Evet evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :) Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, o zaman iç kanıt bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu henüz bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, şöyle: Çooook!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle uzun tanıtımlarla sizi sıkmayacağım ve doğrudan konuya gireceğim.
Öncelikle birkaç örnek. Birkaç sayı kümesine bakalım:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta hiçbir şey yok. Ama aslında bir şey var. Yani: sonraki her öğe öncekinden aynı sayıda farklıdır.
Kendiniz karar verin. İlk küme, her biri bir öncekinden bir fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beştir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda ise hiç kök yoktur. Bununla birlikte, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ve $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani. ve bu durumda, sonraki her öğe yalnızca $\sqrt(2)$ kadar artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).
Yani: bu tür dizilerin tümüne aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:
Tanım. Her birinin bir öncekinden tam olarak aynı miktarda farklı olduğu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.
Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ onun farkıdır.
Ve sadece birkaç önemli not. İlk olarak, ilerleme yalnızca dikkate alınır sipariş edildi sayıların sırası: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Sayılar yeniden düzenlenemez veya değiştirilemez.
İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin (1; 2; 3) kümesinin sonlu bir aritmetik ilerleme olduğu açıktır. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) ruhuyla bir şey yazarsanız, bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, daha pek çok sayının geleceğini ima ediyor gibi görünüyor. Mesela sonsuz sayıda :)
İlerlemelerin artabileceğini veya azalabileceğini de belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerlemelerin örnekleri:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Tamam tamam: son örnek aşırı karmaşık görünebilir. Ama gerisini sanırım anlıyorsunuz. Bu nedenle yeni tanımlar sunuyoruz:
Tanım. Aritmetik ilerlemeye denir:
- her bir sonraki öğe bir öncekinden büyükse artar;
- aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.
Ek olarak, "durağan" diziler de vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).
Geriye tek bir soru kalıyor: Artan ilerlemeyi azalan ilerlemeden nasıl ayırt edebiliriz? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:
- $d \gt 0$ ise ilerleme artar;
- Eğer $d \lt 0$ ise ilerleme açıkça azalıyor demektir;
- Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayıların sabit bir dizisine indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.
Yukarıda verilen üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin birinci ve ikinci) alıp soldaki sayıyı sağdaki sayıdan çıkarmak yeterlidir. Şunun gibi görünecek:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Gördüğümüz gibi her üç durumda da fark aslında negatif çıktı. Artık tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanın zamanı geldi.
İlerleme terimleri ve yineleme formülü
Dizilerimizin elemanları değiştirilemediği için numaralandırılabilirler:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]
Bu kümenin bireysel elemanlarına bir ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayıyla belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.
Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu terimleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kısacası, bir ilerlemenin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Bu formüle yinelenen denir, çünkü onun yardımıyla herhangi bir sayıyı yalnızca öncekini (ve aslında öncekilerin tümünü) bilerek bulabilirsiniz. Bu çok sakıncalıdır, bu nedenle hesaplamaları ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Muhtemelen bu formülle zaten karşılaşmışsınızdır. Her türlü referans kitaplarında ve çözüm kitaplarında bunu vermekten hoşlanıyorlar. Ve herhangi bir mantıklı matematik ders kitabında ilklerden biridir.
Ancak biraz pratik yapmanızı öneririm.
Görev No.1. İlk üç terimi yazın aritmetik ilerleme$\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Çözüm. Yani, ilk terimi $((a)_(1))=8$ ve $d=-5$ ilerlemesinin farkını biliyoruz. Az önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]
Cevap: (8; 3; −2)
İşte bu! Lütfen dikkat: ilerlememiz azalıyor.
Tabii ki, $n=1$ değiştirilemez - ilk terim bizim tarafımızdan zaten bilinmektedir. Ancak birliği yerine koyarak formülümüzün ilk terim için bile işe yaradığına ikna olduk. Diğer durumlarda her şey banal aritmetiğe indirgendi.
Görev No.2. Bir aritmetik dizinin yedinci terimi -40'a ve on yedinci terimi -50'ye eşitse ilk üç terimini yazın.
Çözüm. Sorunun durumunu tanıdık terimlerle yazalım:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Sağ.\]
Bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerektiği için sistem işaretini koydum. Şimdi şunu belirtelim ki ikinci denklemden birinciyi çıkarırsak (sistemimiz olduğu için bunu yapmaya hakkımız var) şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]
İlerleme farkını bulmak işte bu kadar kolay! Geriye kalan tek şey, bulunan sayıyı sistemdeki denklemlerden herhangi birine koymaktır. Örneğin, ilkinde:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]
Şimdi, ilk terimi ve farkı bildiğimize göre, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyoruz:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]
Hazır! Sorun çözüldü.
Cevap: (−34; −35; −36)
İlerlemeyle ilgili keşfettiğimiz ilginç özelliğe dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp bunları birbirinden çıkarırsak, ilerlemenin farkını $n-m$ sayısıyla çarparak elde ederiz:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Kesinlikle bilmeniz gereken basit ama çok kullanışlı bir özellik - onun yardımıyla birçok ilerleme sorununun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun açık bir örneği:
Görev No.3. Bir aritmetik ilerlemenin beşinci terimi 8,4, onuncu terimi ise 14,4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.
Çözüm. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ve $((a)_(15))$'ı bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]
Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, dolayısıyla $5d=6$, bundan şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]
Cevap: 20.4
İşte bu! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu; her şey sadece birkaç satırda çözüldü.
Şimdi başka bir problem türüne bakalım: ilerlemenin negatif ve pozitif terimlerini bulmaya. Bir ilerleme artarsa ve ilk terimi negatifse, er ya da geç olumlu terimlerin içinde görüneceği bir sır değildir. Ve bunun tersi de geçerlidir: azalan ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz hale gelecektir.
Aynı zamanda unsurları sırayla geçerek bu anı “kafa kafaya” bulmak her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman problemler öyle bir şekilde yazılır ki formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa kağıt alır; biz cevabı bulurken uykuya dalarız. Bu nedenle bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışalım.
Görev No.4. Aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim var −38,5; −35,8; ...?
Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan farkı hemen buluruz:
Farkın pozitif olduğunu, dolayısıyla ilerlemenin arttığını unutmayın. İlk terim negatiftir, dolayısıyla bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağıdır.
Terimlerin olumsuzluğunun ne kadar süreyle (yani hangi $n$ doğal sayısına kadar) kaldığını bulmaya çalışalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]
Son satır biraz açıklama gerektiriyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleriyle yetiniyoruz (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), dolayısıyla izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$'dır ve hiçbir durumda 16 değildir. .
Görev No.5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.
Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olacaktır, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler biliniyor: $((a)_(5))$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerlemenin farkını kolayca bulabiliriz:
Ayrıca standart formülü kullanarak beşinci terimi birinci ve fark üzerinden ifade etmeye çalışalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]
Şimdi benzetme yoluyla ilerliyoruz önceki görev. Pozitif sayıların dizimizin hangi noktasında görüneceğini öğrenelim:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]
Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.
Lütfen unutmayın: son görevde her şey katı eşitsizlik yani $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.
Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok fazla zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücrelere sahip olmamızı sağlayacak çok yararlı başka bir özelliğini inceleyelim. :)
Aritmetik ortalama ve eşit girintiler
Artan aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimini ele alalım $\left(((a)_(n)) \right)$. Bunları sayı doğrusunda işaretlemeye çalışalım:
Sayı doğrusunda aritmetik ilerlemenin terimleriÖzellikle $((a)_(n-3))),...,((a)_(n+3))$ gibi rastgele terimleri işaretledim, $((a)_(1)) ,\'yi değil. ((a)_(2))),\ ((a)_(3))$, vb. Çünkü şimdi anlatacağım kural her “segment” için aynı şekilde işliyor.
Ve kural çok basit. Tekrarlayan formülü hatırlayalım ve işaretli tüm terimler için yazalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]
Ancak bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]
Ne olmuş? Ve $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması . Ve bu mesafe $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar aynı zamanda $((a)_(n) öğesinden de kaldırılmıştır. )$ aynı mesafede $2d$'a eşittir. Sonsuza kadar devam edebiliriz, ancak anlam resimde çok iyi gösterilmiştir.
İlerleme koşulları merkezden aynı uzaklıkta yer alır Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu sayılar biliniyorsa $((a)_(n))$ öğesinin bulunabileceği anlamına gelir:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1))))(2)\]
Mükemmel bir ifade elde ettik: Bir aritmetik ilerlemenin her terimi, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir! Üstelik: $((a)_(n))$'dan sola ve sağa bir adım değil, $k$ adımlarla geri adım atabiliriz - ve formül yine de doğru olacaktır:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]
Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$$'ı biliyorsak kolayca $((a)_(150))$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta bu gerçeğin bize hiçbir faydası olmadığı düşünülebilir. Ancak pratikte birçok problem aritmetik ortalamayı kullanacak şekilde özel olarak uyarlanmıştır. Bir göz atın:
Görev No. 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayılarının ardışık terimler olduğu tüm $x$ değerlerini bulun. aritmetik ilerleme (belirtilen sıraya göre).
Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanmıştır: merkezi öğe $x+1$ komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]
Sonuç klasik ikinci dereceden bir denklemdir. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ yanıtlardır.
Cevap: −3; 2.
Görev No.7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayılarının aritmetik bir ilerleme oluşturduğu (bu sırayla) $$ değerlerini bulun.
Çözüm. Ortadaki terimi yine komşu terimlerin aritmetik ortalaması üzerinden ifade edelim:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]
Tekrar ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök var: $x=6$ ve $x=1$.
Cevap: 1; 6.
Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız rakamlarla karşılaşırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir teknik var: sorunu doğru çözdük mü?
Diyelim ki 6 numaralı problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olduğunu nasıl kontrol edebiliriz? Bunları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Bir aritmetik ilerleme oluşturması gereken üç sayımız ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) olduğunu hatırlatmama izin verin. $x=-3$ yerine koyalım:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]
−54 sayısını aldık; −2; Farkı 52 olan 50 sayısı şüphesiz bir aritmetik ilerlemedir. Aynı şey $x=2$ için de olur:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]
Yine ilerleme oldu ama 27'lik bir farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözüldü. İsteyen ikinci sorunu kendi başına kontrol edebilir ama hemen söyleyeyim: orada da her şey doğru.
Genel olarak son problemleri çözerken başka bir şeyle karşılaştık ilginç gerçekşunu da unutmamak lazım:
Eğer üç sayı ikincisi ortada olacak şekilde ise önce aritmetik ve son olarak bu sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur.
Gelecekte bu ifadeyi anlamak, sorunun koşullarına dayalı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" olanak tanıyacaktır. Ancak böyle bir "inşaa" girişmeden önce, daha önce tartışılanlardan doğrudan çıkan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.
Öğeleri gruplama ve toplama
Tekrar sayı eksenine dönelim. Burada ilerlemenin birkaç üyesini not edelim, belki bunlar arasında. diğer birçok üyeye değer:
Sayı doğrusunda 6 eleman işaretlenmiştir“Sol kuyruğu” $((a)_(n))$ ve $d$ aracılığıyla, “sağ kuyruğu” ise $((a)_(k))$ ve $d$ aracılığıyla ifade etmeye çalışalım. Çok basit:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]
Şimdi aşağıdaki miktarların eşit olduğunu unutmayın:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]
Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki unsurunu başlangıç olarak düşünürsek ve sonra bu unsurlardan zıt yönlerde (birbirine doğru veya tam tersi uzaklaşmak için) adım atmaya başlarsak, Daha sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacak$S$. Bu en açık şekilde grafiksel olarak gösterilebilir:
Eşit girintiler eşit miktarlar verir Bu gerçeği anlamak, yukarıda düşündüklerimizden temelde daha yüksek düzeyde karmaşıklığa sahip sorunları çözmemize olanak sağlayacaktır. Örneğin bunlar:
Görev No. 8. İlk terimi 66 olan ve ikinci ve onikinci terimlerin çarpımının mümkün olan en küçük olduğu aritmetik ilerlemenin farkını belirleyin.
Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]
Yani $d$ ilerleme farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, çözümün tamamı fark etrafında oluşturulacaktır:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(hizala)\]
Tanktakiler için: İkinci gruptan genel çarpan olan 11'i çıkardım. Dolayısıyla gerekli çarpım $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği, dalları yukarıya doğru olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri genişletirsek şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Gördüğünüz gibi en yüksek terimin katsayısı 11'dir - bu pozitif bir sayıdır, yani aslında yukarı doğru dalları olan bir parabolle uğraşıyoruz:
takvim ikinci dereceden fonksiyon- parabol
Lütfen unutmayın: Bu parabol minimum değerini tepe noktasında $((d)_(0))$ $((d)_(0))$ ile alır. Elbette, bu apsisi standart şemayı kullanarak hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak bunu not etmek çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktası parabolün eksen simetrisi üzerinde yer alır, bu nedenle $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]
Bu yüzden parantezleri açmak için özel bir acelem yoktu: orijinal hallerinde kökleri bulmak çok çok kolaydı. Bu nedenle apsis, −66 ve −6 sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Keşfedilen sayı bize ne veriyor? Bununla birlikte gerekli ürün alınır en küçük değer(bu arada $((y)_(\min ))$'ı asla hesaplamadık - bu bizim için gerekli değil). Aynı zamanda bu sayı orijinal ilerlemenin farkıdır, yani. Cevabı bulduk :)
Cevap: −36
Görev No.9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı ekleyin, böylece bu sayılarla birlikte bir aritmetik ilerleme oluştursunlar.
Çözüm. Temel olarak, ilk ve son sayı zaten bilinen beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle gösterelim:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıkta (1)(6)$. Ve şu anda $x$ ve $z$ sayılarından $y$ elde edemiyorsak, ilerlemenin sonlarında durum farklıdır. Aritmetik ortalamayı hatırlayalım:
Şimdi $y$'ı bildiğimize göre kalan sayıları bulacağız. $x$'ın az önce bulduğumuz $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ sayıları arasında yer aldığını unutmayın. Bu yüzden
Benzer akıl yürütmeyi kullanarak kalan sayıyı buluruz:
Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Bunları orijinal sayıların arasına yerleştirilmesi gereken sırayla cevapta yazalım.
Cevap: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Görev No. 10. 2 ile 42 sayıları arasına, eklenen sayıların birinci, ikinci ve sonuncusunun toplamının 56 olduğunu biliyorsanız, bu sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı ekleyin.
Çözüm. Bununla birlikte, öncekilerle aynı şemaya göre aritmetik ortalama yoluyla çözülen daha da karmaşık bir problem. Sorun şu ki, kaç sayının eklenmesi gerektiğini tam olarak bilmiyoruz. Bu nedenle, kesin olarak, her şeyi yerleştirdikten sonra tam olarak $n$ sayıların olacağını ve bunların ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayalım. Bu durumda gerekli aritmetik ilerleme şu şekilde gösterilebilir:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Ancak $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının kenarlardaki 2 ve 42 sayılarından birbirine bir adım yaklaşarak elde edildiğini unutmayın, yani. dizinin merkezine. Ve bu şu anlama geliyor
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ancak bu durumda yukarıda yazılan ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]
$((a)_(3))$ ve $((a)_(1))$'ı bilerek, ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]
Geriye kalan tek şey kalan terimleri bulmak:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizala)\]
Böylece, 9. adımda dizinin sol ucuna ulaşacağız - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
İlerlemelerle ilgili kelime problemleri
Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Bu kadar basit: Okulda matematik eğitimi alan ve yukarıda yazılanları okumayan çoğu öğrenci için bu problemler zor görünebilir. Yine de bunlar matematikte OGE ve Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan problem türleridir, bu yüzden bunlara aşina olmanızı öneririm.
Görev No.11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 14 parça daha fazla üretti. Ekip Kasım ayında kaç parça üretti?
Çözüm. Açıkçası, aya göre listelenen parça sayısı artan bir aritmetik ilerlemeyi temsil edecektir. Dahası:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Kasım yılın 11. ayı olduğundan $((a)_(11))$ bulmamız gerekiyor:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Dolayısıyla kasım ayında 202 parça üretilecek.
Görev No. 12. Ciltleme atölyesinde Ocak ayında 216 kitap ciltlendi ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltlendi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?
Çözüm. Her şey aynı:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Aralık yılın son 12. ayı olduğundan $((a)_(12))$ ifadesini arıyoruz:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Cevap bu: Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.
Buraya kadar okuduysanız sizi tebrik etmek için acele ediyorum: aritmetik ilerlemelerde "genç dövüşçü kursunu" başarıyla tamamladınız. İlerleme toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz bir sonraki derse güvenle geçebilirsiniz.
Tıpkı resim ve şiir gibi matematiğin de kendine has bir güzelliği vardır.
Rus bilim adamı, tamirci N.E. Zhukovski
Çok yaygın görevler giriş sınavları Matematikte aritmetik ilerleme kavramıyla ilgili problemler vardır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için aritmetik ilerlemenin özellikleri hakkında iyi bir bilgiye sahip olmanız ve bunların uygulanmasında belirli becerilere sahip olmanız gerekir.
Öncelikle aritmetik ilerlemenin temel özelliklerini hatırlayalım ve en önemli formülleri sunalım., bu kavramla ilgilidir.
Tanım. Numara dizisi, takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayıda farklı olduğu, aritmetik ilerleme denir. Bu durumda sayıilerleme farkı denir.
Aritmetik ilerleme için aşağıdaki formüller geçerlidir:
, (1)
Nerede . Formül (1), bir aritmetik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), bir aritmetik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin aritmetik ortalaması ile çakışır ve .
Tam olarak bu özellik nedeniyle, söz konusu ilerlemenin "aritmetik" olarak adlandırıldığını unutmayın.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:
(3)
Tutarı hesaplamak için Birinci aritmetik ilerleme terimleriformül genellikle kullanılır
(5) nerede ve .
Formülü dikkate alırsak (1), daha sonra formül (5)'ten şu sonuç çıkar:
Eğer belirtirsek, o zaman
Nerede . Çünkü formül (7) ve (8), karşılık gelen formüller (5) ve (6)'nın bir genellemesidir.
özellikle, formül (5)'ten şu sonuç çıkıyor, Ne
Aşağıdaki teorem aracılığıyla formüle edilen aritmetik ilerlemenin özelliği çoğu öğrenci tarafından çok az bilinmektedir.
Teorem. Eğer öyleyse
Kanıt. Eğer öyleyse
Teorem kanıtlandı.
Örneğin , teoremi kullanarak, gösterilebilir
“Aritmetik ilerleme” konusundaki tipik problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.
Örnek 1. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. Formül (6)'yı uygulayarak elde ederiz. O zamandan beri ve , o zaman veya .
Örnek 2.Üç katı olsun, bölüme bölündüğünde sonuç 2, kalan 8 olsun. ve'yi belirleyin.
Çözüm.Örneğin koşullarından denklem sistemi aşağıdaki gibidir
, , ve olduğundan, denklem sisteminden (10) şunu elde ederiz:
Bu denklem sisteminin çözümü ve'dir.
Örnek 3. Eğer ve ise bulun.
Çözüm. Formül (5)'e göre elimizde veya var. Ancak (9) özelliğini kullanarak şunu elde ederiz.
O zamandan beri ve o zaman eşitlikten denklem şöyle veya .
Örnek 4. varsa bulun.
Çözüm.Formül (5)'e göre elimizde
Ancak teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:
Buradan ve formül (11)'den şunu elde ederiz:
Örnek 5. Verilen: . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri. Ancak bu nedenle.
Örnek 6., ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (9)'u kullanarak şunu elde ederiz: Bu nedenle, eğer , o zaman veya .
O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Hangisini çözersek ve alırız.
Denklemin doğal köküöyle.
Örnek 7. Eğer ve ise bulun.
Çözüm. Formül (3)'e göre elimizde bu olduğundan, denklem sistemi problem koşullarından çıkar.
İfadeyi yerine koyarsaksistemin ikinci denklemine, sonra veya elde ederiz.
Kökler ikinci dereceden denklemöyle Ve .
İki durumu ele alalım.
1. Let o zaman . O zamandan beri ve , o zaman .
Bu durumda formül (6)'ya göre elimizde
2. Eğer , o zaman ve
Cevap: ve.
Örnek 8.Öyle olduğu biliniyor ve. Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i ve örneğin durumunu dikkate alarak ve yazıyoruz.
Bu denklem sistemini ifade eder
Sistemin ilk denklemini 2 ile çarpıp ikinci denkleme eklersek, şunu elde ederiz:
Formül (9)'a göre elimizde. Bu bağlamda (12)'den şu sonuç çıkmaktadır: veya .
O zamandan beri ve , o zaman .
Cevap: .
Örnek 9. Eğer ve ise bulun.
Çözüm. O zamandan beri ve koşula göre, o zaman veya .
Formül (5)'ten bilinmektedir, Ne . O zamandan beri.
Buradan , burada bir doğrusal denklem sistemimiz var
Buradan ve alıyoruz. Formül (8)'i dikkate alarak yazıyoruz.
Örnek 10. Denklemi çözün.
Çözüm. Verilen denklemden şu çıkar. , , ve olduğunu varsayalım. Bu durumda.
Formül (1)'e göre veya yazabiliriz.
O zamandan beri denklem (13) tek uygun köke sahiptir.
Örnek 11. ve şartıyla maksimum değeri bulun.
Çözüm. O zamandan beri, söz konusu aritmetik ilerleme azalıyor. Bu bakımdan ifade, ilerlemenin minimum pozitif teriminin sayısı olduğunda maksimum değerini alır.
Formül (1)'i ve gerçeği kullanalım, bu ve . O zaman bunu veya .
O zamandan beri veya . Ancak bu eşitsizlikteen büyük doğal sayı, Bu yüzden .
, ve değerleri formül (6)'da yerine konulursa, elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 12. Tüm iki basamaklı sayıların toplamını belirleyin doğal sayılar 6'ya bölündüğünde 5 kalanını verir.
Çözüm. Tüm iki basamaklı doğal sayılar kümesiyle gösterelim; . Daha sonra, kümenin 6 sayısına bölündüğünde 5 kalanını veren elemanlarından (sayılarından) oluşan bir alt küme oluşturacağız.
Kurulumu kolay, Ne . Açıkça , kümenin elemanlarıaritmetik bir ilerleme oluşturmak, hangisinde ve .
Kümenin önem derecesini (eleman sayısını) belirlemek için şunu varsayıyoruz: ve olduğundan, formül (1) veya'dan çıkar. Formül (5)'i dikkate alarak elde ederiz.
Yukarıdaki problem çözme örneklerinin hiçbir şekilde kapsamlı olduğu iddia edilemez. Bu makale analize dayanarak yazılmıştır. modern yöntemlerçözümler tipik görevler belirli bir konu üzerinde. Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin daha derinlemesine incelenmesi için önerilen literatür listesine bakılması tavsiye edilir.
1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Barış ve Eğitim, 2013. – 608 s.
2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bazı insanlar "ilerleme" sözcüğünü çok ihtiyatlı bir şekilde ele alıyorlar. karmaşık terim bölümlerden yüksek matematik. Bu arada, en basit aritmetik ilerleme taksi sayacının (hala mevcut oldukları yerde) çalışmasıdır. Ve bir aritmetik dizinin özünü anlamak (ve matematikte "özünü elde etmekten" daha önemli bir şey yoktur), birkaç temel kavramı analiz ettikten sonra o kadar da zor değildir.
Matematiksel sayı dizisi
Sayısal diziye genellikle her biri kendi numarasına sahip olan bir sayı dizisi denir.
a 1 dizinin ilk üyesidir;
ve 2, dizinin ikinci terimidir;
ve 7, dizinin yedinci üyesidir;
ve n, dizinin n'inci üyesidir;
Ancak herhangi bir keyfi sayı ve sayı dizisi bizi ilgilendirmiyor. Dikkatimizi, n'inci terimin değerinin matematiksel olarak açıkça formüle edilebilecek bir ilişki yoluyla sıra numarasıyla ilişkilendirildiği sayısal diziye odaklayacağız. Başka bir deyişle: sayısal değer N'inci sayı, n'nin bir fonksiyonudur.
a, sayısal bir dizinin bir üyesinin değeridir;
n seri numarasıdır;
f(n), n sayısal dizisindeki sıra numarasının argüman olduğu bir fonksiyondur.
Tanım
Aritmetik ilerlemeye genellikle birbirini takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayı kadar büyük (küçük) olduğu sayısal dizi denir. Bir aritmetik dizinin n'inci teriminin formülü aşağıdaki gibidir:
a n - aritmetik ilerlemenin mevcut üyesinin değeri;
bir n+1 - sonraki sayının formülü;
d - fark (belirli bir sayı).
Farkın pozitif olması durumunda (d>0), söz konusu serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olacağını ve bu tür bir aritmetik ilerlemenin artacağını belirlemek kolaydır.
Aşağıdaki grafikte nedenini görmek kolaydır sayı dizisi"artan" denir.
Farkın negatif olduğu durumlarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Belirtilen üye değeri
Bazen bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir rastgele teriminin (n) değerini belirlemek gerekir. Bu, ilkinden istenilene kadar aritmetik ilerlemenin tüm üyelerinin değerlerinin sırayla hesaplanmasıyla yapılabilir. Ancak örneğin beş bininci veya sekiz milyonuncu terimin değerini bulmak gerekiyorsa bu yol her zaman kabul edilebilir değildir. Geleneksel hesaplamalar çok zaman alacaktır. Ancak belirli formüller kullanılarak belirli bir aritmetik ilerleme incelenebilir. Ayrıca n'inci terim için de bir formül vardır: Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir teriminin değeri, ilerlemenin ilk teriminin ilerlemenin farkıyla toplamının istenen terimin sayısıyla çarpımı ve eksiltilmesiyle belirlenebilir. bir.
Formül, ilerlemeyi artırmak ve azaltmak için evrenseldir.
Belirli bir terimin değerini hesaplamaya bir örnek
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin değerini bulmayla ilgili aşağıdaki problemi çözelim.
Durum: parametrelerle aritmetik bir ilerleme var:
Dizinin ilk terimi 3'tür;
Sayı serisindeki fark 1,2'dir.
Görev: 214 terimin değerini bulmanız gerekiyor
Çözüm: Belirli bir terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sorun ifadesindeki verileri ifadeye koyarsak:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Cevap: Dizinin 214. terimi 258,6'ya eşittir.
Bu hesaplama yönteminin avantajları açıktır - çözümün tamamı 2 satırdan fazla sürmez.
Belirli sayıda terimin toplamı
Çoğu zaman, belirli bir aritmetik seride, bazı bölümlerinin değerlerinin toplamını belirlemek gerekir. Bunu yapmak için her terimin değerlerini hesaplayıp daha sonra toplamaya da gerek yoktur. Toplamı bulunması gereken terim sayısının az olması durumunda bu yöntem uygulanabilir. Diğer durumlarda aşağıdaki formülü kullanmak daha uygundur.
1'den n'ye bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı, birinci ve n'inci terimlerin toplamına eşittir, n terimi sayısıyla çarpılır ve ikiye bölünür. Formülde n'inci terimin değeri makalenin önceki paragrafındaki ifadeyle değiştirilirse şunu elde ederiz:
Hesaplama örneği
Örneğin, aşağıdaki koşullarla ilgili bir problemi çözelim:
Dizinin ilk terimi sıfırdır;
Fark 0,5.
Problem 56'dan 101'e kadar olan serinin terimlerinin toplamının belirlenmesini gerektirmektedir.
Çözüm. İlerleme miktarını belirlemek için formülü kullanalım:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Öncelikle problemimizin verilen koşullarını formülde yerine koyarak ilerlemenin 101 teriminin değerlerinin toplamını belirliyoruz:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Açıkçası, 56. sıradan 101. sıraya ilerlemenin terimlerinin toplamını bulmak için S 101'den S 55'i çıkarmak gerekir.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dolayısıyla, bu örnek için aritmetik ilerlemenin toplamı şöyledir:
sn 101 - sn 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Aritmetik ilerlemenin pratik uygulamasına örnek
Makalenin sonunda, ilk paragrafta verilen aritmetik dizi örneğine - taksimetreye (taksi araba sayacı) dönelim. Bu örneği ele alalım.
Taksiye binmek (3 km'lik seyahat dahil) 50 rubleye mal oluyor. Sonraki her kilometre için 22 ruble/km oranında ödeme yapılır. Seyahat mesafesi 30 km'dir. Yolculuğun maliyetini hesaplayın.
1. İniş ücretine dahil olan ilk 3 km’yi atalım.
30 - 3 = 27 km.
2. Daha fazla hesaplama, bir aritmetik sayı serisinin ayrıştırılmasından başka bir şey değildir.
Üye numarası - kat edilen kilometre sayısı (ilk üç eksi).
Üyenin değeri toplamdır.
Bu problemdeki ilk terim 1 = 50 rubleye eşit olacaktır.
İlerleme farkı d = 22 r.
ilgilendiğimiz sayı aritmetik ilerlemenin (27+1)'inci teriminin değeridir - 27. kilometrenin sonundaki sayaç okuması 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
İsteğe bağlı olarak uzun bir süre için takvim verileri hesaplamaları, belirli sayısal dizileri açıklayan formüllere dayanmaktadır. Astronomide yörüngenin uzunluğu geometrik olarak gök cisminin yıldıza olan uzaklığına bağlıdır. Ayrıca çeşitli sayı serileri istatistikte ve matematiğin diğer uygulamalı alanlarında başarıyla kullanılmaktadır.
Başka bir sayı dizisi türü geometriktir
Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemeye kıyasla daha yüksek değişim oranlarıyla karakterize edilir. Politikada, sosyolojide ve tıpta, belirli bir olgunun, örneğin bir salgın sırasındaki bir hastalığın yüksek yayılma hızını göstermek için, sürecin geometrik ilerlemeyle geliştiğini sıklıkla söylemeleri tesadüf değildir.
Geometrik sayı serisinin N'inci terimi, bazı sabit sayılarla çarpılması bakımından öncekinden farklıdır - payda, örneğin, ilk terim 1'dir, payda buna karşılık olarak 2'ye eşittir, o zaman:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geometrik ilerlemenin mevcut teriminin değeri;
b n+1 - geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin formülü;
q geometrik ilerlemenin paydasıdır (sabit bir sayı).
Aritmetik ilerlemenin grafiği düz bir çizgi ise, geometrik ilerleme biraz farklı bir tablo çizer:
Aritmetikte olduğu gibi geometrik ilerlemenin de keyfi bir terimin değeri için bir formülü vardır. Geometrik ilerlemenin herhangi bir n'inci terimi, ilk terimin çarpımına ve n'nin kuvvetine doğru ilerlemenin paydasının bir eksiltilmesine eşittir:
Örnek. İlk terimi 3'e ve ilerlemenin paydası 1,5'e eşit olan geometrik bir ilerlememiz var. İlerlemenin 5. terimini bulalım
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Belirli sayıda terimin toplamı da özel bir formül kullanılarak hesaplanır. Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı, ilerlemenin n'inci teriminin çarpımı ile paydası ile ilerlemenin ilk terimi arasındaki farkın paydanın bir eksiltilmesiyle bölünmesine eşittir:
Yukarıda tartışılan formül kullanılarak b n değiştirilirse, söz konusu sayı serisinin ilk n teriminin toplamının değeri şu şekli alacaktır:
Örnek. Geometrik ilerleme ilk terimin 1'e eşit olmasıyla başlar. Payda 3'tür. İlk sekiz terimin toplamını bulalım.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Örneğin \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... aritmetik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden üç kat farklıdır (bir öncekinden üç ekleyerek elde edilebilir):
Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\'e eşittir) ve dolayısıyla her bir sonraki terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.
Ancak \(d\) negatif bir sayı da olabilir. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.
Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Bu ilerlemelere denir azalan.
Aritmetik ilerleme gösterimi
İlerleme küçük bir Latin harfiyle gösterilir.
Bir dizi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).
Aritmetik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki öğe sayısına eşit bir sayısal indeksle gösterilirler.
Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik ilerlemesi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.
Başka bir deyişle, ilerleme için \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmetik ilerleme problemlerini çözme
Prensip olarak, yukarıda sunulan bilgiler hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini (OGE'de sunulanlar dahil) çözmek için zaten yeterlidir.
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme \(b_1=7; d=4\) koşullarıyla belirtilir. \(b_5\) bulun.
Çözüm:
Cevap: \(b_5=23\)
Örnek (OGE).
Bir aritmetik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu ilerlemenin ilk negatif teriminin değerini bulun.
Çözüm:
|
Bize dizinin ilk elemanları veriliyor ve bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu biliyoruz. Yani her element komşusundan aynı sayıda farklılık gösterir. Bir öncekini sonraki elemandan çıkararak hangisi olduğunu bulalım: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Artık ilerlememizi ihtiyacımız olan (ilk negatif) unsura geri döndürebiliriz. |
|
|
Hazır. Cevap yazabilirsiniz. |
Cevap: \(-3\)
Örnek (OGE).
Bir aritmetik dizinin ardışık birkaç elemanı verildiğinde: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:
|
|
\(x\)'i bulmak için bir sonraki elemanın bir öncekinden ne kadar farklı olduğunu yani ilerleme farkını bilmemiz gerekir. Bunu bilinen iki komşu elemandan bulalım: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Artık aradığımız şeyi kolaylıkla bulabiliyoruz: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Hazır. Cevap yazabilirsiniz. |
Cevap: \(7,5\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullarla tanımlanır: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:
|
İlerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulmamız gerekiyor. Ama bunların anlamlarını bilmiyoruz; bize yalnızca ilk unsur veriliyor. Bu nedenle öncelikle bize verilenleri kullanarak değerleri tek tek hesaplıyoruz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Gerekli miktar bulunmuştur. |
Cevap: \(S_6=9\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:
Cevap: \(d=7\).
Aritmetik ilerleme için önemli formüller
Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeyle ilgili birçok problem, asıl meselenin anlaşılmasıyla çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayı zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, aynı sayının bir öncekine eklenmesiyle elde edildiği ( ilerleme farkı).
Ancak bazen "kafa kafaya" karar vermenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci elementi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini düşünün. Dört \(385\) kez mi eklememiz gerekiyor? Veya sondan bir önceki örnekte ilk yetmiş üç elementin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymaktan yorulacaksınız...
Dolayısıyla bu gibi durumlarda işleri “birdenbire” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve bunların başlıcaları ilerlemenin n'inci terimi için formül ve \(n\) ilk terimin toplamı için formüldür.
\(n\)'inci terimin formülü: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk terimidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\) – \(n\) sayısıyla ilerlemenin terimi.
Bu formül, yalnızca ilkini ve ilerlemenin farkını bilerek üç yüzüncü veya milyonuncu elementi bile hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.
Örnek.
Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)'ı bulun.
Çözüm:
Cevap: \(b_(246)=1850\).
İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada
\(a_n\) – son toplanan terim;
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme \(a_n=3.4n-0.6\) koşullarıyla belirtilir. Bu ilerlemenin ilk \(25\) teriminin toplamını bulun.
Çözüm:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
İlk yirmi beş terimin toplamını hesaplamak için birinci ve yirmi beşinci terimin değerini bilmemiz gerekir. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Şimdi \(n\) yerine yirmi beş koyarak yirmi beşinci terimi bulalım. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Artık gerekli miktarı kolayca hesaplayabiliriz. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Cevap hazır. |
Cevap: \(S_(25)=1090\).
İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: sadece \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \'ye ihtiyacınız var (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine \(a_n=a_1+(n-1)d\) formülünü kullanın. Şunu elde ederiz:
İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada
\(S_n\) – \(n\) ilk elemanın gerekli toplamı;
\(a_1\) – ilk toplanan terim;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) – toplamdaki öğe sayısı.
Örnek.
Aritmetik ilerlemenin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Çözüm:
Cevap: \(S_(33)=-231\).
Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri
Artık hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, biraz da düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu işinize yarayabilir ☺)
Örnek (OGE).
İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Çözüm:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Görev bir öncekine çok benzer. Aynı şeyi çözmeye başlıyoruz: önce \(d\)'yi buluyoruz. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Şimdi toplam formülüne \(d\) koymak istiyoruz... ve burada küçük bir nüans ortaya çıkıyor - \(n\)'i bilmiyoruz. Başka bir deyişle kaç terimin eklenmesi gerektiğini bilmiyoruz. Nasıl öğrenilir? Düşünelim. İlk pozitif öğeye ulaştığımızda öğe eklemeyi bırakacağız. Yani bu elementin sayısını bulmanız gerekiyor. Nasıl? Bizim durumumuz için aritmetik ilerlemenin herhangi bir elemanını hesaplamak için formülü yazalım: \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Sıfırdan büyük olması için \(a_n\)'a ihtiyacımız var. Bunun ne zaman olacağını \(n\) öğrenelim. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Eşitsizliğin her iki tarafını \(0,3\)'a bölüyoruz. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
İşaretleri değiştirmeyi unutmadan eksi bir aktarıyoruz |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hadi hesaplayalım... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...ve ilk pozitif elemanın \(66\) sayısına sahip olacağı ortaya çıktı. Buna göre son negatif \(n=65\) olur. Her ihtimale karşı şunu kontrol edelim. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Bu yüzden ilk \(65\) elemanını eklememiz gerekiyor. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Cevap hazır. |
Cevap: \(S_(65)=-630.5\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)'ncı elemandan \(42\) elemanına kadar olan toplamı bulun.
Çözüm:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Bu problemde ayrıca elemanların toplamını bulmanız gerekir, ancak ilkinden değil \(26\)'dan başlayarak. Böyle bir durum için elimizde bir formül yok. Nasıl karar verilir? |
|
|
İlerlememiz için \(a_1=-33\) ve fark \(d=4\) (sonuçta, bir sonrakini bulmak için önceki öğeye eklediğimiz dört öğedir). Bunu bilerek ilk \(42\)-y elemanlarının toplamını buluyoruz. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Şimdi ilk \(25\) elemanların toplamı. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ve son olarak cevabı hesaplıyoruz. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Cevap: \(S=1683\).
Aritmetik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle bu makalede dikkate almadığımız birkaç formül daha vardır. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.
Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Ders hedefleri:
- öğrencilerin aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen problemlere ilişkin anlayışlarını genişletmek ve derinleştirmek; bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formülü türetirken öğrencilerin arama etkinliklerini organize etmek;
- bağımsız olarak yeni bilgi edinme ve belirli bir görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma yeteneğini geliştirmek;
- elde edilen gerçekleri genelleme arzusunu ve ihtiyacını geliştirmek, bağımsızlığı geliştirmek.
Görevler:
- “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri özetlemek ve sistematik hale getirmek;
- bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
- elde edilen formüllerin çeşitli problemleri çözerken nasıl uygulanacağını öğretmek;
- Öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.
Teçhizat:
- gruplar ve çiftler halinde çalışmaya yönelik görevleri içeren kartlar;
- puan tablosu;
- sunum“Aritmetik ilerleme.”
I. Temel bilgilerin güncellenmesi.
1. Bağımsız çalışmaçiftler halinde.
1. seçenek:
Aritmetik ilerlemeyi tanımlayın. Aritmetik ilerlemeyi tanımlayan yinelenen bir formül yazın. Lütfen aritmetik ilerlemeye bir örnek verin ve farkını belirtin.
2. seçenek:
Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın. Aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( BİR}: 2, 5, 8 …
Bu sırada tahtanın arkasında oturan iki öğrenci aynı soruların cevaplarını hazırlıyor.
Öğrenciler arkadaşlarının çalışmalarını tahtada kontrol ederek değerlendirirler. (Cevapların bulunduğu kağıtlar teslim edilir.)
2. Oyun anı.
Görev 1.
Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler düşündüm. Bana sadece iki soru sor ki cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. dönemini hızlı bir şekilde adlandırabilesin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Öğrencilerden gelen sorular.
- İlerlemenin altıncı dönemi nedir ve fark nedir?
- İlerlemenin sekizinci terimi nedir ve fark nedir?
Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d'ye (fark) "yasak", yani farkın neye eşit olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. terimi neye eşittir ve ilerlemenin 8. terimi neye eşittir?
Görev 2.
Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak durur. Öğrenciler numarayı söyler ve öğretmen anında numaranın kendisini söyler. Bunu nasıl yapabileceğimi açıkla?
Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlıyor bir n = 3n – 2 ve belirtilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur BİR.
II. Bir öğrenme görevi ayarlama.
Mısır papirüslerinde bulunan, MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.
Görev:“Size şunu söyleyelim: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişiyle komşusu arasındaki fark 1/8 kadardır.”
- Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir bağlantısı var? (Sonraki her kişi ölçünün 1/8'ini fazla alır yani fark d=1/8, 10 kişi yani n=10 olur.)
- Sizce 10 numaralı tedbir ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm terimlerinin toplamı.)
- Arpanın problemin koşullarına göre bölünmesini kolay ve basit hale getirmek için bilmeniz gereken başka ne var? (İlerlemenin ilk dönemi.)
Dersin Amacı– ilerlemenin terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farka bağımlılığını elde etmek ve eski zamanlarda problemin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmek.
Formülü çıkarmadan önce eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüklerine bakalım.
Ve bunu şu şekilde çözdüler:
1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – iki katına çıkar ortalama paylaşmak.
İki katına çıktı ortalama hisse 5. ve 6. şahısların hisselerinin toplamıdır.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşte bir kesri; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.
Sırayı alıyoruz:
III. Sorunu çözmek.
1. Grup halinde çalışın
Grup I: Ardışık 20 doğal sayının toplamını bulun: S 20 =(20+1)∙10 =210.
Genel olarak 
II grubu: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Küçük Gauss Efsanesi).
S 100 = (1+100)∙50 = 5050
Çözüm:
III grubu: 1'den 21'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.
Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Çözüm:
IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.
Çözüm:
Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss Yöntemi” denir.
2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.
3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:
a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Benzer akıl yürütmeyi kullanarak bu toplamı bulalım:
4. Sorunu çözdük mü?(Evet.)
IV. Elde edilen formüllerin problem çözümünde temel olarak anlaşılması ve uygulanması.
1. Formülü kullanarak eski bir problemin çözümünü kontrol etmek.
2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.
3. Problemleri çözerken formülleri uygulama yeteneğini geliştirmeye yönelik alıştırmalar.
A) 613 Sayılı
Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3,…, 1500
Bulmak: S 1500
Çözüm: , a 1 = 1 ve 1500 = 1500,
B) Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3, …
Sn = 210
Bulmak: N
Çözüm:
V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.
Denis kurye olarak çalışmaya başladı. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ayda ise 30 ruble arttı. Bir yılda toplam ne kadar kazandı?
Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
a 1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S12
Çözüm:
Cevap: Denis yıl için 4380 ruble aldı.
VI. Ev ödevi talimatı.
- Bölüm 4.3 – formülün türetilmesini öğrenin.
- №№ 585, 623 .
- Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formül kullanılarak çözülebilecek bir problem oluşturun.
VII. Dersi özetlemek.
1. Puan Tablosu
2. Cümlelere devam edin
- Bugün sınıfta öğrendim...
- Öğrenilen formüller...
- İnanıyorum ki...
3. 1'den 500'e kadar sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?
Referanslar.
1. Cebir, 9. sınıf. için öğretici eğitim kurumları. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Aydınlanma”, 2009.