Мир математики очень велик, но я всегда интересовалась способами умножения. Работая над этой темой, я узнала много интересного, научилась подбирать нужный мне материал из прочитанного. Усвоила, как решаются отдельные занимательные задачи, головоломки и примеры умножения разными способами, а так же и то, на чем основаны арифметические фокусы и интенсивные приемы вычислений.
ПРО УМНОЖЕНИЕ
Что остается у большинства людей в голове из того, что они когда-то изучали в школе? Конечно, у разных людей - разное, но у всех, наверняка, таблица умножения. Помимо усилий, приложенных для ее «задалбливания» вспомним сотни (если не тысячи) задач, решенных нами с ее помощью. Триста лет назад в Англии человек, знающий таблицу умножения, уже считался ученым человеком.
Способов умножения было придумано много. Итальянский математик конца XV - начала XVI века Лука Пачиоли в трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения. В первом, который носит название «маленький замок», цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются. Преимущество этого метода перед обычным состоит в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах.
Второй способ носит не менее романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решетка, в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решетка является прямоугольником, разделенным на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями. Слева (сверху вниз) писался первый множитель, а наверху - второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведенных диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника. «Такая решетка, - пишет Лука Пачиоли, - напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь».
Все способы умножения, описанные в книге Луки Пачиоли, использовали таблицу умножения. Однако русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2. Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом, а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Если при делении получался остаток, то его отбрасывали. Затем вычеркивались те строчки в левой колонке, в которых стоят четные числа. Оставшиеся числа в правой колонке складывались. В результате получалось произведение первоначальных чисел. Проверьте на нескольких парах чисел, что это действительно так. Доказательство справедливости этого метода показывается с помощью двоичной системы счисления.
Старинный русский способ умножения.
С глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия - сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоение» и «раздвоение». Сущность русского старинного способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное, раздвоение) при одновременном удвоении другого числа. Если в произведении, например 24 X 5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза
(«удвоить»), то произведение не изменится: 24 х 5 = 12 X 10 =120. Пример:
Деление множимого пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и- даёт искомый результат. Значит, 32 X 17 = 1 X 544 = 544.
В те давние времена удвоение и раздвоение принимались даже за особые арифметические действия. Только какие же это особые. действия? Ведь, например, удвоение числа - это не особое действие, а всего лишь сложение данного числа с самим собой.
Заметим числа делятся па 2 всё время без остатка. А как же быть, если множимое делится на 2 с остатком? Пример:
Если множимое не делится на 2, то от него сначала отнимается единица, а затем уже производится деление на 2. Строчки с чётными множимыми вычёркиваются, а правые части строчек с нечётными множимыми складываются.
21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.
Число 17 запомним (первая строка не вычёркивается!), а произведение 20 X 17 заменим равным ему произведением 10 X 34. Но произведение 10 X 34, в свою очередь, можно заменить равным ему произведением 5 X 68; поэтому вторая строка вычёркивается:
5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.
Число 68 запомним (третья строка не вычёркивается!), а произведение 4 X 68 заменим равным ему произведением 2 X 136. Но произведение 2 X 136 можно заменить равным ему произведением 1 X 272; поэтому четвёртая строка вычёркивается. Значит, чтобы вычислить произведение 21 X 17, нужно сложить числа 17, 68, 272 - правые части строчек именно с нечётными множимыми. Произведения же с чётными множимыми всегда можно заменить с помощью раздвоения множимого и удвоения множителя равными им произведениями; поэтому такие строчки исключаются из вычисления окончательного произведения.
Я попробовала сама умножать старинным способом. Я взяла числа 39 и 247, у меня получился такой
Столбиков получатся ещё более длинные, чем у меня если брать множимое больше, чем 39. Тогда я решил, тот же пример по-современному:
Оказывается, наш школьный способ умножения чисел значительно проще и экономнее, чем старинный русский способ!
Только мы должны знать прежде всего таблицу умножения, а наши предки её не знали. Кроме того, мы должны хорошо знать и само правило умножения, они же знали только, как удваивать да раздваивать числа. Как видите, вы умеете умножать значительно лучше и быстрее, чем самый знаменитый вычислитель в древней Руси. Между прочим, несколько тысяч лет тому назад египтяне выполняли умножение почти точно так же, как и русские люди в старину.
Вот здорово, что люди из разных стран, умножали одним и тем же способом.
Не так давно, всего около ста лет тому назад, заучить таблицу умножения было делом очень трудным для учащихся. Чтобы убедить учеников в необходимости знания наизусть таблицы, авторы математических книг издавна прибегали. к стихам.
Вот несколько строк из незнакомой нам книги: «Но ко умножению потребно есть последующую таблицу, толь твердо в памяти имети, тако да кое-ждо число, с коимждо умножив, безо всякого медления речию сказати, или написати, такоже 2-жды 2 есть 4, или 2-жды 3 есть 6, и 3-жды 3 есть 9 и прочая».
Аще кто не твердитъ И во всей науки таблицы и гордитъ, несвободъ от муки,
Не можетъ познати Колико не учитъ числомъ что множати туне ся удручитъ
Правда, в этом отрывке и стихах не всё понятно: написано как-то не совсем по-русски, ведь всё это написано более 250лет тому назад, в 1703 году, Леонтием Филипповичем Магницким, замечательным русским педагогом, а с тех пор русский язык заметно изменился.
Л. Ф. Магницкий написал и издал первый в России печатный учебник арифметики; до него же были лишь рукописные математические книги. По «Арифметике» Л. Ф. Магницкого учился великий русский учёный М. В. Ломоносов, а также многие другие видные русские учёные восемнадцатого века.
А как умножали в те времена, во времена Ломоносова?. Посмотрим пример.
Как мы поняли, действие умножения тогда записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение - «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения.
А как тогда объясняли умножение?
Известно, что М. В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Магницкого. В соответствии с этим учебником маленький Миша Ломоносов умножение 48 на 8 объяснил бы так: «8-жды 8 есть 64, я 4 пишу под чертою, против 8, а 6 десятиц во уме имею. И дальше 8-жды 4 есть 32, и я 3 во уме держу, а к 2 приложу 6 десятиц, и будет 8. И сие 8 напишу подле 4, в ряд к левой руке, а 3 пока во уме суть, напишу в ряд подле 8, к левой же руке. И будет из умножения 48 с 8 произведение 384».
Да и мы почти так же объясняем,только мы говорим по-современному, а не по-старинному и, кроме того, называем разряды. Например, 3 надо писать на третьем месте потому, что это будут сотни, а не просто «в ряд подле 8, к левой же руке».
Рассказ «Маша - «фокусница»».
Я могу угадывать не только день рождения, как это делал прошлый раз Павлик, но и год рождения, - начала Маша.
Номер месяца, в котором вы родились, умножьте на 100. , затем прибавьте день рождения. , результат умножьте на 2. , к полученному числу прибавьте 2; результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите нуль. , к полученному числу прибавьте ещё 1. и, наконец, прибавьте число ваших лет.
Готово, у меня получилось 20721. - говорю я.
* Правильно, - подтвердил я.
А у меня получилось 81321, - сообщает Витя, ученик третьего класса.
Ты, Маша наверное ошиблась, - усомнился Петя. - Как же так получается: Витя из третьего класса, а родился тоже в 1949 году, как и Саша.
Нет, Маша верно угадала, - подтверждает Витя. Только я один год долго болел и поэтому дважды ходил во второй класс.
* А у меня получилось 111521, - сообщает Павлик.
Как же так, - спрашивает Вася, - Павлику тоже 10 лет, как и Саше, а родился он в 1948 году. Почему же не в 1949 году?
А потому, что сейчас идёт сентябрь, а Павлик родился в ноябре, и ему ещё только 10 лет, хотя он и родился в 1948 году, - объяснила Маша.
Она угадала дату рождения ещё трёх-четырёх учеников, а затем объяснила, как она это делает. Оказывается, от последнего числа она отнимает 111, а потом остаток ивает на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две пли одна - номер месяца, а последние две цифры число лет. Зная же, сколько человеку лет, нетрудно определить и год рождения. Например, у меня получилось число 20721. Если от него отнять 111, то получится 20610. Значит, сейчас мне 10 лет, а родился я 6 февраля. Так как сейчас идёт сентябрь 1959 года, то, значит, я родился в 1949 году.
А почему надо отнимать именно 111, а не какое-нибудь другое число? - спросили мы. -И почему именно так распределяются день рождения, номер месяца и число лет?
А вот смотрите, - пояснила Маша. - Например, Павлик, выполняя мои требования, решил такие примеры:
1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =
2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510
8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.
Как видно, номер месяца (11) он умножал на 100, затем на 2, потом ещё на 5 и, наконец, ещё на 10 (приписывал куль), а всего на 100 X 2 X 5 X 10, то есть на 10000. Значит, 11 стали десятками тысяч, то есть составляют третью грань, если считать справа налево по две цифры. Так узнают номер месяца, в котором вы родились. День рождения (14) он умножал на 2, затем на 5 и, наконец, ещё на 10, а всего на 2 X 5 X 10, то есть на 100. Значит, день рождения надо искать среди сотен, во второй грани, но тут имеются посторонние сотни. Смотрите: он прибавлял число 2, которое умножал на 5 и на 10. Значит, у него получилось лишнего 2x5x10=100 - 1 сотня. Эту 1 сотню я и отнимаю от 15 сотен в числе 111521, получается 14 сотен. Так я узнаю день рождения. Число лет (10) ни на что не умножалось. Значит, это число нужно искать среди единиц, в первой грани, но тут имеются посторонние единицы. Смотрите: он прибавлял число 1, которое умножал на 10, а затем прибавлял ещё 1. Значит, у него получилось всего лишних 1 х ТО + 1 = 11 единиц. Эти 11 единиц я и отнимаю от 21 единицы в числе 111521, получается 10. Так я узнаю число л е т. А всего, как видите, от числа 111521 я отнимала 100+ 11 = 111. Когда я от числа 111521 отняла 111, то получилось ПНЮ. Значит,
Павлик родился 14 ноября, и ему 10 лет. Сейчас идёт 1959-й год, но я 10 отнимала не от 1959, а от 1958, так как 10 лет Павлику исполнилось в прошлом году, в ноябре.
Конечно, такое объяснение сразу не запомнишь, но я постарался понять его на своём примере:
1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;
4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2"ОбТО; 1959 - 10 = 1949;
Головоломка.
Первая задача: В полдень из Сталинграда в Куйбышев выходит пассажирский пароход. Часом позже из Куйбышева в Сталинград выходит товаро-пассажирский пароход, который движется медленнее первого парохода. Когда пароходы встретятся, то какой из них будет дальше от Сталинграда?
Это не обычная арифметическая задача, а шутка! Пароходы будут на одинаковом расстоянии от Сталинграда, а также и от Куйбышева.
А вот вторая задача, В прошлое воскресенье наш отряд и отряд пятого класса сажали деревья вдоль Большой Пионерской улицы. Отряды должны были посадить поровну деревьев, по равному количеству на каждой стороне улицы. Как вы помните, наш отряд пришёл на работу пораньше, и до прихода пятиклассников мы успели посадить 8 деревьев, но, как оказалось, не на своей стороне улицы: мы погорячились и начали работу не там, где было нужно. Потом мы работали уже на своей стороне улицы. Пятиклассники закончили работу раньше. Однако они не остались в долгу перед нами: перешли на нашу сторону и посадили сначала 8 деревьев («отдали долг»), а затем ещё 5 деревьев, и работа нами была закончена.
Спрашивается, на сколько деревьев больше посадили пятиклассники, чем мы?
: Конечно, пятиклассники посадили только на 5 деревьев больше, чем мы: когда они посадили на нашей стороне 8 деревьев, то тем самым отдали долг; а когда они посадили ещё 5 деревьев, то как бы дали нам взаймы 5 деревьев. Вот и выходит, что они посадили только на 5 деревьев больше, чем мы.
Нет рассуждение неправильное. Верно, что пятиклассники сделали нам одолжение, посадив за нас 5 деревьев. Но дальше, чтобы получить верный ответ, надо рассуждать так: мы недовыполнили своё задание на 5 деревьев, пятиклассники же перевыполнили своё на 5 деревьев. Вот и выходит, что разница между числом деревьев, посаженных пятиклассниками, и числом деревьев, посаженных нами, составляет не 5, а 10 деревьев!
А вот последняя задача-головоломка, Играя в мяч, 16 учеников разместились по сторонам квадратной площадки так, что на каждой стороне было по 4 человека. Затем 2 ученика ушли Остальные переместились так, что на каждой стороне квадрата снова оказалось по 4 человека. Наконец, ушли ещё 2 ученика, но остальные разместились так, что на каждой стороне квадрата по-прежнему было по 4 человека. Как это могло получиться?Решите.
Два приёма быстрого умножении
Однажды учитель предложил своим ученикам такой пример: 84 X 84. Один мальчик быстро ответил: 7056. «Как ты считал?» - спросил ученика учитель. - «Я взял 50 X 144 и выкинул 144», - ответил тот. Ну-ка, объясним как считал ученик.
84 х 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, а 144 полусотни - это 72 сотни, значит, 84 X 84 = 7200 - 144 =
А теперь сосчитаем тем же способом, сколько будет 56 X 56.
56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, то есть 64 полусотни, или же 32 сотни (3200), без 64 т. е. чтобы умножить число на 49, нужно данное число умножить на 50 (полсотни), и из полученного произведения вычесть данное число.
А вот примеры на другой способ вычисления, 92 X 96, 94 X 98.
Ответы: 8832 и 9212. Пример, 93 X 95. Ответ: 8835. Наши вычисления дали это же число.
Так быстро можно считать только тогда, когда числа близки к 100. Находим дополнения до 100 к данным числам: для 93 будет 7, а для 95 будет 5, от первого данного числа отнимаем дополнение второго: 93 - 5 = 88 - столько будет в произведении сотен,перемножаем дополнения: 7 X 5 = 3 5 - столько будет в произведении единиц. Значит, 93 X 95 = 8835. А почему именно так надо делать, объяснить не трудно.
Например, 93 - это 100 без 7, а 95 - это 100 без 5. 95 X 93 = (100 - 5) х 93 = 93 X 100 - 93 х 5.
Чтобы отнять 5 раз по 93, можно 5 раз отнять по 100, но зато прибавить 5 раз по 7. Тогда получается:
95 х 93 = 93 х 100 - 5 х 100 + 5 х 7 = 93 сот. - 5 сот. + 5 X 7 = (93 - 5) сот. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.
97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) х 100 + 9 х 5 = 8600 + 45 = 8645.
Умножение в. домино.
При помощи костей домино легко изобразить некоторые случаи умножения многозначных чисел на однозначное число. Например:
402 Х 3 и 2663 Х 4
Победителем будет признан тот, кто за определенное время сумеет использовать наибольшее число костей домино, составляя примеры на умножение трёх-, четырёхзначных чисел на однозначное число.
Примеры на умножение четырёхзначных чисел на однозначное.
2234 Х 6 ; 2425 Х 6 ; 2336 Х 1; 526 Х 6.
Как видно, использовано лишь 20 костей домино. Составлены примеры на умножение не только четырёхзначных чисел на однозначное число, но и трёх-, и пяти-, и шестизначных чисел на однозначное число. Использовано 25 костей и составлены такие примеры:
Однако все 28 костей всё-таки можно использовать.
Рассказы о том, хорошо ли знал арифметику старик Хоттабыч.
Рассказ « Я получаю по арифметике «5»».
Как только на следующий день я зашёл к Мише, он сразу же спросил: «Что нового, интересного было на занятии кружка?» Я показал Мише и его друзьям, как умно жали в старину русские люди. Затем я предложил им в уме сосчитать, сколько будет 97 X 95, 42 X 42 и 98 X 93. Они, конечно, без карандаша и бумаги не смогли этого сделать и очень удивились, когда я почти мгновенно дал на эти примеры правильные ответы. Наконец, мы все вместе решили данную на дом задачу. Оказывается, очень важно, как расположены точки на листе бумаги. В зависимости от этого можно через четыре точки провести и одну, и четыре, и шесть прямых линий, но не больше.
Затем я предложил ребятам составить примеры на умножение из костей домино так, как это делалось на кружке. Нам удалось использовать по 20, по 24 и даже по 27 костей, но из в с е х 28 мы так и не смогли составить примеры, хотя просидели за-этим занятием долго.
Миша вспомнил, что сегодня в кинотеатре демонстрируется кинофильм «Старик Хоттабыч». Мы побыстрее закончили заниматься арифметикой и побежали в кино.
Вот это картина! Хоть и сказка, а всё равно интересно: рассказывается о нас, мальчишках, о школьной жизни, а также о чудаковатом мудреце - джине Хоттабыче. А здорово напутал Хоттабыч, подсказывая Вольке по географии! Как видно, в давно прошедшие времена даже мудрецы индийские - джины - очень-очень плохо знали географию, i Интересно, а как стал «бы подсказывать старик Хоттабыч, если бы Волька сдавал экзамен по арифметике? Вероятно, Хоттабыч и арифметику-то как следует не знал.
Индийский способ умножения.
Пусть нужно умнвжить 468 на 7. Слева пишем множимое, справа множитель:
У индийцев не было знака умножения.
Теперь я 4 умножаем на 7, получится 28. Это число записываем надцифрой 4.
Теперь 8 умножаем на 7, получится 56. 5 прибавлем к 28, получится 33; 28 сотрем, а 33 запишем, 6 запишем над цифрой 8:
Получалось весьма интересно.
Теперь 6 умножаем на 7, получится 42, 4 прибавлем к 36, получится 40; 36 сотрем, а 40 запишем; 2 же запишем над цифрой 6. Итак, 486 умножить на 7, получится 3402:
Верно решено, но только не чень-то быстро и удобно!Так именно умножали знаменитейшие в то время вычислители.
Как видите, старик Хоттабыч арифметику знал совсем не плохо. Однако запись действий он производил не так, как это делаем мы.
Давно-давно, более тысячи трёхсот лет тому назад, индийцы были лучшими вычислителями. Однако они не имели ещё бумаги, и все вычисления производили на небольшой чёрной доске, делая на ней записи тростниковым пером и применяя очень жидкую белую краску, которая оставляла знаки, легко стиравшиеся.
Когда мы пишем мелом на доске, то это немного напоминает индийский способ записи: на чёрном фоне появляются белые знаки, которые легко стирать и исправлять.
Индийцы производили вычисления также и на белой дощечке, посыпанной красным порошком, на которой они писали знаки маленькой палочкой, так что появлялись белые знаки на красном поле. Примерно такая же картина получается, когда мы пишем мелом на красной или коричневой доске - линолеуме.
Знака умножения в то время ещё не существовало, и между множимым и множителем оставлялся лишь Некоторый промежуток. Индийским способом можно было бы умножать, начиная и с единиц. Однако сами индийцы умножение выполняли начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры.
Пример умножения индийским способом.
Арабский способ умножения.
Ну, а как же, в самом дате, выполнять умножение индийским способом, если записывать на бумаге?.
Этот приём умножения для записи на бумаге приспособили арабы,Знаменитый учёный древности узбек Мухаммед ибн Муса Альхвариз-ми (Мухаммед сын Мусы из Хорезма- города, который был расположен на территории современной Узбекской ССР) более тысячи лет тому назад выполнял умножение на пергаменте так:
Как видно, он не стирал ненужные цифры (на бумаге это делать уже неудобно), а вычёркивал их; новые же цифры он записывал над зачёркнутыми, разумеется, поразрядно.
Пример умножения таким же способом, делая записи в тетради.
Значит, 7264 X 8 = 58112. А как же умножать на двузначное число, на многозначное?.
Приём умножения остается тот же, однако запись при этом значительно усложняется. Например, нужно умножить 746 на 64. Сначала умножали на 3 десятка, получалось
Значит, 746 X 34 = 25364.
Как видите, вычёркивание ненужных цифр и замена их новыми цифрами при умножении даже на двузначное число приводит к слишком громоздкой записи. А что будет, если умножать на трёх-, четырёхзначное число?!
Да, арабский способ умножения не очень удобно.
Этот способ умножения держался в Европе вплоть до восемнадцатого века, целых тысячу лет. Он назывался способам крестика, или хиазмом, так как между перемножаемыми числами ставилась греческая буква X (хи), постепенно заменённая косым крестом. Вот теперь мы хорошо видим, что наш современный способ умножения является самым простым и удобным, наверное наилучшим из всех возможных способов умножения.
Да, сам наш школьный способ умножения многозначных чисел является очень хорошим. Однако запись умножения можно делать и по-другому. Пожалуй, лучше всего было бы это делать, например, так:
Такой способ и в самом деле хорош: умножение начинается со старшего разряда множителя, низший разряд неполных произведений записывается под соответствующим разрядом множителя, чем устраняется возможность ошибки в том случае, когда в каком-либо разряде множителя встречается нуль. Примерно так записывают умножение многозначных чисел чехословацкие школьники. Вот интересно. А мы-то думали, что арифметические действия можно записывать только так, как это принято у нас.
Ещё несколько головоломок.
Вот вам первая, простенькая задача: Турист может пройти за час 5 км. Сколько километров он пройдёт за 100 часов?
Ответ:500 километров.
А это ещё большой вопрос! Надо знать более точно, как турист шёл эти 100 часов: без отдыха или с передышками. Иначе говоря, надо знать: 100 часов - это время движения туриста или же просто время его пребывания в пути. Быть в движении подряд 100 часов человек, наверное, не в состоянии: это же больше четырёх суток; да и скорость движения при этом всё время уменьшалась бы. Другое дело, если турист шёл с передышками на обед, на сон и т. д. Тогда он за 100 часов движения может пройти и все 500 км; только в пути он должен быть уже не четверо суток, а примерно суток двенадцать (если будет проходить за день в среднем 40 км). Если же он в пути был 100 часов, то мог пройти примерно лишь 160- 180 км.
Разные ответы. Значит в условие задачи надо кое-что добавить, иначе ответ дать невозможно.
Решим теперь такую задачу:10 цыплят в 10 дней съедают 1 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 100 цыплят в 100 дней?
Решение:10 цыплят в 10 дней съедают 1 кг зерна, значит, 1 цыплёнок за те же 10 дней съедаете 10 раз меньше, то есть 1000 г: 10 = 100 г.
В один день цыплёнок съедает ещё в 10 раз меньше, то есть 100 г: 10 = 10 г. Теперь мы знаем, что 1 цыплёнок в 1 день съедает 10 г зерна. Значит, 100 цыплят в день съедают в 100 раз больше, то есть
10 г X 100 = 1000 г = 1 кг. В 100 же дней они съедят ещё в 100 раз больше, то есть 1 кг X 100 = 100 кг = 1 ц. Значит, 100 цыплят в 100 дней съедают целый центнер зерна.
Есть решение более быстрое: цыплят больше в 10 раз и кормить надо дольше в 10 раз, значит, всего зерна надо больше в 100 раз, то есть 100 кг. Однако во всех этих рассуждениях есть одно упущение. Подумаем и найдем ошибку в рассуждениях.
: -Обратим внимание на последнее рассуждение: «100 цыплят в один день съедают 1 кг зерна, а за 100 дней они съедят в 100 раз больше. »
Ведь за 100 дней (это же более трёх месяцев!) цыплята заметно подрастут и в день будут съедать уже не по 10 г зерна, а граммов по 40 - 50, так как обыкновенная курица в день съедает примерно 100 г зерна. Значит, за 100 дней 100 цыплят съедят не 1 ц зерна, а значительно больше: центнера два-три.
А вот вам последняя задача-головоломка о завязывании узла: « На столе лежит кусок верёвки, вытянутый по прямой. Надо взять его одной рукой за один, другой рукой за другой конец и, не выпуская концов верёвки из рук, завязать узел. » Известное дело, одни задачи легко разбирать, идя от данных к вопросу задачи, а другие, наоборот, идя от вопроса задачи к данным.
Ну, вот мы и попытались разобрать эту задачу, идя от вопроса к данным. Пусть узел на верёвке уже имеется, а концы её находятся в руках и не выпускаются. Попытаемся от решённой задачи вернуться к её данным, к исходному положению: верёвка лежит, вытянутая на столе, и концы её не выпускаются из рук.
Оказывается, что если выправить верёвку, не выпуская концов её из рук, то левая рука, идя под вытянутой верёвкой и над правой рукой, держит правый конец верёвки; а правая рука, идя над верёвкой и под левой рукой, держит левый конец верёвки
Думаю после такого разбора задачи всем стало ясно, как завязать узел на верёвке, надо проделать всё в обратном порядке.
Ещё два приёма быстрого умножения.
Я покажу вам, как быстро умножать такие числа, как например 24 и 26, 63 и 67, 84 и 86 ит. п. , то есть когда в сомножителях десятк"ов поровну, а единицы составляют вместе ровно 10. Задавайте примеры.
* 34 и 36, 53 и 57, 72 и 78,
* Получится 1224, 3021, 5616.
Например, надо 53 умножить на 57. Я 5 умножаю на 6 (на 1 больше, чем 5), получается 30 - столько сотен в произведении; 3 умножаю на 7, получается 21 - столько единиц в произведении. Значит, 53 X 57 = 3021.
* А как это объяснить?
(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 сот. + 5 сот. +3 X 7 = 30 сот. + 3 X 7 = 5 X 6 сот. + 21.
Посмотрим, как можно быстро перемножать двузначные числа в пределах 20. Например, чтобы умножить 14 на 17, надо сложить единицы 4 и 7, получится 11 -столько будет десятков в произведении (то есть 10 единиц). Затем надо 4 умножить на 7, получится 28 - столько будет единиц в произведении. Кроме того, к полученным числам 110 и 28 надо прибавить ещё ровно 100. Значит, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. В самом деле:
14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.
После этого мы решили ещё такие примеры: 13 х 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.
Умножение на счётах
Вот несколько приемов, пользуясь которыми всякий умеющий быстро складывать на счётах сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры у м н о ж е н и я.
Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.
При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собой.
Умножение числа на 5 выполняется на счётах так: переносят все число одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счётов.
Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.
Вместо умножения на 7, умножают на 10 и отнимают умножаемое три раза.
Умножение на 8 заменяют умножением на 10 минус два умножаемых.
Точно так же умножают на 9: заменяют умножением на 10 минус одно умножаемое.
При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все числа одной проволокой выше.
Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа, большие 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить на 10 + 1. Множитель 12 заменяют на 10 + 2 или практически- на 2+10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется на 10 + 3 и т. д.
Рассмотрим несколько особых случаев для множителей первой сотни:
Легко видеть, между прочим, что с помощью счётов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п. ; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.
К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, то мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счётов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения - это все же дает некоторое сокращение времени.
„Русский" способ умножения
Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел,- хотя бы даже двузначных,- если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких (чуждых для современного слуха) стихах:
Аще кто не твердитъ таблицы и гордитъ, Не можетъ познати числомъ что множати
И по все науки несвободъ от муки, Колико не учитъ туне ся удручитъ
И в пользу не будетъ аще ю забудетъ.
Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, похожий на наши школьные приемы, употреблен был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности.
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Вот пример:
Деление пополам продолжают до тех пор), пека в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудна понять, на чем этот способ основан: произведение не измен я-ется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой - вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате мното-кратного повторения этой операции получается искомое произведение.
Однако как поступить, если при этом нрих. одится делить пополам число нечетное?
Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, гласит правило, в случае нечетного числа о ткинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к поел еднему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против н е ч е т н ы х чисел левого столбца- сумма и будет искомы? л произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число.
Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):
Сложив не зачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 32 На чем основан этот прием?
Правильность приема станет ясна, если принять во внимание, что
19Х 17 = (18+ 1)Х 17= 18X17+17, 9Х34 = (8 + 1)Х34=; 8Х34 + 34 и т. д.
Ясно, что числа 17, 34 и т. п. , утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Примеры ускоренного умножения
Мы упоминали раньше, что для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма несложны и удобно применимы они настолько облегчают вычисления, что не мешает вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах.
Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии», или «умножением крестиком». Теперь он забыт, и о нем не мешает напомнить1.
Пусть требуется перемножить 24X32. Мысленно располагаем число по следующей схеме, одно под другим:
Теперь последовательно производим следующие действия:
1)4X2 = 8 - это последняя цифра результата.
2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.
3)2X3 = 6, да еще удержанная в уме единица, имеем
7- это первая цифра результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 -- 768.
После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых „дополнений", удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.
Предположим, что требуется перемножить 92X96. „Дополнение" для 92 до 100 будет 8, для 96 - 4. Действие производят по следующей схеме: множители: 92 и 96 „дополнения": 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя „дополнения" множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4 или из 96 вычитают 8.
8том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение „дополнений": 8X4 = 32. Получаем результат 8832.
Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:
92х9б= 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4
1 4X96= 4 (88 + 8)= 4Х 8 + 88X4 92х96 8832+0
Еще пример. Требуется перемножить 78 на 77: множители: 78 и 77 „дополнения": 22 и 23.
78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506 , 5500 + 506 = 6006.
Третий пример. Перемножить 99 X 9.
множители: 99 и 98 „дополнения": 1 и 2.
99-2 = 97, 1X2= 2.
В данном случае надо помнить, что 97 означает здесь число сотен. Поэтому складываем.
Крестников Василий
Тема работы «Необычные способы вычисления» интересна и актуальна, так как учащиеся постоянно выполняют арифметические действия над числами, а умения быстро вычислять, повышает успешность в учебе и развивает гибкость ума.
Василий сумел ясно изложить причины своего обращения к данной теме, правильно сформулировал цель и задачи работы. Изучив различные источники информации, нашел интересные и необычные способы умножения и научился применять их на практике. Учащийся рассмотрел плюсы и минусы каждого способа и сделал правильный вывод. Достоверность вывода подтверждает новый способ умножения. При этом ученик умело пользуется специальной терминологией и знаниями вне школьной программы математики. Тема работы соответствует содержанию, материал изложен четко и доступно.
Результаты работы имеют практическое значение и могут быть интересны широкому кругу людей.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МОУ «Куровская средняя общеобразовательная школа №6»
РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:
«НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ».
Выполнил ученик 6 «б» класса
Крестников Василий.
Руководитель:
Смирнова Татьяна Владимировна.
2011г.
- Вступление……………………………………………………………………......2
- Основная часть. Необычные способы умножения………………………...3
2.1. Немного истории………………………………………………………………..3
2.2. Умножение на пальцах………………………………………………………...4
2.3. Умножение на 9…………………………………………………………………5
2.4. Индийский способ умножения……………………………………………….6
2.5. Умножение способом «Маленький замок»…………………………………7
2.6. Умножение способом «Ревность»…………………………………………...8
2.7. Крестьянский способ умножения………………………………………….....9
2.8 Новый способ…………………………………………………………………..10
- Заключение……………………………………………………………………...11
- Список литературы…………………………………………………………….12
I. Вступление.
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
Однажды мне случайно попалась книга С. Н. Олехника, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапова «Старинные занимательные задачи». Листая эту книгу, мое внимание привлекла страничка под названием «Умножение на пальцах». Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Цель работы:
Показать необычные способы умножения.
Задачи:
- Найти как можно больше необычных способов вычислений.
- Научиться их применять.
- Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
II. Основная часть. Необычные способы умножения.
2.1. Немного истории.
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
2.2. Умножение на пальцах.
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2 3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
2.3. Умножение на 9.
Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".
Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
7 клеток 2 клетки.
2.4. Индийский способ умножения.
Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.
Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:
537 6
(5 ∙ 6 =30) 30
537 6
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
537 6
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5. Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».
Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности»(1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».
Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.
Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.
2.6. Умножение чисел методом «ревность».
Второй способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».
Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.
В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое произведение 10063.
3 4 7
10 0 6 3
2.7. Крестьянский способ умножения.
Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением
37……….32
74……….16
148……….8
296……….4
592……….2
1184……….1
Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
В случае, когда одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом:
24 ∙ 17
24 ∙ 16 =
48 ∙ 8 =
96 ∙ 4 =
192 ∙ 2 =
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8. Новый способ умножения.
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
III. Заключение.
Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.
Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).
Заинтересовал меня новый способ умножения, потому что он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.
Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.
- Литература.
- Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
- Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/
- Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
- Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 - 12 с.
- Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994--205с.
https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Работу выполнил ученик 6 «Б» класса Крестников Василий. Руководитель: Смирнова Татьяна Владимировна Необычные способы умножения
Цель работы: Показать необычные способы умножения. Задачи: Найти необычные способы умножения. Научиться их применять. Выбрать для себя самые интересные или более легкие и использовать их при счете.
Умножение на пальцах.
Умножение на 9
Итальянский математик Лука Пачиоли родился в 1445 году.
Умножение способом "Маленький замок"
Умножение методом «Ревность»
Умножение м етодом решетки. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063
Русский крестьянский способ 37 32 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184………1 37 32=1184
Спасибо за внимание
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Старомаксимкинская основная общеобразовательная школа
Районная научно – практическая конференция по математике
«Шаг в науку»
Научно – исследовательская работа
« Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора»
Руководитель: ,
учитель математики
с. Ст. Максимкино, 2010
Введение……………………………………………………………………..…………….3
Глава 1. История счета
1.2. Чудо - счетчики……………………………………………………………………...9
Глава 2. Старинные способы умножения
2.1. Русский крестьянский способ умножения…..…………….……………….……..Метод «решетки»……………….…….. ………………………………….………..13
2.3. Индийский способ умножения……………………………………………………..15
2.4. Египетский способ умножения…………………………………………………….16
2.5. Умножение на пальцах……………………………………………………………..17
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4……………..……………………….………………….19
3.2. Умножение и деление на 5……………………………………...………………….19
3.3. Умножение на 25……………………………………………………………………19
3.4. Умножение на 1,5……………………………………………………………….......20
3.5. Умножение на 9……….…………………………………………………………….20
3.6. Умножение на 11…………………………………………………..…………….….20
3.7. Умножение трехзначного числа на 101……………………………………………21
3.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5 ………………………21
3.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50……………….………………………22
3.9. Игры………………………………………………………………………………….22
Заключение…………………………………………………………………………….…24
Список использованной литературы…………………………………………………...25
Введение
Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с ЭВМ.
Объектом исследования являются алгоритмы счета.
Предметом исследования выступает процесс вычисления.
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.
Задачи:
Раскрыть историю возникновения счета и феномен « Чудо - счётчиков»;
Описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
Рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?
При работе над докладом я пользовался следующими методами :
Ø поисковый метод с использованием научной и учебной литература , а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
Ø практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
Ø анализ полученных в ходе исследования данных.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
Результаты анкетирования:
(На диаграммах представлены в процентах доли утвердительных ответов учащихся).
1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,
б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
3) а хотели бы узнать?
Глава 1. История счёта
1.1. Как возникли числа
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т. д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством , понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. 
Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т. д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита . Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой, десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале 15 в. самаркандский математик и астроном аль - Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.
Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.
1.2 « Чудо - счётчики»
Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров - учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда - это поход в лекторий, а самый ценный подарок - книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.
Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ.
Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.
За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками - от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.
В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума - сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.
Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.
В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв, 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.
Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.
Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.
Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.
Большенство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой
степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.
Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.
Глава II . Старинные способы умножения.
2.1. Русский крестьянский способ умножения.
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).
Пример: умножим 47 на 35,
Запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
Левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
Деление заканчивается, когда слева появится единица;
Вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
2.2. Метод «решетки».
1). Выдающийся арабский математик и астроном Абу Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми», т. е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.
Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.
2). В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Пусть нужно умножить 25 и 63.
Начертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).
Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:
Рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
Затем квадратные клетки делим по диагонали;
Вверху таблицы записываем число 987;
Слева таблицы число 12 (см. рисунок);
Теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
После заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
Результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);
987 ∙ 12=11844
Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.
Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
2.3 Индийский способ умножения
Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.
Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.
Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?
Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»
Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»
Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».
12 пишу 2 левее цифры 7
276 получаем 276.
Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:
х528 х24 х15 х18 х317
123 30 13 19 12
На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.
В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.
2.4. Египетский способ умножения
Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения (попробуй, перемножь: ξφß*τδ). Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.
Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.
2.5. Умножение на пальцах
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета ).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000
Движение пальца
А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.
Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.
Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.
Еще пример:
Пусть требуется умножить 3 * 9.
Слева направо найдите третий палец, того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.
Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.
Сами пальцы показали это число.
// // /////
Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.
Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4.
Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.
Например,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.
Например,
124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31
2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662
3.2. Умножение и деление на 5.
Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.
Например,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740
Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.
Например,
345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.
Например,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700
3.4. Умножение на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.
Например,
26 * 1,5 = 26 + 13 = 39
228 * 1,5 = 228 + 114 = 342
127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5
3.5. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.6. Умножение на 11.
1 способ . Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:
45 * 11 = * 11 = 967
Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.
3.7. Умножение трехзначного числа на 101.
Например 125 * 101 = 12625
(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)
125 + 1 = 126 12625
Этот прием дети легко усваивают при записи вычисления в столбик
|
х х125 |
х х348 |
Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227
3.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25
(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)
Например:
3.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50.
Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:
1) вычти из этого числа 25;
2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.
Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
Объяснение: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,
672 = 4200 + 289 = 4489.
Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:
1) вычти из этого числа 25;
2) припиши к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50.
Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.
Объяснение: 37 – 25 = 12,= 13, 132 =169,
372 = 1200 + 169 = 1369.
3.9. Игры
Отгадывание полученного числа.
1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.
Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.
У вас получилось 1.
3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.
У вас получилось 2.
4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.
У вас получилось 8.
Угадывание задуманных чисел.
Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
Полученную сумму пусть умножит на 3.
От произведения пусть отнимет 7.
Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3)
Заключение
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современный способ умножения прост и доступен всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
Список использованной литературы
1. Ванцян: Учебник для 5 класса . - Самара: Издательский дом
«Фёдоров», 1999.
2. , Ахадов мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
3. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.
4. Свечников, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
5. http://matsievsky. *****/sys-schi/file15.htm
6. http://*****/mod/1/6506/hystory. html
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”.
Песталоцци
Цель:
- Познакомиться со старинными приемами умножения.
- Расширить знания по различным приемам умножения.
- Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения.
- Старинный способ умножение на 9 на пальцах
- Умножение методом Ферроля.
- Японский способ умножения.
- Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
- Русский способ умножения.
- Индийский способ умножения.
Ход занятия
Актуальность использования приемов быстрого счета.
В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт , который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.
Старинные способы умножения чисел.
1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
2. Умножение методом Ферроля.
Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
Например: 12х14=168
а) 2х4=8, пишем 8
б) 1х4+2х1=6, пишем 6
в) 1х1=1, пишем 1.
3. Японский способ умножения
Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.
Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:
Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)
- Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
- А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)
(пересечения на рисунке указаны точками)
Количество пересечений:
- Верхний левый край: 2
- Нижний левый край: 6
- Верхний правый: 4
- Нижний правый: 12
1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа
2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа
3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.
Получается: 2; 10; 12.
Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.
4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.
Использование приема:
Например, умножим 6827 на 345.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
- 6*3 = 18. Записываем 1 и 8
- 8*3 = 24. Записываем 2 и 4
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 2355315.
5. Русский способ умножения.
Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:
- 32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
- 16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
- 8 * 52 (и т.д.)
- 4 * 104
- 2 * 208
- 1 * 416 =416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):
- 19*17
- 4 *68*
- 2 *136*
- 1 *272
Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
- 17 + 34 + 272 = 323.
Ответ: 323.
6. Индийский способ умножения.
Такой способ умножения использовали в Древней Индии.
Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.
Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:
- Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
- Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.
Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).
Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.
Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.
Заключение
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)
Литература.
- Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. – М.: Мир энциклопедий Аванта +, Астрель, 2008. – 688 с.
- Ожегов С. И. Словарь русского языка: ок. 57000 слов/ Под ред. чл. – корр. АНСИР Н.Ю. Шведовой. – 20 – е изд.– М. : Просвещение, 2000. – 1012 с.
- Xочу всё знать! Большая иллюстрированная энциклопедия интеллекта / Пер. с англ. А. Зыковой, К. Малькова, О.Озёровой. – М.: Изд-во ЭКМО, 2006. – 440 с.
- Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007. – 208 с.
- Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
- Минских Е. М. “От игры к знаниям”, М., “Просвещение” 1982г.
- Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
- http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm
- http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html
Цель работы: Исследовать и показать необычные способы умножения Задачи: Найти необычные способы умножения. Научиться их применять. Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете. Научить одноклассников применять новый способ умножения
Методы: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счёта; анализ полученных в ходе исследования данных Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приёмов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей
На уроках математики мы изучили необычный способ умножения столбиком. Нам это понравилось и мы решили узнать другие способы умножения натуральных чисел. Мы спрашивали своих одноклассников, знают ли они другие способы счета? Все говорили только о тех способах, которые изучаются в школе. Оказалось, что все наши друзья ничего не знают о других способах. В истории математики известно около 30 способов умножения, отличающихся схемой записи или самим ходом вычисления. Метод умножения «в столбик», который мы изучаем в школе – один из способов. Но самый эффективный ли это способ? Давайте, посмотрим! Введение
Это один из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Принцип этого способа: умножение на пальцах однозначных чисел от 6 до 9. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались. Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (23=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56. Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел больше 5.
Очень легко воспроизводится "на пальцах" умножение для числа 9 Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54.
Способ умножения «Маленький замок» Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину. Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.
«Ревность» или «решётчатое умножение» Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов…»
Умножение методом решетки = +1 +2
Крестьянский способ Это способ великорусских крестьян Суть его заключается в том, что умножение любых чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам, при одновременном удвоении другого числа ……….32 74……… ……….8 296……….4 592……… ………1 3732=1184
Крестьянский способ (нечетные числа) 47 x =1645
Шаг 1. первое число 15: Рисуем первую цифру – одной линией. Рисуем вторую цифру – пятью линиями. Шаг 2. второе число 23: Рисуем первую цифру – двумя линиями. Рисуем вторую цифру – тремя линиями. Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах. Шаг 4. Результат – 345. Перемножим два двузначных числа: 15*23
Индийский способ умножения (крестом) 24 и X 3 2 1)4x2=8 - последняя цифра результата; 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6- предпоследняя цифра результата, единицу запоминаем; 3)2x3=6 да ещё удержанная в уме цифра, имеем 7- это первая цифра результата. Получаем все цифры произведения: 7,6,8. Ответ: 768.
Индийский способ умножения = = = = 3822 Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам. умножение начинаем со старшего разряда, и записываем неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключается пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями оставляли небольшое расстояние
Опорное число Умножить 18*19 20 (опорное число) * 2 1 (18-1)*20 = Ответ:342 Короткая запись: 18*19 = 20*17+2 = 342
Новый способ умножения X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5
Вывод: Научившись считать всеми представленными способами, мы пришли к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, а может быть, мы просто к ним привыкли Из всех рассмотренных необычных способов счета более интересным показался способ графического умножения. Мы показали его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился. Самым простым показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне Поработав с литературой и материалами в интернете, мы поняли, что нами рассмотрено очень маленькое количество способов умножения, а это значит, что впереди нас ждет много интересного
Заключение Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что, как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения Современный способ умножения прост и доступен всем. Но, думаем, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать ещё более быстрые и более надёжные способы Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу, выполнять эти или другие подсчёты Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Она поможет приобрести полезные навыки устного счёта!
Использованные материалы: html Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, – 688 с. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., с.
