Sırasıyla üst ve alt Minkowski boyutlarını sınırlayın ve konuşun.
Minkowski boyutuna yakın bir kavram, Hausdorff boyutudur. Farklı oldukları setler olmasına rağmen birçok durumda bu boyutlar örtüşür.
örnekler
Detaylarda
Bunu gösteren gayri resmi bir tartışma aşağıdaki gibidir. Segment, 1/2 faktörü ile orijinal segmente benzer şekilde 2 parçaya bölünebilir. 1 / çap setleriyle bir segmenti kaplamak için n, yarımların her birini bu tür kümelerle kaplamamız gerekiyor. Ancak bunların yarısı için, 2 / çapındaki setlerin tüm segmentiyle aynı miktara ihtiyacınız var. n. Bu nedenle, sahip olduğumuz segment için . Yani artarken n iki kez ρ( n) da iki katına çıkar. Başka bir deyişle, ρ( n) doğrusal bir fonksiyondur.
Bir kare için benzer bir argüman verir. Yani artarken n iki kez ρ( n) 4 kat artar. Başka bir deyişle, ρ( n) ikinci dereceden bir fonksiyondur. Son olarak Koch eğrisi, her biri orijinal eğriye 1/3 oranında benzeyen 4 kısımdan oluşur. Bu nedenle, onun için. İkame n = 3 k, alırız . Dolayısıyla, boyutun ln4 /'e eşit olduğu sonucu çıkar. benn 3 .
Resmi olarak: n fraktalın adımı olsun, n'inci adımda 4'e sahip olacağız n eşit segmentler, uzunluk 3 - n. ε için 3 − uzunluğunda bir parça alın n, sonra tüm Koch eğrisini kaplamak için 4'e ihtiyacımız var n segmentler. ε→0 koşulunun sağlanması için n→'ye yönelelim. Almak
Özellikler
- Sonlu bir küme birliğinin Minkowski boyutu, boyutlarının maksimumuna eşittir. Hausdorff boyutundan farklı olarak, bu sayılabilir birleşim için doğru değildir. Örneğin, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılar kümesi, tek öğeli kümelerin (her biri 0 boyutuna sahiptir) sayılabilir bir birleşimi olmasına rağmen, Minkowski boyutu 1'e sahiptir. Sıfır olmayan Minkowski boyutuna sahip kapalı bir sayılabilir küme örneği yukarıda verilmiştir.
- Herhangi bir kümenin alt Minkowski boyutu, Hausdorff boyutundan büyük veya ona eşittir.
- Herhangi bir kümenin Minkowski boyutu, kapanışının Minkowski boyutuna eşittir. Bu nedenle kapalı kümelerin sadece Minkowski boyutlarından bahsetmek mantıklıdır.
Ayrıca bakınız
Wikimedia Vakfı. 2010
- Trakya (Balkan Yarımadası'ndaki orijinal bölge)
- fraktal evren
Diğer sözlüklerde "Fraktal Boyut" un ne olduğuna bakın:
Boyut (değerler)- Boyut: Matematikte Boyut teorisi, boyutların incelendiği topolojinin bir parçasıdır - belirli bir türdeki sayısal topolojik değişmezler. Uzayın boyutu, ... ... için gerekli bağımsız parametrelerin sayısıdır.
Boyut- Boyut: Matematikte Boyut teorisi, boyutların incelendiği topolojinin bir parçasıdır - belirli bir türdeki sayısal topolojik değişmezler. Uzayın boyutu, durumu açıklamak için gereken bağımsız parametrelerin sayısıdır ... ... Wikipedia
fraktal grafikler- Mandelbrot seti klasik bir fraktal örneğidir.Fraktal (ezilmiş lat. fractus), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri birbirine benzeyen birkaç parçadan oluşan geometrik bir şekil anlamına gelen bir terimdir. bütün şekil ... ... Vikipedi
fraktal evren
fraktal kozmoloji- Alternatif bir felsefi, fiziksel ve kozmolojik teori olan atomizmin aksine, maddenin sonsuz iç içe geçmesi teorisi (fraktal teori). Bu teori, gözlemlenenin yapısı hakkında tümevarımsal mantıksal sonuçlara dayanmaktadır ... ... Wikipedia
fraktal teori- Alternatif bir felsefi, fiziksel ve kozmolojik teori olan atomizmin aksine, maddenin sonsuz iç içe geçmesi teorisi (fraktal teori). Bu teori, gözlemlenenin yapısı hakkında tümevarımsal mantıksal sonuçlara dayanmaktadır ... ... Wikipedia
türbülans- Bu isimdeki film için bkz Türbülans (film) . Sürekli Mekaniği ... Vikipedi
düzensiz akım
türbülanslı akış- Sürekli ortam mekaniği Sürekli orta Klasik mekanik Kütlenin korunumu yasası Momentumun korunumu yasası ... Wikipedia
türbülans- Sürekli ortam mekaniği Sürekli orta Klasik mekanik Kütlenin korunumu yasası Momentumun korunumu yasası ... Wikipedia
Kitabın
- Dinamik Kaos, S. P. Kuznetsov. Dinamik kaos hakkındaki fikirlerin temelleri ana hatlarıyla belirtilmiştir - son zamanlarda aktif olarak incelenen ve çeşitli yapıdaki doğrusal olmayan sistemlerde bulunan bir fenomen - mekanik, ...
Fraktallar hakkında çok fazla konuşma var. Web'de fraktallara adanmış yüzlerce site var. Ancak bilgilerin çoğu, fraktalların güzel olduğu gerçeğine indirgenir. Fraktalların gizemi, kesirli boyutlarıyla açıklanır, ancak çok az kişi kesirli boyutun ne olduğunu anlar.
1996'da bir yerlerde kesirli boyutun ne olduğu ve anlamı ile ilgilenmeye başladım. Bunun o kadar da karmaşık bir şey olmadığını ve her öğrencinin anlayabileceğini öğrendiğimde ne kadar şaşırdığımı hayal edin.
Burada popüler bir şekilde kesirli boyutun ne olduğunu açıklamaya çalışacağım. Bu konudaki akut bilgi eksikliğini telafi etmek için.
Vücut ölçümü
İlk olarak, bedenlerin ölçümü hakkındaki günlük fikirlerimizi bir düzene sokmak için küçük bir giriş.
Formülasyonların matematiksel doğruluğu için çabalamadan, boyut, ölçü ve boyutun ne olduğunu bulalım.
Bir cismin boyu cetvelle ölçülebilir. Çoğu durumda, boyutun bilgilendirici olmadığı ortaya çıkıyor. Hangi "dağ" daha büyük?
Yükseklikleri karşılaştırırsak, genişlikler yeşil ise daha fazla kırmızıdır.
Öğeler birbirine benziyorsa boyut karşılaştırması bilgilendirici olabilir:
Şimdi, hangi boyutları karşılaştırırsak karşılaştıralım: genişlik, yükseklik, kenar, çevre, yazılı dairenin yarıçapı veya başka herhangi bir şey, her zaman yeşil dağın daha büyük olduğu ortaya çıkar.
Ölçü, nesnelerin ölçülmesine de hizmet eder, ancak bir cetvelle ölçülmez. Tam olarak nasıl ölçüldüğünden bahsedeceğiz, ancak şimdilik ana özelliğini not ediyoruz - ölçü katkı maddesidir.
Günlük dilde, iki nesne birleştirildiğinde, nesnelerin toplamının ölçüsü, orijinal nesnelerin ölçülerinin toplamına eşittir.
Tek boyutlu nesneler için ölçü, boyutla orantılıdır. 1 cm ve 3 cm uzunluğunda segmentler alırsanız, bunları birlikte "katlayın", ardından "toplam" segmentin uzunluğu 4 cm olacaktır (1 + 3 = 4 cm).
Tek boyutlu olmayan cisimler için ölçü, toplama özelliğini koruyacak şekilde seçilen bazı kurallara göre hesaplanır. Örneğin, kenarları 3 cm ve 4 cm olan kareleri alıp "katlarsanız" (birleştirirseniz), o zaman alanlar (9 + 16 = 25cm²) toplanır, yani sonucun kenarı (boyutu) 5 cm olsun
Hem terimler hem de toplam karelerdir. Birbirlerine benzerler ve boyutlarını karşılaştırabiliriz. Toplamın boyutunun, terimlerin boyutlarının toplamına (5≄4+3) eşit olmadığı ortaya çıktı.
Ölçü ve boyut nasıl ilişkilidir?
Boyut
Sadece boyut ve ölçü ile boyutu bağlamanızı sağlar.
Boyutu - D, ölçüyü - M, boyutu - L olarak gösterelim. O zaman bu üç miktarı birbirine bağlayan formül şöyle görünecektir:
Bize tanıdık gelen önlemler için, bu formül tanıdık kılıklara bürünür. İki boyutlu cisimler için (D=2) ölçü (M) alan (S), üç boyutlu cisimler için (D=3) - hacimdir (V):
S \u003d L 2, V \u003d L 3
Dikkatli okuyucu, eşittir işaretini hangi hakla yazdık diye soracaktır. Peki, bir karenin alanı bir kenarının karesine eşittir, peki çemberin alanı? Bu formül herhangi bir nesne için çalışıyor mu?
Evet ve hayır. Eşitlikleri orantılarla değiştirip katsayıları girebilirsiniz veya sadece formül çalışsın diye cisimlerin boyutlarını girdiğimizi varsayabilirsiniz. Örneğin, bir daire için, yay uzunluğunun boyutuna "pi" radyanlarının köküne eşit diyeceğiz. Neden olmasın?
Her durumda, katsayıların varlığı veya yokluğu, daha fazla akıl yürütmenin özünü değiştirmeyecektir. Kolaylık olsun diye katsayıları vermeyeceğim; dilerseniz bunları kendiniz ekleyebilir, tüm muhakemeleri tekrarlayabilir ve (muhakemelerin) geçerliliğini kaybetmediğinden emin olabilirsiniz.
Tüm söylenenlerden, eğer rakam N kez azaltılırsa (ölçeklendirilirse), o zaman orijinal N D sürelerine sığacağı sonucuna varmalıyız.
Nitekim doğru parçası (D=1) 5 kat küçültülürse, o zaman orijinal parçaya tam olarak beş kez sığar (5 1 =5); Üçgen (D=2) 3 kat küçültülürse aslına 9 kez sığar (3 2 = 9).
Küp (D=3) 2 kat küçültülürse aslına 8 kez sığar (2 3 = 8).
Bunun tersi de doğrudur: şeklin boyutu N kat küçültüldüğünde, orijinal n kez sığdığı ortaya çıkarsa (yani ölçüsü n kat küçülmüştür), o zaman boyut hesaplanabilir. formüle göre.
Mandelbrot, bir fraktalın aşağıdaki geçici tanımını önerdi:
Bir fraktal, Hausdorff-Besikovich boyutu topolojik boyutundan kesinlikle daha büyük olan bir kümedir.
Bu tanım, sırayla, her zaman bir tamsayı olan küme, Hausdorff-Besikowitz boyutu ve topolojik boyut terimlerinin tanımlarını gerektirir. Amaçlarımız açısından, aynı kavramların daha kesin ama resmi bir sunumundansa, bu terimlerin çok gevşek tanımlarını ve açıklayıcı çizimleri (basit örnekler kullanarak) tercih ediyoruz. Mandelbrot, ön tanımını aşağıdakilerle değiştirilmesini önererek daralttı.
Fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır.
Fraktalların kesin ve eksiksiz bir tanımı henüz mevcut değil. Gerçek şu ki, ilk tanım, tüm doğruluğuna ve doğruluğuna rağmen çok kısıtlayıcıdır. Fizikte karşılaşılan birçok fraktalı hariç tutar. İkinci tanım, kitabımızda vurgulanan ve deneyde gözlemlenen temel bir ayırt edici özelliği içerir: hangi ölçekte gözlemlenirse gözlemlensin, bir fraktal aynı görünür. En azından birkaç güzel kümülüs bulutu alın. Üzerinde daha küçük "tümseklerin" yükseldiği devasa "tümseklerden" oluşurlar - hatta daha az "tümör" vb. çözebileceğiniz en küçük ölçeğe kadar. Aslında, bulutların yalnızca görünümüyle ve hiçbir ek bilgi olmadan, bulutların boyutunu tahmin etmek imkansızdır.
Bu kitapta tartışılan fraktallar, uzayda yuvalanmış nokta kümeleri olarak düşünülebilir. Örneğin, sıradan Öklid uzayında bir çizgi oluşturan noktalar kümesinin bir topolojik boyutu ve Hausdorff-Besikovich boyutu vardır.Öklid uzay boyutu, Mandelbrot'un tanımına göre bir çizgi için fraktal değildir, bu da doğrular. tanımın makullüğü. Aynı şekilde c uzayında bir yüzeyi oluşturan noktalar kümesinin de topolojik bir boyutu vardır.Sıradan bir yüzey ne kadar karmaşık olursa olsun fraktal olmadığını görürüz. Son olarak, top veya tam küre vardır.Bu örnekler, düşündüğümüz bazı küme türlerini tanımlamamıza izin verir.
Hausdorff-Besicovich boyutunun ve dolayısıyla fraktal boyutun tanımının merkezinde, uzaydaki noktalar arasındaki mesafe kavramı yer alır. "büyüklük" nasıl ölçülür
uzayda Y noktaları belirler mi? Eğrilerin uzunluğunu, yüzeylerin alanını veya bir cismin hacmini ölçmenin kolay bir yolu, alanı Şekil 1'de gösterildiği gibi 8 kenarı olan küçük küplere bölmektir. 2.5. Küp yerine çapı 8 olan küçük küreler alınabilir. Küçük bir kürenin merkezini kümenin herhangi bir noktasına yerleştirirsek, merkezden uzakta bulunan tüm noktaları bu küre kaplar. Bizim ilgilendiğimiz noktalar kümesini kaplamak için gereken kürelerin sayısını sayarak, kümenin boyutunun bir ölçüsünü elde ederiz. Bir eğri, onu kaplamak için gereken 8 uzunluğundaki düz çizgi parçalarının sayısı belirlenerek ölçülebilir. Tabii ki, sıradan bir eğri için, eğrinin uzunluğu sınıra geçişle belirlenir.
Limitte, örnek eğrinin uzunluğuna asimptotik olarak eşit olur ve 8'e bağlı değildir.
Bir dizi noktaya bir alan atanabilir. Örneğin, bir eğrinin alanı, onu kaplamak için gereken daire veya kare sayısı belirtilerek belirlenebilir. Bu karelerin sayısı ve her birinin alanı ise, eğrinin alanı
Benzer şekilde, eğrinin hacmi V, değer olarak tanımlanabilir.
Pirinç. 2.5. Bir eğrinin "büyüklüğünü" ölçmek.
Tabii ki, sıradan eğriler için , 'de yok olur ve ilgilenilen tek ölçü eğrinin uzunluğudur.
Görüldüğü gibi sıradan bir yüzey için onu kaplaması gereken kare sayısı, yüzey alanı nerede ifadesiyle limitte belirlenir.
Yüzeylere, yüzeyi kaplamak için gereken küp hacimlerinin toplamını oluşturan bir hacim atanabilir:
Bu hacim ile beklendiği gibi kaybolur.
Yüzeylere herhangi bir uzunluk atanabilir mi? Resmi olarak, miktarı böyle bir uzunluk için alabiliriz.
Bu sonuç anlamlıdır, çünkü yüzey sonlu sayıda düz çizgi parçasıyla kaplanamaz. Üç boyutlu uzayda bir yüzey oluşturan noktalar kümesinin tek anlamlı ölçüsünün alan olduğu sonucuna varıyoruz.
Eğrileri oluşturan nokta kümelerinin
Pirinç. 2.6. Yüzeyin "boyutunu" ölçmek.
o kadar kuvvetli bükülürler ki uzunlukları sonsuz olur ve gerçekten de düzlemi dolduran eğriler (Peano eğrileri) vardır. Ayrıca boşluğu dolduracak kadar tuhaf bir şekilde kavisli yüzeyler de vardır. Bu tür sıra dışı nokta kümelerini de göz önünde bulundurabilmemiz için, tanıttığımız kümenin büyüklük ölçülerini genelleştirmek yararlıdır.
Şimdiye kadar, uzayda bir dizi Y noktasının boyutunun ölçüsünü belirlerken, bir doğru parçası, kare, daire, top veya küp gibi bir test işlevi seçtik ve düz çizgi parçaları için bir ölçü oluşturarak kümeyi kapladık. , kareler ve küpler, daireler ve küreler için geometrik katsayı Genel durumda, ölçünün boyutu seçimine bağlı olarak ölçünün sıfıra veya sonsuza eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Bir kümenin Hausdorff-Besikovich boyutu, ölçünün değerini sıfırdan sonsuza değiştirdiği kritik boyuttur:
Kümenin - ölçüsünü çağırırız. at değeri genellikle sonludur, ancak sıfır veya sonsuz olabilir; miktarın hangi değerde aniden değiştiği önemlidir. Yukarıdaki tanımda, Hausdorff-Besikovich boyutunun yerel bir özellik olarak göründüğüne dikkat edin, bu boyut, limitteki nokta kümelerinin özelliklerini, kapsamak için kullanılan test fonksiyonunun yok olacak kadar küçük çapı veya boyutu 8 ile karakterize eder. set. Bu nedenle fraktal boyut, bir kümenin yerel bir özelliği de olabilir. Aslında, burada dikkate alınması gereken birkaç ince nokta var. Özellikle, Hausdorff-Besikovich boyutunun tanımı, tüm topların çaplarının 8'den küçük olması şartıyla, mutlaka aynı boyutta olmayan top setini kapsamayı mümkün kılar. Bu durumda, -ölçü bir alt ölçüdür, yani kabaca konuşursak, mümkün olan tüm kapsamlarla elde edilen minimum değer. Örnekler için bkz. 5.2. İlgilenenler sorunun titiz bir matematiksel sunumunu Falconer'in kitabında bulacaklardır.
Fraktalların üçüncü özelliği, fraktal nesnelerin Öklid dışında bir boyuta (başka bir deyişle topolojik bir boyuta) sahip olmasıdır. Fraktal boyut, eğrinin karmaşıklığının bir ölçüsüdür. Farklı fraktal boyutlara sahip bölümlerin dönüşümünü ve sistemin dış ve iç faktörlerden nasıl etkilendiğini analiz ederek, sistemin davranışını tahmin etmeyi öğrenebilir. Ve en önemlisi, kararsız durumları teşhis etmek ve tahmin etmek.
Modern matematiğin cephaneliğinde Mandelbrot, nesnelerin kusurluluğunun uygun bir nicel ölçüsünü buldu - konturun kıvrımlılığı, yüzeyin kırışması, hacmin kırılması ve gözenekliliği. İki matematikçi - Felix Hausdorff (1868-1942) ve Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970) tarafından önerildi. Şimdi yaratıcılarının şanlı isimlerini hak ediyor - Hausdorff-Besikovich boyutu. Boyut nedir ve finansal piyasaların analizi ile ilgili olarak neden buna ihtiyacımız var? Ondan önce, yalnızca bir tür boyut biliyorduk - topolojik (Şekil 3.11). Boyut kelimesinin kendisi, bir nesnenin kaç boyuta sahip olduğunu gösterir. Düz bir çizgi için 1'e eşittir, yani. sadece bir boyutumuz var, yani bir çizginin uzunluğu. Bir düzlem için boyut 2 olacaktır, çünkü iki boyutlu bir boyutumuz var, uzunluk ve genişlik. Boşluk veya katı nesneler için boyut 3'tür: uzunluk, genişlik ve yükseklik.
Bilgisayar oyunları örneğini ele alalım. Oyun 3B grafiklerde yapılmışsa, uzamsal ve hacimlidir, 2B grafiklerde ise grafikler bir düzlemde gösterilir (Şekil 3.10).
Hausdorff-Besikovich boyutunda en sıra dışı (daha doğrusu - sıra dışı), topolojik bir boyut olarak yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilmesiydi. Düz bir çizgi için bire eşit (sonsuz, yarı sonsuz veya sonlu bir parça için), Hausdorff-Besicovitch boyutu kıvrımlılık arttıkça artarken, topolojik boyut çizgide meydana gelen tüm değişiklikleri inatla görmezden gelir.
Boyut, bir kümenin karmaşıklığını karakterize eder (örneğin, düz bir çizgi). Topolojik boyutu 1'e (düz çizgi) eşit olan bir eğri ise, o zaman eğri, fraktal boyutunun ikiye yaklaştığı bir ölçüde sonsuz sayıda bükülme ve dallanma ile karmaşık hale gelebilir; neredeyse tüm düzlemi dolduracaktır (Şekil 3.12).
Hausdorff-Besikovich boyutu, değerini artırarak onu aniden değiştirmez, çünkü topolojik boyut "yerinde" olur, 1'den hemen 2'ye geçiş. Hausdorff-Besikovich boyutu - ve bu ilk bakışta alışılmadık görünebilir ve şaşırtıcı, kesirli değerler alır: düz bir çizgi için bire eşittir, hafif kıvrımlı bir çizgi için 1,15, daha kıvrımlı bir çizgi için 1,2, çok kıvrımlı bir çizgi için 1,5 olur, vb. (şek.3.13).
Hausdorff-Besikovich boyutunun kesirli, tamsayı olmayan değerleri alma yeteneğini vurgulamak için Mandelbrot, fraktal boyut olarak adlandırdığı kendi neolojizmini ortaya attı. Dolayısıyla, fraktal boyut (yalnızca Hausdorff-Besikovich değil, aynı zamanda başka herhangi bir boyut), mutlaka tamsayı değil, aynı zamanda kesirli değerler de alabilen bir boyuttur.
Doğrusal geometrik fraktallar için boyut, kendi kendine benzerliklerini karakterize eder. Şekil 3.17 (a)'yı ele alalım, hat, her birinin uzunluğu r=1/3 olan N=4 parçadan oluşur. Sonuç olarak, oranı elde ederiz:
D = logN/log(1/r)
Multifraktallardan (doğrusal olmayan nesneler) söz ettiğimizde durum oldukça farklıdır. Burada boyut, bir nesnenin benzerliğinin tanımı olarak anlamını yitirir ve kendine benzer doğrusal fraktalların benzersiz boyutundan çok daha az doğal olan çeşitli genellemelerle tanımlanır. Multifraktallarda, H'nin değeri bir boyut göstergesi görevi görür, bunu "Döviz piyasasında bir döngünün tanımlanması" bölümünde daha ayrıntılı olarak ele alacağız.
Fraktal boyutun değeri, sistemi etkileyen faktörlerin sayısını belirleyen bir gösterge görevi görebilir. Döviz piyasasında, boyutsallık fiyat oynaklığını karakterize edebilir. Her döviz çiftinin kendi davranışı vardır. GBP/USD paritesi, EUR/USD'den daha dürtüsel bir davranış sergiliyor. En ilginç olan ise bu para birimlerinin fiyat seviyelerine aynı yapı ile hareket etmesi, ancak farklı boyutlarının olması, gün içi alım satımı ve modeldeki değişiklikleri etkileyebilecek deneyimsiz gözden kaçmasıdır.
Fraktal boyut 1,4'ten küçük olduğunda, sistem, onu bir yönde hareket ettiren bir veya daha fazla kuvvetten etkilenir. Boyut yaklaşık 1,5 ise, o zaman sisteme etki eden kuvvetler çok yönlüdür, ancak az çok birbirini dengeler. Bu durumda sistemin davranışı stokastiktir ve klasik istatistiksel yöntemlerle iyi tanımlanmıştır. Fraktal boyut 1,6'dan çok daha büyükse, sistem kararsız hale gelir ve yeni bir duruma geçmeye hazırdır. Bundan, gözlemlediğimiz yapı ne kadar karmaşıksa, güçlü bir hareket olasılığının o kadar arttığı sonucuna varabiliriz.
Şekil 3.14, bu terimin anlamını daha derine inebilmeniz için, boyutu matematiksel modele göre göstermektedir. Üç rakamın da aynı döngüyü gösterdiğine dikkat edin. Şekil 3.14(a)'da boyut 1.2, Şekil 3.14(b)'de boyut 1.5 ve Şekil 3'te boyuttur. 14(c) 1.9. Boyut arttıkça nesne algısının daha karmaşık hale geldiği, salınımların genliğinin arttığı görülmektedir.
Finansal piyasalarda boyut sadece fiyat oynaklığı olarak değil, döngülerin (dalgaların) bir detayı olarak da yansıtılmaktadır. Bu sayede bir dalganın belirli bir zaman ölçeğine ait olup olmadığını ayırt edebileceğiz.
Şekil 3.15 EUR/USD paritesini günlük fiyat ölçeğinde göstermektedir. Dikkat edin, oluşan döngüyü ve yeni, daha büyük bir döngünün başlangıcını net bir şekilde görebilirsiniz. Saatlik ölçeğe geçerek ve döngülerden birini artırarak, D1 ölçeğinde bulunan daha küçük döngüleri ve büyük döngünün bir kısmını görebiliriz (Şekil 3.16). Döngü detaylandırma, örn. boyutları, başlangıç koşullarından yola çıkarak durumun gelecekte nasıl gelişebileceğini belirlememizi sağlar. Şunu söyleyebiliriz: fraktal boyut, ele alınan kümenin ölçek değişmezlik özelliğini yansıtır.
Değişmezlik kavramı, Mandelbrot tarafından "scalant" - ölçeklenebilir, yani ölçeklenebilir kelimesinden tanıtıldı. bir nesne değişmezlik özelliğine sahip olduğunda, farklı gösterim seviyelerine (ölçeklerine) sahiptir.
Şekilde, "A" dairesi mini döngüyü (ayrıntılı dalga) vurgular, "B" dairesi daha büyük döngünün dalgasını gösterir. Dalgaların boyutundan dolayı, döngünün boyutunu her zaman belirleyebiliriz.
Böylece, gerçek nesnenin klasik modeller biçiminde temsil edilemediği durumlarda model olarak fraktalların kullanıldığını söyleyebiliriz. Bu da doğrusal olmayan ilişkilerle ve verilerin deterministik olmayan (rastgele) doğasıyla uğraştığımız anlamına gelir. İdeolojik anlamda doğrusal olmama, çeşitli gelişim yolları, alternatif yollardan bir seçimin mevcudiyeti ve belirli bir evrim hızı ve ayrıca evrimsel süreçlerin geri döndürülemezliği anlamına gelir. Matematiksel anlamda doğrusal olmama, belirli bir tür matematiksel denklem anlamına gelir (doğrusal olmayan diferansiyel denklemler) ortamın özelliklerine bağlı olarak birden büyük güçlerde veya katsayılarda istenen değerleri içeren.
Klasik modelleri (örneğin, trend, regresyon vb.) uyguladığımızda, bir nesnenin geleceğinin benzersiz bir şekilde belirlendiğini, yani tamamen başlangıç koşullarına bağlıdır ve net bir tahmine tabidir. Excel'de bu modellerden birini bağımsız olarak gerçekleştirebilirsiniz. Klasik bir model örneği, sürekli azalan veya artan bir trend olarak gösterilebilir. Ve nesnenin geçmişini (modelleme için ilk verileri) bilerek davranışını tahmin edebiliriz. Ve fraktallar, nesnenin çeşitli geliştirme seçeneklerine sahip olduğu ve sistemin durumunun şu anda bulunduğu konuma göre belirlendiği durumlarda kullanılır. Yani, nesnenin başlangıç koşulları veriliyken kaotik bir gelişimi simüle etmeye çalışıyoruz. Bu sistem bankalararası döviz piyasasıdır.
Şimdi fraktal dediğimiz şeyi, doğal özellikleriyle birlikte düz bir çizgiden nasıl elde edebileceğimizi görelim.
Şekil 3.17(a), Koch eğrisini göstermektedir. Bir doğru parçası alın, uzunluğu = 1, yani hala topolojik bir boyut. Şimdi onu üç parçaya ayıracağız (her biri uzunluğun 1/3'ü) ve ortadaki üçte birini çıkaracağız. Ancak ortadaki üçüncüyü, bir eşkenar üçgenin iki kenarı olarak temsil edilebilecek iki parçayla (her biri uzunluğun 1/3'ü) değiştireceğiz. Tasarımın bu ikinci aşaması (b) Şekil 3.17(a)'da gösterilmektedir. Bu noktada, her biri uzunluğun 1/3'ü olan 4 küçük parçamız var, yani tüm uzunluk 4(1/3) = 4/3. Daha sonra bu işlemi hattın 4 küçük lobunun her biri için tekrarlıyoruz. Bu üçüncü aşamadır (c). Bu bize her biri uzunluğun 1/9'u olan 16 daha küçük doğru parçası verecektir. Yani tüm uzunluk şimdi 16/9 veya (4/3)2'dir. Sonuç olarak, kesirli bir boyut elde ettik. Ancak ortaya çıkan yapıyı düz bir çizgiden ayıran sadece bu değil. Kendine benzer hale geldi ve herhangi bir noktasında teğet çizmek imkansız (Şekil 3.17 (b)).
"Fraktal" ve "fraktal geometri" kavramları geçen yüzyılın 70-80'lerinde ortaya çıktı. Matematikçilerin ve programcıların günlük hayatına sıkı sıkıya girdiler. "Fraktal" kelimesi, parçalardan oluşan, kesirli anlamına gelen Latince fractus'tan gelir. 1975 yılında Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından incelediği düzensiz (“kırık”) kendine benzer yapıları belirtmek için önerildi.
Mandelbrot tarafından verilen tanıma göre, "fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır." Bir fraktal, ölçek küçültüldüğünde her bir parçası tekrarlanan, sonsuz derecede kendine benzer bir geometrik şekildir (bkz. Şekil 6). Fraktallarda gözlemlenen ölçek değişmezliği tam veya yaklaşık olabilir.
Şekil 6. Mandelbrot seti örneğinde fraktalların kendine benzerliği
Matematiksel bir bakış açısından, bir fraktal, her şeyden önce, bir dizi kesirli boyuttur.
Fraktal geometrinin doğuşu genellikle, yazarın 1875-1925 döneminde çalışan bilim adamlarının bilimsel sonuçlarını toplayıp sistematize ettiği Mandelbrot'un "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının 1977'de yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. aynı bölgede (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).
Fraktal geometri, matematikte ve doğanın matematiksel tanımında bir devrimdir. Fraktal geometrinin kaşifi B. Mandelbrot'un kendisi bu konuda şöyle yazıyor: “Geometri neden genellikle soğuk ve kuru olarak adlandırılır? Bunun bir nedeni, bir bulutun, bir dağın, bir ağacın veya bir deniz kıyısının şeklini tarif edememesidir. Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyılar daire değildir, kabuk pürüzsüz değildir ve şimşek düz bir çizgide hareket etmez. Doğa bize sadece daha yüksek bir derece değil, tamamen farklı bir karmaşıklık seviyesi gösterir.
Mandelbrot, gerçek dünyanın geometrisinin Öklid değil, fraktal olduğunu gösterdi. "Düzenli" Öklid nesneleri matematiksel bir soyutlamadır, doğa ise düzgün olmayan, pürüzlü, pürüzlü şekilleri tercih eder. Öklid geometrisine yeni bir geometri eklendi, farkı pürüzsüz nesnelerle ve üçgen, kare, daire, top vb. tanıdık şekillerle çalışmaması. Fraktallar, birçok fiziksel olguyu ve doğal oluşumu büyük bir doğrulukla tanımlar. Fraktallar kullanılarak bir kar tanesi, bir denizatı, ağaç dalları, bir şimşek ve sıradağlar çizilebilir. Bu nedenle, birçok modern bilim adamı, doğanın fraktalite özelliğine sahip olduğunu söylüyor.
Fraktal boyut
Fraktal nesnelerin temel özelliği, “standart” topolojik boyutun (boşluk için, yüzey için - , çizgi için - , nokta için) onları tanımlamak için yeterli olmamasıdır ki bu, bildiğiniz gibi her zaman bir tam sayıdır. Boyut, uzayda bir noktanın konumunu tanımlamak için gerekli minimum parametre sayısı olarak anlaşıldı. Böyle naif bir algının başarısızlığı, parçanın noktaları ile kare arasında bire bir örtüşmenin ve parçanın sürekli olarak kareye eşlenmesinin keşfedilmesinden sonra ortaya çıktı (bkz. Şekil 7). Bunlardan ilki Kantor (1877), ikincisi Peano (1890) tarafından yapılmıştır.
Şekil 7. Peano hattının inşası
Fraktallar, geometrik bir "girinti" ile karakterize edilir. Bu nedenle, F. Hausdorff ve A.S. tarafından tanıtılan özel bir fraktal boyut kavramı. Beşikoviç. Klasik Öklid geometrisinin ideal nesnelerine uygulandığı şekliyle, topolojik boyutla aynı sayısal değerleri verdi, ancak yeni boyut, gerçek nesnelerdeki her türlü kusura karşı daha ince bir duyarlılığa sahipti, bu da daha önce sahip olunanları ayırt etmeyi ve kişiselleştirmeyi mümkün kıldı. yüzsüz ve ayırt edilemez olmuştur. Bu ince araç, hangi sıradan geometrik nesnenin - bir nokta, çizgi veya düzlem - belirli bir egzotik fraktal kümeye daha yakın olduğu sonucuna varmanızı sağlar.
Mandelbrot, Hausdorff boyutu topolojik boyutundan kesinlikle daha büyük olan bir küme olarak fraktalın kesin bir matematiksel tanımını verdi. Pürüzsüz bir Öklid çizgisi tam olarak tek boyutlu uzayı doldururken, bir fraktal eğri iki boyutlu uzaya girer, çünkü boyutu 1 ile 2 arasındadır. Fraktallar sonsuz kırık, "çift" çizgilerdir. Her bir parçası, çok küçük olanı bile, düzeltmeye çalışırsanız, sonsuz uzunlukta olduğu ortaya çıkan bir akordeona benziyorlar.
Düzenli fraktallar (matematiksel soyutlama) örneği üzerinde fraktal boyutu tartışalım. İlk olarak, eşit uzunluk parçalarına bölünmüş birim uzunlukta bir parça düşünün, böylece. Düştükçe değer doğrusal olarak artar ki bu tek boyutlu bir eğri için beklenebilir. Benzer şekilde birim alanın karesini bir kenarı olan eşit karelere bölersek iki boyutlu bir cisim için beklenen sonucu elde ederiz. Genel durumda, nesnenin boyutunun nerede olduğu tartışılabilir (bkz. Şekil 8).
Şekil 8. Nesnenin n boyutlu küplerle kaplanması
Dolayısıyla bu eşitliğin her iki kısmının logaritmasını alıp sıfıra eğilimli olarak limite geçmek, boyutu şu şekilde ifade edebiliriz:
Bu eşitlik, genellikle kesirli değerler alan Hausdorff veya fraktal boyutun tanımıdır.
Bireysel noktalardan oluşan, ancak gerçek eksenin herhangi bir parçası kadar çok nokta içeren bir küme örneği verelim. 1 uzunluğunda bir parça alın. Onu üç eşit parçaya bölerek orta kısmı hariç tutuyoruz. Kalan iki segment ile aynı işlemi yapacağız ve sonuç olarak her biri 1/9 uzunluğunda 4 segment vb. sonsuza - Şek. dokuz.
Şekil 9. Cantor setinin yapısı
Bu prosedürden elde edilen noktalar seti Cantor setidir. Bu kümenin uzunluğunun sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır. Gerçekten,
Şimdi onun Hausdorff veya fraktal boyutunu bulalım. Bunu yapmak için, uzunluğu olan bir segmenti "standart" olarak seçiyoruz.
Kümeyi kaplamak için gereken bu tür segmentlerin minimum sayısı
Bu nedenle, fraktal boyutu
Ayrıca, boyut, nesnenin kapladığı alanın o kısmının boyutundaki değişikliğin, doğrusal boyutlarındaki değişikliğe bağlı olarak belirlenebilir:
hat için. Bir uçak için. Hacim için.
Şu deneyi yapalım: bir eşkenar üçgen alın ve Şekil 10'da gösterildiği gibi, onu oluşturan her çizgiyi sırasıyla dört çizgiyle değiştirin.
Şekil 10. Bir Koch kar tanesi yapmak
Bu işlemi uzun süre tekrarlayarak, görünüşte bir kar tanesine benzeyen (buna Koch kar tanesi denir) belirli bir nesne elde edeceğiz ve her adımda kar tanesinin alanını sınırlayan eğrinin uzunluğu üçte bir. Kar tanesindeki her üç kat artış için eğrinin uzunluğu dört kat arttığından, boyutu eşit olacaktır. İterasyon sayısını sonsuza bırakırsak, sonlu alanı sonsuz bir eğri ile sınırlanan bir nesne elde ederiz.