Promień okręgu wpisanego i opisanego. Trójkąt równoboczny

Definicja 2

Wielokąt spełniający warunek definicji 1 nazywa się opisanym na okręgu.

Rysunek 1. Okrąg wpisany

Twierdzenie 1 (o okręgu wpisanym w trójkąt)

Twierdzenie 1

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne przecinające się w punkcie $O$ i narysujmy z niego prostopadłe do boków trójkąta (ryc. 2)

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 1

Istnienie: Narysujmy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $OK.\ $Ponieważ punkt $O$ leży na trzech dwusiecznych, jest on jednakowo oddalony od boków trójkąta $ABC$. Oznacza to, że $OM=OK=OL$. W rezultacie skonstruowany okrąg przechodzi także przez punkty $M\ i\ L$. Ponieważ $OM, OK\ i\ OL$ są prostopadłe do boków trójkąta, to zgodnie z twierdzeniem o stycznej do okręgu skonstruowany okrąg dotyka wszystkich trzech boków trójkąta. Dlatego ze względu na dowolność trójkąta w dowolny trójkąt można wpisać okrąg.

Wyjątkowość: Załóżmy, że w trójkąt $ABC$ można wpisać inny okrąg o środku w punkcie $O"$. Jego środek jest w równej odległości od boków trójkąta, a zatem pokrywa się z punktem $O$ i ma promień równy długość $OK$ Ale wtedy ten okrąg będzie pokrywał się z pierwszym.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia jego dwusiecznych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu wpisanego:

Nie każdy czworokąt zmieści się w okręgu.

W dowolnym czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe.

Jeżeli sumy przeciwległych boków czworokąta wypukłego są równe, to można w niego wpisać okrąg.

Definicja 3

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, wówczas okrąg nazywa się opisanym na wielokącie (ryc. 3).

Definicja 4

Mówi się, że wielokąt spełniający definicję 2 jest wpisany w okrąg.

Rysunek 3. Okrąg opisany

Twierdzenie 2 (o okręgu opisanym na trójkącie)

Twierdzenie 2

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne prostopadłe, przecinające się w punkcie $O$ i połączmy je z wierzchołkami trójkąta (ryc. 4)

Rysunek 4. Ilustracja twierdzenia 2

Istnienie: Skonstruujmy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $OC$. Punkt $O$ jest w jednakowej odległości od wierzchołków trójkąta, czyli $OA=OB=OC$. W konsekwencji skonstruowany okrąg przechodzi przez wszystkie wierzchołki danego trójkąta, co oznacza, że jest opisany na tym trójkącie.

Wyjątkowość: Załóżmy, że wokół trójkąta $ABC$ można opisać inny okrąg, którego środek znajduje się w punkcie $O"$. Jego środek jest w równej odległości od wierzchołków trójkąta, a zatem pokrywa się z punktem $O$ i ma promień równy długości $OC $ Ale wtedy ten okrąg będzie pokrywał się z pierwszym.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywa się z punktem przecięcia jego dwusiecznych prostopadłych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu opisanego:

Nie zawsze da się opisać okrąg wokół czworoboku.

W dowolnym cyklicznym czworokącie suma przeciwnych kątów wynosi $(180)^0$.

Jeśli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi $(180)^0$, to można wokół niego narysować okrąg.

Przykład zadania dotyczącego pojęć okręgu wpisanego i opisanego

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm, a bok ma długość 5 cm. Znajdź promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Z wniosku 1 wiemy, że środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych. Narysujmy dwusieczne $AK$ i $BM$, które przecinają się w punkcie $O$. Narysujmy prostopadłą $OH$ od punktu $O$ do boku $BC$. Narysujmy obrazek:

Rysunek 5.

Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wówczas $BM$ jest zarówno medianą, jak i wysokością. Z twierdzenia Pitagorasa $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- wymagany promień okręgu wpisanego. Ponieważ $MC$ i $CH$ są odcinkami przecinających się stycznych, to z twierdzenia o przecinających się stycznych mamy $CH=MC=4\ cm$. Dlatego $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Z trójkąta $OHB$ zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa otrzymujemy:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Odpowiedź:$\frac(4)(3)$.

Definicja 2

Wielokąt spełniający warunek definicji 1 nazywa się opisanym na okręgu.

Rysunek 1. Okrąg wpisany

Twierdzenie 1 (o okręgu wpisanym w trójkąt)

Twierdzenie 1

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne przecinające się w punkcie $O$ i narysujmy z niego prostopadłe do boków trójkąta (ryc. 2)

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 1

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia jego dwusiecznych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu wpisanego:

Nie każdy czworokąt zmieści się w okręgu.

W dowolnym czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe.

Jeżeli sumy przeciwległych boków czworokąta wypukłego są równe, to można w niego wpisać okrąg.

Definicja 3

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, wówczas okrąg nazywa się opisanym na wielokącie (ryc. 3).

Definicja 4

Mówi się, że wielokąt spełniający definicję 2 jest wpisany w okrąg.

Rysunek 3. Okrąg opisany

Twierdzenie 2 (o okręgu opisanym na trójkącie)

Twierdzenie 2

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne prostopadłe, przecinające się w punkcie $O$ i połączmy je z wierzchołkami trójkąta (ryc. 4)

Rysunek 4. Ilustracja twierdzenia 2

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywa się z punktem przecięcia jego dwusiecznych prostopadłych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu opisanego:

Nie zawsze da się opisać okrąg wokół czworoboku.

W dowolnym cyklicznym czworokącie suma przeciwnych kątów wynosi $(180)^0$.

Jeśli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi $(180)^0$, to można wokół niego narysować okrąg.

Przykład zadania dotyczącego pojęć okręgu wpisanego i opisanego

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm, a bok ma długość 5 cm. Znajdź promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie.

Rysunek 5.

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Odpowiedź:$\frac(4)(3)$.

Wpisany trójkąt- trójkąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu. Mówi się wówczas, że okrąg jest opisany na trójkącie.
Oczywiście odległość od środka opisanego koła do każdego z wierzchołków trójkąta jest taka sama i równa promieniowi tego okręgu.
Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden.

Koło wpisany w trójkąt, jeśli dotyka wszystkich jego boków. Wtedy sam trójkąt będzie opisane wokół okręgu. Odległość środka okręgu wpisanego od każdego z boków trójkąta jest równa promieniowi tego okręgu.
W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden.

Spróbuj sam opisać okrąg wokół trójkąta i Wchodzić koło w trójkąt.
Jak myślisz, dlaczego środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta, a środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych do jego boków?

W Problemy z jednolitym egzaminem państwowym najczęstsze są wpisane i opisane trójkąty regularne.

Są też inne zadania. Aby je rozwiązać, będziesz potrzebować jeszcze dwa wzory na pole trójkąta, a także twierdzenie sinus.

Kwadrat trójkąt równy połowie iloczynu jego obwodu i promienia okręgu wpisanego.

S = p r,
gdzie p = ( a+b+c) - półobwodowy,
r jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt.

Istnieje inny wzór, używany głównie w zadaniach części C:

Gdzie a, b, c- boki trójkąta, R - promień opisanego okręgu.

To prawda dla każdego trójkąta twierdzenie sinus:

1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny wynosi 2. Znajdź przeciwprostokątną c tego trójkąta. Proszę wskazać w swojej odpowiedzi.

Trójkąt jest prostokątny i równoramienny. Oznacza to, że jego nogi są takie same. Niech każda noga będzie równa A. Wtedy przeciwprostokątna jest równa A .
Pole trójkąta ABC zapisujemy na dwa sposoby:

Porównując te wyrażenia, otrzymujemy, że . Ponieważ , rozumiemy to . Następnie .
Zapiszemy odpowiedź.

2. Bok AB trójkąta rozwartego ABC jest równy promieniowi okręgu opisanego na nim. Znajdź kąt C. Podaj odpowiedź w stopniach.

Zgodnie z prawem sinusów,

Otrzymujemy ten grzech C = . Kąt C jest rozwarty. Zatem jest to równe 150°.

Odpowiedź: 150.

3. Boki trójkąta równoramiennego wynoszą 40, a podstawa 48. Znajdź promień obwodu tego trójkąta.

Kąty trójkąta nie są podane. Cóż, wyrażmy jego pole na dwa różne sposoby.

S = ah, gdzie h jest wysokością trójkąta. Znalezienie nie jest trudne - wszak w trójkącie równoramiennym wysokość jest jednocześnie medianą, czyli dzieli bok AB na pół. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy h = 32. Następnie R = 25.

Badanie EGE » Materiały dydaktyczne» Geometria: od zera do C4 » Czworokąty wpisane i opisane

Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawy, na których opiera się teoria okręgów wpisanych i opisanych, przypomnimy sobie cechy czworokątów wpisanych i opisanych. Dodatkowo wyprowadzimy wzory na znalezienie promieni okręgu opisanego i wpisanego w różnych przypadkach.

Temat: Koło

Lekcja: Okręgi wpisane i opisane

Przede wszystkim mówimy o okręgach wpisanych i opisanych w odniesieniu do trójkąta. Jesteśmy przygotowani do tego tematu, ponieważ badaliśmy właściwości dwusiecznych i dwusiecznych prostopadłych trójkąta.

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg (patrz rys. 1).

Ryż. 1

Dowód:

Wiemy, że wszystkie dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie - niech to będzie punkt O. Narysujmy dwusieczne AO, BO, CO. Ich punkt przecięcia O jest w jednakowej odległości od boków trójkąta. Jest w równej odległości od boków kąta - AC i AB, ponieważ należy do dwusiecznej tego kąta. Podobnie jest w równej odległości od boków kątów, a tym samym od trzech boków trójkąta.

Spuśćmy prostopadłe z punktu O na boki trójkąta - OM na bok AC, OL na BC, OK na AB. Te prostopadłe będą odległościami punktu O od boków trójkąta i są równe:

Oznaczmy odległość punktu O od boków trójkąta jako r i rozważmy okrąg ze środkiem w punkcie O i promieniem r.

Okrąg dotyka prostej AB, ponieważ ma z nim wspólny punkt K, a promień OK poprowadzony do tego punktu jest prostopadły do prostej AB. Podobnie okrąg dotyka linii AC i BC. Zatem okrąg dotyka wszystkich boków trójkąta, czyli jest wpisany w trójkąt.

Zatem trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego.

Rozważmy inne twierdzenie, dotyczy ono punktu przecięcia dwusiecznych prostopadłych trójkąta. Wiemy, że przecinają się one w jednym punkcie i ten punkt pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Wokół dowolnego trójkąta można narysować okrąg.

Zatem dany jest trójkąt. Narysujmy dwusieczną p 1 na boku trójkąta BC, p 2 na boku AB, p 3 na boku AC (patrz ryc. 2).

Zgodnie z twierdzeniem o własnościach dwusiecznych prostopadłych, punkt należący do dwusiecznej prostopadłej odcinka jest w jednakowej odległości od końców odcinka. Stąd, ponieważ punkt Q należy do dwusiecznej prostopadłej odcinka AC. Podobnie. Zatem punkt Q jest w jednakowej odległości od wierzchołków trójkąta. Zatem QA, QB, QC są promieniami

Ryż. 2

okrąg opisany na trójkącie. Oznaczmy promień jako R. Punkt O przecięcia dwusiecznych prostopadłych jest środkiem opisanego okręgu.

Rozważmy okrąg wpisany w pewien czworobok i właściwości tego czworoboku (patrz ryc. 3).

Przypomnijmy sobie własności punktu leżącego na dwusiecznej kąta.

Dany jest kąt, jego dwusieczna to AL, punkt M leży na dwusiecznej.

Jeżeli punkt M leży na dwusiecznej kąta, to jest w jednakowej odległości od boków tego kąta, czyli odległości od punktu M do AC i do BC boków kąta są równe.

Ryż. 3

Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej. Z punktu M rysujemy prostopadłe MK na bok AB i MR na bok AC.

Rozważmy trójkąty i . Ten trójkąty prostokątne, i są równe, ponieważ mają wspólną przeciwprostokątną AM, a kąty są równe, ponieważ AL jest dwusieczną kąta. Zatem trójkąty prostokątne mają taką samą przeciwprostokątną i kąt ostry, wynika z tego , co należało udowodnić. Zatem punkt na dwusiecznej kąta jest w równej odległości od boków tego kąta.

Oprócz tego nogi. Zatem odcinki styczne poprowadzone do okręgu z jednego punktu są równe.

Wróćmy więc do czworokąta. Pierwszym krokiem jest narysowanie w nim dwusiecznych.

Wszystkie dwusieczne czworoboku przecinają się w jednym punkcie - punkcie O, środku okręgu wpisanego.

Z punktu O obniżamy prostopadłe do boków czworoboku do punktów K, L, M, N i wyznaczamy punkty styczności (patrz ryc. 3).

Styczne do okręgu poprowadzone z jednego punktu są sobie równe, zatem z każdego wierzchołka wychodzi para jednakowych stycznych: , , , .

Ryż. 3

Jeżeli w czworokąt można wpisać okrąg, to sumy jego przeciwległych boków są równe. Łatwo to udowodnić:

Rozwińmy nawiasy:

W ten sposób udowodniliśmy proste, ale ważne twierdzenie.

Jeżeli w czworokąt można wpisać okrąg, to sumy jego przeciwległych boków są równe.

Sprawiedliwy twierdzenie odwrotne.

Jeżeli w czworokącie sumy przeciwległych boków są równe, to można w niego wpisać okrąg.

Rozważmy okrąg opisany na czworokącie.

Dany okrąg o środku O i dowolnym czworoboku ABCD. Rozważmy właściwości tego czworoboku. Wszystkie cztery prostopadłe dwusieczne danego czworoboku przecinają się w jednym punkcie: ten punkt jest środkiem okręgu opisanego.

Udowodnienie, że wszystkie cztery prostopadłe dwusieczne przecinają się w jednym punkcie, byłoby nudne. Jest jeszcze jeden znak. Rozważmy kąt ےА, jest to kąt wpisany w okrąg, opiera się on na łuku i jest mierzony przez połowę stopnia tego łuku (patrz ryc. 4). Oznaczmy kąt ےА jako , a następnie łuk . Podobnie kąt przeciwny ےС oznaczamy jako , jest on wpisany w okrąg i opiera się na łuku . Stąd łuk.

Ryż. 4

Łuki tworzą pełny okrąg. Stąd:

Dzieląc wynikowe wyrażenie przez dwa, otrzymujemy:

Udowodniliśmy więc twierdzenie bezpośrednie.

Twierdzenie

Jeśli okrąg jest opisany na czworokącie, suma jego przeciwnych kątów wynosi .

Jest to znak konieczny i wystarczający, to znaczy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

Jeśli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi , wokół tego czworoboku można narysować okrąg.

Na podstawie tych twierdzeń zauważamy, że nie da się opisać koła wokół równoległoboku, ponieważ jego przeciwne kąty są równe, a ich suma nie jest równa (patrz ryc. 5).

Ryż. 5

Okrąg można by opisać wokół równoległoboku, gdyby jego przeciwległe kąty były równe 90°, czyli gdyby był prostokątem, zatem można by opisać okrąg wokół prostokąta (patrz rys. 6).

Ryż. 6

Nie da się też opisać okręgu wokół rombu, ale można go wpisać, gdyż wszystkie boki rombu są równe, a zatem sumy przeciwległych boków rombu są równe.

Ponadto w rombie każda przekątna jest dwusieczną; punkt przecięcia dwusiecznych jest w równej odległości od wszystkich boków rombu (patrz ryc. 7).

Ryż. 7

Udowodniliśmy więc, że w dowolny trójkąt można wpisać okrąg, a środek tego okręgu pokrywa się z punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta. Udowodniliśmy również, że wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg, a jego środek będzie pokrywał się z punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych. Ponadto widzieliśmy, że niektóre czworokąty można wpisać w okrąg, a aby to zrobić, konieczne jest, aby sumy przeciwległych boków czworoboku były równe. Pokazaliśmy także, że wokół niektórych czworokątów można opisać okrąg, a warunkiem koniecznym i wystarczającym jest równość sumy przeciwległych kątów.

Referencje

Aleksandrow A.D. i inne Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2006.
Butuzow V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, klasa 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Uztest.ru ().
Mschool.kubsu.ru ().
Ege-study.ru ().

Praca domowa

Ten artykuł zawiera minimalny zestaw wymaganych informacji o kręgach pomyślne zakończenie Jednolity egzamin państwowy z matematyki.

Obwód to zbiór punktów znajdujących się w tej samej odległości od danego punktu, który nazywa się środkiem okręgu.

Dla dowolnego punktu leżącego na okręgu spełniona jest równość (długość odcinka jest równa promieniowi okręgu).

Nazywa się odcinek łączący dwa punkty na okręgu akord.

Nazywa się cięciwa przechodząca przez środek okręgu średnica koło() .

Obwód:

Obszar okręgu:

Łuk koła:

Część okręgu zawarta pomiędzy dwoma punktami nazywa się łuk koła. Dwa punkty na okręgu wyznaczają dwa łuki. Akord opiera się na dwóch łukach: i . Równe cięciwy opierają się na równych łukach.

Nazywa się kąt między dwoma promieniami kąt środkowy :

Aby znaleźć długość łuku, tworzymy proporcję:

a) kąt podaje się w stopniach:

b) kąt podaje się w radianach:

Średnica prostopadła do cięciwy , dzieli ten akord i łuki, które wyznacza, na pół:

Jeśli akordy I okręgi przecinają się w jednym punkcie , to iloczyny odcinków cięciwy, na które są podzielone punktem, są sobie równe:

Styczna do okręgu.

Nazywa się linię prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem tangens do kręgu. Nazywa się prostą, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem sieczna

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Jeżeli z danego punktu do okręgu poprowadzono dwie styczne, to wówczas odcinki styczne są sobie równe a środek okręgu leży na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie:

Jeżeli z danego punktu poprowadzono styczną i sieczną do okręgu, to wówczas kwadrat długości odcinka stycznego równy produktowi cały odcinek sieczny do jego zewnętrznej części :

Konsekwencja: iloczyn całego odcinka jednej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi całego odcinka drugiej siecznej i jej części zewnętrznej:

Kąty w okręgu.

Stopień miary kąta środkowego jest równy stopniowi łuku, na którym on spoczywa:

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki zawierają cięciwy, nazywa się kąt wpisany . Kąt wpisany mierzy się przez połowę łuku, na którym opiera się:

∠∠

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty:

∠∠∠

Kąty wpisane oparte na jednym łuku są równe :

Kąty wpisane oparte na jednej cięciwie są równe lub ich suma jest równa

∠∠

Wierzchołki trójkątów o danej podstawie i równych kątach wierzchołkowych leżą na tym samym okręgu:

Kąt między dwoma akordami (kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu) jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków okręgu zawartych wewnątrz danego kąta i wewnątrz kąta pionowego.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kąt między dwiema siecznymi (kąt z wierzchołkiem poza okręgiem) jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków koła zawartych wewnątrz kąta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Wpisane koło.

Koło się nazywa wpisany w wielokąt , jeśli dotknie jego boków. Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta.

Nie każdy wielokąt zmieści się w okręgu.

Obszar wielokąta, w który wpisany jest okrąg można znaleźć za pomocą wzoru

tutaj jest półobwód wielokąta i jest promieniem okręgu wpisanego.

Stąd promień okręgu wpisanego równa się

Jeżeli w czworokąt wypukły wpisano okrąg, to sumy długości przeciwległych boków są równe . I odwrotnie: jeśli w czworokącie wypukłym sumy długości przeciwległych boków są równe, to w czworokąt można wpisać okrąg:

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Promień okręgu wpisanego równy . Tutaj

Opisany okrąg.

Koło się nazywa opisano o wielokącie , jeśli przechodzi przez wszystkie wierzchołki wielokąta. Środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków wielokąta. Promień oblicza się jako promień okręgu opisanego przez trójkąt określony przez dowolne trzy wierzchołki danego wielokąta:

Okrąg można opisać wokół czworoboku wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów jest równa .

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden. Jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków trójkąta:

Promień okrężny obliczone za pomocą wzorów:

Gdzie są długości boków trójkąta i jego pole.

Twierdzenie Ptolemeusza

W czworokącie cyklicznym iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów jego przeciwnych boków: