Wektor to skierowany odcinek linii prostej w przestrzeni euklidesowej, którego jeden koniec (punkt A) nazywany jest początkiem wektora, a drugi koniec (punkt B) końcem wektora (ryc. 1). Wektory są oznaczone:
Jeśli początek i koniec wektora pokrywają się, wówczas wektor jest wywoływany wektor zerowy i jest wyznaczony 0 .
Przykład. Niech początek wektora w przestrzeni dwuwymiarowej ma współrzędne A(12.6) , a końcem wektora są współrzędne B(12,6). Wtedy wektor jest wektorem zerowym.
Długość sekcji AB zwany moduł (długość, norma) wektor i jest oznaczony przez | A|. wektor długości, równy jeden, zwany wektor jednostkowy. Oprócz modułu wektor charakteryzuje się kierunkiem: wektor ma kierunek od A Do B. Wektor nazywa się wektorem, naprzeciwko wektor.
Nazywa się te dwa wektory współliniowy, jeśli leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych. Na zdjęciu Ryc. Trzy czerwone wektory są współliniowe, ponieważ leżą na tej samej linii prostej, a wektory niebieskie są współliniowe, ponieważ leżą na liniach równoległych. Nazywa się dwa wektory współliniowe jednakowo skierowane, jeżeli ich końce leżą po tej samej stronie prostej łączącej ich początki. Nazywa się dwa wektory współliniowe skierowane przeciwnie, jeżeli ich końce leżą po przeciwnych stronach prostej łączącej ich początki. Jeżeli dwa wektory współliniowe leżą na tej samej linii prostej, to nazywamy je identycznie skierowanymi, jeśli jeden z promieni utworzonych przez jeden wektor zawiera w całości promień utworzony przez drugi wektor. W przeciwnym razie mówimy, że wektory są skierowane przeciwnie. Na rysunku 3 niebieskie wektory są skierowane jednakowo, a czerwone wektory są skierowane przeciwnie.
Nazywa się te dwa wektory równy jeśli mają równe moduły i te same kierunki. Na rysunku 2 wektory są równe, ponieważ ich moduły są równe i mają ten sam kierunek.
Wektory nazywane są współpłaszczyznowy, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie lub w płaszczyznach równoległych.
W N W wymiarowej przestrzeni wektorowej rozważ zbiór wszystkich wektorów, których punkt początkowy pokrywa się z początkiem współrzędnych. Następnie wektor można zapisać w następującej postaci:
| (1) |
Gdzie x 1 , x 2 , ..., x n współrzędne punktu końcowego wektora X.
Nazywa się wektor zapisany w postaci (1). wektor wiersza, oraz wektor zapisany w postaci
| (2) |
zwany wektor kolumnowy.
Numer N zwany wymiar (w porządku) wektor. Jeśli 
wówczas wektor nazywany jest wektor zerowy(od punktu początkowego wektora 
). Dwa wektory X I y są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe.
Strona 1 z 2
Pytanie 1. Co to jest wektor? Jak wyznacza się wektory?
Odpowiedź. Segment skierowany będziemy nazywać wektorem (ryc. 211). Kierunek wektora wyznacza się poprzez wskazanie jego początku i końca. Na rysunku kierunek wektora jest oznaczony strzałką. Do oznaczenia wektorów będziemy używać małych liter łacińskich a, b, c, .... Możesz także oznaczyć wektor, wskazując jego początek i koniec. W tym przypadku początek wektora jest umieszczany na pierwszym miejscu. Zamiast słowa „wektor” czasami nad literowym oznaczeniem wektora umieszczana jest strzałka lub linia. Wektor na rysunku 211 można oznaczyć w następujący sposób:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) lub \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Pytanie 2. Jakie wektory nazywane są identycznie skierowanymi (przeciwnie skierowanymi)?
Odpowiedź. Mówi się, że wektory \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) są jednakowo skierowane, jeśli półproste AB i CD są równo skierowane.
Mówi się, że wektory \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) są skierowane przeciwnie, jeśli półproste AB i CD są skierowane przeciwnie.
Na rysunku 212 wektory \(\overline(a)\) i \(\overline(b)\) są jednakowo skierowane, a wektory \(\overline(a)\) i \(\overline(c)\ ) są skierowane przeciwnie.
Pytanie 3. Jaka jest wielkość bezwzględna wektora?
Odpowiedź. Wartość bezwzględna (lub moduł) wektora to długość odcinka reprezentującego wektor. Wartość bezwzględna wektora \(\overline(a)\) jest oznaczona przez |\(\overline(a)\)|.
Pytanie 4. Co to jest wektor zerowy?
Odpowiedź. Początek wektora może pokrywać się z jego końcem. Taki wektor nazwiemy wektorem zerowym. Wektor zerowy jest oznaczony zerem z myślnikiem (\(\overline(0)\)). Nie mówią o kierunku wektora zerowego. Wartość bezwzględną wektora zerowego uważa się za równą zeru.
Pytanie 5. Jakie wektory nazywane są równymi?
Odpowiedź. Mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli zostaną połączone przez translację równoległą. Oznacza to, że istnieje tłumaczenie równoległe, które przenosi początek i koniec jednego wektora odpowiednio na początek i koniec innego wektora.
Pytanie 6. Udowodnij to równe wektory identycznie skierowane i równe pod względem wartości bezwzględnej. I odwrotnie: wektory o identycznym kierunku, które mają jednakową wartość bezwzględną, są równe.
Odpowiedź. Podczas translacji równoległej wektor zachowuje swój kierunek i wartość bezwzględną. Oznacza to, że równe wektory mają te same kierunki i są równe pod względem wartości bezwzględnej.
Niech \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) będą wektorami o identycznym kierunku i równej wartości bezwzględnej (ryc. 213). Tłumaczenie równoległe, które przesuwa punkt C do punktu A, łączy półprostą CD z półprostą AB, ponieważ mają one ten sam kierunek. A ponieważ odcinki AB i CD są równe, to punkt D pokrywa się z punktem B, tj. tłumaczenie równoległe przekształca wektor \(\overline(CD)\) w wektor \(\overline(AB)\). Oznacza to, że wektory \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) są równe i właśnie to należało udowodnić.
Pytanie 7. Udowodnić, że z dowolnego punktu można wykreślić wektor równy danemu wektorowi i tylko jeden.
Odpowiedź. Niech CD będzie linią, a wektor \(\overline(CD)\) będzie częścią linii CD. Niech AB będzie linią prostą, w którą przechodzi prosta CD podczas przesyłania równoległego, \(\overline(AB)\) będzie wektorem, w który przechodzi wektor \(\overline(CD)\) podczas przesyłania równoległego, a zatem wektory \(\ overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) są równe, a linie AB i CD są równoległe (patrz ryc. 213). Jak wiemy, przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić na płaszczyźnie co najwyżej jedną prostą równoległą do danej (aksjomat prostych równoległych). Oznacza to, że przez punkt A można poprowadzić jedną prostą równoległą do prostej CD. Ponieważ wektor \(\overline(AB)\) jest częścią prostej AB, to przez punkt A można narysować jeden wektor \(\overline(AB)\), równy wektorowi \(\overline(CD)\ ).
Pytanie 8. Co to są współrzędne wektorowe? Jaka jest wartość bezwzględna wektora o współrzędnych a 1, a 2?
Odpowiedź. Niech wektor \(\overline(a)\) ma punkt początkowy A 1 (x 1 ; y 1) i punkt końcowy A 2 (x 2 ; y 2). Współrzędnymi wektora \(\overline(a)\) będą liczby a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Współrzędne wektora umieścimy obok literowego oznaczenia wektora, w tym przypadku \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) lub po prostu \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Współrzędne wektora zerowego są równe zero.
Ze wzoru wyrażającego odległość dwóch punktów poprzez ich współrzędne wynika, że wartość bezwzględna wektora o współrzędnych a 1, a 2 jest równa \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\).
Pytanie 9. Udowodnić, że wektory równe mają odpowiednio równe współrzędne, a wektory o odpowiednio równych współrzędnych są równe.
Odpowiedź. Niech A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) będą początkiem i końcem wektora \(\overline(a)\). Ponieważ równy mu wektor \(\overline(a)\) jest otrzymywany z wektora \(\overline(a)\) poprzez przeniesienie równoległe, jego początkiem i końcem będą A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). To pokazuje, że oba wektory \(\overline(a)\) i \(\overline(a")\) mają te same współrzędne: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Udowodnimy teraz stwierdzenie odwrotne. Niech odpowiednie współrzędne wektorów \(\overline(A 1 A 2 )\) i \(\overline(A" 1 A" 2 )\) będą równe. Udowodnimy, że wektory są równe.
Niech x" 1 i y" 1 będą współrzędnymi punktu A" 1, a x" 2, y" 2 będą współrzędnymi punktu A" 2. Zgodnie z warunkami twierdzenia x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Stąd x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Transfer równoległy podany wzorami
x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,
przenosi punkt A 1 do punktu A" 1 i punkt A 2 do punktu A" 2, tj. wektory \(\overline(A 1 A 2 )\) i \(\overline(A" 1 A" 2 )\) są równe, co należało udowodnić.
Pytanie 10. Zdefiniuj sumę wektorów.
Odpowiedź. Suma wektorów \(\overline(a)\) i \(\overline(b)\) o współrzędnych a 1 , a 2 i b 1 , b 2 to wektor \(\overline(c)\) o współrzędnych za 1 + b 1, za 2 + b za 2, tj.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
Studiując różne gałęzie fizyki, mechaniki i nauki techniczne istnieją ilości, które są całkowicie określone poprzez określenie ich wartości liczbowe. Takie ilości nazywane są skalarny lub, w skrócie, skalary.
Ilościami skalarnymi są długość, powierzchnia, objętość, masa, temperatura ciała itp. Oprócz wielkości skalarnych w różnych zagadnieniach występują wielkości, dla których oprócz wartości liczbowej konieczna jest także znajomość ich kierunku. Takie ilości nazywane są wektor. Fizycznymi przykładami wielkości wektorowych mogą być przemieszczenie punktu materialnego poruszającego się w przestrzeni, prędkość i przyspieszenie tego punktu, a także działająca na niego siła.
Wielkości wektorowe są reprezentowane za pomocą wektorów.
Definicja wektora. Wektor to skierowany odcinek linii prostej o określonej długości.
Wektor charakteryzuje się dwoma punktami. Jeden punkt jest punktem początkowym wektora, drugi punkt jest punktem końcowym wektora. Jeśli oznaczymy początek wektora kropką A , a końcem wektora jest punkt W , wówczas oznacza się sam wektor . Wektor można również oznaczyć jedną małą literą łacińską z kreską nad nią (na przykład ).
Graficznie wektor jest oznaczony segmentem ze strzałką na końcu.
Nazywa się początek wektora jego punkt zastosowania. Jeśli chodzi o A jest początkiem wektora , wtedy powiemy, że wektor jest zastosowany w punkcie A.
Wektor charakteryzuje się dwiema wielkościami: długością i kierunkiem.
Długość wektora – odległość między punktem początkowym A a punktem końcowym B. Inną nazwą długości wektora jest moduł wektora i jest oznaczony symbolem . Oznacza się moduł wektorowy Wektor , którego długość wynosi 1, nazywa się wektorem jednostkowym. Oznacza to, że warunek wektora jednostkowego
Wektor o zerowej długości nazywany jest wektorem zerowym (oznaczony przez ). Oczywiście wektor zerowy ma ten sam punkt początkowy i końcowy. Wektor zerowy nie ma określonego kierunku.
Definicja wektorów współliniowych. Wektory i znajdujące się na tej samej linii lub na liniach równoległych nazywane są współliniowymi .
Należy pamiętać, że wektory współliniowe mogą mieć różne długości i różne kierunki.
Wyznaczanie wektorów równych. Mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli są współliniowe, mają tę samą długość i ten sam kierunek.
W tym przypadku piszą:
Komentarz. Z definicji równości wektorów wynika, że wektor można przenieść równolegle umieszczając jego początek w dowolnym punkcie przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie).
Wszystkie wektory zerowe uważa się za równe.
Wyznaczanie przeciwnych wektorów. Dwa wektory nazywane są przeciwnymi, jeśli są współliniowe, mają tę samą długość, ale przeciwny kierunek.
W tym przypadku piszą:
Innymi słowy, wektor przeciwny do wektora jest oznaczony jako .