Тема. Похідна. Геометричний та механічний зміст похідної

Якщо ця межа існує, то функція називається точкою, що диференціюється. Похідна функція позначається (формула 2).

1. Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції. З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції можна записати формула 3). У ній - кут нахилу AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає висновок.

Похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці. У цьому полягає геометричний змістпохідною.

1. Рівняння дотичної . Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці. У випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид: . Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A: . Звідси випливає: . Підставляючи цей вираз замість b, одержуємо рівняння дотичної (формула 4).

Тип завдання: 7

Умова

Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику менший за нуль.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 - абсцис точки на графіку функції y = -12x ^ 2 + bx-10, через яку проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної в точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Отримуємо систему рівнянь. \begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

Показати рішення

Рішення

Кутовий коефіцієнт прямий до графіка функції y=-x^2+5x-7 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=-2x+5, отже, y"(x_0)=-2x_0+5. Кутовий коефіцієнт прямої y=-3x+4, вказаної в умові, дорівнює -3. Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.

Отримуємо: x_0 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Показати рішення

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(-6; 2) і B(-1; 1). Позначимо через C(-6; 1) точку перетину прямих x=-6 і y=1, а через кут кут ABC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут \pi -\alpha, який тупий.

Як відомо, tg(\pi -\alpha) і буде значенням похідної функції f(x) у точці x_0. Зауважимо, що tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Звідси за формулами наведення отримуємо: tg(\pi -\alpha) = -tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-2x-4 є дотичною до графіка функції y=16x^2+bx+12. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику більше нуля.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 - абсциса точки на графіку функції y=16x^2+bx+12, через яку

проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=32x_0+b=-2. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4. Отримуємо систему рівнянь. \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Вирішуючи систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Відповідно до умови абсцису точки дотику більше нуля, тому x_0=1, тоді b=-2-32x_0=-34.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y=6.

Показати рішення

Рішення

Пряма y=6 паралельна осі Ox. Тому знаходимо такі точки, у яких дотична до графіка функції паралельна осі Ox. На цьому графіку такими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 4 .

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=4x-6 паралельна до графіки функції y=x^2-4x+9. Знайдіть абсцис точки торкання.

Показати рішення

Рішення

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=x^2-4x+9 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=2x-4, отже, y"(x_0)=2x_0-4. Кутовий коефіцієнт дотичної y =4x-7, вказаної в умові, дорівнює 4 . Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x_0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x_0.

Показати рішення

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(1; 1) і B(5; 4). Позначимо через C(5; 1) точку перетину прямих x=5 і y=1, а через кут кут BAC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут α.

Стаття дає докладне роз'яснення визначень геометричного сенсу похідної з графічними позначеннями. Буде розглянуто рівняння дотичної прямої з наведенням прикладів, знайдено рівняння щодо кривих 2 порядку.

Визначення 1

Кут нахилу прямої y = k x + b називається кут α, який відраховується від позитивного напрямку осі о х до прямої y = k x + b у позитивному напрямку.

На малюнку напрямок позначається за допомогою зеленої стрілки і у вигляді зеленої дуги, а кут нахилу за допомогою червоної дуги. Синя лінія відноситься до прямої.

Визначення 2

Кутовий коефіцієнт прямої y = k x + b називають числовим коефіцієнтом k.

Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу нахилу прямої, інакше кажучи k = t g α.

• Кут нахилу прямої дорівнює 0 тільки при паралельності про х і кутовому коефіцієнті, що дорівнює нулю, тому як тангенс нуля дорівнює 0 . Отже, вид рівняння буде y = b.
• Якщо кут нахилу прямий y = k x + b гострий, виконуються умови 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , причому є зростання графіка.
• Якщо α = π 2 тоді розташування прямої перпендикулярно о х. Рівність задається за допомогою рівності x = c зі значенням с є дійсним числом.
• Якщо кут нахилу прямий y = k x + b тупий, то відповідає умовам π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Визначення 3

Сікучою називають пряму, яка проходить через 2 точки функції f(x) . Інакше висловлюючись, січна – це пряма, яка проводиться через будь-які дві точки графіка заданої функції.

На малюнку видно, що АВ є січною, а f (x) – чорна крива, α - червона дуга, що означає кут нахилу січної.

Коли кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу, то видно, що тангенс з прямокутного трикутника АВС можна знайти по відношенню протилежного катета до прилеглого.

Визначення 4

Отримуємо формулу для знаходження січного виду:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , де абсцисами точок А і є значення x A , x B , а f (x A) , f (x B) - це значення функції у цих точках.

Очевидно, що кутовий коефіцієнт січної визначено за допомогою рівності k = f (x B) - f (x A) x B - x A або k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причому рівняння необхідно записати як y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) або
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B).

Секущая ділить графік візуально на 3 частини: зліва від точки А, від А до В, праворуч від В. На малюнку видно, що є три січні, які вважаються збігаються, тобто задаються за допомогою аналогічного рівняння.

За визначенням видно, що пряма та її січна у цьому випадку збігаються.

Січна може множино разів перетинати графік заданої функції. Якщо є рівняння виду у = 0 для січної, тоді кількість точок перетину з синусоїдою нескінченна.

Визначення 5

Дотична до графіка функції f (x) у точці x 0; f (x 0) називається пряма, що проходить через задану точку x 0; f (x 0) з наявністю відрізка, який має безліч значень х, близьких до x 0 .

Приклад 1

Розглянемо докладно на наведеному нижче прикладі. Тоді видно, що пряма, задана функцією y = x + 1 вважається дотичною до y = 2 x у точці з координатами (1 ; 2) . Для наочності необхідно розглянути графіки з наближеними до (1 ; 2) значеннями. Функція y = 2 x позначена чорним, синя лінія – дотична, червона точка – точка перетину.

Очевидно, що y = 2 x зливається із прямою у = х + 1 .

Для визначення дотичної слід розглянути поведінку дотичної АВ при нескінченному наближенні точки до точки А. Для наочності наведемо малюнок.

Сікуча АВ, позначена за допомогою синьої лінії, прагне положення самої дотичної, а кут нахилу секущої α почне прагнути до кута нахилу самої дотичної α x .

Визначення 6

Стосовною графіку функції y = f (x) у точці А вважається граничне положення січучої АВ при прагнучій до А, тобто B → A .

Тепер перейдемо до розгляду геометричного сенсу похідної функції у точці.

Перейдемо до розгляду сіючої АВ для функції f (x) , де А і В з координатами x 0 , f (x 0) і x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x позначаємо як збільшення аргументу . Тепер функція набуде вигляду ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наочності наведемо приклад малюнок.

Розглянемо отриманий прямокутний трикутникА В С. Використовуємо визначення тангенсу для розв'язання, тобто отримаємо відношення ∆ y ∆ x = t g α. З визначення дотичної слідує, що lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . За правилом похідної в точці маємо, що похідну f (x) у точці x 0 називають межею відносин прирощення функції до прирощення аргументу, де ∆ x → 0 тоді позначимо як f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Звідси випливає, що f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , де k x позначають як кутовий коефіцієнт дотичної.

Тобто отримуємо, що f '(x) може існувати в точці x 0 причому як і дотична до заданого графіка функції в точці дотику дорівнює x 0 f 0 (x 0) де значення кутового коефіцієнта дотичної в точці дорівнює похідній в точці x 0 . Тоді отримуємо, що k x = f "(x0).

Геометричний зміст похідної функції у точці у цьому, що дається поняття існування щодо графіку у цій самій точці.

Щоб записати рівняння будь-якої прямої на площині, необхідно мати кутовий коефіцієнт з точкою, якою вона проходить. Його позначення приймається як x0 при перетині.

Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) у точці x 0 , f 0 (x 0) набуває вигляду y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Мається на увазі, що кінцевим значенням похідної f "(x 0) можна визначити положення дотичної, тобто вертикально за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ і lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ або відсутність зовсім за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Розташування дотичної залежить від значення її кутового коефіцієнта k x = f "(x 0). k x > 0 , меншає при k x< 0 .

Приклад 2

Зробити складання рівняння дотичної до графіка функції y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 у точці з координатами (1 ; 3) з визначенням кута нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що функція визначається всім дійсних чисел. Отримуємо, що точка з координатами, заданими за умовою, (1 ; 3) є точкою дотику, тоді x 0 = - 1 f (x 0) = - 3 .

Необхідно знайти похідну у точці зі значенням -1. Отримуємо, що

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y "(- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Значення f '(x) у точці дотику є кутовим коефіцієнтом дотичної, який дорівнює тангенсу нахилу.

Тоді k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Звідси випливає, що x = r c t g 3 3 = π 6

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Для наочності наведемо приклад у графічній ілюстрації.

Чорний колір використовується для графіка вихідної функції, синій колір - дотичне зображення, червона точка - точка дотику. Малюнок, розташований праворуч, показує у збільшеному вигляді.

Приклад 3

З'ясувати наявність існування щодо графіка заданої функції
y = 3 · x - 1 5 + 1 у точці з координатами (1 ; 1) . Скласти рівняння та визначити кут нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що область визначення заданої функції вважається безліч усіх дійсних чисел.

Перейдемо до знаходження похідної

y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Якщо x 0 = 1 тоді f '(x) не визначена, але межі записуються як lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ і lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , що означає існування вертикальної дотичної в точці (1; 1) .

Відповідь:рівняння набуде вигляду х = 1 , де кут нахилу дорівнюватиме π 2 .

Для наочності зобразимо графічно.

Приклад 4

Знайти точки графіка функції y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 де

1. Стосовна не існує;
2. Дотична розташовується паралельно о х;
3. Дотична паралельна прямий y = 8 5 x + 4 .

Рішення

Необхідно звернути увагу на область визначення. За умовою маємо, що функція визначена на багатьох дійсних чисел. Розкриваємо модуль і розв'язуємо систему з проміжками x ∈ - ∞; 2 і [-2; + ∞). Отримуємо, що

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Потрібно продиференціювати функцію. Маємо, що

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [-2; + ∞)

Коли х = - 2 тоді похідна не існує, тому що односторонні межі не рівні в цій точці:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (-2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Обчислюємо значення функції в точці х = - 2 де отримуємо, що

1. y(-2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , тобто дотична в точці (- 2 ; - 2) не існуватиме.
2. Дотична паралельна о х, коли кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тоді k x = t g α x = f "(x 0). Тобто необхідно знайти значення таких х, коли похідна функції перетворює її в нуль. Тобто значення f '(x) і будуть точками дотику, де дотична є паралельною о х .

Коли x ∈ - ∞; - 2 , Тоді - 15 (x 2 + 12 x + 35) = 0, а при x ∈ (- 2 ; + ∞) отримуємо 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Обчислюємо відповідні значення функції

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Звідси - 5; 8 5 -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 вважаються точками графіка функції, що шукаються.

Розглянемо графічне зображеннярішення.

Чорна лінія – графік функції, червоні крапки – точки дотику.

1. Коли прямі розташовуються паралельно, кутові коефіцієнти рівні. Тоді необхідно зайнятися пошуком точок графіка функції, де кутовий коефіцієнт дорівнюватиме значення 8 5 . Для цього потрібно розв'язати рівняння виду y" (x) = 8 5 . Тоді, якщо x ∈ - ∞ ; - 2; + ∞) , Тоді 15 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Перше рівняння немає коренів, оскільки дискримінант менше нуля. Запишемо, що

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28< 0

Інше рівняння має два дійсні корені, тоді

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Перейдемо до знаходження значень функції. Отримуємо, що

y 1 = y (-1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Крапки зі значеннями - 1; 4 15, 5; 8 3 є точками, в яких дотичні паралельні до прямої y = 8 5 x + 4 .

Відповідь:чорна лінія - графік функції, червона лінія - графік y = 8 5 x + 4, синя лінія - дотичні в точках - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Можливе існування нескінченної кількості дотичних до заданих функцій.

Приклад 5

Написати рівняння всіх дотичних функцій y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , які розташовуються перпендикулярно до прямої y = - 2 x + 1 2 .

Рішення

Для складання рівняння дотичної необхідно знайти коефіцієнт та координати точки дотику, виходячи з умови перпендикулярності прямих. Визначення звучить так: добуток кутових коефіцієнтів, які перпендикулярні до прямого, дорівнює - 1 , тобто записується як k x · k ⊥ = - 1 . З умови маємо, що кутовий коефіцієнт розташовується перпендикулярно до прямої і дорівнює k ⊥ = - 2 , тоді k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Тепер потрібно знайти координати точок торкання. Потрібно знайти х, після чого його значення для заданої функції. Зазначимо, що з геометричного сенсу похідної у точці
x 0 отримуємо, що k x = y "(x 0). З цієї рівності знайдемо значення х для точок дотику.

Отримуємо, що

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y "(x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Це тригонометричне рівняннябуде використано для обчислення ординат точок торкання.

3 2 x 0 - ?

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk або 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 ?

Z – безліч цілих чисел.

Знайдено х точок торкання. Тепер необхідно перейти до пошуку значень у:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 або y 0 = - 4 5 + 1 3

Звідси отримуємо, що 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 є крапками торкання.

Відповідь:необхідні рівняння запишуться як

y = 1 2 x - 2 3 ? , k ∈ Z

Для наочного зображення розглянемо функцію та дотичну на координатній прямій.

Малюнок показує, що розташування функції йде на проміжку [- 10; 10 ] , де чорна пряма – графік функції, сині лінії – дотичні, які розташовуються перпендикулярно до заданої прямої виду y = - 2 x + 1 2 . Червоні крапки – це торкання.

Канонічні рівняння кривих 2 порядку є однозначними функціями. Рівняння дотичних їм складаються за відомими схемами.

Стосовно кола

Для завдання кола з центром у точці x c e n t e r ; y ce n t e r і радіусом R застосовується формула x - x ce n t e r 2 + y - y ce n t e r 2 = R 2 .

Ця рівність може бути записана як об'єднання двох функцій:

y = R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r y = - R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r

Перша функція розташовується вгорі, а друга внизу, як показано малюнку.

Для складання рівняння кола в точці x 0; y 0 , яка розташовується у верхньому або нижньому півкола, слід знайти рівняння графіка функції виду y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r або y = - R 2 - x - x c e n t e r t + t e n t .

Коли в точках x c e n t e r; y c e n t e r + R і x c e n t e r ; y c e n t e r - R дотичні можуть бути задані рівняннями y = y ce n t e r + R і y = y ce n t e r - R , а в точках x ce n t e r + R ; y c e n t e r і
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будуть паралельними о у, тоді отримаємо рівняння виду x = x c e n t e r + R і x = x c e n t e r - R .

Стосовна до еліпса

Коли еліпс має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r з півосями a і b , тоді він може бути заданий за допомогою рівняння x - x ce n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Еліпс і коло може бути позначатися з допомогою об'єднання двох функцій, саме: верхнього і нижнього полуэллипса. Тоді отримуємо, що

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x ce n t e r) 2 + y c en t e r

Якщо дотичні розташовуються на вершинах еліпса, тоді вони паралельні о х або у. Нижче для наочності розглянемо рисунок.

Приклад 6

Написати рівняння щодо до еліпсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 у точках зі значеннями x рівного х = 2 .

Рішення

Необхідно знайти точки дотику, які відповідають значенню х = 2. Виробляємо підстановку в наявне рівняння еліпса і отримуємо, що

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тоді 2; 5 3 2 + 5 та 2 ; - 5 3 2 + 5 є точками торкання, які належать верхньому та нижньому напівеліпсу.

Перейдемо до знаходження та вирішення рівняння еліпса щодо y. Отримаємо, що

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно, що верхній напівеліпс задається за допомогою функції виду y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 а нижній y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Застосуємо стандартний алгоритм у тому, щоб скласти рівняння дотичної до графіку функції у точці. Запишемо, що рівняння для першої дотичної у точці 2; 5 3 2 + 5 матиме вигляд

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Отримуємо, що рівняння другої дотичної зі значенням у точці
2; - 5 3 2 + 5 набуває вигляду

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графічно дотичні позначаються так:

Щодо гіперболи

Коли гіпербола має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r і вершини x c e n t e r + α; y c e n t e r і x c e n t e r - α; y ce n t e r , має місце завдання нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y ce n t e r 2 b 2 = 1 , якщо з вершинами x ce n t e r ; y c e n t e r + b і x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тоді задається за допомогою нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Гіпербола може бути представлена ​​у вигляді двох об'єднаних функцій виду

y = b a · (x - x ce n t e r) 2 - a 2 + y ce n t e r y = - ba · (x - x ce n t e r) 2 - a 2 + y ce n t e r або y = b a · (x - x ce e n e = - b a · (x - x ce n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r

У першому випадку маємо, що дотичні паралельні о у, а в другому паралельні о х.

Звідси випливає, що для того, щоб знайти рівняння до гіперболи, необхідно з'ясувати, якій функції належить точка дотику. Щоб визначити це, необхідно зробити підстановку рівняння і перевірити їх на тотожність.

Приклад 7

Скласти рівняння дотичної до гіперболи x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 у точці 7; - 3 3 - 3 .

Рішення

Необхідно перетворити запис рішення перебування гіперболи за допомогою двох функцій. Отримаємо, що

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 і л і y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3

Потрібно виявити, до якої функції належить задана точказ координатами 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно, що для перевірки першої функції необхідно y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 тоді точка графіку не належить, так як рівність не виконується.

Для другої функції маємо, що y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , отже, точка належить заданому графіку. Звідси слід знайти кутовий коефіцієнт.

Отримуємо, що

y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Відповідь:рівняння дотичної можна уявити як

y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3

Наочно зображується так:

Щодо параболи

Щоб скласти рівняння дотичної до параболи y = a x 2 + b x + c у точці x 0 , y (x 0) , необхідно використовувати стандартний алгоритм, тоді рівняння набуде вигляду y = y "(x 0) · x - x 0 + y ( x 0) . Така дотична у вершині паралельна про х.

Слід задати параболу x = a y 2 + b y + c як поєднання двох функцій. Тому потрібно розв'язати рівняння щодо у. Отримуємо, що

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графічно зобразимо як:

Для з'ясування належності точки x 0 , y (x 0) функції ніжно діяти за стандартним алгоритмом. Така дотична буде паралельна щодо відносно параболи.

Приклад 8

Написати рівняння дотичної до графіка x - 2 y 2 - 5 y + 3 коли маємо кут нахилу дотичної 150 ° .

Рішення

Починаємо рішення з представлення параболи як дві функції. Отримаємо, що

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (-5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Значення кутового коефіцієнта дорівнює значенню похідної у точці x 0 цієї функції та дорівнює тангенсу кута нахилу.

Отримуємо:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Звідси визначимо значення x точок торкання.

Перша функція запишеться як

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно, що дійсних коренів немає, оскільки набули негативного значення. Робимо висновок, що дотичної з кутом 150° для такої функції не існує.

Друга функція запишеться як

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Маємо, що точки дотику - 23 4; - 5 + 3 4 .

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4

Графічно зобразимо це так:

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції

Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.

Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому, що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуто в шкільному курсі. Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтеся в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі роки успішно позбувся його багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.

Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, у тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.

До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урокз'явився досить пізно – коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.

Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.

Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції

Багато навчальні посібникипідводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час під ухил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.

Але якими б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або щонайменше розташовувати її топографічною картою. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано було б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу (вид збоку):

Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.

Які особливості даного графіка?

На інтервалах функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).

Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).

Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?

Швидкість зміни функції

Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, й у разі це приріст позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .

Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.

Досліджуємо природу отриманого дробу змістовніше. Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорній точці). Подолавши відстань метрів (ліва червона лінія), ми опинимося на висоті 60 метрів. Тоді збільшення функції складе метрів (зелена лінія) та: . Таким чином, на кожному метріцієї ділянки дороги висота збільшується в середньомуна 4 метри…не забули альпіністське спорядження? =) Інакше кажучи, побудоване ставлення характеризує СЕРЕДНЮ ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ (у разі – зростання) функції.

Примітка : числові значенняРозглянутого прикладу відповідають пропорціям креслення лише приблизно.

2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань від правої чорної точки. Тут підйом більш пологий, тому прирощення (малинова лінія) відносно невелике, і ставлення порівняно з попереднім випадком буде дуже скромним. Умовно кажучи, метрів та швидкість зростання функціїскладає. Тобто тут на кожен метр шляху доводиться в середньомупівметра підйому.

3) Невелика пригода на схилі гори. Подивимося верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це позначка 50 метрів. Знову долаємо відстань, внаслідок чого опиняємося нижче – на рівні 30 метрів. Оскільки здійснено рух зверху вниз(в «протихід» напрямку осі), то підсумкове збільшення функції (висоти) буде негативним: метрів (коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку мова вже йде про швидкості спаданняфункції: , тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота зменшується в середньомуна 2 метри. Бережіть одяг на п'ятій точці.

Тепер запитаємо себе: яке значення «вимірювального еталона» найкраще використовувати? Цілком зрозуміло, 10 метрів – це дуже грубо. На них запросто вміститься добра дюжина купин. Та що там купини, внизу може бути глибока ущелина, а за кілька метрів – інша його сторона з подальшим стрімким підйомом. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок за допомогою відношення.

З проведеного міркування слідує висновок - чим менше значення тим точніше ми опишемо рельєф дороги. Більше того, справедливі такі факти:

– Для будь-якоїточки підйомів можна підібрати значення (нехай і дуже мале), що вміщується в межах того чи іншого підйому. А це означає, що відповідне збільшення висоти буде гарантовано позитивним, і нерівність коректно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.

– Аналогічно, для будь-якоїточки схилу існує значення, яке повністю вміститься на цьому схилі. Отже, відповідне збільшення висоти однозначно негативно, і нерівність коректно покаже зменшення функції в кожній точці даного інтервалу.

– Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю: . По-перше, нульове збільшення висоти () – ознака рівного шляху. А по-друге, є інші цікаві ситуації, приклади яких ви бачите на малюнку. Уявіть, що доля завела нас на саму вершину пагорба з орлами, що ширяють, або дно яру з жабами, що квакають. Якщо зробити невеликий крок у будь-який бік, то зміна висоти буде дуже мало, і можна сказати, що швидкість зміни функції фактично нульова. У точках спостерігається саме така картина.

Таким чином ми підібралися до дивовижної можливості ідеально точно охарактеризувати швидкість зміни функції. Адже математичний аналіз дозволяє спрямувати збільшення аргументу нанівець: , тобто зробити його нескінченно малим.

За підсумком виникає ще одне закономірне питання: чи можна для дороги та її графіка знайти іншу функцію, яка повідомляла б нампро всі рівні ділянки, підйоми, спуски, вершини, низини, а також про швидкість зростання/зменшення в кожній точці шляху?

Що таке похідна? Визначення похідної.
Геометричний зміст похідної та диференціала

Будь ласка, прочитайте вдумливо та не надто швидко – матеріал простий та доступний кожному! Нічого страшного, якщо подекуди щось здасться не дуже зрозумілим, до статті завжди можна повернутися пізніше. Скажу більше, теорію корисно проштудувати кілька разів, щоб якісно усвідомити всі моменти (рада особливо актуальна для студентів-«технарів», у яких вища математикавідіграє значну роль у навчальному процесі).

Звичайно, і в самому визначенні похідної в точці замінимо на :

До чого ми дійшли? А дійшли ми до того, що для функції згідно із законом ставиться у відповідність інша функціяяка називається похідною функцією(або просто похідною).

Похідна характеризує швидкість змінифункції. Яким чином? Думка йде червоною ниткою від початку статті. Розглянемо деяку точку області визначенняфункції. Нехай функція диференційована у цій точці. Тоді:

1) Якщо , то функція зростає у точці . І, очевидно, існує інтервал(Нехай навіть дуже малий), що містить точку , на якому функція зростає, і її графік йде «знизу нагору».

2) Якщо , то функція зменшується у точці . І є інтервал, що містить точку , у якому функція зменшується (графік йде «згори донизу»).

3) Якщо , то нескінченно близькоПри точці функція зберігає свою швидкість постійної. Так буває, як зазначалося, у функції-константи та у критичних точках функції, зокрема у точках мінімуму та максимуму.

Трохи семантики. Що в широкому розумінні означає дієслово «диференціювати»? Диференціювати – це означає виділити будь-яку ознаку. Диференціюючи функцію, ми «виділяємо» швидкість її зміни у вигляді похідної функції. А що, до речі, розуміється під словом похідна? Функція відбуласявід функції.

Терміни дуже вдало тлумачить механічний зміст похідної. :
Розглянемо закон зміни координати тіла, що залежить від часу, та функцію швидкості руху даного тіла. Функція характеризує швидкість зміни координати тіла, тому першої похідної функції за часом: . Якби в природі не існувало поняття «рух тіла», то не існувало б і похідногопоняття "швидкість тіла".

Прискорення тіла – це швидкість зміни швидкості, тому: . Якби в природі не існувало вихідних понять «рух тіла» та «швидкість руху тіла», то не існувало б і похідногопоняття «прискорення тіла».

Для з'ясування геометричного значення похідної розглянемо графік функції y = f (x). Візьмемо довільну точку М з координатами (x, y) та близьку до неї точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведемо ординати $\overline(M_(1) M)$ і $\overline(N_(1) N)$, та якщо з точки М -- паралельну осі ОХ пряму.

Відношення $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ є тангенсом кута $\alpha $1, утвореного січною MN з позитивним напрямом осі ОХ. При прагненні $\Delta $х до нуля точка N буде наближатися до M, а граничним положенням січної MN стане дотична MT до кривої в точці M. Таким чином, похідна f`(x) дорівнює тангенсу кута $\alpha $, утвореного до до кривою в точці M (х, y) з позитивним напрямом до осі ОХ - кутового коефіцієнта дотичної (рис.1).

Малюнок 1. Графік функції

Обчислюючи значення за формулами (1), важливо помилитися у знаках, т.к. збільшення може бути і негативним.

Точка N, що лежить на кривій, може прагнути M з будь-якої сторони. Так, якщо на малюнку 1, що стосується надати протилежний напрямок, кут $ alpha $ зміниться на величину $ pi $, що істотно вплине на тангенс кута і відповідно кутовий коефіцієнт.

Висновок

Слід висновок, що існування похідної пов'язане з існуванням дотичної до кривої y = f (x), а кутовий коефіцієнт - tg $ \ alpha $ = f ` (x) кінцевий. Тому дотична має бути паралельної осі OY, інакше $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс кута буде нескінченним.

У деяких точках безперервна крива може не мати дотичної або мати паралельну дотичну осі OY (рис.2). Тоді у цих значеннях функція неспроможна мати похідну. Подібних точок може бути скільки завгодно багато на кривій функції.

Малюнок 2. Виняткові точки кривої

Розглянемо малюнок 2. Нехай $\Delta $x прагне нулю з боку негативних чи позитивних значень:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Якщо в даному випадку відносини (1) мають кінцевий боковий вівтар, він позначається як:

У першому випадку - похідна ліворуч, у другому - похідна справа.

Існування межі говорить про рівносильність і рівність лівої та правої похідної:

Якщо ж ліва і права похідні нерівні, то цій точці існують дотичні не паралельні OY (точка М1, рис.2). У точках М2, М3 відносини (1) прагнуть нескінченності.

Для точок N лежать ліворуч від M2, $\Delta $x $

Праворуч від $ M_2 $, $ \ Delta $ x $> $ 0, але вираз також f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $

Для точки $M_3$ зліва $\Delta $x $$ 0 і f(x + $\Delta $x) - f(x) $>$ 0, тобто. вирази (1) і зліва, і справа позитивні і прагнуть +$\infty $ як при наближенні $\Delta $x до -0, так і до +0.

Випадок відсутності похідної у конкретних точках прямий (x = c) представлений малюнку 3.

Малюнок 3. Відсутність похідних

Приклад 1

На малюнку 4 зображено графік функції та дотичної до графіка у точці з абсцисою $x_0$. Знайти значення похідної функції в абсцисі.

Рішення. Похідна в точці дорівнює відношенню ~ збільшення функції до збільшення аргументу. Виберемо на дотичній дві точки з цілими координатами. Нехай, наприклад, це будуть точки F(-3,2) та C(-2.4).