Відстань між схрещувальними прямими є довжина їхнього загального перпендикуляра (відрізка з кінцями цих прямих і перпендикулярного кожної їх). Поетапно-обчислювальний метод (побудова загального перпендикуляра). b ρ Приклад а
Побудувати площину, що містить одну з прямих і паралельну до другої. Тоді відстань, що шукається, буде дорівнює відстані від якої-небудь точки другої прямої до побудованої площини (на цьому етапі можна використовувати координатний метод) Метод паралельних прямої і площини. Приклад b ρ а α А В shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/
Побудувати площину, перпендикулярну до однієї з даних прямих, і побудувати на цій площині ортогональну проекцію іншої прямої. Метод ортогонального проектування. Приклад b ρ а α А В Н С СВ – проекція b
Якщо AB і CD – ребра трикутної піраміди ABCD, що схрещуються, d – відстань між ними, α – кут між AB і CD, V – обсяг піраміди ABCD, то Опорне завдання. Приклад B C А D Методи знаходження кута між прямими дивись за адресою:
З системи визначити координати, потім знайти Нехай, тоді виконано умову: Визначити координати напрямних векторів та. Векторно – координатний метод. Приклад B C А D Зауваження: для запису координат точок М та К скористатися формулою: М К Якщо АМ: МВ = k, то
У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайти відстань між прямими BD і SA. Рішення: Д. п.: ВІН можна знайти з трикутника АОS методом площ. O А В С D S H OH – загальний перпендикуляр до прямих BD та AS Назад
У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайти відстань між прямими BD і SA. Рішення: (половина діагоналі одиничного квадрата) O А В С D S H Назад
У правильній трикутній призмі ABCA 1 C 1 B 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайти відстань між прямими АA 1 і B 1 C. Рішення: B C C1C1 B1B1 H А А1А1 Д. З трикутника АСН Назад
У правильній усіченій чотирикутній піраміді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами основ рівними 4 і 8 і заввишки 6 знайти відстань між діагоналлю і BD 1 діагоналлю більшої основи AC. Рішення: B А З D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 Д. п.: H (є своєю проекцією на (BB 1 D 1)) Розглянемо рівнобедрену трапецію ВВ 1 D 1 D Назад
У правильній усіченій чотирикутній піраміді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами основ рівними 4 і 8 і заввишки 6 знайти відстань між діагоналлю і BD 1 діагоналлю більшої основи AC. Рішення: BD B1B1 D1D1 O Назад K H У трикутнику ВD 1 K Трикутники BD 1 K і ВОН подібні до двох кутів У трикутнику ВHO
У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба BD 1 і діагоналлю грані AB 1. Рішення: Розглянемо піраміду D 1 AB 1 B. За основу приймемо АВ 1, тоді висота – ВС. (діагональ одиничного квадрата) АС D D1D1 В1В1 З А1А1 В (діагональ одиничного куба) Знайдемо кут між прямими АВ 1 і 1 D 1. Можна використовувати векторно - координатний метод. назад
У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба BD 1 і діагоналлю грані AB 1. Рішення: Введемо прямокутну систему координат А С D
В одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба BD 1 і діагоналлю грані AB 1. Рішення: А D D1D1 В1В1 З А1А1 В Назад
У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба АВ 1 і діагоналлю грані A 1 З 1. Рішення: А D D1D1 В1В1 З А1А1 В Введемо прямокутну систему координат Тоді: Нехай М К Тоді: X Z Y Назад і
У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба АВ 1 і діагоналлю грані A 1 З 1. Рішення: А З D
У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайти відстань між діагоналлю куба АВ 1 та діагоналлю грані A 1 С 1. Рішення: Назад
2) У правильній чотирикутній піраміді MABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими MA і BC. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 і AC 1. Рішення 1) Знайти відстань між діагоналями двох суміжних граней куба, що не перетинаються, довжина ребра якого дорівнює 1.
Розв'язання: Назад Завдання 1) Знайти відстань між непересічними діагоналями двох суміжних граней куба, довжина ребра якого дорівнює 1. А D D1D1 В1В1 З А1А1 В O O1O1 Н Побудуємо ортогональну проекцію прямої АВ 1 на площину (ВВ 1 D .: Знайдемо О 1 Н знайдемо з трикутника В 1 ОО 1
Рішення: А D В С М О Н 2) У правильній чотирикутній піраміді MABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими MA та BC. (трикутник АMD –рівносторонній) Знайдемо кут між прямими АD та НД. Завдання ЗС || AD => "> "> " title="Рішення: А D В С М О Н 2) У правильній чотирикутній піраміді MABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими MA і BC. (трикутник АMD –рівносторонній) Знайдемо кут між прямими АD та НД. Завдання ЗС || AD =>"> title="Рішення: А D В С М О Н 2) У правильній чотирикутній піраміді MABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими MA та BC. (трикутник АMD –рівносторонній) Знайдемо кут між прямими АD та НД. Завдання ЗС || AD =>"> !}
А В З D Рішення: А1А1 С1С1 3) Сторона основи ABC правильної трикутної піраміди ABCD дорівнює, висота піраміди DO = 6. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 та AC 1. Відрізки АС 1 та ВА 1 – ребра трикутної піраміди С 1 АВА 1 (опорне завдання). 5) Об'єм піраміди з основою ВА 1 А? 4) Відстань від точки С1 до площини (BDA) (висота піраміди)? 6) ρ(ВА 1 ;АС 1)? 1) Довжини ребер ВА 1 та АС 1 ? 2) Синус кута між прямими ВА 1 та АС 1 ? 3) Площа основи піраміди – ВА 1 А? O Завдання
A 3) Сторона основи ABC правильної трикутної піраміди ABCD дорівнює, висота піраміди DO=6. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 і AC 1. Рішення: O А D А1А1 X Z Y х СхС 1) Введемо прямокутну систему координат Тоді: хDхD Знайдемо координати точок С і D B X Y O C H (властивість медіан трикутника) хDхD х СхС С B С1С1
Сторона основи ABC правильної трикутної піраміди ABCD дорівнює висота піраміди DO=6. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 і AC 1. Рішення: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (середини СD і АD) Визначимо координати напрямних векторів Завдання
Сторона основи ABC правильної трикутної піраміди ABCD дорівнює висота піраміди DO=6. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 та AC 1. Рішення: 4) Знайдемо відстань від точки С 1 до площини (BDA) (висота піраміди). Виведемо рівняння площини (ЕFP) Завдання
А В З D Рішення: А1А1 С1С1 3) Сторона основи ABC правильної трикутної піраміди ABCD дорівнює, висота піраміди DO = 6. Точки A 1, C 1 – середини ребер AD та CD відповідно. Знайдіть відстань між прямими BA 1 та AC 1. 5) Знайдемо об'єм піраміди з основою ВА 1 А? O Завдання
Під час створення презентації використано посібник:
Відстань між прямими в просторі Відстанню між двома прямими, що схрещуються, в просторі називається довжина загального перпендикуляра, проведеного до цих прямим. Якщо одна з двох прямих, що схрещуються, лежить у площині, а інша – паралельна цій площині, то відстань між даними прямими дорівнює відстані між прямою і площиною. Якщо дві схрещувальні прямі лежать у паралельних площинах, то відстань між цими прямими дорівнює відстані між паралельними площинами.
Куб 1 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та BC. Відповідь: 1.
Куб 2 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та CD. Відповідь: 1.
Куб 3 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і B 1 C 1. Відповідь: 1.
Куб 4 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і C 1 D 1. Відповідь: 1.
Куб 5 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та BC 1. Відповідь: 1.
Куб 6 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і B 1 C. Відповідь: 1.
Куб 7 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і CD 1. Відповідь: 1.
Куб 8 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та DC 1. Відповідь: 1.
Куб 9 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і CC 1. Відповідь:
Куб 10 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та BD. Рішення. Нехай O – середина BD. Шуканою відстанню є довжина відрізка AO. Вона дорівнює Відповідь:
Куб 11 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і B 1 D 1. Відповідь:
Куб 12 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 та BD 1. Рішення. Нехай P, Q – середини AA 1, BD 1. Шуканою відстанню є довжина відрізка PQ. Вона дорівнює Відповідь:
Куб 13 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AA 1 і BD 1. Відповідь:
Куб 14 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань прямими AB 1 та CD 1. Відповідь: 1.
Куб 15 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AB 1 та BC 1. Рішення. Відстань, що шукається, дорівнює відстані між паралельними площинами AB 1 D 1 і BDC 1. Діагональ A 1 C перпендикулярна цим площинам і ділиться в точках перетину на три рівні частини. Отже, відстань, що шукається, дорівнює довжині відрізка EF і дорівнює Відповідь:
Куб 16 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AB 1 і A 1 C 1. Рішення аналогічне попередньому. Відповідь:
Куб 17 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AB 1 та BD. Рішення аналогічне попередньому. Відповідь:
Куб 18 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань прямими AB 1 та BD 1. Рішення. Діагональ BD 1 перпендикулярна площині рівностороннього трикутника ACB 1 і перетинає його в центрі P вписаного в нього кола. Шукана відстань дорівнює радіусу OP цього кола. OP = Відповідь:
Піраміда 1 У поодинокому тетраедрі ABCD знайдіть відстань між прямими AD та BC. Рішення. Шукана відстань дорівнює довжині відрізка EF, де E, F – середини ребер AD, GF. У трикутнику DAG DA = 1, AG = DG = Відповідь: Отже, EF =
Піраміда 2 У правильній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими AB та CD. Відповідь: 1.
Піраміда 3 У правильній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими SA та BD. Рішення. Відстань, що шукає, дорівнює висоті OH трикутника SAO, де O - середина BD. У прямокутному трикутнику SAO маємо: SA = 1, AO = SO = Відповідь: Отже, OH =
Піраміда 4 У правильній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими SA та BC. Рішення. Площина SAD паралельна до прямої BC. Отже, відстань, що шукається, дорівнює відстані між прямою BC і площиною SAD. Воно дорівнює висоті EH трикутника SEF, де E, F – середини ребер BC, AD. У трикутнику SEF маємо: EF = 1, SE = SF = Висота SO дорівнює Отже, EH = Відповідь:
Піраміда 5 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, ребра основи якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими AB і DE. Відповідь:
Піраміда 6 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, бічні ребра якої дорівнюють 2, а ребра основи – 1, знайдіть відстань між прямими SA та BC. Рішення: Продовжимо ребра BC і AF до перетину в точці G. Загальним перпендикуляром SA і BC буде висота AH трикутника ABG. Вона дорівнює Відповідь:
Піраміда 7 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, бічні ребра якої дорівнюють 2, а ребра основи – 1, знайдіть відстань між прямими SA та BF. Рішення: Шуканою відстанню є висота GH трикутника SAG, де G – точка перетину BF та AD. У трикутнику SAG маємо: SA = 2, AG = 0, 5, висота SO дорівнює Звідси знаходимо GH = Відповідь:
Піраміда 8 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, бічні ребра якої дорівнюють 2, а ребра основи – 1, знайдіть відстань між прямими SA та CE. Рішення: Шуканою відстанню є висота GH трикутника SAG, де G – точка перетину CE та AD. У трикутнику SAG маємо: SA = 2, AG = , висота SO дорівнює Звідси знаходимо GH = Відповідь:
Піраміда 9 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, бічні ребра якої дорівнюють 2, а ребра основи – 1, знайдіть відстань між прямими SA та BD. Рішення: Пряма BD паралельна площині SAE. Відстань, що шукається, дорівнює відстані між прямою BD і цією площиною і дорівнює висоті PH трикутника SPQ. У цьому трикутнику висота SO дорівнює PQ = 1, SP = SQ = Звідси знаходимо PH = Відповідь:
Піраміда 10 У правильній 6-ій піраміді SABCDEF, бічні ребра якої дорівнюють 2, а ребра основи – 1, знайдіть відстань між прямими SA та BG, де G – середина ребра SC. Рішення: Через точку G проведемо пряму, паралельну SA. Позначимо точку Q її перетину з прямою AC. Шукана відстань дорівнює висоті QH прямокутного трикутника ASQ, в якому AS = 2, AQ = , SQ = Звідси знаходимо QH = Відповідь: .
Призма 1 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: BC і B 1 C 1. Відповідь: 1.
Призма 2 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 та BC. Відповідь:
Призма 3 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і BC 1. Відповідь:
Призма 4 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та A 1 C 1. Відповідь: 1.
Призма 5 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB і A 1 C. Рішення: Шукана відстань дорівнює відстані між прямою AB і площиною A 1 B 1 C. D 1 середини ребер AB і A 1 B 1. У прямокутному трикутнику CDD 1 із вершини D проведемо висоту DE. Вона і буде шуканою відстанню. Маємо, DD 1 = 1, CD = Відповідь: Отже, DE = CD 1 = .
Призма 6 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB 1 і BC 1. Рішення: Добудуємо призму до 4-х вугільної призми. Шукана відстань дорівнює відстані між паралельними площинами AB 1 D 1 і BDC 1. Вона дорівнює висоті OH прямокутного трикутника AOO 1, в якому Відповідь. Ця висота дорівнює
Призма 7 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та A 1 B 1. Відповідь: 1.
Призма 8 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та B 1 C 1. Відповідь: 1.
Призма 9 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та C 1 D 1. Відповідь: 1.
Призма 10 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та DE. Відповідь: .
Призма 11 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB та D 1 E 1. Відповідь: 2.
Призма 12 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 та CC 1. Відповідь: .
Призма 13 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 та DD 1. Відповідь: 2.
Призма 14 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і B 1 C 1. Рішення: Продовжимо сторони B 1 C 1 та A 1 F 1 до перетину в точці G. Трикутник A1B1G рівносторонній. Його висота A 1 H є загальним шуканим перпендикуляром. Його довжина дорівнює. Відповідь: .
Призма 15 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і C 1 D 1. Рішення: Потрібним загальним перпендикуляром є відрізок A 1 C 1. Його довжина дорівнює. Відповідь: .
Призма 16 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і BC 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між паралельними площинами ADD 1 і BCC 1. Воно рівне. Відповідь: .
Призма 17 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і CD 1. Рішення: Потрібним загальним перпендикуляром є відрізок AC. Його довжина дорівнює. Відповідь: .
Призма 18 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і DE 1. Рішення: Потрібним загальним перпендикуляром є відрізок A 1 E 1. Його довжина дорівнює. Відповідь: .
Призма 19 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і BD 1. Рішення: Потрібним загальним перпендикуляром є відрізок AB. Його довжина дорівнює 1. Відповідь: 1.
Призма 20 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і CE 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між прямою AA 1 і площиною CEE 1. Воно дорівнює. Відповідь: .
Призма 21 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і BE 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між прямою AA 1 і площиною BEE 1. Воно рівне. Відповідь: .
Призма 22 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AA 1 і CF 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між прямою AA 1 і площиною CFF 1. Вона дорівнює. Відповідь: .
Призма 23 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими: AB 1 і DE 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між паралельними площинами ABB 1 і DEE 1. Відстань між ними дорівнює. Відповідь: .
Призма 24 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими: AB 1 і CF 1. Рішення: Шуканою відстанню є відстань між прямою AB 1 і площиною CFF 1. Воно рівне. Відповідь:
Призма 25 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB 1 і BC 1. Рішення: Нехай O, O 1 –центри граней призми. Площини AB 1 O 1 і BC 1 O паралельні. Площина ACC 1 A 1 перпендикулярна до цих площин. Шукана відстань d дорівнює відстані між прямими AG 1 і GC 1. У паралелограмі AGC 1 G 1 маємо AG = Відповідь: ; AG 1 = Висота, проведена до сторони AA 1, дорівнює 1. Отже, d= . .
Призма 26 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB 1 і BD 1. Рішення: Розглянемо площину A 1 B 1 HG, перпендикулярну до BD 1. Ортогональна проекціяна цю площину переводить пряму BD 1 у точку H, а пряму AB 1 – у пряму GB 1. Отже відстань шукана d дорівнює відстані від точки H до прямої GB 1. У прямокутному трикутнику GHB 1 маємо GH = 1; Відповідь: B 1 H = . Отже, d = .
Призма 27 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими: AB 1 і BE 1. Рішення: Розглянемо площину A 1 BDE 1, перпендикулярну до AB 1. Ортогональна проекція на цю площину перекладає пряму AB 1 точку G, а пряму BE 1 залишає на місці. Отже відстань d, що шукається, дорівнює відстані GH від точки G до прямої BE 1. У прямокутному трикутнику A 1 BE 1 маємо A 1 B = ; A 1 E 1 =. Відповідь: Отже, d = .
У цій статті на прикладі розв'язання задачі C2 з ЄДІ розібрано спосіб знаходження за допомогою методу координат. Нагадаємо, що прямі є схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Зокрема, якщо одна пряма лежить у площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, такі прямі є схрещуються (див. малюнок).
Для знаходження відстані між прямими схрещуютьсянеобхідно:
- Провести через одну з прямих площину, що схрещуються, яка паралельна іншій прямій, що схрещується.
- Опустити перпендикуляр із будь-якої точки другої прямої на отриману площину. Довжина цього перпендикуляра буде шуканою відстанню між прямими.
Розберемо даний алгоритм докладніше з прикладу розв'язання задачі C2 з ЄДІ з математики.
Відстань між прямими у просторі
Завдання.У одиничному кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть відстань між прямими BA 1 та DB 1 .
Мал. 1. Креслення до завдання
Рішення.Через середину діагоналі куба DB 1 (точку O) проведемо пряму, паралельну до прямої A 1 B. Точки перетину даної прямої з ребрами BCі A 1 D 1 позначаємо відповідно Nі M. Пряма MNлежить у площині MNB 1 і паралельна прямий A 1 Bяка в цій площині не лежить. Це означає, що пряма A 1 Bпаралельна площині MNB 1 за ознакою паралельності прямої та площини (рис. 2).
Мал. 2. Шукана відстань між прямими, що схрещуються, дорівнює відстані від будь-якої точки виділеної прямої до зображеної площини
Шукаємо тепер відстань від якоїсь точки прямої A 1 Bдо площини MNB 1 . Ця відстань за визначенням буде шуканою відстанню між прямими, що схрещуються.
Для знаходження цієї відстані скористаємося методом координат. Введемо прямокутну декартову систему координат таким чином, щоб її початок збігся з точкою B, вісь Xбула спрямована вздовж ребра BAвісь Y- вздовж ребра BCвісь Z- вздовж ребра BB 1 (рис. 3).
Мал. 3. Прямокутну декартову систему координат виберемо так, як показано на малюнку
Знаходимо рівняння площини MNB 1 у цій системі координат. Для цього визначаємо спершу координати точок M, Nі B 1: 
Отримані координати підставляємо в загальне рівнянняпрямий та отримуємо наступну систему рівнянь:
З другого рівняння системи отримуємо з третього отримуємо після чого з першого отримуємо Підставляємо отримані значення у загальне рівняння прямої:
Помічаємо, що інакше площина MNB 1 проходила через початок координат. Ділимо обидві частини цього рівняння і отримуємо:
Відстань від точки до площини визначається за такою формулою.
Серед величезної кількості стереометричних завдань у підручниках геометрії, у різних збірниках завдань, посібниках з підготовки до ВНЗ вкрай рідко зустрічаються завдання на знаходження відстані між прямими схрещуються. Можливо, це обумовлено як вузькістю їх практичного застосування (щодо шкільної програми, на відміну від "виграшних" завдань на обчислення площ та обсягів), так і складністю цієї теми.
Практика проведення ЄДІпоказує, що багато учнів взагалі не приступають до виконання завдань з геометрії, що входять до екзаменаційної роботи. Для забезпечення успішного виконання геометричних завдань підвищеного рівня складності необхідно розвивати гнучкість мислення, здатність аналізувати передбачувану конфігурацію та вичленяти в ній частини, розгляд яких дозволяє знайти шлях вирішення задачі.
Шкільний курс передбачає вивчення чотирьох способів розв'язання задач на знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Вибір методу обумовлений, насамперед, особливостями конкретної завдання, наданими нею можливостями вибору, і, у другу чергу, здібностями і особливостями " просторового мислення " конкретного учня. Кожен із цих способів дозволяє вирішити найголовнішу частину завдання - побудова відрізка, перпендикулярного обом схрещуваним прямим (для обчислювальної частини завдань поділ на способи не потрібно).
Основні способи вирішення завдань на знаходження відстані між прямими схрещуються
Знаходження довжини загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються, тобто. відрізка з кінцями цих прямих і перпендикулярного кожної з цих прямих.
Знаходження відстані від однієї з прямих, що схрещуються, до паралельної їй площині, що проходить через іншу пряму.
Знаходження відстані між двома паралельними площинами, що проходять через задані прямі, що схрещуються.
Знаходження відстані від точки, що є проекцією однієї з прямих, що схрещуються, на перпендикулярну їй площину (так званий "екран") до проекції іншої прямої на ту ж саму площину.
Проведемо демонстрацію всіх чотирьох способів на наступній найпростішій задачі: "У кубі з рубом азнайти відстань між будь-яким рубом і діагоналлю не перетинає його грані". Відповідь: .
Малюнок 1
h скр перпендикулярна площині бічної грані, що містить діагональ dі перпендикулярна ребру, отже, h скрі є відстанню між рубом ата діагоналлю d.
Малюнок 2
Площина A паралельна ребру і проходить через дану діагональ, отже, дана h скрє не тільки відстанню від ребра до площини A, але й відстанню від ребра до даної діагоналі.
Малюнок 3
Площини A і B паралельні і проходять через дві дані прямі, що схрещуються, отже, відстань між цими площинами дорівнює відстані між двома схрещуються прямими.
Малюнок 4
Площина A перпендикулярна до ребра куба. При проекції на діагоналі A dдана діагональ перетворюється на одну зі сторін основи куба. Дана h скрє відстанню між прямою, що містить ребро, і проекцією діагоналі на площину C, а значить і між прямою, що містить ребро, і діагоналлю.
Зупинимося докладніше на застосуванні кожного способу для багатогранників, що вивчаються в школі.
Застосування першого способу досить обмежене: він добре застосовується лише в деяких завданнях, так як досить складно визначити і обґрунтувати в найпростіших завданнях точне, а в складних - орієнтовне місце розташування загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються. Крім того, при знаходженні довжини цього перпендикуляра у складних завданнях можна зіткнутися з непереборними труднощами.
Завдання 1. У прямокутному паралелепіпеді з розмірами a, b, hзнайти відстань між бічним ребром і діагоналлю основи, що не перетинається з ним.
Малюнок 5
Нехай AHBD. Оскільки А 1 А перпендикулярна площині АВСD , то А 1 А AH.
AH перпендикулярна обом з двох прямих, що схрещуються, отже AH?- відстань між прямими А 1 А і BD. У прямокутному трикутнику ABD, знаючи довжини катетів AB і AD, знаходимо висоту AH, використовуючи формули для обчислення площі прямокутного трикутника. Відповідь: 
Завдання 2. У правильній 4-кутній піраміді з боковим ребром Lта стороною заснування aзнайти відстань між апофемою та стороною основи, що перетинає бічну грань, що містить цю апофему.
Малюнок 6
SHCD як апофема, ADCD, оскільки ABCD – квадрат. Отже, DH - відстань між прямими SH та AD. DH дорівнює половині сторони CD. Відповідь:
Застосування цього способу також обмежено у зв'язку з тим, що якщо можна швидко побудувати (або знайти вже готову) проходить через одну з прямих площину, що схрещуються, паралельну іншій прямій, то потім побудова перпендикуляра з будь-якої точки другої прямої до цієї площини (всередині багатогранника) викликає Проблеми. Однак у нескладних завданнях, де побудова (або відшукування) зазначеного перпендикуляра труднощів не викликає, цей спосіб є найшвидшим і найлегшим, і тому доступний.
Завдання 2. Вирішення зазначеної вище завдання даним способом особливих труднощів не викликає.
Малюнок 7
Площина EFM паралельна до прямої AD, т. до AD || EF. Пряма MF лежить у цій площині, отже відстань між прямою AD і площиною EFM дорівнює відстані між прямою AD і прямий MF. Проведемо OHAD. OHEF, OHMO, отже, OH(EFM), отже, OH - відстань між прямий AD і площиною EFM, отже, і відстань між прямий AD і прямий MF. Знаходимо OH із трикутника AOD.
Завдання 3. У прямокутному паралелепіпеді з розмірами a,bі hзнайти відстань між бічним ребром і діагоналлю паралелепіпеда, що не перетинається з ним.
Малюнок 8
Пряма AA 1 паралельна площині BB 1 D 1 D, B 1 D належить цій площині, отже відстань від AA 1 до площини BB 1 D 1 D дорівнює відстані між прямими AA 1 і B 1 D. Проведемо AHBD. Також, AH B 1 B, отже AH(BB 1 D 1 D), отже AHB 1 D, тобто AH - відстань, що шукається. Знаходимо AH із прямокутного трикутника ABD.
Відповідь: 
Задача 4. У правильній шестикутній призмі A:F 1 з висотою hта стороною заснування aзнайти відстань між прямими:
Малюнок 9 Малюнок 10
а) AA 1 та ED 1 .
Розглянемо площину E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , отже
A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Також A 1 E 1 AA 1 . Отже, A 1 E 1 є відстанню від прямої AA 1 до площини E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1)., отже AE 1 - відстань від прямої AA 1 до прямої ED 1 . Знаходимо A 1 E 1 із трикутника F 1 A 1 E 1 за теоремою косінусів. Відповідь:
б) AF та діагоналлю BE 1 .
Проведемо з точки F пряму FH перпендикулярно до BE. EE 1 FH, FHBE, отже FH(BEE 1 B 1), отже FH є відстанню між прямою AF і (BEE 1 B 1), а значить і відстанню між прямою AF і діагоналлю BE 1 . Відповідь:
СПОСІБ III
Застосування цього способу вкрай обмежене, так як площину, паралельну одній з прямих (спосіб II) будувати легше, ніж дві паралельні площини, однак спосіб III можна використовувати в призмах, якщо прямі, що схрещуються, належать паралельним граням, а також у тих випадках, коли в багатограннику Нескладно побудувати паралельні перерізи, що містять задані прямі.
Завдання 4.
Малюнок 11
а) Площини BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 паралельні, оскільки AB | ED та AA 1 || EE 1 . ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1), отже, відстань між прямими AA 1 і ED 1 дорівнює відстані між площинами BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 . A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , отже, A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Аналогічно доводимо, що A1E1 (DEE1D1). Т.ч., A 1 E 1 є відстанню між площинами BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 а отже, і між прямими AA 1 і ED 1 . Знаходимо A 1 E 1 із трикутника A 1 F 1 E 1 , який є рівнобедреним з кутом A 1 F 1 E 1 , рівним. Відповідь:
Малюнок 12
б) Відстань між AF та діагоналлю BE 1 знаходиться аналогічно.
Завдання 5. У кубі з ребром азнайти відстань між двома непересічними діагоналями двох суміжних граней.
Ця задача розглядається як класична в деяких посібниках, але, як правило, її рішення дається способом IV, проте є цілком доступним для вирішення за допомогою способу III.
Малюнок 13
Деяку труднощі у цій задачі викликає доказ перпендикулярності діагоналі A 1 C обох паралельних площин (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 і BC 1 A 1 B 1 , отже, пряма BC 1 перпендикулярна площині A 1 B 1 C, а отже, BC 1 A 1 C. Також, A 1 CBD. Отже, пряма A 1 C перпендикулярна площині BC 1 D. Обчислювальна частина завдання особливих труднощів не викликає, так як h скр= EF знаходиться як різниця між діагоналлю куба та висотами двох однакових правильних пірамід A 1 AB 1 D 1 та CC 1 BD.
СПОСІБ IV.
Цей спосіб має досить широке застосування. Для завдань середньої та підвищеної складності його можна вважати основним. Немає необхідності застосовувати його тільки тоді, коли один із трьох попередніх способів працює простіше і швидше, тому що в таких випадках спосіб IV може лише ускладнити вирішення завдання, або зробити його важкодоступним. Даний спосіб дуже вигідно використовувати у разі перпендикулярності прямих, що схрещуються, так як немає необхідності побудови проекції однієї з прямих на "екран"
L та стороною основи a.
Малюнок 16
У цій та аналогічних їй завданнях спосіб IV швидше за інших способів призводить до вирішення, так як побудувавши перетин, що грає роль "екрана", перпендикулярно AC (трикутник BDM), видно, що далі немає необхідності будувати проекцію інший прямий (BM) на цей екран. DH - відстань, що шукається. DH знаходимо із трикутника MDB, використовуючи формули площі. Відповідь: 
.