„Jednotky merania fyzikálnych veličín“ - Absolútna chyba sa rovná polovici hodnoty delenia meracieho zariadenia. Mikrometer. Výsledok sa získa priamo pomocou meracieho zariadenia. Dĺžka škatuľky: 4 cm s deficitom, 5 cm s prebytkom. Pre každého fyzikálne množstvo existujú zodpovedajúce jednotky merania. Sledujte. Relatívna chyba.
„Hodnoty dĺžky“ - 2. Aké veličiny je možné navzájom porovnať: 2. Vysvetlite, prečo sa nasledujúci problém rieši pomocou sčítania: 2. Zdôvodnite výber akcie pri riešení úlohy. Koľko balíkov ste dostali? Koľko pier je v troch z týchto škatúľ? Šaty boli vyrobené z 12 m látky, pričom na každé boli použité 4 m. Koľko šiat bolo vyrobených?
„Fyzikálne veličiny“ – Hranice oddeľujúce fyziku a iné prírodné vedy, historicky podmienené. Výsledok akéhokoľvek merania vždy obsahuje nejakú chybu. Nová téma. Rýchlosť. Interakcia telies. Fyzikálne zákony sú prezentované vo forme kvantitatívnych vzťahov vyjadrených jazykom matematiky. Chyba merania.
Hodina matematiky „Číslo ako výsledok merania veličiny“ - „Číslo ako výsledok merania veličiny“ v 1. ročníku. Meranie dĺžky segmentu pomocou meracej tyče.
„Čísla a množstvá“ - Úvod do pojmu hmotnosť. Porovnanie hmotností bez meraní. Rímsky písané číslovanie. Kapacita. Žiak sa naučí: Čísla a veličiny (30 hodín) Súradnicový lúč Pojem súradnicový lúč. Plánované výsledky predmetov v časti „Čísla a množstvá“ v 2. ročníku. Všeobecný princíp tvorenie kardinálnych čísloviek v medziach študovaných čísel.
„Množstvo dopytu“ - Dôvody zmien dopytu. Krivka DD získaná na grafe (z anglického dopytu - „dopyt“) sa nazýva krivka dopytu. Elastická požiadavka (Epd>1). Množstvo dopytu. Faktory ovplyvňujúce dopyt. Závislosť dopytovaného množstva od cenovej hladiny sa nazýva škála dopytu. Absolútne nepružný dopyt (Epd=0).
Matematické očakávanie. Matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X s konečným počtom hodnôt Xi s pravdepodobnosťami ri, suma sa volá:
Matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X sa nazýva integrál súčinu jeho hodnôt X na hustote rozdelenia pravdepodobnosti f(x):
(6b)
Nesprávny integrál (6 b) sa považuje za absolútne konvergentné (inak hovoria, že matematické očakávanie M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očakávanie priemerná hodnota náhodná premenná X. Jeho rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej.
Vlastnosti matematického očakávania:
Disperzia. Rozptyl náhodná premenná Xčíslo sa volá:
Rozptyl je rozptylová charakteristika hodnoty náhodných premenných X v pomere k jeho priemernej hodnote M(X). Dimenzia rozptylu sa rovná dimenzii druhej mocniny náhodnej premennej. Na základe definícií rozptylu (8) a matematického očakávania (5) pre diskrétnu náhodnú premennú a (6) pre spojitú náhodnú premennú získame podobné výrazy pre rozptyl:
(9)
Tu m = M(X).
Disperzné vlastnosti:
štandardná odchýlka:
(11)
Keďže štandardná odchýlka má rovnaký rozmer ako náhodná premenná, častejšie sa používa ako miera rozptylu ako rozptyl.
Momenty distribúcie. Koncepty matematického očakávania a rozptylu sú špeciálnymi prípadmi viacerých všeobecný pojem pre číselné charakteristiky náhodné premenné – distribučné momenty. Momenty rozdelenia náhodnej premennej sú predstavené ako matematické očakávania niektorých jednoduchých funkcií náhodnej premennej. Takže moment objednávky k vzhľadom na bod X 0 sa nazýva matematické očakávanie M(X–X 0 )k. Momenty o pôvode X= 0 sa volajú počiatočné momenty a sú určené:
(12)
Počiatočný moment prvého rádu je stredom rozdelenia uvažovanej náhodnej premennej:
(13)
Momenty o centre distribúcie X= m sa volajú centrálne body a sú určené:
(14)
Z (7) vyplýva, že centrálny moment prvého rádu je vždy rovný nule:
Centrálne momenty nezávisia od pôvodu hodnôt náhodnej premennej, pretože keď sú posunuté o konštantnú hodnotu S jeho distribučné centrum sa posunie o rovnakú hodnotu S a odchýlka od stredu sa nemení: X – m = (X – S) – (m – S).
Teraz je to už zrejmé disperzia- Toto centrálny moment druhého rádu:
Asymetria. Centrálny moment tretieho rádu:
(17)
slúži na vyhodnotenie distribučné asymetrie. Ak je rozdelenie symetrické okolo bodu X= m, potom sa centrálny moment tretieho rádu bude rovnať nule (ako všetky centrálne momenty nepárnych rádov). Preto, ak je centrálny moment tretieho rádu odlišný od nuly, potom rozdelenie nemôže byť symetrické. Veľkosť asymetrie sa hodnotí pomocou bezrozmerného koeficient asymetrie:
(18)
Znamienko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannú alebo ľavostrannú asymetriu (obr. 2).
Ryža. 2. Typy distribučnej asymetrie.
Nadbytok. Centrálny moment štvrtého rádu:
(19)
slúži na vyhodnotenie tzv prebytok, ktorý určuje stupeň strmosti (špicatosti) krivky rozdelenia v blízkosti stredu rozdelenia vo vzťahu ku krivke normálne rozdelenie. Pretože pre normálne rozdelenie je hodnota braná ako špičatosť:
(20)
Na obr. Obrázok 3 ukazuje príklady distribučných kriviek s rôznymi hodnotami špičatosti. Pre normálnu distribúciu E= 0. Krivky, ktoré sú vrcholovejšie ako normálne, majú kladnú špičatosť, krivky, ktoré sú s plochým vrcholom, majú zápornú špičku.
Ryža. 3. Distribučné krivky s rôznym stupňom strmosti (kurtóza).
Momenty vyššieho rádu sa zvyčajne nepoužívajú v inžinierskych aplikáciách matematickej štatistiky.
Móda
diskrétne náhodná premenná je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Móda nepretržitý náhodná veličina je jej hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna (obr. 2). Ak má distribučná krivka jedno maximum, potom sa rozdelenie nazýva unimodálne. Ak má distribučná krivka viac ako jedno maximum, potom sa nazýva rozdelenie multimodálne. Niekedy existujú distribúcie, ktorých krivky majú skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sú tzv antimodálne. Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V špeciálnom prípade pre modálny, t.j. majúce modus, symetrické rozdelenie a za predpokladu, že existuje matematické očakávanie, toto druhé sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.
Medián náhodná premenná X- toto je jeho význam Meh, pre ktoré platí rovnosť: t.j. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná X bude menej alebo viac Meh. Geometricky medián je úsečka bodu, v ktorom je plocha pod distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 2). V prípade symetrického modálneho rozdelenia sú medián, modus a matematické očakávanie rovnaké.
Pri riešení mnohých praktických problémov nie je vždy potrebné náhodnú premennú úplne charakterizovať, teda určiť zákony distribúcie. Navyše, zostrojenie funkcie alebo série rozdelení pre diskrétnu náhodnú premennú a hustotu pre spojitú náhodnú premennú je ťažkopádne a zbytočné.
Niekedy stačí uviesť jednotlivé číselné parametre, ktoré čiastočne charakterizujú vlastnosti rozdelenia. Je potrebné poznať nejakú priemernú hodnotu každej náhodnej premennej, okolo ktorej je zoskupená jej možná hodnota, alebo stupeň rozptylu týchto hodnôt vo vzťahu k priemeru atď.
Charakteristiky najvýznamnejších znakov rozdelenia sa nazývajú číselné charakteristiky náhodná premenná. S ich pomocou je jednoduchšie vyriešiť mnohé pravdepodobnostné problémy bez toho, aby sme im definovali distribučné zákony.
Najdôležitejšou charakteristikou polohy náhodnej veličiny na číselnej osi je matematické očakávanie M[X]= a, ktorý sa niekedy nazýva priemer náhodnej premennej. Pre diskrétna náhodná premenná X s možné hodnoty x 1 , x 2 , … , x n a pravdepodobnosti p 1 , p 2 ,… , p n určuje sa podľa vzorca
Vzhľadom na to, že =1, môžeme písať
teda matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčtom súčinov jej možných hodnôt a ich pravdepodobností. Pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej blíži k matematickému očakávaniu.
Pre spojitá náhodná premenná X matematické očakávanie nie je určené súčtom, ale integrálny
Kde f(x) - hustota rozloženia množstva X.
Matematické očakávanie neexistuje pre všetky náhodné premenné. Pre niektoré z nich sa súčet alebo integrál rozchádza, a preto neexistujú žiadne matematické očakávania. V týchto prípadoch by sa mal z dôvodov presnosti obmedziť rozsah možných zmien v náhodnej premennej X, pre ktoré bude súčet alebo integrál konvergovať.
V praxi sa používajú aj také charakteristiky polohy náhodnej premennej ako modus a medián.
Režim náhodnej premennejjeho najpravdepodobnejšia hodnota je tzv. Vo všeobecnosti sa režim a matematické očakávanie nezhodujú.
Medián náhodnej premennejX je jeho hodnota, voči ktorej je rovnako pravdepodobné, že sa získa väčšia alebo menšia hodnota náhodnej premennej t.j. toto je úsečka bodu, v ktorom je oblasť ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu. Pre symetrické rozdelenie sú všetky tri charakteristiky rovnaké.
Okrem matematického očakávania, módu a mediánu sa v teórii pravdepodobnosti používajú aj ďalšie charakteristiky, z ktorých každá popisuje špecifickú vlastnosť rozdelenia. Napríklad numerické charakteristiky, ktoré charakterizujú disperziu náhodnej premennej, t. j. ukazujúce, ako blízko sú jej možné hodnoty zoskupené okolo matematického očakávania, sú disperzia a štandardná odchýlka. Významne dopĺňajú náhodnú premennú, keďže v praxi sa často vyskytujú náhodné premenné s rovnakými matematickými očakávaniami, ale rozdielnym rozdelením. Pri určovaní disperzných charakteristík použite rozdiel medzi náhodnou premennou X a jeho matematické očakávanie, t.j.
Kde A = M[X] - matematické očakávanie.
Tento rozdiel je tzv centrovaná náhodná premenná, zodpovedajúca hodnota X, a je určený :
Rozptyl náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky hodnoty od jej matematického očakávania, t.j.:
D[ X]=M[( X-a) 2 ], príp
D[ X]=M[ 2 ].
Disperzia náhodnej premennej je vhodnou charakteristikou rozptylu a rozptylu hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Nie je to však jasné, keďže má rozmer štvorca náhodnej premennej.
Na vizuálnu charakteristiku disperzie je vhodnejšie použiť hodnotu, ktorej rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej. Toto množstvo je smerodajná odchýlka náhodná premenná, ktorá je kladnou druhou odmocninou jej rozptylu.
Očakávanie, modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka – najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodných veličín. Pri riešení praktických úloh, keď nie je možné určiť zákon rozdelenia, je približným popisom náhodnej veličiny jej číselná charakteristika, vyjadrujúca nejakú vlastnosť rozdelenia.
Okrem hlavných charakteristík rozloženia centra (matematické očakávanie) a disperzie (disperzia) je často potrebné popísať aj ďalšie dôležité charakteristiky rozdelenia – symetria A špiclavosť, ktoré možno znázorniť pomocou distribučných momentov.
Rozdelenie náhodnej premennej je úplne špecifikované, ak sú známe všetky jej momenty. Mnohé rozdelenia však možno úplne opísať pomocou prvých štyroch momentov, ktoré nie sú len parametrami popisujúcimi rozdelenia, ale sú dôležité aj pri výbere empirických rozdelení, t. j. výpočtom číselných hodnôt momentov pre daný štatistický rad a pomocou špeciálnych grafov môžete určiť distribučný zákon.
V teórii pravdepodobnosti sa rozlišujú momenty dvoch typov: počiatočné a centrálne.
Počiatočný moment k-tého rádu náhodná premenná T sa nazýva matematické očakávanie množstva Xk, t.j.
Následne je pre diskrétnu náhodnú premennú vyjadrená súčtom
a pre spojité – integrálom
Medzi počiatočné momenty náhodnej premennej zvláštny význam má moment prvého rádu, čo je matematické očakávanie. Počiatočné momenty vyššieho rádu sa používajú predovšetkým na výpočet centrálnych momentov.
Centrálny moment k-tého rádu náhodná premenná je matematické očakávanie hodnoty ( X - M [X])k
Kde A = M[X].
Pre diskrétnu náhodnú premennú je vyjadrená súčtom
A pre spojité – integrálom
Medzi ústrednými momentmi náhodnej premennej má mimoriadny význam centrálny moment druhého rádu,čo predstavuje rozptyl náhodnej premennej.
Centrálny moment prvého rádu je vždy nulový.
Tretí štartovací moment charakterizuje asymetriu (šikmosť) rozdelenia a na základe výsledkov pozorovaní pre diskrétne a spojité náhodné premenné je určená zodpovedajúcimi výrazmi:
Keďže má rozmer kocky náhodnej premennej, na získanie bezrozmernej charakteristiky, m 3 delené štandardnou odchýlkou na tretiu mocninu
Výsledná hodnota sa nazýva koeficient asymetrie a v závislosti od znamienka charakterizuje kladné ( Ako> 0) alebo záporné ( Ako< 0) šikmosť rozloženia (obr. 2.3).
71, Číselné charakteristiky náhodných veličínširoko používané v praxi na výpočet ukazovateľov spoľahlivosti. V mnohých praktických otázkach nie je potrebné úplne, vyčerpávajúco charakterizovať náhodnú premennú. Často stačí uviesť len číselné parametre, ktoré do určitej miery charakterizujú podstatné znaky rozdelenia náhodnej premennej, napr. priemerná hodnota , okolo ktorej sú zoskupené možné hodnoty náhodnej premennej; číslo charakterizujúce rozptyl náhodnej veličiny vo vzťahu k priemernej hodnote atď. Číselné parametre, ktoré umožňujú vyjadrenie najvýznamnejších znakov náhodnej premennej v komprimovanej forme, sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.
A) b)
Ryža. 11 Definícia matematického očakávania
Číselné charakteristiky náhodných premenných používaných v teórii spoľahlivosti sú uvedené v tabuľke. 1.
72,Matematické očakávania(priemerná hodnota) spojitej náhodnej premennej, ktorej možné hodnoty patria do intervalu 
, predstavuje určitý integrál(obr. 11, b)
. (26)
Matematické očakávanie možno vyjadriť prostredníctvom doplnku integrálnej funkcie. Za týmto účelom dosadíme (11) do (26) a výsledný výraz integrujeme po častiach
, (27)
pretože 
A 
, To
. (28)
Pre nezáporné náhodné premenné, ktorých možné hodnoty patria do intervalu , vzorec (28) má tvar
. (29)
t.j. matematické očakávanie nezápornej náhodnej premennej, ktorej možné hodnoty patria do intervalu , sa číselne rovná ploche pod grafom doplnku integrálnej funkcie (obr. 11, A).
73, Priemerný čas do prvého zlyhania podľa štatistických informácií určený vzorcom
, (30)
kde je čas na prvé zlyhanie i-tý predmet; N- počet testovaných objektov.
Priemerný zdroj, priemerná životnosť, priemerný čas obnovy a priemerná životnosť sa určujú podobne.
74, Disperzia náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania hodnotené pomocou rozptyl štandardnej odchýlky(RMS) a variačný koeficient.
Rozptyl spojitej náhodnej premennej X je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania a vypočíta sa podľa vzorca
. (31)
Disperzia má rozmer druhej mocniny náhodnej premennej, čo nie je vždy vhodné.
75, Smerodajná odchýlka náhodná premenná je druhá odmocnina od rozptylu a má rozmer náhodnej premennej
. (32)
76,Koeficient variácie je relatívny indikátor rozptylu náhodnej veličiny a je definovaný ako pomer štandardnej odchýlky k matematické očakávanie
. (33)
77, Gamma - percentuálna hodnota náhodnej veličiny- hodnota náhodnej veličiny zodpovedajúca danej pravdepodobnosti 
že náhodná premenná bude mať hodnotu väčšiu ako ,
. (34)
78. Gama - percentuálnu hodnotu náhodnej veličiny možno určiť pomocou integrálnej funkcie, jej doplnkovej a diferenciálnej funkcie (obr. 12). Hodnota gama percent náhodnej veličiny je kvantil pravdepodobnosti (obr. 12, A)
. (35)
Teória spoľahlivosti využíva gama percentuálna hodnota zdroja, životnosť a skladovateľnosť(Tabuľka 1). Gamma percento je zdroj, životnosť, skladovateľnosť, ktorý má (a presahuje) percent objektov daného typu.
A) b)
Obr. 12 Určenie percentuálnej hodnoty gama náhodnej veličiny
Zdroj gama percent charakterizuje trvanlivosť na zvolenej úrovni 
pravdepodobnosť nezničenia. Zdroj gama percent je priradený s ohľadom na zodpovednosť objektov. Napríklad pre valivé ložiská sa najčastejšie používa 90-percentná životnosť pre ložiská najkritickejších predmetov, volí sa 95-percentná životnosť a vyššia, čím sa približuje k 100 percentám, ak je porucha nebezpečná pre ľudský život; .
79, Medián náhodnej premennej je jeho gama percentuálna hodnota pri 
. Pre medián 
je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná bude T viac alebo menej ako to, t.j.
Geometricky je medián úsečkou priesečníka integrálnej distribučnej funkcie a jej doplnku (obr. 12, b). Medián možno interpretovať ako úsečku bodu, v ktorom ordináta diferenciálnej funkcie pretína oblasť ohraničenú distribučnou krivkou (obr. 12, V).
Medián náhodnej premennej sa používa v teórii spoľahlivosti ako numerická charakteristika zdroja, životnosti a skladovateľnosti (tabuľka 1).
Medzi indikátormi spoľahlivosti objektov existuje funkčné prepojenie. Znalosť jednej z funkcií 
umožňuje určiť ďalšie ukazovatele spoľahlivosti. Súhrn vzťahov medzi ukazovateľmi spoľahlivosti je uvedený v tabuľke. 2.
Tabuľka 2. Funkčný vzťah medzi ukazovateľmi spoľahlivosti