Статика – розділ теоретичної механіки. Основні закони та формули з теоретичної механіки

У межах будь-якого навчального курсу вивчення фізики починається з механіки. Не з теоретичної, не з прикладної та не обчислювальної, а зі старої доброї класичної механіки. Цю механіку ще називають механікою Ньютона. За легендою, вчений гуляв садом, побачив, як падає яблуко, і саме це явище підштовхнуло його до відкриття закону всесвітнього тяжіння. Звичайно, закон існував завжди, а Ньютон лише надав йому зрозумілої для людей форми, але його заслуга – безцінна. У цій статті ми не розписуватимемо закони Ньютонівської механіки максимально докладно, але викладемо основи, базові знання, визначення та формули, які завжди можуть зіграти Вам на руку.

Механіка - розділ фізики, наука, що вивчає рух матеріальних тіл та взаємодії між ними.

Саме слово має грецьке походження і перекладається як «мистецтво побудови машин». Але до побудови машин нам ще як до Місяця, тому підемо стопами наших предків, і вивчатимемо рух каменів, кинутих під кутом до горизонту, і яблук, що падають на голови з висоти h.

Чому вивчення фізики починається саме з механіки? Тому що це абсолютно природно, не з термодинамічної рівноваги його починати?!

Механіка - одна з найстаріших наук, і історично вивчення фізики почалося саме з основ механіки. Поміщені в рамки часу та простору, люди, по суті, ніяк не могли почати з чогось іншого, за всього бажання. Ті, що рухаються – перше, на що ми звертаємо свою увагу.

Що таке рух?

Механічне рух – це зміна становища тіл у просторі щодо одне одного з часом.

Саме після цього визначення ми природно приходимо до поняття системи відліку. Зміна положення тіл у просторі щодо один одного.Ключові слова тут: щодо один одного . Адже пасажир у машині рухається щодо людини, що стоїть на узбіччі з певною швидкістю, і спочиває щодо свого сусіда на сидінні поруч, і рухається з якоюсь іншою швидкістю щодо пасажира в машині, яка їх обганяє.

Саме тому, для того, щоб нормально вимірювати параметри об'єктів, що рухаються і не заплутатися, нам потрібна система відліку - жорстко пов'язані між собою тіло відліку, система координат та годинника. Наприклад, земля рухається навколо сонця у геліоцентричній системі відліку. У побуті практично всі свої виміри ми проводимо у геоцентричній системі відліку, пов'язаної із Землею. Земля – тіло відліку, щодо якого рухаються машини, літаки, люди, тварини.

Механіка як наука має своє завдання. Завдання механіки – будь-якої миті часу знати становище тіла у просторі. Іншими словами, механіка будує математичний опис руху та знаходить зв'язки між фізичними величинами, що його характеризують.

Для того, щоб рухатися далі, нам знадобиться поняття “ матеріальна точка ”. Говорять, фізика – точна наука, але фізикам відомо, скільки наближень і припущень доводиться робити, щоб узгодити цю точність. Ніхто ніколи не бачив матеріальної точкиі не нюхав ідеального газуале вони є! З ними просто легше жити.

Матеріальна точка - тіло, розмірами і формою якого в контексті даної задачі можна знехтувати.

Розділи класичної механіки

Механіка складається з кількох розділів

• Кінематика
• Динаміка
• Статика

Кінематиказ фізичного погляду вивчає, як саме тіло рухається. Інакше кажучи, цей розділ займається кількісними характеристиками руху. Знайти швидкість, шлях – типові завдання кінематики

Динамікавирішує питання, чому він рухається саме так. Тобто розглядає сили, які діють тіло.

Статикавивчає рівновагу тіл під впливом сил, тобто відповідає питанням: чому вона взагалі падає?

Межі застосування класичної механіки

Класична механіка вже не претендує на статус науки, що пояснює все (на початку минулого століття все було зовсім інакше), і має чіткі рамки застосування. Взагалі, закони класичної механіки справедливі звичному нам за розміром світі (макросвіт). Вони перестають працювати у разі світу частинок, коли на зміну класичній приходить квантова механіка. Також класична механіка не застосовується до випадків, коли рух тіл відбувається зі швидкістю, близькою до швидкості світла. У таких випадках яскраво вираженими стають релятивістські ефекти. Грубо кажучи, в рамках квантової та релятивістської механіки – класична механіка, це окремий випадок, коли розміри тіла великі, а швидкість – мала.

Взагалі кажучи, квантові та релятивістські ефекти ніколи нікуди не діваються, вони мають місце і при звичайному русі макроскопічних тіл зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла. Інша справа, що дія цих ефектів така мала, що не виходить за рамки найточніших вимірювань. Класична механіка, таким чином, ніколи не втратить свого фундаментального значення.

Ми продовжимо вивчення фізичних основмеханіки у наступних статтях. Для кращого розуміння механіки Ви завжди можете звернутися до нашим авторам, які в індивідуальному порядку проллють світло на темну пляму найскладнішого завдання.

Статика - це розділ теоретичної механіки, у якому вивчаються умови рівноваги матеріальних тіл, що під дією сил, і навіть методи перетворення сил на еквівалентні системи.

Під станом рівноваги, у статиці, розуміється стан, у якому всі частини механічної системи спочивають щодо деякої інерційної системи координат. Одним із базових об'єктів статики є сили та точки їх застосування.

Сила, що діє на матеріальну точку з радіус-вектором з боку інших точок - це міра впливу інших точок на точку, що розглядається, в результаті якої вона отримує прискорення щодо інерційної системи відліку. Величина силивизначається за формулою:
,
де m – маса точки – величина, яка залежить від властивостей самої точки. Ця формула називається другим законом Ньютона.

Застосування статики в динаміці

Важливою особливістюрівнянь руху абсолютно твердого тіла і те, що сили можна перетворювати на еквівалентні системи. За такого перетворення рівняння руху зберігають свій вигляд, але систему сил, що діє тіло можна перетворити на простішу систему. Так, точку застосування сили можна переміщати вздовж лінії її дії; сили можна розкладати за правилом паралелограма; сили, прикладені в одній точці, можна замінювати їх геометричною сумою.

Приклад таких перетворень є сила тяжіння. Вона діє всі точки твердого тіла. Але закон руху тіла не зміниться, якщо розподілену по всіх точках силу тяжіння замінити одним вектором, прикладеним у центрі мас тіла.

Виявляється, що якщо ми до основної системи сил, що діють на тіло, додамо еквівалентну систему, в якій напрями сил змінені на протилежні, то тіло під дією цих систем буде перебувати в рівновазі. Таким чином, завдання визначення еквівалентних систем сил зводиться до завдання на рівновагу, тобто до завдання статики.

Основним завданням статикиє встановлення законів перетворення системи сил на еквівалентні системи. Отже, методи статики застосовуються як щодо тіл, що у рівновазі, а й у динаміці твердого тіла, під час перетворення сил на простіші еквівалентні системи.

Статика матеріальної точки

Розглянемо матеріальну точку, що у рівновазі. І нехай на неї діють n сил, k = 1, 2, ..., n.

Якщо матеріальна точка знаходиться в рівновазі, то векторна сума сил, що діють на неї, дорівнює нулю:
(1) .

У рівновазі геометрична сума сил, які діють точку, дорівнює нулю.

Геометрична інтерпретація. Якщо кінець першого вектора помістити початок другого вектора , а кінець другого вектора помістити початок третього , і далі продовжувати цей процес, то кінець останнього, n -го вектора виявиться суміщеним з початком першого вектора. Тобто ми отримаємо замкнуту геометричну фігуру, довжини сторін якої дорівнюють модулям векторів. Якщо всі вектори лежать у одній площині, ми отримаємо замкнутий багатокутник.

Часто буває зручним вибрати прямокутну систему координат Oxyz. Тоді суми проекцій всіх векторів сил на осі координат дорівнюють нулю:

Якщо вибрати будь-який напрямок, який задається деяким вектором , то сума проекцій векторів сил на цей напрямок дорівнює нулю:
.
Помножимо рівняння (1) скалярно на вектор:
.
Тут - скалярний твірвекторів та .
Зауважимо, що проекція вектора на напрямок вектора визначається за формулою:
.

Статика твердого тіла

Момент сили щодо точки

Визначення моменту сили

Моментом сили, прикладеної до тіла в точці A відносно нерухомого центру O називається вектор , рівний векторному добутку векторів і :
(2) .

Геометрична інтерпретація

Момент сили дорівнює добутку сили F на плече OH.

Нехай векторів і розташовані в площині малюнку. Відповідно до властивості векторного твору, вектор перпендикулярний векторам і , тобто перпендикулярний площині малюнка. Його напрямок визначається правилом правого гвинта. На малюнку вектор моменту спрямовано нас. Абсолютне значення моменту:
.
Оскільки , то
(3) .

Використовуючи геометрію, можна дати іншу інтерпретацію моменту сили. Для цього проведемо пряму AH через вектор сили. З центу O опустимо перпендикуляр OH на цю пряму. Довжину цього перпендикуляра називають плечем сили. Тоді
(4) .
Оскільки формули (3) і (4) еквівалентні.

Таким чином, абсолютне значення моменту силищодо центру O дорівнює добутку сили на плечецієї сили щодо обраного центру O .

При обчисленні моменту часто буває зручним розкласти чинність на дві складові:
,
де. Сила проходить через точку O. Тому її момент дорівнює нулю. Тоді
.
Абсолютне значення моменту:
.

Компоненти моменту у прямокутній системі координат

Якщо вибрати прямокутну систему координат Oxyz із центром у точці O , то момент сили матиме наступні компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Тут - координати точки A у вибраній системі координат:
.
Компоненти є значення моменту сили щодо осей , відповідно.

Властивості моменту сили щодо центру

Момент щодо центру O від сили, що проходить через цей центр, дорівнює нулю.

Якщо точку застосування сили перемістити вздовж лінії, що проходить через вектор сили, то момент при такому переміщенні не зміниться.

Момент від векторної суми сил, прикладених до однієї точки тіла, дорівнює векторній сумі моментів від кожної з сил, прикладених до цієї точки.
.

Те саме стосується і сил, чиї лінії продовження перетинаються в одній точці.

Якщо векторна сума сил дорівнює нулю:
,
то сума моментів цих сил залежить від становища центру, щодо якого обчислюються моменты:
.

Пара сил

Пара сил- це дві сили, рівні за абсолютною величиною та мають протилежні напрямки, прикладені до різних точок тіла.

Пара сил характеризується моментом , що вони створюють. Оскільки векторна сума сил, що входять у пару дорівнює нулю, то момент, що створюється парою, не залежить від точки, щодо якої обчислюється момент. З погляду статичного рівноваги, природа сил, які входять у пару, немає значення. Пару сил використовують для того, щоб вказати, що на тіло діє момент сил, що має певне значення.

Момент сили щодо заданої осі

Часто трапляються випадки, коли нам не потрібно знати всі компоненти моменту сили щодо обраної точки, а потрібно знати лише момент сили щодо обраної осі.

Моментом сили щодо осі, що проходить через точку O - це проекція вектора моменту сили щодо точки O на напрям осі.

Властивості моменту сили щодо осі

Момент щодо осі від сили, що проходить через цю вісь, дорівнює нулю.

Момент щодо осі від сили, паралельної до цієї осі дорівнює нулю.

Обчислення моменту сили щодо осі

Нехай тіло, у точці A діє сила . Знайдемо момент цієї сили щодо осі O'O'.

Побудуємо прямокутну систему координат. Нехай вісь Oz збігається з O'O''. З точки A опустимо перпендикуляр OH на O'O'. Через точки O і A проводимо вісь Ox. Перпендикулярно Ox і Oz проводимо вісь Oy. Розкладемо силу на складові вздовж осей системи координат:
.
Сила перетинає вісь O'O'. Тому її момент дорівнює нулю. Сила паралельна осі O'O'. Тому її момент також дорівнює нулю. За формулою (5.3) знаходимо:
.

Зауважимо, що компонента спрямована щодо до кола, центром якого є точка O . Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.

Умови рівноваги твердого тіла

У рівновазі векторна сума всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю і векторна сума моментів цих сил щодо довільного нерухомого центру дорівнює нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Підкреслимо, що центр O , щодо якого обчислюються моменти сил, можна вибирати довільним чином. Точка O може як належати тілу, так і знаходиться за його межами. Зазвичай центр O вибирають те щоб зробити обчислення простішими.

Умови рівноваги можна сформулювати іншим способом.

У рівновазі сума проекцій сил на будь-який напрямок, що задається довільним вектором, дорівнює нулю:
.
Також дорівнює нулю сума моментів сил щодо довільної осі O'O':
.

Іноді такі умови виявляються зручнішими. Бувають випадки, коли за рахунок вибору осей можна зробити обчислення більш простими.

Центр тяжкості тіла

Розглянемо одну з найважливіших сил – силу тяжіння. Тут сили не прикладені у певних точках тіла, а безперервно розподілені за його обсягом. На кожну ділянку тіла з нескінченно малим об'ємом Δ Vдіє сила тяжіння. Тут - щільність речовини тіла, - прискорення вільного падіння.

Нехай – маса нескінченно малої ділянки тіла. І нехай точка Ak визначає положення цієї ділянки. Знайдемо величини, що належать до сили тяжіння, що входять до рівняння рівноваги (6).

Знайдемо суму сил тяжіння, утворену всіма ділянками тіла:
,
де – маса тіла. Таким чином, суму сил тяжіння окремих нескінченно малих ділянок тіла можна замінити одним вектором сили тяжіння всього тіла:
.

Знайдемо суму моментів сил тяжіння відносно довільним способом обраного центру O :

.
Тут ми ввели точку C, яка називається центром тяжіннятіла. Положення центру тяжкості, в системі координат з центром у точці O визначається за формулою:
(7) .

Отже, щодо статичного рівноваги, суму сил тяжкості окремих ділянок тіла можна замінити равнодействующей
,
прикладеної до центру мас тіла C, положення якого визначається формулою (7).

Положення центру тяжкості для різних геометричних фігурможна знайти у відповідних довідниках. Якщо тіло має вісь чи площину симетрії, то центр ваги розташований на цій осі чи площині. Так, центри тяжкості сфери, кола чи кола перебувають у центрах кіл цих постатей. Центри тяжкості прямокутного паралелепіпеда, прямокутника або квадрата також розташовані в їх центрах – у точках перетину діагоналей.

Поступово (А) і лінійно (Б) розподілене навантаження.

Також трапляються подібні тяжкості випадки, коли сили не прикладені в певних точках тіла, а безперервно розподілені по його поверхні або об'єму. Такі сили називають розподіленими силамиабо .

(Малюнок А). Також, як і у випадку з силою тяжкості, її можна замінити рівнодією силою величини, прикладеної в центрі тяжкості епюри. Оскільки на малюнку А епюра є прямокутником, то центр тяжкості епюри знаходиться в її центрі - точці C : | AC| = | CB|.

(Малюнок В). Її також можна замінити рівнодією. Величина рівнодіючої дорівнює площі епюри:
.
Точка програми знаходиться в центрі тяжкості епюри. Центр тяжкості трикутника, висотою h знаходиться на відстані від основи. Тому.

Сили тертя

Тертя ковзання. Нехай тіло знаходиться на плоскій поверхні. І нехай – сила, перпендикулярна поверхні, з якою поверхня діє на тіло (сила тиску). Тоді сила тертя ковзання паралельна поверхні і спрямована убік, перешкоджаючи руху тіла. Її найбільша величина дорівнює:
,
де f – коефіцієнт тертя. Коефіцієнт тертя є безрозмірною величиною.

Тертя кочення. Нехай тіло округлої форми котиться або може котитися поверхнею. І нехай - сила тиску, перпендикулярна поверхні, з якою поверхня діє тіло. Тоді на тіло, у точці зіткнення з поверхнею, діє момент сил тертя, що перешкоджає руху тіла. Найбільша величина моменту тертя дорівнює:
,
де - коефіцієнт тертя кочення. Він має розмірність довжини.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курстеоретичної механіки, « Вища школа», 2010.

Зміст

Кінематика

Кінематика матеріальної точки

Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями її руху

Дано: Рівняння руху точки: x = 12 sin(πt/6), см; y = 6 cos 2 (πt/6), Див.

Встановити вид її траєкторії та для моменту часу t = 1 сзнайти положення точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне та нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.

Поступальний та обертальний рух твердого тіла

Дано:
t = 2; r 1 = 2 см, R 1 = 4 см; r 2 = 6 см, R 2 = 8 см; r 3 = 12 см, R 3 = 16 см; s 5 = t 3 – 6t (см).

Визначити у час t = 2 швидкості точок A, C; кутове прискорення колеса 3; прискорення точки B та прискорення рейки 4.

Кінематичний аналіз плоского механізму

Дано:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Знайти: ω 2 .

Плоский механізм складається з стрижнів 1, 2, 3, 4 та повзуна E. Стрижні з'єднані за допомогою циліндричних шарнірів. Точка D розташована у середині стрижня AB.
Дано: ω 1 , ε 1 .
Знайти: швидкості V A , V B , V D і V E; кутові швидкості 2, 3 і 4; прискорення a B; кутове прискорення ε AB ланки AB; положення миттєвих центрів швидкостей P 2 і P 3 ланок 2 та 3 механізму.

Визначення абсолютної швидкості та абсолютного прискорення точки

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).

По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Задано закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.

Динаміка

Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що під дією змінних сил

Вантаж D масою m, отримавши в точці A початкову швидкість V 0 рухається в вигнутій трубі ABC, розташованої у вертикальній площині. На ділянці AB, довжина якого l, на вантаж діє постійна сила T(її напрямок показано на малюнку) і сила R опору середовища (модуль цієї сили R = μV 2 вектор R направлений протилежно швидкості V вантажу).

Вантаж, закінчивши рух ділянці AB, у точці B труби, не змінюючи значення модуля своєї швидкості, перетворюється на ділянку BC. На ділянці BC на вантаж діє змінна сила F, проекція F x якої вісь x задана.

Вважаючи вантаж матеріальною точкою, визначити закон його руху дільниці BC, тобто. x = f(t) де x = BD. Тертям вантажу об трубу знехтувати.

Завантажити розв'язання задачі

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Механічна система складається з вантажів 1 і 2, циліндричного котка 3, двоступінчастих шківів 4 і 5. Тіла системи з'єднані нитками, намотаними на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинам. Ковзанка (суцільний однорідний циліндр) котиться по опорній площині без ковзання. Радіуси ступенів шківів 4 і 5 рівні відповідно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Масу кожного шківа вважати рівномірно розподіленою за його зовнішнім обідом . Опорні площини вантажів 1 і 2 шорсткі, коефіцієнт тертя ковзання кожного вантажу f = 0.1.

Під дією сили F, модуль якої змінюється за законом F = F(s), де s - переміщення точки її застосування, система починає рухатися зі стану спокою. При русі системи на шків 5 діють сили опору, момент яких щодо осі обертання постійний і дорівнює M 5 .

Визначити значення кутової швидкості шківа 4 у той час, коли переміщення s точки докладання сили F дорівнюватиме s 1 = 1,2 м.

Завантажити розв'язання задачі

Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи

Для механічної системи визначити лінійне прискорення a1. Вважати, що з блоків і котків маси розподілені по зовнішньому радіусу. Троси та ремені вважати невагомими та нерозтяжними; прослизання відсутнє. Тертям кочення і тертям ковзання знехтувати.

Завантажити розв'язання задачі

Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій опор тіла, що обертається

Вертикальний вал AK, що обертається рівномірно з кутовою швидкістю ω = 10 -1 , закріплений підп'ятником в точці A і циліндричним підшипником в точці D.

До валу жорстко прикріплено невагомий стрижень 1 довжиною l 1 = 0,3 м, на вільному кінці якого розташований вантаж масою m 1 = 4 кг, і однорідний стрижень 2 довжиною l 2 = 0,6 м, що має масу m 2 = 8 кг. Обидва стрижні лежать в одній вертикальній площині. Точки прикріплення стрижнів до валу, а також кути α та β вказані у таблиці. Розміри AB = BD = DE = EK = b, де b = 0,4 м. Вантаж прийняти за матеріальну точку.

Нехтуючи масою валу, визначити реакції підп'ятника та підшипника.

У курсі розглядаються: кінематика точки та твердого тіла (причому з різних точок зору пропонується розглянути проблему орієнтації твердого тіла), класичні завдання динаміки механічних систем та динаміки твердого тіла, елементи небесної механіки, рух систем змінного складу, теорія удару, диференціальні рівнянняаналітичної динаміки

У курсі представлені всі традиційні розділи теоретичної механіки, проте особливу увагу приділено розгляду найзмістовніших і найцінніших для теорії та додатків розділів динаміки та методів аналітичної механіки; статика вивчається як розділ динаміки, а розділ кінематики докладно вводяться необхідні розділу динаміки поняття і математичний апарат.

Інформаційні ресурси

Гантмахер Ф.Р. Лекції з аналітичної механіки. - 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2001.
Журавльов В.Ф. Основи теоретичної механіки. - 2-ге вид. - М.: Фізматліт, 2001; 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2008.
Маркєєв А.П. Теоретична механіка. - Москва - Іжевськ: НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка», 2007.

Вимоги

Курс розрахований на студентів, які володіють апаратом аналітичної геометрії та лінійної алгебри в обсязі програми першого курсу технічного вузу.

Програма курсу

1. Кінематика точки
1.1. Завдання кінематики. Декартова система координат. Розкладання вектора за ортонормованим базисом. Радіус вектор і координати точки. Швидкість та прискорення точки. Траєкторія руху.
1.2. Природний тригранник. Розкладання швидкості та прискорення в осях природного тригранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволінійні координати точки, приклади: полярна, циліндрична та сферичні системикоординат. Складові швидкості та проекції прискорення на осі криволінійної системи координат.

2. Способи завдання орієнтації твердого тіла
2.1. Тверде тіло. Нерухлива та пов'язана з тілом системи координат.
2.2. Ортогональні матриці повороту та їх властивості. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
2.3. Активна та пасивна точки зору на ортогональне перетворення. Складання поворотів.
2.4. Кути кінцевого обертання: кути Ейлера та "літакові" кути. Вираз ортогональної матриці через кути кінцевого обертання.

3. Просторовий рухтвердого тіла
3.1. Поступальний та обертальний рух твердого тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення.
3.2. Розподіл швидкостей (формула Ейлера) та прискорень (формула Рівальса) точок твердого тіла.
3.3. Кінематичні інваріанти. Кінематичний гвинт. Миттєва гвинтова вісь.

4. Плоскопаралельний рух
4.1. Концепція плоскопаралельного руху тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення у разі плоскопаралельного руху. Миттєвий центр швидкостей.

5. Складний рух крапки та твердого тіла
5.1. Нерухома і рухома системи координат. Абсолютний, відносний і переносний рухи точки.
5.2. Теорема про складання швидкостей при складному русі точки, відносна та переносна швидкості точки. Теорема Коріоліса про складання прискорень при складному русі точки, відносне, переносне та коріолісове прискорення точки.
5.3. Абсолютні, відносні та переносні кутова швидкість та кутове прискорення тіла.

6. Рух твердого тіла з нерухомою точкою (квартирний виклад)
6.1. Поняття про комплексні та гіперкомплексні числа. Алгебра кватерніонів. Квартирний твір. Сполучений та зворотний кватерніон, норма та модуль.
6.2. Тригонометричне уявлення одиничного кватерніону. Кватерніонний спосіб завдання повороту тіла. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
6.3. Зв'язок між компонентами кватерніону у різних базисах. Складання поворотів. Параметри Родріга-Гамільтона.

7. Екзаменаційна робота

8. Основні поняття динаміки.
8.1 Імпульс, момент імпульсу (кінетичний момент), кінетична енергія.
8.2 Потужність сил, робота сил, потенційна та повна енергія.
8.3 Центр мас (центр інерції) системи. Момент інерції системи щодо осі.
8.4 Моменти інерції щодо паралельних осей; теорема Гюйгенса-Штейнера.
8.5 Тензор та еліпсоїд інерції. Основні осі інерції. Властивості осьових моментів інерції.
8.6 Обчислення моменту імпульсу та кінетичної енергіїтіла за допомогою тензора інерції.

9. Основні теореми динаміки в інерційних та неінерційних системах відліку.
9.1 Теорема про зміну імпульсу системи в інерційній системі відліку. Теорема про рух центру мас.
9.2 Теорема про зміну моменту імпульсу системи в інерційній системі відліку.
9.3 Теорема про зміну кінетичної енергії системи в інерційній системі відліку.
9.4 Потенційні, гіроскопічні та дисипативні сили.
9.5 Основні теореми динаміки у неінерційних системах відліку.

10. Рух твердого тіла з нерухомою точкою за інерцією.
10.1 Динамічні рівняння Ейлер.
10.2 Випадок Ейлера, перші інтеграли динамічних рівнянь; перманентні обертання.
10.3 Інтерпретації Пуансо та Маккулага.
10.4 Регулярна прецесія у разі динамічної симетрії тіла.

11. Рух важкого твердого тіла з нерухомою точкою.
11.1. Загальна постановка задачі про рух важкого твердого тіла навколо.
нерухомої точки. Динамічні рівняння Ейлера та його перші інтеграли.
11.2. Якісний аналіз руху твердого тіла у разі Лагранжа.
11.3 Вимушена регулярна прецесія динамічно симетричного твердого тіла.
11.4. Основна формула гіроскопії.
11.5 Поняття про елементарну теорію гіроскопів.

12. Динаміка точки у центральному полі.
12.1 Рівняння Біне.
12.2 Рівняння орбіти. Закони Кеплера.
12.3 Завдання розсіювання.
12.4 Завдання двох тел. Рівняння руху. Інтеграл площ, інтеграл енергії, інтеграл Лапласа.

13. Динаміка систем змінного складу.
13.1 Основні поняття та теореми про зміну основних динамічних величин у системах змінного складу.
13.2. Рух матеріальної точки змінної маси.
13.3. Рівняння руху тіла змінного складу.

14. Теорія імпульсивних рухів.
14.1 Основні поняття та аксіоми теорії імпульсивних рухів.
14.2 Теореми про зміну основних динамічних величин під час імпульсного руху.
14.3 Імпульсивний рух твердого тіла.
14.4 Зіткнення двох твердих тіл.
14.5 Теореми Карно.

15. Контрольна робота

Результати навчання

В результаті освоєння дисципліни учень повинен:

• Знати:
  • основні поняття та теореми механіки та витікаючі з них методи вивчення руху механічних систем;
• Вміти:
  • коректно формулювати завдання у термінах теоретичної механіки;
  • розробляти механіко-математичні моделі, що адекватно відображають основні властивості розглянутих явищ;
  • застосовувати отримані знання на вирішення відповідних конкретних завдань;
• Володіти:
  • навичками вирішення класичних завдань теоретичної механіки та математики;
  • навичками дослідження завдань механіки та побудови механіко-математичних моделей, що адекватно описують різноманітні механічні явища;
  • навичками практичного використання методів та принципів теоретичної механіки при вирішенні завдань: силового розрахунку, визначення кінематичних характеристик тіл за різних способів завдання руху, визначення закону руху матеріальних тіл та механічних систем під дією сил;
  • навичками самостійно опановувати нову інформацію в процесі виробничої та наукової діяльності, використовуючи сучасні освітні та інформаційні технології;

Теоретична механіка– це розділ механіки, у якому викладаються основні закони механічного руху та механічної взаємодії матеріальних тіл.

Теоретична механіка є наукою, у якій вивчаються переміщення тіл із часом (механічні руху). Вона є базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) та багатьох технічних дисциплін.

Механічне рух— це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тел.

Механічне взаємодія- Це така взаємодія, в результаті якої змінюється механічний рух або змінюється взаємне положення частин тіла.

Статика твердого тіла

Статика— це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл та перетворення однієї системи сил на іншу, їй еквівалентну.

Основні поняття та закони статики
• Абсолютно тверде тіло(тверде тіло, тіло) – це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками у якому змінюється.
• Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
• Вільне тіло- Це тіло, на переміщення якого не накладено жодних обмежень.
• Невільне (пов'язане) тіло- Це тіло, на переміщення якого накладені обмеження.
• Зв'язки– це тіла, що перешкоджають переміщенню об'єкта, що розглядається (тіла або системи тіл).
• Реакція зв'язку- Це сила, що характеризує дію зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія прикладена до зв'язку, а реакція зв'язку додається до твердого тіла.
• Механічна система– це сукупність взаємозалежних між собою тіл чи матеріальних точок.
• Тверде тіломожна розглядати як механічну систему, положення та відстань між точками якої не змінюються.
• Сила- Це векторна величина, що характеризує механічну дію одного матеріального тіла на інше.
  Сила як вектор характеризується точкою застосування, напрямом дії та абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили – Ньютон.
• Лінія дії сили- Це пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.
• Зосереджена сила- Сила, прикладена в одній точці.
• Розподілені сили (розподілене навантаження)- Це сили, що діють на всі точки об'єму, поверхні або довжини тіла.
  Розподілене навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
  Розмірність розподіленого навантаження - Н/м3 (Н/м2, Н/м).
• Зовнішня сила– це сила, що діє з боку тіла, що не належить механічній системі, що розглядається.
• Внутрішня сила- Це сила, що діє на матеріальну точку механічної системи з боку іншої матеріальної точки, що належить системі, що розглядається.
• Система сил– це сукупність сил, які діють механічну систему.
• Плоска система сил- Це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
• Просторова система сил- Це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
• Система схожих сил- Це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
• Довільна система сил- Це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
• Еквівалентні системи сил- Це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
  Прийняте позначення: .
• Рівновага- Це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
• Врівноважена система сил- Це система сил, яка додана до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить з рівноваги).
  .
• Рівночинна сила- Це сила, дія якої на тіло еквівалентна дії системи сил.
  .
• Момент сили- Це величина, що характеризує обертову здатність сили.
• Пара сил- Це система двох паралельних рівних по модулю протилежно спрямованих сил.
  Прийняте позначення: .
  Під дією пари сил тіло здійснюватиме обертальний рух.
• Проекція сили на вісь– це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї осі.
  Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
• Проекція сили на площину– це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї площини.
• Закон 1 (закон інерції).Ізольована матеріальна точка перебуває у спокої чи рухається поступово і прямолінійно.
  Рівномірний та прямолінійний рух матеріальної точки є рухом за інерцією. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють як стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існують різні види руху за інерцією, наприклад, рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
• Закон 2.Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили рівні по модулю і направлені в протилежні сторони загальної лініїдії.
  Ці дві сили називаються такими, що врівноважуються.
  Взагалі сили називаються такими, що врівноважуються, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, перебуває в спокої.
• Закон 3.Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати сили, що врівноважуються.
  Слідство. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по лінії дії в будь-яку точку тіла.
  Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
• Закон 4.Равнодіюча двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, що дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована вздовж цієї
  діагоналі.
  По модулю рівнодіюча дорівнює:
  
• Закон 5 (закон рівності дії та протидії). Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і направлені в протилежні сторони по одній прямій.
  Слід мати на увазі, що дія- сила, прикладена до тіла Б, і протидія- сила, прикладена до тіла А, не врівноважуються, тому що вони прикладені до різних тіл.
• Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
  Не слід забувати, що умови рівноваги, які є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
• Закон 7 (закон звільнення від зв'язків).Невільне тверде тіло можна як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.

Зв'язки та їх реакції
• Гладка поверхняобмежує переміщення нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
• Шарнірна рухлива опораобмежує рух тіла по нормалі до опорної площини. Реакція спрямована нормалі до поверхні опори.
• Шарнірна нерухома опорапротидіє будь-якому переміщенню в площині перпендикулярної осі обертання.
• Шарнірний невагомий стриженьпротидіє переміщенню тіла вздовж лінії стрижня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стрижня.
• Глуха закладкапротидіє будь-якому переміщенню та обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових та парою сил з моментом.

Кінематика

Кінематика- Розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Об'єкти, що рухаються, розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

Основні поняття кінематики
• Закон руху точки (тіла)- Це залежність положення точки (тіла) у просторі від часу.
• Траєкторія точки– це геометричне місце положень точки у просторі під час її руху.
• Швидкість точки (тіла)– це характеристика зміни у часі положення точки (тіла) у просторі.
• Прискорення точки (тіла)– це характеристика зміни часу швидкості точки (тіла).

Визначення кінематичних характеристик точки
• Траєкторія точки
  У векторної системивідліку траєкторія описується выражением: .
  У координатній системі відліку траєкторія визначається за законом руху точки та описується виразами z = f(x, y)- у просторі, або y = f(x)– у площині.
  У природній системі відліку траєкторія задається заздалегідь.
• Визначення швидкості точки у векторній системі координат
  При завданні руху точки у векторній системі координат відношення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості цього інтервалі часу: .
  Приймаючи інтервал часу нескінченно малою величиною, набувають значення швидкості в даний момент часу (миттєве значення швидкості): .
  Вектор середньої швидкості спрямований вздовж вектора в бік руху точки, вектор миттєвої швидкостінаправлений по дотичній до траєкторії у бік руху точки.
  Висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідній від закону руху за часом.
  Властивість похідної: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
• Визначення швидкості точки в координатній системі відліку
  Швидкість зміни координат точки:
  .
  Модуль повної швидкості точки при прямокутній системі координат дорівнюватиме:
  .
  Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
  ,
  де - Кути між вектором швидкості і осями координат.
• Визначення швидкості точки у природній системі відліку
  Швидкість точки у природній системі відліку окреслюється похідна від закону руху точки: .
  Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки і в осях визначається лише однією проекцією.

Кінематика твердого тіла
• У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
  1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
  2) визначення кінематичних характеристик точок тіла.
• Поступальний рух твердого тіла
  Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною її початковому положенню.
  Теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.
  Висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
• Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
  Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
  Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2πрадіана.)
  Закон обертального рухутіла навколо нерухомої осі.
  Кутову швидкість та кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання:
  - Кутова швидкість, рад / с;
  - Кутове прискорення, радий/с².
  Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання крапку Зта довільну точку М, то крапка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R. За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань .
  Модуль лінійної швидкості:
  .
  Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими:
  ,
  де .
  У результаті отримуємо формули
  тангенціальне прискорення: ;
  нормальне прискорення: .

Динаміка

Динаміка— це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних тіл залежно від причин, що їх викликають.

Основні поняття динаміки
• Інерційність- це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, поки зовнішні силине змінять цього стану.
• Маса— це кількісний захід інерційності тіла. Одиниця виміру маси — кілограм (кг).
• Матеріальна точка- Це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні цього завдання нехтують.
• Центр мас механічної системи- геометрична точка, координати якої визначаються формулами:
  
  де m k , x k , y k , z k- Маса та координати k-тої точки механічної системи, m- Маса системи.
  У однорідному полі тяжкості становище центру мас збігається із становищем центру тяжкості.
• Момент інерції матеріального тіла щодо осі– це кількісна міра інертності при обертальному русі.
  Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані від осі:
  .
  Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумімоментів інерції всіх точок:
  
• Сила інерції матеріальної точки— це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси точки на модуль прискорення та спрямована протилежно вектору прискорення:
• Сила інерції матеріального тіла- це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно вектору прискорення центру мас:
  де - Прискорення центру мас тіла.
• Елементарний імпульс сили— це векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
  .
  Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
  .
• Елементарна робота сили- це скалярна величина dA, рівна скалярному прої