Vsebina članka
IZPELJAVKA– odvod funkcije l = f(x), podan v določenem intervalu ( a, b) na točki x tega intervala imenujemo meja, h kateri stremi razmerje prirastka funkcije f na tej točki do ustreznega prirastka argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli.
Izpeljanka je običajno označena na naslednji način:
Široko se uporabljajo tudi druge oznake:
Takojšnja hitrost.
Naj bistvo M premika v ravni črti. Razdalja s gibljiva točka, šteto od nekega začetnega položaja M 0 , odvisno od časa t, tj. s obstaja funkcija časa t: s= f(t). Naj v nekem trenutku t gibljiva točka M je bil na daljavo s iz začetnega položaja M 0 in v nekem naslednjem trenutku t+D t znašla v položaju M 1 – na daljavo s+D s iz začetnega položaja ( glej sliko.).
Tako je v določenem obdobju D t oddaljenost s spremenili za znesek D s. V tem primeru pravijo, da je v času D t velikost s prejel prirastek D s.
Povprečna hitrost ne more v vseh primerih natančno označiti hitrosti gibanja točke M v določenem trenutku t. Če je na primer telo na začetku intervala D t premikal zelo hitro in na koncu zelo počasi, potem povprečna hitrost ne bo mogla odražati navedenih značilnosti gibanja točke in podati predstavo o resnični hitrosti njenega gibanja v tem trenutku t. Če želite natančneje izraziti pravo hitrost s povprečno hitrostjo, morate vzeti krajše časovno obdobje D t. Najbolj v celoti označuje hitrost gibanja točke v tem trenutku t meja, h kateri teži povprečna hitrost pri D t® 0. Ta meja se imenuje trenutna hitrost:
Tako se hitrost gibanja v danem trenutku imenuje meja razmerja prirastka poti D s do časovnega prirastka D t, ko se časovni prirastek nagiba k ničli. Ker
Geometrični pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije.
Konstrukcija tangentnih črt je eden tistih problemov, ki so privedli do rojstva diferencialnega računa. Prvo objavljeno delo v zvezi z diferencialnim računom, ki ga je napisal Leibniz, je bilo naslovljeno Nova metoda maksimumov in minimumov ter tangent, za katere niso ovira niti frakcijske niti iracionalne količine, in posebna vrsta računa za to..
Naj bo krivulja graf funkcije l =f(x) v pravokotnem koordinatnem sistemu ( cm. riž.).
Po neki vrednosti x funkcija je pomembna l =f(x). Te vrednote x in l točka na krivulji ustreza M 0(x, l). Če argument x dati povečanje D x, nato novo vrednost argumenta x+D x ustreza novi vrednosti funkcije y+ D l = f(x + D x). Ustrezna točka krivulje bo točka M 1(x+D x,l+D l). Če narišete sekanto M 0M 1 in označena z j kot, ki ga tvori prečnica s pozitivno smerjo osi Ox, je iz slike takoj jasno, da .
Če zdaj D x teži k ničli, potem je točka M 1 se premika po krivulji in se približuje točki M 0 in kot j spreminja z D x. pri Dx® 0 kot j teži k določeni meji a in premica, ki poteka skozi točko M 0 in komponenta s pozitivno smerjo osi x, kot a, bo želena tangenta. Njegov naklon je:
torej f´( x) = tga
tiste. izvedena vrednost f´( x) za dano vrednost argumenta x je enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta na graf funkcije f(x) na ustrezni točki M 0(x,l) s pozitivno smerjo osi Ox.
Diferenciabilnost funkcij.
Opredelitev. Če funkcija l = f(x) ima odvod v točki x = x 0, potem je funkcija na tej točki diferenciacijska.
Zveznost funkcije, ki ima odvod. Izrek.
Če funkcija l = f(x) je na neki točki mogoče razlikovati x = x 0, potem je na tej točki zvezna.
Tako funkcija ne more imeti odvoda na diskontinuitetnih točkah. Napačna je nasprotna ugotovitev, tj. od tega, da v nekem trenutku x = x 0 funkcija l = f(x) je zvezna, ne pomeni, da je na tej točki diferencibilna. Na primer funkcija l = |x| neprekinjeno za vse x(–Ґ x x = 0 nima odvoda. Na tej točki ni tangente na graf. Obstajata desna tangenta in leva, vendar ne sovpadata.
Nekaj izrekov o diferenciabilnih funkcijah. Izrek o korenih odvoda (Rollejev izrek).Če funkcija f(x) je zvezen na segmentu [a,b], je razločljiv na vseh notranjih točkah tega segmenta in na koncih x = a in x = b gre na nič ( f(a) = f(b) = 0), nato znotraj segmenta [ a,b] obstaja vsaj ena točka x= z, a c b, v katerem je izpeljanka fў( x) gre na nič, tj. fў( c) = 0.
Izrek o končnem prirastku (Lagrangeov izrek).Če funkcija f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] in je diferencibilna v vseh notranjih točkah tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja vsaj ena točka z, a c b to
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Izrek o razmerju prirastkov dveh funkcij (Cauchyjev izrek).če f(x) In g(x) – dve zvezni funkciji na segmentu [a, b] in razločljiv na vseh notranjih točkah tega segmenta, in gў( x) ne izgine nikjer znotraj tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja taka točka x = z, a c b to
Izpeljanke različnih vrst.
Naj funkcija l =f(x) je diferencibilen na nekem intervalu [ a, b]. Izpeljane vrednosti f ў( x), na splošno odvisno od x, tj. izpeljanka f ў( x) je tudi funkcija x. Pri diferenciranju te funkcije dobimo tako imenovani drugi odvod funkcije f(x), kar je označeno f ўў ( x).
Izpeljanka n- vrstnem redu funkcije f(x) imenujemo izpeljanka (prvega reda) izpeljanke n- 1- th in je označen s simbolom l(n) = (l(n– 1))ў.
Diferenciali različnih naročil.
Funkcijski diferencial l = f(x), kje x– neodvisna spremenljivka, da dy = f ў( x)dx, nekaj funkcij iz x, ampak od x lahko je odvisen le prvi dejavnik f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirastek neodvisne spremenljivke x in ni odvisna od vrednosti te spremenljivke. Ker dy obstaja funkcija iz x, potem lahko določimo diferencial te funkcije. Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda te funkcije in ga označimo d 2l:
d(dx) = d 2l = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferencial n- prvega reda imenujemo prvi diferencial diferenciala n- 1- vrstni red:
d n y = d(d n–1l) = f(n)(x)dx(n).
Delni derivat.
Če funkcija ni odvisna od enega, ampak od več argumentov x i(i variira od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), potem je v diferencialnem računu uveden koncept delnega odvoda, ki označuje hitrost spremembe funkcije več spremenljivk, ko se spremeni samo en argument, na primer x i. Parcialni odvod 1. reda glede na x i je definiran kot navaden derivat in predpostavlja se, da so vsi argumenti razen x i, ohranite konstantne vrednosti. Za delne odvode je uveden zapis
Tako definirani parcialni odvodi 1. reda (kot funkcije istih argumentov) imajo lahko posledično tudi parcialne odvode, to so delni odvodi drugega reda itd. Takšne izpeljanke, vzete iz različnih argumentov, imenujemo mešane. Zvezni mešani odvodi istega reda niso odvisni od vrstnega reda diferenciacije in so med seboj enaki.
Anna Chugainova
Izpeljanka funkcije v točki se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, pod pogojem, da teži k nič.
Osnovna pravila za iskanje izpeljanke
Če sta - in - diferenciabilni funkciji v točki (tj. funkciji, ki imata odvode v točki), potem:
4) 
.
Tabela odvodov osnovnih funkcij
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Pravilo razlikovanja kompleksna funkcija. Če in , tj. , kjer in imajo izpeljanke, torej
Diferenciacija funkcije, podane parametrično. Naj bo odvisnost spremenljivke od spremenljivke podana parametrično s parametrom:
Naloga 3. Poiščite izpeljanke teh funkcij.
1) 
rešitev. Z uporabo pravila 2 za iskanje izpeljank in formul 1 in 2 tabele izpeljav dobimo:
rešitev. Z uporabo pravila 4 za iskanje derivatov in formul 1 in 13 tabele derivatov dobimo:
.
rešitev. Z uporabo pravila 3 za iskanje derivatov in formul 5 in 11 tabele derivatov dobimo:
rešitev. Ob predpostavki , kjer , po formuli za iskanje odvoda kompleksne funkcije dobimo:
rešitev. Imamo: Potem v skladu s formulo za iskanje odvoda funkcije, podane parametrično, dobimo:
4. Izpeljanke višjega reda. L'Hopitalovo pravilo.
Odvod funkcije drugega reda se imenuje izpeljanka njene izpeljanke, tj. . Za drugi derivat se uporabljajo naslednji zapisi: ali , ali .
Odvod 1. reda funkcije se imenuje odvod njegovega odvoda th reda. Za odvod th reda se uporabljajo naslednji zapisi: ali , ali .
L'Hopitalovo pravilo. Naj funkcije in diferenciable v okolici točke , in odvod ne izniči. Če sta funkciji in hkrati infinitezimalni ali neskončno veliki pri , in obstaja meja razmerja pri , potem obstaja tudi meja razmerja pri . Poleg tega
.
Pravilo velja tudi, ko.
Upoštevajte, da lahko v nekaterih primerih razkritje negotovosti tipa ali zahteva večkratno uporabo L'Hopitalovega pravila.
Vrsta negotovosti itd. s pomočjo elementarnih transformacij jih zlahka reduciramo na negotovosti oblike oz.
Naloga 4. Poiščite mejo z uporabo L'Hopitalovega pravila.
rešitev Tu imamo negotovost oblike, saj ob . Uporabimo L'Hopitalovo pravilo:
.
Po uporabi L'Hopitalovega pravila smo spet dobili negotovost oblike, ker ob . Če ponovno uporabimo L'Hopitalovo pravilo, dobimo:
.
5. Funkcijska študija
a) Naraščajoče in padajoče funkcije
Funkcija se imenuje povečevanje na segmentu , če za katere koli točke in iz segmenta , kjer , neenakost velja. Če je funkcija zvezna na intervalu in za , potem narašča na intervalu.
Funkcija se imenuje zmanjševanje na segmentu , če za katere koli točke in iz segmenta , kjer , neenakost velja. Če je funkcija zvezna na intervalu in za , potem pada na intervalu.
Če funkcija v danem intervalu samo narašča ali samo pada, se jo pokliče monotono na intervalu.
b) Ekstremi funkcij
najmanjša točka funkcije .
Če obstaja -soseska točke tako, da za vse točke iz te okolice velja neenakost, potem imenujemo točko največja točka funkcije .
Največja in najmanjša točka funkcije se imenujeta njena ekstremne točke.
Točka se imenuje stacionarna točka,če ali ne obstaja.
Če obstaja -soseska stacionarne točke, tako da za in za , potem je največja točka funkcije.
Če obstaja -soseska stacionarne točke, tako da pri in pri , potem je -točka minimuma funkcije .
a) Konveksna smer. Prevojne točke
konveksno navzgor na intervalu , če se nahaja pod tangento, ki je narisana na graf funkcije na kateri koli točki v tem intervalu.
Zadosten pogoj za konveksnost grafa funkcije na intervalu navzgor je izpolnjevanje neenakosti za katerega koli od obravnavanih intervalov.
Graf diferenciabilne funkcije se imenuje konveksno navzdol na intervalu , če se nahaja nad tangento, ki je narisana na grafu funkcije na kateri koli točki v tem intervalu.
Zadosten pogoj za konveksnost grafa funkcije navzdol na intervalu je izpolnjevanje neenakosti za katerega koli od obravnavanih intervalov.
Imenuje se točka, v kateri se spremeni smer konveksnosti grafa funkcije prevojna točka.
Točka, kjer ali ne obstaja, je abscisa prevojne točke, če sta predznaka levo in desno od nje različna.
d) Asimptote
Če se razdalja od točke na grafu funkcije do določene premice nagiba k nič, ko se točka neskončno oddaljuje od izhodišča, potem se premica imenuje asimptota grafa funkcije.
Če obstaja število, tako da , Potem je vrstica navpična asimptota.
Če so meje 
, potem je vrstica poševna (vodoravna pri k=0) asimptota.
e) Splošna študija funkcije
1. Funkcijska domena
2. Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi
3. Študij funkcije za kontinuiteto, sodo/liho in periodičnost
4. Intervali monotonosti funkcije
5. Ekstremne točke funkcije
6. Intervali konveksnosti in prevojne točke funkcijskega grafa
7. Asimptote grafa funkcije
8. Funkcijski graf.
Naloga 5. Raziščite funkcijo in zgradite njen graf.
rešitev. 1) Funkcija je definirana na celotni številski premici, razen na točki, kjer gre imenovalec ulomka na nič. . Imamo: ne spada v domeno definicije te funkcije. Posledično so stacionarne točke te funkcije točke z najmanjšo vrednostjo (kot je prikazano na sliki).
8) S pomočjo pridobljenih podatkov zgradimo graf prvotne funkcije:
