Zostáva zvážiť konvexnosť, konkávnosť a zlomy grafu. Začnime fyzickými cvičeniami, ktoré návštevníci stránky tak milujú. Postavte sa a nakloňte sa dopredu alebo dozadu. Toto je vydutina. Teraz natiahnite ruky pred seba, dlane nahor a predstavte si, že na hrudi držíte veľké poleno... ...dobre, ak sa vám poleno nepáči, nech to urobí niečo/niekto iný = ) Toto je konkávnosť. Množstvo zdrojov obsahuje synonymické výrazy vyduť sa A vydutie nadol, ale som fanúšikom krátkych názvov.
! Pozornosť
: niektorí autori určiť konvexnosť a konkávnosť presne naopak. To je tiež matematicky a logicky správne, ale často úplne nesprávne z vecného hľadiska, a to aj na úrovni nášho laického chápania pojmov. Takže napríklad šošovka s tuberkulami sa nazýva bikonvexná šošovka, ale nie s priehlbinami (bikonkávna).
A povedzme „konkávne“ lôžko - stále sa jasne „nedrží“ =) (ak však pod neho vyleziete, potom už budeme hovoriť o konvexnosti; =)) Držím sa prístupu, ktorý zodpovedá prirodzenému ľudské združenia.
Formálna definícia konvexnosti a konkávnosti grafu je pre čajník dosť náročná, preto sa obmedzíme na geometrický výklad pojmu na konkrétne príklady. Uvažujme o grafe funkcie, ktorá nepretržitý na celom číselnom rade: 
Je ľahké s ním stavať geometrické transformácie, a pravdepodobne veľa čitateľov vie, ako sa získava z kubickej paraboly.
Zavolajme akord linkové spojenie dva rôzne body grafika.
Graf funkcie je konvexné na nejakom intervale, ak sa nachádza nie nižšieľubovoľný akord daného intervalu. Experimentálna čiara je konvexná na a, samozrejme, tu sa akákoľvek časť grafu nachádza NAD jej akord. Na ilustráciu definície som nakreslil tri čierne čiary.
Grafové funkcie sú konkávne na intervale, ak sa nachádza nie vyššie ktorýkoľvek akord tohto intervalu. V uvažovanom príklade je pacient v intervale konkávny. Pár hnedých segmentov presvedčivo demonštruje, že tu sa ktorýkoľvek kúsok grafu nachádza POD ním akord.
Bod na grafe, v ktorom sa mení z konvexného na konkávny alebo konkávnosť až konvexnosť sa nazýva inflexný bod. Máme ho v jedinej kópii (prvý prípad) a v praxi pod inflexným bodom môžeme myslieť ako zelený bod prislúchajúci k samotnej čiare, tak aj hodnotu „X“.
DÔLEŽITÉ! Zlomy grafu by mali byť nakreslené opatrne a veľmi hladké. Všetky druhy „nezrovnalostí“ a „hrubosti“ sú neprijateľné. Chce to len trochu tréningu.
Druhý prístup k určovaniu konvexnosti/konkávnosti v teórii je daný tangentami:
Konvexné na intervale sa graf nachádza nie vyššie dotyčnica k nemu vedená v ľubovoľnom bode daného intervalu. Konkávne na intervalovom grafe - nie nižšieľubovoľná dotyčnica tohto intervalu.
Hyperbola je konkávna na intervale a konvexná na: 
Pri prechode počiatkom súradníc sa konkávnosť mení na konvexnosť, ale bod NEPOČÍTAJTE inflexný bod, keďže funkcia nie sú definované v ňom.
Presnejšie tvrdenia a teorémy na túto tému nájdete v učebnici a prejdeme k intenzívnej praktickej časti:
Ako nájsť intervaly konvexnosti, intervaly konkávnosti
a inflexné body grafu?
Materiál je jednoduchý, šablónovaný a štruktúrne sa opakuje štúdium funkcie pre extrém.
Charakterizuje konvexnosť/konkávnosť grafu druhá derivácia funkcie.
Nech je funkcia dvakrát diferencovateľná na nejakom intervale. potom:
– ak je druhá derivácia na intervale, potom je graf funkcie na tomto intervale konvexný;
– ak je druhá derivácia na intervale, potom je graf funkcie konkávny na tomto intervale.
Pokiaľ ide o znamienka druhej derivácie vzhľadom na medzery vzdelávacie inštitúcie okolo prechádza prehistorická asociácia: „–“ ukazuje, že „do grafu funkcie nemôžete naliať vodu“ (konvexnosť),
a „+“ – „dáva takúto príležitosť“ (konkávnosť).
Nevyhnutná podmienka skloňovania
Ak je v bode v grafe funkcie inflexný bod, To:
alebo hodnota neexistuje(Poďme to vyriešiť, čítajte!).
Táto fráza znamená, že funkcia nepretržitý v bode a v prípade – je dvakrát diferencovateľná v niektorom jej susedstve.
Nevyhnutnosť podmienky naznačuje, že opak nie je vždy pravdou. Teda z rovnosti (alebo neexistencie hodnoty) ešte by nemal existencia inflexného bodu v grafe funkcie v bode . Ale v oboch situáciách volajú kritický bod druhej derivácie.
Dostatočná podmienka na skloňovanie
Ak druhá derivácia pri prechode bodom zmení znamienko, potom v tomto bode nastáva inflexia v grafe funkcie.
Vôbec nemusia existovať žiadne inflexné body (príklad už bol splnený) av tomto zmysle sú niektoré elementárne príklady indikatívne. Poďme analyzovať druhú deriváciu funkcie: 
Získa sa pozitívna konštantná funkcia, tzn pre akúkoľvek hodnotu "x". Fakty ležiace na povrchu: parabola je v celom rozsahu konkávna doména definície, neexistujú žiadne inflexné body. Je ľahké si všimnúť, že záporný koeficient na „invertuje“ parabolu a robí ju konvexnou (ako nám povie druhá derivácia, negatívna konštantná funkcia).
Exponenciálna funkcia je tiež konkávna pri: 
pre akúkoľvek hodnotu "x".
Samozrejme, že graf nemá žiadne inflexné body.
Graf skúmame na konvexnosť/konkávnosť logaritmická funkcia :
Vetva logaritmu je teda na intervale konvexná. Druhá derivácia je tiež definovaná na intervale, ale zvážte to JE TO ZAKÁZANÉ, keďže tento interval nie je zahrnutý v doména definície funkcie Požiadavka je zrejmá - keďže tam nie je logaritmický graf, tak sa prirodzene nehovorí o žiadnej konvexnosti/konkávnosti/inflexii.
Ako vidíte, všetko naozaj veľmi pripomína príbeh s zvýšenie, zníženie a extrémy funkcie. Podobne ako ja algoritmus na štúdium grafu funkciepre konvexnosť, konkávnosť a prítomnosť zalomení:
2) Hľadáme kritické hodnoty. Ak to chcete urobiť, vezmite druhú deriváciu a vyriešte rovnicu. Body, v ktorých neexistuje žiadna 2. derivácia, ale ktoré sú zahrnuté v oblasti definície samotnej funkcie, sa tiež považujú za kritické!
3) Označte na číselnej osi všetky nájdené body prerušenia a kritické body ( nemusí byť ani jedno, ani druhé - potom netreba nič kresliť (ako v príliš jednoduchom prípade), stačí sa obmedziť na písomný komentár). Intervalová metóda určiť znamienka na výsledných intervaloch. Ako bolo práve vysvetlené, treba zvážiť len tie intervaly, ktoré sú zahrnuté v doméne definície funkcie. Vyvodíme závery o konvexnosti/konkávnosti a inflexných bodoch grafu funkcie. Dávame odpoveď.
Pokúste sa verbálne aplikovať algoritmus na funkcie 
. Mimochodom, v druhom prípade existuje príklad, keď v grafe v kritickom bode nie je žiadny inflexný bod. Začnime však trochu náročnejšími úlohami:
Príklad 1
Riešenie:
1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. velmi dobre.
2) Nájdime druhú deriváciu. Najprv môžete vykonať konštrukciu kocky, ale jej použitie je oveľa výhodnejšie pravidlo pre diferenciáciu komplexných funkcií:
Vezmite prosím na vedomie, že 
, čo znamená, že funkcia je neklesajúci. Hoci to nie je pre danú úlohu relevantné, vždy je vhodné venovať pozornosť takýmto skutočnostiam.
Nájdite kritické body druhej derivácie:
– kritický bod
3) Skontrolujeme, či je splnená podmienka dostatočnej inflexie. Určme znamienka druhej derivácie na výsledných intervaloch.
Pozor! Teraz pracujeme s druhou deriváciou (a nie s funkciou!)
V dôsledku toho sa získal jeden kritický bod: .
3) Označte dva body prerušenia na číselnej osi, kritický bod a určte znamienka druhej derivácie na výsledných intervaloch:
Pripomínam vám dôležitú techniku intervalová metóda, čo vám umožní výrazne urýchliť riešenie. Druhá derivácia 
sa ukázalo byť veľmi ťažkopádne, takže nie je potrebné počítať jeho hodnoty, stačí urobiť „odhad“ v každom intervale. Vyberme si napríklad bod patriaci do ľavého intervalu,
a vykonajte nahradenie: 
Teraz poďme analyzovať multiplikátory: 
Dva „mínus“ a „plus“ teda dávajú „plus“, čo znamená, že druhá derivácia je v celom intervale kladná.
Komentované akcie sa dajú ľahko vykonať verbálne. Okrem toho je výhodné tento faktor úplne ignorovať – je kladný pre akékoľvek „x“ a neovplyvňuje znamienka našej druhej derivácie.
Aké informácie ste nám teda poskytli?
Odpoveď: Graf funkcie je konkávny pri 
a konvexné na 
. Pri pôvode (to je jasné) v grafe je inflexný bod.
Pri prechode bodmi druhá derivácia tiež mení znamienko, ale nepovažujú sa za inflexné body, pretože v nich funkcia trpí nekonečné prestávky.
V analyzovanom príklade prvá derivácia 
nás informuje o raste funkcie v celom rozsahu doména definície. Vždy by sa našla taká voľka =) Navyše je zrejmé, že sú tri asymptota. Získalo sa veľa údajov, čo umožňuje vysoký stupeň súčasná spoľahlivosť vzhľad grafika. Do kopy je funkcia tiež nepárna. Na základe zistených faktov si skúste urobiť hrubý náčrt. Obrázok na konci lekcie.
Úloha na nezávislé riešenie:
Príklad 6
Preskúmajte graf funkcie na konvexnosť, konkávnosť a nájdite inflexné body grafu, ak existujú.
Vo vzorke nie je žiadna kresba, ale nie je zakázané predkladať hypotézu;)
Materiál brúsime bez očíslovania bodov algoritmu:
Príklad 7
Preskúmajte graf funkcie na konvexnosť, konkávnosť a nájdite inflexné body, ak existujú.
Riešenie: funkcia toleruje nekonečná medzera v bode .
Ako obvykle, u nás je všetko v poriadku: 
Deriváty nie sú najťažšie, hlavnou vecou je dávať pozor na ich „účes“.
V indukovanom maratóne sa odhalia dva kritické body druhej derivácie: 
Určme znamienka na výsledných intervaloch:
V grafe je inflexný bod v bode, nájdime súradnicu bodu: 
Pri prechode bodom druhá derivácia nemení znamienko, preto v grafe nie je ŽIADNA inflexia.
Odpoveď: intervaly konvexnosti: 
; interval konkávnosti: ; inflexný bod: .
Pozrime sa na posledné príklady s ďalšími zvončekmi a píšťalkami:
Príklad 8
Nájdite intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexných bodov grafu
Riešenie: s nálezom doména definície Neexistujú žiadne špeciálne problémy:
, zatiaľ čo funkcia trpí diskontinuitami v bodoch.
Poďme po vychodených cestách: 
– kritický bod.
Definujme znamienka a zvážme intervaly iba z funkčnej domény:
V grafe je inflexný bod v bode, vypočítajme súradnicu: 
Pojem konvexnosti funkcie
Uvažujme funkciu \(y = f\left(x \right),\), o ktorej sa predpokladá, že je spojitá na intervale \(\left[ (a,b) \right].\) Funkcia \(y = f\ vľavo(x \vpravo)\) sa nazýva konvexné nadol (alebo len konvexné), ak je pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) z \(\vľavo[ (a,b) \vpravo]\) nerovnosť \ Ak je táto nerovnosť prísna pre ľubovoľné \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom funkcia \(f\left(x \right) \) sa nazývajú prísne konvexné nadol
Podobne je definovaná vzostupná konvexná funkcia. Zavolá sa funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor (alebo konkávne), ak pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) segmentu \(\ľavý[ (a,b) \vpravo]\) je nerovnosť \ Ak je táto nerovnosť prísna pre ľubovoľný \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom funkcia \(f\left(x \ vpravo) \) sa nazývajú prísne konvexné smerom nahor na segmente \(\vľavo[ (a,b) \vpravo].\)
Geometrická interpretácia konvexnosti funkcie
Zavedené definície konvexnej funkcie majú jednoduchú geometrickú interpretáciu.
Pre funkciu, konvexné nadol (Obrázok \(1\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží vyššie
Podobne pre funkciu, konvexne nahor (Obrázok \(2\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží nižšie zodpovedajúci bod \((A_0)\) grafu funkcie alebo sa zhoduje s týmto bodom.
Konvexné funkcie majú ďalšiu vizuálnu vlastnosť, ktorá súvisí s umiestnením dotyčnica do grafu funkcie. Funkcia \(f\left(x \right)\) je konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží nižšie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (Obrázok \(3\)).
Podľa toho je funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží vyššie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (Obrázok \(4\)). Tieto vlastnosti tvoria vetu a možno ich dokázať pomocou definície konvexnosti funkcie.
Dostatočné podmienky pre konvexnosť
Nech funkcia \(f\left(x \right)\) má svoju prvú deriváciu \(f"\left(x \right)\) existuje na intervale \(\left[ (a,b) \right], \) a druhá derivácia \(f""\left(x \right)\) - na intervale \(\left((a,b) \right).\) Potom platia nasledujúce postačujúce kritériá pre konvexnosť:
Ak \(f""\left(x \right) \ge 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right];\)
Ak \(f""\left(x \right) \le 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexné smerom nahor na segmente \(\vľavo[ (a,b) \vpravo].\)
Dokážme vyššie uvedenú vetu pre prípad klesajúcej konvexnej funkcie. Nech funkcia \(f\left(x \right)\) má nezápornú druhú deriváciu na intervale \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Označme \((x_0)\) stred segmentu \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Predpokladajme, že dĺžka tento segment sa rovná \(2h.\) Potom súradnice \((x_1)\) a \((x_2)\) možno zapísať ako: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Rozšírme funkciu \(f\left(x \right)\) v bode \((x_0)\) na Taylorov rad so zvyšným členom v Lagrangeovom tvare . Dostaneme nasledujúce výrazy: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
Pridajme obe rovnosti: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] Keďže \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\), potom sú druhé derivácie na pravej strane nezáporné . Preto \ alebo \, teda v súlade s definíciou, funkcia \(f\left(x \right)\) konvexné nadol
.
Všimnite si, že nevyhnutná podmienka pre konvexnosť funkcie (t. j. priama veta, v ktorej napríklad z podmienky konvexnosti smerom nadol vyplýva, že \(f""\left(x \right) \ge 0\))) sa uspokojí len pre neprísne nerovnosti. V prípade striktnej konvexnosti nie je nevyhnutná podmienka, všeobecne povedané, splnená. Napríklad funkcia \(f\left(x \right) = (x^4)\) je striktne konvexná smerom nadol. V bode \(x = 0\) sa však jeho druhá derivácia rovná nule, t.j. striktná nerovnosť \(f""\left(x \right) \gt 0\) v tomto prípade neplatí.
Vlastnosti konvexných funkcií
Uveďme niektoré vlastnosti konvexných funkcií za predpokladu, že všetky funkcie sú definované a spojité na intervale \(\left[ (a,b) \right].\)
Ak sú funkcie \(f\) a \(g\) konvexné smerom nadol (nahor), potom ktorákoľvek z nich lineárna kombinácia \(af + bg,\) kde \(a\), \(b\) sú kladné reálne čísla, je tiež konvexné smerom nadol (nahor).
Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) smerom dole konvexná a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je dole konvexná a neklesá, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude tiež konvexné smerom nadol.
Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) konvexná smerom nahor a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je konvexná smerom nadol a nerastie, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude konvexné smerom nadol.
Miestne maximum nahor konvexná funkcia definovaná na intervale \(\left[ (a,b) \right],\) je tiež jej najvyššia hodnota v tomto segmente.
Miestne minimum nadol konvexná funkcia definovaná na intervale \(\left[ (a,b) \right],\) je tiež jej najnižšia hodnota v tomto segmente.
- Pojem konvexných a konkávnych funkcií
Pri štúdiu funkcie môže byť užitočné určiť, v ktorých intervaloch je funkcia konvexná a v ktorých je konkávna.
Na určenie konvexnej a konkávnej funkcie nakreslíme dotyčnice ku grafom funkcie v ľubovoľných bodoch X 1 a X 2 (obr. 15.1 a 15.2):
Volá sa graf funkcie konkávne na intervale, ak sa nachádza nad ľubovoľnou dotyčnicou ku grafu funkcie na tomto intervale.
Volá sa graf funkcie konvexné na intervale, ak sa nachádza pod akoukoľvek dotyčnicou ku grafu funkcie na tomto intervale.
Bod v grafe spojitej funkcie, v ktorom sa mení povaha konvexnosti, sa nazýva inflexný bod . V inflexnom bode bude dotyčnica pretínať krivku.
Funkcia môže mať niekoľko intervalov konvexnosti a konkávnosti a niekoľko inflexných bodov. Pri určovaní intervalov konvexnosti a konkávnosti sa ako odpoveď vyberie interval hodnôt: inflexné body sa neklasifikujú ani ako intervaly konvexnosti, ani ako intervaly konkávnosti.
Graf funkcie na obr. 15.3 je teda konvexný na intervaloch (- ; X 1) a ( X 2; +); konkávne na ( X 1 ;X 2). Graf funkcie má dva inflexné body: ( X 1 ;pri 1) a ( X 2 ;pri 2).
- Kritérium konvexnosti-konkávnosti funkcie a inflexných bodov.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie sa nachádzajú pomocou nasledujúcej vety:
Veta. 1. Ak má funkcia kladnú druhú deriváciu, potom je graf funkcie na intervale konkávny.
2. Ak má funkcia zápornú druhú deriváciu, potom je graf funkcie na intervale konvexný.
Predstavme si kritérium konvexnosti-konkávnosti funkcie vo forme diagramu:
Skúmanie funkcie na konvexnosť-konkávnosť teda znamená nájsť tie intervaly definičného oboru, v ktorých si druhá derivácia zachováva svoje znamienko.
Všimnite si, že môže zmeniť svoje znamienko iba v tých bodoch, v ktorých sa druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje. Takéto body sa zvyčajne nazývajú kritické body druhého druhu .
Len kritické body môžu byť inflexnými bodmi. Na ich nájdenie sa používa nasledujúca veta:
Veta (dostatočná podmienka pre existenciu inflexných bodov). Ak druhá derivácia pri prechode bodom x o zmení znamienko, potom bod grafu s úsečkou x o je inflexný bod.
Pri skúmaní funkcie na konvexnosť-konkávnosť a inflexné body môžete použiť nasledujúce algoritmu :
Príklad 15.1. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body grafu funkcie.
Riešenie. 1. Táto funkcia je definovaná na množine R.
2. Nájdite prvú deriváciu funkcie: = .
3. Nájdite druhú deriváciu funkcie: =2 X-6.
4. Definujte kritické body druhého druhu ( 0): 2 X-6= 0 X=3.
5. Označte kritický bod na číselnej osi X=3. Rozdeľuje definičný obor funkcie na dva intervaly (-∞;3) a (3;+∞). Usporiadajme znamienka druhej derivácie funkcie 2 X-6 v každom z výsledných intervalov:
pri X=0 (-∞;3) (0)=-6<0;
pri X=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.
|
6. Podľa kritéria konvexnosti-konkávnosti je graf funkcie konvexný, keď X(-∞;3), konkávne pri X (3;+ ∞).
Význam X=3 – úsečka inflexného bodu. Vypočítajme hodnotu funkcie at X=3:
2. Takže bod so súradnicami (3;2) je inflexný bod.
Odpoveď: graf funkcie je konvexný, keď X (-∞;3),
konkávne pri X(3;+ ∞); (3;2) – inflexný bod.
Príklad 15.2. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body grafu funkcie.
Riešenie. 1. Táto funkcia je definovaná v prípade, keď je menovateľ nenulový: X-7≠0 .
2. Nájdite prvú deriváciu funkcie:
3. Nájdite druhú deriváciu funkcie: = =
Dajme 2∙( X-7) mimo zátvoriek:
= = = . (7;+∞) (8)= >0.
|
6. Podľa kritéria konvexnosti-konkávnosti je graf funkcie konvexný, keď X(-∞;7), konkávne pri X (7;+ ∞).
Abscisa bodka X=7 nemôže byť inflexný bod, pretože v tomto bode funkcia neexistuje (trpí diskontinuitou).
Odpoveď: graf funkcie je konvexný, keď X(-∞;7), konkávne pri X (7;+ ∞).
Bezpečnostné otázky:
je diferencovateľný na intervale (a, b). Potom existuje dotyčnica ku grafu funkcie v ľubovoľnom bode 
tento graf ( 
) a dotyčnica nie je rovnobežná s osou OY, pretože jej uhlový koeficient sa rovná 
, samozrejme.
odhodlanie
na (a, b) má uvoľnenie smerujúce nadol (nahor), ak nie je umiestnené nižšie (nie vyššie) ako akákoľvek dotyčnica ku grafu funkcie na (a, b). 
(
) vo všetkých bodoch tohto intervalu je potom krivka, ktorá je grafom funkcie, na tomto intervale konvexná (konkávna).
sa nazýva inflexný bod grafu funkcie, ak je v bode 
graf má dotyčnicu a existuje také okolie bodu 
, v rámci ktorej má graf funkcie vľavo a vpravo od bodu rôzne smery konvexnosti.
Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica pretína graf funkcie, keďže na jednej strane tohto bodu leží graf nad dotyčnicou a na druhej - pod ňou, teda v blízkosti inflexného bodu graf funkcie geometricky prechádza z jednej strany dotyčnice na druhú a "ohýba" sa nad ňou. Odtiaľ pochádza názov „inflexný bod“.
spojitá druhá derivácia. Potom 
.
nemá inflexný bod v (0, 0), hoci 
pri 
. Preto je rovnosť druhej derivácie k nule len nevyhnutnou podmienkou pre skloňovanie. 
má rôzne znamienka vľavo a vpravo od bodu, potom má graf inflexný bod v bode. 
má druhú deriváciu v nejakom okolí bodu, s výnimkou samotného bodu, a v bode je dotyčnica ku grafu funkcie 
. Potom, ak má v zadanom okolí rôzne znamienka vľavo a vpravo od bodu, potom má graf funkcie inflexiu v bode. 
pre konvexnosť, konkávnosť, inflexné body. 
, 
=
neexistuje kedy 
)
)
alebo v blízkosti bodov nespojitosti 2. druhu sa často ukáže, že graf funkcie sa približuje k danej priamke tak blízko, ako si želáte. Tieto sa nazývajú priame čiary.
definícia 1.
sa nazýva asymptota krivky L, ak vzdialenosť od bodu na krivke k tejto priamke smeruje k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž krivky do nekonečna. Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne, šikmé. 
sa nazýva vertikálna asymptota grafu funkcie, ak sa aspoň jedna z jednostranných limit rovná 
, teda alebo 
má vertikálnu asymptotu 
, pretože 
, A 
.
Ak 
.
.
(
) sa nazýva šikmá asymptota grafu funkcie at 
Ak 
; 
.
; x=0 – vertikálna asymptota
.
- šikmá asymptota. 
a naplánovať to. 
funkcia nie je párna ani nepárna-
-
+
+
r
-4
t r.
0
Záver.
Dôležitou črtou uvažovanej metódy je, že je založená predovšetkým na detekcii a štúdiu charakteristické znaky v správaní krivky. Miesta, kde sa funkcia plynule mení, nie sú podrobne študované a takéto štúdium nie je potrebné. Ale tie miesta, kde má funkcia nejaké zvláštnosti v správaní, podliehajú úplný výskum a čo najpresnejšie grafický obrázok. Tieto znaky sú body maxima, minima, body diskontinuity funkcie atď.
Určenie smeru konkávnosti a inflexie, ako aj špecifikovaný spôsob hľadania asymptot, umožňujú študovať funkcie ešte podrobnejšie a získať presnejšiu predstavu o ich grafoch.
Pokyny
Inflexné body funkcie musia patriť do oblasti jej definície, ktorú treba nájsť ako prvú. Graf funkcie je čiara, ktorá môže byť spojitá alebo môže mať diskontinuity, monotónne klesať alebo stúpať, mať minimálne alebo maximálne body (asymptoty), byť konvexná alebo konkávna. Prudká zmena v posledných dvoch stavoch sa nazýva inflexný bod.
Predpoklad existencia inflexie funkcie spočíva v rovnosti druhej s nulou. Dvojnásobným derivovaním funkcie a prirovnaním výsledného výrazu k nule teda môžeme nájsť úsečku možných inflexných bodov.
Táto podmienka vyplýva z definície vlastností konvexnosti a konkávnosti grafu funkcie, t.j. záporné a kladné hodnoty druhého derivátu. V inflexnom bode dochádza k prudkej zmene týchto vlastností, čo znamená, že derivácia prechádza nulovou značkou. Na označenie skloňovania však ešte nestačí byť rovný nule.
Na to, aby úsečka nachádzajúca sa v predchádzajúcej fáze patrila inflexnému bodu, existujú dve dostatočné podmienky: Cez tento bod možno nakresliť dotyčnicu k funkcii. Druhá derivácia má odlišné znamienka vpravo a vľavo od predpokladaného inflexného bodu. Jeho existencia v samotnom bode teda nie je potrebná, stačí určiť, že v ňom mení znamienko. Druhá derivácia funkcie je nulová, ale tretia nie.
Prvá dostatočná podmienka je univerzálna a používa sa častejšie ako ostatné. Zoberme si názorný príklad: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).
Riešenie: Nájdite doménu definície. V tomto prípade neexistujú žiadne obmedzenia, preto ide o celý priestor reálnych čísel. Vypočítajte prvú deriváciu: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Všimnite si vzhľad zlomku. Z toho vyplýva, že oblasť definície derivátu je obmedzená. Bod x = 5 je prepichnutý, čo znamená, že ním môže prechádzať dotyčnica, čo čiastočne zodpovedá prvému znaku dostatočnej inflexie.
Určte jednostranné limity pre výsledný výraz pre x → 5 – 0 a x → 5 + 0. Sú to -∞ a +∞. Dokázali ste, že bodom x=5 prechádza vertikálna dotyčnica. Tento bod môže byť inflexný bod, ale najskôr vypočítajte druhú deriváciu: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.
Vynechajte menovateľa, pretože ste už brali do úvahy bod x = 5. Vyriešte rovnicu 2 x – 22 = 0. Má jeden koreň x = 11. Posledným krokom je potvrdenie, že body x = 5 a x = 11 sú inflexné body. Analyzujte správanie druhého derivátu v ich blízkosti. Je zrejmé, že v bode x = 5 sa zmení znamienko z „+“ na „-“ a v bode x = 11 - naopak. Záver: oba body sú inflexné body. Prvá postačujúca podmienka je splnená.