При вирішенні геометричних завдань корисно дотримуватися такого алгоритму. Під час читання умови завдання необхідно
- Зробити креслення. Креслення має максимально відповідати умові завдання, тому його основне завдання допомогти знайти хід рішення
- Нанести всі дані з умови завдання на креслення
- Виписати все геометричні поняття, які зустрічаються у завданні
- Згадати всі теореми, які стосуються цього поняття
- Нанести на креслення всі співвідношення між елементами геометричної фігури, які випливають з цих теорем
Наприклад, якщо завдання зустрічається слова бісектриса кута трикутника, потрібно згадати визначення і властивості бісектриси і позначити на кресленні рівні або пропорційні відрізки і кути.
У цій статті ви знайдете основні властивості трикутника, які потрібно знати для успішного вирішення завдань.
ТРИКУТНИК.
Площа трикутника.
1. ,
тут – довільна сторона трикутника, – висота, опущена на цю сторону.
2.
,
тут і - довільні сторони трикутника, - кут між цими сторонами:
3. Формула Герона:
Тут - довжини сторін трикутника, - напівпериметр трикутника,
4. ,
тут - напівпериметр трикутника, - радіус вписаного кола.
Нехай – довжини відрізків дотичних.
Тоді формулу Герона можна записати у такому вигляді:
5.
6. ,
тут - довжини сторін трикутника, - радіус описаного кола.
Якщо на стороні трикутника взята точка, яка ділить цю сторону щодо m:n, то відрізок, що з'єднує цю точку з вершиною протилежного кута, ділить трикутник на два трикутники, площі яких відносяться як m:n:
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Медіана трикутника
Це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Медіани трикутникаперетинаються в одній точці та діляться точкою перетину щодо 2:1, рахуючи від вершини.
Точка перетину медіан правильного трикутника ділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.
Радіус описаного кола в два рази більший за радіус вписаного кола: R=2r
Довжина медіанидовільного трикутника
,
тут - медіана, проведена до сторони - довжини сторін трикутника.
Бісектриса трикутника
Це відрізок бісектриси будь-якого кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з протилежною стороною.
Бісектриса трикутникаділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:
Бісектриси трикутникаперетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.
Всі точки бісектриси кута рівновіддалені від сторін кута.
Висота трикутника
Це відрізок перпендикуляра, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону або її продовження. У тупокутному трикутнику висота, проведена з вершини гострого кута, лежить поза трикутником.
Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентр трикутника.
Щоб знайти висоту трикутника, Проведену до сторони , потрібно будь-яким доступним способом знайти його площу, а потім скористатися формулою:
Центр кола, описаного біля трикутника, лежить у точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника
Радіус описаного кола трикутника можна знайти за такими формулами:
Тут – довжини сторін трикутника, – площа трикутника.
,
де - Довжина сторони трикутника, - Протилежний кут. (Ця формула випливає із теореми синусів).
Нерівність трикутника
Кожна сторона трикутника менша від суми і більша за різницю двох інших.
Сума довжин будь-яких двох сторін завжди більша за довжину третьої сторони:
Навпроти більшої сторони лежить більший кут; навпроти більшого кута лежить велика сторона:
Якщо , то навпаки.
Теорема синусів:
сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
Теорема косінусів:
квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
Прямокутний трикутник
- це трикутник, один із кутів якого дорівнює 90°.
Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
Гіпотенуза – це сторона, яка лежить проти кута 90 °. Гіпотенуза є найбільшою стороною.
Теорема Піфагора:
квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: 
Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює
,
тут - радіус вписаного кола, - катети, - гіпотенуза:
Центр кола, описаного біля прямокутного трикутника лежить у середині гіпотенузи:
Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, що дорівнює половині гіпотенузи.
Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу прямокутного трикутникадивіться
Співвідношення елементів у прямокутному трикутнику:
Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює творупроекцій катетів на гіпотенузу:
Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію катета на гіпотенузу:
Катет, що лежить проти кута дорівнює половині гіпотенузи:
Рівнобедрений трикутник.
Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи є медіаною та висотою.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Кут при вершині.
І - бічні сторони,
І - кути при основі.
Висота, бісектриса та медіана.
Увага!Висота, бісектриса та медіана, проведені до бічної сторони не збігаються.
Правильний трикутник
(або рівносторонній трикутник ) - це трикутник, всі сторони та кути якого рівні між собою.
Площа правильного трикутникадорівнює
де - Довжина сторони трикутника.
Центр кола, вписаного у правильний трикутник, збігається з центром кола, описаного біля правильного трикутника і лежить у точці перетину медіан.
Точка перетину медіан правильного трикутникаділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.
Якщо один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник правильний.
Середня лінія трикутника
Це відрізок, що з'єднує середини двох сторін.
На малюнку DE - середня лініятрикутник ABC.
Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині: DE||AC, AC=2DE
Зовнішній кут трикутника
Це кут, суміжний якомусь куту трикутника.
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів, не суміжних із ним.
Тригонометричні функції зовнішнього кута:
Ознаки рівності трикутників:
1 . Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
2 . Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
3 Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Важливо:оскільки в прямокутному трикутникудва кути свідомо рівні, то для рівності двох прямокутних трикутниківпотрібна рівність всього двох елементів: двох сторін, або сторони та гострого кута.
Ознаки подоби трикутників:
1 . Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, і кути, укладені між цими сторонами рівні, ці трикутники подібні.
2 . Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, ці трикутники подібні.
3 . Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.
Важливо:у подібних трикутниках подібні сторони лежать проти рівних кутів.
Теорема Менела
Нехай пряма перетинає трикутник, причому - точка її перетину зі стороною, - точка її перетину зі стороною, і - точка її перетину з продовженням сторони. Тоді
Прямокутний трикутник- це трикутник, у якого один із кутів - прямий, тобто дорівнює 90 градусам.
- Сторона, що протилежить прямому куту називається гіпотенузою (на малюнку позначена як cабо AB)
- Сторона, що прилягає до прямого кута, називається катетом. Кожен прямокутний трикутник має два катети (на малюнку позначені як aі b або AC та BC)
Формули та властивості прямокутного трикутника
Позначення формул:(Див. малюнок вище)
a, b- катети прямокутного трикутника
c- гіпотенуза
α, β - гострі кути трикутника
S- площа
h- Висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу
m a aз протилежного кута ( α )
m b- медіана, проведена до сторони bз протилежного кута ( β )
m c- медіана, проведена до сторони cз протилежного кута ( γ )
У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менший за гіпотенузу(Формули 1 та 2). Ця властивість є наслідком теореми Піфагора.
Косинус будь-якого з гострих кутівменше одиниці (Формули 3 та 4). Ця властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то співвідношення катета до гіпотенузи завжди менше одиниці.
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Ця властивість постійно використовується під час вирішення завдань.
Площа прямокутного трикутникадорівнює половині твору катетів (Формула 6)
Сума квадратів медіандо катетів, що дорівнює п'яти квадратів медіани до гіпотенузи і п'яти квадратів гіпотенузи, поділених на чотири (Формула 7). Крім зазначеної, є ще 5 формулТому рекомендується ознайомитися також і з уроком "Медіана прямокутного трикутника", в якому більш детально викладені властивості медіани.
Висотапрямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)
Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Ця тотожність також є одним із наслідків теореми Піфагора.
Довжина гіпотенузидорівнює діаметру (двом радіусам) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаного кола. Ця властивість часто використовується під час вирішення завдань.
Радіус вписанийв прямокутний трикутник коламожна знайти як половину від виразу, що включає суму катетів цього трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як добуток катетів, поділений на суму всіх сторін (периметр) цього трикутника. (Формула 11)
Синус кута відношенню протилежногоданому куту катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 12). Ця властивість використовується при вирішенні завдань. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, що вони утворюють.
Косинус кута А (α, альфа) у прямокутному трикутнику дорівнюватиме відношенню прилеглогоданому куту катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 13)
Властивість: 1.У будь-якому прямокутному трикутнику, висота, опущена з прямого кута (на гіпотенузу), ділить прямокутний трикутник, на три подібні трикутники.
Властивість: 2.Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює середньому геометричному проекції катетів на гіпотенузу (або середньому геометричному тих відрізків на які висота розбиває гіпотенузу).
Властивість: 3.Катет дорівнює середньому геометричному гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.
Властивість: 4.Катет проти кута 30 градусів дорівнює половині гіпотенузи.
Формули 1.
Формула 2, де гіпотенуза; , катети.
Властивість: 5.У прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині і дорівнює радіусу описаного кола.
Властивість: 6. Залежність між сторонами та кутами прямокутного трикутника:
44. Теорема косінусів. Наслідки: зв'язок між діагоналями та сторонами паралелограма; визначення виду трикутника; формула для обчислення довжини медіани трикутника; обчислення косинуса кута трикутника.
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Клас. Програма колоквіуму основи планіметрії
Властивість суміжних кутів.. визначення два кути суміжні якщо одна сторона у них загальна в дві інші утворюють пряму лінію.
Якщо Вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
Трикутники.
Основні поняття.
Трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків та трьох точок, що не лежать на одній прямій.
Відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.
Сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.
Висота трикутника.
Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.
У гострокутному трикутнику висота міститься усередині трикутника (рис.1).
У прямокутному трикутнику катети є висотами трикутника (рис.2).
У тупокутному трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).
Властивості висоти трикутника:
Бісектриса трикутника.
Бісектриса трикутника- це відрізок, який ділить кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежному боці (рис.5).
Властивості бісектриси:
Медіана трикутник.
Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (рис.9а).
| Довжину медіани можна обчислити за такою формулою: 2b 2 + 2c 2 - a 2 де m a- медіана, проведена до сторони а. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: c де m c- медіана, проведена до гіпотенузи c(Мал.9в) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (в центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відсотковому співвідношенні 2:1, відраховуючи від вершини. Тобто відрізок від вершини до центру вдвічі більше відрізка від центру до сторони трикутника (рис.9с). Три медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників. |
Середня лінія трикутника.
Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох сторін (рис.10).
Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині
Зовнішній кут трикутника.
Зовнішній куттрикутника дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх кутів (рис.11).
Зовнішній кут трикутника більший за будь-який несуміжний кут.
Прямокутний трикутник.
Прямокутний трикутник- це трикутник, який має прямий кут (рис.12).
Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.
Дві інші сторони називаються катетами.
Пропорційні відрізки прямокутному трикутнику.
1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібні трикутники: ABC, ACH та HCB (рис.14а). Відповідно, кути, що утворюються висотою, дорівнюють кутам А і В.
Рис.14а
Рівнобедрений трикутник.
Рівностегновий трикутник- Це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).
Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя - основоютрикутник.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. (У нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектриса, і висотою трикутника.
Рівносторонній трикутник.
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).
Властивості рівностороннього трикутника:
Чудові властивості трикутників.
Трикутники мають оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових рис:
| 1) У прямокутному трикутнику з кутами 90º, 30º та 60º катет b, що лежить навпроти кута в 30 º, дорівнює половині гіпотенузи. А катетa більше катетаbу √3 разів (рис.15 а). Наприклад, якщо катет b дорівнює 5, то гіпотенуза cобов'язково дорівнює 10, а катет адорівнює 5√3. 2) У прямокутному рівнобедреному трикутнику з кутами 90º, 45º та 45º гіпотенуза у √2 разів більша за катет (рис.15). b). Наприклад, якщо катети дорівнюють 5, то гіпотенуза дорівнює 5√2. 3) Середня лінія трикутника дорівнює половині паралельної сторони (рис.15 з). Наприклад, якщо сторона трикутника дорівнює 10, паралельна їй середня лінія дорівнює 5. 4) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи (рис.9в): m c= с/2. 5) Медіани трикутника, перетинаючи в одній точці, діляться цією точкою у співвідношенні 2:1. Тобто відрізок від вершини до точки перетину медіан вдвічі більше відрізка від точки перетину медіан до сторони трикутника (рис.9c) 6) У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола (рис.15). d). |
Ознаки рівності трикутників.
Перша ознака рівності: якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака рівності: якщо сторона і кути одного трикутника, що прилягають до неї, рівні стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Третя ознака рівності: якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Нерівність трикутника.
У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.
Теорема Піфагор.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
c 2 = a 2 + b 2 .
Площа трикутника.
1) Площа трикутника дорівнює половині твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
ah
S = ——
2
2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:
1
S = —
AB ·
AC ·
sin A
2
Трикутник, описаний біля кола.
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін (рис.16 а).
Трикутник, вписаний у коло.
Трикутник називається вписаним у коло, якщо він стосується її всіма вершинами (рис.17) a).
Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).
Сінусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.
Косінусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.
Тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до катета, що прилягає.
Позначається так: tgx.
Котангенсгострого кута x- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.
Правила:
Катет, що протилежить куту x, дорівнює добутку гіпотенузи на sin x:
b = c· sin x
Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:
a = c· cos x
Катет, протилежний куту x, дорівнює добутку другого катета на tg x:
b = a· tg x
Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку другого катета на ctg x:
a = b· ctg x.
Для будь-якого гострого кута x:
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
