“Fiziksel büyüklüklerin ölçü birimleri” - Mutlak hata, ölçüm cihazının bölme değerinin yarısına eşittir. Mikrometre. Sonuç doğrudan ölçüm cihazı kullanılarak elde edilir. Kutu uzunluğu: Açıklığıyla 4 cm, fazlalığıyla 5 cm. Her biri için fiziksel miktar karşılık gelen ölçü birimleri vardır. Kol saati. Göreceli hata.
“Uzunluk değerleri” - 2. Hangi nicelikler birbiriyle karşılaştırılabilir: 2. Aşağıdaki problemin neden toplama kullanılarak çözüldüğünü açıklayın: 2. Sorunu çözerken eylem seçimini gerekçelendirin. Kaç paket aldınız? Bu kutulardan üçünde kaç kalem var? Elbiseler 12 m kumaştan, her biri 4 m kullanılarak yapılmıştır. Kaç elbise yapılmıştır?
“Fiziksel nicelikler” - Fiziği ve diğerlerini ayıran sınırlar doğa bilimleri, tarihsel olarak koşullu. Herhangi bir ölçümün sonucu her zaman bir miktar hata içerir. Yeni konu. Hız. Bedenlerin etkileşimi. Fiziksel yasalar matematik dilinde ifade edilen niceliksel ilişkiler biçiminde sunulur. Ölçüm hatası.
1.sınıf matematik dersi “Bir niceliğin ölçülmesi sonucu sayı” - “Bir niceliğin ölçülmesi sonucu sayı”. Bir ölçüm çubuğu kullanarak bir parçanın uzunluğunu ölçmek.
“Sayılar ve nicelikler” - Kütle kavramına giriş. Kütlelerin ölçüm yapılmadan karşılaştırılması. Roma yazılı numaralandırma. Kapasite. Öğrenci şunları öğrenecektir: Sayılar ve nicelikler (30 saat) Koordinat ışını Koordinat ışını kavramı. 2.sınıf “Sayılar ve Nicelikler” bölümü için planlanan konu sonuçları. Genel prensipçalışılan sayıların sınırları dahilinde kardinal sayıların oluşumu.
“Talep miktarı” - Talepteki değişikliklerin nedenleri. Grafikte elde edilen DD eğrisine (İngilizce talepten - “talep”) talep eğrisi denir. Esnek talep (Epd>1). Talep miktarı. Talebi etkileyen faktörler. Talep edilen miktarın fiyat düzeyine bağımlılığına talep ölçeği denir. Kesinlikle esnek olmayan talep (Epd=0).
Matematiksel beklenti. Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken X sonlu sayıda değer alarak XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:
Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):
(6B)
Yanlış integral (6 B) kesinlikle yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylerler) M(X) mevcut değil). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.
Matematiksel beklentinin özellikleri:
Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:
Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:
(9)
Burada M = M(X).
Dispersiyon özellikleri:
Standart sapma:
(11)
Standart sapma rastgele bir değişkenle aynı boyuta sahip olduğundan, varyanstan ziyade dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları daha fazlasının özel durumlarıdır. genel konsept sayısal özellikler için rastgele değişkenler – dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:
(12)
Birinci dereceden başlangıç momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:
(13)
Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M denir merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:
(14)
(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar:
Merkezi momentler, sabit bir değerle kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:
Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:
(17)
değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü derecenin merkezi momenti sıfıra eşit olacaktır (tek sıraların tüm merkezi momentleri gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:
(18)
Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol taraftaki asimetriyi gösterir (Şekil 2).
Pirinç. 2. Dağıtım asimetrisi türleri.
Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:
(19)
sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı, eğriye göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (sivrilik) derecesini belirler normal dağılım. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:
(20)
Şek. Şekil 3'te farklı basıklık değerlerine sahip dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, tepesi daha düz olanların ise negatif basıklığı vardır.
Pirinç. 3. Değişen diklik derecelerine (basıklık) sahip dağılım eğrileri.
Yüksek dereceli momentler genellikle matematiksel istatistiğin mühendislik uygulamalarında kullanılmaz.
Moda
ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal, yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.
Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.
Birçok pratik problemi çözerken, bir rastgele değişkeni tamamen karakterize etmek, yani dağıtım yasalarını belirlemek her zaman gerekli değildir. Ek olarak, ayrık bir rastgele değişken için bir fonksiyon veya bir dizi dağılım ve sürekli bir rastgele değişken için yoğunluk oluşturmak zahmetli ve gereksizdir.
Bazen dağılımın özelliklerini kısmen karakterize eden bireysel sayısal parametreleri belirtmek yeterlidir. Olası değerinin gruplandırıldığı her rastgele değişkenin ortalama değerini veya bu değerlerin ortalamaya göre dağılım derecesini vb. bilmek gerekir.
Dağılımın en önemli özelliklerinin özelliklerine sayısal özellikler denir. rastgele değişken. Onların yardımıyla, birçok olasılıksal problemi onlar için dağıtım yasalarını tanımlamadan çözmek daha kolaydır.
Bir rastgele değişkenin sayı eksenindeki konumunun en önemli özelliği matematiksel beklenti M[X]= a, buna bazen rastgele değişkenin ortalaması denir. İçin ayrık rastgele değişken X ile olası değerler X 1 , X 2 , … , xn ve olasılıklar P 1 , P 2 ,… , pn formülle belirlenir
=1 olduğunu düşünürsek yazabiliriz.
Böylece, matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.Çok sayıda deneyle, bir rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır.
İçin sürekli rastgele değişken X Matematiksel beklenti toplamla değil, integral
Nerede F(X) - miktar dağılım yoğunluğu X.
Tüm rastgele değişkenler için matematiksel beklenti mevcut değildir. Bazıları için toplam veya integral ıraksaktır ve bu nedenle matematiksel bir beklenti yoktur. Bu durumlarda doğruluk nedeniyle rastgele değişkendeki olası değişikliklerin aralığı sınırlandırılmalıdır. X, bunun için toplam veya integral yakınlaşacaktır.
Uygulamada, rastgele bir değişkenin konumunun mod ve medyan gibi özellikleri de kullanılır.
Rastgele değişken moduen olası değerine denir. Genel olarak mod ve matematiksel beklenti örtüşmemektedir.
Rastgele bir değişkenin medyanıX, rastgele değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerinin elde edilmesinin eşit derecede muhtemel olduğu göreli değeridir yani bu, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir. Simetrik bir dağılım için üç özelliğin tümü aynıdır.
Matematiksel beklenti, mod ve medyana ek olarak olasılık teorisinde her biri dağılımın belirli bir özelliğini tanımlayan başka özellikler de kullanılır. Örneğin, bir rastgele değişkenin dağılımını karakterize eden, yani olası değerlerinin matematiksel beklenti etrafında ne kadar yakından gruplandığını gösteren sayısal özellikler dağılım ve standart sapmadır. Pratikte genellikle eşit matematiksel beklentilere sahip ancak farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler olduğundan, bunlar rastgele değişkeni önemli ölçüde tamamlar. Dağılım özelliklerini belirlerken rastgele değişken arasındaki farkı kullanın. X ve matematiksel beklentisi, yani.
Nerede A = M[X] - matematiksel beklenti.
Bu farka denir merkezli rastgele değişken, karşılık gelen değer X, ve belirlenmiş :
Rastgele bir değişkenin varyansı bir değerin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani:
D[ X]=M[( X-a) 2 ] veya
D[ X]=M[ 2 ].
Rastgele bir değişkenin dağılımı, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki dağılımının ve saçılımının uygun bir özelliğidir. Ancak bir rastgele değişkenin karesi boyutunda olduğundan net değildir.
Dağılımı görsel olarak karakterize etmek için boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşen bir değer kullanmak daha uygundur. Bu miktar standart sapma varyansının pozitif karekökü olan rastgele değişken.
Beklenti, mod, medyan, varyans, standart sapma - rastgele değişkenlerin en sık kullanılan sayısal özellikleri. Pratik problemleri çözerken, dağıtım yasasını belirlemek imkansız olduğunda, rastgele bir değişkenin yaklaşık bir açıklaması, dağılımın bazı özelliklerini ifade eden sayısal özellikleridir.
Merkezin dağılımının (matematiksel beklenti) ve dağılımın (dağılım) ana özelliklerine ek olarak, genellikle dağılımın diğer önemli özelliklerini tanımlamak gerekir - simetri Ve sivrilik, dağıtım momentleri kullanılarak temsil edilebilir.
Bir rastgele değişkenin dağılımı, eğer tüm momentleri biliniyorsa tamamen belirlenmiş demektir. Bununla birlikte, birçok dağılım, yalnızca dağılımları açıklayan parametreler değil, aynı zamanda ampirik dağılımların seçiminde de önemli olan ilk dört moment kullanılarak tamamen tanımlanabilir. istatistiksel seri ve özel grafikler kullanarak dağıtım yasasını belirleyebilirsiniz.
Olasılık teorisinde iki tür moment ayırt edilir: başlangıç ve merkezi.
K. derecenin ilk anı rastgele değişken T miktarın matematiksel beklentisi denir Xk, yani.
Sonuç olarak, ayrık bir rastgele değişken için toplamla ifade edilir:
ve sürekli için – integrale göre
Rastgele değişkenin başlangıç anları arasında özel anlam matematiksel beklenti olan birinci dereceden bir momenti vardır. Daha yüksek dereceli başlangıç momentleri öncelikle merkezi momentleri hesaplamak için kullanılır.
K. derecenin merkezi anı Rastgele değişken değerin matematiksel beklentisidir ( X-M [X])k
Nerede A = M[X].
Ayrık bir rastgele değişken için toplamla ifade edilir
A sürekli için – integrale göre
Bir rastgele değişkenin merkezi momentleri arasında özellikle önemli olan ikinci dereceden merkezi moment, rastgele değişkenin varyansını temsil eder.
Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır.
Üçüncü başlangıç anı dağılımın asimetrisini (çarpıklığını) karakterize eder ve ayrık ve sürekli rastgele değişkenlere ilişkin gözlemlerin sonuçlarına dayanarak karşılık gelen ifadelerle belirlenir:
Rastgele bir değişkenin küpü boyutuna sahip olduğundan, boyutsuz bir karakteristik elde etmek için, m3 standart sapmanın üçüncü kuvvetine bölünür
Ortaya çıkan değere asimetri katsayısı denir ve işarete bağlı olarak pozitif ( Gibi> 0) veya negatif ( Gibi< 0) dağılımın çarpıklığı (Şekil 2.3).
71, Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri güvenilirlik göstergelerinin hesaplanmasında pratikte yaygın olarak kullanılır. Pek çok pratik konuda, bir rastgele değişkenin tam ve kapsamlı bir şekilde karakterize edilmesine gerek yoktur. Çoğunlukla, bir rastgele değişkenin dağılımının temel özelliklerini bir dereceye kadar karakterize eden yalnızca sayısal parametreleri belirtmek yeterlidir, örneğin: ortalama değer rastgele değişkenin olası değerlerinin gruplandırıldığı; rastgele bir değişkenin saçılımını karakterize eden bir sayı ortalama değere göre vb. Bir rastgele değişkenin en önemli özelliklerini sıkıştırılmış biçimde ifade etmeye izin veren sayısal parametrelere, bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir.
A) B)
Pirinç. 11 Matematiksel beklentinin tanımı
Güvenilirlik teorisinde kullanılan rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri Tablo'da verilmiştir. 1.
72,Matematiksel beklenti Olası değerleri aralığa ait olan sürekli bir rastgele değişkenin (ortalama değeri) 
, temsil etmek belirli integral(Şek., 11, B)
. (26)
Matematiksel beklenti, integral fonksiyonunun tamamlayıcısı aracılığıyla ifade edilebilir. Bunu yapmak için (11)'i (26)'da değiştiririz ve elde edilen ifadeyi parçalara ayırırız
, (27)
Çünkü 
Ve 
, O
. (28)
Olası değerleri aralığa ait olan, negatif olmayan rastgele değişkenler için , formül (28) şu formu alır
. (29)
yani, olası değerleri aralığa ait olan, negatif olmayan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi , sayısal olarak integral fonksiyonunun tamamlayıcısının grafiğinin altındaki alana eşittir (Şekil 11, A).
73, İstatistiksel bilgilere göre ilk arızaya kadar geçen ortalama süre formülle belirlenir
, (30)
ilk başarısızlığın zamanı nerede Ben-inci nesne; N- test edilen nesnelerin sayısı.
Ortalama kaynak, ortalama hizmet ömrü, ortalama iyileşme süresi ve ortalama raf ömrü de benzer şekilde belirlenir.
74, Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi etrafındaki dağılımı kullanılarak değerlendirildi standart sapma varyansı(RMS) ve varyasyon katsayısı.
Sürekli bir rastgele değişken X'in varyansı, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
. (31)
Dağılım karesel rastgele değişken boyutuna sahiptir ve bu her zaman uygun değildir.
75, Standart sapma rastgele değişken karekök varyanstan ve rastgele bir değişkenin boyutuna sahiptir
. (32)
76, Değişim katsayısı rastgele bir değişkenin dağılımının göreceli bir göstergesidir ve standart sapmanın oranı olarak tanımlanır. matematiksel beklenti
. (33)
77, Gama - rastgele bir değişkenin yüzde değeri- belirli bir olasılığa karşılık gelen rastgele değişkenin değeri 
Rastgele değişkenin bundan daha büyük bir değer alacağı,
. (34)
78. Gama - rastgele bir değişkenin yüzde değeri integral fonksiyonu, tamamlayıcısı ve diferansiyel fonksiyonu ile belirlenebilir (Şekil 12). Rastgele bir değişkenin gama yüzde değeri bir olasılık yüzdesidir (Şekil 12, A)
. (35)
Güvenilirlik teorisinin kullanım alanları Kaynağın gama yüzde değeri, hizmet ömrü ve raf ömrü(Tablo 1). Gama yüzdesi kaynak, hizmet ömrü, raf ömrü, belirli bir türdeki nesnelerin yüzdesine sahip olan (ve bu yüzdeyi aşan).
A) B)
Şekil 12 Rastgele bir değişkenin gama yüzde değerinin belirlenmesi
Gama yüzdesi kaynağı karakterize eder dayanıklılık seçilen seviyede 
tahrip edilmeme olasılığı. Gama yüzdesi kaynağı nesnelerin sorumluluğu dikkate alınarak atanır. Örneğin, makaralı rulmanlar için çoğunlukla yüzde 90'lık bir hizmet ömrü kullanılır; en kritik nesnelerin rulmanları için yüzde 95'lik bir hizmet ömrü seçilir ve arızanın insan hayatı için tehlikeli olması durumunda bu süre yüzde 100'e yaklaşır. .
79,Rastgele değişkenin medyanı gama yüzde değeri 
. Medyan için 
rastgele değişkenin olması eşit derecede muhtemeldir T ondan daha fazla veya daha az, yani.
Geometrik olarak medyan, integral dağılım fonksiyonunun ve tamamlayıcısının kesişme noktasının apsisidir (Şekil 12, B). Medyan, diferansiyel fonksiyonun ordinatının dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanı ikiye böldüğü noktanın apsisi olarak yorumlanabilir (Şekil 12, V).
Rastgele bir değişkenin medyanı, güvenilirlik teorisinde kaynağın, hizmet ömrünün ve raf ömrünün sayısal bir özelliği olarak kullanılır (Tablo 1).
Nesnelerin güvenilirlik göstergeleri arasında işlevsel bir bağlantı vardır. Fonksiyonlardan birinin bilgisi 
diğer güvenilirlik göstergelerini belirlemenizi sağlar. Güvenilirlik göstergeleri arasındaki ilişkilerin bir özeti Tablo'da verilmektedir. 2.
Tablo 2. Güvenilirlik göstergeleri arasındaki işlevsel ilişki