ax 2 + bx + 0 0 biçimindedir; burada (> işareti yerine elbette başka bir eşitsizlik işareti de olabilir). Şimdi göreceğimiz gibi, bu tür eşitsizlikleri çözmek için gerekli tüm teorik gerçeklere sahibiz.
Örnek 1. Eşitsizliği çözün:
a) x 2 - 2x - 3 >0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Çözüm,
a) Şekil 2'de gösterilen y = x 2 - 2x - 3 parabolünü düşünün. 117.
X 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliğini çözmek, parabol noktalarının koordinatlarının hangi x değerlerinde pozitif olduğu sorusunu yanıtlamak anlamına gelir.
y > 0 olduğuna dikkat edelim, yani fonksiyonun grafiği x ekseninin üzerinde, x noktasında yer alır< -1 или при х > 3.
Bu, eşitsizliğin çözümlerinin tüm açık noktalar olduğu anlamına gelir kiriş(- 00 , - 1) ve ayrıca açık ışının tüm noktaları (3, +00).
U işaretini (kümeleri birleştirme işareti) kullanarak cevap şu şekilde yazılabilir: (-00, - 1) U (3, +00). Ancak cevap şu şekilde yazılabilir: x< - 1; х > 3.
b) Eşitsizlik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: takvim-1 ise x ekseninin altında bulunur< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
c) x 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliği, x 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliğinden farklıdır, çünkü cevabın x 2 - 2x - 3 = 0 denkleminin köklerini de içermesi gerekir, yani x = - noktaları 1
ve x = 3. Dolayısıyla, bu katı olmayan eşitsizliğin çözümleri ışının tüm noktalarının yanı sıra (-00, -1] ve ışının tüm noktalarıdır.
Pratik matematikçiler genellikle şunu söyler: neden ax 2 + bx + c > 0 eşitsizliğini çözerken ikinci dereceden bir fonksiyonun parabol grafiğini dikkatlice oluşturmalıyız?
y = ax 2 + bx + c (örnek 1'de yapıldığı gibi)? Sadece bulmanız gereken grafiğin şematik bir taslağını yapmak yeterlidir. kökler ikinci dereceden trinomial (parabolün x ekseniyle kesişme noktası) ve parabolün dallarının yukarı mı yoksa aşağı mı yönlendirildiğini belirleyin. Bu şematik çizim eşitsizliğin çözümünün görsel bir yorumunu verecektir.
Örnek 2. Eşitsizliği çözün - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Çözüm.
1) Üç terimli karenin köklerini bulun - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x2 = - 1,5.
2) y = -2x 2 + 3x + 9 fonksiyonunun grafiği görevi gören parabol, x eksenini 3 ve -1.5 noktalarında keser ve en yüksek olduğu için parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir. katsayı- negatif sayı - 2. Şek. Şekil 118 grafiğin bir taslağını göstermektedir.
3) Şek. 118, şu sonuca varıyoruz:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Cevap: x< -1,5; х > 3.
Örnek 3. 4x 2 - 4x + 1 eşitsizliğini çözün< 0.
Çözüm.
1) 4x 2 - 4x + 1 = 0 denkleminden buluruz.
2) Kare bir üç terimlinin bir kökü vardır; bu, ikinci dereceden bir üç terimlinin grafiği olarak hizmet veren parabolün x eksenini kesmediği, ancak ona noktasında dokunduğu anlamına gelir. Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir (Şekil 119.)
3) Şekil 2'de sunulan geometrik modeli kullanarak. 119, x'in diğer tüm değerleri için grafiğin koordinatları pozitif olduğundan, verilen eşitsizliğin yalnızca noktada karşılandığını tespit ediyoruz.
Cevap: .
Muhtemelen 1, 2, 3 numaralı örneklerde çok spesifik bir durumun olduğunu fark etmişsinizdir. algoritmaİkinci dereceden eşitsizliklerin çözümü, bunu resmileştirelim.
İkinci dereceden eşitsizliği çözmek için algoritma ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)
Bu algoritmanın ilk adımı ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulmaktır. Fakat kökler mevcut olmayabilir, o zaman ne yapabiliriz? O zaman algoritma uygulanamaz, bu da farklı düşünmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu argümanların anahtarı aşağıdaki teoremlerle verilmektedir.
Başka bir deyişle, eğer D< 0, а >0 ise eşitsizlik ax 2 + bx + c > 0 tüm x'ler için geçerlidir; aksine eşitsizlik ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Kanıt.
Takvim işlevler y = ax 2 + bx + c, dalları yukarı doğru olan (a > 0 olduğundan) ve ikinci dereceden üç terimlinin koşula göre kökleri olmadığından x eksenini kesmeyen bir paraboldür. Grafik Şekil 2'de gösterilmektedir. 120. Grafiğin tüm x'ler için x ekseninin üzerinde yer aldığını görüyoruz, bu da tüm x'ler için ax 2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu anlamına gelir ki bunun da kanıtlanması gerekir.
Başka bir deyişle, eğer D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0'ın çözümü yoktur.
Kanıt. y = ax 2 + bx +c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağıya doğru yönlendirilmiş bir paraboldür (çünkü a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Örnek 4. Eşitsizliği çözün:
a) 2x 2 - x + 4 >0; b) -x 2 + 3x - 8 >0.
a) Kare trinomial 2x 2 - x + 4'ün diskriminantını bulun. Elimizde D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 var< 0.
Üç terimlinin (2 sayısı) baş katsayısı pozitiftir.
Bu, Teorem 1'e göre, tüm x'ler için 2x 2 - x + 4 > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu, yani verilen eşitsizliğin çözümünün bütün (-00, + 00) olduğu anlamına gelir.
b) Üç terimli karenin diskriminantını bulun - x 2 + 3x - 8. Elimizde D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 var.< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Cevap: a) (-00, +00); b) çözüm yok.
Aşağıdaki örnekte ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için kullanılan başka bir akıl yürütme yöntemini tanıtacağız.
Örnek 5. 3x 2 - 10x + 3 eşitsizliğini çözün< 0.
Çözüm. Haydi ayrıştıralım ikinci dereceden üç terimliÇarpanlar için 3x 2 - 10x + 3. Üç terimlinin kökleri 3 ve sayılarıdır, dolayısıyla ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2) kullanarak 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( X - )
Üç terimlinin köklerini sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim: 3 ve (Şekil 122).
x > 3 olsun; bu durumda x-3>0 ve x->0 olur ve bu nedenle 3(x - 3)(x - ) çarpımı pozitiftir. Sonra izin ver< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Dolayısıyla 3(x-3)(x-) çarpımı negatiftir. Son olarak x olsun<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) pozitiftir.
Gerekçeyi özetleyerek şu sonuca varıyoruz: Üçgen kare 3x 2 - 10x + 3'ün işaretleri Şekil 2'de gösterildiği gibi değişir. 122. Kare trinomiyalin hangi x'in negatif değer aldığıyla ilgileniyoruz. Şek. 122 sonucuna varıyoruz: 3x 2 - 10x + 3 kare trinomial (, 3) aralığındaki herhangi bir x değeri için negatif değerler alır
Yanıt (, 3) veya< х < 3.
Yorum. Örnek 5'te kullandığımız akıl yürütme yöntemine genellikle aralıklar yöntemi (veya aralıklar yöntemi) adı verilir. Matematikte çözmek için aktif olarak kullanılır. akılcı eşitsizlikler 9. sınıfta aralık yöntemini daha detaylı inceleyeceğiz.
Örnek 6. P parametresinin hangi değerlerinde ikinci dereceden denklem x 2 - 5x + p 2 = 0'dır:
a) iki farklı kökü vardır;
b) bir kökü vardır;
c) kökleri yok mu?
Çözüm. Kök sayısı ikinci dereceden denklem diskriminantı D'nin işaretine bağlıdır. Bu durumda D = 25 - 4p 2'yi buluruz.
a) İkinci dereceden denklemin iki farklı kökü vardır, eğer D>0 ise problem 25 - 4р 2 > 0 eşitsizliğinin çözümüne indirgenir. Bu eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpalım (işaretini değiştirmeyi unutmadan) eşitsizlik). 4p 2 - 25 eşdeğer eşitsizliğini elde ediyoruz< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
4(p - 2.5) (p + 2.5) ifadesinin işaretleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 123.
Eşitsizliğin 4(p - 2,5)(p + 2,5) olduğu sonucuna varıyoruz.< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
B) ikinci dereceden denklem D - 0 ise tek kökü vardır.
Yukarıda belirlediğimiz gibi, p = 2,5 veya p = -2,5'te D = 0.
P parametresinin bu değerleri için bu ikinci dereceden denklemin yalnızca bir kökü vardır.
c) D ise ikinci dereceden bir denklemin kökleri yoktur< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
4p 2 - 25 > 0 elde ederiz; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, dolayısıyla (bkz. Şekil 123) p< -2,5; р >2.5. P parametresinin bu değerleri için bu ikinci dereceden denklemin kökleri yoktur.
Cevap: a) p (-2,5, 2,5)'te;
b) p = 2,5 veya = -2,5'te;
c) p'de< - 2,5 или р > 2,5.
Mordkovich A.G., Cebir. 8. sınıf: Ders kitabı. genel eğitim için kurumlar - 3. baskı, revize edildi. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: hasta.
Okul çocukları için çevrimiçi yardım, 8. sınıf için matematik indirme, takvim ve tematik planlama
Aralık yöntemi Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Bir değişkene bağlı olan, rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizliklerin adıdır.
1. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün
Aralık yöntemi, sorunu birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.
Bu eşitsizliğin sol tarafında – kesirli rasyonel fonksiyon. Rasyonel çünkü kökler, sinüsler veya logaritmalar içermiyor; yalnızca rasyonel ifadeler içeriyor. Sağdaki sıfır.
Aralık yöntemi, kesirli rasyonel fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır.
Kesirli bir rasyonel fonksiyon yalnızca sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı noktalarda işaret değiştirebilir.
İkinci dereceden bir üç terimlinin nasıl çarpanlara ayrıldığını, yani formun bir ifadesini hatırlayalım.
İkinci dereceden denklemin kökleri nerede ve nelerdir?
Bir eksen çizip pay ve paydanın sıfıra gittiği noktaları yerleştiriyoruz.
Paydanın sıfırları ve noktalı noktalardır, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmamıştır (sıfıra bölemezsiniz). Eşitsizlik katı olmadığından pay ve -'nin sıfırları gölgelidir. Eşitsizliğimiz sağlandığında, her iki tarafı da sıfıra eşit olduğundan.
Bu noktalar ekseni aralıklara böler.
Bu aralıkların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki kesirli rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyelim. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun yalnızca sıfıra eşit olduğu veya sıfıra eşit olmadığı noktalarda işaret değiştirebileceğini hatırlıyoruz.
Bu, pay veya paydanın sıfıra gittiği noktalar arasındaki aralıkların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretinin "artı" veya "eksi" olarak sabit olacağı anlamına gelir.
Bu nedenle, bu aralıkların her birinde fonksiyonun işaretini belirlemek için bu aralığa ait herhangi bir noktayı alırız. Bizim için uygun olan.
. Örneğin eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini kontrol edin. "Parantezlerin" her biri negatiftir. Sol tarafta bir işaret var.
Sonraki aralık: . adresindeki tabelayı kontrol edelim. Sol tarafın işaretinin değiştirildiğini görüyoruz.
Hadi alalım. İfade pozitif olduğunda - bu nedenle, ile arasındaki tüm aralık boyunca pozitiftir.
Eşitsizliğin sol tarafı negatif olduğunda."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Ve son olarak class="tex" alt="x>7
İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Cevap: . Lütfen dikkat: işaretler aralıklar arasında değişmektedir. Bu oldu çünkü.
Her noktadan geçerken, doğrusal faktörlerden tam olarak biri işaret değiştirirken geri kalanı değişmeden kaldı
Aralık yönteminin çok basit olduğunu görüyoruz. Kesirli-rasyonel eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmek için, onu şu forma indiririz: Veya"> !} class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0
, veya , veya .
(sol tarafta kesirli bir rasyonel fonksiyon, sağ tarafta ise sıfır).
Daha sonra pay veya paydanın sıfıra gittiği noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktalar, sayı doğrusunun tamamını aralıklara böler ve bunların her birinde kesirli-rasyonel fonksiyon işaretini korur.
Bunu, belirli bir aralığa ait herhangi bir noktada ifadenin işaretini kontrol ederek yaparız. Daha sonra cevabı yazıyoruz. İşte bu.
Ancak şu soru ortaya çıkıyor: işaretler her zaman değişiyor mu? Hayır, her zaman değil! Dikkatli olmalı ve işaretleri mekanik ve düşüncesizce yerleştirmemelisiniz.
2. Başka bir eşitsizliği ele alalım.
Class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}
Noktaları tekrar eksene yerleştirin. Noktalar ve paydanın sıfırları olduğundan deliklidir. Eşitsizlik katı olduğu için bu nokta da kesiliyor.
Pay pozitif olduğunda paydadaki her iki faktör de negatiftir. Bu, örneğin belirli bir aralıktan herhangi bir sayı alınarak kolayca kontrol edilebilir. Sol tarafta şu işaret var:
Pay pozitif olduğunda; Paydadaki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:
Durum aynı! Pay pozitif, paydadaki ilk faktör pozitif, ikincisi negatif. Sol tarafta şu işaret var:
Son olarak class="tex" alt="x>3 ile">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
İşaretlerin değişimi neden bozuldu? Çünkü bir noktadan geçerken çarpan bundan “sorumludur” işareti değiştirmedi. Sonuç olarak eşitsizliğimizin sol tarafının tamamı işaret değiştirmedi.
Çözüm: doğrusal çarpan çift bir kuvvetse (örneğin kare), o zaman bir noktadan geçerken sol taraftaki ifadenin işareti değişmez. Derecenin tek olması durumunda işaret elbette değişir.
3. Daha karmaşık bir durumu ele alalım. Eşitsizliğin katı olmaması nedeniyle öncekinden farklıdır:
Sol taraf da aynı önceki görev. İşaretlerin resmi aynı olacaktır:
Belki cevap aynı olacaktır? HAYIR! Bir çözüm eklenir Bunun nedeni eşitsizliğin hem sol hem de sağ tarafının sıfıra eşit olmasıdır - dolayısıyla bu nokta bir çözümdür.
İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Bu durum genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki problemlerde ortaya çıkar. Başvuru sahiplerinin tuzağa düştüğü ve puan kaybettiği nokta burasıdır. Dikkat olmak!
4. Pay veya payda doğrusal faktörlere dahil edilemiyorsa ne yapmalı? Bu eşitsizliği düşünün:
Bir kare trinomial çarpanlara ayrılamaz: diskriminant negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, herkes için ifadenin işaretinin aynı ve özellikle pozitif olduğu anlamına gelir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi ikinci dereceden fonksiyonların özellikleri hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.
Artık eşitsizliğimizin her iki tarafını da herkes için pozitif olan bir değere bölebiliriz. Eşdeğer bir eşitsizliğe varalım:
Aralık yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir.
Lütfen eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif olduğundan emin olduğumuz bir değere böldüğümüzü unutmayın. Elbette genel olarak bir eşitsizliği şu şekilde çarpmamalı veya bölmemelisiniz: değişken değer, burcu bilinmiyor.
5 . Görünüşte oldukça basit olan başka bir eşitsizliği ele alalım:
Sadece onu çarpmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Sonuçta hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir değerle çarpılırsa eşitsizliğin işaretinin değişeceğini biliyoruz.
Bunu farklı yapacağız - her şeyi tek bir parçada toplayıp ortak bir paydaya getireceğiz. Sağ taraf sıfır kalacak:
Class = "tex" alt = "\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Ve bundan sonra - başvurun aralık yöntemi.
Eşitsizliklere doğrusal denir sol ve sağ tarafları bilinmeyen niceliğe göre doğrusal fonksiyonlardır. Bunlar arasında örneğin eşitsizlikler yer alır:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .
1) Kesin eşitsizlikler: balta +b>0 veya balta+b<0
2) Kesin olmayan eşitsizlikler: balta +b≤0 veya balta+b≫ 0
Bu görevi analiz edelim. Paralelkenarın bir kenarı 7 cm'dir. Paralelkenarın çevresinin 44 cm'den büyük olması için diğer kenarın uzunluğu ne kadar olmalıdır?
İstenilen taraf olsun X cm Bu durumda paralelkenarın çevresi (14 + 2x) cm ile temsil edilecektir. 14 + 2x > 44 eşitsizliği bir paralelkenarın çevre probleminin matematiksel bir modelidir. Bu eşitsizlikteki değişkeni değiştirirsek Xörneğin 16 sayısı üzerinde doğru sayısal eşitsizlik olan 14 + 32 > 44'ü elde ederiz. Bu durumda 16 sayısının 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümü olduğunu söylerler.
Eşitsizliği çözmek Bir değişkenin değerini gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren değeri adlandırın.
Dolayısıyla sayıların her biri 15,1; 20;73, 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümüdür, ancak örneğin 10 sayısı bunun çözümü değildir.
Eşitsizliği çözün tüm çözümlerini oluşturmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.
Eşitsizliğin çözümünün formülasyonu denklemin kökünün formülasyonuna benzer. Ancak yine de "eşitsizliğin kökenini" belirlemek alışılmış bir şey değil.
Sayısal eşitliklerin özellikleri denklemleri çözmemize yardımcı oldu. Benzer şekilde sayısal eşitsizliklerin özellikleri de eşitsizliklerin çözümüne yardımcı olacaktır.
Bir denklemi çözerken, onu daha basit, ancak verilene eşdeğer başka bir denklemle değiştiririz. Eşitsizliklerin cevabı da benzer şekilde bulunur. Bir denklemi eşdeğer bir denklemle değiştirirken, terimleri denklemin bir tarafından diğer tarafına aktarmak ve denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak ile ilgili teoremi kullanırlar. Bir eşitsizliği çözerken, onunla bir denklem arasında önemli bir fark vardır; bu, bir denklemin herhangi bir çözümünün basitçe orijinal denklemin yerine konulmasıyla doğrulanabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Eşitsizliklerde bu yöntem yoktur çünkü sayısız çözümü orijinal eşitsizliğin yerine koymak mümkün değildir. Dolayısıyla önemli bir kavram var, bu oklar<=>eşdeğer veya eşdeğer dönüşümlerin bir işaretidir. Dönüşüm denir eş değer, veya eş değer eğer çözüm kümesini değiştirmezlerse.
Eşitsizliklerin çözümü için benzer kurallar.
Herhangi bir terimi eşitsizliğin bir kısmından diğerine taşırsak, işaretini zıttı ile değiştirirsek, buna eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.
Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa (bölülürse) buna eşdeğer bir eşitsizlik elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa (bölülürse), eşitsizlik işaretinin tersi ile değiştirilirse, verilene eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.
Bunları kullanmak tüzük Aşağıdaki eşitsizlikleri hesaplayalım.
1) Eşitsizliği analiz edelim 2x - 5 > 9.
Bu doğrusal eşitsizlik, çözümünü bulacağız ve temel kavramları tartışacağız.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5, ters işaretle sola kaydırıldı), sonra her şeyi 2'ye böldük ve şunu elde ettik: x > 7. Çözüm kümesini eksen üzerinde çizelim X
Pozitif yönlü bir ışın elde ettik. Çözüm kümesini eşitsizlik biçiminde not ediyoruz x > 7 veya x(7; ∞) aralığı biçimindedir. Bu eşitsizliğin özel çözümü nedir? Örneğin, x = 10 bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür, x = 12- bu aynı zamanda bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür.
Pek çok kısmi çözüm var ama bizim görevimiz tüm çözümleri bulmak. Ve genellikle sayısız çözüm vardır.
Hadi halledelim örnek 2:
2) Eşitsizliği çözün 4a - 11 > a + 13.
Hadi çözelim: A onu bir tarafa taşı 11 diğer tarafa kaydırırsak 3a elde ederiz< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 eşitsizlik şu şekildedir A<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .
Seti de sergileyeceğiz A< 8 , ama zaten eksende A.
Cevabı ya eşitsizlik a şeklinde yazarız< 8, либо A(-∞;8), 8 açılmıyor.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Örneğin eşitsizlik \(x>5\) ifadesidir.
Eşitsizlik türleri:
Eğer \(a\) ve \(b\) sayılar veya ise eşitsizliğe denir sayısal. Aslında bu sadece iki sayıyı karşılaştırmaktır. Bu tür eşitsizlikler aşağıdakilere ayrılmıştır: sadık Ve sadakatsiz.
Örneğin:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) yanlış bir sayısal eşitsizliktir, çünkü \(17+3=20\) ve \(20\) \(115\)'ten küçüktür (ve ondan büyük veya ona eşit değildir) .
Eğer \(a\) ve \(b\) bir değişken içeren ifadelerse, o zaman elimizde değişkenli eşitsizlik. Bu tür eşitsizlikler içeriğe bağlı olarak türlere ayrılır:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Yalnızca birinci kuvvete göre değişken |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
İkinci kuvvette (kare) bir değişken vardır, ancak daha yüksek kuvvetler (üçüncü, dördüncü vb.) yoktur. |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Eşitsizliğin çözümü nedir?
Bir eşitsizliğin yerine bir değişken yerine bir sayı koyarsanız, eşitsizlik sayısal bir eşitliğe dönüşecektir.
Eğer x için verilen bir değer orijinal eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe çeviriyorsa buna denir. eşitsizliğin çözümü. Aksi takdirde bu değer bir çözüm değildir. Ve böylece eşitsizliği çöz– tüm çözümlerini bulmanız (veya hiçbir çözüm olmadığını göstermeniz) gerekir.
Örneğin,\(7\) sayısını doğrusal eşitsizlik \(x+6>10\) yerine koyarsak, doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz: \(13>10\). Ve eğer \(2\) yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik \(8>10\) olacaktır. Yani, \(7\) orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür, ancak \(2\) değildir.
Ancak \(x+6>10\) eşitsizliğinin başka çözümleri de vardır. Aslında, \(5\), \(12\) ve \(138\)'i yerine koyarken doğru sayısal eşitsizlikleri elde edeceğiz... Peki tüm olası çözümleri nasıl bulabiliriz? Bunun için kullanıyorlar. Bizim durumumuz için elimizde:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Yani dörtten büyük herhangi bir sayı bize uyacaktır. Şimdi cevabı yazmanız gerekiyor. Eşitsizliklerin çözümleri genellikle sayısal olarak yazılır ve ayrıca gölgelendirmeyle sayı ekseninde işaretlenir. Bizim durumumuz için elimizde:
Cevap:
\(x\in(4;+\infty)\)
Bir eşitsizliğin işareti ne zaman değişir?
Eşitsizliklerde öğrencilerin düşmeyi gerçekten "sevdiği" büyük bir tuzak var:
Bir eşitsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığında (veya bölündüğünde) ters çevrilir ("daha fazla" "daha az", "daha fazla veya eşit" "küçük veya eşit" vb.)
Bu neden oluyor? Bunu anlamak için, \(3>1\) sayısal eşitsizliğinin dönüşümlerine bakalım. Doğrudur, üç gerçekten de birden büyüktür. Öncelikle bunu herhangi bir pozitif sayıyla, örneğin ikiyle çarpmaya çalışalım:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Gördüğümüz gibi çarpma sonrasında eşitsizlik aynı kalıyor. Ve hangi pozitif sayıyla çarparsak çarpalım her zaman doğru eşitsizliği elde ederiz. Şimdi negatif bir sayıyla, örneğin eksi üçle çarpmayı deneyelim:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Sonuç yanlış bir eşitsizliktir çünkü eksi dokuz eksi üçten küçüktür! Yani eşitsizliğin doğru olması için (ve dolayısıyla çarpmanın negatife dönüşümü “yasaldı”), karşılaştırma işaretini şu şekilde tersine çevirmeniz gerekir: \(−9<− 3\).
Bölme işleminde de aynı şekilde çalışacaktır, kendiniz kontrol edebilirsiniz.
Yukarıda yazılan kural sadece sayısal eşitsizlikler için değil, her türlü eşitsizlik için geçerlidir.
Örnek: \(2(x+1)-1) eşitsizliğini çözün<7+8x\)Çözüm:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
İşaretleri değiştirmeyi unutmadan \(8x\) sola, \(2\) ve \(-1\) sağa hareket edelim |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Eşitsizliğin her iki tarafını da \(-6\)'ya bölelim, “daha az”dan “çok”a geçmeyi unutmayalım |
|
Eksen üzerinde sayısal bir aralık işaretleyelim. Eşitsizlik, bu nedenle \(-1\) değerinin kendisini "çıkarıyoruz" ve onu cevap olarak kabul etmiyoruz |
|
|
Cevabı aralık olarak yazalım |
Cevap: \(x\in(-1;\infty)\)
Eşitsizlikler ve engellilik
Eşitsizliklerin de tıpkı denklemler gibi, yani x'in değerleri üzerinde kısıtlamaları olabilir. Buna göre DZ'ye göre kabul edilemez olan değerlerin çözüm aralığının dışında tutulması gerekir.
Örnek: \(\sqrt(x+1) eşitsizliğini çözün<3\)
Çözüm: Sol tarafın \(3\)'ten küçük olması için radikal ifadenin \(9\)'dan küçük olması gerektiği açıktır (sonuçta \(9\)'dan sadece \(3\)). Şunu elde ederiz:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)
Tüm? \(8\)'den küçük herhangi bir x değeri bize uyar mı? HAYIR! Çünkü örneğin gereksinime uygun görünen \(-5\) değerini alırsak, bu bizi negatif bir sayının kökünü hesaplamaya götüreceği için orijinal eşitsizliğin çözümü olmayacaktır.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Bu nedenle, X'in değerine ilişkin kısıtlamaları da dikkate almalıyız - kökün altında negatif bir sayı olacak şekilde olamaz. Böylece x için ikinci şartımız var:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Ve x'in nihai çözüm olabilmesi için, her iki gereksinimi de aynı anda karşılaması gerekir: \(8\)'den küçük (çözüm olması için) ve \(-1\)'den büyük olması gerekir (prensipte kabul edilebilir olması için). Bunu sayı doğrusunda çizersek son cevabı buluruz:
Cevap: \(\sol[-1;8\sağ)\)