Giriş Projemin sorunu, başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmekçözme yeteneği gerektirir çeşitli sistemler denklemler ve biliyorum lise Bu konuyu daha derinlemesine anlamaları için onlara yeterli zaman verilmedi. İşin amacı: Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmeye hazırlanmak. Çalışmanın amaçları: “Simetri” kavramı ile ilgili matematik alanındaki bilginizi genişletmek. Simetrik denilen denklem sistemlerini ve matematikteki diğer problemleri çözerken “simetri” kavramını kullanarak matematik kültürünüzü geliştirin.
Simetri kavramı. Simetri - (eski Yunanca συμμετρία), geniş anlamda - herhangi bir dönüşüm altında değişmezlik. Örneğin, bir cismin küresel simetrisi, cisim uzayda herhangi bir açıyla döndürüldüğünde görünüşünün değişmeyeceği anlamına gelir. Bilateral simetri, bazı düzlemlere göre sağ ve solun aynı görünmesi anlamına gelir.
Simetri kullanarak problem çözme. Görev No. 1 İki kişi sırayla aynı paraları yuvarlak bir masaya koyar ve paralar birbirini kapatmamalıdır. Hareket edemeyen kaybeder. Doğru oynandığında kim kazanır? (Başka bir deyişle hangi oyuncunun kazanma stratejisi var?)
Simetrik sistemleri çözme yöntemleri. Simetrik sistemler, temel simetrik polinomların oynadığı değişkenler değiştirilerek çözülebilir. İki bilinmeyen x ve y içeren iki denklemden oluşan simetrik bir sistem, u = x + y, v = xy yerine konularak çözülür.
Örnek No. 2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Temel simetrik polinomlar kullanılarak sistem aşağıdaki biçimde yazılabilir 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 .
İkinci denklemden u = ifade edip birinci denklemde yerine koyarak 9v2– 28v – 156 = 0 elde ederiz. Bu denklemin kökleri v 1 = 6 ve v 2 = - karşılık gelen u1 = değerlerini bulmamızı sağlar 5, u2= - u = ifadesinden.
Simetrik sistemlerin çözümünde kullanılan teoremler. Teorem 1. (simetrik polinomlar hakkında) İki değişkenli herhangi bir simetrik polinomu, iki temel simetrik polinomun fonksiyonu olarak temsil edebiliriz. Başka bir deyişle, herhangi bir simetrik polinom f (x, y) için iki değişkenli φ (u) fonksiyonu vardır. , v) öyle ki
Teorem 2. (simetrik polinomlar hakkında) Teorem 2. (simetrik polinomlar hakkında) Üç değişkenli herhangi bir simetrik polinom, üç ana simetrik polinomun bir fonksiyonu olarak temsil edilebilir: Başka bir deyişle, herhangi bir simetrik polinom f (x, y) için üç değişkenli θ (u, v, w) böyle bir fonksiyon
Daha karmaşık simetrik sistemler - modülü içeren sistemler: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Bu sistemi x için ayrı ayrı ele alalım.< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) x ≤ y için< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistem bulduğumuz yerden - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2 veya - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2 formunu alır x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. İkinci sayı çifti ele alınan alana aittir, yani bu sistemin bir çözümüdür.
Eğer x ≥ 1 ise: Eğer x ≥ 1 ise: a) x > y ve y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y ve y ≥ 1 olduğunda sistem x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 veya x – y + y 2 = 3, x + y = 4 formunu alır, buradan x'i buluruz = 1, y = 3. Bu sayı çifti incelenen bölgeye ait değil;
c) x ≤ y için (o zaman y ≥ 1) sistem şu formu alır c) x ≤ y (o zaman y ≥ 1) için sistem - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – formunu alır 1 = 2 veya - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, buradan x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8'i buluruz; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Bu sayı çiftleri söz konusu bölgeye ait değil. Böylece x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Cevap: (- 1; 1); (1; -1).
Sonuç Matematik insan düşüncesini geliştirir, bize mantık yoluyla farklı çözümler bulmayı öğretir. Böylece simetrik sistemleri çözmeyi öğrendikten sonra, bunların yalnızca çözmek için kullanılamayacağını fark ettim. spesifik örnekler, ama ben çeşitli sorunların çözülmesinden yanayım. Projenin sadece bana fayda sağlamayacağını düşünüyorum. Bu konuyla da tanışmak isteyenler için çalışmam iyi bir yardımcı olacaktır.
Kullanılan literatür listesi: Bashmakov M.I., “Cebir ve analizin başlangıcı”, 2. baskı, Moskova, “Prosveshchenie”, 1992, 350 s. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., “Cebir ve temel işlevler", referans kitabı; üçüncü baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648 s. Sharygin I.F., “Lise öğrencileri için matematik,” Moskova, yayınevi“Bustard”, 1995, 490 s. İnternet kaynakları: http://www.college.ru/
Çalışma "Matematik" konulu dersler ve raporlar için kullanılabilir.
Matematikte hazır sunumlar, bir öğretmenin veya velinin ders kitabından çalışılan konuyu slaytlar ve tablolar kullanarak göstermesine, problem ve denklem çözme örneklerini göstermesine ve ayrıca bilgiyi test etmesine olanak tanıyan görsel yardımlar olarak kullanılır. Sitenin bu bölümünde 1, 2, 3, 4, 5, 6. sınıflardaki öğrenciler için matematikle ilgili birçok hazır sunumun yanı sıra matematikle ilgili sunumları da bulabilir ve indirebilirsiniz. yüksek matematiküniversite öğrencileri için.
Denklem sistemlerinin çözümüne ilişkin ek literatürü incelerken yeni bir sistem türüyle karşılaştım - simetrik. Ve kendime bir hedef belirledim:
“Denklem Sistemleri” konusundaki bilimsel bilgileri özetleyin.
Yeni değişkenleri tanıtarak anlayın ve çözmeyi öğrenin;
3) Simetrik denklem sistemleriyle ilgili temel teorileri göz önünde bulundurun
4) Simetrik denklem sistemlerini çözmeyi öğrenir.
Denklem sistemlerinin çözümünün tarihi.
Bilinmeyenleri hariç tutmak uzun zamandır bir uygulamadır. doğrusal denklemler. 17.-18. yüzyıllarda. V. dışlama teknikleri Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange tarafından geliştirilmiştir.
Modern gösterimde, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi şu şekildedir: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Bu sistemin çözümleri formüllerle ifade edilir.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
17. yüzyılda oluşturulan koordinat yöntemi sayesinde. Fermat ve Descartes, denklem sistemlerini grafiksel olarak çözmek mümkün hale geldi.
MÖ 3.-2. binyıllarda yazılan eski Babil metinlerinde. e. , ikinci dereceden denklemlerin de dahil edildiği denklem sistemleri oluşturularak çözülebilecek birçok problemi içerir.
Örnek #1:
İki karemin alanlarını ekledim: 25. İkinci karenin kenarı birincinin kenarına eşit ve 5 tane daha. Karşılık gelen gösterimdeki denklem sistemi şöyle görünüyor: x2 + y2 = 25, y = x. = 5
Pek çok bilinmeyen için etiketi olmayan Diophantus, sistemin çözümünü tek bir denklemin çözümüne indirgeyecek şekilde bilinmeyeni seçmeye büyük özen gösterdi.
Örnek #2:
"İki tane bul doğal sayılar Toplamlarının 20, karelerinin toplamının da 208 olduğunu bilerek."
Sorun aynı zamanda x + y = 20 denklem sistemi oluşturularak da çözüldü, ancak x2 + y2 = 208 olarak çözüldü.
Diophantus, gerekli sayıların farkının bilinmeyen yarısını seçerek, yani.
(x – y) = z, + (x + y) = 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- problemin koşullarını sağlamaz, dolayısıyla z = 2x = 12 ve y = 8 ise
Cebirsel denklem sisteminin kavramları.
Pek çok problemde, bilinmeyen niceliklerin yardımıyla oluşturulan diğer niceliklerin (bilinmeyenlerin fonksiyonlarının) birbirine veya verilen bazı niceliklere eşit olduğunu bilerek, birkaç bilinmeyen nicelik bulmak gerekir. Basit bir örneğe bakalım.
2400 m2 alana sahip dikdörtgen bir arsa 200 m uzunluğunda çitle çevrilmiştir. Arsanın uzunluğunu ve genişliğini bulun. Aslında bu problemin “cebirsel modeli” iki denklem ve bir eşitsizlikten oluşan bir sistemdir.
Olası eşitsizlikler her zaman akılda tutulmalıdır. Denklem sistemlerinin oluşturulmasıyla ilgili problemleri çözdüğünüzde. Ancak asıl önemli olan denklemleri kendileri çözmektir. Size kullanılan yöntemleri anlatacağım.
Tanımlarla başlayalım.
Denklem sistemi, süslü parantezle birbirine bağlanan birkaç (birden fazla) denklemden oluşan bir kümedir.
Kıvrımlı parantez, sistemin tüm denklemlerinin aynı anda yürütülmesi gerektiği anlamına gelir ve her denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir sayı çifti (x; y) bulmanız gerektiğini gösterir.
Bir sistemin çözümü, bu sisteme yerleştirildiğinde denklemlerin her birini doğru bir sayısal eşitliğe dönüştüren bir x ve y sayısı çiftidir.
Bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbirinin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.
Değiştirme yöntemi.
İkame yöntemi, denklemlerden birinde bir değişkenin diğerine göre ifade edilmesidir. Ortaya çıkan ifade başka bir denklemle değiştirilerek tek değişkenli bir denklem haline getirilir ve çözülür. Bu değişkenin ortaya çıkan değerleri orijinal sistemin herhangi bir denkleminde yerine konulur ve ikinci değişken bulunur.
Algoritma.
1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5) Cevabı (x; y) değer çiftleri şeklinde yazın.
Örnek No. 1 y = x – 1,
İkinci denklemde y = x – 1'i yerine koyarsak 5x + 2 (x – 1) = 16 elde ederiz, buradan x = 2 olur. Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız: y = 2 – 1 = 1.
Cevap: (2; 1).
Örnek #2:
8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2
2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2
5y = 10 x = 8y – 4, y = -2
2х – 21у = 2
2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20
2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2
Cevap: (-20; -2).
Örnek No. 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – ikinci dereceden denklem y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8
Bu nedenle (-2; -4); (4; 8) – bu sistemin çözümleri.
Ekleme yöntemi.
Toplama yöntemi, eğer belirli bir sistem, bir araya getirildiğinde tek değişkenli bir denklem oluşturan denklemlerden oluşuyorsa, bu denklemi çözerek değişkenlerden birinin değerlerini elde edeceğiz. İkinci değişkenin değeri ise ikame yönteminde olduğu gibi bulunur.
Toplama yöntemini kullanarak sistemleri çözmek için algoritma.
1. Bilinmeyenlerden birinin katsayılarının modüllerini eşitleyin.
2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak bir bilinmeyen bulun.
3. Bulunan değeri orijinal sistemin denklemlerinden birinde yerine koyarak ikinci bilinmeyeni bulun.
Örnek No.1. Denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözün: x + y = 20, x – y = 10
İkinciyi birinci denklemden çıkarırsak, şunu elde ederiz:
İkinci ifadeden x = 20 - y'yi ifade edelim.
Bu ifadede y = 5'i yerine koyun: x = 20 – 5 x = 15.
Cevap: (15; 5).
Örnek #2:
Önerilen sistemin denklemlerini fark şeklinde temsil edelim, şunu elde ederiz:
7y = 21, dolayısıyla y = 3
Bu değeri sistemin ikinci denkleminden ifade edilen x = yerine koyalım, x = 4 elde ederiz.
Cevap: (4; 3).
Örnek #3:
2x + 11y = 15,
10x – 11y = 9
Bu denklemleri topladığımızda:
2x + 10x = 15 + 9
12x = 24 x = 2, bu değeri ikinci denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
10 * 2 – 11y = 9, dolayısıyla y = 1.
Bu sistemin çözümü şu çifttir: (2; 1).
Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem.
Algoritma.
1. Sistem denklemlerinin her birinin grafiğini oluşturun.
2. Oluşturulan çizgilerin kesişme noktasının koordinatlarını bulun.
oluyor göreceli konum düzlemde düz çizgiler.
1. Doğrular kesişiyorsa, yani ortak bir noktaları varsa, denklem sisteminin tek çözümü vardır.
2. Doğrular paralelse, yani ortak noktaları yoksa denklem sisteminin çözümü yoktur.
3. Doğrular çakışıyorsa, yani çok sayıda noktaya sahiplerse, denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnek #1:
x – y = -1 denklem sistemini grafiksel olarak çözün,
Birinci ve ikinci denklemlerden y'yi ifade edelim: y = 1 + x, y = 4 – 2x x
Sistem denklemlerinin her birinin grafiğini oluşturalım:
1) y = 1 + x – fonksiyonun grafiği x 0 1 (1; 2) y 1 2 düz çizgisidir
2) y = 4 – 2x – fonksiyonun grafiği x 0 1 y 4 2 düz çizgisidir
Cevap: (1; 2).
Örnek No. 2: y x + 2y = 6,
4y = 8 – 2x x y = , y = y = - fonksiyonun grafiği düz çizgidir x 0 2 y 3 2 y = - fonksiyonun grafiği düz çizgidir x 0 2 y 2 1
Cevap: Çözüm yok.
Örnek No.3: y x – 2y = 2,
3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - fonksiyonun grafiği x 0 2 y -1 0 düz çizgisidir
Cevap: Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.
Yeni değişkenler ekleme yöntemi, yeni bir değişkenin yalnızca bir denkleme veya her iki denklem için iki yeni değişkenin aynı anda dahil edilmesi, ardından denklem veya denklemlerin yeni değişkenlere göre çözülmesi ve ardından daha basit bir sistemi çözmeye devam etmesidir. İstenilen çözümü bulduğumuz denklemler.
Örnek #1:
X + y = 5
= z'yi, sonra da ='yi gösterelim.
İlk denklem z + = formunu alacaktır, 6z – 13 + 6 = 0'a eşdeğerdir. Ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra z = ; z =. O zaman = veya =, yani ilk denklem iki denkleme ayrılıyor, dolayısıyla iki sistemimiz var:
X + y = 5 x + y = 5
Bu sistemlerin çözümleri verilen sistemin çözümleridir.
Birinci sistemin çözümü (2; 3) ikilisidir, ikincisi ise (3; 2) ikilisidir.
Dolayısıyla + = , x + y = 5 sisteminin çözümleri
Çiftler (2; 3); (3; 2)
Örnek #2:
= X, a = Y olsun.
X = , 5 * - 2U = 1
5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1
20 – 7,5U – 2U = 1
X = , -9,5U = -19
5* - 2U = 1 U = 2
Ters değişim yapacağız.
2 x = 1, y = 0,5
Cevap: (1; 0,5).
Simetrik denklem sistemleri.
N bilinmeyenli bir sistem, bilinmeyenler yeniden düzenlendiğinde değişmiyorsa simetrik olarak adlandırılır.
İki bilinmeyen x ve y içeren iki denklemden oluşan simetrik bir sistem, u = x + y, v = xy yerine konularak çözülür. Simetrik sistemlerde karşılaşılan ifadelerin u ve v cinsinden ifade edildiğine dikkat edin. Pek çok simetrik sistemin çözümü açısından şüphesiz ilgi çekici olan buna benzer birkaç örnek verelim: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, vb.
Bilinmeyenler x y, z için üç denklemden oluşan simetrik bir sistem, x + y + z = u, xy + yz + xz = w yerine konularak çözülür. u, v, w bulunursa, t2 – ut2 + vt – w = 0 kübik denklemi derlenir; bunun kökleri çeşitli permütasyonlardaki t1, t2, t3 orijinal sistemin çözümleridir. Bu tür sistemlerde en yaygın ifadeler u, v, w cinsinden şu şekilde ifade edilir: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
Örnek No. 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
x + y = u, xy = v olsun.
u2 – v = 13, u = 4
16 – v = 13, sen = 4 v = 3, sen = 4
Ters değişim yapacağız.
Cevap: (1; 3); (3; 1).
Örnek No. 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
x + y = u, xy = v olsun.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 – 12 v = 28, sen = 4
12v = -36 sen = 4 v = 3, sen = 4
Ters değişim yapacağız.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Cevap: (1; 3); (3; 1).
Örnek No. 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
x =y = u, xy =v olsun.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – sen, sen = 4 v = 3, sen = 4
Ters değişim yapacağız.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Cevap: (1; 3); (3; 1).
Örnek No. 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
x + y = u, xy = v olsun.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Ters değişim yapacağız.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
Cevap: (4; 1); (1; 4).
Örnek No. 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
Bilinmeyenlerde değişiklik yapalım, sistem u2 + v = 49, u + v = 23 formunu alacaktır.
Bu denklemleri topladığımızda u2 + u – 72 = 0, kökleri u1 = 8, u2 = -9 olur. Buna göre v1 = 15, v2 = 32. Geriye x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 sistem kümesini çözmek kalıyor.
x + y = 8 sisteminin çözümleri x1 = 3, y1 = 5'tir; x2=5, y2=3.
x + y = -9 sisteminin gerçek çözümü yoktur.
Cevap: (3; 5), (5; 3).
Örnek No. 6. Denklem sistemini çözün.
2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
Ana simetrik polinomlar u = y + x ve v = xy'yi kullanarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz
2u2 – 7v = 16, u + v = -3
Sistemin ikinci denklemindeki v = -3 – u ifadesini birinci denklemde yerine koyarsak kökleri u1 = -1 ve u2 = -2,5 olan aşağıdaki 2u2 + 7u + 5 = 0 denklemini elde ederiz; ve buna göre v1 = -2 ve v2 = -0,5 değerleri v = -3 – u'dan elde edilir.
Şimdi geriye aşağıdaki x + y = -1 ve x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5 sistem setini çözmek kalıyor.
Bu sistem kümesinin ve dolayısıyla orijinal sistemin (eşdeğerliklerinden dolayı) çözümleri şu şekildedir: (1; -2), (-2; 1), (;).
Örnek #7:
3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,
2x – 3xy + 2y + 8 = 0
Temel simetrik polinomlar kullanılarak sistem aşağıdaki biçimde yazılabilir.
3uv – 2v = 78,
İkinci denklemden u = ifade edip birinci denklemde yerine koyarsak 9v2 – 28v – 156 = 0 elde ederiz. Bu denklemin kökleri v1 = 6 ve v2 = - karşılık gelen u1 = 5 değerlerini bulmamızı sağlar, u2 = - u = ifadesinden.
Şimdi aşağıdaki x + y = 5 ve x + y = -, xy = 6 xy = - sistemlerini çözelim.
x = 5 – y ve y = -x -, xy = 6 xy = -.
x = 5 – y ve y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.
x = 5 – y ve y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 ve x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
Cevap: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Çözüm.
Bu yazıyı yazarken tanıştım farklı türler Cebirsel denklem sistemleri. “Denklem Sistemleri” konusuna ilişkin özet bilimsel bilgiler.
Bunu anladım ve yeni değişkenler ekleyerek çözmeyi öğrendim;
Simetrik denklem sistemleriyle ilgili temel teorileri gözden geçirdi
Simetrik denklem sistemlerini çözmeyi öğrendi.
giriiş
Simetri... insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir.
Simetri kavramı insanlık tarihi boyunca devam eder. Zaten insan bilgisinin kökenlerinde bulunur. Canlı bir organizmanın, yani insanın incelenmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı ve MÖ 5. yüzyılda heykeltıraşlar tarafından kullanıldı. e.
"Simetri" kelimesi Yunancadır. Parçaların düzenlenmesinde “orantılılık”, “orantılılık”, tekdüzelik anlamına gelir. İstisnasız her yönden yaygın olarak kullanılmaktadır. modern bilim.
Birçok harika insan bu model hakkında düşündü. Örneğin L.N. Tolstoy şunları söyledi: “Kara tahtanın önünde durup üzerine tebeşirle farklı şekiller çizerken birdenbire şu düşünce aklıma geldi: Simetri neden göze net geliyor? Simetri nedir? Bu doğuştan gelen bir duygu. Neye dayanıyor?”
Aslında simetri göze hoş geliyor. Doğanın yaratımlarının simetrisine kim hayran kalmaz: Yapraklar, çiçekler, kuşlar, hayvanlar; veya insan yaratımları: binalar, teknoloji - bizi çocukluğumuzdan beri çevreleyen her şey, güzellik ve uyum için çabalayan her şey.
Simetri (eski Yunanca συμμετρία - “orantılılık”), geniş anlamda - herhangi bir dönüşüm altında değişmezlik. Yani, örneğin bir cismin küresel simetrisi, cisim uzayda rastgele açılarla (bir noktayı yerinde tutarak) döndürülürse görünüşünün değişmeyeceği anlamına gelir. Bilateral simetri, bir düzlemin sağ ve sol taraflarının aynı görünmesi anlamına gelir.
Doğada, teknolojide, sanatta, bilimde simetriye her yerde rastlıyoruz. Örneğin bir kelebeğin ve bir akçaağaç yaprağının simetri özelliğini, bir araba ve bir uçağın simetrisini, bir şiirin ve bir müzik cümlesinin ritmik yapısındaki simetriyi, süslemelerin ve sınırların simetrisini, simetriyi not edelim. Moleküllerin ve kristallerin atomik yapısı. Simetri kavramı, insan yaratıcılığının asırlık tarihinin tamamı boyunca uzanır. Zaten insan bilgisinin kökenlerinde bulunur; modern bilimin tüm alanlarında istisnasız yaygın olarak kullanılmaktadır. Simetri ilkeleri fizik ve matematikte, kimya ve biyolojide, teknoloji ve mimaride, resim ve heykelde, şiir ve müzikte önemli bir rol oynamaktadır. Fenomenlerin tükenmez resmini çeşitlilikleri içinde yöneten doğa yasaları da simetri ilkelerine tabidir.
Hedefler:
Simetri türlerini ve türlerini göz önünde bulundurun;
Simetrinin nasıl ve nerede kullanıldığını analiz edin;
Simetrinin nasıl kullanıldığını düşünün okul kursu cebir
Simetri.
“Simetri” kelimesinin ikili bir yorumu vardır. Bir anlamda simetrik, çok orantılı, dengeli bir şey anlamına geliyor; Simetri, birçok parçanın nasıl koordine edildiğini ve bunun yardımıyla bir bütün halinde birleştirildiğini gösterir. Bu kelimenin ikinci anlamı dengedir. Aristoteles ayrıca simetriden, uçların ilişkisiyle karakterize edilen bir durum olarak söz etti. Bu ifadeden, Aristoteles'in belki de Doğanın en temel yasalarından birinin - onun ikilik yasasının - keşfine en yakın olduğu sonucu çıkıyor.
Simetrinin imkansız olduğu yönleri vurgulamak gerekir:
1) nesne simetrinin taşıyıcısıdır; şeyler, süreçler, geometrik şekiller, matematiksel ifadeler, canlı organizmalar vb.
2) bir nesnenin simetri dönüşümleri sırasında değişmeden kalan bazı özellikleri - miktarları, özellikleri, ilişkileri, süreçleri, olayları -; bunlara değişmezler veya değişmezler denir.
3) değişmez özelliklere göre nesneyi kendisiyle aynı bırakan (bir nesnenin) değişiklikleri; bu tür değişikliklere simetri dönüşümleri denir;
4) bir nesnenin, seçilen özelliklere göre, karşılık gelen değişikliklerden sonra kendisine dönüşme özelliği.
Dolayısıyla simetri, bir şeyin bazı değişikliklere rağmen korunmasını veya bir şeyin değişikliğe rağmen korunmasını ifade eder. Simetri, yalnızca nesnenin kendisinin değil, aynı zamanda nesne üzerinde gerçekleştirilen dönüşümlerle ilgili herhangi bir özelliğinin de değişmezliğini varsayar. Belirli nesnelerin değişmezliği, çeşitli işlemlerle (döndürme, öteleme, parçaların karşılıklı değiştirilmesi, yansımalar vb.) ilişkili olarak gözlemlenebilir. Bu konuda şunu vurguluyorlar: farklı türler simetri.
Asimetri
Asimetri, simetrinin yokluğu veya ihlalidir.
Mimarlıkta simetri ve asimetri, mekansal formun mantıksal organizasyonunun iki karşıt yöntemidir. Mimari gelişim sürecindeki asimetrik kompozisyonlar, yaşam süreçlerinin ve çevresel koşulların karmaşık kombinasyonlarının somutlaşmış hali olarak ortaya çıktı.
asimetri
Kırık, kısmen bozulmuş simetri diyoruz asimetri
.
Asimetri canlı doğada yaygın olan bir olgudur. Aynı zamanda insanlar için de tipiktir. Vücudunun ana hatlarının bir simetri düzlemine sahip olmasına rağmen kişi asimetriktir. Asimetri etkiler
Ellerden birinin daha iyi kontrol edilmesi, kalbin ve diğer birçok organın asimetrik dizilişinde, bu organların yapısında.
İnsan vücudundaki simetrisizlikler mimarideki tam simetriden sapmalara benzer. Bunlar genellikle pratik zorunluluktan, fonksiyonların çeşitliliğinin katı simetri yasalarının sınırlarına uymamasından kaynaklanır. Bazen bu tür sapmalar akut duygusal etkinin temelini oluşturur.
^ Matematik ve bilimde bulunan simetri türleri:
İkili simetri- bir nesnenin iki yarısının ayna simetrik olduğu bir simetri düzlemine sahip olduğu ayna yansıma simetrisi. Hayvanlarda iki taraflı simetri, vücudun sol ve sağ yarısının benzerliği veya neredeyse tamamen özdeşliği ile kendini gösterir. Bu durumda her zaman simetriden rastgele sapmalar olur (örneğin papiller çizgilerdeki farklılıklar, kan damarlarının dallanması). Genellikle dış yapıda küçük ama doğal farklılıklar vardır ve vücudun sağ ve sol yarısı arasında daha önemli farklılıklar vardır. konum iç organlar. Örneğin memelilerde kalp genellikle asimetrik olarak sola doğru kayar.
Hayvanlarda, evrimde iki taraflı simetrinin ortaya çıkışı, sırt ve ventralin yanı sıra vücudun sağ ve sol yarılarının da ortaya çıkması nedeniyle substrat boyunca (bir rezervuarın tabanı boyunca) sürünmeyle ilişkilidir. Genel olarak hayvanlar arasında ikili simetri, aktif olarak hareketli formlarda sabit olmayanlara göre daha belirgindir, genellikle iki taraflı simetriye sahip olan organizmanın tamamı değil, tek tek parçaları - yapraklar veya çiçeklerdir. Botanikçiler iki taraflı simetrik çiçeklere zigomorfik diyorlar.
^N'inci dereceden simetri- herhangi bir eksen etrafında 360°/n'lik bir açı boyunca dönüşlere göre simetri. Zn grubu tarafından tanımlanmıştır.
Eksenel simetri(radyal simetri, ışın simetrisi) - nesne belirli bir nokta veya çizgi etrafında döndüğünde bir gövdenin (veya şeklin) kendisiyle çakıştığı bir simetri biçimi. Çoğu zaman bu nokta, nesnenin simetri merkeziyle, yani
sonsuz sayıda ikili simetri ekseni kesişir. Daire, top, silindir veya koni gibi geometrik nesneler radyal simetriye sahiptir. SO(2) grubu tarafından açıklanmıştır.
^ Küresel simetri- dönmelere göre simetri üç boyutlu uzay keyfi açılarda. SO(3) grubu tarafından açıklanmıştır. Uzayın veya ortamın yerel küresel simetrisine izotropi de denir.
^ Dönme simetrisi- m-boyutlu Öklid uzayının tüm veya bazı uygun dönüşlerine göre bir nesnenin simetrisini ifade eden bir terim.
^ Hayvanlarda ve insanlarda simetri.
Simetri, hayvanın yapısının, yaşam tarzının ve davranışının özelliklerini yansıtan hayati bir özelliktir. Balığın yüzmesi için simetrik şekil gereklidir; uçacak kuş. Yani doğada simetrinin var olmasının bir nedeni var: Aynı zamanda faydalıdır, başka bir deyişle amaca uygundur. Biyolojide simetri merkezi şunları içerir: çiçekler, denizanası, deniz yıldızı vb. Simetri formlarının varlığı zaten en basit - tek hücrelilerde (siliatlar, amipler) izlenebilir. İnsan vücudu iki taraflı ilkesi üzerine inşa edilmiştir. simetri. Beyin iki yarıya bölünmüştür. İnsan vücudunun genel simetrisine tam uygun olarak, her yarım küre diğerinin neredeyse tam bir ayna görüntüsüdür. İnsan vücudunun temel hareketlerinin ve duyusal fonksiyonlarının kontrolü, beynin iki yarım küresi arasında eşit olarak dağıtılmıştır. Sol yarıküre kontrolleri sağ taraf beyin ve sağ - sol taraf. Araştırmalar simetrik bir yüzün daha çekici olduğunu gösteriyor. Araştırmacılar ayrıca ideal oranlara sahip bir yüzün, sahibinin vücudunun enfeksiyonlarla savaşmaya hazır olduğunun bir işareti olduğunu da iddia ediyor. Sol tarafı tam olarak sağ tarafı gibi olan kişilerde soğuk algınlığı, astım ve gribin iyileşme olasılığı daha yüksektir. Ve giyimde, kişi kural olarak simetri izlenimini korumaya çalışır: sağ kol sola, sağ pantolon bacağı sola karşılık gelir. Ceketin ve gömleğin üzerindeki düğmeler tam ortada bulunur ve eğer ondan uzaklaşırlarsa simetrik mesafelerdedir. Ve aynı zamanda bazen insan sağ ile sol arasındaki farkı vurgulamaya ve güçlendirmeye çalışır. Orta Çağ'da erkekler bir zamanlar bacakları farklı renkte (örneğin biri kırmızı, diğeri siyah veya beyaz) pantolonlar giyerlerdi. Ancak
bu moda her zaman kısa ömürlüdür. Uzun süre yalnızca simetriden incelikli, mütevazı sapmalar kalır.
Sanatta simetri
Genel olarak sanatta ve özel olarak güzel sanatlarda simetri, gerçeklik simetrik olarak düzenlenmiş formlarla doludur.
Bir kompozisyonun simetrik organizasyonu, parçalarının kütle, ton, renk ve hatta şekil bakımından dengesi ile karakterize edilir. Bu gibi durumlarda, bir kısım neredeyse ikincinin ayna görüntüsüdür. Simetrik kompozisyonlar çoğunlukla belirgin bir merkeze sahiptir. Kural olarak, şuna denk gelir: geometrik merkez resim düzlemi. Ufuk noktası merkezden kaydırılırsa, parçalardan biri kütlelerle daha fazla yüklenirse veya görüntü çapraz olarak kurgulanırsa, tüm bunlar kompozisyona dinamizm kazandırır ve bir dereceye kadar ideal dengeyi bozar.
Simetri kuralı heykeltıraşlar tarafından da kullanıldı Antik Yunanistan. Bir örnek, Zeus Tapınağı ve Olympia'nın batı alınlığının kompozisyonudur. Lapithlerin (Yunanlılar) tanrı Apollon'un huzurunda centaurlarla mücadelesine dayanmaktadır. Hareket yavaş yavaş kenarlardan merkeze doğru yoğunlaşır. Kentaurlara saldıran iki genç adamın görüntüsünde en yüksek ifade gücüne ulaşıyor. Büyüyen hareket, alınlığın ortasında sakin ve görkemli bir şekilde duran Apollon figürüne yaklaşıldığında hemen duracak gibi görünüyor.
MÖ 5. yüzyılın ünlü ressamlarının kayıp eserleri hakkında bir fikir. e. araştırmacıların inandığı gibi, klasik çağın Yunan ustalarının eserlerinden ilham alan antik vazo resimlerinden ve Pompei fresklerinden derlenebilir...
MÖ 4-3. yüzyıl Yunan ustalarında da simetrik kompozisyonlara rastlanmaktadır. e. Bu, fresklerin kopyalarından değerlendirilebilir. Pompei fresklerinde ana figürler, simetriyle karakterize edilen piramidal bir kompozisyonun merkezinde yer alır.
Sanatçılar ciddi kalabalık toplantıları, geçit törenlerini, büyük salonlardaki toplantıları vb. tasvir ederken sıklıkla simetri kurallarına başvurdular.
Erken Rönesans sanatçıları, anıtsal tablonun (örneğin, Giotto'nun freskleri) kanıtladığı gibi, simetri kuralına büyük önem verdiler. Yüksek Rönesans döneminde İtalyan kompozisyonu olgunluğa ulaştı. Örneğin, “Aziz Anne, Meryem ve Çocuk İsa” tablosunda Leonardo da Vinci, üç figürü yukarıya bakan bir üçgen şeklinde yerleştirmiştir. Sağ alt köşede küçük bir İsa'nın tuttuğu bir kuzu heykelciği verilmiştir. Her şey öyle düzenlenmiştir ki, bu üçgen ancak hacimsel-mekansal figür grubu altında tahmin edilebilecektir.
Leonardo da Vinci'nin Son Akşam Yemeği'ne simetrik bir kompozisyon da denilebilir. Bu fresk o dramatik anı gösteriyor
Mesih öğrencilerine şunu söyledi: "İçinizden biri bana ihanet edecek." Havarilerin bu peygamberlik sözlerine verdikleri psikolojik tepki, karakterleri, İsa figürünün yer aldığı kompozisyon merkeziyle birleştirir. Bu merkezcil kompozisyondan gelen bütünlük izlenimi, sanatçının yemekhaneyi pencerenin ortasında, karşısında İsa'nın başının açıkça çizildiği paralel çizgilerin ufuk noktasıyla perspektif olarak göstermesiyle daha da güçlenmiştir. Böylece izleyicinin bakışları istemsiz olarak resmin merkezi figürüne yönlendirilir.
Simetrinin olanaklarını gösteren eserler arasında, Rönesans'ın karakteristik kompozisyon tekniklerinin en eksiksiz ifadeyi bulduğu Raphael'in "Meryem'in Nişanı" da sayılabilir.
V. M. Vasnetsov'un “Bogatyrs” tablosu da simetri kuralına göre inşa edilmiştir. Kompozisyonun merkezi İlya Muromets'in figürüdür. Solda ve sağda sanki ayna görüntüsündeymiş gibi Alyosha Popovich ve Dobrynya Nikitich var. Figürler resim düzlemi boyunca sakin bir şekilde atların üzerinde oturarak yerleştirilmiştir. Kompozisyonun simetrik yapısı göreceli bir huzur durumunu yansıtıyor. Sol ve sağ figürler kütle olarak aynı değildir, bu da yazarın ideolojik planından kaynaklanmaktadır. Ancak her ikisi de Muromets figürüyle karşılaştırıldığında daha az güçlü ve genel olarak kompozisyona tam bir denge sağlıyor.
Kompozisyonun istikrarı izleyiciye Rus topraklarının savunucuları olan kahramanların yenilmezliğine dair bir güven duygusu veriyor. Üstelik "Bogatyrs" da eyleme geçişin eşiğinde gergin bir sakinlik durumu aktarılıyor. Bu da simetrinin aynı zamanda tohumu da bünyesinde taşıdığı anlamına gelir. dinamik hareket zaman ve mekanda.
Cebirde simetri.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için en basit simetrik ifadeler Vieta teoreminde bulunur. Bu onların bazı problemlerin çözümünde kullanılmasına olanak sağlar. ikinci dereceden denklemler. Birkaç örneğe bakalım.
Örnek 1:
İkinci dereceden denklem 
kökleri vardır ve . Bu denklemi çözmeden, toplamları , ile ifade ederiz. İfade ve'ye göre simetriktir. Bunları + ve cinsinden ifade edelim ve ardından Vieta teoremini uygulayalım.
1.
Denklemler denir 3. dereceden simetrik denklemler eğer benziyorlarsa
balta 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Bu tür denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için, karşılıklı denklemlerin aşağıdaki basit özelliklerini bilmek ve kullanabilmek faydalıdır:
A) Derecesi tek olan herhangi bir karşılıklı denklemin kökü her zaman -1'e eşittir.
Aslında sol taraftaki terimleri şu şekilde gruplandırırsak: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, o zaman ortak çarpanı çıkarmak mümkündür, yani. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0 olduğundan,
x + 1 = 0 veya ax 2 + (b – a)x + a = 0, ilk denklem bizi ilgilendiren ifadeyi kanıtlıyor.
B) Karşılıklı denklemin sıfıra eşit kökleri yoktur.
V) Derecesi tek olan bir polinomu (x + 1)'e böldüğümüzde bölüm yine yinelenen bir polinomdur ve bu tümevarımla kanıtlanır.
Örnek.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Çözüm.
Orijinal denklemin zorunlu olarak x = -1 kökü vardır, dolayısıyla Horner'ın şemasına göre x 3 + 2x 2 + 2x + 1'i (x + 1)'e böleriz:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
İkinci dereceden denklem x 2 + x + 1 = 0'ın kökü yoktur.
Cevap: -1.
2.
Denklemler denir 4. dereceden simetrik denklemler eğer benziyorlarsa
balta 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Çözüm algoritması benzer denklemler şunlardır:
A) Orijinal denklemin her iki tarafını da x 2'ye bölün. Bu işlem kökün kaybına yol açmayacaktır çünkü x = 0 verilen denklemin çözümü değildir.
B) Gruplandırmayı kullanarak denklemi şu forma getirin:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Yeni bir bilinmeyen girin: t = (x + 1/x).
Dönüşümü yapalım: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Şimdi x 2 + 1/x 2'yi ifade edersek, o zaman t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 olur.
G) Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi yeni değişkenlerde çözün:
2 + bt + c – 2a = 0'da.
D) Ters bir değişiklik yapın.
Örnek.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Çözüm.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
t'yi girin: ikame (x + 1/x) = t. Değiştirme: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, elimizde:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 veya t = 10/3.
X değişkenine dönelim. Ters değiştirmeden sonra ortaya çıkan iki denklemi çözeriz:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 veya x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 veya x = 1/3.
Cevap: -2; -1/2; 1/3; 3.
Daha yüksek dereceli belirli denklem türlerini çözme yöntemleri
1. Formu olan denklemler (x + a) n + (x + b) n = c, t = x + (a + b)/2 yerine konularak çözülür. Bu yöntem denir simetrikleştirme yöntemi.
Böyle bir denklemin bir örneği, (x + a) 4 + (x + b) 4 = c formundaki bir denklem olabilir.
Örnek.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Çözüm.
Yukarıda belirtilen değişikliği yapıyoruz:
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, sadeleştirmeden sonra: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
Formülleri kullanarak parantezleri kaldırdığımızda şunu elde ederiz:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t4 + 6t2 – 135 = 0.
t2 = 9 veya t2 = -15.
İkinci denklem kökleri vermiyor ama birinciden t = ±3 elde ediyoruz.
Ters değiştirmeden sonra x = -5 veya x = 1 sonucunu elde ederiz.
Cevap: -5; 1.
Bu tür denklemleri çözmek için genellikle etkilidir Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırma yöntemi.
2. Formun denklemleri (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, burada a + d = c + b.
Bu tür denklemleri çözme tekniği parantezleri kısmen açmak ve ardından yeni bir değişken eklemektir.
Örnek.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Çözüm.
Hesaplıyoruz: 1 + 4 = 2 + 3. Parantezleri çiftler halinde gruplandırın:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
x 2 + 5x + 4 = t yerine koyma yaparsak denklemi elde ederiz
t(t + 2) = 24, karedir:
t2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 veya t = 4.
Ters yerine koyma işlemini yaptıktan sonra orijinal denklemin köklerini kolaylıkla buluruz.
Cevap: -5; 0.
3. Formun denklemleri (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, burada ad = cb.
Çözüm yöntemi parantezleri kısmen açmak, her iki tarafı da x 2'ye bölmek ve bir dizi ikinci dereceden denklemi çözmektir.
Örnek.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
Çözüm.
Sol taraftaki ilk iki ve son iki parantezi çarparsak şunu elde ederiz:
(x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) = 4x 2. x 2 ≠ 0'a bölün.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. (x + 24/x) = t'yi yerine koyarsak ikinci dereceden denkleme ulaşırız:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 veya t = 15.
Ters yerine koyma işlemi x + 24/x = 10 veya x + 24/x = 15 yapılarak kökleri buluruz.
Cevap: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
(3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1 denklemini çözün.
Çözüm.
Bu denklemi hemen sınıflandırmak ve bir çözüm yöntemi seçmek zordur. Bu nedenle öncelikle kareler farkını ve küp farkını kullanarak dönüşüm gerçekleştiriyoruz:
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Daha sonra ortak çarpanı çıkardıktan sonra basit bir denklem elde ederiz:
(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.
Cevap: -5; -9 ± √33.
Görev.
4'e eşit bir kökün katının 2 ve kökün -2'ye eşit olduğu üçüncü dereceden bir polinom oluşturun.
Çözüm.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) veya f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
İlk iki parantez çarpılıp getiriliyor benzer terimler Buradan şunu elde ederiz: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).
x 3 – 6x 2 + 32 üçüncü dereceden bir polinomdur, dolayısıyla q(x) şuradan bir sayıdır: R(yani gerçek). q(x) bir olsun, o zaman f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Cevap: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Hala sorularınız mı var? Denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.