Bir kare nasıl çarpanlara ayrılır? İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Sınıf: 9

Ders türü: Bilgiyi pekiştirme ve sistemleştirme konusunda bir ders.

Ders türü: Bilgi ve eylem yöntemlerinin kontrol edilmesi, değerlendirilmesi ve düzeltilmesi.

Hedefler:

Eğitici:

– Öğrencilerde ikinci dereceden bir trinomial çarpanlara ayırma yeteneğini geliştirmek;
- çeşitli görevleri çözme sürecinde bilginin pekiştirilmesi belirtilen konu;
– matematiksel düşüncenin oluşumu;
– kapsanan materyalin tekrarlanması sürecinde konuya olan ilginin arttırılması.
Eğitici:
– organizasyon ve konsantrasyonun teşvik edilmesi;
– öğrenmeye karşı olumlu bir tutumun teşvik edilmesi;
- merakı beslemek.
Eğitici:
- kendi kendini kontrol etme yeteneğini geliştirmek;
- işi rasyonel olarak planlama yeteneğini geliştirmek;
– bağımsızlığın ve dikkatin geliştirilmesi.

Teçhizat: didaktik materyal sözlü çalışma için, bağımsız çalışma, test görevleri bilgiyi test etmek için, ödevli kartlar, cebir üzerine ders kitabı Yu.N. Makarycheva.

Ders planı.

Ders adımları	Süre, dk	Teknikler ve Yöntemler
I. Bilginin güncellenmesi aşaması. Bir öğrenme problemine yönelik motivasyon	2	Öğretmenin konuşması
II. Dersin ana içeriği. Öğrencilerin ayrıştırma formülünü anlamalarının oluşturulması ve pekiştirilmesi ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.	10	Öğretmenin açıklaması. Sezgisel konuşma
III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu. Öğrenilen materyalin pekiştirilmesi	25	Sorun çözme. Öğrenci sorularına cevaplar
IV. Bilgi ediniminin test edilmesi. Refleks	5	Öğretmenin mesajı. Öğrenci mesajı
V. Ev ödevi	3	Kartlardaki görev

Ders ilerlemesi

I. Bilginin güncellenmesi aşaması. Eğitim sorununun motivasyonu.

Organizasyon anı.

Bugün derste şu konudaki bilgiyi genelleştirip sistematik hale getireceğiz: "İkinci dereceden bir trinomiyalin çarpanlara ayrılması." Çeşitli alıştırmalar yaparken denklemleri ve pratik problemleri çözerken özellikle dikkat etmeniz gereken noktaları kendinize not etmelisiniz. Sınava hazırlanırken bu çok önemlidir.
Dersin konusunu yazın: “İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma. Örnekleri Çözme.”

II. Dersin ana içeriği.Öğrencilerin ikinci dereceden bir trinomial çarpanlarına ayırma formülünü anlamalarının oluşturulması ve pekiştirilmesi.

Sözlü çalışma.

– İkinci dereceden bir trinomiyi başarılı bir şekilde çarpanlara ayırmak için, hem diskriminant bulma formülünü hem de ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülünü, ikinci dereceden bir trinomiyi çarpanlara ayırma formülünü hatırlamanız ve bunları pratikte uygulamanız gerekir.

1. “Devam et veya beyanı genişlet” kartlarına bakın.

2. Tahtaya bakın.

1. Önerilen polinomlardan hangisi ikinci dereceden değildir?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

İkinci dereceden üç terimlinin tanımını verin. Kare bir trinomiyalin kökünü tanımlayın.

2. Hangi formül ikinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplamaya yönelik bir formül değildir?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – B+ ;
3) X 1,2 = .

3. İkinci dereceden üç terimli – 2'nin a, b, c katsayılarını bulun X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. İkinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplama formülü formüllerden hangisidir?

x 2 +px+q= 0 Vieta teoremine göre?

1) X 1 +x 2 = p,
X 1 · X 2 = q.

2) X 1 +x 2 = –P,
X 1 · X 2 = q.

3)X 1 +x 2 = –P,
X 1 · X 2 = – q.

5. İkinci dereceden üç terimliyi genişletin X 2 – 11x +Çarpanlar için 18.

Cevap: ( X – 2)(X – 9)

6. İkinci dereceden üç terimliyi genişletin en 2 – 9sen +çarpanlar için 20

Cevap: ( X – 4)(X – 5)

III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu. Çalışılan materyalin konsolidasyonu.

1. İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Faktoring kesirleri azaltırken bize yardımcı olur.

3. Kök formülünü kullanmadan ikinci dereceden üç terimlinin köklerini bulun:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
B) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Kökleri sayılar olan ikinci dereceden bir üç terimli sayı oluşturun:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
B) X 1 = 3; X 2 = -6;

Bağımsız çalışma.

Seçenekleri kullanarak görevi bağımsız olarak tamamlayın ve ardından kontrol edin. İlk iki görev “Evet” veya “Hayır” cevabını gerektirir. Her seçenekten bir öğrenci çağrılır (tahtanın kapakları üzerinde çalışırlar). Yönetim kurulunda bağımsız çalışma tamamlandıktan sonra çözümün ortak kontrolü gerçekleştirilir. Öğrenciler çalışmalarını değerlendirir.

1. seçenek:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. 2 sayısı x 2 + 3x – 10 = 0 denkleminin köküdür.

3. İkinci dereceden üç terimli 6'yı çarpanlarına ayırın X 2 – 5X + 1;

2. seçenek:

1.D>0. Denklemin 2 kökü vardır.

2. 3 sayısı ikinci dereceden x 2 – x – 12 = 0 denkleminin köküdür.

3. İkinci dereceden üç terimli 2'yi çarpanlarına ayırın X 2 – 5x + 3

IV. Bilgi ediniminin test edilmesi. Refleks.

– Ders, bu konunun temel teorik materyalini bildiğinizi gösterdi. Bilgiyi özetledik

Bu, bir ifadeyi basitleştirmenin en temel yollarından biridir. Bu yöntemi uygulamak için çarpmanın toplamaya göre dağılım yasasını hatırlayalım (bu kelimelerden korkmayın, bu yasayı mutlaka biliyorsunuz, sadece adını unutmuş olabilirsiniz).

Kanun diyor ki: İki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, her terimi bu sayıyla çarpmanız ve ortaya çıkan sonuçları eklemeniz gerekir, yani .

Ters işlemi de yapabilirsiniz, bizi ilgilendiren de bu ters işlemdir. Örnekte görüldüğü gibi a ortak çarpanı parantezden çıkarılabilir.

Benzer bir işlem hem ve gibi değişkenlerle hem de sayılarla yapılabilir: .

Evet, bu çok basit bir örnek, tıpkı daha önce verilen örnek gibi, bir sayının ayrıştırılmasıyla ilgili, çünkü sayıların bölünebildiğini herkes bilir, ama ya daha karmaşık bir ifadeniz varsa:

Örneğin bir sayının neye bölünebileceğini nasıl anlarsınız? Hayır, bunu herkes hesap makinesiyle yapabilir, ama hesap makinesi olmadan bu zor olur mu? Ve bunun için bölünebilirlik işaretleri var, bu işaretler gerçekten bilinmeye değer, ortak faktörün parantezden çıkarılıp çıkarılamayacağını hızlı bir şekilde anlamanıza yardımcı olacaklar.

Bölünebilirlik işaretleri

Bunları hatırlamak o kadar da zor değil; büyük olasılıkla çoğu size zaten tanıdık geliyordu ve bazıları yeni ve yararlı bir keşif olacak, daha fazla ayrıntı tabloda:

Not: Tabloda 4'e bölünebilme testi eksiktir. Son iki rakamı 4'e bölünüyorsa sayının tamamı 4'e bölünür.

Peki tabelayı beğendin mi? Bunu hatırlamanızı tavsiye ederim!

Peki tekrar ifadeye dönelim, belki parantezden çıkarabilir ve bu ona yeter mi? Hayır, matematikçiler sonuna kadar basitleştirmeye eğilimlidirler. Dayanılan HER ŞEYE katlan!

Ve böylece oyunda her şey açık, peki ya ifadenin sayısal kısmı? Her iki sayı da tek olduğundan bölemezsiniz

Bölünme testini kullanabilirsiniz: Sayıyı oluşturan rakamların toplamı eşittir ve bölünebilirlik, bölünebilirlik anlamına gelir.

Bunu bilerek, güvenli bir şekilde bir sütuna bölebilirsiniz ve bölmenin bir sonucu olarak şunu elde ederiz (bölünebilirlik işaretleri faydalıdır!). Böylece sayıyı tıpkı y gibi parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

Her şeyin doğru şekilde genişletildiğinden emin olmak için genişlemeyi çarparak kontrol edebilirsiniz!

Ortak faktör güç terimleriyle de ifade edilebilir. Mesela burada ortak çarpanı görüyor musunuz?

Bu ifadenin tüm üyelerinin x'leri var - onları çıkarıyoruz, hepsine bölünüyor - tekrar çıkarıyoruz, bakın ne oldu: .

2. Kısaltılmış çarpma formülleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinden teorik olarak bahsetmiştik; ne olduklarını hatırlamakta zorluk çekiyorsanız hafızanızı tazelemelisiniz.

Kendinizi çok akıllı görüyorsanız ve böyle bir bilgi bulutunu okuyamayacak kadar tembelseniz, o zaman okumaya devam edin, formüllere bakın ve hemen örnekleri ele alın.

Bu ayrıştırmanın özü karşınızdaki ifadede belli bir formülü fark edip onu uygulamak ve böylece bir şeyin ve bir şeyin çarpımını elde etmektir, bütün ayrıştırma budur. Formüller şunlardır:

Şimdi yukarıdaki formülleri kullanarak aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin:

İşte olması gerekenler:

Fark ettiğiniz gibi bu formüller çok etkili bir çarpanlara ayırma yöntemidir; her zaman uygun olmayabilir ama çok faydalı olabilir!

3. Gruplandırma veya gruplama yöntemi

İşte size başka bir örnek:

Peki bununla ne yapacaksın? Görünüşe göre bir şey ikiye ve içine ve bir şey de içine ve içine bölünmüş

Ama her şeyi tek bir şeye bölemezsin, yani burada ortak bir faktör yok, nasıl bakarsanız bakın, faktörlere ayırmadan neyi bu şekilde bırakmalısınız?

Burada ustalık göstermeniz gerekiyor ve bu yaratıcılığın adı gruplamadır!

Tam olarak tüm üyelerin ortak bölenleri olmadığında kullanılır. Gruplandırma için ihtiyacınız olan ortak çarpanları olan terim gruplarını bulun ve her gruptan aynı faktör elde edilebilecek şekilde yeniden düzenleyin.

Elbette onları yeniden düzenlemek gerekli değildir, ancak bu açıklık sağlar; açıklık sağlamak için ifadenin tek tek bölümlerini parantez içine alabilirsiniz; bunları istediğiniz kadar koymak yasak değildir, asıl önemli olan kafa karıştırmamaktır. işaretler.

Bütün bunlar çok açık değil mi? Bir örnekle açıklayayım:

Bir polinomda - terimi - terimden sonra koyarız - şunu elde ederiz

ilk iki terimi ayrı bir parantez içinde gruplandırırız ve ayrıca üçüncü ve dördüncü terimleri de gruplandırırız, eksi işaretini parantezden çıkarırız, şunu elde ederiz:

Şimdi ifadeyi parantezlerle böldüğümüz iki "kümenin" her birine ayrı ayrı bakıyoruz.

İşin püf noktası, onu en büyük faktörün çıkarılabileceği yığınlara ayırmak veya bu örnekte olduğu gibi, kümelerden faktörleri parantezlerin dışına çıkardıktan sonra hala aynı ifadelere sahip olacak şekilde terimleri gruplamaya çalışmaktır. parantezlerin içinde.

Her iki parantezden de terimlerin ortak çarpanlarını çıkarıyoruz, ilk parantezden ve ikinci parantezden şunu elde ediyoruz:

Ama bu ayrışma değil!

Peşek ayrışma sadece çarpma olarak kalmalıdır ama şimdilik polinomumuz basitçe iki parçaya bölündü...

ANCAK! Bu polinomun ortak bir çarpanı vardır. Bu

braketin ötesine geçerek nihai ürünü elde ederiz

Bingo! Gördüğünüz gibi burada zaten bir çarpım var ve parantezlerin dışında herhangi bir toplama veya çıkarma yok, ayrıştırma tamamlandı çünkü Artık parantezlerden çıkaracağımız bir şey yok.

Faktörleri parantezlerden çıkardıktan sonra parantez içinde aynı ifadelerle karşılaşmamız ve onları tekrar parantez dışına çıkarmamız bir mucize gibi görünebilir.

Ve bu hiç de bir mucize değil, gerçek şu ki, ders kitaplarındaki ve Birleşik Devlet Sınavındaki örnekler, görevlerdeki ifadelerin çoğunun basitleştirilmesi veya basitleştirilmesi için özel olarak yapılmıştır. çarpanlara ayırma doğru yaklaşımla kolayca basitleştirilirler ve bir düğmeye bastığınızda şemsiye gibi keskin bir şekilde çökerler, bu yüzden her ifadede o düğmeyi arayın.

Dikkatim dağıldı, sadeleştirmeyle ne yapıyoruz? Karmaşık polinom daha basit bir biçim aldı: .

Katılıyorum, eskisi kadar hantal değil mi?

4. Tam bir karenin seçilmesi.

Bazen kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamak için (konuyu tekrarlamak), mevcut bir polinomu dönüştürmek, terimlerinden birini iki terimin toplamı veya farkı olarak sunmak gerekir.

Hangi durumda bunu yapmanız gerekir, örnekten öğreneceksiniz:

Bu formdaki bir polinom kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak genişletilemez, dolayısıyla dönüştürülmesi gerekir. Belki ilk başta hangi terimin hangisine bölünmesi gerektiği sizin için açık olmayacaktır, ancak zamanla kısaltılmış çarpma formüllerini tam olarak mevcut olmasalar bile hemen görmeyi öğreneceksiniz ve neyin eksik olduğunu hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz. tam formül, ama şimdilik - öğren, bir öğrenci, daha doğrusu bir okul çocuğu.

Kare farkının tam formülü için burada bunun yerine ihtiyacınız var. Üçüncü terimi bir fark olarak hayal edersek şunu elde ederiz: Parantez içindeki ifadeye farkın karesi formülünü uygulayabilirsiniz. (kareler farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), elimizde: , bu ifadeye kareler farkı formülünü uygulayabiliriz (kare farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), nasıl elde ettiğimizi hayal ederek: .

Çarpanlarına ayrılmış bir ifade her zaman genişletme öncesinde olduğundan daha basit ve daha küçük görünmez, ancak bu biçimde daha esnek hale gelir, yani işaretleri değiştirme ve diğer matematiksel saçmalıklar konusunda endişelenmenize gerek kalmaz. Kendi başınıza karar verebilmeniz için aşağıdaki ifadelerin çarpanlara ayrılması gerekir.

Örnekler:

Cevaplar:

5. İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlarına ayrılması

İkinci dereceden bir üç terimlinin faktörlere ayrıştırılması için diğer ayrıştırma örneklerine bakın.

Bir polinomu çarpanlara ayırmak için 5 yöntem örnekleri

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak. Örnekler.

Dağıtım yasasının ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu kuraldır:

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Başka bir örnek:

Bunu hesaba katın.

Çözüm:

Eğer terimin tamamı parantezlerden çıkarılırsa, bunun yerine parantez içinde bir birim kalır!

2. Kısaltılmış çarpma formülleri. Örnekler.

En sık kullandığımız formüller kareler farkı, küpler farkı ve küplerin toplamıdır. Bu formülleri hatırlıyor musunuz? Değilse acilen konuyu tekrarlayın!

Örnek:

İfadeyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Bu ifadede küplerin farkını bulmak kolaydır:

Örnek:

Çözüm:

3. Gruplandırma yöntemi. Örnekler

Bazen terimleri değiştirerek her bir bitişik terim çiftinden aynı faktörün çıkarılmasını sağlayabilirsiniz. Bu ortak faktör parantezden çıkarılabilir ve orijinal polinom bir çarpıma dönüşebilir.

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Terimleri şu şekilde gruplayalım:
.

İlk grupta ortak faktörü parantezlerden çıkarıyoruz ve ikinci grupta -:
.

Artık ortak faktör de parantezlerden çıkarılabilir:
.

4. Tam kareyi seçme yöntemi. Örnekler.

Polinom iki ifadenin karelerinin farkı olarak temsil edilebiliyorsa geriye kalan tek şey kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) uygulamaktır.

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:Örnek:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kare\ toplam\ ((\left) (x+3 \sağ))^(2))-9-7=((\sol(x+3 \sağ))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(dizi)

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kare\ farklar((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \sağ))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(dizi)

5. İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması. Örnek.

Kare bir trinomial, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir polinomudur.

İkinci dereceden trinomialin yok olmasını sağlayan değişkenin değerlerine trinomialin kökleri denir. Bu nedenle, bir üç terimlinin kökleri ikinci dereceden bir denklemin kökleridir.

Teorem.

Örnek:

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayıralım: .

Öncelikle ikinci dereceden denklemi çözelim: Şimdi bu ikinci dereceden trinomiyalin çarpanlara ayrılmasını yazabiliriz:

Şimdi sizin fikriniz...

Bir polinomun nasıl ve neden çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıkladık.

Bunun pratikte nasıl yapılacağına dair birçok örnek verdik, tuzaklara dikkat çektik, çözümler verdik...

Sen ne diyorsun?

Bu makale hakkında ne düşünüyorsunuz? Bu teknikleri kullanıyor musunuz? Onların özünü anlıyor musun?

Yorumlarınıza yazın ve... sınava hazırlanın!

Şu ana kadar hayatınızdaki en önemli kişi o.

Bu derste ikinci dereceden üç terimlileri doğrusal çarpanlara nasıl ayıracağımızı öğreneceğiz. Bunu yapmak için Vieta teoremini ve onun tersini hatırlamamız gerekiyor. Bu beceri, ikinci dereceden üç terimlileri hızlı ve kolay bir şekilde doğrusal faktörlere genişletmemize yardımcı olacak ve aynı zamanda ifadelerden oluşan kesirlerin azaltılmasını da basitleştirecektir.

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Yani, ikinci dereceden bir denklemimiz var - ikinci dereceden bir üç terimli, burada ikinci dereceden denklemin köklerine ikinci dereceden üç terimlinin kökleri de denir. Bu nedenle, eğer bir kare trinomiyalin köklerine sahipsek, o zaman bu trinomial doğrusal faktörlere ayrıştırılabilir.

Kanıt:

Bu gerçeğin ispatı önceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilmektedir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi Vieta teoremini kullanarak köklerini seçtiğimiz ikinci dereceden denklem örneğini hatırlayalım. Bu gerçekten yola çıkarak kanıtlanmış teorem sayesinde aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Ve öğrendiğimiz teoremin gerçekleşmesi için D'nin 0'dan büyük olması gerektiğini hatırlıyoruz, dolayısıyla bu durumda öğrendiğimiz teoreme göre çarpanlara ayırmanın imkansız olduğu ortaya çıkıyor.

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Bu grupta aslında problemi sorulanın tersini çözeceğiz. Bir denklemimiz vardı ve onu çarpanlara ayırarak köklerini bulduk. Burada tam tersini yapacağız. Diyelim ki ikinci dereceden bir denklemin köklerine sahibiz

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu var.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem kullanmayı içerir ters teoremi Vieta.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Payda bir üç terimli ve paydada bir üç terimli var ve üç terimli sayılar çarpanlara ayrılabilir veya ayrılmayabilir. Hem pay hem de payda çarpanlara ayrılırsa, aralarında azaltılabilecek eşit faktörler olabilir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Öncelikle bu denklemin çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını kontrol etmeniz gerekiyor, diskriminantı bulalım. Bu örnekte işaret çarpıma bağlı olduğundan (0'dan küçük olmalıdır), yani verilen denklemin kökleri vardır.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Bu durumda köklerle uğraştığımız için basitçe kökleri seçmek oldukça zor olacaktır. Ancak katsayıların dengeli olduğunu görüyoruz, yani bunu varsayarsak ve bu değeri denklemde yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz: yani 5-5=0. Böylece bu ikinci dereceden denklemin köklerinden birini seçtik.

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlara ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz:

Asıl problemi hatırlayalım, kesri azaltmamız gerekiyordu.

yerine koyarak sorunu çözmeye çalışalım.

Bu durumda paydanın 0'a yani 0'a eşit olamayacağını unutmamak gerekir.

Bu koşullar yerine getirilirse orijinal kesri forma indirgemiş oluruz.

Problem No. 3 (parametreli görev)

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı parametrenin hangi değerlerindedir?

Bu denklemin kökleri mevcutsa, o zaman , soru: ne zaman.

Plan - ders notları (MBOU "Chernomorskaya lise 2 numara"

Öğretmenin adı

Ponomarenko Vladislav Vadimoviç

Öğe

Cebir

Ders tarihi

19.09.2018

№ ders

Sınıf

Ders konusu

(KTP'ye uygun olarak)

"İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma"

Hedef belirleme

- eğitici: Öğrencilere bir kare trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını öğretin, örnekleri çözerken bir kare trinomialin çarpanlara ayrılması için algoritmanın nasıl kullanılacağını öğretin, bir kare trinomialin çarpanlara ayrılması için algoritmayı kullanan GIA veritabanındaki görevleri düşünün

-gelişiyor: okul çocuklarında sorunları formüle etme, bunları çözmenin yollarını önerme yeteneğini geliştirmek ve okul çocuklarında bilişsel bir nesnedeki ana şeyi vurgulama becerisinin gelişimini teşvik etmek.

- eğitici: Öğrencilerin ortak faaliyetlerin değerini anlamalarına yardımcı olmak, çocuklarda öz kontrol, öz saygı ve eğitim faaliyetlerini kendi kendine düzeltme becerilerinin gelişimini teşvik etmek.

Ders türü

yeni bilgilerin incelenmesi ve birincil olarak pekiştirilmesi.

Teçhizat:

multimedya projektörü, ekran, bilgisayar, öğretim materyali, ders kitapları, defterler, sunumders için

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon noktası: Öğretmen öğrencileri selamlar ve derse hazır olup olmadıklarını kontrol eder.

Öğrencileri motive eder:

Bugünkü dersimizde ortak bir etkinlikte Polya'nın (Slayt 1) sözlerini doğrulayacağız (“Çözdüğünüz problem çok mütevazı olabilir ama merakınızı zorluyorsa ve kendi başınıza çözüyorsanız o zaman). zihnin gerilimini açmanın öncülüğünü deneyimleyebilir ve zaferin sevincini yaşayabilirsiniz."

Poya hakkındaki mesaj (Slayt 2)

Merakınıza meydan okumak istiyorum. Devlet Müfettişliği'nin görevini ele alalım. Fonksiyonun Grafiği .

Zaferin sevincini yaşayıp bu görevi tamamlayabilecek miyiz? (sorunlu durum).

Bu sorun nasıl çözülür?

- Bu sorunu çözmek için bir eylem planının ana hatlarını çizin.

Ders planını düzeltir, bağımsız çalışma ilkesine ilişkin yorumlar.

Bağımsız çalışma (bağımsız çalışma metnini içeren broşürleri sınıfa dağıtın) (Ek 1)

Bağımsız çalışma

Bunu hesaba katın:

X 2 – 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Bir kesri azaltın:

SlaytKendi kendine test cevapları ile.

Sınıf için soru:

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak için hangi yöntemleri kullandınız?

Tüm polinomları çarpanlarına ayırabildiniz mi?

Tüm kesirleri azaltabildiniz mi?

Sorun2:Slayt

Bir polinom nasıl çarpanlara ayrılır

2 X 2 – 7 X – 4?

Bir kesir nasıl azaltılır?

Ön anket :

Polinomlar nelerdir

2 X 2 – 7 X– 4 veX 2 – 5 X +6?

İkinci dereceden üç terimlinin tanımını verin.

İkinci dereceden trinomial hakkında ne biliyoruz?

Kökleri nasıl bulunur?

Kök sayısını ne belirler?

Bu bilgiyi öğrenmemiz gerekenlerle karşılaştırın ve dersin konusunu formüle edin. (Bundan sonra dersin konusu ekranda belirir)Slayt

Dersin hedefini belirleyelimSlayt

Nihai sonucu özetleyelimSlayt

Sınıfa soru:Bu sorun nasıl çözülür?

Sınıf gruplar halinde çalışır.

Grup ödevi:

İhtiyacınız olan sayfayı bulmak için içindekiler tablosunu kullanın, elinizde bir kalemle 4. paragrafı okuyun, ana fikri vurgulayın, herhangi bir kare trinomialin çarpanlara ayrılabileceği bir algoritma oluşturun.

Görevin sınıf tarafından tamamlandığının kontrol edilmesi (ön çalışma):

Nedir ana fikir 4. nokta?Slayt(ekranda ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülü görünür).

Ekrandaki algoritma.Slayt

1. İkinci dereceden üç terimliyi sıfıra eşitleyin.

2. Diskriminantı bulun.

3. İkinci dereceden üç terimlinin köklerini bulun.

4. Bulunan kökleri formülde yerine koyun.

5.Gerekiyorsa baş katsayıyı parantez içinde girin.

Bir tane dahaküçük sorun : Eğer D=0 ise ikinci dereceden bir trinomial çarpanlarına ayırmak mümkün müdür, eğer öyleyse nasıl?

(Araştırma çalışması gruplar halinde).

Slayt(ekranda:

Eğer D = 0 ise, o zaman
.

İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri yoksa,

o zaman çarpanlara ayrılamaz.)

Bağımsız çalışmadaki göreve dönelim. Şimdi ikinci dereceden üç terimlileri çarpanlarına ayırabilir miyiz?2 X 2 – 7 X– 4 veX 2 – 5 X +6?

Sınıf bağımsız çalışıyor, çarpanlara ayırıyor, zayıf öğrencilerle bireysel çalışıyorum.

Slayt(çözümlü)Akran değerlendirmesi

Kesirleri azaltabilir miyiz?

Kesri azaltmak için güçlü bir öğrenciyi tahtaya çağırıyorum.

Göreve geri dönelimGIA'dan. Şimdi fonksiyonun grafiğini çizebilir miyiz??

Bu fonksiyonun grafiği nedir?

Fonksiyonun grafiğini defterinize çiziniz.

Test (İlebağımsız çalışma)Ek 2

Kendi kendine test ve öz değerlendirmeÖğrencilere cevaplarını yazmaları için kağıtlar (Ek 3) verildi. Değerlendirme kriterleri sağlarlar.

Değerlendirme kriterleri:

3 görev - değerlendirme"4"

4 görev – “5” puan alın

Refleks:(slayt)

1.Bugün sınıfta şunu öğrendim...

2.Bugün sınıfta tekrarladım...

3.Güvenliği sağladım...

4.Beğendim...

5. Sınıftaki faaliyetlerim için kendime bir not verdim...

6.Hangi tür işler zorluk yarattı ve tekrarlanmayı gerektiriyor?

7. Amaçlanan sonuca ulaştık mı?

Slayt: Ders için teşekkürler!

Ek 1

Bağımsız çalışma

Bunu hesaba katın:

X 2 – 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

X 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 X 2 – 7 X – 4.

Bir kesri azaltın:

Ek 2

Test

1 seçenek

çarpmak mı?

X 2 – 8x+ 7;

X 2 – 8x+ 16 ;

X 2 – 8x+ 9;

X 2 – 8x+ 1 7.

2 X 2 – 9 X – 5 = 2( X – 5)(…)?

Cevap:_________ .

Kesri azaltın:

X – 3;

X + 3;

X – 4;

başka bir cevap.

Test

Seçenek 2

Hangi ikinci dereceden trinomiyal p olamazçarpmak mı?

5 X 2 + X+ 1;

⅓ X 2 –8x+ 2;

0,1 X 2 + 3 X - 5;

X 2 + 4 X+ 5.

Eşitlik sağlamak için üç noktanın yerine hangi polinom konulmalıdır:2 X 2 + 5 X – 3 = 2( X + 3)(…)?

Cevap:_________ .

Kesri azaltın:

3 X 2 – 6 X – 15;

0,25(3 X - 1);

0,25( X - 1);

başka bir cevap.

Ek 3

Cevaplarınızı yazın.

Değerlendirme kriterleri:

Doğru şekilde tamamlandı: görev 2 – puan “3”

3 görev - değerlendirme"4"

4 görev – “5” puan alın

Görev No.1

Görev No.2

Görev No.3

1 seçenek

Seçenek 2

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Kanıt:

Bu gerçeğin ispatı önceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilmektedir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu var.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem ters Vieta teoreminin kullanılmasını içerir.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlara ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz:

Asıl problemi hatırlayalım, kesri azaltmamız gerekiyordu.

yerine koyarak sorunu çözmeye çalışalım.

Bu durumda paydanın 0'a yani 0'a eşit olamayacağını unutmamak gerekir.

Bu koşullar yerine getirilirse orijinal kesri forma indirgemiş oluruz.

Problem No. 3 (parametreli görev)

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı parametrenin hangi değerlerindedir?

Bu denklemin kökleri mevcutsa, o zaman , soru: ne zaman.