Táto časť pojednáva o najdôležitejších charakteristikách kvality riadených systémov. Týmito charakteristikami sú stabilita systému, presnosť a odolnosť voči šumu.
Pojem stabilita označuje situáciu, keď sú vstupné signály systému nulové, t.j. neexistujú žiadne vonkajšie vplyvy. V tomto prípade by mal byť správne skonštruovaný systém v rovnovážnom stave (kľude) alebo sa k tomuto stavu postupne približovať. V nestabilných systémoch aj pri nulových vstupných signáloch vznikajú vlastné kmity a v dôsledku toho vznikajú neprípustne veľké chyby.
Pojem presnosť je spojený s kvalitou prevádzky riadených systémov s meniacimi sa vstupnými signálmi. V správne navrhnutých riadiacich systémoch by mala byť veľkosť nesúladu medzi špecifikovaným zákonom riadenia g(t) a výstupným signálom x(t) malá.
Nakoniec, na charakterizáciu vplyvu rušenia na riadiace systémy sa používa rozptyl alebo štandardná odchýlka chybovej zložky v dôsledku vplyvu rušenia.
Koncept udržateľnosti
Jednou z prvých otázok, ktoré vyvstávajú pri výskume a návrhu lineárnych riadiacich systémov, je otázka ich stability. Lineárny systém je tzv udržateľný, ak ho vonkajšie vplyvy vyvedú z rovnovážneho (kľudového) stavu, po zániku vonkajších vplyvov sa do neho vráti. Ak sa po zániku vonkajšieho vplyvu systém nevráti do rovnovážneho stavu, potom je nestabilná. Pre normálne fungovanie riadiaceho systému je potrebné, aby bol stabilný, pretože inak v ňom vznikajú veľké chyby.
Stanovenie stability sa zvyčajne vykonáva na počiatočné štádium vytvorenie systému riadenia. Dôvodom sú dva dôvody. Po prvé, analýza stability je pomerne jednoduchá. Po druhé, nestabilné systémy môžu byť opravené, t.j. prevedené na stabilné pridaním špeciálnych opravných prepojení.
Analýza stability pomocou algebraických kritérií
Stabilita systému súvisí s povahou jeho vlastných kmitov. Aby sme to ilustrovali, predpokladajme, že systém je opísaný diferenciálnou rovnicou
alebo po Laplaceovej transformácii,
kde g(p) je vstupná akcia.
Stabilný systém sa vráti do stavu pokoja, ak vstupná akcia g(p) 0. Pre stabilný systém musí teda riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice smerovať k nule, keďže t smeruje k nekonečnu.
Ak sa nájdu korene p1, p2, ... , pn charakteristickej rovnice, potom sa riešenie homogénnej rovnice zapíše v tvare .
V akých prípadoch je systém stabilný?
Predpokladajme, že pk = ak je skutočný koreň.
Zodpovedá tomu výraz ck. Keď ak< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, potom x(t), keď t smeruje k nekonečnu; . Nakoniec, v prípade, keď ak = 0, uvažovaný člen sa nemení, aj keď t smeruje k nekonečnu,
Predpokladajme teraz, že ide o komplexný koreň charakteristickej rovnice. Všimnite si, že v tomto prípade to bude aj koreň charakteristickej rovnice. Dva komplexne konjugované korene budú zodpovedať termínom formy , .
Navyše, ak ak< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – kmity s rastúcou amplitúdou a pri ak = 0 – kmity konštantnej amplitúdy сk.
Systém je teda stabilný, ak sú reálne časti všetkých koreňov charakteristickej rovnice záporné. Ak má aspoň jeden koreň skutočnú časť ak ³ 0, potom je systém nestabilný. O systéme sa hovorí, že je na hranici stability, ak aspoň jeden koreň charakteristickej rovnice má nulovú skutočnú časť a skutočné časti všetkých ostatných koreňov sú záporné.
Táto definícia je dobre geometricky znázornená. Znázornime korene charakteristickej rovnice ako body v komplexnej rovine (obr. 15).
Ak všetky korene ležia v ľavej polrovine komplexnej premennej, potom je systém stabilný. Ak aspoň jeden koreň leží v pravej polrovine komplexnej premennej, systém je nestabilný. Ak sú korene na pomyselnej osi a v ľavej polrovine, potom sa hovorí, že systém je na hranici stability.
Uvažujme ako príklad riadiaci systém s uzavretou slučkou s jedným integračným článkom. V tomto prípade H(p) = , , a prenosová funkcia systému s uzavretou slučkou
.
Výstup systému x(p) = W(p)g(p) príp 
. Všimnite si, že charakteristickú rovnicu p+k=0 zapíšeme nastavením menovateľa prenosovej funkcie regulačného systému na nulu. V tomto prípade existuje jeden koreň p1= -k<
0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда 
. Charakteristická rovnica je p2 + + k = 0. Preto p1,2=. Systém je na hranici stability. Sú v ňom netlmené oscilácie.
Analýza stability pomocou frekvenčných kritérií
Hlavnou nevýhodou uvažovaného algebraického prístupu k analýze stability je, že v zložitých riadiacich systémoch je ťažké vytvoriť spojenie medzi koreňmi menovateľa pk, k=1, 2, ..., n, a parametrami elementárneho prepojenia, ktoré tvoria riadiaci systém. To vedie k ťažkostiam pri náprave nestabilných systémov. Pre zjednodušenie analýzy stability je žiaduce vykonať túto analýzu pomocou prenosovej funkcie H(p) regulačného systému s otvorenou slučkou.
V roku 1932 americký vedec Nyquist vyvinul účinnú metódu na analýzu stability zosilňovačov spätnej väzby. V roku 1938 sovietsky vedec A.V. Michajlov zovšeobecnil Nyquistovu metódu na automatické riadiace systémy s uzavretou slučkou.
Nyquistovo kritérium je založené na zostrojení hodografu prenosovej funkcie H(jw) riadiaceho systému s otvorenou slučkou. Hodograf prenosovej funkcie H(jw) je krivka nakreslená koncom vektora H(jw) =|H(jw)|ejj(w) v komplexnej rovine pri meraní frekvencie w od 0 do nekonečna.
Nyquistovo kritérium stability je najjednoduchšie formulované: riadiaci systém s uzavretou slučkou je stabilný, ak hodograf prenosovej funkcie H(jw) systému s otvorenou slučkou nepokrýva bod so súradnicami (-1, j0) na komplexe. lietadlo. Na obrázkoch sú príklady hodografov stabilných (obr. 16, a) a nestabilných (obr. 16, b) riadiacich systémov.
Ak hodograf prejde bodom -1, tak sa o systéme hovorí, že je na hranici stability. V tomto prípade pri určitej frekvencii H(jw0)= -1 môžu v systéme existovať netlmené oscilácie frekvencie w0. V nestabilných systémoch sa úroveň signálu x(t) časom zvýši. V stabilných - pokles.
Rozpätie stability
Ďalšou výhodou posudzovaného kritéria je schopnosť určiť rezervu stability riadiaceho systému. Mieru stability charakterizujú dva ukazovatele: rezerva stability pre výstuž A rozpätie stability fázy.
Rozpätie stability výstuže je určená hodnotou g =1/|H(jw0)|, kde w0 je frekvencia, pri ktorej 
(obr. 17, a). Rozpätie stability g ukazuje, koľkokrát sa musí modul prenosovej funkcie regulačného systému s otvorenou slučkou zmeniť (zvýšiť), aby sa systém s uzavretou slučkou dostal na hranicu stability. Požadovaná rezerva stability závisí od toho, o koľko sa môže koeficient prenosu systému počas prevádzky zvýšiť v porovnaní s vypočítaným.
Rozpätie stability fázy sa odhaduje podľa uhla , kde frekvencia wсp, tzv medzná frekvencia, je určená podmienkou |H(jwcp)|=1 (obr. 17, b).
Hodnota Dj ukazuje, ako veľmi sa musí zmeniť fázová charakteristika riadiaceho systému s otvorenou slučkou, aby bol systém s uzavretou slučkou na hranici stability. Rozpätie stability fázy sa zvyčajne považuje za dostatočné, ak
|Dj| ³ 30o.
Analýza stability pomocou logaritmických amplitúdovo-frekvenčných charakteristík
V mnohých prípadoch môže byť riadiaci systém s otvorenou slučkou reprezentovaný ako sériové pripojenie n štandardné prepojenia s prenosovými funkciami 
. V tomto prípade je prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou určená produktom 
. Logaritmická amplitúda-frekvenčná odozva 
sa bude rovnať súčtu LAX jednotlivých odkazov:
.
Keďže LAC mnohých elementárnych spojov možno aproximovať priamymi segmentmi, LAC riadiaceho systému s otvorenou slučkou bude tiež prezentovaný vo forme priamych segmentov so sklonmi k frekvenčnej osi, ktoré sú násobky 20 decibelov za desaťročie.
Príklad. Nech má prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou nasledujúci tvar
.
Takýto systém obsahuje dva integrátory, vynucovacie spojenie s prenosovou funkciou 
a aperiodické spojenie s prenosovou funkciou 
. Uveďme LAC jednotlivých väzieb takéhoto systému vo forme grafov na obr. 18, a. Zhrnutím prezentovaných grafov získame LAC systému s otvorenou slučkou (obr. 18, b).
Ako vyplýva z uvedených obrázkov, konštrukcia celkového LAC je pomerne jednoduchá. Je potrebné vziať do úvahy iba zmenu sklonu LAC v bodoch a , zodpovedajúcich párovacím frekvenciám vynucovacích a aperiodických väzieb.
Na kontrolu podmienok stability systému s uzavretou slučkou automatické ovládanie je potrebné zostrojiť fázovo-frekvenčnú charakteristiku na rovnakej logaritmickej stupnici pozdĺž frekvenčnej osi 
. Skúsenosti s inžinierskymi výpočtami však ukazujú, že automatický riadiaci systém s uzavretou slučkou je spravidla stabilný a má rezervu stability, ak je LAC systému s otvorenou slučkou blízko frekvencie.
Hranica má sklon –20 dB/dec. V tomto prípade, čím väčšia je dĺžka tohto úseku LAR, tým väčšia je hranica stability. Zvyčajne sa predpokladá, že dĺžka úseku so sklonom 20 dB/dec by mala byť aspoň 1 dekáda. Existujú stabilné samohybné delá so sklonom LAC väčším ako -20 dB/dec, ale pre takéto systémy je rezerva stability spravidla veľmi malá.
Predpokladajme, že skúmaný ACS má sklon okolo medznej frekvencie väčší ako -20 dB/dec (obr. 19).
Vzhľadom na to, že keď sú spoje ACS zapojené do série, ich LAC sa sčítajú, je potrebné zahrnúť do ACS prepojenie, ktoré zabezpečí stabilitu systému. V posudzovanom prípade môže byť takýmto prepojením prepojenie s LAC znázorneným na obr. 20.
Skutočne, po sčítaní LAC riadiaceho systému (obr. 19) a dodatočného spojenia dostaneme LAC s konštantným sklonom 20 dB/dec na všetkých frekvenciách, vrátane
medzná frekvencia. V uvažovanom príklade je prenosová funkcia dodatočného opravného spojenia Hф(jw) =1+jwTф a w1 = 1/Tф. Zavedenie ďalších väzieb na zabezpečenie stability riadiacich systémov je tzv korekcia Samohybné delá a samotné jednotky - nápravné.
Táto časť skúmala metódy na štúdium jedného z najdôležitejších ukazovateľov kvality riadiacich systémov – stability lineárnych systémov. Aplikácia týchto metód na analýzu špecifických systémov sa zvyčajne uskutočňuje nasledovne. Najprv sa vytvorí LAC riadiaceho systému s otvorenou slučkou. Ak je systém nestabilný, vyberú sa korekčné prvky a zavedú sa do neho tak, aby strmosť LAC pri medznej frekvencii bola 20 dB/dec a aby bola zabezpečená potrebná rezerva stability. Potom je potrebné študovať stabilitu upraveného systému pomocou Nyquist-Mikhailovho kritéria a určiť presné hodnoty rozpätí stability z hľadiska zisku a fázy. V prípade potreby sa potom zmenia parametre riadiaceho systému, aby sa zabezpečila špecifikovaná rezerva stability.
7.1. Koncept stability samohybného dela
Pojem stabilita je najdôležitejším kvalitatívnym hodnotením dynamických vlastností automatického riadiaceho systému. Stabilita ACS je spojená s charakterom jeho správania po ukončení vonkajších vplyvov, čo možno posúdiť riešením diferenciálnej rovnice, ktorá popisuje činnosť systému. Všeobecná teória udržateľnosť vyvinutá A.M. Ljapunov. Lineárny systém sa nazýva stabilný, ak jeho výstupná súradnica zostáva pri akýchkoľvek vstupných vplyvoch obmedzená v absolútnej hodnote. Udržateľnosť lineárny systém je určený jeho charakteristikami a nezávisí od existujúcich vplyvov.
Vo všeobecnom prípade má riešenie rovnice tvar: y(t)= yB (t) + y n (t)
kde y B (t) je riešenie homogénna rovnica(prechodná alebo voľná zložka); y n (t) - ustálená hodnota regulovanej veličiny (vynútená zložka) - riešenie rovnice s pravou stranou. Stabilita systému je určená prechodovou zložkou. Ak má prechodová zložka riadiaceho procesu po zániku vonkajšieho vplyvu tendenciu k nule, potom je takýto systém stabilný. Inými slovami, stabilita systému je útlm jeho prechodných procesov.
Ak má voľná zložka tendenciu ku konečnej hodnote alebo má formu harmonických kmitov s konštantnou amplitúdou, potom sa systém považuje za neutrálny. Ak voľná zložka rastie neobmedzene alebo má formu harmonických kmitov so zvyšujúcou sa amplitúdou, potom sa systém považuje za nestabilný.
Hodnotenie stability sa robí na základe výsledkov štúdie voľnej zložky, ktorá je riešením homogénnej diferenciálnej rovnice (charakteristickej rovnice): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Prechodová zložka riešenia rovnice vo všeobecnom tvare y ni (t) = A i e α i t * sin (β i t + φ i), kde α i ± jβ i sú korene charakteristickej rovnice; A i ,Φ i sú konštanty.
V tomto prípade má prechodová zložka s pribúdajúcim časom tendenciu k nule, ak sú reálne časti koreňov α i záporné, inak sa amplitúda kmitov prechodovej zložky zvyšuje (obr. 4.1).
Obr.4.1. Grafy prechodových komponentov
Dvojica imaginárnych koreňov (α i = 0) charakteristickej rovnice nám umožňuje získať prechodovú zložku vo forme vlastných oscilácií s konštantnou amplitúdou:
Výsledné korene charakteristickej rovnice možno znázorniť ako body v komplexnej rovine (obr. 4.2.).
Obr.4.2. Umiestnenie koreňov ACS na komplexnej koreňovej rovine
Pre stabilné systémy je potrebné a postačujúce, aby všetky korene charakteristickej rovnice ležali vľavo od pomyselnej osi komplexnej roviny koreňov. Ak sa aspoň jeden skutočný koreň alebo pár komplexne združených koreňov nachádza napravo od imaginárnej osi, potom je systém nestabilný. Ak existuje nulový koreň alebo pár čisto imaginárnych koreňov, potom sa systém považuje za neutrálny (nachádza sa na hranici stability a nestability). Pomyselná os komplexnej roviny je teda hranicou stability.
Na zjednodušenie analýzy stability systému bolo vyvinutých niekoľko špeciálnych metód, ktoré sa nazývajú kritériá stability. Kritériá stability sú rozdelené do dvoch typov: algebraické (kritérium Gurvitsa) a frekvenciu (kritériá Michajlovej A Nyquist). Algebraické kritériá sú analytické a frekvenčné kritériá sú graficko-analytické. Kritériá stability tiež umožňujú posúdiť vplyv parametrov systému na stabilitu.
Algebraické Hurwitzovo kritérium je široko používané v analýze ATS. Najprv sa matica hlavného determinantu zostaví z koeficientov rovnice (4.1):
Pozdĺž uhlopriečky matice z ľavého horného rohu sú všetky koeficienty rovnice (4.1.) zapísané v poradí, počnúc a1. Potom je každý stĺpec matice doplnený tak, že indexy koeficientov stúpajú smerom nahor od uhlopriečky a znižujú sa nadol.
Pre stabilitu sústavy je potrebné a postačujúce, aby pre a0>0 boli všetky uhlové determinanty (vedľajšie) aj kladné, t.j.
atď.
Posledný Hurwitzov determinant, ako je možné vidieť z vyššie uvedenej matice, sa rovná Δ n =a n *Δ n-1. Preto sa jeho pozitivita znižuje pre Δ n-1 >0 na podmienku a n >0. Pre systémy prvého a druhého rádu sa Hurwitzovo kritérium jednoducho redukuje na kladnosť koeficientov ai. Ak je determinant Δ n = 0, potom je systém na hranici stability. Z podmienky Δ n-1 =0 je možné určiť parametre, pri ktorých sa systém nachádza na hranici stability, napríklad kritický zisk automatického riadiaceho systému s otvorenou slučkou K cr.
Mikhailovovo kritérium zahŕňa konštrukciu hodografu na komplexnej rovine. Na zostavenie hodografu z charakteristickej rovnice systému s uzavretou slučkou (4.1) dosadením p=jω sa získa analytický výraz pre vektor M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Rovnica (4.2) je zložitá a možno ju znázorniť takto:
Hodograf je konštruovaný pomocou vektorovej rovnice M(jω) pri zmene frekvencie z 0 na +. Stabilita systému sa hodnotí podľa uhla natočenia hodografu pri zmene frekvencie 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)
, (4.3)
kde m je počet pravých koreňov charakteristického polynómu; n je poradie charakteristickej rovnice systému.
Potom pre stabilitu lineárneho systému n-tého rádu je potrebné a postačujúce, aby sa zmena hodografového argumentu M(jω) pri zmene z 0 na + rovnala n, keďže m=0 na zabezpečenie stability systému.
Mikhailovovo kritérium je formulované takto: systém je stabilný, ak Michajlovov hodograf M(jω) pri zmene z 0 na +, začínajúc od kladnej časti reálnej osi, prechádza postupne v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) n kvadrantov a v n. kvadrante išiel do .
Ak hodograf začína v nulovom bode komplexnej roviny alebo prechádza týmto bodom pri určitej frekvencii, potom sa systém považuje za neutrálny. V tomto prípade P(ω) = 0 a Q(ω) = 0.
Z týchto rovníc je možné určiť hodnoty parametrov, pri ktorých sa systém nachádza na hranici stability (kritické hodnoty). Obrázok 4.3 zobrazuje Michajlovove hodografy pre stabilné a nestabilné samohybné delá.
Obr.4.3. Michajlovove hodografy
Existuje druhá formulácia Michajlovho kritéria: pre stabilitu systému je potrebné a postačujúce, aby sa korene rovníc P(ω) = 0 a Q(ω) = 0 striedali (alternujú), t.j. Hodograf dôsledne pretínal osi komplexnej roviny. Táto formulácia je vhodná na štúdium stability systémov až do piateho rádu vrátane. Pomocou rovnice (4.3) je možné určiť počet pravých koreňov v nestabilných systémoch.
| 7.4. Frekvenčné kritérium stability Nyquist |
Nyquistovo kritérium je frekvenčné kritérium, ktoré umožňuje posúdiť stabilitu systému s uzavretou slučkou podľa typu amplitúdovo-fázovej frekvenčnej odozvy systému s otvorenou slučkou. AFC možno získať experimentálne alebo analyticky. Analytická konštrukcia AFC sa vykonáva konvenčnými metódami. Nyquistovo kritérium je formulované odlišne v závislosti od toho, či je systém s otvorenou slučkou stabilný alebo nie.
Ak je systém s otvorenou slučkou stabilný, potom pre stabilitu systému s uzavretou slučkou je potrebné a postačujúce, aby odozva AFC systému s otvorenou slučkou pri zmene frekvencie z 0 na nepokrývala bod so súradnicami. -Ja, j0. Ak AFC odozva systému s otvorenou slučkou prechádza cez bod so súradnicami -I, j0, potom bude systém neutrálny. Obrázok 4.4 zobrazuje charakteristiky AFC statických systémov s otvorenou slučkou. Nyquistovo kritérium vám umožňuje jasne sledovať vplyv zmeny parametrov prenosovej funkcie na stabilitu systému.
Obr.4.4. AFC samohybných zbraní s otvorenou slučkou
AFC astatického systému, začínajúc na skutočnej kladnej poloosi, sa pri ω->0 pohybuje oblúkom s nekonečne veľkým polomerom do uhla rovného -ν, kde ν je rád astatizmu. Obrázok 4.5 ukazuje fázovo-frekvenčnú odozvu astatického systému prvého rádu, ktorý je stabilný v uzavretom stave.
Obr.4.5. AFFC astatických samohybných zbraní prvého rádu
Ak je systém s otvorenou slučkou nestabilný, potom pre stabilitu systému s uzavretou slučkou je potrebné a postačujúce, aby AFC odozva systému s otvorenou slučkou pokrývala bod so súradnicami (-1, j0) a keď frekvencia sa zmení z 0 na, otočí sa okolo nej proti smeru hodinových ručičiek m-krát, kde m je počet pravých pólov systému s otvorenou slučkou.
Existujú dve triedy samohybných zbraní: absolútne stabilné a podmienečne stabilné. V prvej triede systémov môže viesť k strate stability iba zvýšenie zisku systému s otvorenou slučkou a podmienečne stabilný systém sa môže stať nestabilným so zvýšením aj znížením zisku.
Pre absolútne stabilné systémy sa zavádza pojem rezerva stability v amplitúde (module) a rezerva stability vo fáze. Hranice stability sú určené pri medznej frekvencii ω cf, pri ktorej A(ω cf)=1.
Medzera stability amplitúdy je nastavená určitou hodnotou 1/a (obr. 4.6), ktorá ukazuje, koľkokrát je možné zvýšiť zosilnenie systému s otvorenou slučkou, aby bol ACS na hranici stability.
Obr.4.6. AFC absolútne stabilného systému
Okraj stability fázy je nastavený o určitý uhol φ (obr. 4.6). V dobre tlmených systémoch je rezerva amplitúdy približne 6-20 dB, čo je 2÷10 na lineárnej stupnici, a fázová rezerva je od 30 do 60°.
Najpohodlnejšie je študovať stabilitu pomocou skonštruovaného L.A.H. a l.f.h., pričom ich umiestnite pod seba tak, aby osi y boli zarovnané a zvolili rovnakú mierku osi x (obr. 4.7).
Obr.4.7. LFC absolútne stabilného systému
Z LFC systému s otvorenou slučkou je možné určiť rezervy stability: fázová rezerva φ zap sa počíta podľa l.f.h. pri medznej frekvencii ω avg a rovná sa φ zap =π - φ(ω avg), a rezerva amplitúdy L zap zodpovedá hodnote l.a.h. pri frekvencii, pri ktorej sa l.f.h. rovný -π (obr. 4.7). Ak φ(ω av)=-&pi, potom je systém na hranici stability. Kritické zosilnenie systému s otvorenou slučkou Kcr sa určí z výrazu 20*lg(Kcr)=20*lg(K-krát) + L cca.
Nyquistovo kritérium je vhodné použiť na štúdium stability systémov s oneskorením. V tomto prípade sa skonštruuje LFC ACS s otvorenou slučkou s oneskorením Wτ (jω) = W(jω) * e -jωτ. Logaritmická frekvenčná odozva sa nemení, ale l.f.h. posunie nadol o hodnotu -ω i τ, kde ω i je hodnota frekvencie v konkrétnom bode. Kritická hodnota čistého času oneskorenia τcr, pri ktorej bude ACS na hranici stability, sa zistí zo vzorca: .
Pre návrh systému s danými indikátormi kvality je okolo bodu so súradnicami (-1, j0) vybudovaná zakázaná oblasť, do ktorej by AFC systému s otvorenou slučkou nemalo vstupovať, ako je znázornené na obr. 4.8.
7.5. Logaritmický frekvenčný test.
Logaritmické kritérium je frekvenčné kritérium, ktoré umožňuje posúdiť stabilitu ACS s uzavretou slučkou podľa typu logaritmickej charakteristiky systému s otvorenou slučkou. Toto kritérium je založené na jednoznačnom prepojení medzi LFFC a AFFC automatických riadiacich systémov. Zároveň sa uvažuje o automatických riadiacich systémoch založených na použití stabilných systémov s otvorenou slučkou. Okrem toho sa berú do úvahy systémy s astatizmom nie vyšším ako druhý rád.
Ako vyplýva z Nyquistovho kritéria stability v stabilných automatických riadiacich systémoch, fázový posun môže dosiahnuť hodnotu len vtedy, keď sú moduly komplexnej prenosovej funkcie menšie ako jednota. To uľahčuje určenie stability podľa typu LFC a LFFC.
Formulácia kritéria: pre stabilitu systému v uzavretom stave je potrebné a postačujúce, aby vo frekvenčnom rozsahu, kde LFC systému s otvorenou slučkou je väčší ako nula, počet prechodov fázovej charakteristiky priamky zdola to top presahuje počet prechodov zhora nadol, kde a je počet koreňov charakteristickej rovnice systému s otvorenou slučkou ležiacich v pravej polrovine .
V konkrétnom prípade stabilného systému s otvorenou slučkou (a=0) je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre systém s uzavretou slučkou potreba splniť nasledujúcu podmienku. Vo frekvenčnom rozsahu, kde , by fázová frekvenčná odozva nemala prechádzať cez priamku, alebo by ju nemala prechádzať rovnako často zdola nahor a zhora nadol.
Ryža. 6. LFCH stabilných a nestabilných samohybných zbraní
Kritická hodnota prepočítavacieho koeficientu je jeho hodnota, pri ktorej AFC prechádza bodom (-1, j0) a systém je na hranici stability.
Modulo rezerva je hodnota v decibeloch, o ktorú sa musí zmeniť prevodný koeficient ACS, aby sa dostal na hranicu stability.
,
kde je frekvencia, pri ktorej sa fázová charakteristika rovná .
Fázová stabilita je uhol, o ktorý sa musí otočiť amplitúdová fázová charakteristika systému s otvorenou slučkou tak, aby sa riadiaci systém s uzavretou slučkou nachádzal na hranici stability.
,
kde je hodnota fázovej odozvy pri medznej frekvencii systému, pre ktorú je podmienka splnená.
Nevyhnutná podmienka Výkon automatického riadiaceho systému (ACS) je jeho stabilita. Stabilita sa zvyčajne chápe ako vlastnosť systému obnoviť rovnovážny stav, z ktorého bol odstránený pod vplyvom rušivých faktorov po zániku ich vplyvu.Vyhlásenie o probléme
Získanie jednoduchého, názorného a verejne dostupného nástroja na riešenie problémov výpočtu stability automatických riadiacich systémov, ktorý je predpokladom výkonu každého priemyselného robota a manipulátora.Teória je jednoduchá a stručná
Analýza stability systému pomocou Michajlovovej metódy spočíva v zostrojení charakteristického polynómu systému s uzavretou slučkou (menovateľ prenosovej funkcie), komplexnej frekvenčnej funkcie (charakteristický vektor):Kde a kde sú reálne a imaginárne časti menovateľa prenosovej funkcie, podľa formy ktorých možno posudzovať stabilitu systému.
Uzavretý ACS je stabilný, ak funkcia komplexnej frekvencie začína na
šípky počiatok súradníc, prechádzajúce postupne n kvadrantmi, kde n je poradie charakteristickej rovnice sústavy, t.j.
(2)
Obrázok 1. Amplitúdovo-fázové charakteristiky (hodografy) Michajlovho kritéria: a) – stabilný systém; b) – nestabilný systém (1, 2) a systém na hranici stability (3)
ACS s elektrickým pohonom pre manipulátor priemyselného robota (IRM)
Obrázok 2 – Bloková schéma ACS s elektrickým pohonom MPR
Prenosová funkcia tohto ACS má nasledujúci výraz:
(3)
kde kу je zosilnenie zosilňovača, km je koeficient úmernosti otáčok motora k hodnote napätia kotvy, Tу je elektromagnetická časová konštanta zosilňovača, Tm je elektromechanická časová konštanta motora pri zohľadnení zotrvačnosť záťaže (motor je podľa svojich dynamických charakteristík prenosovou funkciou sériovo zapojených inerciálnych a integračných článkov), kds – koeficient úmernosti medzi vstupnými a výstupnými hodnotami snímača otáčok, K – zosilnenie hl. obvod: .
Číselné hodnoty Vyjadrenie prenosovej funkcie je nasledovné:
K = 100°/(V°s); kds = 0,01 V/ (stupňov∙s); Tу = 0,01 s; Tm = 0,1 s.
Nahradenie s za:
(4)
Python riešenie
Tu treba poznamenať, že podobné úlohy V Pythone to ešte nikto nevyriešil, aspoň ja som to nenašiel. Toto bolo spôsobené postihnutí pracovať s komplexné čísla. S príchodom SymPy môžete robiť nasledovné:Zo sympy importu * T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True) z=faktor ((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+ 1 ) vytlačiť ("Charakteristický polynóm systému s uzavretou slučkou -\n%s"%z)
Kde I je imaginárna jednotka, w je kruhová frekvencia, T1= Tу = 0,01, T2= Tm = 0,1
Dostaneme rozšírený výraz pre polynóm:
Charakteristický polynóm uzavretého systému –
Hneď vidíme, že ide o polynóm tretieho stupňa. Teraz dostaneme imaginárne a skutočné časti v symbolickom zobrazení:
Zr=re(z) zm=im(z) print("Reálna časť Re= %s"%zr) print("Imaginárna časť Im= %s"%zm)
Získame:
Skutočná časť Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Imaginárna časť Im = -T1*T2*w**3 + w
Okamžite vidíme druhý stupeň reálnej časti a tretí stupeň imaginárnej časti. Pripravme si údaje na konštrukciu Michajlovovho hodografu. Zadajte číselné hodnoty pre T1 a T2 a zmeňte frekvenciu z 0 na 100 v krokoch po 0,1 a nakreslite graf:
Z numpy importu usporiadajte import matplotlib.pyplot ako plt x= y= plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show() 
Z grafu nie je zrejmé, že hodograf začína na skutočnej kladnej osi. Musíte zmeniť mierku osí. Tu je úplný zoznam programu:
Zo sympy importu * z numpy importu arange import matplotlib.pyplot as plt T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True) z=factor((T1*w*I+1)*(T2*w *I+1)*w*I+1) print("Charakteristický polynóm systému s uzavretou slučkou -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Skutočná časť Re = %s" %zr) print("Imaginárna časť Im= %s"%zm) x= y= plt.os([-150,0, 10,0, -15,0, 15,0]) plt.plot(x, y) plt. grid(True) plt.show()
Získame:
-I*T1*T2*š**3 - T1*š**2 - T2*š**2 + I*š + 1
Skutočná časť Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Imaginárna časť Im = -T1*T2*w**3 + w
Teraz je už jasné, že hodograf začína na skutočnej kladnej osi. ACS je stabilný, n=3, hodograf sa zhoduje s tým, ktorý je znázornený na prvom obrázku.
Okrem toho sa môžete uistiť, že hodograf začína na skutočnej osi, pridaním nasledujúceho kódu do programu pre w=0:
Tlač("Počiatočný bod M(%s,%s)"%(zr.subs((T1:0.01,T2:0.1,š:0)),zm.subs((T1:0.01,T2:0.1,w: 0))))
Získame:
Počiatočný bod M(1,0)
Zvárací robot ACS
Špička zváracej jednotky (WSU) sa privádza na rôzne miesta na karosérii vozidla a rýchlo a presne vykonáva potrebné činnosti. Je potrebné určiť stabilitu ACS podľa Michajlovovho kritéria umiestnením GCS.
Obrázok 3. Bloková schéma ACS s polohovaním NCS
Charakteristická rovnica tohto ACS bude mať tvar:
Kde K je premenný zisk systému, a je určitá kladná konštanta. Číselné hodnoty: K = 40; a = 0,525.
Python riešenie
rom sympy import * z numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt w =symbols(" w",real=True) z=w**4-I*6*w**3-11*w**2+I *46*w+21 print("Charakteristický polynóm systému s uzavretou slučkou -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Počiatočný bod M(%s,%s )"%( zr.subs((w:0)),zm.subs((w:0))) print("Reálna časť Re= %s"%zr) print("Imaginárna časť Im= %s" %zm) x = y= plt.axis([-10,0, 10,0, -50,0, 50,0]) plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show()Získame:
Charakteristickým polynómom systému s uzavretou slučkou je š**4 - 6*I*š**3 - 11*š**2 + 46*I*š + 21
Východiskový bod M(21,0)
Skutočná časť Re= w**4 - 11*w**2 + 21
Imaginárna časť Im = -6*w**3 + 46*w
Skonštruovaný michajlovovský hodograf začínajúci na skutočnej kladnej osi (M (21,0)) sa ohýba okolo začiatku súradníc v kladnom smere, pričom postupne prechádza cez štyri kvadranty, čo zodpovedá poradiu charakteristickej rovnice. To znamená, že táto samohybná pištoľ je stabilná vďaka umiestneniu hlavného ovládacieho systému.
Závery
Pomocou modulu SymPy Python bol získaný jednoduchý a názorný nástroj na riešenie problémov výpočtu stability automatických riadiacich systémov, ktorý je predpokladom výkonu každého priemyselného robota a manipulátora.Odkazy
- Dorf R. Moderné systémy manažment / R. Dorf, R. Bishop. – M.: Laboratórium základných vedomostí, 2002. – 832 s.
- Yurevich E.I. Základy robotiky 2. vydanie / E.I. Jurevič. – Petrohrad: BHV-Petersburg, 2005. – 416 s.
Stabilita automatického riadiaceho systému je jednou z najdôležitejších charakteristík systému, pretože výkon systému závisí od toho. Systém, ktorému chýba stabilita, nedokáže efektívne vyriešiť problém s ovládaním. Nedostatok stability môže viesť aj k zničeniu samotného systému počas procesu riadenia alebo zničeniu objektu riadenia, preto je použitie nestabilných systémov nevhodné.
Stabilita automatického riadiaceho systému - je to vlastnosť vzduchového systému
otočiť do počiatočného stavu rovnováhy po zániku vplyvu, ktorý priviedol systém do stavu počiatočnej rovnováhy.
Príkladom stabilných a nestabilných systémov je systém gule umiestnenej na konkávnom a konvexnom povrchu, znázornený na obrázku 60.
Obr.60. Príklady systémov: a) stabilné; b) nestabilné
Na obrázku 60a sa guľa umiestnená na konkávnom povrchu a posunutá do strany určitou silou vráti do svojej pôvodnej rovnovážnej polohy po skončení vonkajšieho vplyvu. Pri absencii trenia na povrchu alebo jeho minimálnej hodnoty bude loptička vykonávať krátke oscilácie okolo rovnovážnej polohy, než sa vráti do pôvodnej rovnovážnej polohy (krivka 1 - tlmený oscilačný proces). Pri veľkom trení sa loptička vráti do počiatočnej rovnovážnej polohy bez oscilácií (krivka 2 - aperiodický proces). Ak je hodnota trenia veľmi veľká, gulička sa nemusí vrátiť do počiatočnej rovnovážnej polohy (krivka 3), ale vráti sa do oblasti blízkej rovnovážnej polohe. V posudzovanom prípade ide o stabilný systém. V stabilných automatických riadiacich systémoch sa vyskytujú podobné prechodné procesy (tlmené oscilačné a aperiodické).
Na obrázku 60b sa gulička umiestnená na konvexnom povrchu a posunutá do strany určitou silou nevráti do počiatočnej rovnovážnej polohy (krivka 4), takže systém je nestabilný. V nestabilných systémoch prebiehajú prechodné procesy vo forme divergentných oscilácií (krivka 5) alebo aperiodických (krivka 4).
Nestabilita ACS spravidla vzniká v dôsledku veľmi silného spätného účinku. Príčiny dynamickej nestability sú zvyčajne významné inerciálne charakteristiky väzby uzavretého systému, vďaka čomu spätnoväzbový signál v oscilačnom režime natoľko zaostáva za vstupným signálom, že je s ním vo fáze. Ukazuje sa, že charakter negatívnej spätnej väzby preberá charakter
pozitívne.
Vytvorme matematický popis stability a nestability. Keďže stabilita systému závisí len od povahy jeho voľného pohybu, tento voľný pohyb systému možno opísať homogénnou diferenciálnou rovnicou:
charakteristická rovnica, ktorá bude reprezentovaná nasledujúcim výrazom:
Uveďme všeobecné riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice (2.19.) v tomto tvare:
Kde C k – konštanty v závislosti od počiatočných podmienok, p k sú koreňmi charakteristickej rovnice.
Korene charakteristickej rovnice môžu byť zložité ( p k = α k ± jβ k ), platné ( p k = α k ) alebo imaginárny ( p k = jβ k ). Komplexné korene sú vždy párovo konjugované, t.j. ak existuje koreň rovnice s kladnou imaginárnou časťou, potom určite bude existovať koreň s rovnakou absolútnou hodnotou, ale so zápornou imaginárnou časťou. y(t) pri t → ∞ od (2.21.) bude mať tendenciu k nule len vtedy, keď každý člen S k e p k t → 0. Povaha tejto funkcie bude závisieť od typu koreňa. Možné prípady umiestnenia koreňa p k na komplexnej rovine a im zodpovedajúce funkcie y(t) = Cep kt sú zobrazené na obrázku 61. Vzhľad funkcií je znázornený vo vnútri elipsy.
Obr.61. Vplyv umiestnenia koreňov charakteristickej rovnice na
komponenty voľného pohybu systému
Obrázok 61 ukazuje, že ak každý skutočný koreň p k= α k pre výraz (2.21.) bude výraz zodpovedať:
yk(t) = Ckeα k t(2.22.)
potom o α až< 0 (koreň p 1) funkcia pri t→ ∞ bude mať tendenciu k nule, keď a k > 0 (koreň p 3 ) funkcia sa zvýši bez obmedzenia a kedy a k = 0 (koreň p 2) funkcia zostane konštantná.
Ak charakteristická rovnica má zložité korene, potom každý pár koreňov konjugovaného komplexu p k, k+1 = α k ± jβ k , budú im zodpovedať dva pojmy, ktoré možno kombinovať a reprezentovať ako nasledujúci výraz:
Táto funkcia je sínusoida s exponenciálne meniacou sa amplitúdou a frekvenciou β k . Pre negatívnu skutočnú časť dvoch zložitých koreňov a k, k+1< 0 , (korene p 4 A p5 ) oscilačná zložka funkcie sa rozpadne a s kladnou reálnou časťou a k, k+1 > 0 , (korene p 8 A p 9 ) amplitúda kmitov sa bude neobmedzene zvyšovať. Pri absencii skutočnej časti zložitých koreňov a k, k+1 = 0 (korene p 6 A p7 ), t.j. v prítomnosti iba imaginárnych koreňov bude funkciou súvislá sínusoida s frekvenciou β k .
Ak vychádzame z definície stability, ak sa za počiatočnú rovnovážnu polohu berie nula, tak pre stabilné systémy by hodnota výstupného parametra mala časom smerovať k nule, t.j. systém sa sám vráti do svojej rovnovážnej polohy. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na to je, že všetky členy riešenia diferenciálnej rovnice (2.21.) majú časom tendenciu k nule, čo sa dá dosiahnuť zápornými reálnymi koreňmi rovnice a komplexné korene musia mať zápornú reálnu časť. Existencia aspoň jedného kladného reálneho koreňa alebo dvojice komplexných koreňov s kladnou reálnou časťou povedie k tomu, že hodnota výstupného parametra systému sa nevráti na pôvodnú hodnotu, t.j. systém bude nestabilný.
Analýzou umiestnenia koreňov charakteristickej rovnice v komplexnej rovine, znázornenej na obrázku 62, si možno všimnúť, že ACS je stabilný, ak sú všetky korene charakteristickej rovnice v ľavej polrovine a všetky sú záporné reálne alebo komplex s negatívnou reálnou časťou. Prítomnosť aspoň jedného koreňa v pravej polrovine bude charakterizovať nestabilitu systému.
Stabilita systému je vnútornou vlastnosťou systému, závisí len od typu koreňov charakteristickej rovnice, ktorá popisuje vlastnosti systému, a nezávisí od vonkajších vplyvov. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou stability systému je poloha všetkých koreňov rovnice v ľavej (zápornej) polrovine.
Kladná a záporná polrovina, v ktorej sa nachádzajú kladné alebo záporné korene charakteristickej rovnice, zabezpečujúce stabilitu alebo nestabilitu systému, sú oddelené pomyselnou osou ± jp . Táto os je hranicou stability, teda ak má charakteristická rovnica jeden pár čisto imaginárnych koreňov p k, k+1 =± jβ k , a ostatné korene sú v zápornej polrovine, potom je systém charakterizovaný prítomnosťou netlmených kmitov s frekvenciou ω = β k. Všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade je systém na hranica oscilačnej stability .
Bodka β = 0 na pomyselnej osi zodpovedá nulovému koreňu. Rovnica, ktorá má jeden nulový koreň, sa považuje za at limit aperiodickej stability a v prítomnosti dvoch nulových koreňov je systém nestabilný.
Obr.62. Umiestnenie koreňov charakteristickej rovnice stabilného systému na
komplexná rovina
Nezabudnite, že rovnice takmer všetkých skutočných samohybných zbraní nie sú lineárne, ale sú redukované na lineárne rovnice pomocou linearizácie, takže predpoklady urobené počas linearizácie môžu ovplyvniť správne určenie stability systému.
A. M. Lyapunov v roku 1892 vo svojom diele „ Všeobecná úloha o stabilite pohybu“ poskytol dôkaz vety, v ktorej boli urobené nasledujúce závery pre linearizované rovnice:
1. Ak sú všetky skutočné korene charakteristickej rovnice systému záporné, potom sa systém považuje za stabilný.
2. Ak je aspoň jeden reálny koreň charakteristickej rovnice systému kladný, potom sa systém považuje za nestabilný.
3. Ak má charakteristická rovnica linearizovaného systému aspoň jeden nulový koreň alebo jeden pár imaginárnych koreňov, potom z linearizovanej rovnice nemožno posúdiť stabilitu reálneho systému.
Následne je potrebné urobiť záver o stabilite reálnych systémov na základe analýzy pôvodnej nelineárnej rovnice a na určenie nestability alebo stability systému bude postačujúce identifikovať pozitivitu (negativitu) reálnych koreňov charakteristickú rovnicu.
Kritériá trvalej udržateľnosti vymenovať určité pravidlá, podľa ktorých sa v teórii automatického riadenia určujú znamienka koreňov charakteristickej rovnice bez jej riešenia. Existujú algebraické a frekvenčné kritériá stability.
Algebraické kritériá stabilita systému je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby korene boli pre určité hodnoty koeficientov v charakteristickej rovnici záporné.
Frekvenčné kritériá stability systému sa zistila závislosť stability systému od tvaru frekvenčných charakteristík systému.
10.1. Koncept štrukturálnej stability. AFFC astatických samohybných zbraní
ACS môže byť nestabilný z dvoch dôvodov: nevhodné zloženie dynamických odkazov a nevhodné hodnoty parametrov odkazu.
Samohybné delá, ktoré sú z prvého dôvodu nestabilné, sa nazývajú štrukturálne nestabilné.
To znamená, že zmenou parametrov ACS nie je možné dosiahnuť jeho stabilitu, je potrebné zmeniť jeho štruktúru. Napríklad, ak ACS pozostáva z ľubovoľného počtu inerciálnych a oscilačných spojení, má tvar znázornený na obr. Keď sa zisk ACS K zvyšuje, každý bod jeho AFC sa pohybuje preč od začiatku súradníc, až kým nedosiahne určitú hodnotu K krit AFC neprekročí bod (-1, j0 ). S ďalším zvyšovaním K ). S ďalším zvyšovaním V zásade môže byť takýto ACS stabilný, preto sa nazýva konštrukčne stabilný.
Ak je ACS astatický, potom pri jeho otvorení môže byť charakteristická rovnica reprezentovaná ako: pDi p(p) = 0, Kde n - rádu astatizmu, ktorý sa rovná počtu integrátorov zapojených do série. Táto rovnica má nulové korene, takže kedy 0 AFC má tendenciu (obr. 71c a 71d). Napríklad nech Wp (p) =, Tu = 1 , potom AFC ACS s otvorenou slučkou:
W(j) = 
= P() + jQ().
Keďže poradie menovateľa je väčšie ako poradie čitateľa, tak kedy
0
máme P() -,
Q()
-j. Podobný AFC je znázornený na obr. 
Keďže AFC je nespojité, je ťažké povedať, či pokrýva daný bod (-1,j0). 0 V tomto prípade použite nasledujúcu techniku: ak AFC utrpí prestávku, ide do nekonečna pri
, je doplnený mentálne o polkruh s nekonečným polomerom, začínajúci na kladnej skutočnej poloosi a pokračujúci k AFC v negatívnom smere. Potom je možné použiť Nyquistovo kritérium. Ako je zrejmé z obrázku, automatický riadiaci systém s jedným integračným článkom je konštrukčne stabilný. = 2 Ak má samohybná pištoľ dva integračné články (poradie astatizmu ), jeho AFC ide do nekonečna v druhom kvadrante (obr. 74). Napríklad nech Wp (p) =
, potom samohybné delá AFCH:
W(j) = = P() + jQ(). 0 O máme P()-, Q() + j.
Takýto ACS nebude stabilný pre žiadne hodnoty parametrov, to znamená, že je štrukturálne nestabilný. Štrukturálne nestabilný ACS sa môže stať stabilným zahrnutím korekčných prepojení (napríklad diferenciáciou alebo vynútením) alebo zmenou štruktúry ACS, napríklad použitím miestnych.
spätná väzba
10.2. Koncept rozpätia stability Za prevádzkových podmienok sa parametre systému z jedného alebo druhého dôvodu môžu meniť v rámci určitých limitov (starnutie, kolísanie teploty atď.). Tieto výkyvy parametrov môžu viesť k strate stability systému, ak funguje blízko hranice stability. Preto sa snažia navrhnúť systém automatického riadenia tak, aby fungoval ďaleko od hranice stability. Stupeň tohto odstránenia je tzv.
rozpätie stability Rozpätie stability modulu charakterizuje vzdialenosť AFFC hodografu otvoreného ACS od kritický bod v smere reálnej osi a je určená vzdialenosťou h
od kritického bodu po bod, kde hodograf pretína os x (obr. 75). charakterizuje vzdialenosť hodografu od kritického bodu pozdĺž kruhového oblúka s jednotkovým polomerom a je určená uhlom medzi záporným smerom skutočnej poloosi a lúčom nakresleným od začiatku súradníc po priesečník hodografu s jednotkovým kruhom.
Ako už bolo uvedené, so zvýšením koeficientu prenosu automatického riadiaceho systému s otvorenou slučkou sa modul každého bodu fázovo-frekvenčnej odozvy zvyšuje a pri určitej hodnote K = K kr AFC prejde cez kritický bod (obr. 76) a dosiahne hranicu stability, a kedy K > K kr uzavretá samohybná pištoľ sa stane nestabilnou. Avšak v prípade AFC „v tvare zobáka“ (získaných vďaka prítomnosti vnútorných spätných väzieb) ide nielen o zvýšenie, ale aj o zníženie ). S ďalším zvyšovaním môže viesť k strate stability uzavretých samohybných zbraní (obr. 77). V tomto prípade je hranica stability určená dvoma segmentmi h 1 A h 2, uzavretá medzi kritickým bodom a AFC.
Zvyčajne sa pri vytváraní samohybných zbraní špecifikujú požadované okraje stability h a za ktoré by to nemalo ísť. Tieto limity sú stanovené vo forme sektora nakresleného okolo kritického bodu, do ktorého by AFC otvoreného ACS nemalo vstúpiť (obr. 78).
10.3. Analýza stability pomocou LFC
Je vhodnejšie posúdiť stabilitu pomocou Nyquistovho kritéria pomocou LFC automatického riadiaceho systému s otvorenou slučkou. Je zrejmé, že každý bod AFC bude zodpovedať určitým bodom LFC a LPFC.
Nech sú známe frekvenčné charakteristiky dvoch automatických riadiacich systémov s otvorenou slučkou (1 a 2), ktoré sa navzájom líšia iba koeficientom prenosu K 1 2. Prvý ACS nech je stabilný v uzavretom stave, druhý nie (obr. 79).
Ak W 1 (p) je prenosová funkcia prvého ACS, potom prenosová funkcia druhého ACS W 2 (p) = KW 1 (p), Kde K = K2/Ki. W 1 (p) Druhý ACS môže byť reprezentovaný ako sekvenčný reťazec dvoch článkov s prenosovými funkciami K (spojenie bez zotrvačnosti) a
preto sú výsledné LFC konštruované ako súčet LFC každého z prepojení. Preto LAC druhého samohybného dela:,
L 2 () = 20 lgK + L 1 () 2 () = 1 () .
a LFCHH: = - Priesečníky charakteristík fázovej odozvy reálnej osi zodpovedajú hodnote fázy = - . To zodpovedá priesečníku LFCH mriežkové čiary. V tomto prípade, ako je možné vidieť v AFC, amplitúdy A 1 () 2 () > 1 , čo zodpovedá hodnotám SAFC.
L1() = 20 lgAi()2() > 0 = - Porovnaním AFC a LFFC môžeme dospieť k záveru, že systém v uzavretom stave bude stabilný, ak hodnota LFFC h 1 A h 2 záporné hodnoty LFC budú zodpovedať a naopak. Modulo rozpätia stability = - , určené AFC zodpovedajú vzdialenostiam od osi x k AFC v bodoch, kde
Singulárne body sú priesečníky AFC s jednotkovou kružnicou. Frekvencie c1 A c2, pri ktorej k tomu dochádza, sa nazýva medzné frekvencie.
Na križovatkách A() = 1 = > L() = 0- LAC pretína horizontálnu os. Ak je na medznej frekvencii fáza fázovej odozvy c1> - (Obr. 79a krivka 1), potom je uzavretý ACS stabilný. Na obr. 79b to vyzerá tak, že priesečník LFC vodorovnej osi zodpovedá bodu LFC umiestnenému nad čiarou. = - . A naopak pre nestabilný uzavretý systém automatického riadenia (obr. 79a, krivka 2) c2-, teda kedy = c2 LFCH prihráva popod čiaru = - . Rohový 1 = c1 -(-) je hranica stability fázy. Tento uhol zodpovedá vzdialenosti od čiary = - do LFCHH.