Ożywienie
Opis
Kiedy na masywne ciało działa siła sprężystości, przywracając je do położenia równowagi, wówczas ono oscyluje wokół tego położenia.
Takie ciało nazywa się wahadłem sprężystym. Wibracje powstają pod wpływem siła zewnętrzna. Oscylacje trwające po ustaniu działania siły zewnętrznej nazywane są swobodnymi. Drgania wywołane działaniem siły zewnętrznej nazywane są wymuszonymi. W tym przypadku sama siła nazywana jest wymuszaniem.
W najprostszym przypadku wahadło sprężynowe to obiekt poruszający się po płaszczyźnie poziomej solidny, mocowany za pomocą sprężyny do ściany (rys. 1).
Wahadło sprężynowe
Ryż. 1
Ruch prostoliniowy ciała opisuje zależność jego współrzędnych od czasu:
x = x(t). (1)
Jeżeli znane są wszystkie siły działające na dane ciało, wówczas zależność tę można ustalić, korzystając z drugiego prawa Newtona:
md 2 x /dt 2 = S fa , (2)
gdzie m jest masą ciała.
Prawa strona równania (2) to suma rzutów na oś x wszystkich sił działających na ciało.
W tym przypadku główną rolę odgrywa siłę sprężystą, która jest zachowawcza i można ją przedstawić jako:
F (x) = - dU (x)/dx, (3)
gdzie U = U (x) jest energią potencjalną odkształconej sprężyny.
Niech x będzie przedłużeniem sprężyny. Doświadczalnie ustalono, że przy małych wartościach wydłużenia względnego sprężyny, tj. pod warunkiem że:
½ x ½<< l ,
gdzie l jest długością nieodkształconej sprężyny.
Poniższa zależność jest w przybliżeniu prawdziwa:
U (x) = k x 2 /2, (4)
gdzie współczynnik k nazywany jest sztywnością sprężyny.
Z tego wzoru wynika następujące wyrażenie na siłę sprężystości:
F (x) = - kx. (5)
Zależność ta nazywa się prawem Hooke’a.
Oprócz siły sprężystości na ciało poruszające się po płaszczyźnie może działać siła tarcia, co zadowalająco opisuje wzór empiryczny:
F tr = - r dx /dt , (6)
gdzie r jest współczynnikiem tarcia.
Biorąc pod uwagę wzory (5) i (6), równanie (2) można zapisać następująco:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)
gdzie F(t) jest siłą zewnętrzną.
Jeżeli na ciało działa tylko siła Hooke'a (5), to drgania swobodne ciała będą harmoniczne. Takie ciało nazywa się harmonicznym wahadłem sprężynowym.
Drugie prawo Newtona w tym przypadku prowadzi do równania:
re 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt(k/m) (9)
Częstotliwość oscylacji.
Ogólne rozwiązanie równania (8) ma postać:
x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)
gdzie amplituda A i faza początkowa a są określone przez warunki początkowe.
Gdy na dane ciało działa wyłącznie siła sprężystości (5), to jego całkowita energia mechaniczna nie zmienia się w czasie:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = stała. (11)
Twierdzenie to stanowi treść prawa zachowania energii harmonicznego wahadła sprężystego.
Załóżmy, że oprócz siły sprężystości, która przywraca je do położenia równowagi, na masywne ciało działa siła tarcia. W takim przypadku drgania swobodne ciała wzbudzonego w pewnym momencie z czasem zanikną i ciało będzie dążyć do położenia równowagi.
W tym przypadku drugie prawo Newtona (7) można zapisać w następujący sposób:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
gdzie m jest masą ciała.
Ogólne rozwiązanie równania (12) ma postać:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Częstotliwość oscylacji
b = r / 2 m (15)
Współczynnik tłumienia drgań, amplituda a i faza początkowa a są określone przez warunki początkowe. Funkcja (13) opisuje tzw. drgania tłumione.
Całkowita energia mechaniczna wahadła sprężystego, tj. suma jego energii kinetycznej i potencjalnej
mi = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
zmienia się w czasie zgodnie z prawem:
dE/dt = P, (17)
gdzie P = - rv 2 - moc siły tarcia, tj. energia zamieniona na ciepło w jednostce czasu.
Charakterystyka czasowa
Czas inicjacji (log do -3 do -1);
Czas życia (log tc od 1 do 15);
Czas degradacji (log td od -3 do 3);
Czas optymalnego rozwoju (log tk od -3 do -2).
Wahadło sprężynowe jest układem oscylacyjnym składającym się z punktu materialnego o masie m i sprężyny. Rozważmy poziome wahadło sprężynowe (ryc. 1, a). Składa się z masywnego korpusu wywierconego pośrodku i umieszczonego na poziomym pręcie, po którym może się przesuwać bez tarcia (idealny układ oscylacyjny). Pręt jest zamocowany pomiędzy dwoma pionowymi wspornikami.
Na jednym końcu do korpusu przymocowana jest nieważka sprężyna. Jego drugi koniec jest przymocowany do wspornika, który w najprostszym przypadku pozostaje w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia, w którym wahadło drga. Na początku sprężyna nie jest odkształcona, a ciało znajduje się w położeniu równowagi C. Jeśli poprzez rozciąganie lub ściskanie sprężyny ciało zostanie wyprowadzone z położenia równowagi, wówczas zacznie na nie działać siła sprężystości od stronie odkształconej sprężyny, zawsze skierowanej w stronę położenia równowagi.
Ściśnijmy sprężynę, przesuwając ciało do pozycji A i puśćmy ją. Pod wpływem siły sprężystości będzie poruszać się szybciej. W tym przypadku w położeniu A na ciało działa maksymalna siła sprężystości, gdyż tutaj wydłużenie bezwzględne x m sprężyny jest największe. Dlatego w tej pozycji przyspieszenie jest maksymalne. W miarę jak ciało zbliża się do położenia równowagi, wydłużenie bezwzględne sprężyny maleje, a w konsekwencji maleje przyspieszenie nadawane przez siłę sprężystości. Ponieważ jednak przyspieszenie podczas danego ruchu jest współkierunkowane z prędkością, prędkość wahadła wzrasta i w położeniu równowagi będzie maksymalna.
Po osiągnięciu położenia równowagi C ciało nie zatrzyma się (chociaż w tej pozycji sprężyna nie jest odkształcona, a siła sprężystości wynosi zero), ale mając prędkość, będzie poruszać się dalej na skutek bezwładności, rozciągając sprężynę. Powstała siła sprężystości jest teraz skierowana przeciwko ruchowi ciała i spowalnia go. W punkcie D prędkość ciała będzie równa zeru, a przyspieszenie będzie maksymalne, ciało zatrzyma się na chwilę, po czym pod wpływem siły sprężystości zacznie poruszać się w przeciwnym kierunku , do położenia równowagi. Po ponownym przejściu przez bezwładność ciało, ściskając sprężynę i spowalniając ruch, osiągnie punkt A (ponieważ nie ma tarcia), tj. zakończy pełny obrót. Następnie ruch ciała zostanie powtórzony w opisanej kolejności. Zatem przyczyną swobodnych oscylacji wahadła sprężynowego jest działanie siły sprężystej występującej podczas odkształcania sprężyny oraz bezwładność ciała.
Zgodnie z prawem Hooke’a F x = -kx. Zgodnie z drugim prawem Newtona F x = max x. Dlatego ma x = -kx. Stąd
Dynamiczne równanie ruchu wahadła sprężystego.
Widzimy, że przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do mieszania i jest do niego skierowane przeciwnie. Porównanie otrzymanego równania z równaniem drgań harmonicznych 
, widzimy, że wahadło sprężynowe wykonuje oscylacje harmoniczne z cykliczną częstotliwością
Okres drgań wahadła sprężystego.
Za pomocą tego samego wzoru można obliczyć okres oscylacji pionowego wahadła sprężynowego (ryc. 1. b). Rzeczywiście, w położeniu równowagi, pod wpływem działania grawitacji, sprężyna jest już rozciągnięta o pewną wielkość x 0, określoną zależnością mg = kx 0. Kiedy wahadło zostanie przesunięte z położenia równowagi O na x, rzut siły sprężystości
Działanie większości mechanizmów opiera się na najprostszych prawach fizyki i matematyki. Koncepcja wahadła sprężynowego stała się dość powszechna. Taki mechanizm stał się bardzo powszechny, ponieważ sprężyna zapewnia wymaganą funkcjonalność i może być elementem urządzeń automatycznych. Przyjrzyjmy się bliżej takiemu urządzeniu, jego zasadzie działania i wielu innym punktom bardziej szczegółowo.
Definicje wahadła sprężystego
Jak wspomniano wcześniej, wahadło wiosenne stało się bardzo powszechne. Wśród funkcji są następujące:
- Urządzenie jest reprezentowane przez kombinację ciężarka i sprężyny, których masa może nie być brana pod uwagę. Za ładunek może pełnić wiele różnych obiektów. Jednocześnie może na nie oddziaływać siła zewnętrzna. Typowym przykładem jest utworzenie zaworu bezpieczeństwa instalowanego w systemie rurociągów. Obciążenie jest mocowane do sprężyny na różne sposoby. W tym przypadku stosowana jest wyłącznie klasyczna wersja śrubowa, która jest najczęściej stosowana. Podstawowe właściwości w dużej mierze zależą od rodzaju materiału użytego do produkcji, średnicy cewki, prawidłowego ustawienia i wielu innych czynników. Zwoje zewnętrzne są często wykonane w taki sposób, aby mogły wytrzymać duże obciążenie podczas pracy.
- Zanim rozpocznie się odkształcenie, nie ma całkowitej energii mechanicznej. W tym przypadku na ciało nie działa siła sprężystości. Każda sprężyna ma położenie początkowe, które utrzymuje przez długi czas. Jednak ze względu na pewną sztywność korpus jest unieruchomiony w pozycji wyjściowej. Ważne jest, w jaki sposób siła jest przyłożona. Przykładem jest to, że powinien być skierowany wzdłuż osi sprężyny, ponieważ w przeciwnym razie istnieje możliwość odkształcenia i wielu innych problemów. Każda sprężyna ma swoje własne limity ściskania i rozciągania. W tym przypadku maksymalne ściskanie jest reprezentowane przez brak odstępu między poszczególnymi zwojami; podczas rozciągania następuje moment, w którym następuje nieodwracalne odkształcenie produktu. Jeżeli drut zostanie zbyt mocno rozciągnięty, następuje zmiana podstawowych właściwości, po czym wyrób nie wraca do swojego pierwotnego położenia.
- W rozpatrywanym przypadku drgania powstają na skutek działania siły sprężystej. Charakteryzuje się dość dużą liczbą cech, na które trzeba zwrócić uwagę. Efekt elastyczności uzyskuje się dzięki pewnemu ułożeniu zwojów i rodzajowi materiału użytego podczas produkcji. W tym przypadku siła sprężystości może działać w obu kierunkach. Najczęściej występuje kompresja, ale można również przeprowadzić rozciąganie - wszystko zależy od cech konkretnego przypadku.
- Prędkość ruchu ciała może zmieniać się w dość szerokim zakresie, wszystko zależy od uderzenia. Na przykład wahadło sprężynowe może przesuwać zawieszony ładunek w płaszczyźnie poziomej i pionowej. Efekt skierowanej siły zależy w dużej mierze od montażu pionowego lub poziomego.
Ogólnie można powiedzieć, że definicja wahadła sprężystego jest dość ogólna. W tym przypadku prędkość ruchu obiektu zależy od różnych parametrów, na przykład wielkości przyłożonej siły i innych momentów. Przed właściwymi obliczeniami tworzony jest diagram:
- Wskazano wspornik, do którego przymocowana jest sprężyna. Często rysowana jest linia z kreskowaniem, aby to pokazać.
- Sprężynę pokazano schematycznie. Często jest reprezentowany przez falistą linię. Na schemacie długość i wskaźnik średnicy nie mają znaczenia.
- Przedstawione jest także ciało. Nie musi odpowiadać wymiarom, ważne jest jednak miejsce bezpośredniego mocowania.
Aby schematycznie pokazać wszystkie siły działające na urządzenie, wymagany jest diagram. Tylko w tym przypadku możemy wziąć pod uwagę wszystko, co wpływa na prędkość ruchu, bezwładność i wiele innych aspektów.
Wahadła sprężyste znajdują zastosowanie nie tylko w obliczeniach czy rozwiązywaniu różnych problemów, ale także w praktyce. Jednak nie wszystkie właściwości takiego mechanizmu mają zastosowanie.
Przykładem jest sytuacja, gdy nie są wymagane ruchy oscylacyjne:
- Tworzenie elementów blokujących.
- Mechanizmy sprężynowe związane z transportem różnych materiałów i przedmiotów.
Obliczenia wahadła sprężynowego pozwalają wybrać najbardziej odpowiednią masę ciała, a także rodzaj sprężyny. Charakteryzuje się następującymi cechami:
- Średnica zwojów. Może być bardzo różnie. Średnica w dużej mierze decyduje o tym, ile materiału potrzeba do produkcji. Średnica cewek określa również, jaką siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pełne ściskanie lub częściowe rozciągnięcie. Jednakże zwiększenie rozmiaru może spowodować znaczne trudności w montażu produktu.
- Średnica drutu. Kolejnym ważnym parametrem jest średnica drutu. Może zmieniać się w szerokim zakresie, w zależności od wytrzymałości i stopnia elastyczności.
- Długość produktu. Wskaźnik ten określa, ile siły potrzeba do całkowitego ściągnięcia, a także jaką elastyczność może mieć produkt.
- Rodzaj użytego materiału determinuje również podstawowe właściwości. Najczęściej sprężyna wykonywana jest ze specjalnego stopu, który posiada odpowiednie właściwości.
W obliczeniach matematycznych wiele punktów nie jest branych pod uwagę. Siłę sprężystą i wiele innych wskaźników określa się na podstawie obliczeń.
Rodzaje wahadeł sprężynowych
Istnieje kilka różnych typów wahadeł sprężynowych. Warto wziąć pod uwagę, że klasyfikację można przeprowadzić w zależności od rodzaju zamontowanej sprężyny. Wśród funkcji zauważamy:
- Wibracje pionowe stały się dość powszechne, ponieważ w tym przypadku ładunek nie podlega tarciu ani innym wpływom. Kiedy ładunek jest ustawiony pionowo, stopień oddziaływania siły ciężkości znacznie wzrasta. Ta opcja wykonania jest powszechna podczas przeprowadzania szerokiej gamy obliczeń. Ze względu na siłę ciężkości istnieje możliwość, że ciało w punkcie startowym wykona dużą liczbę ruchów bezwładnościowych. Ułatwia to również elastyczność i bezwładność ciała pod koniec skoku.
- Stosowane jest również poziome wahadło sprężynowe. W tym przypadku obciążenie spoczywa na powierzchni nośnej, a tarcie występuje również w momencie ruchu. W pozycji poziomej grawitacja działa nieco inaczej. Pozioma pozycja ciała stała się powszechna w różnych zadaniach.
Ruch wahadła sprężynowego można obliczyć za pomocą odpowiednio dużej liczby różnych wzorów, które muszą uwzględniać wpływ wszystkich sił. W większości przypadków instalowana jest klasyczna sprężyna. Wśród funkcji zwracamy uwagę na następujące:
- Klasyczna zwinięta sprężyna naciskowa stała się dziś bardzo powszechna. W tym przypadku pomiędzy zwojami występuje odstęp, który nazywa się skokiem. Sprężyna dociskowa może się rozciągać, ale często nie jest do tego instalowana. Charakterystyczną cechą jest to, że ostatnie zwoje wykonane są w formie płaszczyzny, co zapewnia równomierny rozkład siły.
- Można zainstalować wersję rozciągliwą. Przeznaczony jest do montażu w przypadkach, gdy przyłożona siła powoduje zwiększenie długości. Do mocowania umieszczone są haczyki.
Rezultatem jest oscylacja, która może trwać przez długi czas. Powyższy wzór pozwala na przeprowadzenie obliczeń z uwzględnieniem wszystkich punktów.
Wzory na okres i częstotliwość drgań wahadła sprężystego
Projektując i obliczając główne wskaźniki, sporo uwagi poświęca się także częstotliwości i okresowi oscylacji. Cosinus to funkcja okresowa, która wykorzystuje wartość, która nie zmienia się po pewnym czasie. Wskaźnik ten nazywany jest okresem oscylacji wahadła sprężynowego. Do oznaczenia tego wskaźnika używana jest litera T; często stosowana jest także koncepcja charakteryzująca wartość odwrotną do okresu oscylacji (v). W większości przypadków w obliczeniach stosuje się wzór T=1/v.
Okres oscylacji oblicza się za pomocą nieco skomplikowanego wzoru. Jest ona następująca: T=2√m/k. Do określenia częstotliwości drgań stosuje się wzór: v=1/2п√k/m.
Rozważana cykliczna częstotliwość drgań wahadła sprężystego zależy od następujących punktów:
- Masa ładunku przymocowanego do sprężyny. Wskaźnik ten jest uważany za najważniejszy, ponieważ wpływa na wiele parametrów. Siła bezwładności, prędkość i wiele innych wskaźników zależy od masy. Ponadto masa ładunku jest wielkością, której pomiar nie nastręcza żadnych problemów ze względu na obecność specjalistycznej aparatury pomiarowej.
- Współczynnik elastyczności. Dla każdej wiosny wskaźnik ten jest znacząco inny. Współczynnik sprężystości jest wskazany w celu określenia głównych parametrów sprężyny. Parametr ten zależy od liczby zwojów, długości produktu, odległości między zwojami, ich średnicy i wielu innych. Określa się go na różne sposoby, często przy użyciu specjalnego sprzętu.
Nie zapominaj, że gdy sprężyna jest mocno rozciągnięta, prawo Hooke'a przestaje obowiązywać. W tym przypadku okres drgań sprężyny zaczyna zależeć od amplitudy.
Do pomiaru okresu używa się uniwersalnej jednostki czasu, w większości przypadków sekund. W większości przypadków amplitudę oscylacji oblicza się przy rozwiązywaniu różnych problemów. Aby uprościć proces, konstruuje się uproszczony diagram przedstawiający główne siły.
Wzory na amplitudę i fazę początkową wahadła sprężystego
Ustaliwszy cechy zachodzących procesów i znając równanie drgań wahadła sprężystego oraz wartości początkowe, można obliczyć amplitudę i fazę początkową wahadła sprężystego. Wartość f służy do określenia fazy początkowej, a amplituda jest oznaczona symbolem A.
Do określenia amplitudy można zastosować wzór: A = √x 2 +v 2 /w 2. Fazę początkową oblicza się ze wzoru: tgf=-v/xw.
Za pomocą tych wzorów można określić główne parametry używane w obliczeniach.
Energia drgań wahadła sprężynowego
Rozważając drgania obciążenia na sprężynie, należy wziąć pod uwagę fakt, że ruch wahadła można opisać dwoma punktami, czyli ma on charakter prostoliniowy. Moment ten decyduje o spełnieniu warunków dotyczących danej siły. Można powiedzieć, że energia całkowita jest potencjalna.
Energię drgań wahadła sprężynowego można obliczyć, biorąc pod uwagę wszystkie jego cechy. Główne punkty są następujące:
- Oscylacje mogą odbywać się w płaszczyźnie poziomej i pionowej.
- Jako położenie równowagi wybrano energię potencjalną zerową. To w tym miejscu ustala się początek współrzędnych. Z reguły w tym położeniu sprężyna zachowuje swój kształt pod warunkiem, że nie występuje siła odkształcająca.
- W rozpatrywanym przypadku obliczona energia wahadła sprężystego nie uwzględnia siły tarcia. Gdy ładunek jest ustawiony pionowo, siła tarcia jest niewielka; gdy ładunek jest poziomy, ciało znajduje się na powierzchni i podczas ruchu może wystąpić tarcie.
- Do obliczenia energii drgań stosuje się wzór: E=-dF/dx.
Z powyższych informacji wynika, że zasada zachowania energii jest następująca: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Zastosowana formuła brzmi następująco:
Podczas rozwiązywania różnych problemów możliwe jest określenie energii oscylacji wahadła sprężynowego.
Drgania swobodne wahadła sprężystego
Rozważając przyczyny drgań swobodnych wahadła sprężystego należy zwrócić uwagę na działanie sił wewnętrznych. Zaczynają się formować niemal natychmiast po przeniesieniu ruchu na ciało. Cechy oscylacji harmonicznych obejmują następujące punkty:
- Mogą powstawać także inne rodzaje sił o charakterze oddziaływającym, które spełniają wszystkie normy prawa, zwane quasi-sprężystymi.
- Głównymi przyczynami działania prawa mogą być siły wewnętrzne, które powstają natychmiast w momencie zmiany położenia ciała w przestrzeni. W tym przypadku ładunek ma określoną masę, siłę wytwarza się poprzez przymocowanie jednego końca do nieruchomego obiektu o wystarczającej wytrzymałości, drugiego do samego ładunku. W przypadku braku tarcia ciało może wykonywać ruchy oscylacyjne. W tym przypadku obciążenie stałe nazywa się liniowym.
Nie powinniśmy zapominać, że istnieje po prostu ogromna liczba różnych typów układów, w których zachodzi ruch oscylacyjny. Występuje w nich również odkształcenie sprężyste, co staje się przyczyną ich wykorzystania do wykonywania dowolnej pracy.