Метод варіації довільних постійних
Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
відповідного однорідного рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри
Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n , що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .
Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція
є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, таким чином, до квадратур.
Метод варіації довільних постійних для побудови рішень системи лінійних диференціальних рівнянь у нормальній векторній формі
полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді
де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд
Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:
Матриця Z(t)Z− 1 (τ)називається матрицею Кошіоператора L = A(t) .
Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальна системарозв'язків, а - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L(y)=0 . Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, шукатимемо рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося, що рішення у такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію рівняння. Для встановлення цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює 
. (4)
При обчисленні другої похідної у правій частині (4) з'явиться чотири доданки, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює 
. (5)
За тими самими, що раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Нарешті, n-я похідна дорівнює 
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних у вихідне рівняння, маємо 
. (7)
Друге доданок (7) дорівнює нулю, так як функції y j , j=1,2,..,n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Поєднуючи з попереднім, отримуємо систему рівнянь алгебри для знаходження функцій C" j (x) 
(8)
Визначник цієї системи є визначником Вронської фундаментальної системи рішень y 1 ,y 2 ,..,y n відповідного однорідного рівняння L(y)=0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішення системи (8). Знайшовши його, отримаємо функції C" j (x), j=1,2,…,n, а, отже, і C j (x), j=1,2,…,n Підставляючи ці значення (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної постійної чи методом Лагранжа.
Приклад №1. Знайдемо загальне рішення рівняння y" + 4y + 3y = 9e -3 x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 4y + 3y = 0. Коріння його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 = 0 рівні -1 і - 3. Тому фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння складається з функцій y 1 = e - x та y 2 = e -3 x. Розв'язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C" 1 , C" 2 складаємо систему рівнянь (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
вирішуючи яку, знаходимо , інтегруючи отримані функції, маємо 
Остаточно отримаємо
Приклад №2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами методом варіації довільних постійних: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Розв'язання рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 · 1 · 8 = 4
Коріння характеристичного рівняння: r 1 = 4, r 2 = 2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції: y1 = e4x, y2 = e2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Пошук приватного рішення шляхом варіації довільної постійної.
Для знаходження похідних C" i складаємо систему рівнянь:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Виразимо C" 1 з першого рівняння:
C" 1 = -c 2 e -2x
і підставимо на друге. У результаті отримуємо:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x / (e 2x +2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Оскільки y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Знайдемо приватне рішення за умови:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Підставляючи x = 0, у знайдене рівняння, отримаємо:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Підставляючи x = 0, отримаємо:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Отримуємо систему із двох рівнянь:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
або
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
або
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Звідки: C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватне рішення запишеться як:
y = 2e 4x · ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x · ln (2e 2x +1) - 2x · e 2x + 2 · e 2x
Метод варіації довільної постійної, або метод Лагранжа - ще один спосіб вирішення лінійних диференціальних рівняньпершого порядку та рівняння Бернуллі.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку - це рівняння виду y + p (x) y = q (x). Якщо правій частині стоїть нуль: y'+p(x)y=0, це — лінійне одноріднерівняння 1-го порядку. Відповідно, рівняння з ненульовою правою частиною, y+p(x)y=q(x), — неодноріднелінійне рівняння 1-го порядку.
Метод варіації довільної постійної (метод Лагранжа) полягає в наступному:
1) Шукаємо загальне рішення однорідного рівняння y+p(x)y=0: y=y*.
2) У загальному рішенні З вважаємо не константою, а функцією від іксу: С = С (x). Знаходимо похідну загального рішення (y*)' та в початкову умову підставляємо отриманий вираз для y* та (y*)’. З отриманого рівняння знаходимо функцію (x).
3) У загальне рішення однорідного рівняння замість З підставляємо знайдений вираз С(x).
Розглянемо приклади метод варіації довільної постійної. Візьмемо ті самі завдання, що й у порівняємо хід рішення і переконаємося, що отримані відповіді збігаються.
1) y'=3x-y/x
Перепишемо рівняння у стандартному вигляді (на відміну від методу Бернуллі, де форма запису нам потрібна була тільки для того, щоб побачити, що рівняння є лінійним).
y'+y/x=3x (I). Тепер діємо за планом.
1) Вирішуємо однорідне рівняння y+y/x=0. Це рівняння з змінними, що розділяються. Представляємо y'=dy/dx, підставляємо: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на xy≠0: dy/y=-dx/x. Інтегруємо:
2) В отриманому загальному рішенні однорідного рівняння вважатимемо С не константою, а функцією від x: С=С(x). Звідси
Отримані вирази підставляємо за умови (I):
Інтегруємо обидві частини рівняння:
тут С - вже деяка нова константа.
3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C/x, де ми вважали С=С(x), тобто y=C(x)/x, замість С(x) підставляємо знайдений вираз x³+C: y=(x³ +C)/x або y=x²+C/x. Отримали таку ж відповідь, як і під час вирішення методом Бернуллі.
Відповідь: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Тут рівняння вже записано у стандартному вигляді, перетворювати не треба.
1) Вирішуємо однорідне лінійне рівняння y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Інтегруємо:
Щоб отримати більш зручну форму запису, експоненту в мірі С приймемо за нову:
Це перетворення виконали, щоб зручніше знаходити похідну.
2) В отриманому загальному рішенні лінійного однорідного рівняння вважаємо С не константою, а функцією від x: С = С(x). За цієї умови
Отримані вирази y та y' підставляємо за умови:
Помножимо обидві частини рівняння на
Інтегруємо обидві частини рівняння за формулою інтегрування частинами, отримуємо:
Тут вже не функція, а звичайна константа.
3) У загальне рішення однорідного рівняння
підставляємо знайдену функцію С(x):
Отримали таку ж відповідь, як і під час вирішення методом Бернуллі.
Метод варіації довільної постійної застосовний і для вирішення.
y'x+y=-xy².
Наводимо рівняння до стандартного вигляду: y+y/x=-y² (II).
1) Вирішуємо однорідне рівняння y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. Множимо обидві частини рівняння на dx і ділимо на y: dy/y=-dx/x. Тепер інтегруємо:
Підставляємо отримані вирази за умови (II):
Спрощуємо:
Отримали рівняння з змінними щодо С і x:
Тут С вже звичайна константа. У процесі інтегрування писали замість (x) просто З, щоб не перевантажувати запис. А наприкінці повернулися до С(x), щоб не плутати С(x) із новою С.
3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C(x)/x підставляємо знайдену функцію С(x):
Отримали таку ж відповідь, що і при вирішенні способом Бернуллі.
Приклади для самоперевірки:
1. Перепишемо рівняння у стандартному вигляді: y'-2y = x.
1) Вирішуємо однорідне рівняння y'-2y = 0. y'=dy/dx, звідси dy/dx=2y, множимо обидві частини рівняння на dx, ділимо на y та інтегруємо:
Звідси знаходимо y:
Вирази для y і y' підставляємо в умову (для стислості живитимемо С замість С(x) і С' замість C"(x)):
Для знаходження інтеграла у правій частині застосовуємо формулу інтегрування частинами:
Тепер підставляємо u, du та v у формулу:
Тут З = const.
3) Тепер підставляємо у вирішення однорідного
Теоретичний мінімумТеоретично диференціальних рівнянь існує метод, що претендує досить високий для цієї теорії ступінь універсальності.
Йдеться про метод варіації довільної постійної, що застосовується до рішення різних класівдиференціальних рівнянь та їх
систем. Це саме той випадок, коли теорія – якщо вивести за дужки докази тверджень – мінімальна, але дозволяє добиватися
значних результатів, тому основний акцент буде зроблено на прикладах.Загальну ідею способу сформулювати досить легко. Нехай задане рівняння (систему рівнянь) вирішити складно чи взагалі незрозуміло,
як її вирішувати. Однак видно, що при виключенні з рівняння деяких доданків воно вирішується. Тоді вирішують саме таке спрощене
рівняння (систему), одержують рішення, що містить кілька довільних констант - залежно від порядку рівняння (кількості
рівнянь у системі). Потім вважають, що константи у знайденому рішенні насправді константами не є, знайдене рішення
підставляється у вихідне рівняння (систему), виходить диференціальне рівняння (чи система рівнянь) визначення "констант".
Існує певна специфіка у застосуванні методу варіації довільної постійної до різних завдань, але це вже зокрема, які будуть
показані на прикладах.Окремо розглянемо рішення лінійних неоднорідних рівнянь вищих порядків, тобто. рівнянь виду
.
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння та приватного рішення
даного рівняння. Припустимо, що загальне рішення однорідного рівняння вже знайдено, а саме побудовано фундаментальну систему рішень (ФСР)
. Тоді загальне рішення однорідного рівняння дорівнює.
Потрібно знайти будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння. Для цього константи вважаються залежними від змінної.
Далі потрібно вирішити систему рівнянь.
Теорія гарантує, що ця система алгебраїчних рівнянь щодо похідних від функцій має єдине рішення.
При знаходженні самих функцій константи інтегрування не виникають: адже шукається будь-яке одне рішення.У разі розв'язання систем лінійних неоднорідних рівнянь першого порядку виду
алгоритм майже змінюється. Спочатку потрібно знайти ФСР відповідної однорідної системи рівнянь, скласти фундаментальну матрицю
системи , стовпці якої є елементами ФСР. Далі складається рівняння.
Вирішуючи систему, визначаємо функції , знаходячи таким чином приватне рішення вихідної системи
(фундаментальна матриця множиться на стовпець знайдених функцій).
Додаємо його до загального розв'язання відповідної системи однорідних рівнянь, що будується на основі вже знайденої ФСР.
Виходить загальне рішення вихідної системи.приклади.
приклад 1. Лінійні неоднорідні рівняння першого порядку.
Розглянемо відповідне однорідне рівняння (шукану функцію позначимо):
.
Це рівняння легко вирішується шляхом поділу змінних:
.
А тепер представимо рішення вихідного рівняння у вигляді, де функцію ще потрібно знайти.
Підставляємо такий вид рішення у вихідне рівняння:
.
Як видно, другий і третій доданок у лівій частині взаємно знищуються - це характерна рисаметоду варіації довільної постійної.
Ось тут уже – справді, довільна постійна. Таким чином,
.приклад 2. Рівняння Бернуллі.
Діємо аналогічно першому прикладу - розв'язуємо рівняння
шляхом поділу змінних. Вийде , тому рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Підставляємо цю функцію у вихідне рівняння:
.
І знову відбуваються скорочення:
.
Тут потрібно не забути переконатися, що при розподілі на не втрачається рішення. А випадку відповідає рішення вихідного
рівняння. Запам'ятаємо його. Отже,.
Запишемо.
Це є рішення. При записі відповіді слід також вказати знайдене раніше рішення, оскільки йому не відповідає жодне кінцеве значення
константи.приклад 3. Лінійні неоднорідні рівняння вищих порядків.
Відразу зауважимо, що це рівняння можна вирішити і простіше, але на ньому зручно показати метод. Хоча деякі переваги
метод варіації довільної постійної і в цьому прикладі є.
Отже, треба починати з ФСР відповідного однорідного рівняння. Нагадаємо, що для знаходження ФСР складається характеристичне
рівняння
.
Таким чином, загальне рішення однорідного рівняння
.
Константи, що входять сюди, і доведеться варіювати. Складаємо сист
