Zunanje sile so tiste, ki delujejo na telo iz točk ali teles, ki niso del danega telesa ali sistema. Notranje sile so tiste, s katerimi točke določenega telesa delujejo druga na drugo.
Uničenje ali celo enostavna okvara konstrukcijskega elementa je možna le s povečanjem notranjih sil in ko preidejo določeno omejevalno oviro. Višino te pregrade je priročno izračunati iz nivoja, ki ustreza odsotnosti zunanjih sil. V bistvu je treba upoštevati samo dodatne notranje sile, ki nastanejo le ob prisotnosti zunanjih sil. V mehaniki se te dodatne notranje sile preprosto imenujejo notranje sile v ožjem, mehanskem smislu.
Notranje sile se določajo z "metodo odsekov", ki temelji na dokaj očitni trditvi: če je telo kot celota v ravnotežju, potem je v tem stanju tudi vsak del, ki je od njega izoliran.
Slika 2.1.5
Oglejmo si palico v ravnovesju pod delovanjem sistema zunanjih sil, sl. 2.1.5, a. Miselno ga razdelimo na dva dela z odsekom AB, sl. 2.1.5, b. Na vsakega od odsekov AB levega in desnega dela bomo uporabili sistem sil, ki ustreza notranjim silam, ki delujejo v realnem telesu, sl. 1.7, c. Tako se z metodo prerezov notranje sile pretvorijo v zunanje sile glede na vsakega od odrezanih delov telesa, kar omogoča njihovo določitev iz ravnotežnih pogojev vsakega od teh delov posebej.
Odsek AB je lahko usmerjen poljubno, vendar se za nadaljnjo razpravo izkaže, da je prečni prerez, pravokoten na vzdolžno os palice, bolj primeren.
Vstavimo naslednji zapis:
glavni vektorji in glavni momenti zunanjih in notranjih sil, ki delujejo na levi odsek. Ob upoštevanju uvedenega zapisa lahko ravnotežne pogoje tega telesa zapišemo kot:
0, + =0 (2.1.1)
Podobne izraze lahko sestavimo za desni odrezani del palice. Po preprostih transformacijah lahko dobite:
=- , =- (2.1.1)
kar si lahko razlagamo kot posledico znanega zakona mehanike: akcijo vedno spremlja enaka in nasprotna reakcija.
V primeru reševanja problema dinamičnega delovanja na palico se lahko obrnemo na dobro znani d'Alembertov princip, po katerem se zunanjim silam prištejejo vztrajnostne sile, kar ponovno reducira problem na ravnotežne enačbe. Zato ostane postopek metode odseka
Vrednosti in niso odvisne od orientacije odseka AB (glej sliko 2.1.5). Vendar se v praktičnih izračunih zdi najbolj priročno uporabiti prečni prerez. V tem primeru normala na odsek sovpada z vzdolžno osjo palice. Nadalje sta glavni vektor in glavni moment notranjih sil običajno predstavljena v obliki njunih projekcij na pravokotne koordinatne osi, pri čemer je ena od osi (na primer os x) poravnana z omenjeno normalo, glej sl. 2.1.6.
Slika 2.1.6
Razširimo vektorje , , , vzdolž koordinatnih osi, sl. 2.1.6, a-d. Komponente glavnega vektorja in glavnega momenta imajo splošno sprejeta imena. Silo N x, normalno na prerezno ravnino, imenujemo normalna (vzdolžna) sila, Q x in Q y pa prečni (rezalni) sili. Trenutki o sekirah pri in z, tj. M y in M z bosta upogibna in moment glede na vzdolžno os X, tj. M x - navor.
Komponente glavnega momenta notranjih sil v uporu materialov so najpogosteje prikazane, kot je prikazano na sl. 2.1.6, d in f.
Enačbe vektorskega ravnotežja lahko predstavimo kot projekcijo na koordinatne osi:
Tako se vsaka komponenta glavnega vektorja za glavni moment notranjih sil izračuna kot vsota projekcij vseh zunanjih sil na ustrezno os ali kot vsota momentov vseh zunanjih sil glede na to os (ob upoštevanju sprejeto pravilo znaka), ki se nahaja na eni strani odseka.
Projekcija vektorja na koordinatno os, ki je skalarna količina, je lahko pozitivna ali negativna. To je odvisno od tega, ali smer projekcije sovpada s pozitivno ali negativno smerjo osi. Pri notranjih silah se to pravilo upošteva samo v primeru normale X je zunanji, kot je bil primer za levi odrezan del na sl. 2.1.6. V normalni situaciji X je notranji, glejte desni odrezan del na sl. 2.1.6 se predznak notranje sile šteje za pozitiven, ko njegova smer sovpada z negativno smerjo osi. Na sl. 2.1.6 vse projekcije notranjih sil N x , Q x , Q y , M x , M y in M z (tako tiste, ki se nanašajo na leve kot tiste, ki se nanašajo na desne mejne dele) so prikazane kot pozitivne.
Sistem materialnih točk (ali tel) Vsak njihov niz, ki smo ga identificirali, se imenuje. Vsako telo sistema lahko deluje tako s telesi, ki pripadajo temu sistemu, kot tudi s telesi, ki vanj niso vključena. Sile, ki delujejo med telesi sistema, se imenujejo notranje sile. Sile, ki delujejo na telesa sistema iz teles, ki niso vključena v ta sistem, se imenujejo z zunanjimi silami. Sistem se imenuje zaprt (ali izolirano), če vključuje vsa medsebojno delujoča telesa. Tako v zaprtem sistemu delujejo samo notranje sile.
Strogo gledano zaprti sistemi v naravi ne obstajajo. Skoraj vedno pa je možno formulirati problem tako, da lahko zanemarimo zunanje sile (zaradi njihove majhnosti ali kompenzirane™, tj. medsebojnega uničenja) v primerjavi z notranjimi. Izbira imaginarne površine, ki omejuje sistem, je prerogativ (svobodna volja) subjekta, tj. mora izvesti raziskovalec na podlagi analize notranjih in zunanjih sil. Isti sistem teles se lahko šteje za zaprtega ali odprtega pod različnimi pogoji, odvisno od formulacije problema in podane natančnosti njegove rešitve.
V zaprtem sistemu teles so vsi pojavi opisani s preprostimi in splošnimi zakoni, zato je treba, če pogoji problema to dopuščajo, zanemariti majhno delovanje zunanjih sil in sistem obravnavati kot zaprt. To je tisto, kar pogosto imenujemo fizični model objektivne resničnosti.
Poseben primer idealnega mehanskega sistema je absolutno trdno telo, ki se ne more ne deformirati ne spremeniti v prostornini, še manj pa se uničiti (očitno takšnih teles v naravi ni): razdalja med posameznimi materialnimi točkami, ki tvorijo tako sistem ostane konstanten za vse vrste interakcij.
Zdaj pa predstavimo zelo pomemben koncept v mehaniki središče mase(vztrajnostno središče) sistema materialnih točk. Vzemimo sistem, sestavljen iz N materialne točke. Središče mase mehanskega sistema imenujemo točka C, katere polmerni vektor položaja v poljubno izbranem referenčnem sistemu je podan z razmerjem:
kjer je /u masa materialne točke; /; - polmerni vektor, narisan od izhodišča referenčnega sistema do točke, kjer je T,.
Če postavimo izhodišče koordinat v točko C, potem Rc= 0 in nato
kar vodi do drugačne definicije središča mase: masno središče mehanskega sistema - to je točka, za katero je vsota zmnožkov mas vseh materialnih točk, ki tvorijo mehanski sistem, z njihovimi radijskimi vektorji, narisanimi iz te točke, začetek koordinate
dinar so enaki nič. Na sliki 1.
riž. 1.11.
1 je to ponazorjeno na primeru sistema, sestavljenega iz dveh teles (na primer dvoatomne molekule).
Vektor polmera Rc tega sistema ima MT v kartezičnem koordinatnem sistemu koordinate X c, Y c, Z c(splošen tridimenzionalni primer). V tem primeru lahko položaj središča mase določimo z naslednjimi enačbami:
kje M- skupna masa mehanskega MT sistema,
Do sedaj smo delovali s celoto N diskretne materialne točke. Kako pa je z določitvijo težišča raztegnjenega telesa, katerega masa je zvezno porazdeljena v prostoru? V tem primeru je naravno, da preidemo od seštevanja v (1.68)-(1.70) k integraciji. Hkrati pa v vektorski obliki bomo dobili
Pri telesih s simetrijsko ravnino (kot v primeru) je središče mase v tej ravnini. Če ima telo simetrijsko os (os X v našem primeru), potem mora središče mase zagotovo ležati na tej osi; če ima telo središče simetrije (na primer v primeru homogene krogle), potem mora to središče sovpadati s položajem središča; mase.
Da ugotovimo, kako se giblje masno središče sistema, zapišemo izraze (1.70) v obliki
=MZC in jih dvakrat ločiti v času (vse mase
predpostavljamo konstanto)
Če dobljene enačbe primerjamo z izrazi (1.51), dobimo
ali (v vektorski obliki)
Te enačbe, imenovane diferencialne enačbe gibanja središča mase, po strukturi sovpadajo z diferencialnimi enačbami gibanja materialne točke. To nam omogoča, da oblikujemo izrek o gibanju središča mase: masno središče mehanskega sistema se giblje kot materialna točka, katere masa je enaka masi celotnega sistema in na katero delujejo vse zunanje sile, ki delujejo na sistem.
Če na sistem ne delujejo zunanje sile, tj. delovanje zunanjih sil je kompenzirano), potem
tiste. hitrost gibanja središča mase zaprtega sistema vedno ostane konstantna (ohranjena). Notranje sile ne vplivajo na gibanje težišča sistema. Če zlasti v danem inercialnem koordinatnem sistemu središče mase zaprtega sistema v enem trenutku miruje, potem to pomeni, da bo vedno mirovalo.
Veliko problemov v mehaniki se najpreprosteje reši v koordinatnem sistemu, povezanem s središčem mase.
- Pri izbranem koordinatnem sistemu v primeru je Zc = 0 (ploski enodimenzionalni primer).
Zelo enostavno si je predstavljati močno osebo. Močna postava, velike mišice, samozavesten videz. Toda ali ti znaki vedno dokazujejo resnično moč? In kaj je ta notranja moč, o kateri lahko zelo pogosto slišite? Ali se ujema z impresivno videz? Ali je lahko fizično manj razvita oseba močnejša od nadrejenega nasprotnika? V katerih primerih se pokaže človekova notranja moč? Jo je mogoče razviti ali je to prirojena lastnost, ki se deduje? Poskusimo razumeti to vprašanje.
Kaj je notranja moč?
Notranja moč je trdnost, nabor močnih voljnih lastnosti, ki človeku omogočajo premagovanje različnih življenjskih težav. Skladno s tem se manifestira v stresnih primerih, ko oseba, ki čuti, da ne more nadzorovati situacije, še vedno deluje "značajno".
Ta kakovost daje ljudem dobesedno nadčloveške sposobnosti, ki jim omogočajo, da gredo tja, kjer bi se zlomili tudi šestmetrski odbijači. Notranja moč ni odvisna od človekove starosti, spola ali drugih parametrov.
Želite sprejemati boljše odločitve, poiščite svojo idealno kariero in uresničite svoj največji potencial? Izvedite brezplačno kakšen človek ti je bil ob rojstvu usojen sistem postati
Lahko se manifestira pri komer koli, glavna stvar je, da ga ne potlačite. Glavni dejavniki, ki zavirajo razvoj notranje moči, so lahko škodljivi kompleksi, stres, strahovi, skrbi itd.
Kako nastane notranja moč?
Človekova notranja moč ni odvisna od njegove zunanje moči, vendar je ne izključuje. Navsezadnje je za vsako moč vedno več moči. In ob trku z njo se pokaže ravno notranja moč.
Seveda je lažje premagati šibkejšega nasprotnika. Vsi pa poznamo primere, ko majhen, a »duhoven« človek izide kot zmagovalec iz boja z nekom, ki je očitno večji od njega. Zakaj se to dogaja? Očitno je bolj samozavesten in to zaupanje prenese na sovražnika ter ga dobesedno razoroži. Po načelu učbenika Moska, ki spravlja grozo v vse lokalne slone.
Obstaja pet glavnih komponent, ki tvorijo človekovo notranjo moč:
- Moč duha je jedro osebnosti;
- Življenjska energija je vse, kar je potrebno za življenje;
- Moč volje je notranja rezerva, ki se odpre v težavah;
- Samokontrola - sposobnost obvladovanja svojega telesa in misli;
- Duševna energija – čustvena in duševna stabilnost.
Njihova interakcija določa, kako močna bo oseba v dani situaciji, zato je zelo pomembno, da smo pozorni na razvoj vsake od teh komponent.
Mehanski sistem je zbirka materialnih točk ali teles, v kateri je položaj ali gibanje vsake točke ali telesa odvisno od položaja in gibanja vseh ostalih. Tako, na primer, ko preučujemo gibanje Zemlje in Lune glede na Sonce, je celota Zemlje in Lune mehanski sistem, sestavljen iz dveh materialnih točk; ko se projektil razbije na drobce, obravnavamo drobce kot mehanski sistem. Mehanski sistem je vsak mehanizem ali stroj.
Če se razdalje med točkami mehanskega sistema ne spremenijo, ko se sistem giblje ali miruje, se tak mehanski sistem imenuje nespremenljiv.
Koncept nespremenljivega mehanskega sistema omogoča proučevanje poljubnega gibanja trdnih teles v dinamiki. Tudi v tem primeru, tako kot v statiki in kinematiki, bomo pod togim telesom razumeli snovno telo, pri katerem se razdalja med vsakima dvema točkama ne spremeni, ko se telo premika ali miruje. Vsako trdno telo je mogoče mentalno razdeliti na dovolj veliko število dovolj majhnih delov, katerih celoto lahko približno obravnavamo kot mehanski sistem. Ker trdno telo tvori zvezen podaljšek, je za ugotovitev njegovih natančnih (in ne približnih) lastnosti nujen mejni prehod, končna razdrobljenost telesa, ko se velikosti obravnavanih delov telesa hkrati nagibajo k nič.
Tako nam poznavanje zakonov gibanja mehanskih sistemov omogoča preučevanje zakonitosti poljubnega gibanja trdnih teles.
Vse sile, ki delujejo na točke mehanskega sistema, delimo na zunanje in notranje sile.
Zunanje sile v odnosu do danega mehanskega sistema so sile, ki delujejo na točke tega sistema iz materialnih točk ali teles, ki niso vključena v sistem. Oznake: - zunanja sila, ki deluje na to točko; 
-glavni vektor zunanjih sil; 
- glavni moment zunanjih sil glede na pol.
Notranje sile so sile, s katerimi materialne točke ali telesa, vključena v dani mehanski sistem, delujejo na točke ali telesa istega sistema. Z drugimi besedami, notranje sile so sile interakcije med točkami ali telesi danega mehanskega sistema. Oznake: - notranja sila, ki deluje na točko; 
- glavni vektor notranjih sil; 
- glavni moment notranjih sil glede na pol.
3.2 Lastnosti notranjih sil.
Prva lastnina.Glavni vektor vseh notranjih sil mehanskega sistema je enak nič, tj
. (3.1)
Druga lastnost.Glavni moment vseh notranjih sil mehanskega sistema glede na katerikoli pol ali os je enak nič, tj.
, 
. (3.2)
|
Da bi dokazali te lastnosti, upoštevamo, da ker so notranje sile sile interakcije materialnih točk, vključenih v sistem, potem v skladu s tretjim Newtonovim zakonom kateri koli dve točki sistema (slika 17) delujeta druga na drugo s silami in enakima po velikosti in v nasprotni smeri. Tako za vsako notranjo silo obstaja neposredno nasprotna notranja sila in zato notranje sile tvorijo določen niz parno nasprotnih sil. Toda geometrijska vsota dveh neposredno nasprotnih sil je nič, torej
.
Kot je bilo prikazano v statiki, je geometrijska vsota momentov dveh neposredno nasprotnih sil glede na isti pol enaka nič, torej
.
Podoben rezultat dobimo pri izračunu glavnega momenta okoli osi
.
3.3 Diferencialne enačbe gibanja mehanskega sistema.
Oglejmo si mehanski sistem, sestavljen iz materialnih točk, katerih mase so . Za vsako točko uporabimo osnovno enačbo dinamike točke
, 
,
, (3.3)
de je rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na th točko, in je rezultanta notranjih sil.
sistem diferencialne enačbe(3.3) se imenuje diferencialne enačbe gibanja mehanskega sistema v vektorski obliki.
S projekcijo vektorskih enačb (3.3) na pravokotne kartezične koordinatne osi dobimo diferencialne enačbe gibanja mehanskega sistema v koordinatni obliki:
,
, (3.4)
,
.
Te enačbe so sistem navadnih diferencialnih enačb drugega reda. Posledično je za iskanje gibanja mehanskega sistema glede na dane sile in začetne pogoje za vsako točko tega sistema potrebno integrirati sistem diferencialnih enačb. Integracija sistema diferencialnih enačb (3.4) je na splošno povezana s precejšnjimi, pogosto nepremostljivimi matematičnimi težavami. Vendar pa v teoretična mehanika Razvite so bile metode, ki omogočajo izogibanje glavnim težavam, ki nastanejo pri uporabi diferencialnih enačb gibanja mehanskega sistema v obliki (3.3) ali (3.4). Te vključujejo metode, ki zagotavljajo splošne izreke za dinamiko mehanskega sistema, ki določajo zakone spreminjanja nekaterih celotnih (integralnih) značilnosti sistema kot celote, ne pa vzorcev gibanja njegovih posameznih elementov. To so tako imenovane mere gibanja - glavni vektor gibalne količine; glavni moment količine; kinetična energija. Če poznamo naravo spremembe teh količin, je mogoče oblikovati delno in včasih popolno sliko gibanja mehanskega sistema.
IV. OSNOVNI (SPLOŠNI) IZREKI DINAMIKE TOČKE IN SISTEMA
4.1 Izrek o gibanju masnega središča.
4.1.1 Središče mase mehanskega sistema.
Oglejmo si mehanski sistem, sestavljen iz materialnih točk, katerih mase so .
Masa mehanskega sistema, sestavljen iz materialnih točk, bomo imenovali vsoto mas točk sistema:
Opredelitev. Središče mase mehanskega sistema je geometrijska točka, katere polmerni vektor je določen s formulo:
kjer je radij vektor masnega središča; -radius vektorji sistemskih točk; -njihove mase (slika 18).
; 
; . (4.1")
Središče mase ni materialna točka, ampak geometrijski. Morda ne sovpada z nobeno materialno točko mehanskega sistema. V enakomernem gravitacijskem polju se središče mase ujema s težiščem. To pa ne pomeni, da sta pojma središče mase in težišče enaka. Koncept središča mase je uporaben za vse mehanske sisteme, koncept težišča pa samo za mehanske sisteme, ki so pod vplivom gravitacije (to je privlačnosti do Zemlje). Tako lahko na primer v nebesni mehaniki pri obravnavanju problema gibanja dveh teles, na primer Zemlje in Lune, upoštevamo središče mase tega sistema, ne moremo pa upoštevati težišča.
Tako je pojem središča mase širši od pojma težišča.
4.1.2. Izrek o gibanju masnega središča mehanskega sistema.
Izrek. Središče mase mehanskega sistema se giblje kot materialna točka, katere masa je enaka masi celotnega sistema in na katero delujejo vse zunanje sile, ki delujejo na sistem, tj.
.
(4.2)
Tukaj -glavni vektor zunanjih sil.
Dokaz. Oglejmo si mehanski sistem, katerega materialne točke se premikajo pod vplivom zunanjih in notranjih sil. je rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na th točko, in je rezultanta notranjih sil. Po (3.3) ima enačba gibanja te točke obliko
, .
Če seštejemo levo in desno stran teh enačb, dobimo
.
Ker je glavni vektor notranjih sil enak nič (razdelek 3.2, prva lastnost), potem
.
Transformirajmo levo stran te enakosti. Iz formule (4.1), ki določa polmerni vektor masnega središča, sledi:
.
V nadaljevanju bomo predvidevali, da so obravnavani samo mehanski sistemi s konstantno sestavo, to je in . Vzemimo drugi odvod glede na čas z obeh strani te enakosti
Ker 
, -
pospešek središča mase sistema, nato, končno,
.
S projekcijo obeh strani te vektorske enakosti na koordinatne osi dobimo:
,
, (4.3)
,
kjer so , , projekcije sile;
Projekcije glavnega vektorja zunanjih sil na koordinatne osi.
Enačbe (4.3)- diferencialne enačbe gibanja središča mase mehanskega sistema v projekcijah na kartezične koordinatne osi.
Iz enačb (4.2) in (4.3) sledi, da Notranje sile same ne morejo spremeniti narave gibanja središča mase mehanskega sistema. Notranje sile lahko posredno vplivajo na gibanje težišča le preko zunanjih sil. Na primer, v avtomobilu notranje sile, ki jih razvije motor, vplivajo na premikanje središča mase prek tornih sil koles in ceste.
4.1.3. Zakoni ohranitve gibanja središča mase
(posledice iz izreka).
Iz izreka o gibanju masnega središča lahko dobimo naslednje posledice.
Posledica 1.Če je glavni vektor zunanjih sil, ki delujejo na sistem, enak nič, potem njegovo masno središče miruje ali se giblje premočrtno in enakomerno.
Dejansko, če je glavni vektor zunanjih sil , potem iz enačbe (4.2):
Če je zlasti začetna hitrost težišča mase , potem središče mase miruje. Če je začetna hitrost , se središče mase giblje premočrtno in enakomerno.
Posledica 2.Če je projekcija glavnega vektorja zunanjih sil na katero koli fiksno os enaka nič, potem se projekcija hitrosti središča mase mehanskega sistema na to os ne spremeni.
Ta posledica izhaja iz enačb (4.3). Naj, na primer, potem
,
od tukaj. Če v začetnem trenutku, potem:
to pomeni, da se projekcija središča mase mehanskega sistema na os v tem primeru ne bo premaknila vzdolž osi. Če , potem se projekcija središča mase na os premika enakomerno.
4.2 Količina gibanja točke in sistema.
Izrek o spremembi gibalne količine.
4.2.1. Količina gibanja točke in sistema.
Opredelitev. Količina gibanja materialne točke je vektor, ki je enak produktu mase točke in njene hitrosti, tj.
. (4.5)
Vektor kolinearna na vektor in usmerjena tangencialno na trajektorijo materialne točke (slika 19).
Zagon točke v fiziki se pogosto imenuje impulz materialne točke.
Dimenzija gibalne količine v SI je kg·m/s ali N·s.
Opredelitev. Količina gibanja mehanskega sistema je vektor, ki je enak vektorski vsoti količin gibanj (glavni vektor količin gibanj) posameznih točk, vključenih v sistem, tj.
(4.6)
Projekcije gibalne količine na pravokotne kartezične koordinatne osi:
Vektor gibalne količine sistema za razliko od vektorja gibalne količine točke nima točke uporabe. Vektor gibalne količine točke se uporabi na najbolj premikajoči se točki in vektor je prosti vektor.
Lema količin gibanja. Gibalna količina mehanskega sistema je enaka masi celotnega sistema, pomnoženi s hitrostjo njegovega masnega središča, tj.
Dokaz. Iz formule (4.1), ki določa polmerni vektor masnega središča, sledi:
.
Vzemimo časovni odvod obeh strani
, oz 
.
Od tu naprej
, kar je bilo treba dokazati.
Iz formule (4.8) je razvidno, da če se telo giblje tako, da njegovo središče mase ostane negibno, je gibalna količina telesa enaka nič. Na primer, količina gibanja telesa, ki se vrti okoli nepremične osi, ki gre skozi njegovo središče mase (slika 20),
, ker
Če je gibanje telesa ravninsko vzporedno, potem količina gibanja ne bo karakterizirala rotacijskega dela gibanja okoli središča mase. Na primer, za kolo, ki se kotali (slika 21), ne glede na to, kako se kolo vrti okoli središča mase. Količina gibanja označuje samo translacijski del gibanja skupaj s središčem mase.
4.2.2. Izrek o spremembi gibalne količine mehanskega sistema
v diferencialni obliki.
Izrek.Časovni odvod gibalne količine mehanskega sistema je enak geometrijski vsoti (glavnemu vektorju) zunanjih sil, ki delujejo na ta sistem, tj.
.
(4.9)
Dokaz. Oglejmo si mehanski sistem, sestavljen iz materialnih točk, katerih mase so ; -rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na to točko. V skladu z lemo o gibalni količini, formula (4.8):
Vzemimo odvod glede na čas z obeh strani te enakosti
.
Desna stran te enakosti iz izreka o gibanju središča mase je formula (4.2):
.
Končno:
in izrek je dokazan .
V projekcijah na pravokotne kartezične koordinatne osi:
; 
; 
, (4.10)
to je časovni odvod projekcije gibalne količine mehanskega sistema na poljubno koordinatno os je enak vsoti projekcij (projekcije glavnega vektorja) vseh zunanjih sil sistema na isto os.
4.2.3. Zakoni ohranitve gibalne količine
(posledice iz izreka)
Posledica 1.Če je glavni vektor vseh zunanjih sil mehanskega sistema enak nič, potem je količina gibanja sistema konstantna po velikosti in smeri.
Res, če 
,
potem iz izreka o spremembi gibalne količine, tj. iz enakosti (4.9) sledi, da
Posledica 2.Če je projekcija glavnega vektorja vseh zunanjih sil mehanskega sistema na določeno fiksno os enaka nič, potem ostane projekcija gibalne količine sistema na to os konstantna.
Naj bo projekcija glavnega vektorja vseh zunanjih sil na os enaka nič: 
. Nato iz prve enakosti (4.10):
4.2.4. Izrek o spremembi gibalne količine mehanskega sistema
v integralni obliki.
Elementarni impulz sile klical vektorska količina, ki je enak produktu vektorja sile in elementarnega časovnega intervala
. (4.11)
Smer elementarnega impulza sovpada s smerjo vektorja sile.
Impulz sile v končnem časovnem obdobju enako določen integral iz elementarnega impulza
. (4.12)
Če je sila konstantna po velikosti in smeri (), potem je njen impulz skozi čas enako:
Projekcije impulza sile na koordinatne osi:
Dokažimo izrek o spremembi gibalne količine mehanskega sistema v integralni obliki.
Izrek.Sprememba gibalne količine mehanskega sistema v določenem časovnem obdobju je enaka geometrijski vsoti impulzov zunanjih sil sistema v istem časovnem obdobju, tj.
(4.14)
Dokaz. Naj bo v trenutku količina gibanja mehanskega sistema enaka, v trenutku pa -; -impulz zunanje sile, ki deluje na to točko v času.
Uporabimo izrek o spremembi gibalne količine v diferencialni obliki - enakost (4.9):
.
Če obe strani te enakosti pomnožimo z in integriramo v območju od do , dobimo
, 
, 
.
Izrek o spremembi gibalne količine v integralni obliki je dokazan.
V projekcijah na koordinatne osi v skladu z (4.14):
,
, (4.15)
.
4.3. Izrek o spremembi vrtilne količine.
4.3.1. Kinetični moment točke in sistema.
V statiki so bili uvedeni in široko uporabljeni koncepti momentov sile glede na pol in os. Ker je gibalna količina materialne točke vektor, je mogoče določiti njene momente glede na pol in os na enak način, kot se določijo momenti sil.
Opredelitev. glede na pol se imenuje moment njegovega vektorja gibalne količine glede na isti pol, tj.
. (4.16)
Gibalna količina materialne točke glede na pol je vektor (slika 22), usmerjen pravokotno na ravnino, ki vsebuje vektor in pol v smeri, iz katere je vektor glede na pol viden v nasprotni smeri urinega kazalca. Vektorski modul
enak zmnožku modula in kraka - dolžine navpičnice, spuščene s pola na liniji delovanja vektorja:
Kotni moment glede na pol lahko predstavimo kot vektorski produkt: kotna količina materialne točke glede na pol je enaka vektorskemu produktu polmera vektorja, ki ga iz pola v točko potegne vektor momentne količine:
(4.17)
Opredelitev. Kinetični moment materialne točke relativno osi se imenuje moment njenega vektorja gibalne količine glede na isto os, tj.
. (4.18)
Kinetični moment materialne točke glede na os (slika 23) je enak produktu projekcije vektorja, vzetega z znakom plus ali minus na ravnino, pravokotno na os , na rami te projekcije:
kjer je rama dolžina navpičnice, spuščene s točke presečišča osi z ravnino na liniji delovanja projekcije in če, gledano proti osi , projekcija glede na točko je vidna v nasprotni smeri urinega kazalca in drugače.
Dimenzija kinetičnega momenta v SI-kg m 2 /s ali N m s.
Opredelitev. Kinetični moment ali glavni gibalni moment mehanskega sistema glede na pol je vektor, ki je enak geometrijski vsoti kinetičnih momentov vseh materialnih točk sistema glede na ta pol:
.
(4.19)
Opredelitev. Kinetični moment ali glavni moment količine mehanskega sistema glede na os je algebraična vsota kinetičnih momentov vseh materialnih točk sistema glede na to os:
. (4.20)
Kinetični momenti mehanskega sistema glede na pol in os, ki poteka skozi ta pol, so povezani z enako odvisnostjo kot glavni momenti sistema sil glede na pol in os:
- projekcija kinetičnega momenta mehanskega sistema glede na pol na os ,ki poteka skozi ta pol, je enaka kotni gibalni količini sistema glede na to os, tj.
. (4.21)
4.3.2. Izreki o spremembi kinetičnega momenta mehanskega sistema.
Oglejmo si mehanski sistem, sestavljen iz materialnih točk, katerih mase so . Dokažimo izrek o spremembi vrtilne količine mehanskega sistema glede na pol.
Izrek.Časovni odvod kinetičnega momenta mehanskega sistema glede na fiksni pol je enak glavnemu momentu zunanjih sil sistema glede na isti pol, tj.
.
(4.22)
Dokaz. Izberimo nekaj fiksnega droga . Kinetični moment mehanskega sistema glede na ta pol je po definiciji enakost (4.19):
.
Razlikujmo ta izraz glede na čas:
Poglejmo desno stran tega izraza. Izračun odvoda produkta:
, (4.24)
Tu se upošteva, da. Vektorji in imajo enako smer, njihov vektorski produkt je enak nič, zato je prva vsota v enačbi (4.24).
V mehaniki so zunanje sile v odnosu do danega sistema materialnih točk (tj. takšnega niza materialnih točk, v katerem je gibanje vsake točke odvisno od položajev ali gibanj vseh drugih točk) tiste sile, ki predstavljajo delovanje drugih telesa v tem sistemu (drugi sistemi materialnih točk), ki jih mi ne vključujemo v ta sistem. Notranje sile so sile interakcije med posameznimi materialnimi točkami danega sistema. Delitev sil na zunanje in notranje je povsem pogojna: ko se dana sestava sistema spremeni, lahko nekatere sile, ki so bile prej zunanje, postanejo notranje in obratno. Tako na primer pri obravnavi
gibanje sistema, ki ga sestavljata zemlja in njen satelit luna, bodo sile interakcije med tema telesoma notranje sile za ta sistem, gravitacijske sile sonca, preostalih planetov, njihovih satelitov in vseh zvezd pa bodo zunanje sile glede na določen sistem. Če pa spremenimo sestavo sistema in upoštevamo gibanje sonca in vseh planetov kot gibanje enega skupni sistem, nato zunanji sile bodo le sile privlačnosti, ki jih izvajajo zvezde; kljub temu pa postanejo sile interakcije med planeti, njihovimi sateliti in soncem notranje sile tega sistema. Na enak način, če med gibanjem parne lokomotive izločimo bat parnega valja kot ločen sistem materialnih točk, ki jih obravnavamo, potem bo tlak pare na bat glede na to zunanja sila , in enak tlak pare bo ena od notranjih sil, če upoštevamo gibanje celotne lokomotive kot celote; v tem primeru bodo zunanje sile glede na celotno lokomotivo, vzeto kot en sistem, naslednje: trenje med tirnicami in kolesi lokomotive, težnost lokomotive, reakcija tirnic in zračni upor; notranje sile bodo na primer vse sile interakcije med deli lokomotive. interakcijske sile med paro in batom cilindra, med drsnikom in njegovimi vzporednicami, med ojnico in ročičnim zatičem itd. Kot vidimo, med zunanjimi in notranjimi silami v bistvu ni razlike, relativna razlika med njimi je določena le odvisno od tega, katere organe vključimo v obravnavani sistem in za katere menimo, da niso vključeni v sistem. Vendar pa je navedena relativna razlika v silah zelo pomembna pri proučevanju gibanja danega sistema; po tretjem Newtonovem zakonu (o enakosti delovanja in reakcije) so notranje sile interakcije med vsakima dvema materialnima točkama sistema enake po velikosti in usmerjene vzdolž iste ravne črte v nasprotnih smereh; Zahvaljujoč temu je mogoče pri reševanju različnih vprašanj o gibanju sistema materialnih točk iz enačb gibanja sistema izključiti vse notranje sile in s tem omogočiti preučevanje gibanja celotnega sistema. Ta metoda odprave notranjih, v večini primerov neznanih, sklopnih sil je bistvena pri izpeljavi različnih zakonov mehanike sistema.
Absolutno elastičen učinek- trk dveh teles, zaradi česar v obeh telesih, ki sodelujeta pri trku, ne ostane nobena deformacija in se vsa kinetična energija teles pred udarcem po udarcu spet spremeni v prvotno kinetično energijo (upoštevajte, da gre za idealizirano primer).
Pri absolutno elastičnem udarcu sta izpolnjena zakon o ohranitvi kinetične energije in zakon o ohranitvi gibalne količine.
Označimo hitrosti kroglic z maso m 1 in m 2 pred udarcem skozi ν 1 in ν 2, po udarcu - skozi ν 1 " in ν 2"(slika 1). Pri neposrednem središčnem udarcu ležijo vektorji hitrosti kroglic pred in po udarcu na ravni črti, ki poteka skozi njihova središča. Projekcije vektorjev hitrosti na to premico so enake modulom hitrosti. Njihove usmeritve bomo upoštevali z znaki: pozitivni bodo povezani z gibanjem v desno, negativni z gibanjem v levo.
Slika 1
Pod temi predpostavkami imajo ohranitveni zakoni obliko
(1)
(2)
Po ustrezni transformaciji v izrazih (1) in (2) dobimo
(3)
(4)
Z reševanjem enačb (3) in (5) najdemo
(7)
Poglejmo si nekaj primerov.
1. Kdaj ν 2=0
(8) 
(9)
Analizirajmo izraze (8) v (9) za dve krogli različnih mas:
a) m 1 = m 2. Če je druga krogla pred udarcem nepremično visela ( ν 2=0) (slika 2), potem se bo po udarcu prva krogla ustavila ( ν 1 "=0), druga pa se bo gibala z enako hitrostjo in v isto smer, v kateri se je gibala prva krogla pred udarcem ( ν 2"=ν 1);
Slika 2
b) m 1 > m 2. Prva krogla se še naprej giblje v isti smeri kot pred udarcem, vendar z manjšo hitrostjo ( ν 1 "<ν 1). Hitrost druge žogice po udarcu je večja od hitrosti prve žogice po udarcu ( ν 2">ν 1 ") (slika 3);
Slika 3
c) m 1
Slika 4
d) m 2 >>m 1 (na primer trk žoge v steno). Iz enačb (8) in (9) sledi, da ν 1 "= -ν 1; ν 2"≈ 2m 1 ν 2"/m 2 .
2. Ko je m 1 =m 2, bosta imela izraza (6) in (7) obliko ν 1 "= ν 2; ν 2"= ν 1; to pomeni, da se zdi, da kroglice enake mase izmenjujejo hitrosti.
Absolutno neelastičen udarec- trčenje dveh teles, zaradi česar se telesi povežeta in se naprej premikata kot ena celota. Absolutno neelastični udar lahko dokažemo s pomočjo plastelinskih (glinenih) kroglic, ki se premikajo ena proti drugi (slika 5).
Slika 5
Če sta masi kroglic m 1 in m 2, sta njihovi hitrosti pred udarcem ν 1 in ν 2, nato z uporabo zakona o ohranitvi gibalne količine
kje v- hitrost gibanja kroglic po udarcu. Potem
(15.10)
Če se krogli premikata druga proti drugi, se bosta skupaj še naprej gibali v smeri, v kateri se je žogica gibala z velikim zagonom. V konkretnem primeru, če sta masi kroglic enaki (m 1 =m 2), potem
Ugotovimo, kako se spreminja kinetična energija kroglic med centralnim absolutno neelastičnim udarcem. Ker pri trku kroglic med njimi delujejo sile, ki so odvisne od njihovih hitrosti, ne pa od samih deformacij, imamo opravka z disipativnimi silami, podobnimi silam trenja, zato zakona o ohranitvi mehanske energije v tem primeru ne bi smeli upoštevati. . Zaradi deformacije pride do zmanjšanja kinetične energije, ki preide v toplotno ali druge oblike energije. To zmanjšanje je mogoče določiti z razliko v kinetični energiji teles pred in po udarcu:
Z uporabo (10) dobimo
Če je bilo udarjeno telo sprva negibno (ν 2 =0), potem
Ko je m 2 >>m 1 (masa mirujočega telesa je zelo velika), potem ν <<ν 1 in praktično vsa kinetična energija telesa se ob udarcu pretvori v druge oblike energije. Zato mora biti na primer nakovalo za znatno deformacijo bistveno masivnejše od kladiva. Nasprotno, pri zabijanju žebljev v steno bi morala biti masa kladiva veliko večja (m 1 >>m 2), potem pa ν≈ν 1 in skoraj vsa energija se porabi za čim večje premikanje žeblja, in ne na preostali deformaciji stene.
Povsem neelastični udarec je primer izgube mehanske energije pod vplivom disipativnih sil.
1. Delo spremenljive sile.
Oglejmo si materialno točko, ki se giblje pod vplivom sile P premočrtno. če učinkovita sila je konstantna in usmerjena vzdolž premice, premik pa je enak s, potem je, kot je znano iz fizike, delo A te sile enako produktu Ps. Zdaj pa izpeljimo formulo za izračun dela, ki ga opravi spremenljiva sila.
Naj se točka premika vzdolž osi Ox pod vplivom sile, katere projekcija na os Ox je funkcija f od x. V tem primeru bomo predpostavili, da je f zvezna funkcija. Pod vplivom te sile se je materialna točka premaknila iz točke M (a) v točko M (b) (slika 1, a). Pokažimo, da je v tem primeru delo A izračunano po formuli
(1)
Razdelimo segment [a; b] na n enako dolgih segmentov. To so segmenti [a; x 1 ], ,..., (slika 1.6). Delo sile na celotnem segmentu [a; b] je enaka vsoti dela, ki ga ta sila opravi na nastale segmente. Ker je f zvezna funkcija od x, je za dovolj majhen segment [a; x 1 ] delo sile na ta segment je približno enako f (a) (x 1 -a) (zanemarjamo dejstvo, da se f na segmentu spreminja). Podobno je delo, ki ga opravi sila na drugi segment, približno enako f (x 1) (x 2 - x 1) itd.; delo, ki ga opravi sila na n-ti segment, je približno enako f (x n-1)(b - x n-1). Posledično je delo sile na celotnem segmentu [a; b] je približno enako:
in točnost približne enakosti je večja, čim krajši so odseki, na katere je razdeljen odsek [a;b]. Seveda postane ta približna enakost točna, če predpostavimo, da je n→∞:
Ker A n teži k integralu obravnavane funkcije od a do b pri n →∞, je izpeljana formula (1).
2. Moč.
Moč P je hitrost delati,
Tukaj je v hitrost materialne točke, na katero deluje sila
Vse sile, ki jih srečamo v mehaniki, običajno delimo na konzervativni in nekonservativni.
Silo, ki deluje na materialno točko, imenujemo konzervativna (potencialna), če je delo, ki ga opravi ta sila, odvisno le od začetne in končne lege točke. Delo konzervativne sile ni odvisno niti od vrste trajektorije niti od zakona gibanja materialne točke vzdolž trajektorije (glej sliko 2): 
.
Sprememba smeri gibanja točke vzdolž majhnega območja v nasprotno povzroči spremembo predznaka osnovno delo, torej, . Zato je delo konzervativne sile vzdolž zaprte trajektorije 1 a 2b 1 je enako nič: 
.
Točki 1 in 2 ter odseki zaprte trajektorije 1 a 2 in 2 b 1 lahko izberemo povsem poljubno. Tako je delo konzervativne sile vzdolž poljubne zaprte trajektorije L točke njene uporabe enako nič:
V tej formuli krogec na integralnem znaku kaže, da integracija poteka po zaprti poti. Pogosto zaprta pot L imenovana zaprta zanka L(slika 3). Običajno je določeno s smerjo prečkanja konture L v smeri urinega kazalca. Smer elementarnega vektorja premika sovpada s smerjo prečkanja konture L. V tem primeru formula (5) pravi: kroženje vektorja po zaprti zanki L je enako nič.
Upoštevati je treba, da sta sili gravitacije in elastičnosti konzervativni, sile trenja pa nekonservativne. Dejansko, ker je sila trenja usmerjena v smeri, nasprotni od premika ali hitrosti, je delo sil trenja vzdolž zaprte poti vedno negativno in zato ni enako nič.
Disipativni sistem(oz disipativna struktura, iz lat. dissipatio- »razprši, uniči«) je odprt sistem, ki deluje daleč od termodinamičnega ravnovesja. Z drugimi besedami, to je stabilno stanje, ki nastane v neravnovesnem okolju pod pogojem disipacije (razpršitve) energije, ki prihaja od zunaj. Včasih se imenuje tudi disipativni sistem stacionarni odprt sistem oz neravnotežni odprt sistem.
Za disipativni sistem je značilen spontani pojav kompleksne, pogosto kaotične strukture. Posebnost takšnih sistemov je neohranjanje prostornine v faznem prostoru, to je neuspeh Liouvillovega izreka.
Preprost primer takega sistema so Benardove celice. Kot več zapleteni primeri imenovani laserji, reakcija Belousov-Zhabotinsky in biološko življenje.
Izraz "disipativna struktura" je uvedel Ilya Prigogine.
Nedavne raziskave na področju "disipativnih struktur" nam omogočajo sklep, da se proces "samoorganizacije" odvija veliko hitreje v prisotnosti zunanjega in notranjega "šuma" v sistemu. Tako učinki hrupa vodijo do pospeševanja procesa "samoorganizacije".
energija mehanskega sistema, odvisno od hitrosti gibanja njegovih točk. K. e. T materialna točka se meri s polovico produkta mase m te točke s kvadratom njene hitrosti υ, tj. T = 1/ 2 mυ 2 . K. e. mehanski sistem je enak aritmetična vsota K. e. vse njegove točke: T =Σ 1 / 2 m k υ 2 k . Izraz K. e. sisteme lahko predstavimo tudi v obliki T = 1 / 2 Mυ s 2 + Tc, kje M- masa celotnega sistema, υ c- hitrost središča mase, Tc - K. e. sistem pri gibanju okoli središča mase. K. e. togega telesa, ki se premika translatorno, izračunamo na enak način kot koeficient emisije. točka, ki ima maso enako masi celotnega telesa. Formule za izračun K. e. telesa, ki se vrti okoli nepremične osi, glej čl. Rotacijsko gibanje.
Sprememba K. e. sistem, ko se premakne s svojega položaja (konfiguracija) 1
na položaj 2
nastane pod vplivom zunanjih in notranjih sil, ki delujejo na sistem, in je enak vsoti dela 
.
Ta enakost izraža izrek o spremembi dinamične energije, s pomočjo katerega se rešujejo številni problemi dinamike.
Pri hitrostih blizu svetlobne hitrosti K. e. materialna točka
kje m 0- maso točke v mirovanju, z- hitrost svetlobe v vakuumu ( m 0 s 2- energija točke v mirovanju). Pri nizkih hitrostih ( υ<< c ) zadnja relacija gre v običajno formulo 1/2 mυ 2.
Kinetična energija.
Kinetična energija - energija gibajočega se telesa. (Iz grške besede kinema - gibanje). Po definiciji kinetična energija mirujočega telesa v danem referenčnem sistemu izgine.
Naj se telo premika pod vplivom konstantna sila v smeri sile.
Nato: 
.
Ker gibanje enakomerno pospešeno, potem: .
Zato: 
.
- imenujemo kinetična energija