowolnego podziału przedziału i dowolnego wyboru punktów jest równa zeru, ponieważ zatem granica sum całkowitych wynosi zero.
W przypadku funkcji całkowalnej na przedziale, 
.
Innymi słowy, gdy górna i dolna granica całkowania zamieniają się miejscami, wartość całki oznaczonej zmienia się na odwrotną. Ta właściwość całki oznaczonej wynika również z koncepcji całki Riemanna, jedynie numeracja podziału odcinka powinna zaczynać się od punktu x = b.
dla funkcji całkowalnych na przedziale y = f(x) i y = g(x) .
Dowód.
Zapiszmy sumę całkowitą funkcji 
dla danego podziału odcinka i danego wyboru punktów: 
gdzie i są sumami całkowitymi funkcji, odpowiednio, y = f(x) i y = g(x) dla danego podziału segmentu.
Idę do limitu o godz 
otrzymujemy, że z definicji całki Riemanna jest równoważne stwierdzeniu udowadnianej własności.
Stały współczynnik można odjąć od znaku całki oznaczonej. Oznacza to, że dla funkcji y = f(x) całkowalnej na przedziale i dowolnej liczbie k zachodzi równość: 
.
Dowód tej własności całki oznaczonej jest całkowicie podobny do poprzedniego: 
Niech funkcja y = f(x) będzie całkowalna na przedziale X, oraz 
i wtedy 
.
Ta właściwość jest prawdziwa zarówno dla , jak i lub .
Dowód można przeprowadzić w oparciu o poprzednie własności całki oznaczonej.
Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest całkowalna na dowolnym przedziale wewnętrznym.
Dowód opiera się na własności sum Darboux: jeśli do istniejącego podziału odcinka dodane zostaną nowe punkty, to dolna suma Darboux nie zmniejszy się, a górna nie wzrośnie.
Jeżeli funkcja y = f(x) jest całkowalna na przedziale i dla dowolnej wartości argumentu, to 
.
Właściwość tę można udowodnić poprzez definicję całki Riemanna: dowolna suma całkowa dla dowolnego wyboru punktów podziału odcinka i punktów w będzie nieujemna (nie dodatnia).
Konsekwencja.
Dla funkcji y = f(x) i y = g(x) całkowalnych na przedziale zachodzą nierówności: 
To stwierdzenie oznacza, że całkowanie nierówności jest dopuszczalne. Skorzystamy z tego wniosku, aby udowodnić następujące właściwości.
Niech funkcja y = f(x) będzie całkowalna na przedziale , wtedy nierówność jest spełniona 
.
Dowód.
To oczywiste 
. W poprzedniej właściwości dowiedzieliśmy się, że nierówność można całkować wyraz po wyrazie, zatem jest to prawdą 
. Tę podwójną nierówność można zapisać jako .
Niech funkcje y = f(x) i y = g(x) będą całkowalne na przedziale i dla dowolnej wartości argumentu , to 
, Gdzie 
I .
Dowód przeprowadza się w podobny sposób. Ponieważ m i M są najmniejszymi i największymi wartościami funkcji y = f(x) na odcinku, zatem 
. Mnożenie podwójnej nierówności przez nieujemną funkcję y = g(x) prowadzi nas do następującej podwójnej nierówności. Całkując to na przedziale , dochodzimy do twierdzenia dowodzonego.
Konsekwencja.
Jeśli przyjmiemy g(x) = 1, wówczas nierówność przybierze postać 
.
Pierwsza średnia formuła.
Niech funkcja y = f(x) będzie całkowalna na przedziale, i , to istnieje liczba taka, że 
.
Konsekwencja.
Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na przedziale, to istnieje liczba taka, że 
.
Pierwszy wzór na wartość średnią w formie uogólnionej.
Niech funkcje y = f(x) i y = g(x) będą całkowalne na przedziale, i , oraz g(x) > 0 dla dowolnej wartości argumentu . Wtedy istnieje liczba taka, że 
.
Druga średnia formuła.
Jeżeli na pewnym przedziale funkcja y = f(x) jest całkowalna, a y = g(x) jest monotoniczna, to istnieje taka liczba, że równość 
.
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Fakt 1. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, czyli przywróceniem funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. W ten sposób przywrócono funkcję F(X) nazywa się funkcja pierwotna dla funkcji F(X).
Definicja 1. Funkcja F(X F(X) w pewnym przedziale X, jeśli dla wszystkich wartości X z tego przedziału zachodzi równość F "(X)=F(X), czyli tę funkcję F(X) jest pochodną funkcji pierwotnej F(X). .
Na przykład funkcja F(X) = grzech X jest funkcją pierwotną F(X) = sałata X na całej osi liczbowej, ponieważ dla dowolnej wartości x (grzech X)" = (kos X) .
Definicja 2. Całka nieoznaczona funkcji F(X) jest zbiorem wszystkich jego funkcji pierwotnych. W tym przypadku stosowana jest notacja
∫
F(X)dx
,gdzie jest znak ∫ zwany znakiem całki, funkcją F(X) – funkcja całkowa, oraz F(X)dx – wyrażenie całkowe.
Zatem jeśli F(X) – pewna funkcja pierwotna dla F(X) , To
∫
F(X)dx = F(X) +C
Gdzie C - dowolna stała (stała).
Aby zrozumieć znaczenie zbioru funkcji pierwotnych jako całki nieoznaczonej, właściwa jest następująca analogia. Niech będą drzwi (tradycyjne drewniane drzwi). Jej funkcją jest „być drzwiami”. Z czego wykonane są drzwi? Wykonane z drewna. Oznacza to, że zbiór funkcji pierwotnych całki funkcji „być drzwiami”, czyli jej całki nieoznaczonej, to funkcja „być drzewem + C”, gdzie C jest stałą, co w tym kontekście może oznaczać na przykład rodzaj drzewa. Podobnie jak drzwi wykonuje się z drewna za pomocą niektórych narzędzi, tak pochodną funkcji „tworzy się” z funkcji pierwotnej za pomocą wzory, których nauczyliśmy się studiując pochodną .
Wówczas tabela funkcji przedmiotów powszechnych i odpowiadających im funkcji pierwotnych („być drzwiami” - „być drzewem”, „być łyżką” - „być metalem” itp.) jest podobna do tabeli podstawowych Całki nieoznaczone, które zostaną podane poniżej. Tabela całek nieoznaczonych zawiera listę powszechnych funkcji, wskazując funkcje pierwotne, z których „zbudowane są te funkcje”. W części zadań ze znalezieniem całki nieoznaczonej podano całki, które można całkować bezpośrednio, bez większego wysiłku, czyli korzystając z tabeli całek nieoznaczonych. W przypadku bardziej złożonych problemów całkę należy najpierw przekształcić, aby można było zastosować całki tabelaryczne.
Fakt 2. Przywracając funkcję jako funkcję pierwotną, musimy wziąć pod uwagę dowolną stałą (stała) C, a żeby nie pisać listy funkcji pierwotnych z różnymi stałymi od 1 do nieskończoności, trzeba napisać zbiór funkcji pierwotnych z dowolną stałą C na przykład tak: 5 X³+C. Zatem dowolna stała (stała) jest zawarta w wyrażeniu funkcji pierwotnej, ponieważ funkcja pierwotna może być funkcją, na przykład 5 X³+4 lub 5 X³+3 i po zróżnicowaniu 4 lub 3 lub jakakolwiek inna stała dąży do zera.
Postawmy problem całkowania: dla tej funkcji F(X) znajdź taką funkcję F(X), czyja pochodna równy F(X).
Przykład 1. Znajdź zbiór funkcji pierwotnych
Rozwiązanie. W przypadku tej funkcji funkcją pierwotną jest funkcja
Funkcjonować F(X) nazywa się funkcją pierwotną F(X), jeśli pochodna F(X) jest równe F(X) lub, co jest tym samym, różnicowe F(X) jest równe F(X) dx, tj.
(2)
Zatem funkcja jest funkcją pierwotną. Jednak nie jest to jedyna funkcja pierwotna dla . Pełnią także funkcję funkcyjną
Gdzie Z– dowolna stała. Można to sprawdzić poprzez różnicowanie.
Zatem jeśli istnieje jedna funkcja pierwotna, to istnieje dla niej nieskończona liczba funkcji pierwotnych, które różnią się składnikiem stałym. Wszystkie funkcje pierwotne funkcji są zapisane w powyższej formie. Wynika to z następującego twierdzenia.
Twierdzenie (formalne stwierdzenie faktu 2). Jeśli F(X) – funkcja pierwotna funkcji F(X) w pewnym przedziale X, to jakakolwiek inna funkcja pierwotna dla F(X) w tym samym przedziale można przedstawić w postaci F(X) + C, Gdzie Z– dowolna stała.
W następnym przykładzie przechodzimy do tabeli całek, która zostanie podana w paragrafie 3, po właściwościach całki nieoznaczonej. Robimy to przed przeczytaniem całej tabeli, aby istota powyższego była jasna. A po tabeli i właściwościach wykorzystamy je w całości podczas integracji.
Przykład 2. Znajdź zbiory funkcji pierwotnych:
Rozwiązanie. Znajdujemy zbiory funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „utworzone”. Wspominając o wzorach z tablicy całek, na razie przyjmijmy, że takie wzory tam istnieją, a samą tabelę całek nieoznaczonych przeanalizujemy nieco dalej.
1) Stosując wzór (7) z tabeli całek dla N= 3, otrzymujemy
2) Korzystając ze wzoru (10) z tabeli całek dla N= 1/3, mamy
3) Od
następnie zgodnie ze wzorem (7) z N= -1/4 znajdujemy
Pod znakiem całki nie jest zapisywana sama funkcja F, a jego iloczyn przez różnicę dx. Odbywa się to przede wszystkim w celu wskazania, za pomocą której zmiennej szukana jest funkcja pierwotna. Na przykład,
,
;
tutaj w obu przypadkach całka jest równa , ale jej całki nieoznaczone w rozpatrywanych przypadkach okazują się różne. W pierwszym przypadku funkcję tę traktuje się jako funkcję zmiennej X, a w drugim - w funkcji z .
Proces znajdowania całki nieoznaczonej funkcji nazywa się całkowaniem tej funkcji.
Znaczenie geometryczne całki nieoznaczonej
Załóżmy, że musimy znaleźć krzywą y=F(x) i wiemy już, że tangens kąta stycznego w każdym z jego punktów jest daną funkcją k(x) odcięta tego punktu.
Zgodnie z geometrycznym znaczeniem pochodnej, tangens kąta nachylenia stycznej w danym punkcie krzywej y=F(x) równa wartości instrumentu pochodnego F”(x). Musimy więc znaleźć taką funkcję F(x), dla którego F"(x)=f(x). Funkcja wymagana w zadaniu F(x) jest funkcją pierwotną k(x). Warunki zadania spełnia nie jedna krzywa, ale rodzina krzywych. y=F(x)- jedną z tych krzywych i każdą inną krzywą można z niej otrzymać poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Oj.
Nazwijmy wykres funkcji pierwotnej k(x) krzywa całkowa. Jeśli F"(x)=f(x), a następnie wykres funkcji y=F(x) istnieje krzywa całkowa.
Fakt 3. Całkę nieoznaczoną geometrycznie reprezentuje rodzina wszystkich krzywych całkowych , jak na zdjęciu poniżej. Odległość każdej krzywej od początku współrzędnych jest określona przez dowolną stałą całkowania C.
Własności całki nieoznaczonej
Fakt 4. Twierdzenie 1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce, a jej różniczka jest równa całce.
Fakt 5. Twierdzenie 2. Całka nieoznaczona z różniczki funkcji F(X) jest równa funkcji F(X) aż do stałego terminu , tj.
(3)
Twierdzenia 1 i 2 pokazują, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi.
Fakt 6. Twierdzenie 3. Stały współczynnik całki można wyjąć ze znaku całki nieoznaczonej , tj.
Rozwiązywanie całek jest łatwym zadaniem, ale tylko dla nielicznych. Ten artykuł jest przeznaczony dla tych, którzy chcą nauczyć się rozumieć całki, ale nie wiedzą o nich nic lub prawie nic. Integralny... Dlaczego jest potrzebny? Jak to obliczyć? Co to są całki oznaczone i nieoznaczone?
Jeśli jedyne zastosowanie całki, jakie znasz, to użycie szydełka w kształcie ikony integralnej, aby wydobyć coś przydatnego z trudno dostępnych miejsc, to zapraszamy! Dowiedz się, jak rozwiązywać całki najprostsze i inne oraz dlaczego nie da się bez tego obejść w matematyce.
Studiujemy koncepcję « całka »
Integracja była znana już dawno Starożytny Egipt. Oczywiście, że nie nowoczesna forma, ale jednak. Od tego czasu matematycy napisali wiele książek na ten temat. Szczególnie wyróżnili się Niuton I Leibniza , ale istota rzeczy się nie zmieniła.
Jak rozumieć całki od podstaw? Nie ma mowy! Aby zrozumieć ten temat, nadal będziesz potrzebować podstawowej wiedzy z podstaw analizy matematycznej. Informacje na temat całki niezbędne do zrozumienia całki mamy już na naszym blogu.
Całka nieoznaczona
Miejmy jakąś funkcję k(x) .
Funkcja całki nieoznaczonej k(x) nazywa się ta funkcja F(x) , którego pochodna jest równa funkcji k(x) .
Innymi słowy, całka jest pochodną odwrotną lub funkcją pierwotną. Nawiasem mówiąc, przeczytaj o tym w naszym artykule.
Funkcja pierwotna istnieje dla wszystkich funkcji ciągłych. Ponadto do funkcji pierwotnej często dodaje się stały znak, ponieważ pochodne funkcji różniących się stałą pokrywają się. Proces znajdowania całki nazywa się integracją.
Prosty przykład:
Aby nie obliczać ciągle funkcji pierwotnych funkcji elementarnych, wygodnie jest umieścić je w tabeli i skorzystać z gotowych wartości.
Pełna tabela całek dla studentów
Całka oznaczona
Kiedy mamy do czynienia z pojęciem całki, mamy do czynienia z wielkościami nieskończenie małymi. Całka pomoże obliczyć powierzchnię figury, masę niejednorodnego ciała, odległość przebytą podczas nierównomiernego ruchu i wiele więcej. Należy pamiętać, że całka jest sumą nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych wyrazów.
Jako przykład wyobraźmy sobie wykres jakiejś funkcji.
Jak znaleźć obszar figury ograniczony wykresem funkcji? Używając całki! Podzielmy trapez krzywoliniowy ograniczony osiami współrzędnych i wykresem funkcji na nieskończenie małe odcinki. W ten sposób figura zostanie podzielona na cienkie kolumny. Suma pól kolumn będzie polem trapezu. Pamiętaj jednak, że takie obliczenie da przybliżony wynik. Jednak im mniejsze i węższe segmenty, tym dokładniejsze będą obliczenia. Jeśli zmniejszymy je do tego stopnia, że długość będzie dążyć do zera, to suma pól odcinków będzie dążyć do pola figury. Jest to całka oznaczona, którą można zapisać w następujący sposób:
Punkty aib nazywane są granicami całkowania.
« Całka »
Przy okazji! Dla naszych czytelników mamy teraz 10% zniżki na
Zasady obliczania całek dla manekinów
Własności całki nieoznaczonej
Jak rozwiązać całkę nieoznaczoną? Tutaj przyjrzymy się właściwościom całki nieoznaczonej, które będą przydatne przy rozwiązywaniu przykładów.
- Pochodna całki jest równa całce:
- Stałą można wyjąć spod znaku całki:
- Całka z sumy jest równa sumie całek. Dotyczy to również różnicy:
Własności całki oznaczonej
- Liniowość:
- Znak całki zmienia się, jeśli zamienimy granice całkowania:
- Na każdy zwrotnica A, B I Z:
Dowiedzieliśmy się już, że całka oznaczona jest granicą sumy. Ale jak uzyskać konkretną wartość podczas rozwiązywania przykładu? Służy do tego wzór Newtona-Leibniza:
Przykłady rozwiązywania całek
Poniżej rozważymy całkę nieoznaczoną i przykłady z rozwiązaniami. Sugerujemy samodzielne zapoznanie się ze zawiłościami rozwiązania, a jeśli coś jest niejasne, zadawaj pytania w komentarzach.
Aby wzmocnić materiał, obejrzyj film o rozwiązywaniu całek w praktyce. Nie rozpaczaj, jeśli całka nie zostanie podana od razu. Skontaktuj się z profesjonalnym serwisem dla studentów, a dowolna całka potrójna lub zakrzywiona na zamkniętej powierzchni będzie w Twojej mocy.
Niech funkcja y = F(X) jest zdefiniowany w przedziale [ A, B ], A < B. Wykonajmy następujące operacje:
1) podzielmy się [ A, B] kropki A = X 0 < X 1 < ... < X I- 1 < X I < ... < X N = B NA N częściowe segmenty [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X I- 1 , X I ], ..., [X N- 1 , X N ];
2) w każdym z odcinków cząstkowych [ X I- 1 , X I ], I = 1, 2, ... N, wybierz dowolny punkt i oblicz wartość funkcji w tym punkcie: F(z ja ) ;
3) znaleźć prace F(z ja ) · Δ X I , gdzie jest długością odcinka częściowego [ X I- 1 , X I ], I = 1, 2, ... N;
4) pogódźmy się suma całkowa funkcje y = F(X) w segmencie [ A, B ]:
Z geometrycznego punktu widzenia suma σ jest sumą pól prostokątów, których podstawą są odcinki częściowe [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X I- 1 , X I ], ..., [X N- 1 , X N ], a wysokości są równe F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) odpowiednio (ryc. 1). Oznaczmy przez λ długość najdłuższego odcinka częściowego:
5) znajdź granicę sumy całkowitej, gdy λ → 0.
Definicja. Jeżeli istnieje skończona granica sumy całkowej (1) i nie zależy ona od sposobu podziału odcinka [ A, B] do częściowych segmentów, ani od wyboru punktów z ja w nich, wówczas granica ta nazywana jest Całka oznaczona z funkcji y = F(X) w segmencie [ A, B] i jest oznaczony
Zatem,
W tym przypadku funkcja F(X) nazywa się zintegrowane NA [ A, B] Takty muzyczne A I B nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą całkowania, F(X) – funkcja całkowa, F(X ) dx– wyrażenie całkowe, X– zmienna całkująca; segment [ A, B] nazywany jest przedziałem całkowania.
Twierdzenie 1. Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B], to jest całkowalny w tym przedziale.
Całka oznaczona przy tych samych granicach całkowania jest równa zeru:
Jeśli A > B, to z definicji zakładamy
2. Znaczenie geometryczne całki oznaczonej
Niech na odcinku [ A, B] określono ciągłą funkcję nieujemną y = F(X ) . Trapez krzywoliniowy jest figurą ograniczoną powyżej wykresem funkcji y = F(X), od dołu - wzdłuż osi Wołu, po lewej i prawej stronie - linie proste x = a I x = b(ryc. 2).
Całka oznaczona z funkcja nieujemna y = F(X) z geometrycznego punktu widzenia jest równa powierzchni zakrzywiony trapez, ograniczony powyżej wykresem funkcji y = F(X), lewy i prawy – odcinki linii x = a I x = b, od dołu - odcinek osi Wołu.
3. Podstawowe własności całki oznaczonej
1. Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkującej:
2. Ze znaku całki oznaczonej można odjąć stały współczynnik:
3. Całka oznaczona sumy algebraicznej dwóch funkcji jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych tych funkcji:
4.Jeśli funkcja y = F(X) jest całkowalny na [ A, B] I A < B < C, To
5. (twierdzenie o wartości średniej). Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B], to na tym odcinku jest taki punkt, że
4. Wzór Newtona-Leibniza
Twierdzenie 2. Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] I F(X) jest dowolną z jej funkcji pierwotnych w tym segmencie, wówczas obowiązuje następujący wzór:
co się nazywa Wzór Newtona-Leibniza. Różnica F(B) - F(A) jest zwykle zapisywany w następujący sposób:
gdzie symbol nazywany jest podwójnym symbolem wieloznacznym.
Zatem wzór (2) można zapisać jako:
Przykład 1. Oblicz całkę
Rozwiązanie. Dla całki F(X ) = X 2 dowolna funkcja pierwotna ma postać
Ponieważ we wzorze Newtona-Leibniza można zastosować dowolną funkcję pierwotną, do obliczenia całki bierzemy funkcję pierwotną o najprostszej postaci:
5. Zmiana zmiennej w całce oznaczonej
Twierdzenie 3. Niech funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] Jeśli:
1) funkcja X = φ ( T) i jego pochodna φ "( T) są ciągłe dla ;
2) zbiór wartości funkcji X = φ ( T) dla jest segmentem [ A, B ];
3) φ ( A) = A, φ ( B) = B, to formuła jest poprawna
co się nazywa formuła zastępowania zmiennych w Całka oznaczona.
Inaczej niż w przypadku całki nieoznaczonej nie ma potrzeby aby powrócić do pierwotnej zmiennej całkującej - wystarczy znaleźć nowe granice całkowania α i β (w tym celu należy rozwiązać dla zmiennej T równania φ ( T) = A i φ ( T) = B).
Zamiast zastępstwa X = φ ( T) możesz użyć podstawienia T = G(X) . W tym przypadku znalezienie nowych granic całkowania po zmiennej T upraszcza: α = G(A) , β = G(B) .
Przykład 2. Oblicz całkę
Rozwiązanie. Wprowadźmy nową zmienną za pomocą wzoru. Podnosząc obie strony równości do kwadratu, otrzymujemy 1 + x = T 2 , Gdzie x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt. Znajdujemy nowe granice integracji. Aby to zrobić, podstawmy stare granice do wzoru x = 3 i x = 8. Otrzymujemy: , skąd T= 2 i α = 2; , Gdzie T= 3 i β = 3. Zatem
Przykład 3. Obliczać
Rozwiązanie. Pozwalać ty= log X, Następnie , w = X. Według wzoru (4)