Matematikte, bir şekilde organize edilmiş, birbirini takip eden sayıların toplamına dizi denir. Mevcut tüm sayı dizileri arasında iki ilginç durum ayırt edilir: cebirsel ve geometrik ilerlemeler.
Aritmetik ilerleme nedir?
Cebirsel ilerlemenin genellikle aritmetik olarak adlandırıldığı hemen söylenmelidir, çünkü özellikleri matematik dalı - aritmetik tarafından incelenmektedir.
Bu ilerleme, her bir sonraki üyenin bir öncekinden belirli bir sabit sayı kadar farklı olduğu bir sayı dizisidir. Buna cebirsel ilerlemenin farkı denir. Kesinlik açısından bunu Latin harfi d ile belirtiyoruz.
Böyle bir diziye örnek şu olabilir: 3, 5, 7, 9, 11 ..., burada 5 sayısının 3'e 2'den büyük olduğunu, 7'nin 5'e 2'den büyük olduğunu ve 7'nin 5'e 2'den büyük olduğunu görebilirsiniz. yakında. Dolayısıyla sunulan örnekte d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Aritmetik ilerleme türleri nelerdir?
Bu sıralı sayı dizilerinin doğası büyük ölçüde d sayısının işaretiyle belirlenir. Aşağıdaki cebirsel ilerleme türleri ayırt edilir:
- d pozitif olduğunda artar (d>0);
- d = 0 olduğunda sabit;
- d negatif olduğunda azalan (d<0).
Önceki paragrafta verilen örnek artan bir ilerlemeyi göstermektedir. Azalan bir diziye örnek olarak aşağıdaki sayı dizisi verilebilir: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Tanımından da anlaşılacağı gibi sabit bir ilerleme, aynı sayıların bir koleksiyonudur.
ilerlemenin n'inci dönemi
Söz konusu ilerlemedeki her bir sonraki sayının bir öncekinden sabit bir d kadar farklı olması nedeniyle, n'inci terimi kolaylıkla belirlenebilir. Bunu yapmak için sadece d'yi değil aynı zamanda ilerlemenin ilk terimi olan 1'i de bilmeniz gerekir. Özyinelemeli bir yaklaşım kullanarak, n'inci terimi bulmak için cebirsel ilerleme formülü elde edilebilir. Şuna benzer: a n = a 1 + (n-1)*d. Bu formül oldukça basittir ve sezgisel olarak anlaşılabilir.
Kullanımı da zor değil. Örneğin yukarıda verilen dizilimde (d=2, a 1=3) 35. terimini tanımlıyoruz. Formüle göre şuna eşit olacaktır: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Tutar formülü
Bir aritmetik ilerleme verildiğinde, n'inci terimin değerinin belirlenmesinin yanı sıra ilk n teriminin toplamının alınması da sıklıkla karşılaşılan bir problemdir. Cebirsel ilerlemenin toplamına ilişkin formül şu biçimde yazılmıştır: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, burada ∑ n 1 sembolü 1'den n'ye kadar olan terimlerin toplandığını gösterir.
Yukarıdaki ifade aynı yinelemenin özelliklerine başvurularak elde edilebilir ancak geçerliliğini kanıtlamanın daha kolay bir yolu vardır. Bu toplamın ilk 2 ve son 2 terimini a 1, a n ve d sayılarıyla ifade ederek yazalım ve elde ederiz: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Şimdi, ilk terimi sonuncuya eklerseniz, ikinci ve sondan bir önceki terimlerin toplamına tam olarak eşit olacağını, yani a 1 +a n olacağını unutmayın. Benzer şekilde, üçüncü ve sondan bir önceki terimlerin eklenmesiyle aynı toplamın elde edilebileceği gösterilebilir. Dizide bir sayı çifti olması durumunda, her biri 1 +a n'ye eşit olan n/2 toplam elde ederiz. Yani, toplam için yukarıdaki cebirsel ilerleme formülünü elde ederiz: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Eşlenmemiş sayıda n terimi için, açıklanan mantığı izlerseniz benzer bir formül elde edilir. İlerlemenin merkezinde yer alan kalan terimi eklemeyi unutmayın.
Yukarıda tanıtılan basit ilerleme örneğini kullanarak yukarıdaki formülün nasıl kullanılacağını gösterelim (3, 5, 7, 9, 11 ...). Mesela ilk 15 teriminin toplamını belirlemek gerekiyor. Öncelikle 15'i tanımlayalım. N'inci terimin formülünü kullanarak (önceki paragrafa bakın) şunu elde ederiz: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Şimdi formülü şu şekilde uygulayabiliriz: cebirsel ilerlemenin toplamı: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
İlginç bir tarihsel gerçeğe değinmek ilginç. Aritmetik ilerlemenin toplamının formülü ilk olarak Carl Gauss (18. yüzyılın ünlü Alman matematikçisi) tarafından elde edildi. Henüz 10 yaşındayken öğretmeni ondan 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmasını istedi. Küçük Gauss'un bu problemi birkaç saniye içinde çözdüğünü, sayıları dizinin başından ve sonundan toplayarak fark ettiğini söylüyorlar. Çiftler halinde her zaman 101 elde edebilirsiniz ve bunun gibi 50 toplam olduğu için hemen cevabı verdi: 50*101 = 5050.
Sorun çözümü örneği
Cebirsel ilerleme konusunu tamamlamak için, başka bir ilginç problemin çözümüne ilişkin bir örnek vereceğiz, böylece söz konusu konunun anlaşılmasını güçlendireceğiz. d = -3 farkının ve bunun 35. terimi a 35 = -114'ün bilindiği belirli bir ilerleme verilsin. İlerlemenin 7. terimini a 7 bulmak gerekir.
Problemin koşullarından da anlaşılacağı üzere a 1'in değeri bilinmediğinden n'inci terim için formülün doğrudan kullanılması mümkün olmayacaktır. Özyineleme yöntemi de elverişsizdir, manuel olarak uygulanması zordur ve hata yapma olasılığı yüksektir. Şu şekilde ilerleyelim: a 7 ve a 35'in formüllerini yazarsak elimizde: a 7 = a 1 + 6*d ve a 35 = a 1 + 34*d olur. İkinci ifadeyi ilk ifadeden çıkardığımızda şunu elde ederiz: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Şu şekildedir: a 7 = a 35 - 28*d. Geriye problem tanımındaki bilinen verileri değiştirmek ve cevabı yazmak kalıyor: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Geometrik ilerleme
Makalenin konusunu daha ayrıntılı olarak ortaya çıkarmak için, başka bir ilerleme türünün - geometrik - kısa bir tanımını sunuyoruz. Matematikte bu ad, sonraki her terimin bir öncekinden belirli bir faktörle farklı olduğu bir sayı dizisi olarak anlaşılır. Bu faktörü r harfiyle gösterelim. Söz konusu ilerleme türünün paydası denir. Bu sayı dizisinin bir örneği şöyle olabilir: 1, 5, 25, 125, ...
Yukarıdaki tanımdan da görülebileceği gibi cebirsel ve geometrik ilerlemeler fikir olarak benzerdir. Aralarındaki fark, birincisinin ikinciye göre daha yavaş değişmesidir.
Geometrik ilerleme aynı zamanda artan, sabit veya azalan da olabilir. Türü r paydasının değerine bağlıdır: r>1 ise artan bir ilerleme vardır, r ise<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Geometrik ilerleme formülleri
Cebirde olduğu gibi, geometrik ilerlemenin formülleri, onun n'inci terimini ve n terimlerin toplamını belirlemeye indirgenir. Aşağıda bu ifadeler yer almaktadır:
- a n = a 1 *r (n-1) - bu formül geometrik ilerlemenin tanımından çıkar.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Eğer r = 1 ise yukarıdaki formül belirsizlik verir, dolayısıyla kullanılamaz. Bu durumda n terimin toplamı a 1 *n basit çarpımına eşit olacaktır.
Örneğin, 1, 5, 25, 125, ... dizisinin yalnızca 10 teriminin toplamını bulalım. a 1 = 1 ve r = 5 olduğunu bilerek şunu elde ederiz: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Ortaya çıkan değer, geometrik ilerlemenin ne kadar hızlı büyüdüğünü gösteren açık bir örnektir.
Belki de tarihteki bu ilerlemenin ilk sözü, padişahlardan birinin ona satranç oynamayı öğreten bir arkadaşının, hizmeti için tahıl istediği satranç tahtası efsanesidir. Dahası, tahıl miktarı şu şekilde olmalıydı: Satranç tahtasının ilk karesine bir tane, ikinci kareye birinci karenin iki katı, üçüncü kareye ikinci karenin iki katı kadar, vb. yerleştirilmelidir. . Padişah bu isteği yerine getirmeyi seve seve kabul etti ama sözünü tutmak için ülkesinin bütün çöplerini boşaltması gerekeceğini bilmiyordu.
Dikkat!
Ek var
içindeki malzemeler Özel bölüm 555.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.
Bu konu çoğu zaman karmaşık ve anlaşılmaz görünmektedir. Harflerin indeksleri, ilerlemenin n'inci terimi, ilerlemenin farkı - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet... Aritmetik ilerlemenin anlamını çözelim ve her şey hemen daha iyi hale gelecektir.)
Aritmetik ilerleme kavramı.
Aritmetik ilerleme çok basit ve açık bir kavramdır. Herhangi bir şüpheniz var mı? Boşuna.) Kendiniz görün.
Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu seriyi uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes... uh... kısacası herkes bundan sonra 6, 7, 8, 9 vb. sayıların geleceğini anlayacak.
Görevi karmaşıklaştıralım. Size bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Deseni yakalayabilecek, seriyi genişletebilecek ve isim verebileceksiniz. yedinci satır numarası?
Bu sayının 20 olduğunu fark ettiyseniz tebrikler! Sadece hissetmedin aritmetik ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Eğer çözemediyseniz okumaya devam edin.
Şimdi duyumlardaki önemli noktaları matematiğe çevirelim.)
İlk önemli nokta.
Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilidir. Bu ilk başta kafa karıştırıcıdır. Denklem çözmeye, grafik çizmeye falan alışığız... Ama burada seriyi genişletiyoruz, serinin numarasını buluyoruz...
Önemli değil. Sadece ilerlemeler matematiğin yeni bir dalıyla ilk tanışmadır. Bu bölüme "Seriler" adı verilir ve özellikle sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Buna alışın.)
İkinci önemli nokta.
Aritmetik ilerlemede her sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.
İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinin bir fazlasıdır. İkincisinde - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç fazladır. Aslında bize kalıbı kavrama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatını veren de bu andır.
Üçüncü önemli nokta.
Bu an çok çarpıcı değil evet... Ama çok ama çok önemli. İşte: Her ilerleme numarası yerindedir. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var vs. Bunları rastgele karıştırırsanız desen kaybolur. Aritmetik ilerleme de ortadan kalkacaktır. Geriye sadece bir dizi sayı kaldı.
Bütün mesele bu.
Elbette yeni bir konuda yeni terimler ve tanımlar ortaya çıkıyor. Onları bilmeniz gerekiyor. Aksi takdirde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermeniz gerekecek:
a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.
İlham verici mi?) Mektuplar, bazı dizinler... Ve bu arada, görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve tanımların anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve döneceğiz.
Terimler ve tanımlar.
Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.
Bu miktara denir . Bu konsepte daha detaylı bakalım.
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının ne kadar olduğu Dahaönceki.
Önemli bir nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme sayısının ekleyerekönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.
Hesaplamak için diyelim ki ikinci serinin numaraları, yapmanız gereken Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemedeki bu fark. Hesaplama için beşinci- fark gerekli eklemekİle dördüncü, peki vb.
Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif, o zaman serideki her sayının gerçek olduğu ortaya çıkacak öncekinden daha fazla. Bu ilerlemeye denir artan.Örneğin:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Burada her sayı elde edilir ekleyerek pozitif sayı, bir öncekine +5.
Fark olabilir negatif, o zaman serideki her sayı öncekinden daha az. Bu ilerlemeye denir (buna inanmayacaksınız!) azalıyor.
Örneğin:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Burada her sayı da elde edilir ekleyerek bir öncekine göre, ancak zaten negatif bir sayı, -5.
Bu arada, ilerlemeyle çalışırken, ister artıyor ister azalıyor olsun, doğasını hemen belirlemek çok faydalıdır. Bu, karar vermenize, hatalarınızı tespit etmenize ve çok geç olmadan bunları düzeltmenize çok yardımcı olur.
Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.
Nasıl bulunur? D? Çok basit. Serideki herhangi bir sayıdan çıkarma yapmak gerekir öncesi sayı. Çıkar. Bu arada çıkarma sonucuna "fark" denir.)
Örneğin şunu tanımlayalım: D aritmetik ilerlemeyi artırmak için:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Dizide istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz örneğin 11. Ondan çıkarıyoruz önceki numara onlar. 8:
Bu doğru cevaptır. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.
Alabilirsin herhangi bir ilerleme numarası,Çünkü belirli bir ilerleme için D-hep aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Yalnızca ilk sayıyı alamazsınız. Basitçe çünkü ilk sayı önceki yok.)
Bu arada bunu bilerek d=3 Bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleyelim - altıncıyı elde ederiz, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleyelim, yedinci sayıyı - yirmiyi elde ederiz.
Hadi tanımlayalım D azalan aritmetik ilerleme için:
8; 3; -2; -7; -12; .....
İşaretler ne olursa olsun, belirlemeniz gerektiğini size hatırlatırım. D herhangi bir numaradan lazım öncekini götür. Herhangi bir ilerleme numarasını seçin, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. Daha sonra:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, kesirli, irrasyonel, herhangi bir sayı.
Diğer terimler ve tanımlar.
Dizideki her sayıya denir aritmetik ilerlemenin üyesi.
İlerlemenin her üyesi kendi numarası vardır. Rakamlar hiçbir hile olmaksızın kesinlikle sıralıdır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14, ... diziliminde ilk terim iki, ikinci terim beş, dördüncü terim onbir, yani anlıyor musunuz...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendileri kesinlikle herhangi bir şey olabilir, bütün, kesirli, negatif, her ne olursa olsun, ama sayıların numaralandırılması- kesinlikle sırayla!
Genel biçimde bir ilerleme nasıl yazılır? Soru yok! Bir dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Aritmetik ilerlemeyi belirtmek için genellikle harf kullanılır A. Üye numarası sağ altta bir indeksle gösterilir. Terimleri virgülle (veya noktalı virgülle) ayırarak şu şekilde yazarız:
bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....
1- bu ilk sayı, 3- üçüncü vb. Süslü bir şey yok. Bu seriyi kısaca şu şekilde yazabiliriz: (BİR).
İlerlemeler oluyor sonlu ve sonsuz.
Nihai ilerlemenin sınırlı sayıda üyesi vardır. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama bu sonlu bir sayı.
Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)
Son ilerlemeyi bunun gibi bir seri aracılığıyla, tüm terimleri ve sonunda bir noktayı yazabilirsiniz:
1, 2, 3, 4, 5.
Veya çok sayıda üye varsa şöyle:
bir 1, bir 2,... bir 14, bir 15.
Kısa girişte ayrıca üye sayısını da belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:
(bir n), n = 20
Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.
Artık görevleri çözebilirsiniz. Görevler basit, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamaya yönelik.
Aritmetik ilerlemeyle ilgili görev örnekleri.
Yukarıda verilen göreve ayrıntılı olarak bakalım:
1. a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.
Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verilmiştir. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5.İlerleme farkı bilinmektedir: d = -2,5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı terimlerini bulmamız gerekiyor.
Netlik sağlamak için sorunun koşullarına göre bir dizi yazacağım. İkinci terimin beş olduğu ilk altı terim:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
3 = bir 2 + D
İfadeye ikame bir 2 = 5 Ve d = -2,5. Eksileri unutma!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Üçüncü terimin ikinciden daha küçük olduğu ortaya çıktı. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse negatif değer, bu da sayının kendisinin öncekinden daha az olacağı anlamına gelir. İlerleme azalıyor. Tamam dikkate alalım.) Serimizin dördüncü dönemini sayıyoruz:
4 = 3 + D
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + D
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + D
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplandı. Sonuç aşağıdaki seridir:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Yani, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemelidir bir 2, A götürmek:
1 = bir 2 - D
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
İşte bu. Ödev cevabı:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Bu arada, bu görevi çözdüğümüzü belirtmek isterim. tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime yalnızca ilerlemenin bir üyesinin aranması anlamına gelir önceki (bitişik) numaraya göre. Aşağıda ilerlemeyle çalışmanın diğer yollarına bakacağız.
Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.
Hatırlamak:
Bir aritmetik ilerlemenin en az bir terimini ve farkını biliyorsak, bu ilerlemenin herhangi bir terimini bulabiliriz.
Hatırlıyor musun? Bu basit sonuç, okul kursunun bu konudaki sorunlarının çoğunu çözmenize olanak sağlar. Tüm görevler üç ana parametre etrafında döner: Bir aritmetik ilerlemenin üyesi, bir ilerlemenin farkı, ilerlemenin bir üyesinin sayısı. Tüm.
Elbette önceki cebirlerin tümü iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye bağlıdır. Ancak ilerlemenin kendisine göre- her şey üç parametre etrafında dönüyor.
Örnek olarak bu konuyla ilgili bazı popüler görevlere bakalım.
2. n=5, d = 0,4 ve a 1 = 3,6 ise sonlu aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.
Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Aritmetik ilerlemenin terimlerinin nasıl sayıldığını hatırlamanız, saymanız ve yazmanız gerekir. Görev koşullarındaki kelimeleri kaçırmamanız tavsiye edilir: “final” ve “ n=5". Yüzün tamamen morarıncaya kadar saymamak için.) Bu ilerlemede yalnızca 5 (beş) üye var:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
bir 3 = bir 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Cevabı yazmaya devam ediyor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Başka bir görev:
3. 7 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin: a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl belirlenir?
Nasıl-nasıl... İlerlemeyi bir seri halinde yazın ve orada yedi olup olmayacağını görün! Biz sayıyoruz:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Şimdi sadece yedi kişi olduğumuz açıkça görülüyor içinden geçti 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.
Cevap: hayır.
Ve işte GIA'nın gerçek versiyonuna dayanan bir problem:
4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:
...; 15; X; 9; 6; ...
İşte sonu ve başlangıcı olmayan yazılmış bir seri. Üye sayısı yok, fark yok D. Önemli değil. Sorunu çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Hadi bakalım ve neyin mümkün olduğunu görelim bilmek bu seriden mi? Üç ana parametre nedir?
Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.
Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "tutarlı" durumda. Bu, sayıların boşluksuz, kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane mi var? komşu bilinen numaralar? Evet, yaptım! Bunlar 9 ve 6'dır. Dolayısıyla aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkar öncesi sayı, yani dokuz:
Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. X'in bir önceki sayısı hangi sayı olacak? On beş. Bu, X'in basit toplama işlemiyle kolayca bulunabileceği anlamına gelir. Aritmetik ilerlemenin farkını 15'e ekleyin:
İşte bu. Cevap: x=12
Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu problemler formüllere dayalı değildir. Tamamen aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi rakam ve harf yazıyoruz, bakıp anlıyoruz.
5. a 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.
6. 5,5 sayısının aritmetik ilerlemenin (an n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; burada a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu üyenin n sayısını belirleyin.
7. Aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 = 15,1. 3'ü bulun.
8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
...; 15.6; X; 3.4; ...
İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.
9. Tren, hızını dakikada 30 metre artırarak istasyondan hareket etmeye başladı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/saat olarak verin.
10. Aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; a 6 = -5. 1'i bul.
Cevaplar (karışıklık içinde): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Her şey yolunda gitti mi? İnanılmaz! Aşağıdaki derslerde aritmetik ilerlemede daha yüksek düzeyde ustalaşabilirsiniz.
Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. İÇİNDE Özel bölüm 555 tüm bu sorunlar parça parça çözüldü.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü bir bakışta net, net bir şekilde hemen vurgulayan basit ve pratik bir teknik anlatılıyor!
Bu arada, tren bulmacasında insanların sıklıkla karşılaştığı iki sorun var. Biri tamamen ilerleme açısından, ikincisi ise matematik ve fizikteki herhangi bir problem için geneldir. Bu, boyutların birinden diğerine çevrilmesidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösteriyor.
Bu derste aritmetik ilerlemenin temel anlamına ve ana parametrelerine baktık. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara seri yaz her şey çözülecek.
Parmak çözümü, bu eğitimdeki örneklerde olduğu gibi, bir satırın çok kısa parçaları için iyi çalışır. Seri uzunsa hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, eğer sorudaki 9. problemde yerine koyarsak "beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun önemli ölçüde daha da kötüleşecektir.)
Ayrıca özünde basit ancak hesaplamalar açısından saçma olan görevler de vardır, örneğin:
Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Peki 1/6'yı defalarca mı toplayacağız? Kendini öldürebilirsin!?
Yapabilirsiniz.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler
Teorik bilgiler
Teorik bilgiler
Aritmetik ilerleme |
Geometrik ilerleme |
|
Tanım |
Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyenin aynı numaraya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir D (D- ilerleme farkı) |
Geometrik ilerleme bn her terimi ikinciden başlayarak önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olan sıfırdan farklı sayılar dizisidir Q (Q- ilerlemenin paydası) |
Tekrarlama formülü |
Herhangi bir doğal için N |
Herhangi bir doğal için N |
Formül n'inci terim |
bir n = bir 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristik özellik |  |
|
| İlk n terimin toplamı |  |
 |
Yorum içeren görev örnekleri
Görev 1
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6, bir 2
N'inci terimin formülüne göre:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 gün
Koşula göre:
1= -6 ise 22= -6 + 21d .
İlerleme farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 2
Geometrik ilerlemenin beşinci terimini bulun: -3; 6;....
1. yöntem (n-terim formülünü kullanarak)
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne göre:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Çünkü b 1 = -3,
2. yöntem (tekrarlayan formülü kullanarak)
İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğuna göre:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Cevap : b5 = -48.
Görev 3
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci terimini bulun.
Aritmetik bir ilerleme için karakteristik özellik şu şekildedir: 
.
Bundan şu sonuç çıkıyor:
.
Verileri formülde yerine koyalım:
Cevap: 95.
Görev 4
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk on yedi terimin toplamını bulun.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:
.
Bu durumda hangisinin kullanılması daha uygundur?
Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci teriminin formülü bilinmektedir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulabilir ve 1, Ve 16 bulmadan d. Bu nedenle ilk formülü kullanacağız.
Cevap: 368.
Görev 5
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.
N'inci terimin formülüne göre:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21g.
Koşullara göre ise 1= -6 ise 22= -6 + 21d . İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 6
Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
İlerlemenin x etiketli terimini bulun.
Çözerken n'inci terimin formülünü kullanacağız b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrik ilerlemeler için. İlerlemenin ilk dönemi. Q ilerlemesinin paydasını bulmak için, ilerlemenin verilen terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde alıp bölebiliriz. q = 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden formülde n yerine 3 koyarız.
Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:
.
Cevap : .
Görev 7
N'inci terimin formülüyle verilen aritmetik ilerlemelerden, koşulun sağlandığı terimi seçin 27 > 9:
İlerlemenin 27. terimi için verilen koşulun sağlanması gerektiğinden, dört ilerlemenin her birinde n yerine 27 koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:
.
Cevap: 4.
Görev 8
Aritmetik ilerlemede 1= 3, d = -1,5. Eşitsizliğin geçerli olduğu en büyük n değerini belirtin BİR > -6.