Солітони в звуковій хвилі. Самотня хвиля

Крім традиційно досліджуваних типів хвиль можна навести приклади інших видів хвиль, які займають особливе місцепри аналізі процесів поширення коливань у різних середовищах.

1. Ударна хвиля.Ударна хвиля (стрибок ущільнення) - це тонка перехідна область, що поширюється з надзвуковою швидкістю, в якій відбувається різке збільшення щільності, тиску і швидкості речовини. Вона виникає під час вибухів, детонації, при надзвукових рухах тіл, при потужних електричних розрядах тощо. Наприклад, при вибуху утворюються продукти вибуху, що мають велику щільність і перебувають під великим тиском. Продукти вибуху, що розширюються, стискають навколишнє повітря, причому в кожний момент часу стисненим виявляється лише повітря, що знаходиться в певному обсязі, поза цим обсягом повітря залишається в необуреному стані. З часом обсяг стисненого повітря зростає. Поверхня, яка відокремлює стиснене повітря від незбуреного повітря, і є ударною хвилею (або, як кажуть, фронт ударної хвилі). На рис. 6.27,а як приклад наведено графік розподілу щільності в ударній хвилі, що розповсюджується в реальному газі (- щільність газу перед фронтом хвилі).

При прискореному русі тіла ударна хвиля виникає відразу. Спочатку виникає хвиля стиску з безперервними розподілами щільності та тиску. З часом крутість передньої частини хвилі зростає й у певний час відбувається різкий стрибок всіх гідродинамічних величин, виникає ударна хвиля.

У разі руху тіла із надзвуковою швидкістю (
) звукові хвилі охоплюють лише частину об'єму газу, що лежить позаду тіла, що рухається і обмежену деякою поверхнею, званої характеристичною поверхнею, поверхнею слабкого розриву або фронтом ударної хвилі.

При надзвуковому русі тіла малих розмірів зі швидкістю характеристична поверхня (фронт хвилі) має вигляд кругової конічної поверхні, вершина якої збігається з тілом, що рухається. Про, а кут між утворюючими та траєкторією тіла задовольняє умові:
. Цей кут називають кутом слабких збурень чи кутом Маха (рис. 6.27,б).

У разі електромагнітних хвиль аналогом ударної звукової хвилі, що виникає під час руху тіл зі швидкостями, що перевищують фазові швидкості пружних хвиль у цьому середовищі, є випромінювання Вавилова – Черенкова (див. §7.4.4).

2. Самотня хвиляє хвильовий рух, який у кожний момент часу локалізовано в кінцевій області простору і відносно повільно змінює свою структуру при поширенні.

Типова, відокремлена хвиля має вигляд одиночного імпульсу чи перепаду, але може мати й складнішу структуру. До відокремлених хвиль відносять такі типи нелінійних хвиль, як відокремлені хвилі в дисипативних середовищах, стаціонарні імпульсні хвилі збудження в активних середовищах (нервові імпульси) та солітон у середовищі без втрат.

Солітон (від латів. solus – один) – структурно стійка відокремлена хвиля в нелінійному диспергуючому середовищі. Структура солітону підтримується стаціонарною за рахунок балансу між дією нелінійності середовища та дисперсії.

Солітон вперше спостерігався на водяному каналі в 1834 р., коли при різкій зупинці баржі біля її носа утворився водяний виступ (водяний пагорб) і потім він став самостійно поширюватися каналом, зберігаючи протягом тривалого часу свою структуру і швидкість.

Розглянемо можливість утворення солітону на поверхні води. Для хвиль, у яких довжина хвилі значно перевищує глибину
водоймища (
, дрібна вода) явище дисперсії відсутнє, вони поширюються із фазовою швидкістю
, де – прискорення вільного падіння, а - зміщення поверхні рідини у вертикальному напрямку у цій точці профілю хвилі (див. рис. 6.27,в). З записаної формули для фазової швидкості випливає, що вершина водяного пагорба рухається швидше, ніж точки поблизу його підніжжя. Це нелінійність середовищапризводить до того, що крутість фронту хвилі зростає з часом, тобто. відбувається просторове звуження водяного пагорба (див. рис. 6.28 б).

Якщо ж довжина хвилі буде значно менше глибини
водоймища (
), то в цьому випадку для хвиль малої амплітуди спостерігається сильна дисперсія, тобто. їх фазова швидкість залежить від довжини хвилі
. Це призводить до розпливання водяного пагорба. Виявляється, що існують хвилі з таким співвідношенням між та максимальним піднесенням
, при якому спостерігається компенсація процесів розпливання пагорба через явище дисперсії та процесів його просторового звуження. Така компенсація відповідає існуванню солітону.

Солітони поводяться подібно до частинок: при взаємодії між собою або з деякими іншими обуреннями, солітони не руйнуються, а розходяться, знову зберігаючи свою структуру незмінною.

Солітони відіграють важливу роль у теорії конденсованого стану речовини, зокрема у квантовій статистиці, теорії фазових переходів. Структури у формі солітонів виявлено у багатьох динамічних системах – у плазмі, радіосхемах, лазерах, нервових волокнах.

Навчальне видання

Марс Гільманович Валішев

Олександр Олександрович Повзнер

Лікар технічних наукА. ГОЛУБЄВ.

Людині навіть без спеціальної фізичної або технічної освітибезперечно знайомі слова "електрон, протон, нейтрон, фотон". А ось співзвучне з ними слово "солітон" багато хто, ймовірно, чують вперше. Це й не дивно: хоча те, що позначається цим словом, відоме понад півтора століття, належну увагу солітонам почали приділяти лише з останньої третини ХХ століття. Солітонні явища виявилися універсальними і виявились у математиці, гідромеханіці, акустиці, радіофізиці, астрофізиці, біології, океанографії, оптичній техніці. Що ж це таке – солітон?

Картина І. К. Айвазовського "Дев'ятий вал". Хвилі на воді поширюються подібно до групових солітонів, в середині яких, в інтервалі від сьомої до десятої, йде найвища хвиля.

Звичайна лінійна хвиля має форму правильної синусоїди (а).

Наука та життя // Ілюстрації

Наука та життя // Ілюстрації

Наука та життя // Ілюстрації

Так поводиться нелінійна хвиля на поверхні води за відсутності дисперсії.

Такий вигляд має груповий солітон.

Ударна хвиля перед кулею, що летить у шість разів швидше за звук. На слух вона сприймається як гучна бавовна.

У всіх вищеперелічених областях є одна спільна риса: в них або в окремих розділах вивчаються хвильові процеси, а простіше кажучи - хвилі. У найбільш загальному сенсі хвиля - це поширення обурення будь-якої фізичної величини, що характеризує речовину або поле. Це поширення зазвичай відбувається у якомусь середовищі - воді, повітрі, твердих тілах. І тільки електромагнітні хвиліможуть поширюватися у вакуумі. Всі, безперечно, бачили, як від кинутого у воду каменю, що "обурив" спокійну поверхню води, розходяться сферичні хвилі. Це приклад поширення "одинокового" обурення. Дуже часто обурення являє собою коливальний процес (зокрема, періодичний) у різних формах - коливання маятника, коливання струни музичного інструменту, стиснення та розширення кварцової пластинки під дією змінного струму, коливання в атомах та молекулах Хвилі - коливання, що поширюються - можуть мати різну природу: хвилі на воді, звукові, електромагнітні (у тому числі світлові) хвилі. Відмінність фізичних механізмів, що реалізують хвильовий процес, спричиняє різні способи його математичного опису. Але хвилі різного походження притаманні і деякі загальні властивості, Для опису яких використовують універсальний математичний апарат. А це означає, що можна вивчати хвильові явища, відволікаючись від них фізичної природи.

Теоретично хвиль так і роблять, розглядаючи такі властивості хвиль, як інтерференція, дифракція, дисперсія, розсіювання, відбиток і заломлення. Але при цьому має місце одна важлива обставина: такий єдиний підхід правомірний за умови, що хвильові процеси різної природи лінійні, що вивчаються. надто великою амплітудою. Якщо ж амплітуда хвилі велика, вона стає нелінійною, і це безпосередньо стосується теми нашої статті - солітонів.

Оскільки ми весь час говоримо про хвилі, неважко здогадатися, що солітони - теж щось із області хвиль. Це справді так: солітоном називають вельми незвичайну освіту - "відокремлену" хвилю (solitary wave). Механізм її виникнення тривалий час залишався загадкою для дослідників; здавалося, що природа цього явища суперечить добре відомим законам освіти та поширення хвиль. Ясність з'явилася порівняно недавно, і зараз вивчають солітони в кристалах, магнітних матеріалах, волоконних світловодах, в атмосфері Землі та інших планет, галактиках і навіть живих організмах. Виявилося, що і цунамі, і нервові імпульси, і дислокації в кристалах (порушення періодичності їх ґрат) – все це солітони! Солітон воістину "багатолик". До речі, саме так і називається чудова науково-популярна книга А. Філіппова "Многоликий солітон". Її ми рекомендуємо читачеві, який не боїться досить великої кількості математичних формул.

Щоб зрозуміти основні ідеї, пов'язані з солітонами, і при цьому обійтися практично без математики, доведеться поговорити в першу чергу про згадувану нелінійність і про дисперсію - явища, що лежать в основі механізму утворення солітонів. Але спочатку розповімо про те, як і коли було виявлено солітон. Він уперше з'явився людині в "обличчі" відокремленої хвилі на воді.

Це сталося 1834 року. Джон Скотт Рассел, шотландський фізик і талановитий інженер-винахідник, отримав пропозицію дослідити можливості навігації парових суден каналом, що з'єднує Едінбург і Глазго. На той час перевезення каналом здійснювалися за допомогою невеликих барж, які тягли коня. Щоб з'ясувати, як потрібно переобладнати баржі при заміні кінної тяги на парову, Рассел почав вести спостереження за баржами різної форми, що рухаються з різними швидкостями. І в ході цих дослідів він несподівано зіткнувся з незвичайним явищем. Ось як він описав його у своїй "Доповіді про хвилі":

"Я стежив за рухом баржі, яку швидко тягла вузьким каналом пара коней, коли баржа несподівано зупинилася. Але маса води, яку баржа привела в рух, зібралася біля носа судна в стані скаженого руху, потім несподівано залишила його позаду, котячись вперед з величезною швидкістю і приймаючи форму великого одиночного піднесення - округлого, гладкого і чітко вираженого водяного пагорба. Він продовжував свій шлях уздовж каналу, анітрохи не змінюючи своєї форми і не знижуючи швидкості. вперед зі швидкістю приблизно 8-9 миль на годину, зберігши свій початковий профіль піднесення довжиною близько тридцяти футів і заввишки від фута до півтора фути.

Рассел назвав виявлене ним явище "відокремленою хвилею трансляції". Однак його повідомлення зустріли скепсисом визнані авторитети в галузі гідродинаміки - Джордж Ейрі та Джордж Стокс, які вважали, що хвилі під час руху на великі відстані не можуть зберігати свою форму. Для цього вони мали всі підстави: вони виходили із загальноприйнятих на той час рівнянь гідродинаміки. Визнання "відокремленої" хвилі (яка була названа солітоном набагато пізніше - у 1965 році) сталося ще за життя Рассела працями кількох математиків, які показали, що існувати вона може, і, крім того, були повторені та підтверджені досліди Рассела. Але суперечки навколо солітону все ж таки довго не припинялися - занадто великий був авторитет Ейрі та Стокса.

Остаточну ясність у проблему внесли голландський вчений Дідерік Йоханнес Кортевег та його учень Густав де Фріз. У 1895 році, через тринадцять років після смерті Рассела, вони знайшли точне рівняння, хвильові рішення якого повністю описують процеси, що відбуваються. У першому наближенні це можна пояснити так. Хвилі Кортевега - де Фріза мають несинусоїдальну форму і стають синусоїдальними тільки в тому випадку, коли їхня амплітуда дуже мала. При збільшенні довжини хвилі вони набувають вигляду далеко рознесених один від одного горбів, а при дуже великій довжині хвилі залишається один горбик, який і відповідає "відокремленої" хвилі.

Рівняння Кортевега - де Фріза (так зване КдФ-рівняння) відіграло дуже велику роль у наші дні, коли фізики зрозуміли його універсальність і можливість застосування до хвиль різної природи. Найпрекрасніше, що воно описує нелінійні хвилі, і тепер слід детальніше зупинитися на цьому понятті.

Теоретично хвиль фундаментальне значення має хвильове рівняння. Не наводячи його тут (для цього потрібне знайомство з вищою математикою), відзначимо лише, що функція, що описує хвилю, і пов'язані з нею величини містяться в першому ступені. Такі рівняння називають лінійними. Хвильове рівняння, як і будь-яке інше, має рішення, тобто математичне вираз, при підстановці якого звертається до тотожності. Рішенням хвильового рівняння служить лінійна гармонійна (синусоїдальна) хвиля. Наголосимо ще раз, що термін "лінійна" вживається тут не в геометричному сенсі(Синусоїда - не пряма лінія), а в сенсі використання першого ступеня величин у хвильовому рівнянні.

Лінійні хвилі підпорядковуються принципу суперпозиції (складання). Це означає, що з накладенні кількох лінійних хвиль форма результуючої хвилі визначається простим додаванням вихідних хвиль. Це тому, що кожна хвиля поширюється серед незалежно від інших, з-поміж них немає обміну енергією, ні іншої взаємодії, вони вільно проходять одна через іншу. Іншими словами, принцип суперпозиції означає незалежність хвиль і саме тому їх можна складати. За звичайних умов це справедливо для звукових, світлових та радіохвиль, а також для хвиль, які розглядаються у квантовій теорії. Але для хвиль у рідині це не завжди правильно: складати можна лише хвилі дуже малої амплітуди. Якщо спробувати скласти хвилі Кортевега - де Фріза, ми взагалі не отримаємо хвилю, яка може існувати: рівняння гідродинаміки нелінійні.

Тут важливо наголосити, що властивість лінійності акустичних та електромагнітних хвиль дотримується, як було вже зазначено, за звичайних умов, під якими маються на увазі, перш за все, невеликі амплітуди хвиль. Але що означає – "невеликі амплітуди"? Амплітуда звукових хвиль визначає гучність звуку, світлових – інтенсивність світла, а радіохвиль – напруженість електромагнітного поля. Радіомовлення, телебачення, телефонний зв'язок, комп'ютери, освітлювальні прилади та багато інших пристроїв працюють у тих "звичайних умовах", маючи справу з різноманітними хвилями малої амплітуди. Якщо ж амплітуда різко зростає, хвилі втрачають лінійність і тоді з'являються нові явища. В акустиці давно відомі ударні хвилі, що розповсюджуються із надзвуковою швидкістю. Приклади ударних хвиль - гуркіт грому під час грози, звуки пострілу і вибуху і навіть ляскання батога: його кінчик рухається швидше за звук. Нелінійні світлові хвилі одержують за допомогою потужних імпульсних лазерів. Проходження таких хвиль через різні середовища змінює властивості самих середовищ; спостерігаються нові явища, складові предмет вивчення нелінійної оптики. Наприклад, виникає світлова хвиля, довжина якої вдвічі менша, а частота, відповідно, удвічі більша, ніж у вхідного світла (відбувається генерація другої гармоніки). Якщо направити на нелінійний кристал, скажімо, потужний лазерний пучок з довжиною хвилі l 1 = 1,06 мкм (інфрачервоне випромінювання, невидиме оком), то на виході кристала виникає крім інфрачервоного зелене світло з довжиною хвилі l 2 =0,53 мкм.

Якщо нелінійні звукові та світлові хвилі утворюються лише в особливих умовах, то гідродинаміка нелінійна за своєю природою. А оскільки гідродинаміка виявляє нелінійність вже у найпростіших явищах, майже століття вона розвивалася у повній ізоляції від "лінійної" фізики. Нікому просто не спадало на думку шукати щось схоже на "відокремлену" хвилю Рассела в інших хвилевих явищах. І тільки коли були розроблені нові галузі фізики - нелінійні акустика, радіофізика та оптика, - дослідники згадали про солітон Рассела і запитали: чи тільки у воді може спостерігатися подібне явище? Для цього треба було зрозуміти загальний механізм утворення солітону. Умова нелінійності виявилася необхідною, але недостатньою: від середовища потрібно ще щось, щоб у ній змогла народитися "відокремлена" хвиля. І в результаті досліджень стало ясно - недостатньою умовою виявилася наявність дисперсії середовища.

Нагадаємо коротко, що це таке. Дисперсією називається залежність швидкості поширення фази хвилі (так званої фазової швидкості) від частоти або, що те саме, довжини хвилі (див. "Наука і життя" № ). Несинусоїдальну хвилю будь-якої форми за відомою теореми Фур'є можна уявити сукупністю простих синусоїдальних складових з різними частотами (довжинами хвиль), амплітудами та початковими фазами. Ці складові через дисперсію поширюються з різними фазовими швидкостями, що призводить до "розмивання" форми хвилі при її поширенні. Але солітон, який теж можна подати як суму зазначених складових, як ми вже знаємо, під час руху свою форму зберігає. Чому? Згадаймо, що солітон – хвиля нелінійна. І ось тут і лежить ключ до розкриття його "таємниці". Виявляється, що солітон виникає тоді, коли ефект нелінійності, що робить "горб" солітону більш крутим і прагне його перекинути, врівноважується дисперсією, що робить його більш пологім і розмити. Тобто солітон виникає "на стику" нелінійності та дисперсії, що компенсують один одного.

Пояснимо це з прикладу. Припустимо, що на поверхні води утворився горбик, який почав переміщатися. Подивимося, що буде, якщо не враховувати дисперсію. Швидкість нелінійної хвилі залежить від амплітуди (лінійні хвилі такої залежності не мають). Найшвидше буде рухатися вершина горбика, і в деякий наступний момент його передній фронт стане крутішим. Крутизна фронту збільшується, і з часом відбудеться "перекидання" хвилі. Подібне перекидання хвиль ми бачимо, спостерігаючи прибій на морському березі. Тепер подивимося, до чого призводить дисперсія. Початковий горбик можна уявити сумою синусоїдальних складових з різними довжинами хвиль. Довгохвильові складові біжать з більшою швидкістю, ніж короткохвильові, і, отже, зменшують крутість переднього фронту, значною мірою вирівнюючи його (див. "Наука і життя" № 8, 1992). При певній формі та швидкості горбика може настати повне відновлення початкової форми, і тоді утворюється солітон.

Одна з дивовижних властивостей "відокремлених" хвиль полягає в тому, що вони багато в чому подібні до частинок. Так, при зіткненні два солітони не проходять один через одного, як звичайні лінійні хвилі, а ніби відштовхуються один від одного подібно до тенісних м'ячів.

На воді можуть виникати солітони та іншого типу, названі груповими, тому що їх форма дуже подібна до груп хвиль, які в реальності спостерігаються замість нескінченної синусоїдальної хвилі і переміщуються з груповою швидкістю. Груповий солітон дуже нагадує амплітудно-модульовані електромагнітні хвилі; його огинаюча несинусоїдальна, вона описується складнішою функцією - гіперболічним секансом. Швидкість такого солітону не залежить від амплітуди, і цим він відрізняється від КДФ-солітонів. Під огинаючою зазвичай знаходиться не більше 14-20 хвиль. Середня - найвища - хвиля групи виявляється, таким чином, в інтервалі від сьомої до десятої; звідси відомий вираз"дев'ятий вал".

Рамки статті не дозволяють розглянути багато інших типів солітонів, наприклад солітони в твердих кристалічних тілах - так звані дислокації (вони нагадують "дірки" в кристалічній решітці і теж здатні переміщатися), споріднені з ним магнітні солітони у феромагнетиках (наприклад, у залізі), солітоно імпульси у живих організмах та багато інших. Обмежимося розглядом оптичних солітонів, які в останнім часомпривернули увагу фізиків можливістю їх використання у перспективних лініях оптичного зв'язку.

Оптичний солітон – типовий груповий солітон. Його освіту можна усвідомити з прикладу одного з нелінійно-оптичних ефектів - так званої самоіндукованої прозорості. Цей ефект полягає в тому, що середовище, що поглинає світло невеликої інтенсивності, тобто непрозоре, раптово стає прозорим при проходженні крізь нього потужного світлового імпульсу. Щоб зрозуміти, чому це відбувається, пригадаємо, чим обумовлено поглинання світла речовини.

Світловий квант, взаємодіючи з атомом, віддає йому енергію і переводить більш високий енергетичний рівень, тобто у збуджений стан. Фотон при цьому зникає – середовище поглинає світло. Після того, як всі атоми середовища збуджуються, поглинання світлової енергії припиняється - середовище стає прозорим. Але такий стан не може тривати довго: фотони, що летять слідом, змушують атоми повертатися у вихідний стан, випускаючи кванти тієї самої частоти. Саме це відбувається, коли через таке середовище спрямовується короткий світловий імпульс великої потужності відповідної частоти. Передній фронт імпульсу перекидає атоми на верхній рівень, частково при цьому поглинаючись і слабшаючи. Максимум імпульсу поглинається вже менше, а задній фронт імпульсу стимулює зворотний перехід зі збудженого рівня на основний. Атом випромінює фотон, його енергія повертається імпульсу, який проходить через середу. У цьому форма імпульсу виявляється відповідної груповому солітону.

Зовсім недавно в одному з американських наукових журналів з'явилася публікація про відомої фірмою "Белл" (Bell Laboratories, США, штат Нью-Джерсі) розробках передачі сигналів на надвеликі відстані по оптичним волоконним світловодам з використанням оптичних солітонів. При звичайній передачі оптико-волоконними лініями зв'язку сигнал повинен піддаватися посиленню через кожні 80-100 кілометрів (підсилювачем може служити сам світловод при його накачуванні світлом певної довжини хвилі). А через кожні 500-600 кілометрів доводиться встановлювати ретранслятор, що перетворює оптичний сигнал на електричний зі збереженням всіх його параметрів, а потім знову на оптичний для подальшої передачі. Без цих заходів сигнал на відстані понад 500 кілометрів спотворюється до невпізнанності. Вартість цього обладнання дуже висока: передача одного терабіту (10 12 біт) інформації з Сан-Франциско до Нью-Йорка коштує 200 мільйонів доларів на кожну ретрансляційну станцію.

Використання оптичних солітонів, що зберігають свою форму під час поширення, дозволяє здійснити повністю оптичну передачу сигналу на відстані до 5-6 тисяч кілометрів. Однак на шляху створення "солітонної лінії" є суттєві труднощі, які вдалося подолати тільки останнім часом.

Можливість існування солітонів в оптичному волокні передбачив 1972 року фізик-теоретик Акіра Хасегава, співробітник фірми "Белл". Але на той час ще не було світловодів із низькими втратами в тих областях довжин хвиль, де можна спостерігати солітони.

Оптичні солітони можуть поширюватися лише у світловоді з невеликим, але кінцевим значенням дисперсії. Однак оптичного волокна, що зберігає необхідне значення дисперсії в спектральній ширині багатоканального передавача, просто не існує. А це робить "звичайні" солітони непридатними для використання в мережах із довгими лініями передачі.

Відповідна солітонна технологія створювалася протягом кількох років під керівництвом Лінна Молленауера, провідного спеціаліста Відділу оптичних технологій тієї самої фірми "Белл". В основі цієї технології лягла розробка оптичних волокон з керованою дисперсією, що дозволила створити солітони, форма імпульсів яких може підтримуватися необмежено довго.

Метод управління полягає у наступному. Величина дисперсії по довжині волоконного світловоду періодично змінюється між негативним та позитивним значеннями. У першій секції світловода імпульс розширюється та зсувається в одному напрямку. У другій секції, що має дисперсію протилежного знака, відбуваються стиснення імпульсу та зрушення у зворотному напрямку, внаслідок чого його форма відновлюється. При подальшому русі імпульс знову розширюється, потім входить у наступну зону, що компенсує дію попередньої зони, і так далі відбувається циклічний процес розширень і стисків. Імпульс відчуває пульсацію по ширині з періодом, що дорівнює відстані між оптичними підсилювачами звичайного світловода - від 80 до 100 кілометрів. В результаті, за заявою Молленауера, сигнал при обсязі інформації більше одного терабіту може пройти без ретрансляції щонайменше 5 - 6 тисяч кілометрів зі швидкістю передачі 10 гігабіт на секунду на канал без будь-яких спотворень. Подібна технологія наддальнього зв'язку оптичним лініям вже близька до стадії реалізації.

Солітони бувають різної природи:

Математична модель

Рівняння Кортевега – де Фріза

Однією з найпростіших і найвідоміших моделей, що допускають існування солітонів у рішенні, є рівняння Кортевега – де Фріза:

u_t - 6 u u_x + u_(xxx) = 0

Одним із можливих рішень даного рівняння є самотній солітон:

$u(x,t)\; =\; -\; \backslash frac(2\backslash varkappa^2)(\; \backslash mathrm(ch)^2\backslash ,\backslash varkappa(x-4\backslash varkappa^2\; t-\backslash varphi)\; )$

де $2\backslash varkappa^2$- амплітуда солітону, $\backslash varphi$- Фаза. Ефективна ширина основи солітону дорівнює $\backslash varkappa^(-1)$. Такий солітон рухається зі швидкістю $v\; =\; 4\; \backslash \; Varkappa\; ^\; 2$. Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчими і рухаються швидше.

У більш загальному випадку можна показати, що існує клас багатосолітонних рішень, таких як асимптотично при $t\backslash to\; \backslash pm\backslash infty$рішення розпадається на кілька віддалених одиночних солітонів, що рухаються з різними швидкостями попарно. Загальне N-солітонне рішення можна записати у вигляді

$u(x,t)\; =\; -2\; \backslash frac(d^2)(dx^2)\; \backslash ln\; \backslash det\; A(x,t)$

де матриця $A(x,t)$дається виразом

$A\_(nm)\; =\; \backslash delta\_(nm)\; +\; \backslash frac(\backslash beta\_n)(\backslash varkappa\_n\; +\; \backslash varkappa\_m)\backslash mathrm(e)^(8\backslash varkappa\_n^3\; t\; -(\backslash varkappa\_n\; +\; \backslash varkappa\_m)x)$

Тут $\backslash \; beta\_n,\; n\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; N$і $\backslash varkappa\_n>0,\; n=1,\backslash dots,N$- довільні речові постійні.

Чудовою властивістю багатосолітонних рішень є невідбивність: при дослідженні відповідного одновимірного рівняння Шредінгера

$-\backslash partial^2\_x\backslash psi(x)\; +\; u(x)\backslash psi(x)\; =\; E\backslash psi(x)$

з потенціалом $u(x)$, що зменшується на нескінченності швидше ніж $|x|^(-1-\backslash varepsilon)$коефіцієнт відображення дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли потенціал є деяке багатосолітонне рішення рівняння КдФ в деякий момент часу $t$.

Інтерпретація солітонів як деяких пружно взаємодіючих квазічастинок заснована на наступній властивості рішень рівняння КДФ. Нехай при $t\backslash to\; -\backslash infty$рішення має асимптотичний вигляд $N$солітонів, тоді при $t\backslash to\; +\backslash infty$воно також має вигляд $N$солітонів з тими самими швидкостями, але іншими фазами, причому багаточасткові ефекти взаємодії повністю відсутні. Це означає, що повне зрушення фази $k$-го солітону дорівнює

$\backslash Delta\backslash varphi\_k\; =\; \backslash sum\_(\backslash stackrel(n=1)(n\backslash ne\; k))^(N)\; \backslash Delta\backslash varphi\_(nk)$

Нехай $n$-ий солітон рухається швидше, ніж $m$-ий, тоді

$\backslash Delta\backslash varphi^(+)\_(n)\; =\; \backslash Delta\backslash varphi\_(kn)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash varkappa\_n)\backslash ln\backslash left|\; \backslash frac(\backslash varkappa\_n+\backslash varkappa\_m)(\backslash varkappa\_n-\backslash varkappa\_m)\; \backslash right|$ $\backslash Delta\backslash varphi^(-)\_(k)\; =\; \backslash Delta\backslash varphi\_(nk)\; =\; -\; \backslash frac(1)(\backslash varkappa\_m)\backslash ln\backslash left|\; \backslash frac(\backslash varkappa\_n+\backslash varkappa\_m)(\backslash varkappa\_n-\backslash varkappa\_m)\; \backslash right|$

тобто фаза швидшого солітону при парному зіткненні збільшується на величину $\backslash Delta\backslash varphi^(+)\_(n)$, а фаза повільнішого - зменшується на $\backslash Delta\backslash varphi^(-)\_(k)$, причому повне зрушення фази солітону після взаємодії дорівнює сумі зрушень фаз від попарної взаємодії з кожним іншим солітоном.

Нелінійне рівняння Шредінгера

$i\; u\_t\; +\; u\_(xx)\; +\; \backslash nu\; \backslash vert\; u\; \backslash vert^2\; u\; =\; 0$

при значенні параметра $\backslash nu\; >\; 0$допустимі відокремлені хвилі у вигляді:

$u\; \backslash left(x,t\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash sqrt(\backslash frac(2\; \backslash alpha)(\backslash nu)\; )\; \backslash right)\; \backslash mathrm(ch)^(-1)\; \backslash left(\backslash sqrt(\backslash alpha)\; )(x\; -\; Ut)\; \backslash right)\; e^(i(r\; x-st)),$

де $r,\; s,\backslash alpha,U$- Деякі постійні, пов'язані співвідношеннями:

$U=2r$ $s=r^2-\backslash alpha$

також

Напишіть відгук про статтю "Солітон"

Примітки

1. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311-390, Plates XLVII-LVII)
2. J.S.Russell (1838), Report of committee on waves, Report 7th Meeting of British Association for Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
3. Абловіц М., Сігур Х. Солітони та метод зворотного завдання. М: Мир, 1987, с.12.
4. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in collisionless plasma and recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240-243.
5. Дж. Л. Лем.. – М.: Світ, 1983. – 294 с.
6. А. Т. Філіппов.Багатоликий солітон. – С. 40-42.
7. А. Т. Філіппов.Багатоликий солітон. – С. 227-23.
8. - стаття з Фізичної енциклопедії
9. Vladimir Belinski, Enric Verdaguer.. - Cambridge University Press, 2001. - 258 с. - (Cambridge monographs on mathematical physics). - ISBN 0521805864.
10. М. М. Розанов// Природа. - 2007. - №6.
11. А. Т. Філіппов.Багатоликий солітон. – С. 241-246.
12. А. І. Маймістов// Квантова електроніка. – 2010. – Т. 40, №9. - С. 756-781.
13. Andrei I Maimistov(Англ.) // Quantum Electronics. – 2010. – Vol. 40. - P. 756. - DOI: 10.1070/QE2010v040n09ABEH014396.
15. Сазонов С. В. Оптичні солітони в середовищах із дворівневих атомів // Науково-технічний вісник інформаційних технологій, механіки та оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1-22.

Література

• Абловіц М., Сігур Х.Солітони та метод зворотного завдання. – М.: Світ, 1987. – 480 с.
• Додд Р., Ейлбек Дж., Гіббон Дж., Морріс Х.Солітони та нелінійні хвильові рівняння. – М.: Світ, 1988. – 696 с.
• Захаров Ст Є., Манаков С. Ст, Новіков С. П., Пітаєвський Л. П.Теорія солітонів: Метод зворотного завдання. – М.: Наука, 1980. – 320 с.
• Інфельд Еге., Роуландс Дж.Нелінійні хвилі, солітони та хаос. – М.: Фізматліт, 2006. – 480 с.
• Лем Дж. Л.Введення в теорію солітонів. – М.: Світ, 1983. – 294 с.
• Ньюелл А.Солітони в математиці та фізиці. – М.: Світ, 1989. – 328 с.
• Самарський А. А., Попов Ю. П.Різнісні методи розв'язання задач газової динаміки. – М.: URSS, 2004. – 424 с.
• Уїзем Дж.Лінійні та нелінійні хвилі. – М.: Світ, 1977. – 624 с.
• Філіппов А. Т.Багатоликий солітон / / Бібліотечка "Квант". - Вид. 2, перероб. і доп. - М.: Наука, 1990. - 288 с.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner(Англ.) // Reviews of Modern Physics. – 2011. – Vol. 83. – P. 247–306.
• (Англ.) // Physics. – 2013. – Vol. 6. - P. 15. - DOI: 10.1103/Physics.6.15.

Посилання

Уривок, що характеризує Солітон

– Французи залишили лівий берег?
- Як доносили шпигуни, в ніч на плотах переправилися останні.
- Чи достатньо фуражу в Кремсі?
– Фураж не був доставлений у тому числі…
Імператор перебив його.
– О котрій годині вбито генерала Шміта?
– О сьомій годині, здається.
– О 7 годині. Дуже сумно! Дуже сумно!
Імператор сказав, що він дякує, і вклонився. Князь Андрій вийшов і зараз же з усіх боків був оточений придворними. З усіх боків дивилися на нього лагідні очі і чулися лагідні слова. Вчорашній флігель ад'ютант робив йому закиди, навіщо він не зупинився у палаці і пропонував йому свій дім. Військовий міністр підійшов, вітаючи його з орденом Марії Терезії З й ступеня, яким шанував його імператор. Камергер імператриці запрошував його до її величності. Ерцгерцогиня теж хотіла його бачити. Він не знав, кому відповідати, і кілька секунд збирався з думками. Російський посланець узяв його за плече, відвів до вікна і почав розмовляти з ним.
Попри слова Білібіна, звістка, привезена ним, була прийнята радісно. Призначено було подячне молебня. Кутузов був нагороджений Марією Терезією великого хреста і вся армія отримала нагороди. Болконський отримував запрошення з усіх боків і весь ранок мав робити візити головним сановникам Австрії. Закінчивши свої візити о п'ятій годині вечора, подумки пишучи батькові батько про битву і про свою поїздку в Брюнн, князь Андрій повертався додому до Білібіна. Біля ганку будинку, який займав Білібіний, стояла до половини покладена речами бричка, і Франц, слуга Білібіна, ледве тягнучи валізу, вийшов з дверей.
Перш ніж їхати до Білибіна, князь Андрій поїхав у книжкову крамницю запастись на похід книгами і засидівся в крамниці.
– Що таке? – спитав Болконський.
- Ах, Erlaucht? - мовив Франц, насилу забираючи валізу в бричку. – Wir ziehen noch weiter. Der Bosewicht ist schon wieder hinter uns her! [Ах, ваше сяйво! Ми вирушаємо ще далі. Лиходій знову за нами по п'ятах.]
– Що таке? Що? – питав князь Андрій.
Білібін вийшов назустріч Болконському. На завжди спокійному обличчі Білібіна було хвилювання.
– Non, non, avouez que cest charmant, – казав він, – cette histoire du pont de Thabor (міст у Відні). [Ні, ні, зізнайтеся, що це принадність, ця історія з Таборським мостом. Вони перейшли його без опору.]
Князь Андрій нічого не розумів.
- Та звідки ж ви, що ви не знаєте того, що вже знають усі кучери в місті?
– Я від ерцгерцогині. Там я нічого не чув.
- І не бачили, що скрізь укладаються?
– Не бачив… Та в чому річ? – нетерпляче спитав князь Андрій.
– У чому річ? Справа в тому, що французи перейшли міст, який захищає Ауесперг, і міст не підірвали, тож Мюрат біжить тепер дорогою до Брюнна, і нині завтра вони будуть тут.
– Як тут? Та як же не висадили в повітря міст, коли він мінований?
– А це я у вас питаю. Цього ніхто і сам Бонапарте не знає.
Болконський знизав плечима.
- Але якщо міст перейдено, значить, і армія загинула: вона буде відрізана, - сказав він.
— У цьому й штука, — відповів Білібін. – Слухайте. Вступають французи до Відня, як я вам казав. Все дуже добре. На другий день, тобто вчора, панове маршали: Мюрат Ланн і Бельяр, сідають верхи і вирушають на міст. (Зверніть увагу, всі троє гасконці.) Господа, – каже один, – ви знаєте, що Таборський міст мінований і контрамінований, і що перед ним грізний tete de pont і п'ятнадцять тисяч війська, якому наказано підірвати міст і нас не пускати. Але нашому государю імператору Наполеону буде приємно, якщо ми візьмемо цей міст. Проїдемо втрьох і візьмемо цей міст. - Поїдемо, кажуть інші; і вони вирушають і беруть міст, переходять його і тепер з усією армією по той бік Дунаю прямують на нас, на вас і на ваші повідомлення.
- Повністю жартувати, - сумно і серйозно сказав князь Андрій.
Звістка це була гірка і водночас приємна князю Андрію.
Як тільки він дізнався, що російська армія перебуває в такому безнадійному становищі, йому спало на думку, що йому саме призначено вивести російську армію з цього положення, що ось він, той Тулон, який виведе його з рядів невідомих офіцерів і відкриє йому перший шлях до слави! Слухаючи Білібіна, він розумів уже, як, приїхавши до армії, він на військовій раді подасть думку, що одне врятує армію, і як йому буде доручено виконання цього плану.
- Повністю жартувати, - сказав він.
- Не жартую, - провадив далі Білібін, - нічого немає справедливішого і сумнішого. Панове ці приїжджають на міст одні і піднімають білі хустки; запевняють, що перемир'я, і ​​що вони, маршали, їдуть на переговори з князем Ауерспергом. Черговий офіцер пускає їх у tete de pont. [Мостове зміцнення.] Вони розповідають йому тисячу гасконських дурниць: кажуть, що війна закінчена, що імператор Франц призначив побачення Бонапарту, що вони бажають бачити князя Ауерсперга, і тисячу гасконад та ін. Офіцер посилає за Ауерспергом; панове ці обіймають офіцерів, жартують, сідають на гармати, а тим часом французький баталіон непомічений входить на міст, скидає мішки з горючими речовинами у воду і підходить до tete de pont. Нарешті, сам генерал лейтенант, наш милий князь Ауерсперг фон Маутерн. «Милий ворог! Колір австрійського війська, герой турецьких воєн! Ворожнеча закінчена, ми можемо подати один одному руку… імператор Наполеон згоряє бажанням дізнатися про князя Ауерсперга». Одним словом, ці панове, не задарма гасконці, так закидають Ауерсперга прекрасними словами, він так спокушений своєю інтимністю, що так швидко встановилася, з французькими маршалами, так засліплений виглядом мантії і страусового пір'я Мюрата, qu'il n'y voit que du feu, et oubl celui qu'il devait faire faire sur l'ennemi. [Що він бачить тільки їхній вогонь і забуває про своє, про те, що він повинен був відкрити проти ворога.] (Незважаючи на жвавість своєї промови, Білібін не забув зупинитися після цього mot, щоб дати час оцінити його.) Французький баталіон вбігає в tete de pont, забивають гармати, та міст взятий. Ні, але що найкраще, - продовжував він, заспокоюючись у своєму хвилюванні власністю своєї розповіді, - це те, що сержант, приставлений до тієї гармати, за сигналом якої мало запалювати міни і підривати міст, сержант цей, побачивши, що французькі війська біжать на міст, хотів уже стріляти, але Лан відвів його руку. Сержант, який, видно, був розумнішим за свого генерала, підходить до Ауерсперга і каже: «Князь, вас обманюють, от французи!» Мюрат бачить, що справа програно, якщо сказати сержанту. Він із подивом (справжній гасконець) звертається до Ауерсперга: «Я не впізнаю таку хвалену у світі австрійську дисципліну, – каже він, – і ви дозволяєте так говорити з вами нижчому чину!» C'est genial. Le prince d'Auersperg se pique d'honneur et fait mettre le sergent aux arrets. Ce n"est ni betise, ni lachete ... [Це геніально. Князь Ауерсперг ображається і наказує заарештувати сержанта. Ні, зізнайтеся, що це принадність, вся ця історія з мостом. Це не те, що дурість, не те що підлість…]
- З "est trahison peut etre, [Можливо, зрада,] - сказав князь Андрій, жваво уявляючи собі сірі шинелі, рани, пороховий дим, звуки пальби і славу, яка чекає на нього.
- Non plus. Cela met la cour dans de trop mauvais draps, – продовжував Білібін. - Ce n'est ni trahison, ni lachete, ni betise; c'est comme a Ulm... - Він ніби замислився, шукаючи вираз: - c'est... c'est du Mack. Nous sommes mackes , [Також ні. Це ставить двір у безглузде становище; це ні зрада, ні підлість, ні дурість; це як за Ульма, це… це Маківщина. Ми обмакувалися. ] – уклав він, відчуваючи, що він сказав un mot, та свіже mot, таке mot, яке повторюватиметься.
Зібрані до того часу складки на лобі швидко розпустилися на знак задоволення, і він, посміхаючись, почав розглядати свої нігті.

На теперішньому курсі семінари стали полягати не у вирішенні завдань, а доповідях на різну тематику. Думаю, буде вірним залишати їх тут у більш менш популярному вигляді.

Слово «солітон» походить від англійської solitary wave і означає саме відокремлену хвилю (або мовою фізики деяке збудження).

Солітон біля острова Молокаї (Гавайський архіпелаг)

Цунамі - теж солітон, але значно більший. Самотність не означає, що хвиля буде одна єдина на весь світ. Солітони іноді зустрічаються групами, як біля Бірми.

Солітони в Андаманському морі, що омиває береги Бірми, Бенгалії та Тайланду.

У математичному сенсі солітон є рішенням нелінійного рівняння у приватних похідних. Це означає наступне. Вирішувати лінійні рівняння, що прості зі школи, що диференціальні людство вже вміє досить давно. Але варто виникнути квадрату, кубу або ще хитрішій залежності в диференційному рівняннівід невідомої величини і напрацьований за всі століття математичний апарат зазнає фіаско - людина поки що не навчилася їх вирішувати і рішення найчастіше вгадуються або підбираються з різних міркувань. Але природу описують саме вони. Так нелінійні залежності породжують практично всі явища, що чарують око, та й що дозволяють жити життя теж. Веселка у своїй математичній глибині описується функцією Ейрі (правда, що говорить прізвище для вченого, чиє дослідження розповідає про веселку?)

Скорочення людського серцяє типовим прикладом біохімічних процесів, під назвою автокаталітичні – такі, що підтримують самі своє існування. Усі лінійні залежності та прямі пропорційності хоч і прості для аналізу, але нудні: у них нічого не змінюється, адже пряма залишається однаковою і на початку координат, і йдучи в безкінечність. Більше складні функціїмають особливі точки: мінімуми, максимуми, розломи тощо, які, потрапивши в рівняння, створюють незліченні варіації для розвитку систем.

Функції, об'єкти або явища, які називаються солітонами, мають дві важливі властивості: вони стабільні у часі та зберігають свою форму. Звісно, ​​у житті ніхто і ніщо нескінченно довго їм задовольняти не буде, тож треба порівнювати з аналогічними явищами. Повернувшись до морської гладі, бриж на її поверхні виникає і зникає за частки секунди, великі хвилі, що здіймаються вітром, злітають і розсипаються бризками. Але цунамі рухається глухою стіною на сотні кілометрів, не втрачаючи помітно у висоті хвилі та силі.

Є кілька типів рівнянь, що призводять до солітонів. Насамперед, це завдання Штурма-Ліувіля

У квантовій теорії це рівняння відоме під назвою нелінійного рівняння Шредінгера (Schrödinger), якщо функція має довільний вигляд. У цьому записі число називають власним. Воно таке особливе, що його теж знаходять при розв'язанні задачі, тому що не кожне значення може дати рішення. Роль своїх чисел у фізиці дуже велика. Наприклад, енергія є власним числом у квантовій механіці, переходи між різними системами координат так само не обходяться без них. Якщо потрібно, щоб змінити параметр tне змінювали власні числа (а tможе бути часом, наприклад, або якимось зовнішнім впливом на фізичну систему), то прийдемо до рівняння Кортевега де Фриза (Korteweg-de Vries):

Є й інші рівняння, але зараз вони не такі важливі.

В оптиці фундаментальну роль відіграє явище дисперсії - залежність частоти хвилі від її довжини, а точніше так званого хвильового числа:

У найпростішому випадку може бути лінійна (, де - швидкість світла). У житті часто отримуємо квадрат хвильового числа, а то й щось хитріше. На практиці дисперсія обмежує пропускну можливість оптоволокна, яким тільки що бігли ці слова до вашого інтернет-провайдера з серверів WordPress'а. Але так само вона дозволяє пропускати по одному оптоволокну не один промінь, а кілька. І в термінах оптики наведені вище рівняння розглядають найпростіші випадки дисперсії.

Класифікувати солітони можна по-різному. Наприклад, солітони, що виникають як математичні абстракції в системах без тертя та інших втрат енергії звати консервативними. Якщо розглядати те саме цунамі протягом не дуже тривалого часу (а для здоров'я так, мабуть, корисніше), то воно буде консервативним солітоном. Інші солітони існують лише завдяки потокам речовини та енергії. Їх прийнято називати автосолітонами і далі говоритимемо саме про автосолітон.

В оптиці також говорять про тимчасові та просторові солітони. З назви стає ясно, ми будемо спостерігати солітон як хвилю в просторі, або ж це буде сплеск у часі. Тимчасові виникають через балансування нелінійних ефектів дифракцією – відхилення променів від прямолінійного поширення. Наприклад, посвітили лазером у скло (оптоволокно), і всередині лазерного променя показник заломлення став залежати від потужності лазера. Просторові солітони виникають через балансування нелінійності дисперсією.

Фундаментальний солітон

Як мовилося раніше, широкосмуговість (тобто можливість передати багато частот, отже, і корисної інформації) волоконно-оптичних ліній зв'язку обмежується нелінійними ефектами і дисперсією, що змінюють амплітуду сигналів та його частоту. Але з іншого боку, ті ж самі нелінійність і дисперсія можуть призвести до створення солітонів, які зберігають свою форму та інші параметри суттєво довше, ніж все інше. Природним висновком звідси є бажання використовувати сам солітон як інформаційний сигнал (є спалах-солітон на кінці волокна - передали одиницю, ні - передали нулик).

Приклад з лазером, що змінює коефіцієнт заломлення всередині оптоволокна в міру свого поширення досить життєвий, особливо якщо «запхати» у волокно тонше людського волосся імпульс у кілька ват. Для порівняння багато це чи ні, типова енергозберігаюча лампочка потужністю 9 Вт висвітлює письмовий стіл, але при цьому розміром з долоню. Загалом, ми не відійдемо далеко від дійсності припустивши, що залежність коефіцієнта заломлення від потужності імпульсу всередині волокна виглядатиме так:

Після фізичних роздумів та математичних перетворень різної складності на амплітуду електричного поляусередині волокна можна отримати рівняння виду

де і координата вздовж поширення променя та поперечна йому. Коефіцієнт грає значної ролі. Він визначає співвідношення між дисперсією та нелінійністю. Якщо він буде дуже малий, то останній доданок у формулі можна викинути через слабкість нелінійностей. Якщо він дуже великий, то нелінійності задавивши дифракцію одноосібно визначатимуть особливості поширення сигналу. Вирішити це рівняння поки що намагалися лише за цілих значень . Так при результат особливо простий:
.
Функція гіперболічного секансу хоча називається довго, виглядає як звичайний дзвіночок

Розподіл інтенсивності у поперечному перерізі лазерного променя у формі фундаментального солітону.

Саме це рішення називається фундаментальним солітоном. Уявна експонента визначає поширення солітону вздовж осі волокна. На практиці це все означає, що, посвітивши на стінку, ми побачили б яскраву пляму в центрі, інтенсивність якої швидко спадала б на краях.

Фундаментальний солітон, як і всі солітони, що виникають з використанням лазерів, має певні особливості. По-перше, якщо потужність лазера виявиться недостатньою, він не з'явиться. По-друге, навіть якщо десь слюсар зайво перегне волокно, капне на нього олією або зробить іншу пакість, солітон проходячи крізь пошкоджену область обуриться (у фізичному та переносному сенсах), але швидко повернеться до своїх початкових параметрів. Люди та інші живі істоти також потрапляють під визначення автосолітону і це вміння повертатися в спокійний стан дуже важливо в житті 😉

Потоки енергії всередині фундаментального солітону мають такий вигляд:

Напрямок потоків енергії всередині фундаментального солітону.

Тут колом розділені області з різними напрямками потоків, а стрілками вказано напрямок.

Насправді можна отримати кілька солитонів, якщо лазер має кілька каналів генерації, паралельних його осі. Тоді взаємодія солітонів визначатиметься ступенем перекриття їх «спідниць». Якщо розсіювання енергії невелике, можна вважати, що потоки енергії всередині кожного солітону зберігаються в часі. Тоді солітони починають крутитися і зчіплюватись разом. На наступному малюнку наведено моделювання зіткнення двох трійок солітонів.

Моделювання зіткнення солітонів. На сірому фоні зображені амплітуди (як рельєф), але в чорному - розподіл фази.

Групи солітонів зустрічаються, чіпляються та утворюючи Z-подібну структуру починають обертатися. Ще цікавіші результати можна отримати порушенням симетрії. Якщо розставити лазерні солітони у шаховому порядку та викинути один, структура почне обертатися.

Порушення симетрії групи солітонів призводить до обертання центру інерції структури у бік стрілки на рис. праворуч та обертанням навколо миттєвого положення центру інерції

Обертання буде два. Центр інерції буде звертатися проти годинникової стрілки, а так само структура буде крутитися навколо його положення в кожний момент часу. При чому періоди обертань дорівнюватимуть, наприклад, як у Землі та Місяця, яка повернена до нашої планети лише однією стороною.

Експерименти

Такі незвичайні властивості солітонів привертають увагу і змушують замислитися про практичному застосуваннівже близько 40 років. Відразу можна сказати, що солітони можна використовуватиме стиснення імпульсів. На сьогоднішній день так можна отримати тривалість імпульсу до 6 фемтосекунд (сек або двічі брати від секунди одну мільйонну і поділити результат на тисячу). Окремий інтерес становлять солітонні лінії зв'язку, розробка яких триває вже досить давно. Так Хасегавою було запропоновано наступну схему ще 1983 року.

Солітонна лінія зв'язку.

Лінія зв'язку формується із секцій довжиною близько 50 км. Усього довжина лінії становила 600 км. Кожна секція складається з приймача з лазером, що передає у наступний хвилевід посилений сигнал, що дозволило досягти швидкості 160 Гбіт/сек.

Презентація

Література

1. Дж. Лем. Введення в теорію солітонів. Пров. з англ. М: Мир, - 1983. -294 с.
2. Дж. Уїзем Лінійні та нелінійні хвилі. - М: Мир, 1977. - 624 с.
3. І. Р. Шен. Принципи нелінійної оптики: Пров. з англ. / За ред. С. А. Ахманова. - М: Наука., 1989. - 560 с.
4. С. А. Булгакова, А. Л. Дмитрієв. Нелінійно-оптичні пристрої обробки інформації// Навчальний посібник. – СПб: СПбГУІТМО, 2009. – 56 с.
5. Werner Alpers et. al. Observation of Internal Waves в Andaman Sea by ERS SAR // Earthnet Online
6. А. І. Латкін, А. В. Якасов. Автосолітонні режими поширення імпульсу в волоконно-оптичній лінії зв'язку з нелінійними кільцевими дзеркалами // Автометрія, 4 (2004), т.40.
7. Н. Н. Розанов. Світ лазерних солітонів // Природа, 6 (2006). З. 51-60.
8. О. А. Татаркіна. Деякі аспекти проектування солітонних волоконно-оптичних систем передачі // Фундаментальні дослідження, 1 (2006), С. 83-84.

P. S. Про діаграми в.

СОЛІТОНЦе самотня хвиля в середовищах різної фізичної природи, що зберігає незмінною свою форму і швидкість при поширенні. Від англ. solitary - самотня (solitary wave - відокремлена хвиля), «-він» - типове закінчення термінів такого роду (наприклад, електрон, фотон, і т.д.), що означає подібність частки.

Поняття солітон введено в 1965 американцями Норманом Забуски та Мартіном Крускалом, але честь відкриття солітону приписують британському інженеру Джону Скотту Расселу (18081882). У 1834 їм вперше дано опис спостереження солітону («великої відокремленої хвилі»). Тоді Рассел вивчав пропускну спроможність каналу Юніон поблизу Единбурга (Шотландія). Ось як сам автор відкриття розповідав про нього: «Я стежив за рухом баржі, яку швидко тягла вузьким каналом пара коней, коли баржа несподівано зупинилася; але маса води, яку баржа почала рухати, не зупинилася; натомість вона зібралася біля носа судна у стані шаленого руху, потім несподівано залишила його позаду, котячись уперед із величезною швидкістю і набираючи форми великого одиночного піднесення, тобто. округлого, гладкого та чітко вираженого водяного пагорба, який продовжував свій шлях уздовж каналу, анітрохи не змінюючи своєї форми та не знижуючи швидкості. Я пішов за ним верхи, і коли я наздогнав його, він, як і раніше, котився вперед зі швидкістю приблизно вісім чи дев'ять миль на годину, зберігши свій початковий профіль піднесення довжиною близько тридцяти футів і висотою від фута до фута з половиною. Його висота поступово зменшувалась, і після однієї чи двох миль погоні я втратив його у вигинах каналу. Так у серпні 1834 року мені вперше довелося зіткнутися з надзвичайним і красивим явищем, яке я назвав хвилею трансляції…».

Згодом Рассел експериментальним шляхом, провівши низку дослідів, знайшов залежність швидкості відокремленої хвилі від її висоти (максимальної висоти над рівнем вільної поверхні води в каналі).

Можливо, Рассел передбачав ту роль, яку відіграють солітони в сучасній науці. В останні роки свого життя він завершив книгу Хвилі трансляції у водному, повітряному та ефірному океанах, опубліковану посмертно в 1882 році. Ця книга містить передрук Доповіді про хвиліПерший опис усамітненої хвилі, і ряд здогадів про будову матерії. Зокрема, Рассел вважав, що звук є відокремленими хвилями (насправді це не так), інакше, на його думку, поширення звуку відбувалося б із спотвореннями. Ґрунтуючись на цій гіпотезі та використовуючи знайдену ним залежність швидкості відокремленої хвилі, Рассел знайшов товщину атмосфери (5 миль). Більше того, зробивши припущення, що світло це теж усамітнені хвилі (що теж не так), Рассел знайшов і протяжність всесвіту (5 10 17 миль).

Очевидно, у своїх розрахунках, які стосуються розмірів всесвіту, Рассел припустився помилки. Тим не менш, результати, отримані для атмосфери, виявилися б правильними, якби її щільність була рівномірною. Расселовський же Доповідь про хвилівважається тепер прикладом ясності викладу наукових результатів, ясності, яку далеко багатьом сьогоднішнім ученим.

Реакція на наукове повідомлення Рассела найбільш авторитетних на той час англійських механіків Джорджа Байделя Ейрі (1801?1892) (професора астрономії в Кембриджі з 1828 по 1835, астронома королівського двору з 1835 по 1881) і Джорджа1 у Кембриджі з 1849 по 1903 р. була негативною. Через багато років солітон був перевідкритий за зовсім інших обставин. Цікаво, що відтворити спостереження Рассела виявилося непросто. Учасникам конференції «Солітон-82», які з'їхалися в Единбург на конференцію, присвячену сторіччю від дня смерті Рассела і намагалися отримати відокремлену хвилю на тому самому місці, де її спостерігав Рассел, нічого побачити не вдалося, при всьому їхньому досвіді та великих знаннях про солітони .

У 1871?1872 були опубліковані результати французького вченого Жозефа Валентена Буссінеска (1842?1929), присвячених теоретичним дослідженням відокремлених хвиль у каналах (подібних до самотньої хвилі Рассела). Бусінеск отримав рівняння:

Описує такі хвилі ( uЗміщення вільної поверхні води в каналі, dглибина каналу, c 0 | швидкість хвилі, tчас, xпросторова змінна, індекс відповідає диференціювання за відповідною змінною), і визначив їх форму (гіперболічний секанс, см. рис. 1) та швидкість.

Досліджувані хвилі Буссінеск називав спучуваннями і розглянув спучування позитивної та негативної висоти. Буссінеск обґрунтував стійкість позитивних спучувань тим, що їхні малі обурення, виникнувши, швидко згасають. У разі негативного спучування утворення стійкої форми хвилі неможливе, як і для довгого та позитивного дуже короткого спучування. Дещо пізніше, в 1876, опублікував результати своїх досліджень англієць лорд Релей.

Наступним важливим етапом у розвитку теорії солітонів стала робота (1895) голландців Дідеріка Йоганна Кортевега (18481941) та його учня Густава де Вріза (точні дати життя не відомі). Очевидно, ні Кортевег, ні де Вріз робіт Бусінеска не читали. Ними було виведено рівняння для хвиль у досить широких каналах постійного поперечного перерізу, що носить нині їхнє ім'я, рівняння Кортевега-де Вріза (КдВ). Рішення такого рівняння описує свого часу виявлену Расселом хвилю. Основні досягнення цього дослідження полягали в розгляді простішого рівняння, що описує хвилі, що біжать в одному напрямку, такі рішення наочніші. Через те, що до рішення входить еліптична функція Якобі cnЦі рішення були названі «кноїдальними» хвилями.

У нормальній формі рівняння КдВ для шуканої функції імає вигляд:

Здатність солітону зберігати при поширенні свою форму незмінною пояснюється тим, що його поведінка визначається двома діючими взаємно протилежно процесами. По-перше, це, так зване, нелінійне укручення (фронт хвилі досить великої амплітуди прагне перекинутися на ділянках наростання амплітуди, оскільки задні частки, що мають велику амплітуду, рухаються швидше, ніж біжать). По-друге, проявляється такий процес як дисперсія (залежність швидкості хвилі від її частоти, що визначається фізичними та геометричними властивостями середовища; при дисперсії різні ділянки хвилі рухаються з різними швидкостями та хвиля розпливається). Таким чином, нелінійне вкручування хвилі компенсується її розпливанням за рахунок дисперсії, що забезпечує збереження форми такої хвилі при її поширенні.

Відсутність вторинних хвиль при поширенні солітону свідчить про те, що енергія хвилі не розсіюється простором, а зосереджена в обмеженому просторі (локалізована). Локалізація енергії є відмінною якістю частинки.

Ще однією дивовижною особливістю солітонів (відзначеної ще Расселом) є їхня здатність зберігати свої швидкість і форму при проходженні один через одного. Єдиним нагадуванням про взаємодії, що відбулася, є постійні зміщення спостережуваних солітонів від положень, які вони займали б, якби не зустрілися. Є думка, що солітони не проходять один через одного, а відбиваються подібно до пружних куль, що зіткнулися. У цьому вся також проявляється аналогія солітонів з частками.

Довго вважалося, що відокремлені хвилі пов'язані тільки з хвилями на воді і вивчалися вони фахівцями гідродинаміками. У 1946 М.А.Лаврентьєв (СРСР), а 1954 К.О.Фрідріхс і Д.Г.Хайерс США опублікували теоретичні докази існування відокремлених хвиль.

Сучасний розвиток теорії солітонів почався з 1955, коли була опублікована робота вчених з Лос Аламоса (США) Енріко Фермі, Джона Пасти і Стіна Улама, присвячена дослідженню нелінійних дискретно навантажених струн (така модель використовувалася для вивчення теплопровідності твердих тіл). Довгі хвилі, що біжать такими струнами, виявилися солітонами. Цікаво, що методом дослідження у цій роботі став чисельний експеримент (розрахунки на одній із перших створених на той час ЕОМ).

Відкриті теоретично спочатку для рівнянь Буссінеска і КдВ, що описують хвилі на дрібній воді, солітони досі знайдені також як рішення ряду рівнянь в інших галузях механіки та фізики. Найбільш часто зустрічаються (нижче у всіх рівняннях u¦ шукані функції, коефіцієнти при uдеякі константи)

нелінійне рівняння Шредінгера (НУШ)

Рівняння було отримано щодо оптичного самофокусування і розщеплення оптичних пучків. Це ж рівняння застосовувалося для дослідження хвиль на глибокій воді. З'явилося узагальнення НУШ для хвильових процесів у плазмі. Цікавим є застосування НУШ у теорії елементарних частинок.

Рівняння sin-Гордону (СГ)

описує, наприклад, поширення резонансних ультракоротких оптичних імпульсів, дислокації в кристалах, процеси рідкому гелії, хвилі зарядової щільності в провідниках.

Солітонні рішення мають і так звані, споріднені КДВ рівняння. До таких рівнянь відносяться,

модифіковане рівняння КДВ

рівняння Бенджаміна, Бона та Магоні (ББМ)

що вперше з'явилося при описі бори (хвилі на поверхні води, що виникає при відкриванні воріт шлюзів, при замиканні течії річки);

рівняння Бенджаміна | Воно

отримане для хвиль усередині тонкого шару неоднорідної (стратифікованої) рідини, розташованого всередині іншої однорідної рідини. До рівняння Бенджаміна воно призводить і дослідження трансзвукового прикордонного шару.

До рівнянь із солітонними рішеннями відноситься і рівняння Борна Інфельда

має застосування у теорії поля. Є й інші рівняння із солітонними рішеннями.

Солітон, що описується рівнянням КдВ, однозначно характеризується двома параметрами: швидкістю та положенням максимуму у фіксований момент часу.

Солітон, що описується рівнянням Хіроти

однозначно характеризується чотирма параметрами.

Починаючи з 1960, на розвиток теорії солітонів вплинув ряд фізичних завдань. Було запропоновано теорію самоіндукованої прозорості та наведено експериментальні результати, що її підтверджують.

У 1967 Крускалом і співавторами було знайдено метод отримання точного рішення рівняння КдВ метод так званої зворотної задачі розсіювання. Суть методу зворотного завдання розсіювання полягає у заміні розв'язуваного рівняння (наприклад, рівняння КдВ) системою інших, лінійних рівнянь, розв'язання яких легко перебуває.

Цим же методом у 1971 р. радянськими вченими В.Є.Захаровим та А.Б.Шабатом було вирішено НУШ.

Додатки солітонної теорії в даний час знаходять застосування при дослідженнях ліній передачі сигналів з нелінійними елементами (діоди, котушки опору), прикордонного шару, атмосфер планет (Велика червона пляма Юпітера), хвиль цунамі, хвильових процесів у плазмі, теорії поля, фізики твердого тіла , теплофізиці екстремальних станів речовин при вивченні нових матеріалів (наприклад, джозефсонівських контактів, що складаються з розділених діелектриком двох шарів надпровідного металу), при створенні моделей грат кристалів, в оптиці, біології та багатьох інших. Висловлено думку, що імпульси, що біжать по нервах - солітони.

В даний час описані різновиди солітонів та деякі комбінацій з них, наприклад:

антисолітон - солітон негативної амплітуди;

бризер (дублет), пара солітон, антисолітон (рис. 2);

мультисолітон - кілька солітонів, що рухаються як єдине ціле;

флюксон квант магнітного потоку, аналог солітону в розподілених джозефсонівських контактах;

кінк (монополь), від англійської kink перегин.

Формально кінк можна запровадити як розв'язання рівнянь КдВ, НУШ, СГ, що описується гіперболічним тангенсом (рис. 3). Зміна знака рішення типу «Кінк» на протилежний дає «антикінк».

Кінки були виявлені в 1962 англійцями Перрінгом і Скірмом при чисельному (на ЕОМ) рішенні рівняння СГ. Таким чином, кінки було виявлено раніше, ніж з'явилася назва солітон. Виявилося, що зіткнення кінків не призвело ні до їхнього взаємного знищення, ні до подальшого виникнення інших хвиль: кінки, таким чином, виявили властивості солітонів, проте назва кінк закріпилася за такими хвилями.

Солітони можуть бути двомірними і тривимірними. Вивчення неодномірних солітонів ускладнювалося труднощами доказу їх стійкості, проте останнім часом отримані експериментальні спостереження неодномірних солітонів (наприклад, підковоподібні солітони на плівці в'язкої рідини, що вивчалися В.І.Петвіашвілі та О.Ю.Цвелодубом). Двовимірні солітонні рішення має рівняння Кадомцева Петвіашвілі, що використовується, наприклад, для опису акустичних (звукових) хвиль:

Серед відомих рішень цього рівняння невипливають вихори або солітони-вихори (вихровим є перебіг середовища, при якому її частинки мають кутову швидкість обертання відносно деякої осі). Такі солітони, знайдені теоретично і змодельовані в лабораторії, можуть мимоволі виникати в атмосферах планет. За своїми властивостями та умовами існування солітон-вихор подібний до чудової особливості атмосфери Юпітера ¦ Великої Червоної Плями.

Солітони є суттєво нелінійними утвореннями і настільки ж фундаментальні, як лінійні (слабкі) хвилі (наприклад, звук). Створення лінійної теорії, значною мірою, працями класиків Бернхарда Рімана (18261866), Огюстена Коші (17891857), Жана Жозефа Фур'є (17681830) дозволило вирішити важливі завдання, що стояли перед природознавством. За допомогою солітонів вдається з'ясувати нові принципові питання під час розгляду сучасних наукових проблем.

Андрій Богданов