NALOGE C2 ENOTNEGA DRŽAVNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE IŠTANJE RAZDALJE OD TOČKE DO RAVNINE
Kulikova Anastasia Yurievna
Študentka 5. letnika Oddelka za matematiko. analiza, algebra in geometrija EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga
Ganeeva Aigul Rifovna
znanstveni mentor dr. ped. znanosti, izredni profesor EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga
IN Naloge za enotni državni izpit pri matematiki v zadnja leta pojavljajo se težave pri izračunu razdalje od točke do ravnine. V tem članku so na primeru ene težave obravnavane različne metode za iskanje razdalje od točke do ravnine. Najprimernejši način je mogoče uporabiti za reševanje različnih težav. Ko ste težavo rešili z eno metodo, lahko preverite pravilnost rezultata z drugo metodo.
Opredelitev. Razdalja od točke do ravnine, ki te točke ne vsebuje, je dolžina pravokotnice, narisane iz te točke na dano ravnino.
Naloga. Podan je pravokoten paralelepiped ABZD.A. 1 B 1 C 1 D 1 s stranicami AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Poiščite razdaljo od točke D letati ACD 1 .
1 način. Uporaba definicija. Poiščite razdaljo r( D, ACD 1) od točke D letati ACD 1 (slika 1).
Slika 1. Prva metoda
Izvajajmo D.H.⊥AC, torej po izreku treh navpičnic D 1 H⊥AC in (DD 1 H)⊥AC. Izvajajmo neposredno D.T. pravokotno D 1 H. Naravnost D.T. leži v ravnini DD 1 H, torej D.T.⊥A.C.. torej D.T.⊥ACD 1.
ADC poiščimo hipotenuzo AC in višina D.H.
Iz pravokotnega trikotnika D 1 D.H. poiščimo hipotenuzo D 1 H in višina D.T.
Odgovor: .
Metoda 2.Volumenska metoda (uporaba pomožne piramide). Tovrsten problem lahko skrčimo na problem izračuna višine piramide, kjer je višina piramide zahtevana razdalja od točke do ravnine. Dokaži, da je ta višina zahtevana razdalja; poiščite prostornino te piramide na dva načina in izrazite to višino.
Upoštevajte, da pri tej metodi ni treba zgraditi pravokotnice iz dane točke na dano ravnino.
Kvader je paralelepiped, katerega vse ploskve so pravokotniki.
AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.
Zahtevana razdalja bo višina h piramide ACD 1 D, spuščeno z vrha D na podlagi ACD 1 (slika 2).
Izračunajmo prostornino piramide ACD 1 D na dva načina.
Pri izračunu pri prvem načinu za osnovo vzamemo ∆ ACD 1 potem
Pri izračunu na drugi način vzamemo za osnovo ∆ ACD, Potem
Izenačimo desni strani zadnjih dveh enakosti in dobimo
Slika 2. Druga metoda
Od pravokotne trikotnike ACD, DODAJ 1 , CDD 1 poiščite hipotenuzo s pomočjo Pitagorovega izreka
ACD
Izračunajte ploščino trikotnika ACD 1 z uporabo Heronove formule
Odgovor: .
3 način. Koordinatna metoda.
Naj bo podana točka M(x 0 ,l 0 ,z 0) in letalo α , podana z enačbo sekira+avtor+cz+d=0 v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Oddaljenost od točke M na ravnino α lahko izračunamo po formuli:
Predstavimo koordinatni sistem (slika 3). Izhodišče koordinat v točki IN;
Naravnost AB- os X, naravnost sonce- os l, naravnost BB 1 - os z.
Slika 3. Tretja metoda
B(0,0,0), A(2,0,0), Z(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Naj ax+avtor+ cz+ d=0 – enačba ravnine ACD 1. Zamenjava koordinat točk vanj A, C, D 1 dobimo:
Enačba ravnine ACD 1 bo prevzel obrazec
Odgovor: .
4 način. Vektorska metoda.
Predstavimo osnovo (slika 4) , .
Slika 4. Četrta metoda
, Natečaj "Predstavitev za lekcijo"
Razred: 11
Predstavitev za lekcijo
Nazaj Naprej
Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.
Cilji:
- posploševanje in sistematizacija učenčevega znanja in spretnosti;
- razvoj veščin za analizo, primerjavo, sklepanje.
Oprema:
- multimedijski projektor;
- računalnik;
- listi s problemskimi besedili
NAPREDOVANJE RAZREDA
I. Organizacijski trenutek
II. Faza obnavljanja znanja(diapozitiv 2)
Ponovimo, kako se določi razdalja od točke do ravnine
III. Predavanje(prosojnice 3-15)
V tej lekciji si bomo ogledali različne načine za iskanje razdalje od točke do ravnine.
Prva metoda: računanje po korakih
Razdalja od točke M do ravnine α:
– enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na premici a, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α;
– je enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na ravnini β, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α.
Rešili bomo naslednje težave:
№1. V kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke C 1 do ravnine AB 1 C.
Ostaja še izračunati vrednost dolžine segmenta O 1 N.
№2. V pravilni šesterokotni prizmi A...F 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od točke A do ravnine DEA 1.
Naslednja metoda: volumenska metoda.
Če je prostornina piramide ABCM enaka V, se razdalja od točke M do ravnine α, ki vsebuje ∆ABC, izračuna po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri reševanju nalog uporabljamo enakost prostornin ene figure, izraženo na dva različna načina.
Rešimo naslednjo težavo:
№3. Rob AD piramide DABC je pravokoten na osnovno ravnino ABC. Poiščite razdaljo od A do ravnine, ki poteka skozi razpolovišča robov AB, AC in AD, če.
Pri reševanju problemov koordinatna metoda razdaljo od točke M do ravnine α lahko izračunamo z uporabo formule ρ(M; α) = 
, kjer je M(x 0; y 0; z 0), ravnina pa je podana z enačbo ax + by + cz + d = 0
Rešimo naslednjo težavo:
№4. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1.
Vstavimo koordinatni sistem z izhodiščem v točki A, os y bo potekala vzdolž roba AB, os x vzdolž roba AD, os z vzdolž roba AA 1. Nato koordinate točk B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Ustvarimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke B, D, C 1.
Potem – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zato je ρ = 
Naslednja metoda, ki jo je mogoče uporabiti za reševanje tovrstnih težav, je način podpornih težav.
Uporaba te metode je sestavljena iz uporabe znanih referenčnih problemov, ki so formulirani kot izreki.
Rešimo naslednjo težavo:
№5. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke D 1 do ravnine AB 1 C.
Razmislimo o aplikaciji vektorska metoda.
№6. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1.
Tako smo si ogledali različne metode, ki jih je mogoče uporabiti za rešitev te vrste težav. Izbira ene ali druge metode je odvisna od specifične naloge in vaših želja.
IV. Skupinsko delo
Poskusite rešiti težavo na različne načine.
№1. Rob kocke A...D 1 je enak . Poiščite razdaljo od oglišča C do ravnine BDC 1.
№2. V pravilnem tetraedru ABCD z robom poiščite razdaljo od točke A do ravnine BDC
№3. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine BCA 1.
№4. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine SCD.
V. Povzetek lekcije, domača naloga, refleksija
Oglejmo si določeno ravnino π in poljubno točko M 0 v prostoru. Izberimo za letalo enotski normalni vektor n z začetek v neki točki M 1 ∈ π in naj bo p(M 0 ,π) razdalja od točke M 0 do ravnine π. Nato (slika 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)
od |n| = 1.
Če je podana ravnina π pravokotni koordinatni sistem s svojo splošno enačbo Ax + By + Cz + D = 0, potem je njegov normalni vektor vektor s koordinatami (A; B; C) in lahko izbiramo
Naj sta (x 0 ; y 0 ; z 0) in (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točk M 0 in M 1 . Potem velja enakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, saj točka M 1 pripada ravnini, koordinate vektorja M 1 M 0 pa lahko najdemo: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Snemanje pikasti izdelek nM 1 M 0 v koordinatni obliki in transformacijo (5.8), dobimo
ker je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Če želite torej izračunati razdaljo od točke do ravnine, morate koordinate točke nadomestiti z splošna enačba ravnino in nato delite absolutno vrednost rezultata z normalizacijskim faktorjem, ki je enak dolžini ustreznega normalnega vektorja.