Makalenin içeriği
TÜREV– fonksiyonun türevi sen = F(X), belirli bir aralıkta verilir ( A, B) noktada X Bu aralığın değeri, fonksiyonun artış oranının yöneldiği sınır olarak adlandırılır. F bu noktada argümanın artışı sıfıra yaklaştığında argümanın karşılık gelen artışına.
Türev genellikle şu şekilde gösterilir:
Diğer tanımlamalar da yaygın olarak kullanılmaktadır:
Anlık hız.
Bırakın nokta M düz bir çizgide hareket eder. Mesafe S başlangıç konumundan sayılan hareket noktası M 0 , zamana bağlı T yani S zamanın bir fonksiyonu var T: S= F(T). Zamanın bir noktasında izin ver T hareket noktası M uzaktaydı S başlangıç pozisyonundan M 0 ve bir sonraki anda T+D T kendini bir konumda buldu M 1 – uzaktan S+D S başlangıç konumundan ( resme bak.).
Böylece belli bir süre D T mesafe S D miktarı kadar değişti S. Bu durumda D döneminde T büyüklük S alınan artış D S.
Ortalama hız her durumda bir noktanın hareket hızını doğru bir şekilde karakterize edemez. M zamanın bir noktasında T. Örneğin, D aralığının başlangıcındaki cisim Tçok hızlı ve sonunda çok yavaş hareket ederse, ortalama hız, noktanın hareketinin belirtilen özelliklerini yansıtamayacak ve o andaki hareketinin gerçek hızı hakkında bir fikir veremeyecek T. Ortalama hızı kullanarak gerçek hızı daha doğru bir şekilde ifade etmek için daha kısa bir zaman dilimi ayırmanız gerekir. T. Çoğu, şu anda bir noktanın hareket hızını tam olarak karakterize eder T D noktasında ortalama hızın yöneldiği sınır T® 0. Bu sınıra mevcut hız denir:
Böylece, belirli bir andaki hareket hızına yol artış oranının D sınırı denir. S zaman artışına D T, zaman artışı sıfıra yaklaştığında. Çünkü
Türevin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun grafiğine teğet.
Teğet doğruların inşası diferansiyel hesabın doğuşuna yol açan problemlerden biridir. Diferansiyel hesapla ilgili olarak Leibniz tarafından yazılan ilk yayınlanmış eser şu başlığı taşıyordu: Ne kesirli ne de irrasyonel niceliklerin engel teşkil etmediği teğetlerin yanı sıra yeni bir maksimum ve minimum yöntemi ve bunun için özel bir hesap türü.
Eğri fonksiyonun grafiği olsun sen =F(X) dikdörtgen bir koordinat sisteminde ( santimetre. pirinç.).
Bir miktar değerde X fonksiyon önemlidir sen =F(X). Bu değerler X Ve sen eğri üzerindeki nokta karşılık gelir M 0(X, sen). Eğer argüman X vermek artış D X, ardından bağımsız değişkenin yeni değeri X+D X yeni fonksiyon değerine karşılık gelir y+ D sen = F(X + D X). Eğrinin karşılık gelen noktası nokta olacaktır M 1(X+D X,sen+D sen). Bir sekant çizerseniz M 0M 1 ve j ile gösterilir eksenin pozitif yönü ile bir çaprazın oluşturduğu açı Öküz, şekilden hemen anlaşılıyor.
eğer şimdi D X sıfıra eğilimlidir, o zaman nokta M 1 eğri boyunca hareket ederek noktaya yaklaşır M 0 ve açı J D ile değişir X. Şu tarihte: Dx® 0 j açısı belirli bir a sınırına yönelir ve noktadan geçen düz çizgi M 0 ve x ekseninin pozitif yönü olan a açısına sahip bileşen istenen teğet olacaktır. Eğimi:
Buradan, F´( X) = tga
onlar. türev değeri F´( X) belirli bir bağımsız değişken değeri için X fonksiyonun grafiğine teğetin oluşturduğu açının tanjantına eşittir F(X) karşılık gelen noktada M 0(X,sen) pozitif eksen yönü ile Öküz.
Fonksiyonların türevlenebilirliği.
Tanım. Eğer fonksiyon sen = F(X) noktasında bir türevi vardır X = X 0 ise fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.
Türevi olan bir fonksiyonun sürekliliği. Teorem.
Eğer fonksiyon sen = F(X) bir noktada türevlenebilir X = X 0 ise bu noktada süreklidir.
Dolayısıyla fonksiyonun süreksizlik noktalarında türevi olamaz. Bunun tersi sonuç yanlıştır, yani. bir noktada olduğu gerçeğinden X = X 0 işlevi sen = F(X) sürekli olması bu noktada türevlenebilir olduğu anlamına gelmez. Örneğin, fonksiyon sen = |X| herkes için sürekli X(–Ґ x x = 0'ın türevi yoktur. Bu noktada grafiğe teğet yoktur. Sağ teğet ve sol teğet vardır ancak bunlar çakışmaz.
Türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili bazı teoremler. Türevin köklerine ilişkin teorem (Rolle teoremi). Eğer fonksiyon F(X) segment üzerinde süreklidir [A,B], bu segmentin tüm iç noktalarında ve uçlarında türevlenebilir X = A Ve X = B sıfıra gider ( F(A) = F(B) = 0), o zaman segmentin içinde [ A,B] en az bir nokta var X= İle, A c b, burada türev Fў( X) sıfıra gider, yani Fў( C) = 0.
Sonlu artış teoremi (Lagrange teoremi). Eğer fonksiyon F(X) aralığında süreklidir [ A, B] ve bu parçanın tüm iç noktalarında, ardından parçanın içinde türevlenebilir [ A, B] en az bir nokta var İle, A cb bu
F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).
İki fonksiyonun artışlarının oranına ilişkin teorem (Cauchy teoremi). Eğer F(X) Ve G(X) – segment üzerinde sürekli iki fonksiyon [A, B] ve bu segmentin tüm iç noktalarında türevlenebilir ve Gў( X) bu segmentin içinde herhangi bir yerde kaybolmaz, ardından segmentin içinde [ A, B] böyle bir nokta var X = İle, A cb bu
Çeşitli derecelerin türevleri.
Fonksiyona izin ver sen =F(X) belirli bir aralıkta türevlenebilirdir [ A, B] Türev değerler F ў( X), genel olarak konuşursak, bağlıdır X yani türev F ў( X) aynı zamanda bir fonksiyonudur X. Bu fonksiyonun türevini alırken, fonksiyonun ikinci türevini elde ederiz. F(X), belirtilen F ўў ( X).
Türev N- fonksiyonun sırası F(X) türevinin (birinci dereceden) türevi olarak adlandırılır N- 1- th ve sembolü ile gösterilir sen(N) = (sen(N– 1))ў.
Çeşitli siparişlerin diferansiyelleri.
Fonksiyon diferansiyeli sen = F(X), Nerede X– bağımsız değişken, evet ölmek = F ў( X)dx, bazı işlevler X, ama nereden X yalnızca ilk faktör bağlı olabilir F ў( X), ikinci faktör ( dx) bağımsız değişkenin artışıdır X ve bu değişkenin değerine bağlı değildir. Çünkü ölmek bir fonksiyon var X O zaman bu fonksiyonun diferansiyelini belirleyebiliriz. Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline, bu fonksiyonun ikinci diferansiyeli veya ikinci dereceden diferansiyeli denir ve şöyle gösterilir: D 2sen:
D(dx) = D 2sen = F ўў( X)(dx) 2 .
Diferansiyel N- birinci dereceden diferansiyelin birinci diferansiyeli denir N- 1- sıra:
d n y = D(d n–1sen) = F(N)(X)dx(N).
Kısmi türev.
Bir fonksiyon bir argümana değil birden fazla argümana bağlıysa x ben(Ben 1 ila 1 arasında değişir N,Ben= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), daha sonra diferansiyel hesaplamada, yalnızca bir argüman değiştiğinde birkaç değişkenli bir fonksiyonun değişim oranını karakterize eden kısmi türev kavramı tanıtılır, örneğin, x ben. göre 1. dereceden kısmi türev x ben sıradan bir türev olarak tanımlanır ve dışındaki tüm argümanların olduğu varsayılır. x ben, değerleri sabit tutun. Kısmi türevler için gösterim tanıtıldı
Bu şekilde tanımlanan 1. dereceden kısmi türevler (aynı argümanların fonksiyonları olarak) da kısmi türevlere sahip olabilir, bunlar ikinci dereceden kısmi türevlerdir, vb. Farklı argümanlardan alınan bu tür türevlere karışık denir. Aynı mertebeden sürekli karışık türevler, türev alma sırasına bağlı değildir ve birbirine eşittir.
Anna Chugainova
Türev işlevler bir noktada, sıfıra yönelmesi koşuluyla, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.
Türevi bulmanın temel kuralları
Eğer - ve - noktada türevlenebilir fonksiyonlarsa (yani noktada türevleri olan fonksiyonlar), o zaman:
4) 
.
Temel fonksiyonların türevleri tablosu
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Farklılaşma kuralı karmaşık fonksiyon. Eğer ve ise, yani , nerede ve türevleri var, o zaman
Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun farklılaşması. Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığının parametre aracılığıyla parametrik olarak belirtilmesine izin verin:
Görev 3. Bu fonksiyonların türevlerini bulun.
1) 
Çözüm. Türevleri bulmak için kural 2'yi ve türev tablosunun formül 1 ve 2'sini uygulayarak şunu elde ederiz:
Çözüm. Türevleri bulmak için kural 4'ü ve türevler tablosunun formül 1 ve 13'ünü uygulayarak şunu elde ederiz:
.
Çözüm. Türevleri bulmak için kural 3'ü ve türev tablosunun 5 ve 11 numaralı formüllerini uygulayarak şunu elde ederiz:
Çözüm. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma formülüne göre şunu elde ettiğimizi varsayalım:
Çözüm. Elimizde: Daha sonra, parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulma formülüne göre şunu elde ederiz:
4. Yüksek mertebeden türevler. L'Hopital'in kuralı.
Fonksiyonun ikinci dereceden türevi türevinin türevi denir, yani . İkinci türev için aşağıdaki gösterimler kullanılır: veya , veya .
Fonksiyonun 1. dereceden türevi th mertebeden türevinin türevi denir. İkinci dereceden türev için aşağıdaki gösterimler kullanılır: veya , veya .
L'Hopital kuralı. Fonksiyonlar ve noktasının komşuluğunda türevlenebilir olsun ve türev kaybolmaz. Eğer ve fonksiyonları aynı anda sonsuz küçük veya sonsuz büyükse ve oranın da bir limiti varsa, o zaman oranın da bir limiti vardır. Dahası
.
Kural şu durumlarda da geçerlidir.
Bazı durumlarda, türdeki belirsizliklerin açıklanmasının L'Hopital kuralının tekrar tekrar uygulanmasını gerektirebileceğini unutmayın.
Tür belirsizlikleri vb. temel dönüşümlerin yardımıyla kolayca veya şeklindeki belirsizliklere indirgenebilirler.
Görev 4. L'Hopital kuralını kullanarak limiti bulun.
Çözüm Burada formun belirsizliği var çünkü . L'Hopital kuralını uygulayalım:
.
L'Hopital kuralını uyguladıktan sonra tekrar formun belirsizliğini elde ettik çünkü . L'Hopital kuralını tekrar uygularsak şunu elde ederiz:
.
5. Fonksiyon çalışması
a) Artan ve azalan fonksiyonlar
Fonksiyon çağrılır artan segmentte , eğer herhangi bir nokta için ve segmentten itibaren eşitsizlik geçerliyse. Bir fonksiyon bir aralıkta ve için sürekli ise bu aralıkta artar.
Fonksiyon çağrılır azalan segmentte , eğer herhangi bir nokta için ve segmentten itibaren eşitsizlik geçerliyse. Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise aralıkta azalır.
Bir fonksiyon belirli bir aralıkta sadece artıyor ya da sadece azalıyorsa fonksiyon denir. monoton aralıkta.
b) Fonksiyonların ekstremumları
minimum puan işlevler .
Eğer noktanın -komşuluğu varsa öyle ki bu komşuluktaki tüm noktalar için eşitsizlik geçerliyse, o zaman noktaya denir maksimum nokta işlevler .
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına denir ekstrem noktalar.
Nokta denir sabit nokta, varsa veya yoksa.
Eğer for ve for şeklinde sabit bir noktanın -komşuluğu varsa, o zaman fonksiyonun maksimum noktası olur.
For ve for şeklinde sabit bir noktanın -komşuluğu varsa, o zaman fonksiyonun -minimum noktası olur.
A) Dışbükey yön. Bükülme noktaları
yukarı dışbükey aralıkta , bu aralığın herhangi bir noktasında fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin altında yer alıyorsa.
Bir fonksiyonun grafiğinin bir aralıkta yukarıya doğru dışbükey olması için yeterli koşul, dikkate alınan aralıklardan herhangi biri için eşitsizliğin sağlanmasıdır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun grafiğine denir aşağı dışbükey aralıkta , bu aralığın herhangi bir noktasında fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin üzerinde yer alıyorsa.
Bir aralıktaki bir fonksiyonun grafiğinin aşağı doğru dışbükey olması için yeterli koşul, dikkate alınan aralıklardan herhangi biri için eşitsizliğin sağlanmasıdır.
Bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik yönünün değiştiği noktaya denir. dönüm noktası.
Var olan veya olmayan bir nokta, eğer sağındaki ve solundaki işaretler farklı ise, dönüm noktasının apsisidir.
d) Asimptotlar
Bir fonksiyonun grafiğindeki bir noktadan belli bir doğruya olan uzaklık, nokta orijinden sonsuza kadar uzaklaştıkça sıfıra yaklaşıyorsa bu doğruya denir. fonksiyonun grafiğinin asimptotu.
Öyle bir sayı varsa, o zaman satır dikey asimptot.
Sınırlar varsa 
, o zaman çizgi eğik (k=0'da yatay) asimptot.
e) Fonksiyonun genel incelenmesi
1. İşlev alanı
2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları
3. Bir fonksiyonun süreklilik, çift/tek ve periyodiklik açısından incelenmesi
4. Bir fonksiyonun monotonluk aralıkları
5. Fonksiyonun ekstremum noktaları
6. Bir fonksiyon grafiğinin dışbükeylik aralıkları ve bükülme noktaları
7. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları
8. Fonksiyon grafiği.
Görev 5. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.
Çözüm. 1) Fonksiyon, kesrin paydasının sıfıra gittiği nokta hariç, sayı doğrusunda tanımlanır. . Elimizde: bu fonksiyonun tanım alanına ait değil. Sonuç olarak bu fonksiyonun durağan noktaları minimum değere sahip noktalardır (şekilde gösterildiği gibi).
8) Elde edilen verileri kullanarak orijinal fonksiyonun grafiğini oluşturalım:
