Matematiksel modelleme üzerine ilginç bir sunum. "Matematiksel modelleme yöntemi" konulu sunum

Nesne (taşıma işlemi)

Pratik

Hesaplama şeması

Matematiksel model

matematiksel model

Algoritma

programı

Matematiksel modellemenin ilk aşamasında modelleme nesnesinden tasarım şemasına geçiş yapılır. Tasarım diyagramı bir nesnenin anlamlı ve/veya kavramsal modelidir. Örneğin: kargo taşıma planı, güzergah haritası, taşıma tablosu vb.

İkinci aşamada, tasarım şemasının sürecinin (süreçlerinin) matematiksel bir model kullanılarak araştırılması ve resmileştirilmiş bir açıklaması gerçekleştirilir.

Üçüncü aşamada, matematiksel modelin niteliksel ve niceliksel bir analizi gerçekleştirilir; bunlar şunları içerir: 1) basitleştirme, 2) çelişkilerin çözümü, 3) düzeltme.

Dördüncü aşamada, matematiksel modelleme için etkili bir algoritma geliştirilir, buna göre beşinci aşamada matematiksel modellemenin uygulanması için bir program oluşturulur.

Altıncı aşamada programın kullanımıyla ilgili pratik öneriler elde edilmektedir. Pratik öneriler bir nesneyi incelerken (taşıma süreci) belirli bir amaç için matematiksel bir modelin kullanılmasının sonucudur.

Matematiksel modellemenin amaçları: 1) optimal (zaman, maliyet) taşıma süreçlerinin daha ileri tasarımı için taşıma süreçleri modellerinin oluşturulması; 2) zaman ve maliyeti tahmin etmek için bireysel taşıma süreçlerinin özelliklerinin analizi.

Matematiksel modelleme türleri

	Parametrik			Taklit
				modelleme
				modelleme

Statik		Dinamik



			Sabit		Kararsız

Parametrik modelleme, nesne ve süreçle sıkı bir bağlantı olmadan modellemedir. İletişim yalnızca parametrelerle gerçekleştirilir, örneğin: kütle, uzunluk, basınç vb. Soyutlamalar var: maddi nokta, ideal gaz vb.

Statik parametrik modeller “zaman” parametresini içermez ve sistemin denge halindeki özelliklerinin elde edilmesine olanak sağlar. Dinamik parametrik modeller zaman parametresini içerir ve sistemin geçici süreçlerinin doğasının elde edilmesine olanak tanır.

Simülasyon modelleme(Simülasyon) – modelleme nesnesinin geometrik özelliklerinin (boyut, şekil) yanı sıra başlangıç ve sınır koşullarının (nesne geometrisinin sınırlarındaki koşullar) nesnelere bağlanmasıyla yoğunluk dağılımını dikkate alan matematiksel modelleme.

süreçler

Algoritma programı

Sabit modelleme, bir nesnenin özelliklerini sıfıra yaklaşan bir zaman aralığında elde etmenize, yani nesnenin özelliklerini "fotoğraflamanıza" olanak tanır. Durağan olmayan modelleme, bir nesnenin zaman içindeki özelliklerini elde etmenizi sağlar.

Matematiksel modelin yapısı

Giriş parametreleri	Denklemler,	Çıkış parametreleri
	Denklemler,
	bağımlılıklar vb.

Matematiksel modelin özellikleri:

1) Tamlık – bir nesnenin bilinen özelliklerinin yansıma derecesi; 2) Doğruluk – gerçek (deneysel) ve model kullanılarak bulunan özellikler arasındaki örtüşme sırası;

3) Yeterlilik, modelin sabit girdi parametreleri (yeterlilik bölgesi) için çıktı parametrelerini sabit doğrulukla tanımlama yeteneğidir.

4) Maliyet etkinliği, benzer bir matematiksel modelle karşılaştırmalı olarak bir sonuç elde etmek için bilgi işlem kaynaklarının maliyetinin değerlendirilmesidir;

5) Sağlamlık – kaynak verilerdeki hatalara göre matematiksel modelin kararlılığı (örneğin, veriler sürecin fiziğine karşılık gelmiyor);

6) Verimlilik, girdi verilerinin doğruluğunun model çıktı verilerinin doğruluğu üzerindeki etkisidir;

7) Modelin netliği ve basitliği.

Matematiksel modeller (üretim yöntemine göre)

Ampirik Teorik

Yarı deneysel © Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu UGATU; departman "Uygulamalı Akışkanlar Mekaniği" 16

Ampirik matematiksel modeller, deneysel verilerin sonuçlarının işlenmesi ve analiz edilmesiyle elde edilir. Tanımlama, mevcut bir matematiksel modelin ampirik verilerle düzeltilmesidir.

Teorik matematiksel modeller, teorik yöntemler (analiz, sentez, tümevarım, tümdengelim vb.) kullanılarak elde edilir.

Matematiksel modelleme ve matematiksel modeller teorisi üzerine literatür:

1)Zarubin V.S.Teknolojide matematiksel modelleme: ders kitabı. üniversiteler için / V. S. Zarubin. – 3. baskı. – M.: MSTU im. yayınevi. N.E. Bauman. 2010. – 495 s.

2) Cherepashkov A.A., Nosov N.V. Bilgisayar teknolojileri, modelleme ve otomatik sistemler makine mühendisliğinde: Ders kitabı. öğrenciler için daha yüksek ders kitabı kuruluşlar. – Volgograd: Yayınevi“Bilgi”, 2009. – 640 s.

4. Uygulama programlama aracı olarak Mathcad

Mathcad, bilgisayar destekli tasarım sistemleri sınıfından, hesaplamalar ve görsel destekli etkileşimli dokümanların hazırlanmasına odaklanan, kullanımı ve uygulaması kolay bir bilgisayar cebir sistemidir.

Mathcad, MIT'den Allen Razdov tarafından tasarlandı ve yazıldı.

Geliştirici: PTC. İlk sürüm: 1986.

Diferansiyel ve cebirsel denklemleri sayısal olarak çözme

yöntemler;
İki boyutlu ve üç boyutlu fonksiyon grafiklerinin oluşturulması;

Yunan alfabesinin kullanımı;

Sembolik biçimde hesaplamaların yapılması;

Yerel programlama dili desteği

© FSBEI HPE UGATU; departman "Uygulamalı Akışkanlar Mekaniği"

Sayısal işlevler sayısal yöntemlerle hesaplamaya yöneliktir uygulamalı matematik denklemlerin kökleri, optimizasyon problemlerini çözme, çözme diferansiyel denklemler Runge-Kutta yöntemi vb.

Karakter işlevleri yapı olarak klasik matematiksel dönüşümlere benzeyen analitik hesaplamalar için tasarlanmıştır.

Sistem değişkeni TOL – İzin verilen hesaplama hatası (varsayılan 10-3).

Sıralanmış değişkenleri sabit bir adımla ayarlama: x:=0, 0+0.01..10.

Değişken bir diziyse, [ tuşunu kullanarak bir dizin girerek dizinin bir öğesine erişebilirsiniz.

Literatür 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematiksel modelleme: Fikirler. Yöntemler. Örnekler. – M.: Nauka, Volkov E. A. Sayısal yöntemler. – M.: Nauka, Turchak L.I. Sayısal yöntemlerin temelleri. – M .: Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Örnekler ve problemlerde hesaplamalı matematik. – M.: Nauka, 1972.

Nesnelerin manipülasyonundan nesnelerle ilgili kavramların manipülasyonuna kadar küçük bir tarih; incelenen nesnenin, sürecin veya olgunun, araştırma için daha basit ve daha erişilebilir bir eşdeğerle değiştirilmesi; özellikleri belirleyen tüm faktörleri dikkate almanın imkansızlığı; nesnenin davranışı

Modellerin rolü Binanın çirkin, kırılgan olması veya çevredeki manzaraya uymaması Doğadaki dolaşım sistemlerinin gösterilmesi insanlık dışıdır Örneğin kanatlardaki voltajlar çok yüksek olabilir Ölçümler için elektrik devrelerinin toplanması ekonomik değildir

Model ile orijinal arasındaki ilişki Model oluşturmak, orijinalin bazı özelliklerinin korunmasını içerir ve bu özellikler farklı modellerde farklı olabilir. Karton bina gerçek binadan çok daha küçük ama onun ne olduğuna karar vermemizi sağlıyor. dış görünüş; poster, organ ve dokularla hiçbir ilgisi olmasa da dolaşım sistemini anlaşılır kılıyor; Uçağın modeli uçmamaktadır ancak gövdesindeki gerilmeler uçuş koşullarına karşılık gelmektedir.

Modelleri neden kullanmalı? 1. Model araştırma için gerçek nesneye göre daha erişilebilirdir, 2. Modeli incelemek gerçek nesnelerden daha kolay ve ucuzdur, 3. Bazı nesneler doğrudan incelenemez: örneğin bir model oluşturmak henüz mümkün değildir. termonükleer füzyon cihazı veya yıldızların derinliklerinde deneyler yapılması, 4. geçmişle ilgili deneyler imkansızdır, ekonomik veya sosyal deneylerle ilgili deneyler kabul edilemez

Modellerin Amacı 1. Bir model kullanarak, bir nesnenin özelliklerini şekillendiren en önemli faktörleri tanımlayabilirsiniz. Model, orijinal nesnenin yalnızca bazı özelliklerini yansıttığından, model içindeki bu özelliklerin kümesini değiştirerek, belirli faktörlerin modelin davranışının yeterliliği üzerindeki etki derecesini belirlemek mümkündür.

Bir modele ihtiyaç vardır: 1. Belirli bir nesnenin nasıl yapılandırıldığını anlamak için: yapısı, özellikleri, gelişim yasaları ve dış dünyayla etkileşimi nedir. 2. Bir nesnenin veya sürecin nasıl yönetileceğini öğrenmek ve verilen hedefler ve kriterler için en iyi yönetim yöntemlerini belirlemek. 3. Bir nesnenin davranışını tahmin etmek ve nesne üzerindeki çeşitli yöntem ve etki biçimlerinin sonuçlarını değerlendirmek için (meteorolojik modeller, biyosfer gelişim modelleri).

Doğru modelin özelliği Doğru oluşturulmuş, iyi bir modelin dikkate değer bir özelliği vardır: modeli oluşturmak için orijinalin yalnızca bazı temel özelliklerinin kullanılmasına rağmen, incelenmesi kişinin nesne - orijinal - hakkında yeni bilgiler edinmesine olanak tanır.

Malzeme modelleme Model temel geometrik, fiziksel, dinamik ve fonksiyonel özellikler Gerçek nesne büyütülmüş veya küçültülmüş kopyasıyla karşılaştırıldığında, incelenen nesnenin laboratuvar koşulları incelenen süreçlerin ve olayların özelliklerinin daha sonra modelden benzerlik teorisine dayalı bir nesneye (planetaryum, bina ve aparat modelleri vb.) aktarılmasıyla. Bu durumda araştırma süreci, model üzerindeki maddi etkiyle yakından ilgilidir, yani tam ölçekli bir deneyden oluşur. Dolayısıyla malzeme modelleme doğası gereği deneysel bir yöntemdir.

İdeal modelleme türleri Sezgisel - resmileştirilemeyen veya buna ihtiyaç duymayan nesnelerin modellenmesi. Bir kişinin yaşam deneyimi, etrafındaki dünyanın sezgisel modeli olarak düşünülebilir - işaret dönüşümlerini model olarak kullanan modelleme. farklı türler: diyagramlar, grafikler, çizimler, formüller vb. ve model öğeleriyle çalışabileceğiniz bir dizi yasa içerir

Matematiksel modelleme, bir nesnenin matematik dilinde formüle edilmiş ve belirli matematiksel yöntemler kullanılarak çalışılan bir modele dayanarak gerçekleştirilen çalışmasıdır. Matematiksel modelleme, doğal, teknik, ekonomik ve modellemeyi konu alan bir bilim alanıdır. kamusal yaşam matematiksel aygıtlar kullanmak ve şu anda bu modelleri bir bilgisayar kullanarak uygulamak

Matın sınıflandırılması. modeller Amaca göre: tanımlayıcı optimizasyon simülasyonu Denklemlerin doğası gereği: doğrusal doğrusal olmayan Zaman içinde sistemdeki değişiklikleri dikkate alarak: dinamik statik Argümanların tanım alanının özelliği gereği: sürekli ayrık Sürecin doğası gereği: deterministik stokastik

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Matematiksel modeller

05.05.17 Matematiksel modeller Bilimde bilgi modellemenin ana dili matematik dilidir. Matematiksel kavram ve formüller kullanılarak oluşturulan modellere matematiksel modeller denir. Matematiksel model, parametrelerin ve aralarındaki bağımlılıkların matematiksel biçimde ifade edildiği bir bilgi modelidir.

05.05.17 Örneğin, S'nin mesafeyi, v'nin hızı ve t zamanı temsil ettiği çok iyi bilinen S=vt denklemi bir modeldir düzgün hareket matematiksel formda ifade edilir.

05.05.17 Dikkate Alınıyor fiziksel sistem: Kütlesi m olan bir cisim, F kuvvetinin etkisi altında a ivmesiyle eğik bir düzlemden aşağı yuvarlanıyor, Newton F = ma ilişkisini elde etti. Bu fiziksel bir sistemin matematiksel modelidir.

05.05.17 Modelleme yöntemi, pratik problemleri çözmek için matematiksel aparatların uygulanmasını mümkün kılar. Sayı kavramları, geometrik şekil Denklemler matematiksel modellere örnektir. Matematiksel modelleme yöntemine doğru eğitim süreci Pratik içerikli herhangi bir sorunu çözerken başvurulmalıdır. Böyle bir problemi matematiksel yollarla çözmek için, öncelikle matematik diline çevrilmesi (matematiksel bir model oluşturulması) gerekir. Matematiksel modelleme

05.05.17 Matematiksel modellemede, bir nesnenin incelenmesi matematik dilinde formüle edilmiş bir modelin incelenmesiyle gerçekleştirilir. Örnek: Bir masanın yüzey alanını belirlemeniz gerekiyor. Tablonun uzunluğunu ve genişliğini ölçün ve ardından elde edilen sayıları çarpın. Bu aslında gerçek nesnenin (tablonun yüzeyinin) yerini dikdörtgenli soyut bir matematiksel modelin aldığı anlamına gelir. Bu dikdörtgenin alanı gerekli alan olarak kabul edilir. Tablonun tüm özelliklerinden üçü belirlendi: yüzeyin şekli (dikdörtgen) ve iki tarafın uzunluğu. Ne masanın rengi, ne yapıldığı malzeme, ne de nasıl kullanıldığı önemli. Tablo yüzeyinin dikdörtgen olduğunu varsayarsak başlangıç verilerini ve sonucu belirtmek kolaydır. S = ab ilişkisi ile ilişkilidirler.

05.05.17 Belirli bir problemin çözümünü matematiksel bir modele getirme örneğini ele alalım. Batık bir geminin penceresinden bir mücevher sandığını çıkarmanız gerekiyor. Sandık ve lumboz pencerelerinin şekillerine ilişkin bazı varsayımlar ve problemin çözümüne yönelik ilk veriler verilmiştir. Varsayımlar: Lombar daire şeklindedir. Göğüs dikdörtgen paralel yüzlü bir şekle sahiptir. İlk veriler: D - lumboz çapı; x - göğsün uzunluğu; y - göğüs genişliği; z göğüs yüksekliğidir. Nihai sonuç: Mesaj: Çıkarılabilir veya çıkarılamaz.

05/05/17 Eğer öyleyse sandık dışarı çekilebilir, ancak eğer öyleyse çekilemez. Sorun koşullarının sistematik bir analizi, şekilleri dikkate alınarak, lombozun boyutu ile sandığın boyutları arasındaki bağlantıları ortaya çıkardı. Analiz sonucunda elde edilen bilgiler formüller halinde görüntülendi ve aralarındaki ilişkiler ortaya çıktı ve bir matematiksel model ortaya çıktı. Bu sorunu çözmeye yönelik matematiksel model, başlangıç verileri ile sonuç arasındaki aşağıdaki bağımlılıklardır:

05.05.17 Örnek 1: Spor salonundaki zemini kaplayacak boya miktarını hesaplayın. Sorunu çözmek için zemin alanını bilmeniz gerekir. Bu görevi tamamlamak için zeminin uzunluğunu ve genişliğini ölçün ve alanını hesaplayın. Gerçek nesne - salonun zemini - alanı uzunluk ve genişliğin çarpımı olan bir dikdörtgen tarafından işgal edilmiştir. Boya alırken bir kutu içeriğinin ne kadar alan kaplayabileceğini öğrenip, gerekli kutu sayısını hesaplıyorlar. A zeminin uzunluğu, B zeminin genişliği, S 1 bir kutu içeriğinin kaplayabileceği alan, N teneke kutu sayısı olsun. Zemin alanını S = A×B formülünü ve salonu boyamak için gereken kutu sayısını, N = A×B / S 1 kullanarak hesaplıyoruz.

05/05/17 Örnek 2: Havuz birinci borudan 30 saatte, ikinci borudan ise 20 saatte doluyor. Havuzu iki borudan doldurmak kaç saat sürer? Çözüm: Havuzun sırasıyla birinci ve ikinci borulardan A ve B'den dolma zamanını gösterelim. Havuzun tüm hacmini 1 olarak alalım ve gereken süreyi t ile gösterelim. Havuz ilk borudan A saatte dolduğuna göre 1/A, havuzun ilk borunun 1 saatte doldurduğu kısmıdır; 1/B - Havuzun bir kısmı 1 saatte ikinci boruyla doluyor. Buna göre havuzun birinci ve ikinci borularla birlikte doldurulma oranı: 1/A+1/B olacaktır. Şunu yazabilirsiniz: (1/A+1/B) t =1. iki borudan oluşan bir havuzun doldurulma sürecini açıklayan bir matematiksel model elde etti. Gerekli süre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

05.05.17 Örnek 3: A ve B noktaları karayolu üzerinde 20 km aralıklarla bulunmaktadır. Bir motosikletçi B noktasından A noktasının tersi istikametinde 50 km/saat hızla ayrılmaktadır. Motosikletçinin t saat sonra A noktasına göre konumunu tanımlayan bir matematiksel model oluşturalım. Motosikletçi t saat içinde 50 t km yol alacak ve A'dan 50 t km + 20 km uzaklıkta olacaktır. Motosikletçinin A noktasına olan mesafesini (kilometre cinsinden) s harfiyle belirtirsek, bu mesafenin hareket zamanına bağımlılığı şu formülle ifade edilebilir: S=50t + 20, burada t>0.

05/05/17 Birinci sayı x'e eşit, ikincisi ise birinciden 2,5 fazladır. Birinci sayının 1/5'inin ikinci sayının 1/4'üne eşit olduğu bilinmektedir. Bu durumların matematiksel modellerini yapın: Misha'nın x puanı var ve Andrey'in bir buçuk katı daha fazlası var. Misha, Andrey'e 8 puan verirse, Andrey, Misha'nın bıraktığının iki katı kadar puana sahip olacaktır. İkinci atölyede x kişi çalışıyor, birinci atölyede ikinciye göre 4 kat daha fazla istihdam sağlanıyor, üçüncü atölyede ikinciye göre 50 kişi daha fazla istihdam sağlanıyor. Tesisin üç atölyesinde toplam 470 kişi çalışıyor. Kontrol edelim: Bu problemi çözmeye yönelik matematiksel model, ilk veriler ile sonuç arasındaki aşağıdaki bağımlılıklardır: Misha'nın x markası vardı; Andrey'in 1,5x'i var. Misha x-8 aldı, Andrey ise 1,5x+8 aldı. Problemin koşullarına göre 1,5x+8=2(x-8). Bu problemi çözmeye yönelik matematiksel model, ilk veriler ile sonuç arasındaki şu bağımlılıktır: İkinci atölyede x kişi çalışıyor, ilk atölyede 4 kişi çalışıyor ve üçüncü atölyede x+50 çalışıyor. x+4x+x+50=470. Bu problemi çözmeye yönelik matematiksel model, ilk veriler ile sonuç arasındaki şu bağımlılıklardır: ilk sayı x; ikinci x+2,5. Problemin koşullarına göre x/5=(x+2.5)/4.

05.05.17 Matematik genellikle bu şekilde uygulanır gerçek hayat. Matematiksel modeller yalnızca cebirsel değil (yukarıda tartışılan örneklerde olduğu gibi değişkenlerle eşitlik biçiminde), aynı zamanda diğer biçimlerde de vardır: tablo, grafik ve diğerleri. Bir sonraki derste diğer model türleriyle tanışacağız.

05.05.17 Ödev: § 9 (s. 54-58) No., 2, 4 (s. 60) defterde

05.05.17 Ders için teşekkürler!

05.05.17 Kaynaklar Bilgisayar Bilimi ve BİT: 8. sınıf ders kitabı http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (grafikler, diyagramlar) http://images.yandex.ru (resimler)

Algoritma matematiksel bir modelin hazırlanması:

Sorun koşullarının kısa bir açıklamasını yazın:

A) problemde kaç niceliğin yer aldığını bulun;

B) bu büyüklükler arasındaki bağlantıları belirleyin.

2. Problem için bir çizim (hareket içeren problemlerde veya geometrik içerikli problemlerde) veya bir tablo yapın.

3. X'i miktarlardan biri olarak belirtin (tercihen daha küçük bir miktar).

4. Bağlantıları dikkate alarak matematiksel bir model oluşturun.

Sorun 1. (No. 86 (1)).

Daire toplam 42 m2 alana sahip 3 odadan oluşmaktadır. İlk oda ikinciden 2 kat daha küçük, ikincisi ise 3 m2'dir. üçte birden fazla. Bu dairede her odanın alanı nedir?

Sorun 2. (No. 86 (2)).

Sasha kitap, kalem ve defter için 11.200 ruble ödedi. Bir kalem, bir defterden 3 kat daha pahalıdır ve maliyeti 700 rubledir. kitaptan daha ucuz. Bir dizüstü bilgisayarın maliyeti ne kadardır?

Sorun 3.(No. 86 (3)).

Motosikletçi iki şehir arasında eşit mesafe kat etti

4 günde 980 km. İlk gün ikinci güne göre 80 km daha az yol kat etti, üçüncü günde ilk iki günde kat edilen mesafenin yarısı kadar yol kat etti ve dördüncü günde kalan 140 km'yi kat etti. Motosikletçi üçüncü günde ne kadar yol kat etti?

Sorun 4. (No. 86 (4))

Dörtgenin çevresi 46 dm'dir. Birinci tarafı ikinci taraftan 2 kat, üçüncü taraftan 3 kat daha küçük olup dördüncü tarafı birinci taraftan 4 cm daha büyüktür. Bu dörtgenin kenar uzunlukları nedir?

Sorun 5. (No. 87)

Sayılardan biri ikinciden 17 eksik, toplamları 75. Bu sayılardan büyük olanı bulun.

Sorun 6. (No. 99)

Konserin üç bölümünde 20 katılımcı sahne aldı. İkinci bölümde birinciye göre 3 kat daha az katılımcı vardı, üçüncü bölümde ise ikinciye göre 5 kat daha fazla katılımcı vardı. Her bölümde kaç konser katılımcısı sahne aldı?

Yapabilirim (veya yapamam):

Yetenekler

Puanlar

0 veya 1

Bir problemde yer alan niceliklerin sayısını belirleyin

Miktarlar arasındaki bağlantıları tanımlayın

Ne anlama geldiğini anlıyorum

B) “toplam”

Matematiksel model yapabilirim

Verilen bir matematiksel modeli kullanarak yeni bir problem yaratabilirim

Ev ödevi:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) Problemin matematiksel modeli için bir problem oluşturun

Matematiksel modellemenin temelleri

S.V. Zvonarev
Matematiğin temelleri
modelleme
Ders No. 2. Matematiksel modeller ve sınıflandırılmaları
Ekaterinburg
2012

Dersin amacı

Matematiksel model kavramını tanımlar.
Genelleştirilmiş bir matematiksel modeli inceleyin.
Matematiksel modellerin sınıflandırılmasını düşünün.
2 Matematiksel model.
Genelleştirilmiş matematiksel model.
.
Matematiksel modelin nesneye uygunluk derecesi.
Matematiksel modellerin sınıflandırılması.
3

Matematiksel model

MATEMATİKSEL MODEL
4

Matematiksel model

Matematiksel model bir dizi denklemden oluşur
veya temelleri yansıtan diğer matematiksel ilişkiler
kabul edilen çerçeve çerçevesinde incelenen nesnenin veya olgunun özellikleri
spekülatif
fiziksel
modeller
Ve
özellikler
onun
çevre ile etkileşimler.
Matematiksel modellerin temel özellikleri şunlardır:
yeterlilik;
basitlik.
Matematiksel bir model oluşturma sürecine denir
sorunun beyanı.
Matematiksel model matematiksel bir analogdur
tasarlanan nesnenin Nesnesinin yeterlilik derecesi
problemin çözümlerinin formülasyonu ve doğruluğu ile belirlenir
tasarım.
5

Matematiksel modelleme

Teknik bir nesnenin matematiksel modeli –
bir dizi matematiksel denklem ve ilişki
özelliklerini yeterince yansıtan aralarında
araştırmacının ilgisini çeken incelenen nesne
(mühendis).
Matematiksel modelleme idealdir
bilimsel sembolik biçimsel modelleme;
nesne matematik dilinde tanımlanır ve
model araştırması bunlar kullanılarak gerçekleştirilir veya
diğer matematiksel yöntemler.
Çok sayıdaki bir fonksiyonun ekstremumunu bulma yöntemleri
çeşitli kısıtlamalara sahip değişkenler genellikle
denir
yöntemler
matematiksel
programlama.
6

Genelleştirilmiş matematiksel model

Genelleştirilmiş bir matematiksel modelin unsurları:
giriş verileri kümesi (değişkenler) X,Y;
matematiksel operatör L;
çıkış verileri kümesi (değişkenler) G(X,Y).
7

Giriş verileri

X, bir değişken değişkenler kümesidir;
çeşitli parametreler Rx'in uzayını oluşturur
(arama alanı) ile metrik olan
boyut
N,
eşit
sayı
değişken
parametreler.
Y – bağımsız değişkenler kümesi (sabitler),
girdinin metrik uzayını oluşturan
veri Ry. Her bir bileşenin olduğu durumda
Ry uzayı olası aralık tarafından verilir
değerler,
birçok
bağımsız
değişkenler
görüntülenen
bazı
sınırlı
Ry uzayının alt uzayı.
8

Bağımsız değişkenler Y

Nesnenin çalışma ortamını belirlerler;
harici
koşullar,
V
Hangi
irade
iş
tasarlanmış nesne. Bunlar şunları içerebilir:
tabi olmayan nesnenin teknik parametreleri
tasarım sürecindeki değişiklikler;
fiziksel
Çevresel rahatsızlıklar,
tasarım nesnesi etkileşime girer;
İle
Hangi
Ulaşılması gereken taktik parametreler
tasarım nesnesi.
9

Matematiksel operatör ve çıktı

Matematiksel operatör L – komple sistem
sayısal veya açıklayan matematiksel işlemler
girdi kümeleri arasındaki mantıksal ilişkiler ve
çıktı verileri (değişkenler). O tanımlıyor
Giriş verileri üzerinde işlemler.
Çıkış verileri kümesi (değişkenler) G(X,Y)
bir dizi kriter fonksiyonudur,
(gerekirse) bir amaç fonksiyonu dahil.
Söz konusu genelleştirilmiş modelin çıktı verileri
kriterin bir metrik uzayını oluşturmak
RG göstergeleri.
10

Matematiksel modellerin doğrusal olmaması

Matematiksel modellerin doğrusal olmaması
- prensibin ihlali
süperpozisyonlar, yani çözümlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu olmadığında
sorunun çözümüdür. Böylece parçanın davranışı hakkında bilgi sahibi olunur.
Bir nesnenin tümünün davranışının bilinmesini garanti etmez.
Çoğunluk
gerçek
süreçler
Ve
ilgili
onlara
matematiksel modeller doğrusal değildir. Doğrusal modeller cevap
çok özel durumlar ve kural olarak yalnızca ilkine hizmet eder
gerçeğe yaklaşıyor.
Örnek - popülasyon modelleri hemen doğrusal olmayan hale gelir,
popülasyonların sınırlı mevcudiyetini hesaba katarsak
kaynaklar.
11

Matematiksel modellerin nesneye uygunluk derecesi

Zorluklar:
Bir matematiksel model asla aynı değildir
söz konusu nesnenin tüm özelliklerini taşımaması ve
özellikler.
Matematiksel model yaklaşık bir açıklamadır
nesne ve her zaman yaklaşıktır.
Eşleşmenin doğruluğu eşleşme derecesine göre belirlenir,
modelin ve nesnenin yeterliliği. Yöntemler:
Modelleri karşılaştırmak için deney (uygulama) kullanmak ve
en uygun olanı seçmek.
Kümelerin birikmesi yoluyla matematiksel modellerin birleştirilmesi
hazır modeller.
Hazır modellerin bir süreçten diğerine aktarılması,
aynı, benzer.
Kullanım minimum miktar yaklaşımlar ve muhasebe
rahatsız edici etkiler.
12

Matematiksel modellerin sınıflandırılması

SINIFLANDIRMA
MATEMATİKSEL MODELLER
13

Matematiksel model sınıfları

Matematiksel modeller sınıflara ayrılmıştır.
bağlı olarak:
modelleme nesnesinin karmaşıklığı;
model operatörü;
giriş ve çıkış parametreleri;
modelleme hedefleri;
modeli inceleme yöntemi;
araştırma nesneleri;
hiyerarşik seviyeye ait model
nesne açıklamaları;
görüntülenen özelliklerin niteliği;
hesaplama prosedürü;
Süreç kontrolünü kullanma.
14

Nesne karmaşıklığına göre sınıflandırma

İÇİNDE
basit
modeller
en
modelleme
Olumsuz
nesnenin iç yapısı dikkate alınır, değil
öne çıkmak
bileşenler
onun
elemanlar
veya
alt süreçler.
Nesne sistemi buna bağlı olarak daha karmaşık bir sistemdir,
birbirine bağlı bir dizi
ayrılmış elemanlar çevre Ve
onunla bir bütün olarak etkileşime girer.
15

Model operatörüne göre sınıflandırma

Matematiksel
modeli
isminde
operatör sağlarsa doğrusal
doğrusal
bağımlılık
hafta sonu
parametreler
itibaren
değerler
giriş
parametreler.
Matematiksel
modeli
isminde
operatör sağlarsa doğrusal olmayan
doğrusal olmayan
bağımlılık
hafta sonu
parametreler
itibaren
değerler
giriş
parametreler.
Model operatörü ise matematiksel model basittir.
cebirsel
ifade,
yansıtıcı
fonksiyonel
çıkış parametrelerinin giriş parametrelerine bağımlılığı.
Diferansiyel ve integral sistemlerini içeren model
ilişkilere karmaşık denir.
Oluşturulması mümkün olan bir modele algoritmik denir
Bir algoritma kullanarak bir nesnenin davranışının ve özelliklerinin bazı simülatörü.
16

Giriş ve çıkış parametrelerine göre sınıflandırma

Modellenen sürecin doğasına göre sınıflandırma

Deterministik,
Hangi
karşılık gelmek
kesin olarak belirlenmiş deterministik süreçler
fiziksel büyüklükler arasındaki kesin bağlantı,
Herhangi bir durumda sistemin durumunu karakterize eden
an
zaman.
Deterministik
modeli
açık bir şekilde hesaplamanıza ve tahmin etmenize olanak tanır
Giriş değerlerine göre çıkış miktarlarının değerleri
Parametreler ve kontrol eylemleri.
Bundan kaynaklanan belirsiz olanlar
miktarların tanımlanmasında bir değişiklik meydana gelir
rastgele ve çıktı miktarlarının değerleri
girdiyle olasılıksal uygunluk içindedir
değerler ve benzersiz bir şekilde belirlenmemiştir.
18

Belirsiz Modeller

Stokastik – tüm veya bireysel parametrelerin değerleri
modeller tanımlanmış rastgele değişkenler, verilen
olasılık yoğunlukları.
Rastgele – tüm veya bireysel model parametrelerinin değerleri
tahminlerle verilen rastgele değişkenler tarafından belirlenir
İşleme sonucunda elde edilen olasılık yoğunlukları
Bu parametrelerin sınırlı deneysel örneklemesi.
Aralık – tüm veya bireysel parametrelerin değerleri
modeller belirtilen aralık değerlerine göre tanımlanır
minimum ve maksimumun oluşturduğu aralık
olası parametre değerleri.
Bulanık – tüm veya bireysel model parametrelerinin değerleri
karşılık gelen üyelik fonksiyonları ile tanımlanır.
bulanık küme.
19

Uzayın boyutuna göre sınıflandırma

Tek boyutlu.
İki boyutlu.
Üç boyutlu.
Bu bölüm aşağıdakiler dahil modeller için geçerlidir:
parametreler
Hangi
dahil
koordinatlar
uzay.
20

Zamana göre sınıflandırma

Statik. Sistem durumu değilse

statik. Statik Simülasyon
Bir nesnenin durumunu tanımlamaya yarar
zamanda sabit nokta.
Dinamik. Sistem durumu ise
zamanla değişirse modeller çağrılır
dinamik. Dinamik Simülasyon
bir nesneyi zaman içinde incelemeye yarar.
21

Kullanılan parametre setlerinin türüne göre sınıflandırma

Yüksek kalite.
Nicel.
Ayrık.
Sürekli.
Karışık.
22

Modelleme amaçlarına göre sınıflandırma

Tanımlayıcı. Bu tür modellerin amacı kanun oluşturmaktır.
model parametrelerindeki değişiklikler. Örnek - roket hareketinin modeli
Dünya yüzeyinden fırlatın.
Optimizasyon. Benzer modeller belirlemek için tasarlanmıştır.
bazı kriterler açısından optimal parametreler
modellenmiş nesneyi veya en uygun modu aramak için
bazı süreçleri kontrol edin. Böyle bir modelin bir örneği şöyle olabilir:
Dünya yüzeyinden bir roket fırlatma sürecinin bir simülasyonu olarak hizmet eder.
minimum sürede belirli bir yüksekliğe çıkarma hedefi.
Yönetici. Bu tür modeller etkili kılmak için kullanılır.
Hedeflenen çeşitli alanlardaki yönetim kararları
23
insan faaliyeti.

Uygulama yöntemine göre sınıflandırma

Analitik. Analitik yöntemler için daha uygun
sonuçların sonraki analizi, ancak yalnızca aşağıdakiler için geçerlidir:
nispeten basit modeller. Matematiksel olması durumunda
problem analitik bir çözümü kabul ediyorsa, o zaman dikkate alınır
sayısal yerine tercih edilir
Algoritmik. Algoritmik yöntemler şuraya gelir:
bazılarına
algoritma
uygulamak
hesaplamalı
24
bilgisayar kullanarak deney yapın.

Çalışma nesnelerine göre sınıflandırma

olan nesneler yüksek derece bilgi. eğer devam ediyorsa
modelleme, tam denklem sistemlerinin bilinmesi,
Simüle edilen sürecin tüm yönlerini açıklayan ve tüm
bu denklemlerin parametrelerinin sayısal değerleri.
Sıfır bilgi düzeyine sahip nesneler. Matematiksel
böyle bir nesnenin modeli istatistiksel temellere dayanmaktadır
deneysel veriler.
Bilinen temel desenlere sahip nesneler.
Matematiksel açıklama denklemlerinde sabitlerin değerleri
Modeller deneyimlerden kurulur.
Davranışı bilinen nesneler
doğası gereği ampirik. Yöntemler kullanıyorlar
Matematik kullanarak fiziksel modelleme
deneyi planlıyoruz.
25

Modelin nesne tanımının hiyerarşik düzeyine ait olup olmadığına göre sınıflandırma

Mikro seviye
(tipik
süreçler
öyle
kütle transferi,
termofiziksel,
hidrodinamik).
Modelleme
gerçekleştirillen
V
amaçlar
sentez
bir veya daha fazla teknolojik süreç
birimler.
Makro düzey. Daha fazlasına sahip süreçlerin simülasyonu
yüksek düzeyde toplama; modeller sentez için kullanılır
mevcut yönetim teknolojik süreç bir için
birim veya teknolojik kompleks genel olarak.
Meta seviyesi. Entegre süreç modelleme
birimler ve bunları birbirine bağlayan malzeme ve enerji bağlantıları
akışlar. Bu tür modeller teknolojik senteze hizmet eder
tek bir bütün olarak karmaşık, yani kontrolün sentezi için
gelişim.
26

Görüntülenen model özelliklerinin niteliğine göre sınıflandırma

Fonksiyonel
modeller.
Kullanılıyor
İçin
açıklamalar
sırasında meydana gelen fiziksel ve bilgi süreçleri
tesisin işleyişi.
Yapısal
modeller.
Betimlemek
birleştirmek
Ve
ilişkiler
sistemin elemanları (süreç, nesne).
27

Hesaplama sırasına göre sınıflandırma

Doğrudan. Kinetik belirlemek için kullanılır,
Süreçlerin statik ve dinamik kalıpları.
Tersi
(inversiyon).
Kullanılmış
İçin
giriş parametrelerinin veya diğerlerinin değerinin belirlenmesi
işlenmiş maddelerin belirli özellikleri veya
Ürünlerin kabul edilebilirliğini belirlemenin yanı sıra
işleme modlarındaki sapmalar (optimizasyon sorunları
işlemler ve cihaz parametreleri).
Endüktif.
Uygula
İçin
açıklamalar
kinetik, statik veya matematiksel denklemler
yeni hipotezler kullanarak süreç dinamikleri veya
teoriler.
28

Proses kontrolü kullanılarak sınıflandırma

Tahmin modelleri veya kontrolsüz hesaplama modelleri.
Bu modellerin temel amacı davranışı tahmin etmektir.
başlangıç durumunu bilerek zaman ve uzaydaki sistemler
ve sınırdaki davranışları hakkında bilgi. Örnekler - modeller
ısı dağılımı, elektrik alanı, kimyasal
kinetik, hidrodinamik.
Optimizasyon modelleri.
– Sabit modeller. Tasarım düzeyinde kullanılır
çeşitli
teknolojik
sistemler
Örnekler
‒
deterministik problemler, tüm girdi bilgilerinin
tamamen belirlenebilir.
– Sabit olmayan
modeller.
Kullanılmış
Açık
seviye
tasarım ve esas olarak optimum
çeşitli süreçlerin yönetimi – teknolojik,
ekonomik vb. Bu problemlerde bazı parametreler
doğası gereği rastgeledir veya belirsizlik unsuru içerir.
29 Hipotez.
Fenomenolojik model.
Yaklaşıklık.
Basitleştirme.
Sezgisel model.
Analoji.
Düşünce deneyi.
Fırsatın gösterilmesi.
30

Hipotez

Bu modeller bir denemeyi temsil ediyor
fenomenin açıklaması. Eğer böyle bir model oluşturulursa
bu geçici olarak gerçek olarak kabul edildiği anlamına gelir
ve diğer sorunlara odaklanabilirsiniz.
Ancak araştırmanın amacı bu olamaz, ancak
yalnızca geçici bir duraklama: modelin durumu
sadece geçici.
Örnekler:
Modeli güneş sistemi Ptolemy'e göre.
Kopernik modeli (Kepler tarafından geliştirildi).
Rutherford'un atom modeli.
Büyük Patlama modeli.
vb.
31

Fenomenolojik model

Bu model, olguyu açıklamaya yönelik bir mekanizma içerir.
Ancak bu mekanizma yeterince ikna edici değildir ve
mevcut verilerle destekleniyor veya verilerle pek tutarlı değil
nesne hakkında mevcut teoriler ve birikmiş bilgiler.
Bu nedenle fenomenolojik modeller geçici statüdedir.
kararlar. Modelin çalışmadaki rolü zamanla değişebilir.
zamanla yeni veriler ve teoriler ortaya çıkabilir
fenomenolojik modelleri doğrulayacak ve güncelleştirilecek
hipotez durumu. Aynı şekilde, yeni bilgiler yavaş yavaş
birinci türden model-varsayımlarla çelişir ve bunlar
ikinciye aktarılabilir.
Örnekler:
Kalori modeli.
Temel parçacıkların kuark modeli.
vb.
32

Yaklaşım

İmkansız olduğu durumlarda genel kabul görmüş bir teknik
denklemleri bile bilgisayar kullanarak çözebilir,
incelenmekte olan sistemi tanımlamak - kullanım
yaklaşımlar. Denklemlerin yerini doğrusal olanlar alır.
Standart bir örnek Ohm yasasıdır.
33

Basitleştirme

Bu modelde parçalar
üzerinde gözle görülür ve her zaman kontrol edilemeyen bir etkiye sahip olabilir.
sonuç.
Örnekler:
Modelin uygulanması ideal gaz kusurlu olana.
Van der Waals durum denklemi.
Katı hal fiziği modellerinin çoğu
akışkanlar ve nükleer fizik. Mikro tanımlamadan yola çıkan yol
çok sayıda maddeden oluşan cisimlerin (veya ortamların) özellikleri
parçacıklar, çok uzun. Birçoğunun atılması gerekiyor
detaylar.
34

Sezgisel model

Sezgisel model yalnızca niteliksel olanı korur
gerçeğe benzer ve yalnızca “göre” tahminlerde bulunur
büyüklük sırası."
Katsayılar için basit formüller verir
viskozite, difüzyon, termal iletkenlik, tutarlı
büyüklük sırasına göre gerçeklikle. Ama ne zaman
yeni bir fizik oluşturmak hemen işe yaramaz
Nesnenin en azından niteliksel bir tanımını veren bir model.
Tipik bir örnek ortalama uzunluk yaklaşımıdır
Kinetik teoride serbest yol.
35

benzetme

Bu
modeli
ilk defa
ortaya çıktı
Ne zaman
nötron-proton sistemindeki etkileşim denendi
Bir atomun etkileşimi yoluyla açıklamak
bir proton ile hidrojen. Bu benzetme şunu sağladı:
değişimin olması gerektiği sonucuna varıldı
nötron ve proton arasındaki etkileşim kuvvetleri,
iki kişi arasında elektron alışverişi sonucu oluşur
protonlar.
36

Düşünce deneyi ve olasılığın gösterilmesi

Bir düşünce deneyi akıl yürütmedir
sonuçta çelişkiye yol açan bir durum.
Olasılığın gösterilmesi de zihinseldir
deneyler
İle
hayali
varlıklar
gösteren
Ne
sözde
fenomen
ile tutarlı temel ilkeler ve dahili olarak
tutarlı. Bunlardan en ünlülerinden biri
deneyler - Lobaçevski geometrisi.
37

Sonuç ve sonuçlar

Matematiksel model kavramı dikkate alınır.
Genelleştirilmiş bir matematiksel model üzerinde çalışıldı.
Kavramlar tanımlanmıştır: matematiksel modellerin ve derecenin doğrusal olmaması
matematiksel model ile nesne arasındaki yazışma.
Matematiksel modellerin bir sınıflandırması sunulmaktadır.
38 Samarsky, A.A. Matematiksel modelleme / A.A. Samara,
A.P. Mihailov. – M.: Bilim. Fizmatlit, 1997.
Tarasevich, N.N. Matematiksel ve bilgisayar modelleme.
Giriş kursu / N.N. Taraseviç. – M.: URSS Editörü, 2001.
Matematiksel modellemeye giriş: ders kitabı. Ödenek / altında
P.V. tarafından düzenlendi. Trusova. – M.: Üniversite Kitabı, Logolar, 2007. –
440 s.