MATEMATİKTE BİR NOKTADAN DÜZLEME UZAKLIĞI BULMAK İÇİN TEKDÜZEN DURUM SINAVININ SORUNLARI C2
Kulikova Anastasia Yurievna
Matematik Bölümü 5.sınıf öğrencisi. analiz, cebir ve geometri EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga
Ganeeva Aigul Rifovna
bilimsel danışman, Ph.D. ped. Bilimler, Doçent EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga
İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavı atamaları matematikte son yıllar Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak için problemler ortaya çıkıyor. Bu makalede, bir problem örneğini kullanarak, bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak için çeşitli yöntemler ele alınmaktadır. Çeşitli problemleri çözmek için en uygun yöntem kullanılabilir. Bir yöntemi kullanarak sorunu çözdükten sonra başka bir yöntemi kullanarak sonucun doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.
Tanım. Bir noktadan bu noktayı içermeyen bir düzleme olan mesafe, bu noktadan belirli bir düzleme çizilen dik parçanın uzunluğudur.
Görev. Dikdörtgen paralelyüz verildiğinde ABİLED.A. 1 B 1 C 1 D 1 kenarlı AB=2, M.Ö.=4, A.A. 1 =6. Noktaya olan mesafeyi bulun D uçağa klimaD 1 .
1 yol. Kullanma tanım. Uzaklığı bulun r( D, klimaD 1) noktadan D uçağa klimaD 1 (Şekil 1).
Şekil 1. İlk yöntem
Hadi gerçekleştirelim D.H.⊥klima bu nedenle üç dik teoremi ile D 1 H⊥klima Ve (GG 1 H)⊥klima. Hadi gerçekleştirelim doğrudan D.T. dik D 1 H. Dümdüz D.T. bir uçakta yatıyor GG 1 H, buradan D.T.⊥AC. Buradan, D.T.⊥klimaD 1.
ADC hadi hipotenüsü bulalım klima ve yükseklik D.H.
Bir dik üçgenden D 1 D.H. hipotenüsü bulalım D 1 H ve yükseklik D.T.
Cevap: .
Yöntem 2.Hacim yöntemi (yardımcı piramidin kullanımı). Bu tür bir problem, piramidin yüksekliğinin bir noktadan bir düzleme gerekli mesafe olduğu bir piramidin yüksekliğinin hesaplanması problemine indirgenebilir. Bu yüksekliğin gerekli mesafe olduğunu kanıtlayın; Bu piramidin hacmini iki şekilde bulun ve bu yüksekliği ifade edin.
Bu yöntemle belirli bir noktadan belirli bir düzleme dik bir çizgi oluşturmaya gerek olmadığını unutmayın.
Küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan paralel yüzlü bir cisimdir.
AB=CD=2, M.Ö.=Reklam=4, A.A. 1 =6.
Gerekli mesafe yükseklik olacaktır H piramitler AKD 1 D, üstten indirildi D tabanda AKD 1 (Şek. 2).
Piramidin hacmini hesaplayalım AKD 1 D iki şekilde.
Hesaplarken ilk olarak ∆'yi baz alıyoruz AKD 1 o zaman
İkinci şekilde hesaplama yaparken ∆'yi baz alıyoruz AKD, Daha sonra
Son iki eşitliğin sağ taraflarını eşitleyelim ve şunu elde edelim:
Şekil 2. İkinci yöntem
İtibaren dik üçgenler klimaD, EKLEMEK 1 , CDD 1 Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulun
AKD
Üçgenin alanını hesaplayın klimaD 1 Heron formülünü kullanarak
Cevap: .
3 yollu. Koordinat yöntemi.
Bir puan verilsin M(X 0 ,sen 0 ,z 0) ve düzlem α denklem tarafından verilen balta+ile+cz+D=0 dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde. Noktadan uzaklık Mα düzlemine göre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Bir koordinat sistemi tanıtalım (Şekil 3). Bir noktadaki koordinatların kökeni İÇİNDE;
Dümdüz AB- eksen X, dümdüz Güneş- eksen sen, dümdüz BB 1 eksen z.
Şekil 3. Üçüncü yöntem
B(0,0,0), A(2,0,0), İLE(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
İzin vermek Ax+ile+ cz+ D=0 – düzlem denklemi AKD 1. Noktaların koordinatlarını yerine koymak A, C, D 1 şunu elde ederiz:
Düzlem denklemi AKD 1 formunu alacak
Cevap: .
4 yollu. Vektör yöntemi.
Temeli tanıtalım (Şekil 4), .
Şekil 4. Dördüncü yöntem
, Yarışma "Ders Sunumu"
Sınıf: 11
Ders için sunum
Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Hedefler:
- öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi;
- analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.
Teçhizat:
- multimedya projektörü;
- bilgisayar;
- sorunlu metinlerin bulunduğu sayfalar
SINIFIN İLERLEMESİ
I. Organizasyon anı
II. Bilgi güncelleme aşaması(slayt 2)
Bir noktadan düzleme olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrarlıyoruz
III. Ders(3-15 arası slaytlar)
Bu derste bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmanın çeşitli yollarına bakacağız.
İlk yöntem: adım adım hesaplamalı
M noktasından α düzlemine olan mesafe:
- M noktasından geçen ve a düzlemine paralel olan, düz bir a çizgisi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşit;
– M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan β düzlemi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir.
Aşağıdaki sorunları çözeceğiz:
№1. A...D 1 küpünde, C 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.
O 1 N segmentinin uzunluğunun değerini hesaplamak için kalır.
№2. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir altıgen A...F 1 prizmasında, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.
Sonraki yöntem: hacim yöntemi.
ABCM piramidinin hacmi V'ye eşitse, M noktasından ∆ABC'yi içeren α düzlemine olan mesafe ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = formülüyle hesaplanır.
Problemleri çözerken, bir rakamın iki farklı şekilde ifade edilen hacimlerinin eşitliğini kullanırız.
Aşağıdaki problemi çözelim:
№3. DABC piramidinin AD kenarı ABC taban düzlemine diktir. Eğer A'dan AB, AC ve AD kenarlarının orta noktalarından geçen düzleme olan mesafeyi bulun.
Sorunları çözerken koordinat yöntemi M noktasından α düzlemine olan mesafe, ρ(M; α) = formülü kullanılarak hesaplanabilir. 
, burada M(x 0; y 0; z 0) ve düzlem ax + by + cz + d = 0 denklemiyle verilir
Aşağıdaki problemi çözelim:
№4. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.
Başlangıç noktası A noktası olan bir koordinat sistemi tanıtalım; y ekseni AB kenarı boyunca, x ekseni AD kenarı boyunca, z ekseni AA 1 kenarı boyunca geçecektir. Daha sonra B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) noktalarının koordinatları
B, D, C 1 noktalarından geçen bir düzlem için denklem oluşturalım.
O zaman – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dolayısıyla ρ = 
Bu tür problemleri çözmek için kullanılabilecek aşağıdaki yöntem: Destek problemlerinin yöntemi.
Bu yöntemin uygulanması, teoremler halinde formüle edilen bilinen referans problemlerinin kullanılmasından oluşur.
Aşağıdaki problemi çözelim:
№5. Birim küp A...D 1'de, D 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.
Başvuruyu değerlendirelim vektör yöntemi.
№6. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.
Bu tür sorunları çözmek için kullanılabilecek çeşitli yöntemlere baktık. Bir yöntemin veya diğerinin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.
IV. Grup çalışması
Sorunu farklı şekillerde çözmeye çalışın.
№1. A...D 1 küpünün kenarı eşittir. C köşesinden BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.
№2. Bir kenarı olan normal dört yüzlü ABCD'de, A noktasından BDC düzlemine olan mesafeyi bulun.
№3. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, A'dan BCA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.
№4. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.
V. Ders özeti, Ev ödevi, refleks
Belirli bir π düzlemini ve uzayda keyfi bir M 0 noktasını ele alalım. Hadi uçağı seçelim birim normal vektör ile başlangıç bir M 1 ∈ π noktasında ve p(M 0 ,π) M 0 noktasından π düzlemine olan mesafe olsun. Sonra (Şekil 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
|n|'den beri = 1.
π düzlemi verilirse genel denklemi ile dikdörtgen koordinat sistemi Ax + By + Cz + D = 0 ise normal vektörü koordinatları (A; B; C) olan vektördür ve şunu seçebiliriz:
(x 0 ; y 0 ; z 0) ve (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 ve M 1 noktalarının koordinatları olsun. O zaman Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 eşitliği sağlanır, çünkü M 1 noktası düzleme aittir ve M 1 M 0 vektörünün koordinatları bulunabilir: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Kayıt nokta çarpım nM 1 M 0 koordinat formunda ve (5.8) dönüşümüyle elde ederiz
Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D olduğundan, bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamak için noktanın koordinatlarını yerine koymanız gerekir. genel denklem düzlemi seçin ve ardından sonucun mutlak değerini, karşılık gelen normal vektörün uzunluğuna eşit bir normalleştirme faktörüne bölün.