PREDAVANJE št. 4

OSNOVNI ZAKONI KINETIKE IN DINAMIKE

ROTACIJSKO GIBANJE. MEHANSKI

LASTNOSTI BIO-TKIV. BIOMEHANSKI

PROCESI V MIŠIČNEM SISTEMU

OSEBA.

1. Osnovni zakoni kinematike rotacijskega gibanja.

Rotacijski gibi telesa okoli fiksne osi so najenostavnejši tip gibanja. Zanj je značilno, da poljubne točke telesa opisujejo kroge, katerih središča se nahajajo na isti premici 0 ﺍ 0 ﺍﺍ, ki ji pravimo vrtilna os (slika 1).

V tem primeru je položaj telesa kadar koli določen s kotom vrtenja φ polmera vektorja R katere koli točke A glede na njen začetni položaj. Njegova odvisnost od časa:

(1)

je enačba rotacijskega gibanja. Hitrost vrtenja telesa je označena s kotno hitrostjo ω. Kotna hitrost vseh točk rotirajočega telesa je enaka. Je vektorska količina. Ta vektor je usmerjen vzdolž osi vrtenja in je povezan s smerjo vrtenja po pravilu desnega vijaka:

. (2)

Ko se točka enakomerno giblje po krožnici

, (3)

kjer je Δφ=2π kot, ki ustreza enemu polnemu obratu telesa, Δt=T je čas enega polnega obrata ali rotacijska doba. Merska enota kotne hitrosti je [ω]=c -1.

Pri enakomernem gibanju je pospešek telesa označen s kotnim pospeškom ε (njegov vektor se nahaja podobno kot vektor kotne hitrosti in je med pospešenim gibanjem usmerjen v skladu z njim, med počasnim pa v nasprotni smeri):

. (4)

Merska enota za kotni pospešek je [ε]=c -2.

Rotacijsko gibanje lahko označimo tudi z linearno hitrostjo in pospeškom posameznih točk. Dolžina loka dS, ki ga opisuje katera koli točka A (slika 1), ko je zasukan za kot dφ, je določena s formulo: dS=Rdφ.

(5) :

. (6)

Nato linearna hitrost točke Linearni pospešek:

. (7)

A

2. Osnovni zakoni dinamike rotacijskega gibanja.

Vrtenje telesa okoli osi povzroči sila F, ki deluje na katero koli točko telesa, ki deluje v ravnini, ki je pravokotna na os vrtenja in je usmerjena (ali ima komponento v tej smeri) pravokotno na vektor polmera točke. uporabe (slika 1). Trenutek moči glede na središče vrtenja je vektorska količina, številčno enaka produktu sile

. (8)

z dolžino navpičnice d, spuščene iz središča vrtenja na smer sile, imenovane krak sile. Na sliki 1 je torej d=R Trenutek rotacijska sila je vektorska količina. Vektor v skladu s smerjo sile po pravilu desnega vijaka. Osnovno delo dA i , pri vrtenju za majhen kot dφ, ko telo opravi majhno pot dS, je enako:

Merilo za vztrajnost telesa pri translacijskem gibanju je masa. Ko se telo vrti, je merilo njegove vztrajnosti označeno z vztrajnostnim momentom telesa glede na vrtilno os.

Vztrajnostni moment I i materialne točke glede na vrtilno os je vrednost, ki je enaka zmnožku mase točke s kvadratom njene oddaljenosti od osi (slika 2):

. (10)

Vztrajnostni moment telesa glede na os je vsota vztrajnostnih momentov materialnih točk, ki sestavljajo telo:

. (11)

Ali v meji (n→∞):
, (12)

G deintegracija se izvede po celotnem volumnu V. Na podoben način se izračunajo vztrajnostni momenti homogenih teles pravilne geometrijske oblike. Vztrajnostni moment je izražen v kg m 2.

Vztrajnostni moment osebe glede na navpično os vrtenja, ki poteka skozi središče mase (središče mase osebe se nahaja v sagitalni ravnini nekoliko pred drugim križnim vretencem), odvisno od položaja oseba, ima naslednje vrednosti: 1,2 kg m 2 pri pozornosti; 17 kg m 2 – v vodoravnem položaju.

Ko se telo vrti, je njegova kinetična energija sestavljena iz kinetičnih energij posameznih točk telesa:

Z diferenciacijo (14) dobimo osnovno spremembo kinetične energije:

. (15)

Enačenje elementarnega dela (formula 9) zunanje sile na osnovno spremembo kinetična energija(formula 15), dobimo:
, kjer:
ali glede na to
dobimo:
. (16)

Ta enačba se imenuje osnovna enačba dinamike rotacijskega gibanja. Ta odvisnost je podobna Newtonovemu zakonu II za translacijsko gibanje.

Kotna količina L i materialne točke glede na os je količina, ki je enaka zmnožku gibalne količine točke in njene razdalje do osi vrtenja:

. (17)

Gibalna količina impulza L telesa, ki se vrti okoli nepremične osi:

Kotna količina je vektorska količina, usmerjena v smeri vektorja kotne hitrosti.

Zdaj pa se vrnimo k glavni enačbi (16):

,
.

Spravimo konstantno vrednost I pod diferencialni predznak in dobimo:
, (19)

kjer se Mdt imenuje momentni impulz. Če na telo ne delujejo zunanje sile (M=0), je tudi sprememba gibalne količine (dL=0) enaka nič. To pomeni, da kotna količina ostane konstantna:
. (20)

Ta sklep se imenuje zakon o ohranitvi vrtilne količine glede na vrtilno os. Uporablja se na primer med rotacijskimi gibi glede na prosto os v športu, na primer v akrobatiki itd. Tako lahko drsalec na ledu s spreminjanjem položaja telesa med vrtenjem in s tem vztrajnostnega momenta glede na os vrtenja uravnava svojo hitrost vrtenja.

Laboratorijsko delo št. 15

PREUČEVANJE GIBANJA ŽIRSKOPA

Namen dela: preučevanje zakonitosti rotacijskega gibanja, preučevanje gibanja (precesije) žiroskopa pod vplivom navora.

Teorija delovanja

Osnovni pojmi. Osnovni zakon rotacijskega gibanja

Gibalna količina materialne točkeL glede na točko O je vektorski produkt vektorja radija te točke in vektorja njene gibalne količine str:

kje r– polmerni vektor, narisan od točke O do točke A, lokacija materialne točke, str=m v– gibalna količina materialne točke. Modul vektorja vrtilne količine:

kjer je a kot med vektorjema r in str, l – krak vektorja p glede na točko O. Vektor L, po definiciji vektorskega produkta je pravokotna na ravnino, v kateri ležita vektorja r in str(oz v), njegova smer sovpada s smerjo translacijskega gibanja desnega propelerja, ko se vrti od r do p po najkrajši razdalji, kot je prikazano na sliki.

Gibalna količina glede na os je skalarna količina, ki je enaka projekciji vektorja kotne količine, definiranega glede na poljubno točko na tej osi, na to os.

Trenutek močiM materialna točka glede na točko O klical vektorska količina, določen z vektorskim produktom radijskega vektorja r, narisanega iz točke O na točko delovanja sile, in sile F:

. Modul vektorja momenta sile:

kjer je a kot med vektorjema r in F, d = r*sina – krak sile – najkrajša razdalja med premico delovanja sile in točko O. Vektor M(kot tudi L) - psevdovektor , je pravokotna na ravnino, v kateri ležita vektorja r in F, njegova smer sovpada s smerjo translacijskega gibanja desnega propelerja, ko se vrti od r Za F po najkrajši razdalji, kot je prikazano na sliki. Vektorska vrednost in smer M se lahko izračuna tudi matematično z uporabo definicije navzkrižnega produkta.

Moment sile okoli osi imenujemo skalarna količina, ki je enaka projekciji vektorja momenta sile na to os M definirana glede na poljubno točko na tej osi.

Osnovni zakon dinamike rotacijskega gibanja

Za razjasnitev namena zgornjih konceptov razmislite o sistemu dveh materialnih točk (delcev) in nato rezultat posplošite na sistem poljubnega števila delcev (tj. na trdno telo).

Naj na delce z maso m 1, m 2 deluje notranji del f 12, f 21 in zunanje sile F 1 in F 2.

Zapišimo drugi Newtonov zakon za vsakega izmed delcev, pa tudi povezavo med notranjimi silami, ki izhaja iz tretjega Newtonovega zakona:

Vektor pomnoži enačbo (1) z r 1 in enačbo (2) z r 2 ter sešteje nastale izraze:

Transformirajmo leve strani enačbe (4) ob upoštevanju tega

In vektorja in sta vzporedna in je potem njun vektorski produkt enak nič

(5 )

Prva dva člena na desni v (4) sta enaka nič, saj so notranje sile f 12, f 21 enake velikosti in nasprotno usmerjene (vektor r 1-r 2 usmerjen vzdolž iste premice kot vektor f 12).

V tem poglavju je togo telo obravnavano kot skupek materialnih točk, ki se druga glede na drugo ne premikajo. Tako telo, ki se ne more deformirati, imenujemo absolutno trdno.

Pustimo, da se trdno telo poljubne oblike vrti pod delovanjem sile okoli nepremične osi 00 (slika 30). Nato vse njegove točke opisujejo krožnice s središči na tej osi. Jasno je, da imajo vse točke telesa enako kotno hitrost in enak kotni pospešek (v določenem času).

Razčlenimo delujočo silo na tri medsebojno pravokotne komponente: (vzporedno z osjo), (pravokotno na os in leži na premici, ki poteka skozi os) in (pravokotno. Očitno vrtenje telesa povzroča samo komponenta, ki je tangentna na točko delovanja sile, ni vzrok za vrtenje. šolski tečaj V fiziki je delovanje sile odvisno ne le od njene velikosti, temveč tudi od oddaljenosti točke njenega delovanja A od osi vrtenja, torej je odvisno od momenta sile. Moment rotacijske sile (navor) je zmnožek rotacijske sile in polmera kroga, ki ga opisuje točka delovanja sile:

Razčlenimo celotno telo v mislih na zelo majhne delce - elementarne mase. Čeprav deluje sila na eno točko A telesa, se njen rotacijski učinek prenaša na vse delce: elementarna rotacijska sila bo delovala na vsako osnovno maso (glej sliko 30). Po drugem Newtonovem zakonu je

kjer je linearni pospešek, ki se prenese na osnovno maso. Če pomnožimo obe strani te enakosti s polmerom kroga, ki ga opisuje osnovna masa, in uvedemo kotni pospešek namesto linearnega (glej § 7), dobimo

Ob upoštevanju, da navor velja za osnovno maso, in označuje

kjer je vztrajnostni moment osnovne mase (materialne točke). Posledično je vztrajnostni moment materialne točke glede na določeno vrtilno os zmnožek mase materialne točke s kvadratom njene razdalje do te osi.

Če povzamemo navore, uporabljene za vse elementarne mase, sestavljanje telesa, dobimo

kjer je navor, ki deluje na telo, tj. moment rotacijske sile je vztrajnostni moment telesa. Posledično je vztrajnostni moment telesa vsota vztrajnostnih momentov vseh materialnih točk, ki sestavljajo telo.

Zdaj lahko formulo (3) prepišemo v obliki

Formula (4) izraža osnovni zakon rotacijske dinamike (drugi Newtonov zakon za rotacijsko gibanje):

moment rotacijske sile, ki deluje na telo, je enak produktu vztrajnostnega momenta telesa in kotnega pospeška.

Iz formule (4) je razvidno, da je kotni pospešek, ki ga navor posreduje telesu, odvisen od vztrajnostnega momenta telesa; Večji kot je vztrajnostni moment, manjši je kotni pospešek. Posledično vztrajnostni moment označuje vztrajnostne lastnosti telesa med rotacijskim gibanjem, tako kot masa označuje vztrajnostne lastnosti telesa med translacijskim gibanjem. Za razliko od mase ima lahko vztrajnostni moment določenega telesa veliko vrednosti v skladu s številnimi možnimi osmi vrtenja. Zato je treba, ko govorimo o vztrajnostnem momentu togega telesa, navesti, glede na katero os se izračuna. V praksi imamo običajno opravka z vztrajnostnimi momenti glede na simetrijske osi telesa.

Iz formule (2) sledi, da je merska enota vztrajnostnega momenta kilogram-kvadratni meter

Če sta navor in vztrajnostni moment telesa, potem lahko formulo (4) predstavimo kot

Izpeljava osnovnega zakona dinamike rotacijskega gibanja. K izpeljavi osnovne enačbe dinamike rotacijskega gibanja. Dinamika rotacijskega gibanja materialne točke. V projekciji na tangencialno smer bo enačba gibanja dobila obliko: Ft = mt.

15. Izpeljava osnovnega zakona dinamike rotacijskega gibanja.

riž. 8.5. K izpeljavi osnovne enačbe dinamike rotacijskega gibanja.

Dinamika rotacijskega gibanja materialne točke.Vzemimo delec z maso m, ki se vrti okoli toka O po krogu s polmerom R , pod delovanjem rezultantne sile F (glej sliko 8.5). V inercialnem referenčnem sistemu velja 2 Ojej Newtonov zakon. Zapišimo ga glede na poljuben trenutek v času:

F = m·a.

Normalna komponenta sile ne more povzročiti rotacije telesa, zato bomo upoštevali le delovanje njene tangencialne komponente. V projekciji na tangencialno smer ima enačba gibanja obliko:

F t = m·a t .

Ker je a t = e·R, potem

F t = m e R (8,6)

Če levo in desno stran enačbe skalarno pomnožimo z R, dobimo:

F t R = m e R 2 (8,7)
M = tj. (8,8)

Enačba (8.8) predstavlja 2 Ojej Newtonov zakon (enačba dinamike) za rotacijsko gibanje materialne točke. Lahko mu damo vektorski značaj, ob upoštevanju, da prisotnost navora povzroči pojav vzporednega vektorja kotnega pospeška, usmerjenega vzdolž osi vrtenja (glej sliko 8.5):

M = I·e. (8,9)

Osnovni zakon dinamike materialne točke med rotacijskim gibanjem je mogoče formulirati na naslednji način:

produkt vztrajnostnega momenta in kotnega pospeška je enak rezultantnemu momentu sil, ki delujejo na materialna točka.

Pa tudi druga dela, ki bi vas utegnila zanimati
66899.		Jezik in mišljenje, Logične in jezikovne slike sveta	132,5 KB
	Nebesedno mišljenje se izvaja preko vizualnih in čutnih podob, ki nastanejo kot posledica zaznavanja vtisov realnosti, ki se shranijo v spominu in jih nato poustvari domišljija. Neverbalno mišljenje je v eni ali drugi meri značilno za nekatere živali.
66900.		PLASTIČNA DEFORMACIJA IN MEHANSKE LASTNOSTI	51,5 KB
	Mehanske lastnosti vključujejo trdnost, odpornost kovinske zlitine na deformacijo in zlom ter duktilnost, sposobnost kovine, da se nepovratno deformira brez uničenja, ki ostane po odstranitvi deformacijskih sil. Poleg tega med kristalizacijo nastanejo napetosti z neenakomerno ...
66902.		Značilnosti preiskave umorov, storjenih na domačih tleh	228 KB
	Forenzične značilnosti umorov. Značilnosti začetne faze preiskave. Tipične situacije začetni fazi preiskave. Značilnosti organizacije in izdelave začetnih preiskav. Značilnosti uporabe posebnih znanj...
66904.		KULTURA STARODAVNEGA SVETA	62,5 KB
	Literarna kritika je veda o fikcija, njegov izvor, bistvo in razvoj. Sodobno literarno kritiko sestavljajo tri samostojne, a tesno povezane discipline (oddelki): literarna teorija, literarna zgodovina in literarna kritika.
66905.		Logični elementi	441 KB
	Upoštevani so principi delovanja, značilnosti in tipična vezja za povezovanje najenostavnejših logičnih elementov - inverterjev, medpomnilnikov, elementov IN in ALI ter podane rešitve vezja, ki omogočajo izvedbo pogostih funkcij na njihovi osnovi.
66906.		Modeli in procesi programskega vodenja projektov	257,5 KB
	Namen metodologije CMM/CMMI - sistema in modela za ocenjevanje zrelosti - je zagotoviti potrebna splošna priporočila in navodila podjetjem, ki proizvajajo PS, za izbiro strategije za izboljšanje kakovosti procesov in izdelkov z analizo stopnje njihove proizvodnje. zrelost in dejavniki ocenjevanja...

Ta članek opisuje pomemben del fizike - "Kinematika in dinamika rotacijskega gibanja".

Osnovni pojmi kinematike rotacijskega gibanja

Rotacijsko gibanje materialne točke okoli fiksne osi je takšno gibanje, katerega pot je krog, ki se nahaja v ravnini, pravokotni na os, njegovo središče pa leži na osi vrtenja.

Vrtilno gibanje togega telesa je gibanje, pri katerem se vse točke telesa gibljejo po koncentričnih (katerih središča ležijo na isti osi) krožnicah po pravilu za rotacijsko gibanje materialne točke.

Naj se poljubno togo telo T vrti okoli osi O, ki je pravokotna na ravnino risbe. Izberimo točko M na tem telesu. Ob vrtenju bo ta točka opisala krog s polmerom okoli osi O r.

Čez nekaj časa se bo polmer zavrtel glede na prvotni položaj za kot Δφ.

Smer desnega vijaka (v smeri urinega kazalca) je vzeta kot pozitivna smer vrtenja. Spremembo kota vrtenja skozi čas imenujemo enačba rotacijskega gibanja togega telesa:

φ = φ(t).

Če φ merimo v radianih (1 rad je kot, ki ustreza loku z dolžino, ki je enaka njegovemu polmeru), potem je dolžina krožnega loka ΔS, ki ga bo materialna točka M prešla v času Δt, enaka:

ΔS = Δφr.

Osnovni elementi kinematike enakomernega rotacijskega gibanja

Mera gibanja materialne točke v kratkem časovnem obdobju dt služi kot elementarni rotacijski vektor dφ.

Kotna hitrost materialne točke ali telesa je fizikalna količina, ki je določena z razmerjem med vektorjem osnovne rotacije in trajanjem te rotacije. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka vzdolž osi O. V skalarni obliki:

ω = dφ/dt.

če ω = dφ/dt = const, potem se takšno gibanje imenuje enakomerno rotacijsko gibanje. Z njim je kotna hitrost določena s formulo

ω = φ/t.

Po preliminarni formuli je dimenzija kotne hitrosti

[ω] = 1 rad/s.

Enakomerno rotacijsko gibanje telesa lahko opišemo z rotacijsko periodo. Vrtilna doba T je fizikalna količina, ki določa čas, v katerem telo okoli vrtilne osi naredi en polni obrat ([T] = 1 s). Če v formuli za kotno hitrost vzamemo t = T, φ = 2 π (en polni obrat polmera r), potem

ω = 2π/T,

Zato definiramo obdobje rotacije na naslednji način:

T = 2π/ω.

Število vrtljajev, ki jih telo naredi na časovno enoto, imenujemo vrtilna frekvenca ν, ki je enaka:

ν = 1/T.

Frekvenčne enote: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Če primerjamo formule za kotno hitrost in frekvenco vrtenja, dobimo izraz, ki povezuje te količine:

ω = 2πν.

Osnovni elementi kinematike neenakomernega rotacijskega gibanja

Za neenakomerno rotacijsko gibanje togega telesa ali materialne točke okoli nepremične osi je značilna njegova kotna hitrost, ki se s časom spreminja.

Vektor ε , ki označuje stopnjo spremembe kotne hitrosti, se imenuje vektor kotnega pospeška:

ε = dω/dt.

Če se telo vrti, pospešuje, tj dω/dt > 0, ima vektor smer vzdolž osi v isto smer kot ω.

Če je rotacijsko gibanje počasno - dω/dt< 0 , potem sta vektorja ε in ω nasprotno usmerjena.

Komentiraj. Ko pride do neenakomernega rotacijskega gibanja, se lahko vektor ω spremeni ne samo v velikosti, ampak tudi v smeri (ko se os vrtenja vrti).

Razmerje med količinami, ki označujejo translacijsko in rotacijsko gibanje

Znano je, da sta dolžina loka z zasučnim kotom polmera in njegova vrednost povezani z razmerjem

ΔS = Δφ r.

Nato linearna hitrost materialne točke, ki izvaja rotacijsko gibanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalni pospešek materialne točke, ki izvaja rotacijsko translacijsko gibanje, se določi na naslednji način:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Torej v skalarni obliki

a = ω 2 r.

Tangencialno pospešena materialna točka, ki izvaja rotacijsko gibanje

a = ε r.

Gibalna količina materialne točke

Vektorski produkt vektorja radija trajektorije materialne točke z maso m i in njene gibalne količine se imenuje kotna gibalna količina te točke okoli osi vrtenja. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka.

Impuls materialne točke ( L i) je usmerjena pravokotno na ravnino, narisano skozi r i in υ i, in z njima tvori desno trojko vektorjev (to je, ko se premikamo od konca vektorja r i Za υ i desni vijak bo pokazal smer vektorja L i).

V skalarni obliki

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Glede na to, da se pri gibanju v krogu vektor radija in vektor linearne hitrosti za i-ti material medsebojno pravokotne točke,

sin(υ i, r i) = 1.

Tako bo kotna količina materialne točke za rotacijsko gibanje prevzela obliko

L = m i υ i r i .

Moment sile, ki deluje na i-to materialno točko

Vektorski produkt vektorja radija, ki je narisan na točko delovanja sile, in to silo imenujemo moment sile, ki deluje na i-ti material točko glede na vrtilno os.

V skalarni obliki

M i = r i F i sin(ri, F i).

Glede na to r i sinα = l i,M i = l i F i .

Magnituda l i, ki je enaka dolžini navpičnice, spuščene s točke vrtenja na smer delovanja sile, se imenuje krak sile F i.

Dinamika rotacijskega gibanja

Enačba za dinamiko rotacijskega gibanja je zapisana takole:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je naslednja: hitrost spremembe vrtilne količine telesa, ki se vrti okoli fiksne osi, je enaka posledičnemu trenutku glede na to os vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo.

Trenutek impulza in vztrajnostni moment

Znano je, da je za i-to materialno točko kotna količina v skalarni obliki podana s formulo

L i = m i υ i r i .

Če namesto linearne hitrosti njen izraz nadomestimo s kotno hitrostjo:

υ i = ωr i,

potem bo izraz za vrtilno količino dobil obliko

L i = m i r i 2 ω.

Magnituda I i = m i r i 2 imenujemo vztrajnostni moment približno os i materialna točka absolutno togega telesa, ki poteka skozi njegovo središče mase. Nato zapišemo kotno količino materialne točke:

L i = I i ω.

Kotno količino absolutno togega telesa zapišemo kot vsoto kotnih količin materialnih točk, ki sestavljajo to telo:

L = Iω.

Moment sile in vztrajnostni moment

Zakon rotacijskega gibanja pravi:

M = dL/dt.

Znano je, da lahko kotno količino telesa predstavimo z vztrajnostnim momentom:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Glede na to, da je kotni pospešek določen z izrazom

ε = dω/dt,

dobimo formulo za moment sile, predstavljen preko vztrajnostnega momenta:

M = Iε.

Komentiraj. Trenutek sile velja za pozitivnega, če je kotni pospešek, ki ga povzroča, večji od nič, in obratno.

Steinerjev izrek. Zakon seštevanja vztrajnostnih momentov

Če os vrtenja telesa ne poteka skozi njegovo središče mase, lahko glede na to os najdemo njegov vztrajnostni moment z uporabo Steinerjevega izreka:
I = I 0 + ma 2,

kje jaz 0- začetni vztrajnostni moment telesa; m- telesna teža; a- razdalja med osema.

Če je sistem, ki se vrti okoli nepremične osi, sestavljen iz n teles, potem bo skupni vztrajnostni moment te vrste sistema enak vsoti momentov njegovih komponent (zakon seštevanja vztrajnostnih momentov).