Аксонометрические проекции применяются для наглядного изображения различных предметов. Предмет здесь изображают так, как его видят (под определенным углом зрения). На таком изображении отражены все три пространственных измерения, поэтому чтение аксонометрического чертежа обычно не вызывает затруднений.
Аксонометрический чертеж можно получить как с помощью прямоугольного проецирования, так и с помощью косоугольного проецирования. Предмет располагают так, чтобы три основных направления его измерений (высота, ширина, длина) совпадали с осями координат и вместе с ними спроецировались бы на плоскость. Направление проецирования не должно совпадать с направлением осей координат, т. е. ни одна из осей не будет проецироваться в точку. Только в этом случае получится наглядное изображение всех трех осей.
Для получения прямоугольных аксонометрических проекций оси координат наклоняют относительно плоскости проекций Р А так, чтобы их направление не совпадало с направлением проецирующих лучей. При косоугольном проецировании можно варьировать как направлением проецирования, так и наклоном координатных осей относительно плоскости проекций. При этом координатные оси в зависимости от их угла наклона к аксонометрической плоскости проекций и направления проецирования будут проецироваться с разными коэффициентами искажения. В зависимости от этого будут получаться разные аксонометрические проекции, отличающиеся расположением осей координат. ГОСТ 2.317-69 (СТ СЭВ 1979-79) предусматривает следующие аксонометрические проекции: прямоугольная изометрическая проекция; прямоугольная диметрическая проекция; косоугольная фронтальная изометрическая проекция; косоугольная горизонтальная изометрическая проекция; косоугольная фронтальная диметрическая проекция.
§ 26. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Изометрическая проекция отличается большой наглядностью и широко применяется в практике. Координатные оси при получении изометрической проекции наклоняют относительно аксонометрической плоскости проекций так, чтобы они имели одинаковый угол наклона (рис. 236). В этом случае они проецируются с одинаковым коэффициентом искажения (0,82) и под одинаковым углом друг к другу (120°).
В практике коэффициент искажения по осям обычно принимают равным единице, т. е. откладывают действительную величину размера. Изображение получается увеличенным в 1,22 раза, но это не приводит к искажениям формы и не сказывается на наглядности, а упрощает построения.
Аксонометрические оси в изометрии проводят, предварительно построив углы между осями х, у
и z
(120°) или углы наклона осей х
и у
к горизонтальной прямой (30°). Построение осей в изометрии с 
помощью циркуля показано на рис. 237, где радиус R
взят произвольно. На рис. 238 показан способ построения осей х
и у
с использованием тангенса угла 30°. От точки О
- точки пересечения аксонометрических осей откладывают влево или вправо по горизонтальной прямой пять одинаковых отрезков произвольной длины и, проведя через последнее деление вертикальную прямую, откладывают на ней вверх и вниз по три таких же отрезка. Построенные точки соединяют с точкой О
и получают оси Ох
и Оу.
Откладывать (строить) размеры и производить измерения в аксонометрии можно только по осям Ох, Оу
и Оz
или на прямых, параллельных этим осям.
На рис. 239 показано построение точки А в изометрии по ортогональному чертежу (рис. 239, а). Точка А расположена в плоскости V. Для построения достаточно построить вторичную проекцию а " точки А (рис. 239, б) на плоскости xOz по координатам Х А и Z A . Изображение точки А совпадает с ее вторичной проекцией. Вторичными проекциями точки называют изображения ее ортогональных проекций в аксонометрии.
На рис. 240 показано построение точки В в изометрии. Сначала строят вторичную проекцию точки В на плоскости хОу. Для этого от начала координат по оси Ох откладывают координату Х в (рис. 240, б), получают вторичную проекцию точки b х. Из этой точки параллельно оси Оу проводят прямую и на ней откладывают координату Y B .
Построенная точка b на аксонометрической плоскости будет вторичной проекцией точки В. Проведя из точки b прямую, параллельную оси Oz, откладывают координату Z B и получают точку В, т. е. аксонометрическое изображение точки В. Аксонометрию точки В можно построить и от вторичных проекций на плоскости zОх или zОу.
Прямоугольная диметрическая
проекция. Координатные оси располагают так, чтобы две оси Ох
и Оz
имели одинаковый угол наклона и проецировались с одинаковым коэффициентом искажения (0,94), а третья ось Оу
была бы наклонена так, чтобы коэффициент искажения при проецировании был в два раза меньше (0,47). Обычно коэффициент искажения по осям Ох
и Oz
принимают равным единице, а по оси Оу
- 0,5. Изображение получается увеличенным в 1,06 раза, но это так же, как и в изометрии, не сказывается на наглядности изображения, а упрощает построение. Расположение осей в прямоугольной диметрии показано на рис. 241. Строят их, откладывая углы 7° 10" и 41°25" от горизонтальной линии по транспортиру, или откладывая одинаковые отрезки произвольной длины, как показано на рис. 241. Полученные точки соединить с точкой О
. При построении прямоугольной диметрии необходимо помнить, что действительные размеры откладывают только на осях Ох
и Oz
или на параллельных им линиях. Размеры по оси Оу
и параллельно ей откладывают с коэффициентом искажения 0,5.
§ 27. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Фронтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 242. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 45°, но может иметь значение 30 или 60°.
Горизонтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 243. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 30°, но может иметь значение 45 или 60°. При этом угол 90° между осями Ох и Оу должен сохраняться.
Фронтальную и горизонтальную косоугольные изометрические проекции строят без искажения по осям Ох, Оу и Oz.
Фронтальная диметрическая проекция. Расположение осей показано на рис. 244. Рис. 245 иллюстрирует проецирование осей координат на аксонометрическую плоскость проекций. Плоскость xOz параллельна плоскости Р. Допускается ось Оу проводить под углом 30 или 60° к горизонтали, коэффициент искажения по оси Ох и Oz принят равным 1, а по оси Оу - 0,5.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В АКСОНОМЕТРИИ
Основанием ряда геометрических тел является плоская геометрическая фигура: многоугольник или окружность. Чтобы построить геометрическое тело в аксонометрии, надо уметь строить прежде всего его основание, т. е. плоскую геометрическую фигуру. Для примера рассмотрим построение плоских фигур в прямоугольной изометрической и диметрической проекции. Построение многоугольников в аксонометрии можно выполнять методом координат, когда каждую вершину многоугольника строят в аксонометрии как отдельную точку (построение точки методом координат рассмотрено в § 26), затем построенные точки соединяют отрезками прямых линий и получают ломаную замкнутую линию в виде многоугольника. Эту задачу можно решить иначе. В правильном многоугольнике построение начинают с оси симметрии, а в неправильном многоугольнике проводят дополнительную прямую, которая называется базой, параллельно одной из осей координат на ортогональном чертеже.
Что такое диметрия
Диметрия представляет собой один из видов аксонометрической проекции. Благодаря аксонометрии при одном объемном изображении можно рассматривать объект сразу в трех измерениях. Поскольку коэффициенты искажений всех размеров по 2-м осям одинаковы, данная проекция и получила название диметрия.
Прямоугольная диметрия
При расположении оси Z" вертикально, при этом оси Х" и Y" образуют с горизонтального отрезка углы 7 градуса 10 минут и 41 градус 25 минут. В прямоугольной диметрии коэффициент искажения по оси Y будет составлять 0,47, а по осям Х и Z в два раза больше, то есть 0,94.
Чтобы осущесвить построение приближенно аксонометрические оси обычной диметрии, необходимо принять, что tg 7 градусов 10 минут равен 1/8, а tg 41 градуса 25 минут равен 7/8.
Как построить диметрию
Для начала необходимо начертить оси, чтобы изобразить предмета в диметрии. В любой прямоугольной диметрии углы, находящиеся между осями Х и Z, равны 97 градусов 10 минут, а между осями Y и Z – 131 градусов 25 минут и между Y и Х – 127 градусов 50 минут.
Теперь требуется нанести оси на ортогональные проекции изображаемого предмета, учитывая выбранное положение предмета для вычерчивания в диметрической проекции. После того, как завершите перенос на объемное ихображение габаритных размеров предмета, можете приступать к чертежу незначительных элементов на поверхности предмета.
Стоит запомнить, что окружности в каждой плоскости диметрии изображаются соответствующими эллипсами. В диметрической проекции без искажения по осям Х и Z большая ось нашего эллипса во всех 3-х плоскостях проекции будет составлять 1,06 диаметра нарисованной окружности. А малая ось эллипса в плоскости ХОZ составляет 0,95 диаметра, а в плоскости ZОY и ХОY – 0,35 диаметра. В диметрической проекции с искажением по осям Х и Z большая ось эллипса равняется диаметру окружности во всех плоскостях. В плоскости ХОZ малая ось эллипса составляет 0,9 диаметра, а плоскостях ZОY и ХОY равны 0,33 диаметра.
Чтобы получить более детально изображение, необходимо выполнить вырез через детали на диметрии. Заштриховку при вычеркивании выреза следует наносить параллельно проведенной диагонали проекции выбранного квадрата на необходимую плоскость.
Что такое изометрия
Изометрия является одним из видов аксонометрической проекции, где расстояния единичных отрезков на всех 3-х осях одинаковые. Изометрическая проекция активно используется в машиностроительных чертежах, чтобы отобразить внешний вид предметов, а также в разнообразных компьютерных играх.
В математике изометрия известна как преобразование метрического пространства, которое сохраняет расстояние.
Прямоугольная изометрия
В прямоугольной (ортогональной) изометрии аксонометрические оси создают между собой углы, которые равны 120 градусам. Ось Z находится в вертикальном положении.
Как начертить изометрию
Построение изометрии предмета дает возможность получить наиболее выразительное представление о пространственных свойствах изображаемого объекта.
Перед тем, как начать построение чертежа в изометрической проекции, необходимо выбрать такое расположение изображаемого предмета, чтобы были максимально видны его пространственные свойства.
Теперь вам требуется определиться с видом изометрии, которую будете чертить. Существует два ее вида: прямоугольная и горизонтальная косоугольная.
Нарисуйте оси легкими тонкими линиями, чтобы изображение получилось по центру листа. Как уже раньше говорилось, углы в прямоугольном виде изометрической проекции должны составлять 120 градусов.
Начинайте рисовать изометрию с именно верхней поверхности изображения предмета. От углов получившейся горизонтальной поверхности нужно провести две вертикальные прямые и отложить на них соответствующие линейные размеры предмета. В изометрической проекции все линейные размеры по всех трем осям будут оставаться кратны единице. Затем последовательно требуется соединить созданные точки на вертикальных прямых. В результате получиться внешний контур предмета.
Стоит учитывать, что при изображении любого предмета в изометрической проекции видимость криволинейных деталей будет обязательно искажаться. Окружность должна изображаться эллипсом. Отрезок между точками окружности (эллипса) по осям изометрической проекции должен быть равен диаметру окружности, а оси эллипса не будут совпадать с осями изометрической проекции.
Если изображаемый объект имеет скрытые полости ли сложные элементы, постарайтесь выполнить заштриховку. Она может быть простой либо ступенчатой, все зависит сложности элементов.
Запомните, что все построение должно выполнять строго с применением чертежных инструментов. Применяйте несколько карандашей с разными видами твердости.
Прямоугольная изометрическая проекция.
Расположение аксонометрических осей показано на рисунке. Все три оси образуют между собой равные углы в
120 0 . Ось OZ располагается вертикально .
Коэффициент искажения по все трем осям равен 0,82 . На практике прямоугольную изометрическую проекцию
Обычно строят без сокращения размеров по осям - все размеры , параллельные осям, принимают с коэффициентом
Искажения равным единице .
Получается изображение, подобное точной проекции, но увеличенное в 1, 22 раза . На рисунке показаны
Направления осей эллипсов, изображающих окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным
Плоскостям.
Большие оси АВ перпендикулярны к соответствующим аксонометрическим осям . Малые оси CD
Перпендикулярны к АВ и параллельны соответствующим аксонометрическим осям . Все три эллипса равны.
Размеры осей эллипса по отношению к диаметру d окружности:
При построении точной проекции с коэффициентом искажения 0,82 АВ = d; CD = 0,58d.
При построении без сокращения размеров по всем осям АВ = 1,22 d; CD = 0,71d.
Примеры построения изометрии и диметрии смотрите
Изометрия шара показана на рисунке. Внешний контур шара является окружностью. При построении точной
Проекции R = d/2. При построении с коэффициентом искажения, приведенным к единице, R = 1,22d/2 .
d - диаметр шара.
Примеры построения изометрии и диметрии смотрите
Штриховка разрезов в аксонометрии.
Линии штриховки сечений наносят параллельно одной из диагоналей квадратов (условно изображенных), лежащих
В соответствующих координатных плоскостях. Стороны условного квадрата параллельны аксонометрическим осям.
Различные сечения одной и той же детали штрихуются с наклоном в разные стороны.
Выносные линии на чертежах в аксонометрии проводятся параллельно аксонометрическим осям. Размерные линии
Проводятся параллельно измеряемому отрезку.
Примеры построения изометрии и диметрии смотрите
Отображать различные геометрические предметы с помощью чертежей и посредством компьютерной графики можно с применением принципов изометрии и аксонометрии. В чем специфика каждого из них?
Что представляет собой аксонометрия?
Под аксонометрией или аксонометрической проекцией понимается способ графического отображения тех или иных геометрических предметов посредством параллельных проекций.
Аксонометрия
Геометрический предмет в данном случае чаще всего рисуется с использованием определенной системы координат - так, чтобы та плоскость, на которую он проецируется, не соответствовала положению плоскости других координат соответствующей системы. Получается, что предмет отображается в пространстве посредством 2 проекций и выглядит объемно.
При этом по той причине, что плоскость отображения предмета не расположена строго параллельно какой-либо из осей системы координат, отдельные элементы соответствующего отображения могут искажаться - по одному из 3 следующих принципов.
Во-первых, искажение элементов отображения предметов может наблюдаться по всем 3 осям, используемым в системе, в равной величине. В этом случае фиксируется изометрическая проекция предмета, или изометрия.
Во-вторых, искажение элементов может наблюдаться только по 2 осям в равной величине. В этом случае наблюдается диметрическая проекция.
В-третьих, искажение элементов может фиксироваться как различающееся по всем 3 осям. В этом случае наблюдается триметрическая проекция.
Рассмотрим, таким образом, специфику первого типа искажений, формируемых в рамках аксонометрии.
Что представляет собой изометрия?
Итак, изометрия - это разновидность аксонометрии, которая наблюдается при прорисовке предмета в случае, если искажение его элементов по всем 3 осям координат одинаковое.
Изометрия Рассматриваемый вид аксонометрической проекции активно применяется в промышленном проектировании. Он позволяет хорошо просматривать те или иные детали в рамках чертежа. Распространено использование изометрии и при разработке компьютерных игр: с помощью соответствующего типа проекции становится возможным эффективно отображать трехмерные картинки.
Можно отметить, что в сфере современных промышленных разработок под изометрией в общем случае понимается прямоугольная проекция. Но иногда она может быть представлена и в косоугольной разновидности.
Сравнение
Главное отличие изометрии от аксонометрии заключается в том, что первый термин соответствует проекции, являющейся только лишь одной из разновидностей той, которая обозначается вторым термином. Изометрическая проекция, таким образом, существенно отличается от других разновидностей аксонометрии - диметрии и триметрии.
Отобразим более наглядно то, в чем разница между изометрией и аксонометрией, в небольшой таблице.