Тривимірний простір – має три однорідні виміри: висоту, ширину та довжину. Це геометрична модель нашого матеріального світу.
Щоб зрозуміти природу фізичного простору, спочатку треба відповісти питанням про походження його розмірності. Тому значення розмірності, очевидно, найважливіша характеристика фізичного простору.
Розмірність простору
Розмірність - найбільш загальна кількісно виражається властивість простору-часу. В даний час фізична теорія, що претендує на просторово-часовий опис реальності, бере значення розмірності як вихідний постулат. Поняття числа вимірів, чи розмірності простору, відноситься до найбільш фундаментальних понять математики та фізики.
Сучасна фізика впритул підійшла до відповіді на метафізичне питання, який був поставлений ще в роботах австрійського фізика та філософа Ернста Маха: «Чому простір тривимірний?». Вважається, що факт тривимірності простору пов'язаний із фундаментальними властивостями матеріального світу.
Розвиток процесу з точки породжує простір, тобто. місце, де має відбуватися реалізація програми розвитку. «Простір, що породжується «є для нас форма Всесвіту, або форма матерії у Всесвіті».
Так вважали у давнину…
Ще Птолемеєм було написано на тему про розмірність простору, де він стверджував, що в природі не може існувати більше трьох просторових вимірів. У своїй книзі «Про небо» ще один грецький мислитель Аристотель писав, що наявність трьох вимірів забезпечує досконалість і повноту світу. Один вимір, міркував Аристотель, утворює лінію. Якщо додати до лінії інший вимір, отримаємо поверхню. Доповнення поверхні ще одним виміром утворює об'ємне тіло.
Виходить, що «вийти за межі об'ємного тіла до чогось іншого вже не можна, оскільки будь-яка зміна відбувається через якусь нестачу, а така тут відсутня. Наведений хід думки Аристотеля страждає на одну істотну слабкість: залишається незрозумілим, чому саме тривимірне об'ємне тіло має повноту і досконалість. Свого часу Галілей справедливо висміяв думку про те, що «число «3» є число досконале і що воно наділене здатністю повідомляти досконалість усьому, що має троїчність».
Чим визначається мірність простору
Простір має нескінченну протяжність по всіх напрямках. Однак при цьому воно може бути вимірюване лише в трьох незалежних один від одного напрямках: у довжину, ширину та висоту; ці напрями ми називаємо вимірами простору і кажемо, що наш простір має три виміри, що він тривимірний. При цьому «незалежним напрямом ми в цьому випадку називаємо лінію, що лежить під прямим кутом до іншої. таких ліній, тобто. що лежать одночасно під прямим кутом одна до одної і не паралельні між собою, наша геометрія знає лише три. Тобто мірність нашого простору визначається кількістю можливих у ньому ліній, що лежать під прямим кутом одна до одної. На лінії іншої лінії не може бути це одномірний простір. На поверхні можливі 2 перпендикуляри – це двовимірний простір. У «просторі» три перпендикуляри – це тривимірний простір».
Чому простір тривимірний?
Рідкісний у земних умовах досвід матеріалізації людей часто надають на очевидців фізичний вплив.
Але, в уявленнях про простір і час є ще багато неясного, що породжує безперервні дискусії вчених. Чому наш простір має три виміри? Чи можуть існувати багатовимірні світи? Чи можливе існування матеріальних об'єктів поза простором і часом?
Твердження, що фізичний простір має три виміри, має настільки ж об'єктивний характер, як і твердження, наприклад, що існує три фізичні стани речовини: твердий, рідкий і газоподібний; воно визначає фундаментальний факт об'єктивного світу. І. Кант наголосив, що причина тривимірності нашого простору ще невідома. П. Еренфест і Дж. Уітроу показали, що якби число вимірів простору було більше трьох, то існування планетарних систем було б неможливим – лише у тривимірному світі можуть існувати стійкі орбіти планет у планетних системах. Тобто тривимірний порядок матерії є єдиним стабільним порядком.
Але тривимірність простору не може стверджуватись як абсолютна необхідність. Це фізичний факт, подібний до будь-якого іншого, і, як наслідок, він підлягає тому ж самому виду пояснення.
Питання, чому наш простір тривимірне, може вирішуватися або з позиції телеології, що виходить з ненаукового твердження, що «тривимірний світ найдосконаліший з можливих світів», або з науковоматеріалістичних позицій, ґрунтуючись на фундаментальних фізичних закономірностях.
Думка сучасників
Сучасна фізика свідчить, що характеристика тривимірності у тому, що вона, і лише вона, дає можливість формулювати для фізичної дійсності безперервні причинні закони. Але, « сучасні концепціїне відбивають істинного стану фізичної картини світу. У наш час вчені розглядають простір як якусь структуру, що складається з безлічі рівнів, які також є невизначеними. І тому не випадково сучасна наукане може дати відповіді на запитання, чому наш простір, у якому ми живемо і який оглядаємо – тривимірний».
Теорія зв'язаних просторів
У паралельних світах події відбуваються по-своєму, вони можуть…
«Спроби шукати відповіді це питання, залишаючись лише межах математики, приречена на невдачу. Відповідь може утримуватися у новій малорозробленій галузі фізики». Спробуємо знайти відповідь це питання виходячи з положень аналізованої фізики пов'язаних просторів.
Відповідно до теорії пов'язаних просторів, розвиток об'єкта триває три етапи, у своїй кожен етап розвивається вздовж свого виділеного напрями, тобто. вздовж осі розвитку.
У першому етапі розвиток об'єкта йде вздовж початкового виділеного напрями, тобто. має одну вісь розвитку. З другого краю етапі відбувається поворот системи, утвореної першому етапі, на 90°, тобто. відбувається зміна напрямку просторової осі, і розвиток системи починає йти вздовж другого виділеного напряму, перпендикулярного первісному. На третьому етапі знову відбувається поворот розвитку системи на 90 °, і вона починає розвиватися вздовж третього виділеного напрямку, перпендикулярного першим двом. У результаті утворюються три вкладені одна в одну сфери простору, кожна з яких відповідає одній з осей розвитку. Причому всі три зазначені простори пов'язані у єдине стале освіту фізичним процесом.
А оскільки цей процес реалізується на всіх масштабних рівнях нашого світу, то всі системи, у тому числі й самі координати, побудовані за тріадним (трьохкоординатним) принципом. Звідси випливає, що в результаті проходження трьох етапів розвитку процесу природно формується тривимірний простір, утворений як наслідок фізичного процесу розвитку трьома координатними осями трьох взаємно перпендикулярних напрямків розвитку!
Ці розумні сутності виникли на зорі існування Всесвіту.
Недаремно Піфагору, який, очевидно, міг мати цим знанням, належить вислів: «Всі речі складаються з трьох». Про це йдеться і в Н.К. Реріха: «Символ Триєдиності має величезну давнину і зустрічається в усьому Світі, тому він не може бути обмежений будь-якою сектою, організацією, релігією чи традицією, а також особистими чи груповими інтересами, тому що представляє еволюцію свідомості у всіх її фазах… виявився розкинутим по всьому світу… Якщо зібрати разом усі відбитки того самого знака, то, можливо, він виявиться найпоширенішим і найдавнішим серед символів людських. Ніхто не може стверджувати, що цей знак належить лише одному віруванню або ґрунтується на одному фольклорі».
Не дарма ще в давні часи наш світ представлявся як триєдине божество (три злиті в один): щось одне, ціле і неподільне, за своєю сакральною значущістю, що набагато перевершує вихідні величини.
Ми простежили просторову спеціалізацію (розподіл за координатними напрямами простору) всередині окремо взятої системи, але такий самий розподіл ми можемо бачити і в будь-якому соціумі від атома до галактик. Дані три різновиди простору є чим іншим, як трьома координатними станами геометричного простору.
Опишу математичною мовою.
Розглянемо звичайний тривимірний простір, де ми живемо. Ми чудово розуміємо, що таке точка, пряма та площина у цьому просторі. Перетин двох площин дає нам пряму, перетин двох прямих - точку. Кожну точку цього простору можна описати трьома координатами: (x, y, z). Перша координата зазвичай позначає довжину, друга - ширину, третя - висотуданої точки щодо точки початку координат. Все це легко можна проілюструвати та уявити.
Однак чотиривимірний простір не такий вже й простий. Будь-яку точку цього простору тепер можна описати чотирма координатами: (x, y, z, t), де додається нова координата t, яку у фізиці часто називають часом. Під цим мається на увазі, що крім довжини, ширини і висоти точки вказується і її положення за часом, тобто де вона знаходиться: у минулому, сьогодення чи майбутньому.
Але відійдемо від фізики. Виявляється, що математично в цьому просторі додається новий аксіоматичний об'єкт, що називається гіперплощиною. Її умовно можна як одне ціле " тривимірне простір " . За аналогією в тривимірному просторі, перетин двох гіперплощин дає нам площину. Різні комбінації цієї штуки із чотиривимірними фігурами дають нам несподівані результати. Наприклад, у тривимірному просторі перетин площини з кулею дає нам коло. За цією аналогією у чотиривимірному просторі перетин чотиривимірної кулі з гіперплощиною дає нам тривимірну кулю.Стає очевидно, що практично неможливо уявити і намалювати чотиривимірний простір: біологічно наші органи почуттів пристосовані лише до тривимірного випадку і нижче. Тому чотиривимірний простір чітко можна описати лише математичною мовою, переважно з допомогою дій з координатами точок.
Проте менш точно його абияк можна описати й іншою мовою. Розглянемо концепцію паралельних світів: крім нашого світу " існують " й інші світи, де деякі події йшли інакше. Позначимо наш світ через букву А, а інший світ - через букву Б. З погляду чотиривимірного простору можна сказати, що світ А і світ Б - різні "тривимірні простори", які виявляються не перетинаються. Це і є паралельні гіперплощини. І їх дуже багато. Якщо трапляється так, що якщо у визначений момент часу у світі А "дідусь помер", а у світі Б "дідусь все ще живий", то світи А і Б перетинаються по деякій чотиривимірній фігурі, в якій всі події йшли однаково до деякого моменту часу , А потім фігура як би "розділилася" на тривимірні частини, що не перетинаються, в кожній з якої описується стан дідуся, живий він чи ні. Це можна було б описати у двовимірному форматі: була одна пряма, яка потім розділилася на дві лінії, що не перетинаються.
Багатовимірні простори – міф чи реальність? Більшості з нас, або, можливо, всім нам неможливо уявити світ, що складається з більш ніж трьох просторових вимірів. Чи правильне твердження, що такий світ не може існувати? Чи просто людський розум не здатний уявити додаткові виміри – виміри, які можуть виявитися такими ж реальними, як і інші речі, які ми не можемо побачити?
Ми досить часто чуємо щось на кшталт «тривимірний простір», або «багатомірний простір», або «чотиривимірний простір». Можливо, ви знаєте, що ми живемо у чотиривимірному просторі-часі. Що це означає і чому це цікаво, чому математики і не лише математики вивчають такі простори?
|
Ілля Щуров– кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики НДУ ВШЕ.
Jason Hise- Physics programmer at Ready at Dawn Studios, 4D geometry enthusiast. Автор анімованих моделей, представлених у цій статті.
ashgrowen- пікабушник, що проілюстрував у цій статті побудову тесеракту та гіперкуба. |
Давайте почнемо з простого - почнемо з одновимірного простору. Уявімо, що у нас є місто, яке розташоване вздовж дороги, і в цьому місті є лише одна вулиця. Тоді ми можемо кожен будинок на цій вулиці закодувати одним числом - будинок має номер, і цей номер однозначно визначає, який будинок має на увазі. Люди, які живуть у такому місті, можна вважати, що вони живуть у такому одновимірному просторі. Жити у одномірному просторі досить нудно, і зазвичай живуть над одномірному просторі.
Наприклад, якщо ми говоримо про міста, то можна перейти від одновимірного до двовимірного простору. Прикладом двовимірного простору є площина, і якщо ми продовжимо нашу аналогію з містами, це місто, у якому можна розкреслити вулиці, припустимо, перпендикулярно одне одному, як це зроблено у Нью-Йорку, у центрі Нью-Йорка. Там є «стріт» та авеню, кожна з яких має свій номер, і ви можете задавати місце на площині, задавати два числа. Знову ж таки, всі ми знаємо декартову систему координат, знайому зі школи, - кожна точка задається двома числами. Це приклад двовимірного простору.
Але якщо ми говоримо про місто типу центру Нью-Йорка, то насправді воно є тривимірним простором, тому що вам мало задати, наприклад, конкретний будинок, нехай навіть ви задасте його перетином якийсь «стріт» і якийсь авеню, Вам потрібно буде задати ще й поверх, на якому знаходиться потрібна вам квартира. Це дасть вам третій вимір – висоту. У вас вийде тривимірний простір, У якому кожна точка задається трьома числами.
Запитання: що таке чотиривимірний простір? Уявити його собі не так просто, але можна думати про те, що це простір, в якому кожна точка задається чотирма числами. Насправді ми з вами справді живемо у чотиривимірному просторі-часі, тому що події нашого життя кодуються якраз чотирма числами – крім становища у просторі, є ще й час. Наприклад, якщо ви призначаєте побачення, ви можете зробити це так: ви можете вказати три числа, які будуть відповідати точці в просторі, і обов'язково вказати час, який зазвичай задається в годинах, хвилинах, секундах, але можна було б закодувати його одним числом . Наприклад, кількість секунд, що пройшли з певної дати, - це також одне число. Таким чином виходить чотиривимірний простір-час.
Уявити геометрію цього чотиривимірного простору-часу не дуже просто. Наприклад, ми з вами звикли до того, що в нашому звичайному тривимірному просторі дві площини можуть перетинатися прямою або бути паралельними. Але не буває такого, щоби дві площини перетиналися в одній точці. Дві прямі можуть перетнутися в одній точці, а на площині не можуть у тривимірному просторі. А у чотиривимірному просторі дві площини можуть і найчастіше перетинаються в одній точці. Можна уявляти, хоч це вже дуже складно, простір більшої розмірності. Насправді математики, коли працюють із просторами високої розмірності, найчастіше говорять просто: припустимо, п'ятимірний простір - це простір, у якому крапка задається п'ятьма числами, п'ятьма координатами. Безумовно, математики розробили різні методи, що дозволяють розуміти щось про геометрію такого простору.
Чому це важливо? Навіщо знадобилися такі простори? По-перше, чотиривимірний простір нам важливий, тому що він застосовується у фізиці, тому що ми в ньому живемо. А навіщо потрібні простори вищих вимірів? Давайте уявімо, що ми вивчаємо якісь об'єкти, які мають велику кількість параметрів. Наприклад, ми вивчаємо країни, і кожна країна має територію, кількість населення, внутрішній валовий продукт, кількість міст, якісь коефіцієнти, індекси, щось таке. Ми можемо уявляти кожну країну як одну точку в якомусь просторі досить високої розмірності. І виявляється, що з математичної точки зору це правильний спосіб про це думати.
Зокрема, перехід до геометрії багатовимірного простору дозволяє аналізувати різні складні об'єкти, що мають велику кількість параметрів.
Для того, щоб вивчати такі об'єкти, використовуються методи, розроблені в науці, яка називається лінійна алгебра. Незважаючи на те, що вона є алгеброю, насправді це наука про геометрію багатовимірних просторів. Звичайно, оскільки уявити їх досить важко, математики використовують формули, щоб саме вивчати такі простори.
Уявити чотири-, п'яти- чи шестивимірний простір досить складно, але математики не бояться труднощів, і їм мало навіть стомірних просторів. Математики вигадали нескінченномірний простір - простір, що містить нескінченну кількість вимірювань. Як приклад такого простору можна навести простір всіх можливих функцій, заданих на відрізку чи прямий.
Виявляється, що методи, які були розроблені для кінцевих просторів, багато в чому переносяться і на випадки надзвичайно складних з точки зору просто спроби їх уявити просторів.
У лінійній алгебри є численні додатки не тільки в математиці, а й у різних науках, починаючи з фізики і закінчуючи, наприклад, економікою або політичною наукою. Зокрема, лінійна алгебра є основою для багатовимірної статистики, яка використовується для вичленування зв'язків між різними параметрами в якихось масивах даних. Зокрема, популярний нині термін Big Data найчастіше пов'язується з розв'язанням задач з обробки даних, які видаються саме великою кількістю точок у просторі якоїсь кінцевої розмірності. Найчастіше такі завдання можна переформулювати та розумно сприймати саме в геометричних термінах.
Зі шкільних років математика поділяється на алгебру та геометрію. Але насправді, якщо ми подумаємо про те, як влаштована сучасна математика, то ми зрозуміємо, що ті завдання, які зараз вирішуються, зокрема, із застосуванням методів лінійної алгебри, насправді є дуже віддаленим продовженням тих завдань, над якими замислювалися багато тисяч років тому, наприклад Піфагорабо Евклід, розробляючи ту саму шкільну геометрію, яка зараз є у будь-якому шкільному підручнику. Дивно, що завдання аналізу великих даних виявляється у певному сенсі нащадком, здавалося б, зовсім безглуздих - по крайнього заходу з практичної погляду - вправ древніх греків з малюванню прямих чи кіл на площині чи уявному проведенню прямих чи площин в тривимірному просторі.
Що таке чотиривимірний простір (4D)?
Тессерракт – чотиривимірний куб
Усім знайоме скорочення 3D, Що означає "тривимірний" ( літера D - від слова dimension - вимір ). Наприклад, вибираючи в кінотеатрі фільм з позначкою 3D, ми точно знаємо: для перегляду доведеться одягнути спеціальні окуляри, зате картинка буде не плоскою, а об'ємною. А що таке 4D? Чи існує «чотиривимірний простір» насправді? І чи можна вийти в «четверте вимір»?
Щоб відповісти на ці питання, почнемо з найпростішого геометричного об'єкта – точки. Крапка нульмерна. Вона не має ні довжини, ні ширини, ні висоти.
Зрушимо тепер крапку по прямій на деяку відстань. Припустимо, що наша точка - вістря олівця; коли ми її зрушили, вона прокреслила відрізок. У відрізка є довжина і більше ніяких вимірів: він одномірний. Відрізок "живе" на прямий; Пряма є одномірним простором.
Тессеракт – чотиривимірний куб
Візьмемо тепер відрізок і спробуємо зрушити його так, як раніше точку. Можна уявити, що наш відрізок - це основа широкої і дуже тонкої кисті. Якщо ми вийдемо за межі прямої і рухатимемося в перпендикулярному напрямку, вийде прямокутник. У прямокутника є два виміри - ширина та висота. Прямокутник лежить у деякій площині. Площина - це двовимірний простір (2D), на ній можна ввести двовимірну систему координат - кожній точці буде відповідати пара чисел. (Наприклад, декартова система координат на шкільній дошці або широта та довгота на географічній карті.).
Якщо зрушити прямокутник у напрямку, перпендикулярному площині, в якій він лежить, вийде «цеглинка» (прямокутний паралелепіпед) – тривимірний об'єкт, у якого є довжина, ширина та висота; він розташований у тривимірному просторі, у такому, в якому живемо ми з вами. Тому ми добре уявляємо, як виглядають тривимірні об'єкти. Але якби ми жили в двовимірному просторі - на площині, - нам довелося б неабияк напружити уяву, щоб уявити, як можна зрушити прямокутник, щоб він вийшов з тієї площини, в якій ми живемо.
Тессеракт – чотиривимірний куб
Уявити чотиривимірний простір для нас також досить непросто, хоча дуже легко описати математично. Тривимірний простір - це простір, у якому положення точки задається трьома числами (наприклад, положення літака задається довготою, широтою та висотою над рівнем моря). У чотиривимірному просторі точці відповідає четвірка чисел-координат. «Чотиривимірна цегла» виходить зсувом звичайної цеглини вздовж якогось напрямку, що не лежить у нашому тривимірному просторі; він має чотири виміри.
Насправді ми стикаємося з чотиривимірним простором щодня: наприклад, призначаючи побачення, ми вказуємо не лише місце зустрічі (його можна задати трійкою чисел), а й час (його можна задавати одним числом, наприклад, кількістю секунд, що пройшли з певної дати). Якщо подивитися на справжню цеглу, у неї є не тільки довжина, ширина та висота, але ще й протяжність у часі – від моменту створення до моменту руйнування.
Фізик скаже, що ми живемо не просто у просторі, а у просторі-часі; математик додасть, що воно чотиривимірне. Отже, четвертий вимір ближче, ніж здається.
Подання інших вимірів
Від 2D до 3D
Рання спроба пояснити концепцію додаткових вимірів з'явилася 1884 року з публікацією роману про плоскій землі Едвіна А. Ебота «Флатландія: романтика безлічі вимірів“. Дія в романі розгортається в плоскому світі, що називається «Флатландія», а оповідання ведеться від імені жителя цього світу – квадрата. Одного разу уві сні квадрат опиняється в одновимірному світі — Лайнландії, жителі якої (трикутники та інші двовимірні об'єкти представлені у вигляді ліній) і намагається пояснити правителю цього світу існування 2-го виміру, однак, робить висновок про те, що його неможливо змусити вийти за рамки мислення та подання лише прямих ліній.
Квадрат описує його світ як площину, населену лініями, колами, квадратами, трикутниками та п'ятикутниками.
Одного разу перед квадратом з'являється куля, та її суть не може осягнути, оскільки квадрат у світі може бачити лише зріз сфери, лише форму двовимірного кола.
Сфера намагається пояснити квадрату пристрій тривимірного світу, але квадрат розуміє лише поняття "вгору/вниз" і "ліво/право", він не здатний осягнути поняття "вперед/назад".
Тільки після того, як сфера витягне квадрат із його двовимірного світу у свій тривимірний світ, він нарешті зрозуміє концепцію трьох вимірів. З цього нового погляду квадрат стає здатний бачити форми своїх співвітчизників.
Квадрат, озброєний своїм новим знанням, починає розуміти можливість існування четвертого виміру. Також він приходить до думки, що кількість просторових вимірів не може бути обмежена. Прагнучи переконати сферу у цій можливості, квадрат використовує таку ж логіку, як і сфера, яка аргументує існування трьох вимірів. Але тепер із них двох стає «близорукою» сфера, яка не може зрозуміти цього і не приймає аргументів і доводів квадрата — так само, як більшість із нас «сфер» сьогодні не приймають ідею додаткових вимірів.
|
Рецензія на книгу Флатландія Беручи до уваги винятковість як жанру, який за деякої фантазії та існування інших його представників, можна було б назвати математичним романом, так і самої книги, її не хочеться сильно лаяти. Тим не менш, похвали тут заслуговує лише незвичність подачі, за духом близька до творів Льюїса Керрола, проте, на відміну від нього, що має набагато менше точок зіткнення з реальним життям. Ця книга, як вірно зазначено в передмові до видання, не схожа на жодну популяризацію, читачеві, проте, не зовсім ясно, чому її порівнюють з популяризаціями, тому що, хоча математичні істини в ній, безумовно, зачіпаються, який би то не було популяризацією книгу безперечно вважати неможливо. І ось чому: Перед вами унікальний приклад поєднання художньої вигадки з математичними ідеями. І шанувальнику математики, який любить читати, задум спочатку здається чудовим: подібно до математичних постулатів, ввести в розгляд ряд абстрактних об'єктів, наділити їх певними властивостями, задати правила гри в описаному просторі, а потім, наслідуючи знову ж таки думки дослідника, що спостерігає взаємодії цих умоглядних об'єктів простежити за їхньою трансформацією. Але, оскільки книга все ж таки художня, зусиллям волі вченого місця тут не знаходиться, тому для самодостатності представленого на загальний огляд світу об'єкти тут наділяються свідомістю і мотивацією для будь-яких взаємодій один з одним, після чого насамперед абстрактний світ відірваних від повсякденному життічистих ідей приносяться соціальні взаємодії з цілою купою проблем, завжди супутніх будь-яким взаєминам. Різні тертя, що виникають у книзі на соціальному ґрунті, на думку глядача зовсім не потрібні в книзі: вони практично не розкриті і не можуть сприйматися серйозно, і в той же час відволікають читача від тих речей, заради яких написана книга. Навіть беручи до уваги запевнення обох авторів про неквапливість оповідання, нібито більш комфортну для читача при набутті будь-яких знань (саме тут наводиться порівняння з популяризаціями), глядачеві темп розповіді здався надзвичайно затягнутим і повільним, а повторення одного й того ж пояснення по кілька разів одними й тими самими словами змусило засумніватися у цьому, що оповідач адекватно оцінює його розумовим здібності. І зрештою неясно, для кого ця книга. Незвичним до математики людям опис загалом цікавих явище в настільки вільній формі навряд чи принесе задоволення, знайомим же з математикою ближче буде набагато приємніше взяти в руки якісну популяризацію, де велич і красу математики не розбавляють плоскими казками. |
Від 3D до 4D
Нам складно прийняти цю ідею, бо коли ми намагаємося уявити навіть один додатковий просторовий вимір — ми впираємося в цегляну стіну розуміння. Схоже, наш розум не може вийти за ці межі.
Уявіть, наприклад, що ви знаходитесь в центрі порожньої сфери. Відстань між вами та кожною точкою на поверхні сфери дорівнює. Тепер спробуйте рухатися у напрямі, який дозволяє вам відійти від усіх точок на поверхні сфери, зберігаючи при цьому рівновіддаленість. Ви не зможете цього зробити.
Житель Флатландії зіткнувся б із такою самою проблемою, якби він перебував у центрі кола. У його двовимірному світі він не може перебувати в центрі кола і рухатися в напрямку, який дозволяє йому залишатися рівновіддаленими кожній точці кола, якщо тільки він не перейде в третій вимір. На жаль, у нас немає провідника у чотиривимірний простір як у романі Еббота, щоб показати нам шлях до 4D.
Що таке гіперкуб? Побудова тесеракту
Види гіперкубів та їх назви1. Крапка - нульовий вимір 2. Відрізок – одномірний простір
3. Квадрат - двовимірний простір (2D)
4. Куб - тривимірний простір (3D)
5. Тессеракт - чотиривимірний простір (4D)
|
Гіперкуб - це узагальнююча назва куба у похідній кількості вимірювань. Усього вимірів десять, плюс точка (нульовий вимір).
Відповідно, існує одинадцять видів гіперкубу. Розглянемо побудову тесеракту - гіперкуба четвертого виміру:
Для початку збудуємо точку А (рис. 1):
Після цього з'єднаємо її з точкою В. Отримаємо вектор АВ (рис. 2):
Побудуємо вектор, паралельний вектору АВ і назвемо його CD. Поєднавши початки та кінці векторів, отримаємо квадрат ABDC (рис. 3):
Тепер збудуємо ще один квадрат A1B1D1C1, який лежить у паралельній площині. Поєднавши точки подібним чином, отримаємо куб (рис. 4):
Ми маємо куб. Уявіть, що положення куба у тривимірному просторі з часом змінилося. Зафіксуємо його нове місце (рис 5.):
А тепер, ми проводимо вектори, які з'єднують розташування точок у минулому та сьогоденні. Отримуємо тессеракт (рис. 6):
Мал. 6 Тессеракт (побудова)
Подібно будуються інші гіперкуби, звичайно ж враховується сенс простору, в якому гіперкуб знаходиться.
Як щодо 10D?
1919 року польський математик Теодор Калуцаприпустив, що існування четвертого просторового виміру може ув'язати між собою загальну теорію відносності та електромагнітну теорію. Ідея, згодом удосконалена шведським математиком Оскаром Кляйном, Полягала в тому, що простір складався як з «розширених» вимірів, так і з «згорнутих» вимірів. Розширені виміри - це три просторові виміри, з якими ми знайомі, і згорнутий вимір знаходиться глибоко в розширених розмірах. Експерименти пізніше показали, що згорнутий вимір Калуци та Кляйна не об'єднав загальну теорію відносності та електромагнітну теорію, як це спочатку передбачалося, але через десятиліття теоретики теорії струн знайшли цю ідею корисною, навіть необхідною.
Математика, що використовується в теорії суперструн, вимагає не менше 10 вимірів.Тобто для рівнянь, що описують теорію суперструн і щоб пов'язати загальну теорію відносності з квантовою механікою, для пояснення природи частинок, для об'єднання сил і т. д. — необхідно використовувати додаткові вимірювання. Ці виміри, на думку теоретиків струн, загорнуті в згорнутий простір, спочатку описаний Калуцей і Кляйном.
Кола є додатковим просторовим розміром, згорнутим у кожну точку нашого знайомого тривимірного простору. │ WGBH / NOVA
Щоб розширити скручений простір, щоб увімкнути ці додані розміри, уявіть, що кола Калуци-Клейна замінюються сферами. Замість одного доданого виміру маємо два, якщо розглядати лише поверхні сфер і три, якщо врахувати простір усередині сфери. Вийшло всього шість вимірів. То де ж інші, які потребує теорія суперструн?
Виявляється, що до того, як з'явилася теорія суперструн, два математики Еудженіо Калабіз Університету Пенсільванії та Шин-Тунг Яуз Гарвардського університету описали шестивимірні геометричні форми. Якщо ми замінимо сфери у скрученому просторі цими формами Калабі-Яу, ми отримаємо 10 вимірів: три просторові, а також шестимірні фігури Калабі-Яу.
Шестимірні форми Калабі-Яу можуть пояснювати додаткові розміри, потрібні теорією суперструн. │ WGBH / NOVА
Прихильники теорії струн роблять ставку на те, що додаткові виміри справді існують. Насправді, рівняння, що описують теорію суперструн, припускають всесвіт з не менш ніж 10 вимірами. Але навіть фізикам, які весь час думають про додаткові просторові виміри, складно описати як вони можуть виглядати, або як люди могли б наблизитися до їхнього розуміння.
Якщо теорія суперструн буде доведена і ідея світу, що складається з 10 або більше вимірів, підтвердиться, то чи з'явиться колись пояснення чи візуальне уявлення вищих вимірів, які зможе збагнути людський розум? Відповідь на це питання назавжди може стати негативною, якщо тільки якась чотиривимірна життєва форма не «витягне» нас із нашого тривимірного світу і не дасть нам побачити світ з її погляду.
Загальновідомо, що світ, де ми живемо, тривимірний. Навколишній простір має три виміри — довжину, ширину і висоту. Ну, а якби наш світ мав більше трьох вимірів? Як вплинув би «зайвий» вимір протягом різних фізичних процесів?
На сторінках сучасних науково-фантастичних творів досить часто можна зустрітися з майже миттєвим подоланням величезних космічних відстаней за допомогою так званого "нуль-транспортування" або переходу через "гіперпростір", або "підпростір", або "надпростір".
Що мають на увазі фантасти? Адже добре відомо, що максимальною швидкістю, з якою можуть переміщатися будь-які реальні тіла, є швидкість світла в порожнечі, і практично вона недосяжна. Про які ж «стрибки» через мільйони та сотні мільйонів світлових років може йтися? Зрозуміло, ця ідея — фантастична. Однак у її основі лежать досить цікаві фізико-математичні міркування.
Почнемо з того, що уявімо собі одномірну істоту-точку, яка живе в одномірному просторі, тобто на прямій лінії. У цьому «тісному» світі є лише один вимір — довжина і лише два можливі напрямки — вперед і назад.
У двомірних уявних істот, "плоскатиків", можливостей значно більше. Вони можуть переміщатися у двох вимірах, у тому світі крім довжини є ще й ширина. Але вони так само не здатні вийти в третій вимір, як і істоти-точки не можуть «вистрибнути» за межі своєї прямої лінії. Одновимірні і двовимірні мешканці в принципі можуть дійти теоретичного висновку про можливість існування більшої кількості вимірювань, але шлях до наступного виміру для них закритий.
По обидва боки від площини розташовано тривимірне простір, у якому живемо ми, тривимірні істоти, невідомі двомірного жителя, укладеного у свій двомірний світ: навіть бачити може лише у межах свого простору. Зважаючи на це про існування тривимірного світу та його мешканців двовимірний мешканець міг би дізнатися тільки в тому випадку, якби якась людина, наприклад, проткнула площину пальцем. Але й тоді двовимірна істота могла б спостерігати лише двовимірну зіткнення між пальцем та площиною. Навряд чи цього було б достатньо, щоб зробити якісь висновки про «потойбічне», з погляду двовимірного мешканця, тривимірний простір та його «таємничі» мешканці.
Але таке ж міркування можна провести і для нашого тривимірного простору, якби воно було укладене в якомусь ще більшому, чотиривимірному просторі, подібно до того, як двомірна поверхня укладена в ньому самому.
Проте з'ясуємо спершу, що взагалі є чотиривимірним простором. У тривимірному просторі існують три взаємно перпендикулярні «основні» виміри — «довжина», «ширина» та «висота» (три взаємно перпендикулярні напрямки осей координат). Якби до цих трьох напрямків можна було додати четверте, також перпендикулярне до кожного з них, то простір мав би чотири виміри, був би чотиривимірним.
З погляду математичної логіки міркування про чотиривимірний простір абсолютно бездоганно. Але саме собою воно нічого не доводить, оскільки логічна несуперечність ще не є доказом існування у фізичному сенсі. Такий доказ здатний дати лише досвід. А досвід свідчить, що в нашому просторі через одну точку можна провести лише три взаємно перпендикулярні прямі лінії.
Звернемося ще раз на допомогу «плоскатиків». Для цих істот третій вимір (який вони не можуть вийти) — все одно що для нас четвертий. Однак є і суттєва різниця між уявними плоскими істотами «плоскатиками» та нами, мешканцями тривимірного простору. У той час як площина є двовимірною частиною реально існуючого тривимірного світу, всі наукові дані, які є в нашому розпорядженні, переконливо свідчать про те, що світ, в якому ми живемо, геометрично тривимірний і не є частиною якогось чотиривимірного світу. Якби такий чотиривимірний світ дійсно існував, то в нашому тривимірному світі могли б виходити деякі «дивні» явища.
Повернемося знову до двомірного плоского світу. Хоча його мешканці і не можуть виходити за межі площини, все ж таки, завдяки наявності зовнішнього тривимірного світу, деякі явища, в принципі, можуть тут протікати з виходом у третій вимір. Ця обставина у ряді випадків уможливлює такі процеси, які в самому собі двовимірному світі не могли б відбуватися.
Уявімо, наприклад, намальований у площині звичайний циферблат від годинника. Якими б способами ми не обертали і переміщали цей циферблат, залишаючись у площині, нам ніколи не вдасться змінити напрямок розташування цифр так, щоб вони йшли один за одним проти годинникової стрілки. Цього можна досягти лише «вилучивши» циферблат із площини в тривимірний простір, перевернувши його, а потім знову повернувши в нашу площину.
У тривимірному просторі такої операції відповідала б, наприклад, така. Чи можна рукавичку, призначену для правої руки, шляхом лише переміщень у просторі (тобто не вивертаючи навиворіт) перетворити на рукавичку для лівої руки? Кожен легко може переконатися в тому, що подібна операція неможлива. Однак за наявності чотиривимірного простору цього можна було б досягти так просто, як і у випадку з циферблатом.
Ми не знаємо виходу у чотиривимірний простір. Але річ не тільки в цьому. Його, певне, не знає і природа. Принаймні жодних явищ, які можна було б пояснити існуванням чотиривимірного світу, що охоплює наш тривимірний, ми не знаємо.
Якби чотиривимірний простір та вихід у нього справді існували, відкривалися б дивовижні можливості.
Уявімо собі «плоскатика», якому необхідно подолати відстань між двома точками плоского світу, що віддаляються один від одного, скажімо, на 50 км. Якщо "плоскатик" переміщається зі швидкістю один метр на добу, то подібна подорож займе понад сто років. Але уявіть собі, що двовимірна поверхня згорнута в тривимірному просторі таким чином, що точки початку і кінця маршруту опинилися одна від одної на відстані лише одного метра. Тепер їх відокремлює один від одного зовсім невелику відстань, яку «плоскатик» міг би подолати лише за одну добу. Але цей метр лежить у третьому вимірі! Це і було б "нуль-транспортування", або "гіперперехід".
Аналогічна ситуація могла б виникнути й у викривленому тривимірному світі.
Як показала загальна теорія відносності, наш світ справді має кривизну. Про це ми вже знаємо. І якби ще існував чотиривимірний простір, в який занурений наш тривимірний світ, то для подолання деяких гігантських космічних відстаней достатньо було б «перескочити» через чотиривимірну щілину, що їх розділяє. Ось що мають на увазі письменники-фантасти.
Такі спокусливі переваги чотиривимірного світу. Але є в нього і недоліки. Виявляється, зі зростанням числа вимірів зменшується стійкість руху. Численні дослідження показують, що в двовимірному просторі взагалі ніяке обурення не може порушити рівноваги і видалити тіло, що рухається замкнутою траєкторією навколо іншого тіла, в нескінченність. У просторі трьох вимірювань обмеження вже значно слабше, але все ж і тут траєкторія тіла, що рухається, не йде в нескінченність, якщо тільки обурювальна сила не надто велика.
Але вже у чотиривимірному просторі всі кругові траєкторії стають нестійкими. У такому просторі планети не могли б звертатися навколо Сонця — вони або впали на нього, або полетіли б у нескінченність.
Використовуючи рівняння квантової механіки, можна також показати, що в просторі, що має більш ніж три виміри, не міг би існувати як стійке утворення і атом водню. Відбувалося б неминуче падіння електрона на ядро.
Додавання четвертого виміру змінило б деякі чисто геометричні властивості простору. Одним із важливих розділів геометрії, який представляє не тільки теоретичний, а й великий практичний інтерес, є так звана теорія перетворень. Йдеться про те, як змінюються різні геометричні фігури під час переходу від однієї системи координат до іншої. Один із типів таких геометричних перетворень носить найменування конформних. Так називаються перетворення, що зберігають кути.
Точніше, справа йде в такий спосіб. Уявіть собі якусь просту геометричну фігурускажімо, квадрат або багатокутник. Накладемо на нього довільну сітку ліній, своєрідний «скелет». Тоді конформними ми назвемо такі перетворення системи координат, у яких наш квадрат чи багатокутник перейде у будь-яку іншу фігуру, але отже кути між лініями «скелета» у своїй збережуться. Наочним прикладом конформного перетворення може бути перенесення поверхні глобуса на площину - саме так будуються географічні карти.
Ще в минулому столітті математик Б. Ріман показав, що будь-яка плоска суцільна (тобто без «дір», або, як кажуть математики, однозв'язна) постать може бути конформно перетворена на коло.
Незабаром сучасник Рімана Ж. Ліувілль довів ще одну важливу теорему про те, що не всяке тривимірне тіло можна конформно перетворити на кулю.
Таким чином, у тривимірному просторі можливості конформних перетворень далеко не такі широкі, як у площині. Додавання лише однієї осі координат накладає на геометричні властивості простору дуже жорсткі додаткові обмеження.
Чи не тому реальний простір саме тривимірний, а не двовимірний або, скажімо, п'ятивимірний? Може, якраз вся річ у тому, що двовимірний простір надто вільний, а геометрія п'ятивимірного світу, навпаки, надто жорстко «закріплена»? А справді чому? Чому простір, в якому ми живемо, тривимірний, а не чотиривимірний чи п'ятивимірний?
Багато вчених намагалися відповісти на це питання, виходячи із загальних філософських міркувань. Світ повинен мати досконалість, стверджував Аристотель, і лише три виміри здатні цю досконалість забезпечити.
Проте конкретні фізичні проблеминеможливо знайти вирішені подібними методами.
Наступний крок був зроблений Галілеєм, який відзначив той досвідчений факт, що в нашому світі можуть існувати щонайбільше три взаємно перпендикулярні напрямки. Проте з'ясування причин такого стану речей Галілей не займався.
Зробити це намагався Лейбніц за допомогою суто геометричних доказів. Але такий шлях малоефективний, оскільки ці докази будувалися умоглядно, без зв'язку з навколишнім світом.
Тим часом та чи інша кількість вимірів — це фізична властивістьреального простору, і він повинен мати цілком певні фізичні причини, бути наслідком якихось глибоких фізичних закономірностей.
Навряд ці причини можна вивести з тих чи інших положень сучасної фізики. Адже властивість тривимірності простору лежить у самому фундаменті, в основі всіх існуючих фізичних теорій. Очевидно, вирішення цього завдання стане можливим лише у межах загальної фізичної теорії майбутнього.
І, нарешті, останнє питання. Теоретично відносності йдеться про чотиривимірному просторі Всесвіту. Але це не зовсім той чотиривимірний простір, про який говорилося вище.
Почнемо з того, що чотиривимірний простір теорії відносності — це простий простір. Четвертим виміром тут є час. Як ми вже говорили, теорія відносності встановила тісний зв'язок між простором та матерією. Але не лише. Виявилося, що безпосередньо пов'язані між собою також матерія та час, а отже, простір та час. Маючи на увазі цю залежність, відомий математик Г. Мінковський, роботи якого лягли в основу теорії відносності, говорив: «Відтепер простір сам по собі і час сам собою повинні стати тінями і тільки особливого роду їх поєднання збереже самостійність». Мінковський запропонував використовувати для математичного вираження залежності простору та часу умовну геометричну модель, чотиривимірний «простір — час». У цьому умовному просторі за трьома основними осями відкладаються, як завжди, інтервали довжини, по четвертій осі — інтервали часу.
Таким чином, чотиривимірний «простір — час» теорії відносності є всього лише математичним прийомом, що дозволяє в зручній формі описувати різні фізичні процеси. Тому говорити, що ми живемо в чотиривимірному просторі, можна лише в тому сенсі, що всі події, що відбуваються в світі, відбуваються не тільки в просторі, а й у часі.
Зрозуміло, у будь-яких математичних побудовах, навіть найабстрактніших, знаходять своє вираження якісь сторони об'єктивної дійсності, якісь відносини між реально існуючими предметами та явищами. Але було б грубою помилкою ставити знак рівності між допоміжними математичними апаратами, а також умовною термінологією та об'єктивною реальністю, що застосовується в математиці.
У світлі цих міркувань стає ясно, що стверджувати, посилаючись при цьому на теорію відносності, ніби наш світ чотиривимірний, — приблизно те саме, що відстоювати ідею, ніби темні плями на Місяці заповнені водою, на тій підставі, що астрономи називають їх морями .
Тож «нуль-транспортування», принаймні на сучасному рівні розвитку науки, на жаль, можна здійснити лише на сторінках фантастичних романів.
Скільки вимірів має простір світу, де ми живемо?
Що це за питання! Звичайно, три скаже звичайна людина і матиме рацію. Але є ще особлива порода людей, які мають набуту властивість сумніватися у очевидних речах. Ці люди називаються «науковцями», оскільки їх спеціально цьому навчають. Для них наше питання не таке просте: вимір простору - річ важко вловима, їх не можна просто перерахувати, показуючи пальцем: один, два, три. Не можна виміряти їх кількість і яким-небудь приладом на зразок лінійки або амперметра: простір має 2,97 плюс-мінус 0,04 виміру. Доводиться продумувати це питання глибше і шукати непрямі методи. Такі пошуки виявились плідним заняттям: сучасна фізика вважає, що кількість вимірів реального світу тісно пов'язана з найглибшими властивостями речовини. Але шлях до цих ідей почався з перегляду нашого повсякденного досвіду.
Зазвичай кажуть, що світ, як і всяке тіло, має три виміри, яким відповідають три різні напрями, скажімо, «висота», «ширина» та «глибина». Здається ясним, що «глибина», зображена на площині малюнка, зводиться до «висоти» і «ширини», є певною мірою їх комбінацією. Так само ясно, що в реальному тривимірному просторі всі мислимі напрямки зводяться до якихось трьох заздалегідь обраних. Але що означає «зводяться», «є комбінацією»? Де будуть ці «ширина» та «глибина», якщо ми опинимося не в прямокутній кімнаті, а в невагомості десь між Венерою та Марсом? Нарешті, хто доручиться, що «висота», скажімо, у Москві та Нью-Йорку – це один і той же «вимір»?
Погано те, що ми вже знаємо відповідь до завдання, яке намагаємося вирішити, а це далеко не завжди корисно. Ось якби опинитися у світі, число вимірів якого заздалегідь невідоме, і відшукувати їх по одному?
Булижник Зброя математика
У 1915 році французький математик Анрі Лебег придумав, як визначити кількість вимірів простору, не користуючись поняттями висоти, ширини та глибини. Щоб зрозуміти його ідею, досить уважно подивитися на бруківку. На ній легко можна знайти місця, де камені сходяться по три та чотири. Можна замостити вулицю квадратними плитками, які примикатимуть один до одного по дві або по чотири; якщо взяти однакові трикутні плитки, вони примикатимуть по дві або по шість. Але жоден майстер не зможе замостити вулицю так, щоб бруківки скрізь примикали один до одного лише по два. Це настільки очевидно, що смішно і припускати протилежне.
Математики відрізняються від нормальних людей саме тим, що помічають можливість таких абсурдних припущень та вміють робити з них висновки. У нашому випадку Лебег міркував так: поверхня бруківки, безумовно, двовимірна. У той же час на ній неминуче є точки, де сходяться щонайменше три бруківки. Спробуємо узагальнити це спостереження: скажімо, що розмірність якоїсь області дорівнює N, якщо при її замощенні не вдається уникнути зіткнень N + 1 або більшої кількості «бруківок». Тепер тривимірність простору підтвердить будь-який муляр: адже при викладанні товстої, у кілька шарів стіни обов'язково будуть точки, де стикнуться не менше ніж чотири цеглини!
Однак на перший погляд здається, що до лебегівського визначення розмірності можна знайти, як висловлюються математики, «контрприклад». Це дощата підлога, в якій мостини стикаються рівно по дві. Чим не замощення? Тому Лебег зажадав ще, щоб «бруківки», які у визначенні розмірності, були маленькими. Це важлива ідея, і наприкінці ми повернемося до неї ще раз у несподіваному ракурсі. А зараз ясно, що умова малої величини «бруківок» рятує визначення Лебега: скажімо, короткі паркетини, на відміну від довгих половиць, у деяких точках обов'язково стикатимуться по три. Отже, три виміри простору - це не просто можливість довільно вибрати в ньому якісь три «різні» напрямки. Три виміри - це реальне обмеження наших можливостей, яке легко відчути, трохи погравши з кубиками або цеглою.
Розмірність простору очима Штірліца
Інше обмеження, пов'язане з тривимірністю простору, добре відчуває в'язень, замкнений у тюремній камері (наприклад, Штірліц у підвалі у Мюллера). Як виглядає ця камера на його погляд? Шорсткі бетонні стіни, щільно замкнені сталеві двері - словом, одна двовимірна поверхня без щілин і отворів, що обгороджує з усіх боків замкнутий простір, де він знаходиться. З такої оболонки дітися справді нікуди. А чи можна замкнути людину всередині одномірного контуру? Уявіть, як Мюллер малює навколо Штірліца крейдою коло на підлозі і йде геть: це не тягне навіть на анекдот.
З цих міркувань витягується ще один спосіб визначити кількість вимірів нашого простору. Сформулюємо його так: обгородити з усіх боків область N-мірного простору можна лише (N-1)-мірною «поверхнею». У двовимірному просторі «поверхнею» буде одномірний контур, в одномірному дві нульмерні точки. Це визначення вигадав у 1913 році голландський математик Брауер, але відомим воно стало лише через вісім років, коли його незалежно один від одного перейшли наш Павло Урисон і австрієць Карл Менгер.
Тут наші шляхи з Лебегом, Брауером та їхніми колегами розходяться. Нове визначення розмірності потрібно їм для того, щоб побудувати абстрактну математичну теоріюпросторів будь-якої розмірності до нескінченної. Це чисто математична конструкція, гра людського розуму, який досить сильний навіть для пізнання таких дивних об'єктів, як нескінченномірний простір. Математики не намагаються дізнатися, чи існують насправді речі, які мають таку структуру: це не їхня професія. Навпаки, наш інтерес до кількості вимірів світу, в якому ми живемо, фізичний: ми хочемо дізнатися, скільки їх насправді і як відчути їхнє число «на своїй шкурі». Нам потрібні явища, а чи не чисті ідеї.
Характерно, що це наведені приклади були запозичені більш-менш з архітектури. Саме ця сфера діяльності людей найтісніше пов'язана з простором, як воно представляється нам у звичайного життя. Щоб просунутися у пошуку вимірів фізичного світу далі, знадобиться вихід до інших рівнів реальності. Вони доступні людині завдяки сучасній технології, а отже фізиці.
До чого тут швидкість світла?
Ненадовго повернемося до залишеного в камері Штірліца. Щоб вибратися з оболонки, що надійно відокремлювала його від решти тривимірного світу, він скористався четвертим виміром, якому не страшні двовимірні перепони. А саме він деякий час подумав і знайшов собі підходяще алібі. Інакше кажучи, новий загадковий вимір, яким скористався Штірліц, - це час.
Важко сказати, хто першим помітив аналогію між часом та вимірами простору. Два століття тому про це знали. Жозеф Лагранж, один із творців класичної механіки, науки про рухи тіл, порівняв її з геометрією чотиривимірного світу: його порівняння звучить, як цитата із сучасної книги з Загальної теоріївідносності.
Ход думки Лагранжа, втім, легко зрозуміти. У його час вже були відомі графіки залежності змінних величин від часу, на кшталт нинішніх кардіограм або графіків місячного ходу температури. Такі графіки малюють на двовимірній площині: уздовж осі ординат відкладають шлях, пройдений змінною величиною, а вздовж осі абсцис - минулий час. При цьому час дійсно стає просто "ще одним" геометричним виміром. Так само можна додати його і до тривимірного простору нашого світу.
Але чи справді час схожий на просторові виміри? На площині з намальованим графіком є два виділені «осмислені» напрямки. А напрями, що не збігаються з жодною з осей, сенсу не мають, вони не зображують нічого. На звичайній геометричній двовимірній площині всі напрямки рівноправні, виділених осей немає.
По-справжньому час можна вважати четвертою координатою, тільки якщо воно не буде виділено серед інших напрямів у чотиривимірному просторі-часі. Потрібно знайти спосіб «крутити» простір-час так, щоб час і просторові виміри «змішувалися» і могли в певному сенсі переходити один в одного.
Цей спосіб знайшли Альберт Ейнштейн, який створив теорію відносності, та Герман Мінковський, який надав їй суворої математичної форми. Вони скористалися тим, що в природі є універсальна швидкість - швидкість світла.
Візьмемо дві точки простору, кожну в свій момент часу, або дві «події» на жаргоні теорії відносності. Якщо помножити на швидкість світла інтервал часу між ними, виміряний у секундах, то вийде певна відстань у метрах. Вважатимемо, що цей уявний відрізок «перпендикулярний» просторовій відстані між подіями, а разом вони утворюють «катети» якогось прямокутного трикутника, «Гіпотенуза» якого є відрізок у просторі-часі, що з'єднує обрані події. Мінковський запропонував: щоб знайти квадрат довжини «гіпотенузи» цього трикутника, не додаватимемо квадрат довжини «просторового» катета до квадрата довжини «тимчасового», а віднімати його. Звичайно, при цьому може вийти негативний результат: тоді вважають, що «гіпотенуза» має уявну довжину! Але який у цьому сенс?
При обертанні поверхні довжина будь-якого намальованого на ній відрізка зберігається. Мінковський зрозумів, що треба розглядати такі «обертання» простору-часу, які зберігають запропоновану ним «довжину» відрізків між подіями. Саме так можна досягти, щоб швидкість світла була у побудованій теорії універсальною. Якщо дві події пов'язані світловим сигналом, то «відстань Мінковського» між ними дорівнює нулю: просторова відстань збігається з інтервалом часу, помноженим на швидкість світла. «Обертання», запропоноване Мінковським, зберігає цю «відстань» нульовою, хоч як би змішувалися при «повороті» простір і час.
Це не єдина причина, через яку «відстань» Мінковського має реальну фізичним змістомнезважаючи на вкрай дивне для непідготовленої людини визначення. «Відстань» Мінковського дає спосіб побудувати «геометрію» простору-часу так, що і просторові, і часові інтервали між подіями вдається зробити рівноправними. Мабуть, у цьому полягає головна ідея теорії відносності.
Отже, час і простір нашого світу настільки тісно пов'язані один з одним, що важко зрозуміти, де закінчується одне і починається інше. Разом вони утворюють щось подібне до сцени, на якій розігрується вистава «Історія Всесвіту». Діючі особи - частинки матерії, атоми і молекули, з яких зібрані галактики, туманності, зірки, планети, а на деяких планетах - навіть живі розумні організми (читачеві має бути відома щонайменше одна така планета).
Спираючись на відкриття попередників, Ейнштейн створив нову фізичну картину світу, в якій простір і час виявилися невід'ємними один від одного, а дійсність стала по-справжньому чотиривимірною. І в цій чотиривимірній дійсності «розчинилося» одне з двох відомих тодішньої науки «фундаментальних взаємодій»: закон всесвітнього тяжіння звівся до геометричної структури чотиривимірного світу. Але Ейнштейн нічого не зміг зробити з іншою фундаментальною взаємодією електромагнітною.
Простір-час набуває нових вимірів
Загальна теорія відносності настільки гарна і переконлива, що відразу після того, як вона стала відома, інші вчені спробували пройти тим самим шляхом далі. Ейнштейн звів до геометрії гравітацію? Отже, частку його послідовників залишається геометризувати електромагнітні сили!
Оскільки можливості метрики чотиривимірного простору Ейнштейн вичерпав, його послідовники почали намагатися якось розширити набір геометричних об'єктів, у тому числі можна було б сформулювати таку теорію. Цілком природно, що їм захотілося збільшити кількість розмірностей.
Але поки теоретики займалися геометризацією електромагнітних сил, було відкрито ще дві фундаментальні взаємодії так звані сильне і слабке. Тепер треба було поєднати вже чотири взаємодії. При цьому виникла маса несподіваних труднощів, для подолання яких винаходилися нові ідеї, які все далі відводили вчених від наочної фізики минулого століття. Стали розглядати моделі світів, що мають десятки і навіть сотні вимірів, став у нагоді і нескінченномірний простір. Щоб розповісти про ці пошуки, треба було б написати цілу книжку. Нам важливе інше питання: де розташовані всі ці нові виміри? Чи можна відчути їх так само, як ми відчуваємо час та тривимірний простір?
Уявіть собі довгу і дуже тонку трубочку, наприклад, порожній всередині пожежний шланг, зменшений у тисячу разів. Це двовимірна поверхня, але два її виміри нерівноправні. Одне з них, довжину, легко помітити – це «макроскопічний» вимір. Периметр ж «поперечний» вимір можна розглянути тільки під мікроскопом. Сучасні багатовимірні моделі світу схожі на цю трубочку, хоча вони мають не одне, а чотири макроскопічні виміри - три просторових і одне тимчасове. Інші виміри в цих моделях не можна розглянути навіть під електронним мікроскопом. Щоб виявити їх прояви, фізики користуються прискорювачами дуже дорогими, але грубими «мікроскопами» для субатомного світу.
Поки одні вчені вдосконалювали цю вражаючу картину, блискуче долаючи одну перешкоду за іншою, в інших назріло каверзне питання:
Чи може розмірність бути дрібною?
А чому б і ні? Для цього треба «просто» знайти нову властивість розмірності, яка могла б пов'язати її з нецілими числами, і геометричні об'єкти, що мають цю властивість, мають дробову розмірність. Якщо ми хочемо знайти, наприклад, геометричну фігуру, що має півтора виміри, то ми маємо два шляхи. Можна намагатися або відібрати піввимірювання у двовимірної поверхні, або додати піввимірювання до одномірної лінії. Щоб це зробити, спочатку потренуємося на додаванні або відібранні цілого виміру.
Є такий відомий дитячий фокус. Фокусник бере трикутний листок паперу, робить на ньому надріз ножицями, згинає листок по лінії надрізу навпіл, робить ще один надріз, знову згинає, надрізає останній раз, і ап! У його руках виявляється гірлянда з восьми трикутничків, кожен з яких абсолютно подібний до вихідного, але у вісім разів менше його за площею (і в корінь квадратний з восьми разів за розмірами). Можливо, цей фокус показали в 1890 році італійському математику Джузеппе Пеано (а може він сам любив його показувати), принаймні, саме тоді він помітив ось що. Візьмемо ідеальний папір, ідеальні ножиці та повторимо послідовність надрізування та складання нескінченну кількість разів. Тоді розміри окремих трикутників, одержуваних кожному кроці цього процесу, прагнутимуть нулю, а самі трикутники стягнуться в точки. Отже, ми отримаємо з двовимірного трикутника одномірну лінію, не втративши при цьому шматка паперу! Якщо не розтягувати цю лінію в гірлянду, а залишити таку «зім'яту», як у нас вийшло при розрізанні, то вона заповнить трикутник цілком. Більше того, під яким сильним мікроскопом ми б не розглядали цей трикутник, збільшуючи його фрагменти в будь-яке число разів, одержувана картина виглядатиме так само, як незбільшена: висловлюючись науково, крива Пеано має однакову структуру при всіх масштабах збільшення, або є «масштабно інваріантною».
Отже, зігнувшись незліченну безліч разів, одномірна крива змогла придбати розмірність два. Значить, є надія і на те, що менш «зім'ята» крива матиме «розмірність», скажімо, півтора. Але як знайти спосіб вимірювати дробові розмірності?
У «бруківці» визначенні розмірності, як пам'ятає читач, треба було використовувати досить маленькі «бруківки», інакше результат міг вийти неправильний. Але маленьких «бруківок» буде потрібно багато: тим більше, чим менше їх розмір. Виявляється, для визначення розмірності не обов'язково вивчати, як «бруківки» прилягають один до одного, а достатньо лише з'ясувати, як зростає їх кількість при зменшенні величини.
Візьмемо відрізок прямою довжиною 1 дециметр і дві кривих Пеано, які разом заповнюють квадрат розміром дециметр на дециметр. Покриватимемо їх маленькими квадратними «бруківками» з довжиною боку 1 сантиметр, 1 міліметр, 0,1 міліметра і так далі аж до мікрона. Якщо виражати розмір «бруківки» в дециметрах, то на відрізок знадобиться число «бруківок», рівне їх розміру в міру мінус одиниця, а на криві Пеано розміром у ступені мінус два. При цьому відрізок безперечно має один вимір, а крива Пеано, як ми бачили, два. Це не просто збіг. Показник ступеня у співвідношенні, що пов'язує число «бруківок» з їх розміром, дійсно дорівнює (зі знаком мінус) розмірності тієї фігури, яка покрита ними. Особливо важливо, що показник ступеня може бути дрібним числом. Наприклад, для кривої, проміжної за своєю «зім'ятістю» між звичайною лінією і часом щільно заповнюють квадрат кривих Пеано, величина показника буде більше 1 і менше 2. Це і відкриває потрібну нам дорогу до визначення дробових розмірностей.
Саме таким способом було визначено, наприклад, розмірність берегової лінії Норвегії країни, що має дуже порізане (або «зім'яте» як кому більше подобається) узбережжя. Звичайно, замощення каменями берега Норвегії відбувалося не на місцевості, а на карті з географічного атласу. Результат (не абсолютно точний через неможливість на практиці дійти до нескінченно малих «бруківок») склав 1,52 плюс-мінус одна сота. Зрозуміло, що розмірність не могла вийти менше одиниці, оскільки йдеться все-таки про «одномірну» лінію, і більше двох, оскільки берегова лінія Норвегії «намальована» на двовимірній поверхні земної кулі.
Людина як міра всіх речей
Дробові розмірності - це чудово, може сказати тут читач, але яке відношення вони мають до питання про кількість вимірів світу, в якому ми живемо? Чи може статися, що розмірність світу дрібна і не точно дорівнює трьом?
Приклади кривої Пеано і узбережжя Норвегії показують, що дробова розмірність виходить, якщо крива лінія сильно зім'ята, закладена в нескінченно малі складочки. Процес визначення дробової розмірності теж включає використання безмежно зменшуються «бруківок», якими ми покриваємо криву, що досліджується. Тому дробова розмірність, висловлюючись науково, може виявлятися лише «досить малих масштабах», тобто показник ступеня у співвідношенні, що пов'язує число «бруків» зі своїми розміром, може лише межі виходити своє дробове значення. Навпаки, одним величезним каменем можна накрити фрактал об'єкт дробової розмірності кінцевих розмірів не відрізняються від точки.
Для нас світ, у якому ми живемо, це насамперед той масштаб, на якому він доступний нам у повсякденній дійсності. Незважаючи на вражаючі досягнення техніки, його характерні розміри все ще визначаються гостротою нашого зору та дальністю наших піших прогулянок, характерні проміжки часу – швидкістю нашої реакції та глибиною нашої пам'яті, характерні величини енергії – силою тих взаємодій, у які вступає наше тіло з навколишніми речами. Ми ненабагато перевершили тут давніх, та й чи варто прагнути цього? Природні та технологічні катастрофи дещо розширюють масштаби «нашої» дійсності, але не роблять їх космічними. Мікросвіт тим більше недоступний у нашому повсякденному житті. Відкритий перед нами світ тривимірний, «гладкий» і «плоский», він чудово описується геометрією древніх греків; Досягнення науки в кінцевому рахунку повинні служити не стільки розширення, скільки захисту його кордонів.
То що ж відповісти людям, які чекають відкриття прихованих розмірностей нашого світу? На жаль, єдиний доступний для нас вимір, який світ має понад три просторові, – це час. Мало це чи багато, старо чи нове, чудово чи повсякденно? Час є просто четвертим ступенем свободи, і скористатися нею можна дуже по-різному. Згадаймо ще раз того ж Штірліца, до речі, фізика за освітою: у кожної миті свій резон
Андрій Соболевський