›

Радіус вписаного та описаного кола. Рівносторонній трикутник

Визначення 2

Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.

Малюнок 1. Вписане коло

Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)

Теорема 1

У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.

Доказ.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.

Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:

    Не будь-який чотирикутник можна вписати коло.

    У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.

    Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.

Визначення 3

Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).

Визначення 4

Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.

Малюнок 3. Описане коло

Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)

Теорема 2

Біля будь-якого трикутника можна описати коло і до того ж лише одну.

Доказ.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)

Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2

Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.

Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:

    Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.

    У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.

    Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.

Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола

Приклад 1

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.

Рішення.

Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ та $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:

Малюнок 5.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Відповідь:$\frac(4)(3)$.

Визначення 2

Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.

Малюнок 1. Вписане коло

Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)

Теорема 1

У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.

Доказ.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.

Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:

    Не будь-який чотирикутник можна вписати коло.

    У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.

    Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.

Визначення 3

Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).

Визначення 4

Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.

Малюнок 3. Описане коло

Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)

Теорема 2

Біля будь-якого трикутника можна описати коло і до того ж лише одну.

Доказ.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)

Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2

Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.

Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:

    Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.

    У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.

    Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.

Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола

Приклад 1

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.

Рішення.

Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ та $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:

Малюнок 5.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Відповідь:$\frac(4)(3)$.

Вписаний трикутник- трикутник, усі вершини якого лежать на колі. Тоді коло називається описаним навколо трикутника.
Очевидно, відстань від центру описаного кола до кожної з вершин трикутника однакова і дорівнює радіусу цього кола.
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому лише одну.

Окружність вписанау трикутник, якщо вона стосується всіх його сторін. Тоді сам трикутник буде описанимнавколо кола. Відстань від центру вписаного кола до кожної зі сторін трикутника дорівнює радіусу цього кола.
У будь-який трикутник можна вписати коло, причому лише одну.

Спробуйте самі описати коло навколо трикутника і вписатиколо в трикутник.
Як ви вважаєте, чому центр вписаного кола - це точка перетину бісектрис трикутника, а центр описаного кола - точка перетину серединних перпендикулярів до його сторонам?

У задачах ЄДІнайчастіше зустрічаються вписані та описані правильні трикутники.

Є й інші завдання. Для їх вирішення вам знадобляться ще дві формули площі трикутника, а також теорема синусів.

Площа трикутникадорівнює половині твору його периметра на радіус вписаного кола.

S = p r,
де p = ( a+b+c) - напівпериметр,
r - радіус кола, вписаного в трикутник.

Є ще одна формула, застосовувана переважно у завданнях частини З:

Де a, b, c- Сторони трикутника, R - радіус описаного кола.

Для будь-якого трикутника вірна теорема синусів:

1. Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузу з цього трикутника. У відповіді вкажіть.

Трикутник прямокутний та рівнобедрений. Значить, його катети однакові. Нехай кожен катет дорівнює а. Тоді гіпотенуза дорівнює а .
Запишемо площу трикутника АВС двома способами:


Прирівнявши ці вирази, отримаємо, що . Оскільки , отримуємо, що . Тоді.
У відповідь запишемо.

2. Сторона AB тупокутного трикутника ABC дорівнює радіусу описаного біля нього кола. Знайдіть кут C. Дайте відповідь у градусах.

За теоремою синусів,

Отримуємо, що sin C = . Кут С - тупий. Значить, він дорівнює 150 °.

Відповідь: 150.

3. Бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 40, основа дорівнює 48. Знайдіть радіус описаного кола цього трикутника.

Кути трикутника не дано. Що ж, висловимо його площу двома різними способами.

S = ah, де h – висота трикутника. Її знайти нескладно - адже в рівнобедреному трикутнику висота є також і медіаною, тобто поділяє сторону АВ навпіл. За теоремою Піфагора знайдемо h = 32. Тоді R = 25.


EGE-Study » Методичні матеріали» Геометрія: з нуля до C4 » Вписані та описані чотирикутники

У цьому уроці ми згадаємо основи, на яких базується теорія вписаних та описаних кіл, згадаємо ознаки чотирикутників описаних та вписаних. Крім того, виведемо формули для знаходження радіусів описаного та вписаного кола в різних випадках.

Тема: Окружність

Урок: Вписане та описане кола

Насамперед, йдеться про вписані та описані кола щодо трикутника. Ми підготовлені до цієї теми, оскільки вивчили властивості бісектрис та серединних перпендикулярів трикутника.

У будь-який трикутник можна вписати коло (див. мал. 1).

Мал. 1

Доказ:

Ми знаємо, що всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – нехай у точці О. Проведемо бісектриси АТ, ВО, СО. Точка їх перетину Про рівновіддалена від сторін трикутника. Вона рівновіддалена від сторін кута - АС і АВ, тому що належить бісектрисі цього кута. Аналогічно вона рівновіддалена від сторін кутів і таким чином від трьох сторін трикутника.

Опустимо перпендикуляри з точки Про на сторони трикутника – ОМ на бік АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Ці перпендикуляри і будуть відстанями від точки О до сторін трикутника, і вони дорівнюють:

.

Позначимо відстань від точки До сторін трикутника за r і розглянемо коло з центром в точці Про і радіусом r.

Коло стосується прямий АВ, т.к. має з нею загальну точку К і радіус ОК, проведений в цю точку, перпендикулярний прямий АВ. Аналогічно коло стосується прямих АС та НД. Таким чином, коло стосується всіх сторін трикутника, значить, вона вписана в трикутник.

Отже, три бісектриси трикутника перетинаються в точці, що є центром вписаного кола.

Розглянемо ще одну теорему, що стосується точки перетину серединних перпендикулярів трикутника. Ми знаємо, що вони перетинаються в одній точці, і ця точка збігається з центром описаного біля трикутника кола.

Біля будь-якого трикутника можна описати коло.

Отже, задано трикутник . Проведемо серединний перпендикуляр р 1 до сторони трикутника ПС, р 2 - до сторони АВ, р 3 - до сторони АС (див. мал. 2).

Відповідно до теореми про властивості серединних перпендикулярів, точка, що належить серединному перпендикуляру до відрізка, рівновіддалена від кінців відрізка. Звідси, т.к. точка Q належить серединному перпендикуляру до відрізка АС. Аналогічно та . Таким чином, точка Q рівновіддалена від вершин трикутника. Звідси QA, QB, QC – радіуси

Мал. 2

кола, описаного біля трикутника . Позначимо радіус за R. Точка Про перетин серединних перпендикулярів - центр описаного кола.

Розглянемо коло, вписане в якийсь чотирикутник, та властивості цього чотирикутника (див. рис. 3).

Згадаймо властивості точки, що лежить на бісектрисі кута.

Заданий кут, його бісектриса - AL, точка М лежить на бісектрисі.

Якщо точка М лежить на бісектрисі кута, вона рівновіддалена від сторін кута, тобто відстані від точки М до АС і до ВС сторін кута рівні.

Мал. 3

Відстань від точки до прямої є довжиною перпендикуляра. Проведемо з точки М перпендикуляри МК до сторони АВ та МР до ​​сторони АС.

Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, І вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, а кути і рівні, тому що AL - бісектриса кута. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та гострому куту, звідси випливає, що , що потрібно було довести. Таким чином, точка на бісектрисі кута рівновіддалена від сторін цього кута.

Крім того, катети . Таким чином, відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.

Отже, повернемося до чотирикутника. Першим дією потрібно провести в ньому бісектриси.

Всі бісектриси чотирикутника перетинаються в одній точці - точці О, центрі вписаного кола.

З точки Про опускаємо перпендикуляри до сторін чотирикутника до точок K, L, M, N і визначаємо точки дотику (див. рис. 3).

Дотичні, проведені до кола з однієї точки, рівні між собою, таким чином, з кожної вершини виходить пара рівних дотичних: , , , .

Мал. 3

Якщо чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні. Це легко довести:

Розкриємо дужки:

Таким чином ми довели просту, але важливу теорему.

Якщо чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні.

Справедлива зворотна теорема.

Якщо чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то нього можна вписати окружність.

Розглянемо коло, описане близько чотирикутника.

Задано коло з центром О та довільний чотирикутник ABCD. Розглянемо властивості цього чотирикутника. Всі чотири серединні перпендикуляри даного чотирикутника перетинаються в одній точці: ця точка - центр описаного кола.

Довести, що всі чотири серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, було б стомлюючим. Є інша ознака. Розглянемо кут ےА, це вписаний кут кола, він спирається на дугу і вимірюється половиною градусної міри даної дуги (див. рис. 4). Позначимо кут ≈ за, тоді дуга. Аналогічно позначимо протилежний кут за, він вписаний в коло і спирається на дугу. Звідси дуга.

Мал. 4

Дуги і становлять повне коло. Звідси:

,

Поділимо отриманий вираз на два, отримуємо:

Тож ми довели пряму теорему.

Теорема

Якщо близько чотирикутника описано коло, сума його протилежних кутів становить .

Це необхідна і достатня ознака, тобто справедлива зворотна теорема.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника становить , цього чотирикутника можна описати окружність.

З даних теорем відзначимо, що навколо паралелограма не можна описати окружність, оскільки його протилежні кути рівні, та його сума не дорівнює (див. рис. 5).

Мал. 5

Біля паралелограма можна було б описати коло, якби його протилежні кути дорівнювали по 90°, тобто якби він був прямокутником, таким чином, біля прямокутника можна описати коло (див. рис. 6).

Мал. 6

Біля ромба також не можна описати коло, але можна вписати, тому що всі сторони ромба рівні, і таким чином суми протилежних сторін ромба рівні.

Крім того, у ромба кожна діагональ є бісектрисою, точка перетину бісектрис рівновіддалена від усіх сторін ромба (див. мал. 7).

Мал. 7

Отже, ми довели, що в будь-який трикутник можна вписати коло, і центр цього кола збігається з точкою перетину бісектрис трикутника. Ми також довели, що біля будь-якого трикутника можна описати коло, і його центр збігатиметься з точкою перетину серединних перпендикулярів. Крім того, ми побачили, що деякі чотирикутники можна вписати коло, і для цього потрібно, щоб суми протилежних сторін чотирикутника були рівні. Ми також показали, що біля деяких чотирикутників можна описати коло, і необхідною та достатньою умовою для цього є рівність суми протилежних кутів .

Список литературы

  1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
  1. Uztest.ru ().
  2. Mschool.kubsu.ru ().
  3. Ege-study.ru ().

Домашнє завдання

Ця стаття містить мінімальний набір відомостей про коло, необхідний для успішної здачіЄДІ з математики.

Колом називається безліч точок, розташованих на однаковій відстані від цієї точки, яка називається центром кола.

Для будь-якої точки , що лежить на колі виконується рівність (Довжина відрізка дорівнює радіусу кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола називається хордий.

Хорда, що проходить через центр кола називається діаметром кола () .

Довжина кола:

Площа кола:

Дуга кола:

Частина кола, укладена між двома її точками називається дугою кола. Дві точки кола визначають дві дуги. Хорда стягує дві дуги: і . Рівні хорди стягують рівні дуги.

Кут між двома радіусами називається центральним кутом :

Щоб знайти довжину дуги, складаємо пропорцію:

а) кут дано у градусах:

б) кут дано в радіанах:

Діаметр, перпендикулярний хорді , ділить цю хорду і дуги, які вона стягує навпіл:

Якщо хорди і кола перетинаються в точці , то твори відрізків хорд, куди вони діляться точкою рівні між собою:

Стосовно кола.

Пряма, що має з колом одну загальну точку називається дотичноїдо кола. Пряма, що має з колом дві спільні точки називається січній.

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.

Якщо з цієї точки проведено до кола дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собоюі центр кола лежить на бісектрисі кута з вершиною в цій точці:


Якщо з даної точки проведено до кола дотичне та січене, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює творувсього відрізка січучої на його зовнішню частину :

Наслідок: добуток всього відрізка однієї сіючої на його зовнішню частину дорівнює добутку всього відрізка іншої сіючої на його зовнішню частину:


Кути в колі.

Градусний захід центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони містять хорди, називається вписаним кутом . Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається:

∠∠

Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий:

∠∠∠

Вписані кути, що спираються на одну дугу, дорівнюють :

Вписані кути, що спираються на одну хорду, рівні або їх сума дорівнює

∠∠

Вершини трикутників із заданою основою та рівними кутами при вершині лежать на одному колі:


Кут між двома хордами (кут з вершиною всередині кола) дорівнює напівсумі кутових величин дуг кола, укладених усередині даного кута і всередині вертикального кута.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Кут між двома січними (кут з вершиною поза коло) дорівнює напіврізності кутових величин дуг кола, укладених усередині кута.


∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Вписане коло.

Коло називається вписаною в багатокутник якщо вона стосується його сторін. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис кутів багатокутника.

Не у всякий багатокутник можна вписати коло.

Площа багатокутника, в який вписано коло можна знайти за формулою

тут - напівпериметр багатокутника, - радіус вписаного кола.

Звідси радіус вписаного кола дорівнює

Якщо у опуклий чотирикутник вписано коло, то суми довжин протилежних сторін дорівнюють . Назад: якщо у опуклому чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні, то чотирикутник можна вписати окружність:

У будь-який трикутник можна вписати коло, до того ж лише одну. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника.


Радіус вписаного кола дорівнює. Тут

Описане коло.

Коло називається описаної біля багатокутника якщо вона проходить через всі вершини багатокутника. Центр описаного кола лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін багатокутника. Радіус обчислюється як радіус кола, описаного біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами даного багатокутника:

Біля чотирикутника можна описати коло тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює .

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому лише одну. Її центр лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника:

Радіус описаного колаобчислюється за формулами:

Де – довжини сторін трикутника, – його площа.

Теорема Птолемея

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін: