Как найти уравнение касательной плоскости. Как найти уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности в заданной точке? Нормаль и нормальное сечение

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида

Введем следующее определение.

Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является

касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все касательные прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L (рис. 206), проходящую через данную точку Р поверхности. Пусть рассматриваемая кривая задана параметрическими уравнениями

Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид

Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то это уравнение превратится в тождество относительно t, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по получим

Проекции этого вектора зависят от - координат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому

касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра t, соответствующем точке Р.

Вычислим скалярное произведение векторов N и которое равно сумме произведений одноименных проекций:

На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно,

Из последнего равенства следует, что вектор ЛГ и касательный вектор к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному и тому же вектору N и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору ЛГ. Теорема доказана.

Определение 2. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207).

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой.

Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид

Если уравнение поверхности задано в форме или уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид

Замечание. Если в формуле (6) положим , то эта формула примет вид

ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции . Следовательно, . Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке соответствующий приращениям независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции.

О пределение 3. Прямая, проведенная через точку поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (рис. 207).

Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпадает с направлением вектора N, то ее уравнения будут иметь вид

Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ , заданную уравнением z = f(x,y) , где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) – фиксированная точка на поверхности σ , т.е. z 0 = f(x 0 ,y 0). Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности . Решение оформляется в формате Word . Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис .

Правила ввода функций :

Правила ввода функций :

1. Все переменные выражаются через x,y,z

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М 0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М 0 .
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М 0 . Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М 0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), где z 0 = f(x 0 ,y 0), имеют вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (0;1).
Решение . Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 0 , y 0 = 1 , тогда z 0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
В точке М 0 (0,1) значения частных производных:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (1;0;1).
Решение . Находим частные производные функции . Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М 0 (1,0,1) значения частных производных:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z = y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0), принадлежащей ей, если x 0 = –1, y 0 = 2.
Найдем частные производные функции z = f (x , y ) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’(x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ’ (x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x .
Точка М 0 (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит поверхности σ , поэтому можно вычислить z 0 , подставив заданные x 0 = –1 и y 0 = 2 в уравнение поверхности:

z = y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
В точке М 0 (–1, 2, 1) значения частных производных:
f x ’(М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y ’(М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М 0: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х 0 , y 0) и В(х 1 ,y 1). Требуется: 1) вычислить значение z 1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z 1 функции в точке В исходя из значения z 0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 1, y 0 = 2, тогда z 0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
В точке М 0 (1,2) значения частных производных:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

1°

1°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f (x ; y ) дифференцируема в точке (x 0 ; у 0) некоторой области D Î R 2 . Рассечем поверхность S , изображающую функцию z, плоскостями х = х 0 и у = у 0 (рис. 11).

Плоскость х = x 0 пересекает поверхность S по некоторой линии z 0 (y ), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = =f (x ; y ) вместо х числа x 0 . Точка M 0 (x 0 ; y 0, f (x 0 ; y 0)) принадлежит кривой z 0 (y ). В силу дифференцируемой функции z в точке М 0 функция z 0 (y ) также является дифференцируемой в точке у =у 0 . Следовательно, в этой точке в плоскости х = х 0 к кривой z 0 (y ) может быть проведена касательная l 1 .

Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у 0 , построим касательную l 2 к кривой z 0 (x ) в точке х = x 0 - Прямые 1 1 и 1 2 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М 0 .

Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку Mo (x 0 ; y 0 ; z 0), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - хо) + В(у - уо) + C (z - zo ) = 0,

которое можно переписать так:

z -z 0 = A 1 (x – х 0) + B 1 (y – у 0) (1)

(разделив уравнение на -С и обозначив ).

Найдем A 1 и B 1 .

Уравнения касательных 1 1 и 1 2 имеют вид

соответственно.

Касательная l 1 лежит в плоскости a , следовательно, координаты всех точек l 1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B 1 , получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l 3 , легко установить, что .

Подставив значения А 1 и B 1 в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется еенормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М 0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в ее точке М(2; -1; 1).

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М

Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 - уравнение касательной плоскости и - уравнения нормали.

2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Если поверхность S задана уравнением F (x ; у; z ) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции.

Определение. Точка , лежащая на поверхности второго порядка, заданной относительно ОДСК общим уравнением (1) называется неособой, если среди трёх чисел: есть хотя бы одно, не равное нулю.

Таким образом, точка , лежащая на поверхности второго порядка, является не особой тогда и только тогда, когда она является её центром, иначе, когда поверхность коническая, а точка - вершина этой поверхности.

Определение. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая поверхность второго порядка в дву-кратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности.

Теорема 3. Касательные прямые к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Уравнение касательной плоскости имеет

Доказательство. Пусть , , параметрические уравнения прямой, проходящей через неособую точку по-верхности второго порядка, заданной уравнением (1). Подставляя в уравнение (1) , , вместо , , , получим:

Так как точка лежит на поверхности (1), то и из уравнения (3) находим (это значение соответствует точке ). Для того, чтобы точка пересечения прямой с поверхностью (1) была двойной, или чтобы прямая целиком лежала на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Если при этом:

То точка пересечения прямой линии с поверхностью (1) двойная. А если:

То прямая целиком лежит на поверхности (1).

Из соотношений (4) и , , следует, что координаты , , любой точки , лежащей на любой касательной к поверхности (1) удовлетворяют уравнению:

Обратно, если координаты какой-нибудь точки , отличной от , удовлетворяют этому уравнению, то координаты , , вектора , удовлетворяют соотношению (4), а это значит, что прямая - касательная к рассматриваемой поверхности.

Так как точка - неособая точка поверхности (1), то среди чисел , , есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит уравнение (5) есть уравнение первой степени относительно . Это и есть уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в данной на ней не особой точке .

Исходя из канонических уравнений поверхностей второго порядка легко составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду, гиперболоиду и т.д. в данной на них точке .

1). Касательная плоскость к эллипсоиду:

2). Касательная плоскость к одно и двуполостному гиперболоидам:

3). Касательная плоскость к эллиптическому и гиперболическому параболоидам:

§ 161.Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка.

Примем неособую точку поверхности второго порядка за начало координат ОДСК, оси и расположим в плоскости касательной к поверхности в точке . Тогда в общем уравнении поверхности (1) свободный член равен нулю: , а уравнение плос-кости, касающейся поверхности в начале координат, должно иметь вид: .

Но уравнение плоскости, проходящей через начало координат имеет вид: .

И, так как это уравнение должно быть эквивалентно уравнению , то , , .

Итак, в выбранной системе координат уравнение поверхности (1) должно иметь вид:

Обратно, если , то уравнение (6) является уравнением поверхности, проходящей через начало координат , а плоскость - касательная плоскость к этой поверхности в точке . Уравнение линии, по которой касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность (6) имеет вид:

Если . Это инвариант в теории инвариантов для линий второго порядка. Уравнение (7)

Это же линия второго порядка. По виду этой линии инвариант , поэтому:

При здесь две мнимые пересекающиеся прямые.

При - две действительные пересекающиеся прямые.

Если , но хотя бы один из коэффициентов , , не равен нулю, то линия пересечения (7) - две совпадающие прямые.

Наконец, если , то плоскость

входит в состав данной поверхности, а сама поверхность распадается, следовательно, на пару плоскостей

§ 162.Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка.

1. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум мни-мым пересекающимся прямым. В этом случае точка называется эллиптической точкой поверхности.

2. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум действительным прямым, пересекающимся в точке касания. В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

3. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум совпадающим прямым. В этом случае точка называется параболической точкой поверхности.

Теорема 4. Пусть поверхность второго порядка относительно ОДСК задана уравнением (1) и данное уравнение (1) является уравнением действительной нераспадающейся поверхностью второго порядка. Тогда, если ; то все точки поверхности эллиптические.

Доказательство. Введём новую систему координат , выбирая за начало координат любую неособую точку данной поверхности и располагая оси и в плоскости, касательной к поверхности в точке . Уравнение (1) в новой системе координат преобразуется к виду:

Где . Вычислим инвариант для этого уравнения .

Так как при переходе от одной ОДСК к другой ОДСК знак не меняется, то знаки и противоположны, поэтому, если , то ; и, как следует из классификации (см. § 161) касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность по двум мнимым пересекающимся прямым, т.е. - эллиптическая точка.

2) Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид состоят из гиперболических точек.

3) Действительный конус второго порядка (вершина исключается), эллиптический (действительный), гиперболический и параболический цилиндры состоят из параболических точек.

Параболический цилиндр .

Чтобы определить расположение параболического цилиндра, достаточно знать:

1) плоскость симметрии, параллельную образующим цилиндра;

2) касательную плоскость к цилиндру, перпендикулярную к этой плоскости симметрии;

3) вектор, перпендикулярный к этой касательной плоскости и направленный в сторону вогнутости цилиндра.

В случае, если общее уравнение определяет параболический цилиндр, оно может быть переписано в виде:

Подберем m так, чтобы плоскости

были бы взаимно перпендикулярными:

При этом значении m плоскость

будет плоскостью симметрии, параллельной образующим цилиндра.

Плоскость

будет касательной плоскостью к цилиндру, перпендикулярной к указанной плоскости симметрии, а вектор

будет перпендикулярен к найденной касательной плоскости и направлен в сторону вогнутости цилиндра.