10 spôsobov, ako vyriešiť štvorce. Výskumný dokument "10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc"

Kop'evskaya vidiecke sekundárne stredná škola

10 riešení kvadratické rovnice

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace so zisťovaním výmer pozemkov a s výkopovými prácami vojenského charakteru, ako aj ako s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice sa dali vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty poskytujú len problémy s riešeniami položenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu, akým boli nájdené.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov, sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Diophantus to zdôvodňuje nasledovne: z podmienok úlohy vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by sa rovnali, ich súčin by sa nerovnal 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10 + x, druhý je menej, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x.

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-te roky 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Odtiaľto x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

pri2 - 20 μ + 96 = 0. (2)

Je zrejmé, že výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho Diophantus zjednodušuje riešenie; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu:

Oh2 + bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

IN Staroveká India Bežné boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov. Jedna zo starých indických kníh o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko zatieňuje hviezdy svojou žiarou, učený človek zatieniť slávu iných v populárnych zostavách navrhovaním a riešením algebraických problémov.“ Úlohy boli často oblečené poetickú formu.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, ôsma časť Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara pod rúškom píše:

X2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sčítaním oboch strán 32 2 , potom dostanete:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X1 = 16, x2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. Oh2 + s =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. Oh2 = s.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. Oh2 + s =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. Oh2 + bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j.bx+ c = ah2 .

Pre al-Khorezmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním a nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc pomocou techník al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi na parciálnych číselné príklady stanovuje pravidlá riešenia a následne geometrické dôkazy.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (za predpokladu, že koreň rovnice x2 + 21 = 10x).

Autorovo riešenie znie asi takto: rozdeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5 samým sebou, odčítajte 21 od súčinu, zostane 4. Zoberte odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čo dáva 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII- XVIIbb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc pozdĺž línií al-Khorezmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto objemné dielo, ktoré odráža vplyv matematiky, tak islamských krajín, ako aj Staroveké Grécko, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII.

PAGE_BREAK--

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

X2 + bx= c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné od spoločnosti Vieth, ale Vieth rozpoznával iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná po Vietovi, sformuloval po prvý raz v roku 1591 takto: „Ak B+ D, vynásobené A- A2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D».

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si to pamätať A, ako každé samohláskové písmeno, znamenalo neznáme (naše X), samohlásky IN,D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená: ak existuje

(a +b)x - x2 = ab,

X2 - (a +b)x + ab= 0,

X1 = a, x2 = b.

Vyjadrenie vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecné vzorce písaný pomocou symbolov, Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. K symbolike Vietu je však ešte ďaleko moderný vzhľad. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

IN školský kurz Matematici študujú vzorce pre korene kvadratických rovníc, pomocou ktorých môžete vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Existujú však aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré vám umožňujú vyriešiť veľa rovníc veľmi rýchlo a efektívne. Existuje desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Vo svojej práci som každý z nich podrobne rozobral.

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu

X2 + 10x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, potom aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto sa ľavá strana rovnice zmení na nulu x = 2, a tiež kedy x = - 12. To znamená, že číslo 2 A - 12 sú korene rovnice X2 + 10x - 24 = 0.

2. METÓDA : Metóda výberu celého štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu X2 + 6x - 7 = 0.

Vyberte na ľavej strane dokonalý štvorec.

Za týmto účelom napíšeme výraz x2 + 6x v nasledujúcom tvare:

X2 + 6x = x2 + 2 x 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 32, pretože

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

Teraz transformujme ľavú stranu rovnice

X2 + 6x - 7 = 0,

pripočítaním a odčítaním 32. Máme:

X2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 alebo x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynásobme obe strany rovnice

Oh2 + bx + c = 0, a ≠ 0

na 4a a postupne máme:

4a2 X2 + 4abx + 4ac = 0,

((2h)2 + 2hb+ b2 ) - b2 + 4 ac= 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Príklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D= b2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b2 - 4 ac>0 , rovnica Oh2 + bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, s = 1,D= b2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b2 - 4 ac= 0 , potom rovnica

Oh2 + bx + c = 0 má jeden koreň

V) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D= b2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Pokračovanie
--PAGE_BREAK--

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b2 - 4 ac< 0 ,

rovnica Oh2 + bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice Oh2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akékoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, redukovaná kvadratická rovnica má tvar

X2 + px+ c= 0. (1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, keď a = 1 vyzerá ako

/>x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (z koeficientov p a q môžeme predpovedať znamienka koreňov).

a) Ak je poločlen q daná rovnica (1) je kladná ( q> 0 ), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p. Ak r< 0 , potom sú oba korene záporné, ak r< 0 , potom sú oba korene kladné.

napr.

x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 A x2 = 1, pretože q= 2 > 0 A p= - 3 < 0;

x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 A x2 = - 1, pretože q= 7 > 0 A p= 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q daná rovnica (1) je záporná ( q< 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň bude kladný, ak p< 0 , alebo negatívne, ak p> 0 .

napr.

x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 A x2 = 1, pretože q= - 5 < 0 A p= 4 > 0;

x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 A x2 = - 1, pretože q= - 9 < 0 A p= - 8 < 0.

5. SPÔSOB: Riešenie rovníc metódou „hodenia“.

Zvážte kvadratickú rovnicu

Oh2 + bx + c = 0, Kde a ≠ 0.

Vynásobením oboch strán a získame rovnicu

A2 X2 + abx + ac = 0.

Nechaj ah = y, kde x = y/a; potom sa dostaneme k rovnici

pri2 + podľa+ ac = 0,

je ekvivalentné tomuto. Jeho korene pri1 A pri 2 možno nájsť pomocou Vietovej vety.

Konečne sa dostávame

X1 = y1 /A A X1 = y2 /A.

Pri tejto metóde koeficient A vynásobený voľným pojmom, akoby mu „hodili“, preto sa volá spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď môžete ľahko nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 2x2 – 11x + 15 = 0.

Riešenie.„Hoďme“ koeficient 2 na voľný termín a ako výsledok dostaneme rovnicu

pri2 – 11u + 30 = 0.

Podľa Vietovej vety

/>/>/>/>/>pri1 = 5 x1 = 5/2 x1 = 2,5

pri2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Odpoveď: 2,5; 3.

6. METÓDA: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

A. Nech je daná kvadratická rovnica

Oh2 + bx + c = 0, Kde a ≠ 0.

1) Ak, a+b+ c = 0 (t.j. súčet koeficientov je nula), potom x1 = 1,

X2 = s/a.

Dôkaz. Vydelením oboch strán rovnice a ≠ 0 dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu

x2 + b/ a x+ c/ a= 0.

/>Podľa Vietovej vety

x1 + x2 = - b/ a,

x1 x2 = 1 c/ a.

Podľa podmienok A -b+ c = 0, kde b= a + c. teda

/>x1 +x2 = - A+ b/a= -1 – c/a,

x1 x2 = - 1 (- c/a),

tie. X1 = -1 A X2 = c/ a, čo sme potrebovali dokázať.

Príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu 345x2 – 137x – 208 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To

X1 = 1, x2 = c/ a= -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x2 – 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To

X1 = 1, x2 = c/ a= 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak druhý koeficient b= 2 k je párne číslo, potom koreňový vzorec

Pokračovanie
--PAGE_BREAK--

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3,b= - 14, s = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

IN. Redukovaná rovnica

X2 + px +q= 0

sa zhoduje s rovnicou celkový pohľad, v ktorom a = 1, b= p A c =q. Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu je koreňový vzorec

má podobu:

Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď r- párne číslo.

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu X2 – 14x – 15 = 0.

Riešenie. Máme: X1,2 =7±

Odpoveď: x1 = 15; X2 = -1.

7. METÓDA: Grafické riešenie kvadratickej rovnice.

Ak v rov.

X2 + px+ q= 0

posuňte druhý a tretí výraz na pravú stranu, dostaneme

X2 = - px- q.

Zostrojme grafy závislosti y = x2 a y = - px- q.

Grafom prvej závislosti je parabola prechádzajúca počiatkom. Druhý graf závislosti -

rovný (obr. 1). Možné sú tieto prípady:

Priamka a parabola sa môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Priamka a parabola sa môžu dotýkať (iba jeden spoločný bod), t.j. rovnica má jedno riešenie;

Priamka a parabola nemajú spoločné body, t.j. kvadratická rovnica nemá korene.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu graficky X2 - 3x - 4 = 0(obr. 2).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X2 = 3x + 4.

Zostavme parabolu y = x2 a priamy y = 3x + 4. Priame

y = 3x + 4 možno postaviť z dvoch bodov M (0; 4) A

N(3; 13) . Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch

A A IN s úsečkami X1 = - 1 A X2 = 4 . Odpoveď : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Riešime rovnicu graficky (obr. 3) X2 - 2x + 1 = 0.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X2 = 2x - 1.

Zostavme parabolu y = x2 a priamy y = 2x - 1.

Priame y = 2x - 1 stavať z dvoch bodov M (0; - 1)

A N(1/2; 0) . Priamka a parabola sa pretínajú v bode A s

úsečka x = 1. odpoveď: x = 1.

3) Vyriešme rovnicu graficky X2 - 2x + 5 = 0(obr. 4).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X2 = 5x - 5. Zostavme parabolu y = x2 a priamy y = 2x - 5. Priame y = 2x - 5 Postavme z dvoch bodov M(0; - 5) a N(2,5; 0). Priamka a parabola nemajú priesečníky, t.j. Táto rovnica nemá korene.

Odpoveď. Rovnica X2 - 2x + 5 = 0 nemá korene.

8. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka.

Grafický spôsob riešenia kvadratických rovníc pomocou paraboly je nepohodlný. Ak vytvoríte parabolu bod po bode, zaberie to veľa času a stupeň presnosti získaných výsledkov je nízky.

Navrhujem nasledujúcu metódu na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice Oh2 + bx + c = 0 pomocou kružidla a pravítka (obr. 5).

Predpokladajme, že požadovaný kruh pretína os

úsečka v bodoch B(x1 ; 0) A D(X2 ; 0), Kde X1 A X2 - korene rovnice Oh2 + bx + c = 0, a prechádza cez body

A(0; 1) A C(0;c/ a) na zvislej osi. Potom, podľa sekantovej vety, máme O.B. O.D.= O.A. O.C., kde O.C.= O.B. O.D./ O.A.= x1 X2 / 1 = c/ a.

Stred kružnice je v priesečníku kolmic SF A S.K., obnovené v stredoch akordov A.C. A BD, Preto

1) zostrojte body (stred kruhu) a A(0; 1) ;

2) nakreslite kruh s polomerom S.A.;

3) úsečky priesečníkov tohto kruhu s osou Oh sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

V tomto prípade sú možné tri prípady.

1) Polomer kruhu je väčší ako ordináta stredu (AS> S.K., aleboR> a+ c/2 a) , kružnica pretína os Ox v dvoch bodoch (obr. 6, a) B(x1 ; 0) A D(X2 ; 0) , Kde X1 A X2 - korene kvadratickej rovnice Oh2 + bx + c = 0.

2) Polomer kruhu sa rovná ordinate stredu (AS= S.B., aleboR= a+ c/2 a) , kružnica sa v bode dotýka osi Ox (obr. 6, b). B(x1 ; 0) , kde x1 je koreň kvadratickej rovnice.

Pokračovanie
--PAGE_BREAK--

3) Polomer kružnice je menší ako ordináta stredu kružnice nemá spoločné body s osou x (obr. 6, c), v tomto prípade rovnica nemá riešenie.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu X2 - 2x - 3 = 0(obr. 7).

Riešenie. Určme súradnice stredu kruhu pomocou vzorcov:

Narysujme kružnicu s polomerom SA, kde A (0; 1).

odpoveď:X1 = -1; X2 = 3.

9. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu.

Toto je stará a nezaslúžene zabudnutá metóda riešenia kvadratických rovníc, umiestnená na s. 83 (pozri Bradis V.M. Štvorciferné matematické tabuľky. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovnice z2 + pz+ q= 0 . Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice pomocou jej koeficientov.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 11):

Veriaci OS = p,ED= q, OE = a(všetky v cm), z podobnosti trojuholníkov SAN A CDF dostaneme pomer

čo po dosadení a zjednodušení dáva rovnicu

z2 + pz+ q= 0,

a list z znamená značku akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Príklady.

1) Pre rovnicu z2 - 9 z+ 8 = 0 nomogram dáva korene

z1 = 8,0 A z2 = 1,0 (obr. 12).

2) Pomocou nomogramu riešime rovnicu

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Vydelením koeficientov tejto rovnice 2 dostaneme rovnicu

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomogram dáva korene z1 = 4 A z2 = 0,5.

3) Pre rovnicu

z2 - 25 z+ 66 = 0

koeficienty p a q sú mimo stupnice, vykonajte substitúciu z= 5 t, dostaneme rovnicu

t2 - 5 t+ 2,64 = 0,

ktorý vyriešime pomocou nomogramu a dostaneme t1 = 0,6 A t2 = 4,4, kde z1 = 5 t1 = 3,0 A z2 = 5 t2 = 22,0.

10. METÓDA: Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc.

V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice neriešili algebraicky, ale geometricky. Uvediem slávny príklad z „algebry“ al-Khorezmiho.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu X2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný takto: „Štvorec a desať koreňov sa rovnajú 39“ (obr. 15).

Riešenie. Zoberme si štvorec so stranou x, na jeho stranách sú postavené obdĺžniky tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, teda plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec sa potom doplní do nového štvorca ABCD, pričom v rohoch sa vytvoria štyri rovnaké štvorce, pričom strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25.

Štvorcový Sštvorec ABCD môže byť reprezentovaný ako súčet plôch: pôvodný štvorec X2 , štyri obdĺžniky (4 2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25 4 = 25) , t.j. S= X2 + 10x + 25. Výmena

X2 + 10xčíslo 39 , chápeme to S= 39 + 25 = 64 , čo znamená, že strana štvorca ABCD, t.j. segment AB = 8. Pre požadovanú stranu X dostaneme pôvodný štvorec

2) Ale napríklad ako starí Gréci riešili rovnicu pri2 + 6u - 16 = 0.

Riešenie znázornené na obr. 16, kde

pri2 + 6r = 16 alebo y2 + 6 rokov + 9 = 16 + 9.

Riešenie. Výrazy pri2 + 6u + 9 A 16 + 9 geometricky predstavujú rovnaký štvorec a pôvodnú rovnicu pri2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- rovnaká rovnica. Odkiaľ to máme y + 3 = ± 5, alebo pri1 = 2, r2 = - 8 (obr. 16).

3) Vyriešte geometrickú rovnicu pri2 - 6u - 16 = 0.

Transformáciou rovnice dostaneme

pri2 - 6 rokov = 16.

Na obr. 17 nájdite „obrazy“ výrazu pri2 - 6u, tie. od plochy štvorca so stranou y odpočítajte plochu štvorca so stranou rovnajúcou sa 3 . To znamená, že ak k výrazu pri2 - 6 у pridať 9 , potom dostaneme plochu štvorca so stranou y - 3. Nahradenie výrazu pri2 - 6 у má rovnaké číslo 16,

dostaneme: (y - 3)2 = 16 + 9, tie. y - 3 = ± √25 alebo y - 3 = ± 5, kde pri1 = 8 A pri2 = - 2.

Záver

Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc.

Význam kvadratických rovníc však nespočíva len v elegancii a stručnosti riešenia úloh, aj keď je to veľmi dôležité. Rovnako dôležité je, že v dôsledku používania kvadratických rovníc pri riešení problémov sa často objavujú nové detaily, môžu sa robiť zaujímavé zovšeobecnenia a objasnenia, ktoré napovedá analýza výsledných vzorcov a vzťahov.

Chcel by som tiež poznamenať, že téma prezentovaná v tejto práci ešte nie je vôbec preštudovaná, jednoducho sa neštuduje, takže je plná mnohých skrytých a neznámych vecí, čo poskytuje vynikajúcu príležitosť pre ďalšiu prácu na ňom.

Tu som sa zaoberal otázkou riešenia kvadratických rovníc a čo,

ak existujú iné spôsoby, ako ich vyriešiť?! Opäť nájsť krásne vzory, nejaké fakty, objasnenia, zovšeobecňovať, objavovať stále nové a nové veci. Ale to sú otázky pre budúcu prácu.

Aby sme to zhrnuli, môžeme konštatovať: kvadratické rovnice zohrávajú obrovskú úlohu vo vývoji matematiky. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu. Toto poznanie nám môže byť užitočné po celý život.

Keďže tieto metódy riešenia kvadratických rovníc sú ľahko použiteľné, určite by mali byť zaujímavé pre študentov, ktorí sa zaujímajú o matematiku. Moja práca umožňuje nazerať inak na úlohy, ktoré nám kladie matematika.

Literatúra:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. a ďalšie, 6.-8. Skúšobná učebnica pre ročníky 6-8 stredná škola. - M., Vzdelávanie, 1981.

2. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky pre strednú školu Ed. 57. - M., Vzdelávanie, 1990. S. 83.

3. Kružepov A.K., Rubanov A.T. Kniha problémov z algebry a elementárne funkcie. Návod pre sekundárny špeciál vzdelávacie inštitúcie. - M., vysoká škola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratické funkcie, rovnice a nerovnice. Manuál pre učiteľa. - M., Vzdelávanie, 1972.

5. Presman A.A. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou kružidla a pravítka. - M., Kvant, č.4/72. S. 34.

6. Solomník V.S., Milov P.I. Zbierka otázok a úloh z matematiky. Ed. - 4., dodatočný - M., absolventská škola, 1973.

7. Khudobin A.I. Zbierka úloh z algebry a elementárnych funkcií. Manuál pre učiteľa. Ed. 2. - M., Školstvo, 1970.

V školskom kurze matematiky sa študujú vzorce pre korene kvadratických rovníc, pomocou ktorých môžete vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Existujú však aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré vám umožňujú vyriešiť veľa rovníc veľmi rýchlo a efektívne. Existuje desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Vo svojej práci som každý z nich podrobne rozobral.

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu

X 2 + 10x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

2. METÓDA: Metóda extrakcie celého štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 + 6x - 7 = 0.

Vyberte úplný štvorec na ľavej strane.

Za týmto účelom napíšeme výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2 + 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Teraz transformujme ľavú stranu rovnice

X 2 + 6x - 7 = 0,

pripočítanie a odčítanie 3 2. Máme:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynásobme obe strany rovnice

Oh 2 + bx + c = 0, však? 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 X 2 + 4abх + 4ac = 0,

((2h) 2 + 2ax * b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± v b 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Príklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b 2 - 4ac > 0, rovnica Oh 2 + bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = -4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b2 - 4ac = 0, potom rovnica

Oh 2 + bx + c = 0 má jeden koreň

V) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 * 2 *4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4ac< 0 ,

rovnica Oh 2 + bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akékoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, redukovaná kvadratická rovnica má tvar

X 2 + px + c = 0.(1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, keď a = 1 vyzerá ako

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (z koeficientov p a q môžeme predpovedať znamienka koreňov).

a) Ak je poločlen q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p. Ak r< 0 , potom sú oba korene záporné, ak r< 0 , potom sú oba korene kladné.

napr.

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 A x 2 = 1, pretože q = 2 > 0 A p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 A x 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 A p = 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q daná rovnica (1) je záporná ( q< 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň bude kladný, ak p< 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

napr.

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 A x 2 = 1, pretože q= - 5< 0 A p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9 A x 2 = - 1, pretože q = -9< 0 A p = - 8< 0.

5. SPÔSOB: Riešenie rovníc metódou „hodenia“.

Zvážte kvadratickú rovnicu

Oh 2 + bx + c = 0, Kde A? 0.

Vynásobením oboch strán a získame rovnicu

A 2 X 2 + abх + ac = 0.

Nechaj ah = y, kde x = y/a; potom sa dostaneme k rovnici

pri 2 + o + ac = 0,

je ekvivalentné tomuto. Jeho korene pri 1 A pri 2 možno nájsť pomocou Vietovej vety.

Konečne sa dostávame

X 1 = y 1 /A A X 1 = y 2 /A.

Poďme vyriešiť rovnicu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Riešenie.„Hoďme“ koeficient 2 na voľný termín a ako výsledok dostaneme rovnicu

pri 2 - 11u + 30 = 0.

Podľa Vietovej vety

pri 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

pri 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odpoveď: 2,5; 3.

6. METÓDA: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

A. Nech je daná kvadratická rovnica

Oh 2 + bx + c = 0, Kde A? 0.

1) Ak a+ b + c = 0 (t. j. súčet koeficientov je nula), potom x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dôkaz. Vydelme obe strany rovnice a? 0, získame redukovanú kvadratickú rovnicu

x 2 + b/a* x + c/a = 0.

Podľa Vietovej vety

x 1 +x 2 = - b/a,

x 1 x 2 = 1* c/a.

Podľa podmienok a - b + c = 0, kde b = a + c. teda

x 1 +x 2 = - a + b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

tie. X 1 = -1 A X 2 = c/a, čo sme potrebovali dokázať.

1) Vyriešme rovnicu 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), To

X 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), To

X 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak je druhý koeficient b = 2k párne číslo, potom koreňový vzorec

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3, b = -- 14, c = 16, k = -- 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

IN. Redukovaná rovnica

X 2 + px + q= 0

sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b = p A c = q. Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu je koreňový vzorec

má podobu:

Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď r-- párne číslo.

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 14x - 15 = 0.

Riešenie. Máme: X 1,2 =7±

Odpoveď: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METÓDA: Grafické riešenie kvadratickej rovnice.

Ak v rov.

X 2 + px + q = 0

posuňte druhý a tretí výraz na pravú stranu, dostaneme

X 2 = - px - q.

Zostavme grafy závislosti y = x 2 a y = - px - q.

Grafom prvej závislosti je parabola prechádzajúca počiatkom. Druhý graf závislosti -

rovný (obr. 1). Možné sú tieto prípady:

Priamka a parabola sa môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Priamka a parabola sa môžu dotýkať (iba jeden spoločný bod), t.j. rovnica má jedno riešenie;

Priamka a parabola nemajú spoločné body, t.j. kvadratická rovnica nemá korene.

1) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 3x - 4 = 0(obr. 2).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 3x + 4.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 3x + 4. Priame

y = 3x + 4 možno postaviť z dvoch bodov M (0; 4) A

N (3; 13). Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch

A A IN s úsečkami X 1 = - 1 A X 2 = 4 . Odpoveď : X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Riešime rovnicu graficky (obr. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 2x - 1.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 1.

Priame y = 2x - 1 stavať z dvoch bodov M (0; - 1)

A N(1/2; 0). Priamka a parabola sa pretínajú v bode A s

úsečka x = 1. odpoveď: x = 1.

3) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 2x + 5 = 0(obr. 4).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 5x - 5. Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 5. Priame y = 2x - 5 Postavme z dvoch bodov M(0; - 5) a N(2,5; 0). Priamka a parabola nemajú priesečníky, t.j. Táto rovnica nemá korene.

Odpoveď. Rovnica X 2 - 2x + 5 = 0 nemá korene.

8. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka.

Grafický spôsob riešenia kvadratických rovníc pomocou paraboly je nepohodlný. Ak vytvoríte parabolu bod po bode, zaberie to veľa času a stupeň presnosti získaných výsledkov je nízky.

Navrhujem nasledujúcu metódu na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 pomocou kružidla a pravítka (obr. 5).

Predpokladajme, že požadovaný kruh pretína os

úsečka v bodoch B(x 1 ; 0) A D(x 2 ; 0), Kde X 1 A X 2 - korene rovnice Oh 2 + bx + c = 0, a prechádza cez body

A(0; 1) A С(0; c/a) na zvislej osi. Potom, podľa sekantovej vety, máme OB * OD = OA * OC, kde OC = OB * OD/ OA = x 1 X 2 / 1 = c/a.

Stred kružnice je v priesečníku kolmic SF A S.K., obnovené v stredoch akordov A.C. A BD, Preto

1) zostrojte body (stred kruhu) a A(0; 1);

2) nakreslite kruh s polomerom S.A.;

3) úsečky priesečníkov tohto kruhu s osou Oh sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

V tomto prípade sú možné tri prípady.

1) Polomer kruhu je väčší ako ordináta stredu (AS > SK alebo R > a + c/2a), kružnica pretína os Ox v dvoch bodoch (obr. 6,a) B(x 1 ; 0) A D(x 2 ; 0) , Kde X 1 A X 2 - korene kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0.

2) Polomer kruhu sa rovná ordinate stredu (AS = SB alebo R = a + c/2a), kružnica sa v bode dotýka osi Ox (obr. 6, b). B(x 1 ; 0) , kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice.

3) Polomer kružnice je menší ako ordináta stredu kružnice nemá spoločné body s osou x (obr. 6, c), v tomto prípade rovnica nemá riešenie.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 2x - 3 = 0(obr. 7).

Riešenie. Určme súradnice stredu kruhu pomocou vzorcov:

Narysujme kružnicu s polomerom SA, kde A (0; 1).

odpoveď: X 1 = -1; X 2 = 3.

9. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu.

Toto je stará a nezaslúžene zabudnutá metóda riešenia kvadratických rovníc, umiestnená na s. 83 (pozri Bradis V.M. Štvorciferné matematické tabuľky. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovnice z 2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice pomocou jej koeficientov.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 11):

Za predpokladu, že OS = p, ED = q, OE = a (všetky v cm), z podobnosti trojuholníkov SAN a CDF získame podiel

čo po dosadení a zjednodušení dáva rovnicu

z 2 + pz + q = 0,

a list z znamená značku akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

1) Pre rovnicu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram dáva korene

z 1 = 8,0 A z 2 = 1,0 (obr. 12).

2) Riešime rovnicu pomocou nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Vydelením koeficientov tejto rovnice 2 dostaneme rovnicu

z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 A z 2 = 0,5.

3) Pre rovnicu

z 2 -25z + 66 = 0

koeficienty p a q sú mimo stupnice, vykonajte substitúciu z = 5t, dostaneme rovnicu

t 2 - 5t + 2,64 = 0,

ktorý vyriešime pomocou nomogramu a dostaneme t 1 = 0,6 A t 2 = 4,4, kde z 1 = 5t 1 = 3,0 A z 2 = 5t 2 = 22,0.

10. METÓDA: Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc.

V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice neriešili algebraicky, ale geometricky. Uvediem slávny príklad z „algebry“ al-Khorezmiho.

1) Vyriešme rovnicu X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný takto: „Štvorec a desať koreňov sa rovnajú 39“ (obr. 15).

Štvorcový Sštvorec ABCD môže byť reprezentovaný ako súčet plôch: pôvodný štvorec X 2 , štyri obdĺžniky (4* 2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25* 4 = 25) , t.j. S= X 2 + 10x + 25. Výmena

X 2 + 10xčíslo 39 , chápeme to S = 39 + 25 = 64, čo znamená, že strana štvorca ABCD, t.j. segment AB = 8. Pre požadovanú stranu X dostaneme pôvodný štvorec

2) Ale napríklad ako starí Gréci riešili rovnicu pri 2 + 6u - 16 = 0.

Riešenie znázornené na obr. 16, kde

pri 2 + 6r = 16 alebo y 2 + 6 rokov + 9 = 16 + 9.

Riešenie. Výrazy pri 2 + 6u + 9 A 16 + 9 geometricky predstavujú rovnaký štvorec a pôvodnú rovnicu pri 2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- rovnaká rovnica. Odkiaľ to máme y + 3 = ± 5, alebo pri 1 = 2, r 2 = - 8 (obr. 16).

3) Vyriešte geometrickú rovnicu pri 2 - 6u - 16 = 0.

Transformáciou rovnice dostaneme

pri 2 - 6 rokov = 16.

Na obr. 17 nájdite „obrazy“ výrazu pri 2 - 6u, tie. od plochy štvorca so stranou y odpočítajte plochu štvorca so stranou rovnajúcou sa 3 . To znamená, že ak k výrazu pri 2 - 6 у pridať 9 , potom dostaneme plochu štvorca so stranou y - 3. Nahradenie výrazu pri 2 - 6 у má rovnaké číslo 16,

dostaneme: (y - 3) 2 = 16 + 9, tie. y - 3 = ± v25 alebo y - 3 = ± 5, kde pri 1 = 8 A pri 2 = - 2.

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov, sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľto x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

r 2 - 20 r + 96 = 0. (2)

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

ach 2 +bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach píše toto: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak učený človek zažiari slávu iného na verejných zhromaždeniach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, ôsma časť Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara pod rúškom píše:

x 2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sčítaním oboch strán 32 2 , potom dostanete:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. ax 2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. ach 2 +bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j.bx+ c = ax2.

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom geometrických dôkazov.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (implikuje koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII - XVIIbb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc pozdĺž línií al-Khorezmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu aj zo starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2 +bx= c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná po Vietovi, sformuloval po prvý raz v roku 1591 takto: „Ak B + D, vynásobené A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D».

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viète zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietu má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu

x 2 + 10 x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, potom aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto sa ľavá strana rovnice zmení na nulu x = 2, a tiež kedy x = - 12. To znamená, že číslo 2 A - 12 sú korene rovnice x 2 + 10 x - 24 = 0.

2. METÓDA : Metóda výberu celého štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 6 x - 7 = 0.

Vyberte úplný štvorec na ľavej strane.

Za týmto účelom napíšeme výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

x 2 + 6 x = x 2 + 2 x 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Teraz transformujme ľavú stranu rovnice

x 2 + 6 x - 7 = 0,

pripočítanie a odčítanie 3 2. Máme:

x 2 + 6 x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynásobme obe strany rovnice

ach 2 +bx + c = 0, a ≠ 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axb + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Príklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b 2 - 4 ac >0 , rovnica ach 2 +bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, s = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b 2 - 4 ac = 0 , potom rovnica

ach 2 +bx + c = 0 má jeden koreň

V) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4 ac < 0 ,

rovnica ach 2 +bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice ach 2 +bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akékoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, redukovaná kvadratická rovnica má tvar

x 2 +px + c = 0. (1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, keď a = 1 vyzerá ako

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (z koeficientov p a q môžeme predpovedať znamienka koreňov).

a) Ak je poločlen q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0 ), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p. Ak r< 0 , potom sú oba korene záporné, ak r< 0 , potom sú oba korene kladné.

napr.

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 A x 2 = 1, pretože q = 2 > 0 A p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 A x 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 A p= 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q daná rovnica (1) je záporná ( q < 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň bude kladný, ak p < 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

napr.

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 A x 2 = 1, pretože q= - 5 < 0 A p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 A x 2 = - 1, pretože q = - 9 < 0 A p = - 8 < 0.

5. SPÔSOB: Riešenie rovníc metódou „hodenia“.

Zvážte kvadratickú rovnicu

ach 2 +bx + c = 0, Kde a ≠ 0.

Vynásobením oboch strán a získame rovnicu

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Nechaj ah = y, kde x = y/a; potom sa dostaneme k rovnici

y 2 +podľa+ ac = 0,

je ekvivalentné tomuto. Jeho korene o 1 A pri 2 možno nájsť pomocou Vietovej vety.

Konečne sa dostávame

xi = yi/a A xi = y2/a.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Riešenie.„Hoďme“ koeficient 2 na voľný termín a ako výsledok dostaneme rovnicu

y2 – 11r + 30 = 0.

Podľa Vietovej vety

y1 = 5 x 1 = 5/2x 1 = 2,5

y2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odpoveď: 2,5; 3.

6. METÓDA: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

A. Nech je daná kvadratická rovnica

ach 2 +bx + c = 0, Kde a ≠ 0.

1) Ak, a+b+ c = 0 (t. j. súčet koeficientov je nula), potom x 1 = 1,

x 2 = s/a.

Dôkaz. Vydelením oboch strán rovnice a ≠ 0 dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

Podľa Vietovej vety

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

Podľa podmienok A -b+ c = 0, kde b= a + c. teda

x 1 + x 2 = -A+ b/a= -1 – c/a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

tie. x 1 = -1 A x 2 =c/ a, čo sme potrebovali dokázať.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To

x 1 = 1, x 2 =c/ a = -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To

x 1 = 1, x 2 =c/ a = 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak druhý koeficient b = 2 k je párne číslo, potom koreňový vzorec

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3,b= - 14, s = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1 .1 Štvorcové rovniceKontroverzie v starovekom Babylone

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov, sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-te roky 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Odtiaľto x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

pri 2 - 20u + 96 = 0. (2)

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, ôsma časť Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara pod rúškom píše:

X 2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sčítaním oboch strán 32 2 , potom dostanete:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Štvorcové rovniceal - Chorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. Oh 2 + s =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. Oh 2 = s.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. Oh 2 + s =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. Oh 2 + bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx+ c = ah 2 .

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom geometrických dôkazov.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (za predpokladu, že koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII - XVIIbb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc pozdĺž línií al-Khorezmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu aj zo starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

X 2 + bx= c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná po Vietovi, sformuloval po prvý raz v roku 1591 takto: „Ak B + D, vynásobené A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D».

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viète zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietu má zároveň k modernému vzhľadu ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

V školskom kurze matematiky sa študujú vzorce pre korene kvadratických rovníc, pomocou ktorých môžete vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Zároveň existujú aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré umožňujú riešiť mnohé rovnice veľmi rýchlo a racionálne. Existuje desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Vo svojej práci som každý z nich podrobne rozobral.

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu

X 2 + 10x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

2. METÓDA : Metóda výberu celého štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 + 6x - 7 = 0.

Vyberte úplný štvorec na ľavej strane.

Za týmto účelom napíšeme výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2 + 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Teraz transformujme ľavú stranu rovnice

X 2 + 6x - 7 = 0,

pripočítanie a odčítanie 3 2. Máme:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynásobme obe strany rovnice

Oh 2 + bx + c = 0, však? 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2h) 2 + 2h*b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± v b 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Príklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b 2 - 4 ac >0 , rovnica Oh 2 + bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, s = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b 2 - 4 ac = 0 , potom rovnica

Oh 2 + bx + c = 0 má jeden koreň

V) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4 ac < 0 ,

rovnica Oh 2 + bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akékoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, redukovaná kvadratická rovnica má tvar

X 2 + px + c = 0. (1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, keď a = 1 vyzerá ako

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (z koeficientov p a q môžeme predpovedať znamienka koreňov).

a) Ak je poločlen q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0 ), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p. Ak r< 0 , potom sú oba korene záporné, ak r< 0 , potom sú oba korene kladné.

napr.

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 A x 2 = 1, pretože q = 2 > 0 A p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 A x 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 A p= 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q daná rovnica (1) je záporná ( q < 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň bude kladný, ak p < 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

napr.

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 A x 2 = 1, pretože q= - 5 < 0 A p = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 A x 2 = - 1, pretože q = - 9 < 0 A p = - 8 < 0.

5. SPÔSOB: Riešenie rovníc metódou „hodenia“.

Zvážte kvadratickú rovnicu

Oh 2 + bx + c = 0, Kde A? 0.

Vynásobením oboch strán a získame rovnicu

A 2 X 2 + abx + ac = 0.

Nechaj ah = y, kde x = y/a; potom sa dostaneme k rovnici

pri 2 + podľa+ ac = 0,

je ekvivalentné tomuto. Jeho korene pri 1 A pri 2 možno nájsť pomocou Vietovej vety.

Konečne sa dostávame

X 1 = y 1 /A A X 1 = y 2 /A.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Riešenie.„Hoďme“ koeficient 2 na voľný termín a ako výsledok dostaneme rovnicu

pri 2 - 11u + 30 = 0.

Podľa Vietovej vety

pri 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

pri 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odpoveď: 2,5; 3.

6. METÓDA: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

A. Nech je daná kvadratická rovnica

Oh 2 + bx + c = 0, Kde A? 0.

1) Ak, a+b+ c = 0 (t.j. súčet koeficientov je nula), potom x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dôkaz. Vydelme obe strany rovnice a? 0, získame redukovanú kvadratickú rovnicu

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Podľa Vietovej vety

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Podľa podmienok A -b + c = 0, kde b= a + c. teda

x 1 +x 2 = - A+ b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

tie. X 1 = -1 A X 2 = c/ a, čo sme potrebovali dokázať.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože a +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak druhý koeficient b = 2 k je párne číslo, potom koreňový vzorec

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3,b= -- 14, s = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

IN. Redukovaná rovnica

X 2 + px +q= 0

sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b= p A c =q. Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu je koreňový vzorec

má podobu:

Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď r-- párne číslo.

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 14x - 15 = 0.

Riešenie. Máme: X 1,2 =7±

Odpoveď: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METÓDA: Grafické riešenie kvadratickej rovnice.

Ak v rov.

X 2 + px + q = 0

posuňte druhý a tretí výraz na pravú stranu, dostaneme

X 2 = - px - q.

Zostavme grafy závislosti y = x 2 a y = - px - q.

Grafom prvej závislosti je parabola prechádzajúca počiatkom. Druhý graf závislosti -

rovný (obr. 1). Možné sú tieto prípady:

Priamka a parabola sa môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Priamka a parabola sa môžu dotýkať (iba jeden spoločný bod), t.j. rovnica má jedno riešenie;

Priamka a parabola nemajú spoločné body, t.j. kvadratická rovnica nemá korene.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 3x - 4 = 0(obr. 2).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 3x + 4.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 3x + 4. Priame

y = 3x + 4 možno postaviť z dvoch bodov M (0; 4) A

N (3; 13) . Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch

A A IN s úsečkami X 1 = - 1 A X 2 = 4 . Odpoveď: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Riešime rovnicu graficky (obr. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 2x - 1.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 1.

Priame y = 2x - 1 stavať z dvoch bodov M (0; - 1)

A N(1/2; 0) . Priamka a parabola sa pretínajú v bode A s

úsečka x = 1. odpoveď:x = 1.

3) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 2x + 5 = 0(obr. 4).

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru X 2 = 5x - 5. Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 5. Priame y = 2x - 5 Postavme z dvoch bodov M(0; - 5) a N(2,5; 0). Priamka a parabola nemajú priesečníky, t.j. Táto rovnica nemá korene.

Odpoveď. Rovnica X 2 - 2x + 5 = 0 nemá korene.

8. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a vládcov.

Grafický spôsob riešenia kvadratických rovníc pomocou paraboly je nepohodlný. Ak zostavíte parabolu z bodov, trvá to veľa času a pri tom všetkom je miera presnosti získaných výsledkov nízka.

Navrhujem nasledujúcu metódu na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 pomocou kružidla a pravítka (obr. 5).

Predpokladajme, že požadovaný kruh pretína os

úsečka v bodoch B(x 1 ; 0) A D(X 2 ; 0), Kde X 1 A X 2 - korene rovnice Oh 2 + bx + c = 0, a prechádza cez body

A(0; 1) A C(0;c/ a) na zvislej osi. Potom, podľa sekantovej vety, máme O.B. * O.D. = O.A. * O.C., kde O.C. = O.B. * O.D./ O.A.= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Stred kružnice je v priesečníku kolmic SF A S.K., obnovené v stredoch akordov A.C. A BD, Preto

1) zostrojte body (stred kruhu) a A(0; 1) ;

2) nakreslite kruh s polomerom S.A.;

3) úsečky priesečníkov tohto kruhu s osou Oh sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

V tomto prípade sú možné tri prípady.

1) Polomer kruhu je väčší ako ordináta stredu (AS > S.K., alebo R > a + c/2 a) , kružnica pretína os Ox v dvoch bodoch (obr. 6,a) B(x 1 ; 0) A D(X 2 ; 0) , Kde X 1 A X 2 - korene kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0.

2) Polomer kruhu sa rovná ordinate stredu (AS = S.B., aleboR = a + c/2 a) , kružnica sa v bode dotýka osi Ox (obr. 6, b). B(x 1 ; 0) , kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice.

3) Polomer kružnice je menší ako ordináta stredu kružnice nemá spoločné body s osou x (obr. 6, c), v tomto prípade rovnica nemá riešenie.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 2x - 3 = 0 (obr. 7).

Riešenie. Určme súradnice stredu kruhu pomocou vzorcov:

Narysujme kružnicu s polomerom SA, kde A (0; 1).

odpoveď: X 1 = -1; X 2 = 3.

9. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramy.

Toto je stará a nezaslúžene zabudnutá metóda riešenia kvadratických rovníc, umiestnená na s. 83 (pozri Bradis V.M. Štvorciferné matematické tabuľky. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovnice z 2 + pz + q = 0 . Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice pomocou jej koeficientov.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 11):

Veriaci OS = p,ED = q, OE = a(všetky v cm), z podobnosti trojuholníkov SAN A CDF dostaneme pomer

čo po dosadení a zjednodušení dáva rovnicu

z 2 + pz + q = 0,

a list z znamená značku akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Príklady.

1) Pre rovnicu z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram dáva korene

z 1 = 8,0 A z 2 = 1,0 (obr. 12).

2) Pomocou nomogramu riešime rovnicu

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Vydelením koeficientov tejto rovnice 2 dostaneme rovnicu

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 A z 2 = 0,5.

3) Pre rovnicu

z 2 - 25 z + 66 = 0

koeficienty p a q sú mimo stupnice, vykonajte substitúciu z = 5 t, dostaneme rovnicu

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

ktorý vyriešime pomocou nomogramu a dostaneme t 1 = 0,6 A t 2 = 4,4, kde z 1 = 5 t 1 = 3,0 A z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METÓDA: Geometrická metóda riešenia štvorcov rovníc.

V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice neriešili algebraicky, ale geometricky. Uvediem slávny príklad z „algebry“ al-Khorezmiho.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný takto: „Štvorec a desať koreňov sa rovnajú 39“ (obr. 15).

Štvorcový S štvorec ABCD môže byť reprezentovaný ako súčet plôch: pôvodný štvorec X 2 , štyri obdĺžniky (4* 2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25* 4 = 25) , t.j. S = X 2 + 10x + 25. Výmena

X 2 + 10xčíslo 39 , chápeme to S = 39 + 25 = 64 , čo znamená, že strana štvorca ABCD, t.j. segment AB = 8. Pre požadovanú stranu X dostaneme pôvodný štvorec

2) Ale napríklad ako starí Gréci riešili rovnicu pri 2 + 6u - 16 = 0.

Riešenie znázornené na obr. 16, kde

pri 2 + 6u = 16, alebo pri 2 + 6 rokov + 9 = 16 + 9.

Riešenie. Výrazy pri 2 + 6u + 9 A 16 + 9 geometricky predstavujú rovnaký štvorec a pôvodnú rovnicu pri 2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- rovnaká rovnica. Odkiaľ to máme y + 3 = ± 5, alebo pri 1 = 2, r 2 = - 8 (obr. 16).

3) Vyriešte geometrickú rovnicu pri 2 - 6r - 16 = 0.

Transformáciou rovnice dostaneme

pri 2 - 6 rokov = 16.

Na obr. 17 nájdite „obrazy“ výrazu pri 2 - 6u, tie. od plochy štvorca so stranou y odpočítajte plochu štvorca so stranou rovnajúcou sa 3 . To znamená, že ak k výrazu pri 2 - 6u pridať 9 , potom dostaneme plochu štvorca so stranou pri - 3 . Nahradenie výrazu pri 2 - 6u má rovnaké číslo 16,

dostaneme: (y - 3) 2 = 16 + 9, tie. y - 3 = ± v25 alebo y - 3 = ± 5, kde pri 1 = 8 A pri 2 = - 2.

Záver

Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc.

Zároveň význam kvadratických rovníc nespočíva len v elegancii a stručnosti riešenia problémov, aj keď je to veľmi dôležité. Rovnako dôležité je, že v dôsledku používania kvadratických rovníc pri riešení problémov sa často objavujú nové detaily, môžu sa robiť zaujímavé zovšeobecnenia a objasnenia, ktoré napovedá analýza výsledných vzorcov a vzťahov.

Tu som sa zaoberal otázkou riešenia kvadratických rovníc a čo,

Literatúra:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. a ďalšie, 6.-8. Skúšobná učebnica pre 6-8 ročník strednej školy. - M., Vzdelávanie, 1981.

2. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky pre strednú školu Ed. 57. - M., Vzdelávanie, 1990. S. 83.

3. Kružepov A.K., Rubanov A.T. Kniha problémov o algebre a elementárnych funkciách. Učebnica pre stredné odborné vzdelávacie inštitúcie. - M., vysoká škola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratické funkcie, rovnice a nerovnice. Manuál pre učiteľa. - M., Vzdelávanie, 1972.

5. Presman A.A. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou kružidla a pravítka. - M., Kvant, č.4/72. S. 34.

6. Solomník V.S., Milov P.I. Zbierka otázok a úloh z matematiky. Ed. - 4., dodatočný - M., Vyššia škola, 1973.

7. Khudobin A.I. Zbierka úloh z algebry a elementárnych funkcií. Manuál pre učiteľa. Ed. 2. - M., Školstvo, 1970.