Нехай маємо поверхню, задану рівнянням виду
Введемо таке визначення.
Визначення 1. Пряма лінія називається дотичною до поверхні в деякій точці, якщо вона є
дотичної до будь-якої кривої, що лежить на поверхні і проходить через точку .
Так як через точку Р проходить нескінченна кількість різних кривих, що лежать на поверхні, то і дотичних до поверхні, що проходять через цю точку, буде, взагалі кажучи, безліч.
Введемо поняття про особливі та звичайні точки поверхні
Якщо у точці всі три похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з цих похідних не існує, то точка М називається особливою точкою поверхні. Якщо в точці всі три похідні існують і безперервні, причому хоча одна з них відмінна від нуля, то точка М називається звичайною точкою поверхні.
Тепер ми можемо сформулювати таку теорему.
Теорема. Усі дотичні прямі до цієї поверхні (1) у її звичайній точці Р лежать у одній площині.
Доведення. Розглянемо на поверхні деяку лінію L (рис. 206), що проходить через цю точку Р поверхні. Нехай крива, що розглядається, задана параметричними рівняннями
Стосовна до кривої буде дотичною до поверхні. Рівняння цієї дотичної мають вигляд
Якщо вирази (2) підставити рівняння (1), це рівняння перетвориться на тотожність щодо t, оскільки крива (2) лежить на поверхні (1). Диференціюючи його по отримаємо
Проекції цього вектора залежать від координат точки Р; зауважимо, що оскільки точка Р звичайна, то ці проекції в точці Р одночасно не звертаються в нуль і тому
дотичний до кривої, що проходить через точку Р і лежить на поверхні. Проекції цього вектора обчислюються виходячи з рівнянь (2) при значенні параметра t, відповідному точці Р.
Обчислимо скалярний добуток векторів N і який дорівнює сумі творів однойменних проекцій:
На підставі рівності (3) вираз, що стоїть у правій частині, дорівнює нулю, отже,
З останньої рівності випливає, що вектор ЛГ та дотичний вектор до кривої (2) у точці Р перпендикулярні. Проведене міркування справедливо для будь-якої кривої (2), що проходить через точку Р і лежить на поверхні. Отже, кожна дотична до поверхні в точці Р перпендикулярна до одного й тому вектору N і тому всі ці дотичні лежать в одній площині, перпендикулярної до вектора ЛГ. Теорему доведено.
Визначення 2. Площина, в якій розташовані всі дотичні до ліній на поверхні, що проходять через дану її точку Р, називається дотичною площиною до поверхні в точці Р (рис. 207).
Зауважимо, що в спеціальних точках поверхні може не існувати дотичної поверхні. У таких точках дотичні прямі поверхні можуть не лежати в одній площині. Так, наприклад, вершина конічної поверхні є особливою точкою.
Щодо конічної поверхні в цій точці не лежать в одній площині (вони самі утворюють конічну поверхню).
Напишемо рівняння дотичної площини до поверхні (1) у звичайній точці. Так як ця площина перпендикулярна вектору (4), то, отже, її рівняння має вигляд
Якщо рівняння поверхні задано у формі або рівняння дотичної площини в цьому випадку набуде вигляду
Зауваження. Якщо у формулі (6) покладемо , то ця формула набуде вигляду
її права частина є повний диференціал функції. Отже, . Таким чином, повний диференціал функції двох змінних у точці, що відповідає прирощенням незалежних змінних х і у, дорівнює відповідному прирощенню аплікати дотичної площини до поверхні, яка є графіком даної функції.
Визначення 3. Пряма, проведена через точку поверхні (1) перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні (рис. 207).
Напишемо рівняння нормалі. Так як її напрямок збігається з напрямком вектора N, то її рівняння матимуть вигляд
Графіком функції 2-х змінних z = f(x,y) є поверхня, що проектується на площину XOY область визначення функції D.
Розглянемо поверхню σ
, задану рівнянням z = f(x,y) , де f(x,y) - функція, що диференціюється, і нехай M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - фіксована точка на поверхні σ , тобто. z 0 = f (x 0, y 0). Призначення. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні. Рішення оформляється у форматі Word. Якщо необхідно знайти рівняння до кривої (y = f(x)), то необхідно використовувати даний сервіс .
Правила введення функцій:
Правила введення функцій:
- Усі змінні виражаються через x,y,z
Стосовною площиною до поверхні σ
у її точці М 0 називається площина, в якій лежать дотичні до всіх кривих, проведених на поверхні σ
через точку М 0 .
Рівняння дотичної площини до поверхні, заданої рівнянням z = f(x,y) , у точці M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) має вигляд:
z - z 0 = f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f 'y (x 0, y 0) (y - y 0)
Вектор називається вектор нормалі до поверхні σ у точці М 0 . Вектор нормалі перпендикулярний дотичній площині.
Нормаллю до поверхні σ у точці М 0 називається пряма, яка проходить через цю точку і має напрямок вектора N.
Канонічні рівняння нормалі до поверхні, заданої рівнянням z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), де z 0 = f(x 0 ,y 0), мають вигляд:
Приклад №1. Поверхня задана рівнянням x3+5y. Знайти рівняння дотичної площини поверхні в точці M 0 (0;1).
Рішення. Запишемо рівняння дотичної в загальному вигляді: z - z 0 = f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
За умовою задачі x 0 = 0 , y 0 = 1 тоді z 0 = 5
Знайдемо похідні функції z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
У точці М 0 (0,1) значення приватних похідних:
f" x (0; 1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М 0: z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) або -5 y + z = 0
Приклад №2. Поверхня задана неявно y 2 -1/2*x 3 -8z. Знайти рівняння дотичної площини поверхні в точці M 0 (1;0;1).
Рішення. Знаходимо приватні похідні функції. Оскільки функція задана в неявному вигляді, похідні шукаємо за формулою: 
Для нашої функції:
Тоді: 
У точці М 0 (1,0,1) значення приватних похідних:
f" x (1; 0; 1) = -3 / 16
f" y (1; 0; 1) = 0
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) або 3 / 16 x + z - 19 / 16 = 0
Приклад. Поверхня σ
задана рівнянням z= y/x + xy – 5x 3 . Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні σ
у точці М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), що належить їй, якщо x 0 = –1, y 0 = 2.
Знайдемо приватні похідні функції z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’( x,y) = (y/x + xy – 5x 3) x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ’ ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3) 'y = 1/x + x.
Крапка М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) належить поверхні σ
тому можна обчислити z 0 , підставивши задані x 0 = -1 і y 0 = 2 у рівняння поверхні:
z= y/x + xy – 5x 3
z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.У точці М 0 (–1, 2, 1) значення приватних похідних:
f x ’( М 0) = -1/(-1) 2 + 2 - 15 (-1) 2 = -15; f y ’( М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Користуючись формулою (5), отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні. σ у точці М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y+ 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Користуючись формулою (6), отримуємо канонічні рівняння нормалі до поверхні. σ у точці М 0:
.
Відповіді: рівняння дотичної площини: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; рівняння нормалі:
.
Приклад №1. Дана функція z = f (x, y) і дві точки А (х 0, y 0) і (х 1, y 1). Потрібно: 1) обчислити значення z 1 функції у точці; 2) обчислити наближене значення z 1 функції в точці, виходячи зі значення z 0 функції в точці А, замінивши збільшення функції при переході від точки А до точки В диференціалом; 3) скласти рівняння дотичної площини до поверхні z = f(x,y) у точці C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Рішення.
Запишемо рівняння дотичної у загальному вигляді:
z - z 0 = f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
За умовою задачі x 0 = 1, y 0 = 2, тоді z 0 = 25
Знайдемо приватні похідні функції z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" x = 2 x +3 y 3
f" x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" y = 9 x y 2
У точці М 0 (1,2) значення приватних похідних:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної поверхні до поверхні в точці М 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
або
-26 x-36 y+z+73 = 0
Приклад №2. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до еліптичного параболоїда z = 2x 2 + y 2 у точці (1;-1;3).
Зокрема, про те, що ви бачите в заголовку. Фактично, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичноїі нормалідо графіка функції однієї змінної, і тому жодних труднощів виникнути не повинно.
Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площина і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато хто усвідомлює ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що спадає на думку – це куля, на якій лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери та стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці торкання вона закріплена голкою, що стирчить строго вгору.
Теоретично існує досить дотепне визначення дотичної площині. Уявіть довільну поверхняі точку, що їй належить. Очевидно, що через точку проходить багато просторових лінійякі належать даній поверхні. У кого які асоціації? =) … особисто я представив восьминога. Припустимо, що кожна така лінія існує просторова дотичнау точці.
Визначення 1: дотична площинадо поверхні у точці – це площина, Що містить дотичні до всіх кривих, які належать даній поверхні і проходять через точку .
Визначення 2: нормальдо поверхні у точці – це пряма, що проходить через цю точку перпендикулярно дотичній площині.
Просто та витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріжку різних визначень.
З робочими формулами та алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:
Приклад 1
Рішення:якщо поверхня задана рівнянням (тобто неявно), то рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:
Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні. не слід плутатиз приватними похідними неявно заданої функції (хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних слід керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, тобто, при диференціюванні по будь-якій змінній, дві інші літери вважаються константами:
Не відходячи від каси, знайдемо похідну в точці:
Аналогічно: 
Це був найнеприємніший момент вирішення, в якому помилка якщо не допускається, то завжди мерехтить. Тим не менш, тут існує ефективний прийом перевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямом та градієнт.
Усі «інгредієнти» знайдені і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями: 
– загальне рівнянняшуканої дотичної площини.
Настійно рекомендую проконтролювати цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки дотику справді задовольняють знайденому рівнянню: 
- Правильна рівність.
Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівняння площини і перевіряємо їх щодо збігу чи пропорційності з відповідними значеннями . У разі пропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалідотичної площини, і він же – напрямний векторнормальної прямої. Складемо канонічні рівняннянормалі по точці і напрямному вектору: 
В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої потреби в цьому немає
Відповідь:
Рівняння можна позначити якими-небудь літерами, однак, знову ж таки – навіщо? Тут і так цілком зрозуміло, що до чого.
Наступні два приклади самостійного рішення. Невелика «математична скоромовка»:
Приклад 2
Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.
І завдання, цікаве з технічного погляду:
Приклад 3
Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці
У точці.
Тут є всі шанси не тільки заплутатися, а й зіткнутися з труднощами під час запису канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, мабуть, зрозуміли, заведено записувати саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметрична форма.
Зразки чистового оформлення рішень наприкінці уроку.
У будь-якій точці поверхні існує дотична площина? Загалом, звичайно, ні. Класичний приклад – це конічна поверхня 
і точка - дотичні у цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхню, і, зрозуміло, не лежать в одній площині. У негараздах легко переконатися і аналітично: .
Іншим джерелом проблем є факт неіснуваннябудь-якої приватної похідної в точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної площини.
Але то була, скоріше, науково-популярна, ніж практично значуща інформація, і ми повертаємося до справ насущних:
Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі в точці,
якщо поверхня задана явною функцією?
Перепишемо її в неявному вигляді:
І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні: 
Таким чином, формула дотичної площини трансформується у наступне рівняння:
І, відповідно, канонічні рівняння нормалі:
Як неважко здогадатися, 
– це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінниху точці , які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100 500 разів.
Зауважте, що у цій статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої у разі потреби легко вивести все інше (зрозуміло, маючи базовий рівень підготовки). Саме такий підхід слід використовувати під час вивчення точних наук, тобто. з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків та наслідків. «Розумів» і вже наявні знання на допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує критичної ситуації, коли ви знаєте дуже мало.
Відпрацюємо «модифіковані» формули кількома прикладами:
Приклад 4
Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні 
у точці.
Невелика тут накладка вийшла з позначеннями – тепер буква позначає точку площини, але що вдієш – така вже популярна буква….
Рішення: рівняння шуканої дотичної площини складемо за формулою:
Обчислимо значення функції в точці:
Обчислимо приватні похідні 1-го порядкуу цій точці: 
Таким чином:
акуратно, не поспішаємо: 
Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці: 
Відповідь:
І заключний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 5
Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.
Останній – тому, що практично всі технічні моменти я роз'яснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, похмурі й одноманітні – майже гарантовано на практиці вам попадеться «багаточлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає «білою вороною». До речі, набагато вірогідніше зустріти поверхню, задану рівнянням, і це ще одна причина, через яку функція увійшла до статті «другим номером».
І насамкінець обіцяний секрет: як же уникнути зубріння визначень? (я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрить перед іспитом)
Визначення будь-якого поняття/явлення/об'єкта насамперед дає відповідь на наступне запитання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (хто/така/ такий/такі). Усвідомленовідповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити суттєвіознаки, однозначноідентифікують те чи інше поняття/явище/об'єкт. Так, спочатку це виходить дещо недорого, неточно і надмірно (виклад поправить =)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.
Потренуйтесь на абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на запитання: хто такий Чебурашка? Не так все просто;-) Це «казковий персонаж з великими вухами, очима та коричневою вовною»? Далеко і дуже далеко від визначення – чи мало персонажів з такими характеристиками…. А ось це вже набагато ближче до визначення: "Чебурашка - це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським в 1966 р, який ... (перерахування основних відмінних ознак)". Зверніть увагу, як грамотно розпочато
1°1°. Рівняння дотичної площини та нормалі для випадку явного завдання поверхні.
Розглянемо один із геометричних додатків приватних похідних функції двох змінних. Нехай функція z = f (x;y)диференційована в точці (x 0; у 0)деякої області DÎ R 2. Розсічемо поверхню S ,зображуючу функцію z,площинами х = х 0і у = у 0(Рис. 11).
Площина х = x 0перетинає поверхню Sпо деякій лінії z 0 (y),рівняння якої виходить підстановкою у вираз вихідної функції z ==f (x;y)замість хчисла x0.Крапка M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))належить кривою z 0 (y).В силу функції, що диференціюється zу точці М 0функція z 0 (y)також є диференційованою в точці у = 0 .Отже, у цій точці в площині х = х 0до кривої z 0 (y)може бути проведена дотична l 1 .
Проводячи аналогічні міркування для перерізу у = у 0 ,побудуємо дотичну l 2до кривої z 0 (x)у точці х = x 0 -Прямі 1 1 і 1 2 визначають площину, яка називається дотичною площиноюдо поверхні Sу точці М0.
Складемо її рівняння. Так як площина проходить через точку Mo (x 0;y 0;z 0),то її рівняння може бути записано у вигляді
А (х - хо) + В (у - уо) + C (z - zo) = 0,
яке можна переписати так:
z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - у 0) (1)
(розділивши рівняння на -С і позначивши 
).
Знайдемо A 1та B 1 .
Рівняння дотичних 1 1 і 1 2 мають вигляд
відповідно.
Стосовна l 1лежить у площині a , отже, координати всіх точок l 1задовольняють рівняння (1). Цей факт можна записати у вигляді системи
Дозволяючи цю систему щодо B 1 отримаємо, що .Проводячи аналогічні міркування для дотичної l 3легко встановити, що .
Підставивши значення А 1і B 1 рівняння (1), отримуємо шукане рівняння дотичної площини:
Пряма, що проходить через точку М 0і перпендикулярна дотичній площині, побудованій у цій точці поверхні, називається її нормаллю.
Використовуючи умову перпендикулярності прямої та площини, легко отримати канонічні рівняння нормалі:
Зауваження.Формули дотичної площини та нормалі до поверхні отримані для звичайних, тобто не особливих точок поверхні. Крапка М 0поверхні називається особливою,якщо у цій точці всі приватні похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з них не існує. Таких точок ми не розглядаємо.
приклад. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у її точці М(2; -1; 1).
Рішення. Знайдемо приватні похідні цієї функції та їх значення у точці М
Звідси, застосовуючи формули (2) і (3), матимемо: z-1=2(х-2)+2(у+1)або 2х+2у-z-1=0- рівняння дотичної площини та 
- Рівняння нормалі.
2 °. Рівняння дотичної площини та нормалі для випадку неявного завдання поверхні.
Якщо поверхня Sзадана рівнянням F (x; у;z)= 0, то рівняння (2) і (3), з огляду на те, що приватні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції.
Визначення.Точка , що лежить на поверхні другого порядку, заданої щодо ОДСК загальним рівнянням (1) називається неособливою, якщо серед трьох чисел: є хоча б одне, не рівне нулю.
Таким чином, точка, що лежить на поверхні другого порядку, є не особливою тоді і тільки тоді, коли вона є її центром, інакше коли поверхня конічна, а точка - вершина цієї поверхні.
Визначення.Стосовно прямої до поверхні другого порядку в даній на ній не особливої точки називається пряма, що проходить через цю точку, що перетинає поверхню другого порядку в двократній точці або є прямолінійної утворює поверхні.
Теорема 3.Дотичні прямі до поверхні другого порядку в даній на ній не особливій точці лежать в одній площині, що називається дотичною площиною до поверхні в точці, що розглядається. Рівняння дотичної площини має
Доведення. Нехай , , Параметричні рівняння прямої, що проходить через неособливу точку поверхні другого порядку, заданої рівнянням (1). Підставляючи в рівняння (1) , , замість , , , отримаємо:
Так як точка лежить на поверхні (1), то і з рівняння (3) знаходимо (це значення відповідає точці). Для того щоб точка перетину прямої з поверхнею (1) була подвійною, або щоб пряма повністю лежала на поверхні, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність:
Якщо при цьому:
То точка перетину прямої лінії з поверхнею (1) подвійна. А якщо:
То пряма повністю лежить на поверхні (1).
Зі співвідношень (4) і , , слід, що координати , будь-якої точки , що лежить на будь-якій дотичній до поверхні (1) задовольняють рівняння:
Назад, якщо координати якої-небудь точки , відмінної від , задовольняють цьому рівнянню, то координати , , вектора , задовольняють співвідношенню (4), а це означає, що пряма - дотична до розглянутої поверхні.
Оскільки точка - неособлива точка поверхні (1), серед чисел , , є принаймні одне, не дорівнює нулю; отже рівняння (5) є рівняння першого ступеня щодо . Це і є рівняння площини, що стосується поверхні (1) в даній на ній не особливої точки .
З канонічних рівнянь поверхонь другого порядку легко скласти рівняння дотичних площин до еліпсоїда, гіперболоїда і т.д. в даній на них точці.
1). Дотична площина до еліпсоїда:
2). Дотична площина до одно і двопорожнинних гіперболоїдів:
3). Дотична площина до еліптичного та гіперболічного параболоїдів:
§ 161. Перетин дотичної площини з поверхнею другого порядку.
Приймемо неособливу точку поверхні другого порядку за початок координат ОДСК, осі і розташуємо в площині дотичної до поверхні в точці . Тоді у загальному рівнянні поверхні (1) вільний член дорівнює нулю: , а рівняння плоскості, що стосується поверхні на початку координат, повинно мати вигляд: .
Але рівняння площині, що проходить через початок координат має вигляд: .
І, оскільки це рівняння має бути еквівалентним рівнянню , то , , .
Отже, у вибраній системі координат рівняння поверхні (1) повинно мати вигляд:
Назад, якщо , то рівняння (6) є рівнянням поверхні, що проходить через початок координат , а площина - дотична площина до цієї поверхні в точці . Рівняння лінії, якою дотична площина до поверхні в точці перетинає поверхню (6) має вигляд:
Якщо. Це інваріант теоретично інваріантів для ліній другого порядку. Рівняння (7)
Це ж лінія другого порядку. На вигляд цієї лінії інваріант , тому:
При цьому дві уявні прямі, що перетинаються.
При - дві дійсні прямі, що перетинаються.
Якщо , але хоча один із коефіцієнтів , , не дорівнює нулю, то лінія перетину (7) - дві збігаються прямі.
Нарешті, якщо , то площина
входить до складу даної поверхні, а сама поверхня розпадається, отже, на пару площин
§ 162. Еліптичні, гіперболічні або параболічні точки поверхні другого порядку.
1. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її по двох уявним прямим, що перетинається. У цьому випадку точка називається еліптичною точкою поверхні.
2. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її за двома дійсними прямими, що перетинаються в точці торкання. У цьому випадку точка називається гіперболічною точкою поверхні.
3. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її по двох прямих, що збігаються. У цьому випадку точка називається параболічною точкою поверхні.
Теорема 4.Нехай поверхня другого порядку щодо ОДСК задана рівнянням (1) і дане рівняння (1) є рівнянням дійсною поверхнею другого порядку, що не розпадається. Тоді, якщо ; то всі точки поверхні еліптичні.
Доведення. Введемо нову систему координат, вибираючи за початок координат будь-яку неособливу точку даної поверхні і розташовуючи осі і в площині, що стосується поверхні в точці. Рівняння (1) у новій системі координат перетворюється на вигляд:
Де. Обчислимо інваріант для цього рівняння.
Так як при переході від однієї ОДСК до іншої ОДСК знак не змінюється, то знаки і протилежні, тому якщо , то ; і, як випливає з класифікації (див. § 161) дотична площина до поверхні в точці перетинає поверхню за двома уявними прямими, що перетинаються, тобто. - еліптична точка.
2) Однопорожнинний гіперболоїд та гіперболічний параболоїд складаються з гіперболічних точок.
3) Дійсний конус другого порядку (вершина виключається), еліптичний (дійсний), гіперболічний та параболічний циліндри складаються з параболічних точок.
Параболічний циліндр.
Щоб визначити розташування параболічного циліндра, достатньо знати:
1) площину симетрії, паралельну утворюючим циліндрам;
2) дотичну площину до циліндра, перпендикулярну до цієї площини симетрії;
3) вектор, перпендикулярний до цієї дотичної площини і спрямований у бік увігнутості циліндра.
У разі якщо загальне рівняннявизначає параболічний циліндр, воно може бути переписане у вигляді:
Підберемо mтак, щоб площині
були б взаємно перпендикулярними:
При цьому значення mплощина
буде площиною симетрії, паралельною утворюючим циліндрам.
Площина
буде дотичною площиною до циліндра, перпендикулярною до зазначеної площини симетрії, а вектор
буде перпендикулярний до знайденої дотичної площини і направлений у бік увігнутості циліндра.